Setor 1107 Aulas 1 e 2 Resoluções

Aulas 1 e 2
Produtos notáveis – Produto da soma pela diferença
01)
(Cefet - CE) Simplifique a expressão
positivos e a > b.
a  b  a  b  a 2  b , com a e b
Resolução:

E  a  b  a  b  a2  b
E  (a  b )(a  b )(a 2  b)

E  (a 2  b)(a 2  b)
E  a2  b


02)
2
 E = a2  b
Sabendo que a  8 16 e b  24 15 qual o valor da expressão A = (a + b3)(a4 +
b12)(a  b3)(a2 + b6)?
Resolução:
A = (a + b3)(a4 + b12)(a  b3)(a2 + b6)  A = (a2  b6)(a4 + b12)(a2 + b6)  A = (a4
 b12)(a4 + b12)
8
A = a8  b24  A   8 16    24 15 


 
24
A=1
Produtos notáveis – Quadrado da soma (diferença) de dois termos
03)
(PUC-RJ) A expressão


3 1
2
 3 é igual a:
3 3
42 3
32 3
3+3 3
4 3
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
E
04)


2
3 1  3  E  3  2 3 1 3  E  4  3
(Faculdade de Alagoas) Se x + y = 4 e xy = 10, qual é o valor de x2 + 5xy + y2?
a) 40
b) 42
c) 44
d) 46
e) 48
Resolução:
x + y = 4  (x + y)2 = 42  x2 + 2xy + y2 = 16  x2 + 210 + y2 = 16  x2 + y2 =
4
x2 + 5xy + y2 = 4 + 510 = 46
05)
(UFGO) Certas combinações entre as funções ex e ex (onde “e” é o número de
Euler, x  ) surgem em diversas áreas, como Matemática, Engenharia e Física.
e x  e x
O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos por senh(x) =
2
x
x
e e
e cosh(x) =
. Então cosh2(x)  senh2(x) é igual a:
2
1
1
a) 0
b)
c) 
d) 1
e) 1
4
4
Resolução:
2
 e x  e x   e x  e x 
cosh (x)  senh (x) = 
 


 

2
2

 

2
cosh2(x)  senh2(x) =
e2 x  2  e x  e x  e2 x e2 x  2  e x  e x  e2 x

4
4
cosh2(x)  senh2(x) =
cosh2(x)  senh2(x) = 1
06)
2
2
e2x  2  e x  e x e2 x e2x  2  e x  e x e2 x
4
(UFPI) Desenvolvendo a expressão



2
27  3  1 , encontraremos um número
no formato a  b 3 , com a e b números inteiros. O valor de a + b é:
a) 59
b) 47
c) 41
d) 57
e) 17
Resolução:
Seja
E  ( 27  3  1)2

E  ( 27  3)  1
2

E  ( 27  3)2  2( 27  3)  1
E  27  2 81  3  2 27  2 3  1  E  49  2  3 3  2 3  E  49  8 3
a = 49 e b = 8, logo a + b = 41
Produtos notáveis – Cubo da soma (diferença) de dois termos
07)
(UFAlfenas) Se (x  y)3 = 64  2y(3x2 + y2), então a média aritmética dos números
x e y vale:
a) 5
b) 3
c) 6
d) 2
e) 9
Resolução:
(x  y)3 = 64  2y(3x2 + y2)  x3  3x2y + 3xy2  y3 = 64  6x2y  2y3  x3 + 3x2y
+ 3xy2 + y3 = 64
x y 4
 2
2
2
(x + y)3 = 64  x + y = 4 
08)
(UFSJ-MG) O par ordenado (x, y) é solução do seguinte sistema de equações:
 x3  3x 2 y  3xy 2  y3  2 2
 3
 x  3x 2 y  3xy 2  2 y3  0
Assim é correto afirmar que x2 + y2 é igual a:
10
8
a)
b) 2
c) 1
d)
9
9
Resolução:
 x3  3x 2 y  3xy 2  y3  2 2
 3
 x  3x 2 y  3xy 2  2 y3  0
( x  y )3  8
( x  y )3 



( x  y )3  y3  0 ( x  y )3 

 ( x  y )3  8
 (2 y  y)3 


x  2 y
2
2 2  2
x  y 

 3   3 

 

8 2 10
x2  y 2   
9 9 9
2
09)
( x  y )3  8

 3
 x  3x 2 y  3xy 2  y3  y3  0

8
y3
6
8  3 y  23  y 
2 2
2
e x
, logo
3
3
2
2
(FGV) Imagine dois números naturais. Seja D a diferença entre o cubo de sua
soma e a soma de seus cubos. Mostre que D é divisível por 6.
Resolução:
Sejam {a, b} 
D = (a + b)3 – (a3 + b3)  D = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + b3  D = 3ab(a + b).
Se a e b são ambos pares ou ambos ímpares, a soma a + b é par e D é múltiplo de
3 e de 2,logo é múltiplo de 6.
Se a ou b é par, o produto ab é par e D é múltiplo de 3 e de 2,logo é múltiplo de 6.
10)
(ITA adaptado) Mostre que o número real   3 2  5  3 2  5 é raiz da
equação x3 + 3x  4 = 0.
Resolução:
Se   3 2  5  3 2  5 é raiz da equação x3 + 3x  4 = 0, então 3 + 3 – 4 =
0, ou seja,
3
3 2  5  3 2  5   3 3 2  5  3 2  5   4  0




3
2
2
3
3 2  5   3 3 2  5  3 2  5   3 3 2  5  3 2  5   3 2  5   3 3 2  5  3 2  5   4



 


 





2  5  3 3 2  5  3 2  5  3 2  5  3 2  5   2  5  3 3 2  5  3 2  5   4  0

 
 



3  3 (2  5)(2  5)   3 2  5  3 2  5   3  3 2  5  3 2  5   0

 
 

3 3 4  5  3 2  5  3 2  5   3 3 2  5  3 2  5   0
 


 
3  3 2  5  3 2  5   3  3 2  5  3 2  5   0   é raiz da equação.




outra maneira
  3 2  5  3 2  5  3 
3
2

3
2 5  3 2 5

3
2
3
3   3 2  5   3  3 2  5   3 2  5   3  3 2  5   3 2  5    3 2  5 




 


 
 
3  2  5  3  3 2  5   3 2  5   3 2  5  3 2  5   2  5

 
 


3  4  3  3 (2  5)(2  5)   3 2  5  3 2  5 

 

3  4  3  3 4  5   3 2  5  3 2  5 


 
3  4  3  3 2  5  3 2  5   3 = 4 – 3  3 + 3 – 4 = 0.

