Aulas 1 e 2
Produtos notáveis – Produto da soma pela diferença
01)
(Cefet - CE) Simplifique a expressão
positivos e a > b.
a b a b a 2 b , com a e b
Resolução:
E a b a b a2 b
E (a b )(a b )(a 2 b)
E (a 2 b)(a 2 b)
E a2 b
02)
2
E = a2 b
Sabendo que a 8 16 e b 24 15 qual o valor da expressão A = (a + b3)(a4 +
b12)(a b3)(a2 + b6)?
Resolução:
A = (a + b3)(a4 + b12)(a b3)(a2 + b6) A = (a2 b6)(a4 + b12)(a2 + b6) A = (a4
b12)(a4 + b12)
8
A = a8 b24 A 8 16 24 15
24
A=1
Produtos notáveis – Quadrado da soma (diferença) de dois termos
03)
(PUC-RJ) A expressão
3 1
2
3 é igual a:
3 3
42 3
32 3
3+3 3
4 3
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
E
04)
2
3 1 3 E 3 2 3 1 3 E 4 3
(Faculdade de Alagoas) Se x + y = 4 e xy = 10, qual é o valor de x2 + 5xy + y2?
a) 40
b) 42
c) 44
d) 46
e) 48
Resolução:
x + y = 4 (x + y)2 = 42 x2 + 2xy + y2 = 16 x2 + 210 + y2 = 16 x2 + y2 =
4
x2 + 5xy + y2 = 4 + 510 = 46
05)
(UFGO) Certas combinações entre as funções ex e ex (onde “e” é o número de
Euler, x ) surgem em diversas áreas, como Matemática, Engenharia e Física.
e x e x
O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são definidos por senh(x) =
2
x
x
e e
e cosh(x) =
. Então cosh2(x) senh2(x) é igual a:
2
1
1
a) 0
b)
c)
d) 1
e) 1
4
4
Resolução:
2
e x e x e x e x
cosh (x) senh (x) =
2
2
2
cosh2(x) senh2(x) =
e2 x 2 e x e x e2 x e2 x 2 e x e x e2 x
4
4
cosh2(x) senh2(x) =
cosh2(x) senh2(x) = 1
06)
2
2
e2x 2 e x e x e2 x e2x 2 e x e x e2 x
4
(UFPI) Desenvolvendo a expressão
2
27 3 1 , encontraremos um número
no formato a b 3 , com a e b números inteiros. O valor de a + b é:
a) 59
b) 47
c) 41
d) 57
e) 17
Resolução:
Seja
E ( 27 3 1)2
E ( 27 3) 1
2
E ( 27 3)2 2( 27 3) 1
E 27 2 81 3 2 27 2 3 1 E 49 2 3 3 2 3 E 49 8 3
a = 49 e b = 8, logo a + b = 41
Produtos notáveis – Cubo da soma (diferença) de dois termos
07)
(UFAlfenas) Se (x y)3 = 64 2y(3x2 + y2), então a média aritmética dos números
x e y vale:
a) 5
b) 3
c) 6
d) 2
e) 9
Resolução:
(x y)3 = 64 2y(3x2 + y2) x3 3x2y + 3xy2 y3 = 64 6x2y 2y3 x3 + 3x2y
+ 3xy2 + y3 = 64
x y 4
2
2
2
(x + y)3 = 64 x + y = 4
08)
(UFSJ-MG) O par ordenado (x, y) é solução do seguinte sistema de equações:
x3 3x 2 y 3xy 2 y3 2 2
3
x 3x 2 y 3xy 2 2 y3 0
Assim é correto afirmar que x2 + y2 é igual a:
10
8
a)
b) 2
c) 1
d)
9
9
Resolução:
x3 3x 2 y 3xy 2 y3 2 2
3
x 3x 2 y 3xy 2 2 y3 0
( x y )3 8
( x y )3
( x y )3 y3 0 ( x y )3
( x y )3 8
(2 y y)3
x 2 y
2
2 2 2
x y
3 3
8 2 10
x2 y 2
9 9 9
2
09)
( x y )3 8
3
x 3x 2 y 3xy 2 y3 y3 0
8
y3
6
8 3 y 23 y
2 2
2
e x
, logo
3
3
2
2
(FGV) Imagine dois números naturais. Seja D a diferença entre o cubo de sua
soma e a soma de seus cubos. Mostre que D é divisível por 6.
Resolução:
Sejam {a, b}
D = (a + b)3 – (a3 + b3) D = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + b3 D = 3ab(a + b).
Se a e b são ambos pares ou ambos ímpares, a soma a + b é par e D é múltiplo de
3 e de 2,logo é múltiplo de 6.
Se a ou b é par, o produto ab é par e D é múltiplo de 3 e de 2,logo é múltiplo de 6.
10)
(ITA adaptado) Mostre que o número real 3 2 5 3 2 5 é raiz da
equação x3 + 3x 4 = 0.
Resolução:
Se 3 2 5 3 2 5 é raiz da equação x3 + 3x 4 = 0, então 3 + 3 – 4 =
0, ou seja,
3
3 2 5 3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 4 0
3
2
2
3
3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 4
2 5 3 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 2 5 3 3 2 5 3 2 5 4 0
3 3 (2 5)(2 5) 3 2 5 3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 0
3 3 4 5 3 2 5 3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 0
3 3 2 5 3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 0 é raiz da equação.
outra maneira
3 2 5 3 2 5 3
3
2
3
2 5 3 2 5
3
2
3
3 3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 3 2 5
3 2 5 3 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 2 5
3 4 3 3 (2 5)(2 5) 3 2 5 3 2 5
3 4 3 3 4 5 3 2 5 3 2 5
3 4 3 3 2 5 3 2 5 3 = 4 – 3 3 + 3 – 4 = 0.
