Singularidades Quânticas em Espaços-tempo com Defeitos

Singularidades Quânticas em Espaços-tempo com Defeitos
Topológicos Esféricos e Cilíndricos
João Paulo Pitelli Manoel,
Patricio S. Letelier,
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, IMECC, UNICAMP,
13083-859, Campinas, SP
E-mail: [email protected], [email protected]
Resumo
Espaços-tempo que são soluções exatas das
equações de Einstein com tensor de curvatura de Riemman-Christoffel nulo em todo
espaço, exceto numa hipersuperfície (cascas
esférica e cilíndrica) [9, 10], são estudados
utilizando-se partículas quânticas obedecendo
a equação de Klein-Gordon. Através do estudo
da dinâmica quântica dessas partículas, poderemos dizer se esses espaços classicamente singulares permanecem singulares quando vistos
pela mecânica quântica.
1
Introdução
Defeitos topológicos aparecem naturalmente
nas teorias do universo primitivo, baseadas na
quebra espontânea de simetria de algum grupo
unificador. Como exemplos temos as cordas cósmicas, que surgem da quebra de simetria do
grupo U (1) e as paredes cósmicas, que estão
associadas à quebra de uma simetria discreta.
Estes defeitos são caracterizados por um tensor de curvatura Rµνση nulo em todo espaço,
exceto nos defeitos, onde são proporcionais a
uma função delta de Dirac δ.
Estes espaços são classicamente singulares e
um modelo proposto por Wald [15], Horowitz
e Marolf [3] define uma analogia para o caso
quântico, onde são usadas partículas testes obedecendo a equação de Klein-Godon, a fim de
decidir se esses espaços permanecem quanticamente singulares. Espaços com singularidades
caracterizadas por um ponto (por exemplo, buraco negro de Schwarzchild, que possui uma
singularidade forte na origem) ou uma linha
(cordas cósmicas, com um defeito em z = 0)
foram estudados tanto do ponto de vista clás-
sico, como quântico [1–8,11,15]. Até agora, nenhum tratamento quântico para defeitos de dimensões maiores foi feito. No presente trabalho,
estudamos a evolução de partículas quânticas
em espaços onde os defeitos estão numa hipersuperfície, especificamente numa casca esférica
(bolha) ou cilíndrica.
Espaços-tempo com defeitos topológicos
numa hipersuperfície φ = 0, podem ser construídos dividindo-se o espaço em duas regiões
Ω+ e Ω− , onde φ > 0 e φ < 0, respectivamente. Exige-se então a continuidade da
métrica na região φ = 0 e uma discontinuidade
em sua primeira derivada. Impõe-se também
que Rµνση = 0 nas regiões Ω+ e Ω− , a fim
de obtermos espaços-tempo semelhantes ao de
Minkowski, exceto pelo defeito. A dependência
de Rµνση com a segunda derivada de gµν faz então aparecer uma função delta δ com suporte no
defeito. Os casos de superfícies esférica e cilíndrica são obtidos a partir da função φ = (r−r0 ),
onde r é a coordenada radial nos dois casos. No
caso esférico, a métrica obtida é dada por [10]
ds2 = −dt2 + dr 2 + (r − b)2 dΩ2 ,
2
2
2
2
r > r0
2
ds = −dt + dr + (r − a) dΩ ,
r < r0 ,
(1)
2
2
onde dΩ é a medida usual em S , b = r0 + 4/ρ0
e a = r0 − 4/ρ, ρ0 uma constante positiva. Fisicamente, esta métrica representa uma
bolha estática com centro na origem, raio
r0 = (a + b)/2 e densidade ρ = ρ0 δ(r − r0 ).
Analogamente, para o caso cilíndrico, temos
ds2 = −dt2 + dr 2 + (r − b)2 dϕ2 + dz 2 ,
ds2 = −dt2 + dr 2 + (r − a)2 dϕ2 + dz 2 ,
r > r0
r < r0
(2)
agora com b = r0 + 2/ρ0 e a = r0 − 2/ρ0 . A
métrica neste caso, representa uma casca cilín-
drica estática, centrada no eixo z, com raio
r0 = (a + b)/2 e densidade ρ = ρ0 δ(r − r0 ).
Note que nos dois casos, as métricas dentro
e fora das cascas podem ser obtidas a partir
de uma transformação de coordenadas do tipo
r −→ r − const., logo os espaços interno e externo às cascas são isométricos ao espaço de
Minkowski.
Dando uma flexibilidade maior ao problema,
deixando a coordenada radial variar entre −∞
e +∞, temos dois espaços de Minkowski, separados por um defeito. Temos assim um exemplo de buraco de minhoca. Os pontos r = a e
r = b apresentam uma singularidade da métrica
polar, sem nenhum significado físico mais profundo, a verdadeira singularidade do espaço
está no ponto r = r0 , o ponto médio entre a
e b.
A figura 1 mostra algumas geodésicas do lado
externo à bolha [10], no plano θ = π/2. O círculo contínuo corresponde à superfície r = r0 ,
enquanto o círculo tracejado, corresponde à superfície r = b. Por esta figura, vemos claramente que os pontos r = b são pontos completamente regulares.
2
Singularidades Quânticas
Em relatividade geral, uma singularidade num
espaço-tempo é indicada por geodésicas incompletas. Nos pontos onde elas se encerram,
uma informãção extra deve ser imposta, já que
perdemos a capacidade de prever o futuro da
partícula devido ao fim abrupto da geodésica.
Em mecânica quântica, essa informação extra
equivale a necessidade de impor uma condição
de contorno nos pontos classicamente singulares, a fim de tornar auto-adjunta a porção
espacial do operador de onda. Quando isso não
é necessário, a evolução do pacote de ondas é
unicamente determinada pela função de onda
em t = 0. Dizemos que o espaço não é quanticamente singular. O que ocorre nesses casos é
que a imposição de que a solução da equação
de Klein-Gordon seja quadrado integrável, funciona como uma condição de contorno e o pacote inicial é então suficiente para determinar a
evolução da partícula.
Um exemplo de uma teoria classicamente singular, que se torna não singular quando visto
pela mecânica quântica é o átomo de hidrogênio
não relativístico. A simples imposição de que as
soluções da equação de Schrödinger desse sistema sejam quadrado integráveis, é suficiente
para nos dar um conjunto completo de autofunções. Dado um pacote de onda inicial, sua
evolução é unicamente determinada.
Um outro exemplo simples, agora de uma
teoria singular que se mantém singular quando
testada pela mecânica quântica, é de uma
partícula não relativística presa numa caixa
unidimensional (0, 1). Uma condição de contorno deve ser dada nas bordas da caixa (geralmente escolhemos ψ(0) = ψ(1) = 0) a fim
de obtermos a evolução do pacote de ondas
da partícula. Formalizemos agora matematicamente os conceitos apresentados nos parágrafos
anteriores.
Seguindo o modelo apresentado por Wald
[15] e seguido por Horowitz e Marolf [3], seja
(M, gµν ) um espaço-tempo estático com vetor
de Killing do tipo tempo ξ µ . Seja t o parâmetro
de Killing e Σ uma fatia estática (não contendo
as singularidades), ortogonal ao vetor de Killing
Figura 1: Trajetória de partículas de mesma ener- para todo t. A equação de Klein-Gordon nesse
gia, porém momentos angulares distintos, sujeitas espaço é
ao campo gravitacional gerado por um defeito esΨ = M 2 Ψ,
(3)
férico.
onde = ∇µ ∇µ pode ser separado numa parte
temporal e numa parte espacial da forma
definição com o caso clássico. Agora, se existir uma única extensão auto-adjunta1 , o ope2
∂ Ψ
rador A é dito essencialmente auto-adjunto e
= −AΨ = V D i (V Di Ψ) − M 2 V 2 Ψ, (4)
2
a evolução quântica da partícula é unicamente
∂t
determinada pelo pacote inicial. O espaço é encom V = −ξ µ ξµ e Di a derivada espacial co- tão não singular quando visto pela mecânica
variante na fatia Σ.
quântica.
Obter o domínio D(A) de ação do operador
O critério para determinar se um operador
é algo mais difícil e a princípio não temos nené essencialmente auto-adjunto basea-se no teohuma informação a respeito disso. Tomemos
rema devido a von Neumann [14], que diz que as
então um domínio mínimo, em que o operaextensões auto-adjuntas de um operador A esdor esteja bem definido e que evite as singutão em correspondência um a um com as isomelaridades do espaço. Um conjunto apropriado
trias de Ker(A∗ − i) em Ker(A∗ + i), onde Ker
para isso é C0∞ (Σ), o conjunto das funções
denota o núcleo e A∗ o operador adjunto de
suáveis com suporte em Σ. No espaço de Hilbert
Hilbert de A. O domínio do operador A é tão
L2 (Σ, V −1 dµ), onde dµ é o elemento de volume
pequeno, isto é, as restrições feitas às funções
em Σ, não é difícil mostrar (integrando por
pertencentes a D(A) = C0∞ (Σ) são tão fortes,
partes) que o operador (A, C0∞ (Σ)),com A dado
que o domínio do operador adjunto de Hilbert
na equação (4), é simérico e positivo. Dessa
fica extremamente grande e nenhuma condição
forma, extensões auto-adjuntas sempre existem
sobre ψ ∈ D(A∗ ) é necessária, exceto que A∗ ψ
[13] (ao menos a extensão de Friedrichs).
se mantenha em L2 , ou seja,
Seja AE uma extensão de A, obtida
relaxando-se as condições de contorno, de tal
forma que o domínio do operador AE coincida
D(A∗ ) = {ψ ∈ L2 : A∗ ψ ∈ L2 }.
(8)
com o domínio do operador adjunto de Hilbert
A∗E . Pela auto-adjunção de AE , a evolução do
Devemos então resolver as equações
campo Ψ é unicamente determinada pelo pacote inicial e dada por
1/2
1/2
1/2
Ψ(t) = cos(AE t)Ψ(0) + AE sin(AE t)Ψ̇(0), (5)
onde as funções do operador AE dadas na
equação anterior são garantidas pelo teorema
espectral [13].
Para o caso não relativístico, a situação é
muito semelhante. A equação de Schrödinger
pode ser escrita como
A∗ ψ ∓ iψ = 0
(9)
e analisar quais soluções pertencem à L2 . Denotamos n± = dim Ker(A∗ ∓ i) e chamamos de
índices deficientes [12].
Se nenhuma solução pertencer à L2 , então
n+ = n− = 0, não existem isometrias de
Ker(A∗ − i) para Ker(A∗ + i) e o operador A é
essencialmente auto-adjunto. Se n+ = n− = 1,
∂Ψ
2
i
= −∇ Ψ,
(6) existe uma família de 1-parâmetro de isometrias
∂t
e portanto de extensões auto-adjuntas. O caso
n+ = n− = 2 é análogo.
onde ∇2 é o operador de Laplace-Beltrami em
(Σ, hij ), hij é a métrica induzida por gµν em Σ.
1
Nesse caso o fecho [12, 13] A do operador A, onde
Se −∇2E é uma extensão auto-adjunta de −∇2 ,
denotamos
por fecho de A sua menor extensão fechada.
então a evolução da partícula é dada por
−i∇2E t
Ψ(t) = e
Ψ(0).
(7)
Um operador A é dito fechado se, para qualquer sequência {un } com as propriedades
(i) un ∈ D(A), ∀ n.,
Se várias extensões auto-adjuntas de A exis- (ii) lim u existe,
n
n→∞
tirem, devemos escolher uma a fim de obter
a evolução temporal da partícula. Uma infor- (iii) lim Aun existe,
n→∞
mação extra é necessária, o espaço é dito quanlim un ∈ D(A) e A( lim un ) = lim (Aun ).
ticamente singular e fica claro a analogia dessa então n→∞
n→∞
n→∞
3
Mecânica Quântica ao redor
de bolhas e cascas cilíndricas
3.1
Bolha
Como dito anteriormente, a métrica deste espaço é dada por
ds2 = −dt2 + dr 2 + (r − b)2 dΩ2 ,
2
2
2
2
r > r0
2
ds = −dt + dr + (r − a) dΩ , r < r0 .
A equação de Klein-Gordon é dada pela
equação da onda num espaço plano, com uma
transformação isométrica r → r − constante,
∇µ ∇µ Ψ = −
∂2Ψ
+ ∇2 Ψ = M 2 Ψ.
∂t2
(10)
No nosso caso
∂2Ψ
2 ∂Ψ
L2
∂2Ψ
=
+
−
− M 2Ψ
∂t2
∂r 2
r − b ∂r
(r − b)2
∂2Ψ
∂2Ψ
2 ∂Ψ
L2
=
+
−
− M 2 Ψ,
∂t2
∂r 2
r − a ∂r
(r − a)2
(11)
onde L2 é o operador de momento angular ao
quadrado.
Como dito anteriormente, devemos analisar
as soluções das equações
A∗ ψ ∓ iψ = 0,
onde A é a porção espacial do operador de onda
(lado direito na equação (11)).
A partir de uma separação de variáveis da
forma ψ = R(r)Ylm (θ, ϕ), onde Ylm (θ, ϕ) são
os harmônicos esféricos, temos
Temos que analisar a porção espacial dos operadores de onda em cada lado da bolha. Vejamos o lado externo à ela. Para r → ∞, podemos desprezar o último termo na equação (12)
e temos como solução
R(r) =
1
[C1 eα(r−b) + C2 e−α(r−b) ], (14)
(r − b)
onde
1 p
α = √ ( 1 + M 4 + M 2 )1/2
2
p
2 1/2
4
∓ i( 1 + M − M )
.
(15)
Obviamente a solução (15) é quadrado integrável perto de +∞ apenas se C1 = 0.
Para r perto de r0 , não é necessário resolver
a equação (12). Este é um ponto não singular
da equação, logo suas duas soluções são contínuas em r0 e portanto quadrado integráveis
perto desse ponto. Conseguimos então ajustar as constantes da solução geral perto de
r0 a fim de corresponder à forma assintótica
R(r) ∼ (1/r)e−α(r−b) . Encontramos então uma
solução, para cada equação em (9), pertencente
à L2 (Σ1 , (r − b)2 sin θdrdθdϕ). Assim, n± =1 e
portanto existe uma família de 1-parâmetro de
extensões auto-adjuntas de A.
Para o espaço interior à esfera, o procedimento é análogo, com a coordenada r variando
de −∞ até r0 . Conclui-se novamente que existe
uma família de 1-parâmetro de extensões autoadjuntas de A em L2 (Σ2 ).
Dessa forma, o espaço-tempo dado por (1) se
mantém quanticamente singular. A evolução de
um pacote de ondas não é determinado unicamente pelo estado inicial e condições de contorno necessitam ser impostas (independentemente) nos dois lados da esfera.
2
′′
R′ (r)+
(r) +
Rl,m
(r − b) l,m
l(l + 1)
2
+ (±i − M ) −
Rl,m (r) = 0
(r − b)2
(12)
2
′
′′
Rl,m
(r)+
Rl,m
(r) +
(r − a)
3.2 Cascas Cilíndricas
l(l + 1)
+ (±i − M 2 ) −
R
(r)
=
0.
l,m
(r − a)2
A métrica nesse espaço é
Como os espaços-tempo dos dois lados da
ds2 = −dt2 + dr 2 + (r − b)2 dϕ2 + dz 2 , r > r0
bolha se comportam de maneira completamente
2
2
2
2
2
2
independente, o espaço de Hilbert apropriado ds = −dt + dr + (r − a) dϕ + dz , r < r0 .
para o sistema é um produto tensorial dos esO espaço de Hilbert apropriado é
paços de Hilbert de cada lado da bolha, isto
H =L2 (Σ1 , |r − b|drdϕdz)⊗
é, se chamarmos Σ1 a fatia espacial externa à
(16)
bolha e Σ2 a fatia interna, temos
L2 (Σ2 , |r − a|drdϕdz).
H =L2 (Σ1 , (r − b)2 sin θdrdθdϕ)⊗
2
2
L (Σ2 , (r − a) sin θdrdθdϕ).
(13)
Como no caso da bolha, após uma separação
de variáveis do tipo ψ = R(r)eimϕ eikz , temos
para a parte radial, do lado externo à casca Klein-Gordon (3) é dada por
cilíndrica,
1
′′
R′ (r)+
(r) +
Rm,k
(r − b) m,k
m2
2
2
+ (±i − (k + M )) −
Rm,k (r) = 0.
(r − b)2
(17)
Para r → ∞, a forma assintótica de R(r) é
R(r) ∼ p
1
(r − b)
(C1 eα(r−b) + C2 e−α(r−b) )
(18)
onde
1 p
α = √ ( 1 + (M 2 + k 2 )2 + M 2 + k 2 )1/2
2
(19)
p
∓ i( 1 + (M 2 + k 2 )2 − M 2 − k 2 )1/2 .
Novamente, R(r) só é quadrado integrável
perto de +∞ se C1 = 0, logo
R(r) ∼ p
1
(r − b)
e−α(r−b) .
(20)
Para r próximo de r0 , as duas soluções de
(17) são contínuas, como no caso da bolha, portanto quadrado integráveis. Conseguimos então
encontrar uma solução pertencente à L2 , para
cada equação de (9). Os índices deficientes são
n± = 1 e portanto existem infinitas extensões
auto-adjuntas de A também neste caso. Esse
espaço permanece singular quando visto pela
mecânica quântica.
d
2 d
−
(r − b)
+ l(l + 1)+
dr
dr
2
2
+ M (r − b)
(bolha)
1
d
d
m2
Ar =
+
−
(r − b)
+
(r − b)
dr
dr
(r − b)
+ (k2 + M 2 )(r − b)
(casca cilíndrica)
1
Ar =
(r − b)2
(21)
com domínio C0∞ (Σ1 ), num espaço de Hilbert
L2 ((r0 , ∞), (r − b)2 dr) (bolha)
L2 ((r0 , ∞), |r − b|dr) (casca cilíndrica).
(22)
Ambos os operadores são do tipo
d
d
1
p(r)
+ q(r)
Ar = −
w(r) dr
dr
num espaço de Hilbert L2 (Σ, w(r)dr).
Como r = r0 não é um ponto singular de
(23), as extensões auto-adjuntas são encontradas extendendo o domínio de A para funções
que satisfazem [12]
f (r0 ) cos α + p(r0 )f ′ (r0 ) sin α = 0
4
Condições de Contorno em
r = r0
(23)
com α ∈ R.
(24)
Como a equação de Klein-Gordon, nos espaços
Então, as condições de contorno no nosso
estudados no capítulo anterior, apresenta ape- caso são:
nas um ponto singular, r = +∞ para o lado
externo à casca e r = −∞ para o lado in- Lado Externo
terno (lembrando novamente que os pontos a e
b são singularidades apenas da métrica polar),
• Bolha
a condição de contorno em r = r0 nessária para
tornar a porção espacial auto-adjunta é muito
simples.
′
(r0 ) sin α = 0
Vejamos novamente o lado exterior às cascas, Rl,m (r0 ) cos α + (r0 − b)2 Rl,m
(25)
para o caso interior o tratamento é idêntico. A
parte radial da porção espacial da equação de
permitidas {ωn }n∈N . Temos assim um conjunto
completo de auto-funções {Fl,m,n }, de tal forma
que a solução geral da equação de Klein-Gordon
′
Rl,m (r0 ) cos α+(r0 −b)Rl,m
(r0 ) sin α = 0 (26) pode ser escrita como uma superposição de todos os modos permitidos
α ∈ R.
• Casca Cilíndrica
Ψ(~r, t) =
Lado Interno
∞ X
∞ X
l
X
Cl,m Fl,m,n (r)Ylm (θ, ϕ)e−iωn t ,
n=1 l=0 m=−l
(32)
• Bolha
nos restando apenas uma constante a determinar. Dessa forma, o pacote inicial é sufi′
Rm,k (r0 ) cos β + (r0 − a)2 Rm,k
(r0 ) sin β = 0,
ciente para determinar a dinâmica da partícula.
(27)
Note que a escolha de umas das possíveis
• Casca Cilíndrica
condições de contorno dadas na equação (25),
tornou nosso operador auto-adjunto e com isso
′
a evolução do sistema fica completamente deRm,k (r0 ) cos β + (r0 − a)Rm,k (r0 ) sin β = 0,
(28) terminada pelo pacote inicial.
β ∈ R.
6
5
Um Breve Exemplo
Tomemos uma partícula não massiva do lado
externo à bolha dada por (1). A equação de
Klein-Gordon nesse espaço pode ser resolvida
exatamente através da separação de variáveis
Ψ = R(r)Ylm (θ, ϕ)e−iωt . A parte radial da
equação é dada por
2
l(l + 1)
′
2
R +
R + ω −
R = 0 (29)
(r − b)
(r − b)2
′′
e tem como solução
Rl,m (r) = Al,m jl (ω(r − b)) + Bl,m ηl (ω(r − b)),
(30)
onde jl e ηl são as funções esféricas de Bessel
e Neumann, respectivamente. Como nenhuma
dessas funções são quadrado integráveis perto
de +∞, existe uma única combinação linear
dessas funções que é quadrado integrável em
+∞ [12], a menos de uma constante. Isso nos
elimina uma das constantes em (30) e nos dá
um conjunto de soluções quadrado integráveis
em +∞, {Fl,m }. Dessa forma
Rl,m = Cl,m Fl,m (ω(r − b)).
(31)
Escolhemos um parâmetro α qualquer,
que corresponde a condição de contorno
′ (r ) sin α = 0. Essa
Rl,m (r0 ) cos α+(r0 −b)2 Rl,m
0
condição obriga uma quantização das energias
Conclusões
Dois exemplos de espaços-tempo com defeitos
numa hipersuperfície foram testados quanticamente e concluiu-se que se mantém singular
quando testados por partículas quânticas. Esses
espaços tiveram que ser separados em duas
partes que não se comunicam e por isso a decomposição do espaço de Hilbert em um produto tensorial de dois espaços independentes foi
necessária. Devido a superfície onde se encontra o defeito (r − r0 = 0) não constituir uma
região singular da equação de Klein-Gordon,
as soluções perto desses defeitos são contínuas
e com isso as condições de contorno a fim de
tornar o operador A em (4) auto-adjunto são
extremamente simples. Dois parâmetros reais
são necessários e, como os dois lados da casca
são independentes, eles não se relacionam.
A generaliazação deste estudo, utilizando
campos de Maxwell e Dirac, pode ser feita sem
nenhuma alteração nos métodos adotados. Isto
será feito em trabalhos posteriores.
Referências
[1] Helliwell, T.M., Konkowski, D.A. and
Arndt, V. (2003). Gen. Relativ. Gravit.,
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[3] Horowitz, G.T. and Marolf, D. (1995).
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[5] Kay, B.S. and Studer, U.M. (1991). Comm.
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[6] Konkowski, D.A. and Helliwell, T.M.
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[7] Konkowski, D.A., Helliwell, T.M. and
Wieland, C.(2004). Class. Quantum
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[8] Letelier, P.S. (1987). Cass. Quantum
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[9] Letelier, P.S. and Wang, A. (1995). J. of
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[10] Letelier, P.S. and Wang, A. (1995). J.
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New York).
[13] Reed, M. and Simon, B. (1980). Functional
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[14] Reed, M. and Simon, B. (1975). Fourier
Analysis and Self-Adjointness, (Academic
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[15] Wald, R.M. (1980). J. of Math. Phys., 21,
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