FÍSICA – IME 2016
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FÍSICA – IME 2016 Um copo está sobre uma mesa com a boca voltada para cima. Um explosivo no estado sólido preenche completamente o copo, estando todo o sistema a 300 K. O copo e o explosivo são aquecidos. Nesse processo, o explosivo passa ao estado líquido, transbordando para fora do copo. Sabendo que a temperatura final do sistema é 400 K, determine: a) a temperatura de fusão do explosivo; b) o calor total fornecido ao explosivo. Dados: • volume transbordado do explosivo líquido: 10–6 m3; • coeficiente de dilatação volumétrica do explosivo no estado líquido: 10–4 K–1; • coeficiente de dilatação volumétrica do material do copo: 4 x 10–5 K–1; • volume inicial do interior do copo: 10–3 m3; • massa do explosivo: 1,6 kg; • calor específico do explosivo no estado sólido: 103 J.kg–1.K–1; • calor específico do explosivo no estado líquido: 103 J.kg–1.K–1; e • calor latente de fusão do explosivo: 105 J.kg–1. Consideração: • o coeficiente de dilatação volumétrica do explosivo no estado sólido é muito menor que o coeficiente de dilatação volumétrica do material do copo. 1 FÍSICA – IME 2016 Solução: a) Sendo Vf,copo o volume final do copo e Vf,exp o volume final do explosivo, temos: Vf,exp Vf,copo 10 6 Pela consideração do enunciado, podemos desprezar a dilatação volumétrica do explosivo no estado sólido. Seja TF a temperatura de fusão. Temos então; usando que V = V0[1 + T]: Vf,copo = 10–3[1 + 4.10–5.(400 – 300)] Vf,exp = 10–3[1 + 10–4.(400 – TF)] Desta maneira, segue que: 10 3 1 10 4. 400 10 3 10 10 4 400 TF 4 400 TF TF 10 TF 4.10 5.10 3 3 1 3 10 4.10 5.102 10 6 6 350K b) O calor total fornecido ao explosivo é Q = Qsólido + Qfusão + Qlíquido. 3 5 Qsólido mexp .c sólido . T 1,6.10 . 350 300 0,8.10 J 2 Qfusão mexp .Lfusão Qlíquido mexp .clíquido . T Logo, Q 3,2.105 J 1,6.105 J 1,6.103. 400 350 0,8.105 J FÍSICA – IME 2016 Questão 1. Os pulsos emitidos verticalmente por uma fonte sonora situada no fundo de uma piscina de profundidade d são refletidos pela face inferior de um cubo de madeira de aresta a que boia na água da piscina, acima da fonte sonora. Um sensor situado na mesma posição da fonte capta as reflexões dos pulsos emitidos pela fonte sonora. Se o intervalo de tempo entre a emissão e captação de um pulso é t, determine a massa específica da madeira. Dados: velocidade do som na água: vs = 1500 m/s; massa específica da água: a = 103 kg/m3; profundidade da piscina: d = 3,1 m; aresta do cubo: a = 0,2 m; aceleração da gravidade: g = 10 m/s2; t = 4 ms. Consideração: o cubo boia com sua base paralela à superfície da água da piscina. 3 FÍSICA – IME 2016 Solução: a a h d-h d Como a onda percorre o mesmo caminho duas vezes: Vs 1500 s t 2 (d h) 1500 t 2 (3,1 h) 4.10 3 h 0,1 m Dessa forma, somente 0,1 m do cubo de madeira está submerso. Como as únicas forças atuando no cubo são Peso e Empuxo: E=P a Vsubmerso g 103 a2 h 4 m m a3 Vcubo g 103 0,1 m 0,2 m 500 kg / m3 FÍSICA – IME 2016 Questão 2. Uma mola presa ao corpo A está distendida. Um fio passa por uma roldana e tem suas extremidades presas ao corpo A e ao corpo B, que realiza um movimento circular uniforme horizontal com raio R e velocidade angular ω. O corpo A encontra-se sobre uma mesa com coeficiente de atrito estático µ e na iminência do movimento no sentido de reduzir a deformação da mola. Determine o valor da deformação da mola. Dados: massa do corpo A: mA; massa do corpo B: mB; constante elástica da mola: k; aceleração da gravidade: g. Consideração: A massa mA é suficiente para garantir que o corpo A permaneça no plano horizontal da mesa. 5 FÍSICA – IME 2016 Solução Sabendo que o corpo B está em equilíbrio e analisando o seu sistema de força, temos: (I) Isolando o corpo B: Em x: Fx 0 T.sen mb . 2 .R Em y: Fy 0 T.cos mb .g Sabendo que o corpo A está em equilíbrio e analisando o seu sistema de força, temos: (II) Isolando o corpo A: 6 FÍSICA – IME 2016 Em x: Fx 0 Fat Em y: Fy 0 N Como Fat mA .g x T.sen .N mA .g kx mA .g Fat T.sen mA .g T.cos T.sen N mA .g T.sen T.sen kx T.cos k Do item (I): mA .g x x T.cos mB . 2 .R .mA .g mB .g k .mB . 2 .R k mB .g 7 FÍSICA – IME 2016 Questão 3. Um canhão movimenta-se com velocidade constante ao longo do eixo Y de um sistema de coordenadas e dispara continuamente um feixe de elétrons com vetor velocidade inicial constante e paralelo ao eixo X. Ao deixar o canhão, o feixe de elétrons passa a sofrer exclusivamente a ação do campo elétrico indicado nas duas situações das figuras. a) Na situação 1, sabendo que, em t = 0, o canhão está em y = y0, determine a equação da curva de y em função de x e t do feixe de elétrons que é observada momentaneamente no instante t, resultante do disparo contínuo de elétrons. b) Na situação 1, determine a máxima coordenada y da curva observada no instante t. c) Repita o item (a) para o campo elétrico em conformidade com a situação 2, determinando a equação da curva de x em função de y e t. 8 FÍSICA – IME 2016 Dados: módulo do campo elétrico do plano XY: E; massa do elétron: m; carga do elétron: -q; velocidade escalar do canhão e velocidade de saída do feixe: v. Solução: a) Considerando um elétron que foi lançado em um instante t’, temos que: Em x: x v t Em y: y y0 t' v t' i a t t' 2 ii 2 Devemos desparametrizar t’ para encontrar a equação da curva. x x e t t' . Substituindo estas últimas De (i), obtemos t ' t v v em (ii), obtemos: 9 FÍSICA – IME 2016 y y0 y ax 2 2v 2 v t x x v ax 2 2v 2 y0 vt. qE m contrário ao movimento em y) e então: qE 2 y .x x y0 vt 2mv 2 Como ma qE, segue que a b) Para maximizar, devemos tomar x qE mv 2 . 2mv 2 qE ymáx ymáx mv 2 2qE y0 mv 2 qE y0 xv (apontada no sentido mv 2 , obtendo: qE vt vt c) Como no item (a), considerando um elétron que foi lançado em um instante t’, temos: Em x: x v t t' Em y: y y0 vt ' a t t' 2 2 iii iv Novamente, devemos desparametrizar t’ para encontrar a equação da curva. y y0 . Substituindo esta última em (iii), De (iv), obtemos t ' v obtemos: 10 FÍSICA – IME 2016 x x y v t vt y0 y a t v v y y0 2 y0 2 a vt y y0 2 2v 2 qE está apontada no mesmo sentido do m movimento e com isso: Desta vez, a x vt y y0 qE vt y y0 2 2mv 2 Comentário: O enunciado afirma que o feixe de elétrons é disparado “com vetor velocidade inicial constante e paralelo ao eixo x”. Além disso, a inclinação do canhão, mostrada na figura, sugere que a velocidade resultante da saída dos elétrons seja horizontal. Desta forma, considera-se que os elétrons partem com velocidade nula em y. 11 FÍSICA – IME 2016 Questão 4. A figura acima mostra uma estrutura em equilíbrio, formada por nove barras AB, AC, AD, AE, BC, BE, CD, CE e DE conectadas por articulações e apoiadas nos pontos A, B e C. O apoio A impede as translações nas direções dos eixos x, y e z, enquanto o apoio B impede as translações nas direções x e y. No ponto C, há um cabo CF que só restringe a translação da estrutura na direção do eixo y. Todas as barras possuem material uniforme e homogêneo e peso desprezível. No ponto E há uma carga concentrada, paralela ao eixo z, de cima para baixo, de 60 kN. 12 FÍSICA – IME 2016 Determine, em kN: a) b) c) d) as componentes da reação do apoio B. as componentes da reação do apoio A. o módulo da força do cabo CF. os módulos das forças das barras BE, BC, AB e AC. Solução: Considere o sistema das 9 barras Dadas as restrições geométricas do problema, as forças externas que atuam no sistema são: FA Axi Ay j FB Bx i By j Fc Cy j FE Azk 60 k O sistema está em equilíbrio, portanto: Fext 0 Ax Bx 0 Ay By Cy Az 60 0 0 (Equações 1) Fazendo a soma de momentos em relação ao ponto A: Mext A 0 r A FA rB FB r C FC rE FE 0 13 FÍSICA – IME 2016 Mas, rA 0 rB 4k rc 4i 4k rE 2i 4j Com isso: i j k 0 0 0 Ax Ay Az 0 i j k i j k i j k 0 0 4 4 0 4 2 4 0 Bx By 0 Cy 0 –4By i+ 4Bx j 0 –4Cy i – 4Cy k Em x : – 4By – 4Cy – 240 Em y : 4B x – 120 Em z : – 4Cy 0 0 Cy 0 Bx By Cy 0 60 0 Do conjunto de equações 1 e 2 tem-se que: a) Bx = 30 kN By = –60 kN Bz = 0 kN c) Cx = 0 kN Cy = 0 kN Cz = 0 kN Logo, a força no cabo CF é nula. 14 60 –240k i – 120k j 30kN b) Ax = –30 kN Ay = 60 kN Az = 60 kN 0 0 0 Equações 2 0 FÍSICA – IME 2016 d) Pelo método dos nós: nó B: F 0 30i 60j Em x : 30 Em y : FBC i FBC Em z : FAB FAB 1 FBE 3 2 FBE 3 2 FBE 3 60 1 i 3 FAB k 2 j 3 2 k FBE 3 0 0 0 FBE 0 FAB 90kN Tração 60kN 60kN Compressão FBC 0kN nó A: F 0 30i 2 i 2 60j FAB k 2 k FAC 2 Temos que FAB Em z : 60 60k 60 5 i 5 FAD i 2 5 j FAE 5 0 60kN. 2 FAC 2 0 FAC 0kN 15 FÍSICA – IME 2016 Questão 5. Um circuito elétrico tem uma resistência de 2 Ω ligada entre seus terminais A e B. Essa resistência é usada para aquecer o Corpo I durante 21 minutos, conforme apresentado na Figura 1. Após ser aquecido, o Corpo I é colocado em contato com o Corpo II e a temperatura se estabiliza em 50o C, conforme apresentado na figura 2. Determine o valor da fonte de tensão U. 16 FÍSICA – IME 2016 Dados: massa do Corpo I: 0,4 kg; massa do Corpo II: 1,0 kg; calor específico dos Corpos I e II: 0,075 kcal/kg oC; temperatura inicial do Corpo I: 20o C; temperatura inicial do Corpo II: 30o C. Considerações: 1 cal = 4,2 J; não há perda de calor no sistema. Solução 1: Análise da troca de calor entre os dois corpos: QI + QII = 0 mI.cI.TI + mII.cII.TII = 0 0,4 0,075 (50 TI ) 1 0,075 (50 30) 0 50 TI 50 TI 100o C Energia fornecida pelo resistor para aquecer o corpo I de 20oC a 100ºC: Efornecida = mI.cI.T = 0,4 0,075 4,2 103 (100 - 20) Efornecida = 10080 J Potência dissipada no resistor: Efornecida 10080 J PI R i32 2 i32 21 60 s t i3 2 A 8 17 FÍSICA – IME 2016 Análise do circuito Simplificando o sistema acima: 3 5 U 9V 12 4 15 3 5 18 U 15 9V 3 7,5 FÍSICA – IME 2016 Método das malhas: i’3 = 2i3 = 4A U U 5ii 3i2 0 3(i2 3(i'3 i2 ) i'3 ) 9 0 7,5i'3 0 Resolvendo o sistema, achamos: U = 54 V 19 FÍSICA – IME 2016 Solução 2: Como encontrado no cálculo do calor anteriormente, i3 3 9V i1 5 2A 3 U i2 15 2A 15 Sabendo que os resistores estão em paralelo e possuem o mesmo valor numérico temos que i2 = i3 = 2 A. Sendo i1 = i2 + i3, logo i1 = 4 A 3 9V I i0 5 3 U 4A 15 Analisando a ddp: (15 2) – 9 + (i0 3) = 0 i0 = 7 A Como I = i0 + 4, logo I 11 A Concluindo: U – 3I – 3I0 = 0 U = 33 + 21 U = 54 V 20 2A 2A 15 FÍSICA – IME 2016 Questão 6. Seis blocos idênticos, identificados conforme a figura, encontramse interligados por um sistema de cordas e polias ideais, inicialmente em equilíbrio estático sob ação de uma força F, paralela ao plano de deslizamento do bloco II e sentido representado na figura. Considere que: o conjunto de polias de raios r e R são solidárias entre si; não existe deslizamento entre os cabos e as polias; e existe atrito entre os blocos I e II e entre os blocos II e IV com as suas respectivas superfícies de contato. Determine: a) o menor valor do módulo da força F para que o sistema permaneça em equilíbrio estático; b) o maior valor do módulo da força F para que o sistema permaneça em equilíbrio estático quando a válvula for aberta e o líquido totalmente escoado; c) o maior valor do módulo da força F para que não haja deslizamento entre os blocos I e II, admitindo que a válvula tenha sido aberta, o tanque esvaziado e a força F aumentado de modo que o sistema tenha entrado em movimento. 21 FÍSICA – IME 2016 Dados: aceleração da gravidade: g; massa específica de cada bloco: B; volume de cada bloco: VB; massa específica do líquido: L; coeficiente de atrito entre os blocos I e II: μ; coeficiente de atrito estático entre o bloco II e o solo: 1,5 μ; coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco II e o solo: 1,4 μ; coeficiente de atrito estático entre o bloco IV e a superfície com líquido: 0,5 μ; coeficiente de atrito estático entre o bloco IV e a superfície sem líquido: 0,85 μ; coeficiente de atrito dinâmico entre o bloco IV e a superfície sem liquido: 0,75 μ; ângulo entre a superfície de contato do bloco IV e a horizontal: . 22 FÍSICA – IME 2016 Solução: a) Para que a força F seja a menor possível: Fat 1,5 2mg 3mg, com m B VB A tração TI precisa ser a menor possível. Logo, no bloco IV: N = Pcos - Ecos N = mgcos - L VBgcos N B L g cos VB TIV Psen E sen FatIV TIV mgsen L VB gsen 0,5 (B L ) g cos VB TIV (B L ) VB g [sen 0,5 cos ] 23 FÍSICA – IME 2016 M f 0 TIII R TI r TV R TIV r TI (B L ) VB g [sen 0,5 cos ] mg R r Logo, substituindo em F: F = TI - Fat F (B L ) VB g[sen 0,5 cos ] B VB g b) Para que a força F seja a maior possível: Fat (1,5) 2mg 3mg, m B VB 24 R 3B VB g r FÍSICA – IME 2016 A tração TI precisa ser a máxima possível. Logo, no bloco IV: N mg cos TIV mgsen Fat TIV mgsen 0,85mgcos Analogamente ao item (a): TI TIV TV TI mg R R TIII r r R mgsen 0,85mgcos r Logo, substituindo em F: F TI Fat R F B VB g sen 0,85 cos 3 r 25 FÍSICA – IME 2016 c) FatI mg ma a g Para que a força F seja máxima: F – FatI – TI – FatII = m.a F m a m a 2 (1,4) mg TI F 4,8mg TI A roldana irá girar no sentido anti-horário devido ao movimento do bloco II. Assim, como a aceleração angular nas roldanas são iguais: a ' aceleração nos blocos III, V, VI a a' a R a' r R r a aceleração nos blocos I, II e IV. N mgcos TIV Fat Psen m a TIV m a mgsen (0,75) mgcos Bloco III: mg TIII m a ' TIII mg m a Blocos V/VI: -2mg + TV = 2ma’ TV 2mg 2ma 26 R r R r FÍSICA – IME 2016 Na roldana, considerando que Iroldana 0, tem-se que: TIII R TI r TIV r TV R R R TI mg mgsen (0,75)mgcos mg 3mg r r Substituindo em F: F 4,8mg mg mgsen 0,75mgcos mg R R2 3mg 2 r r R R2 F B VB g 5,8 sen 0,75 cos 3 2 r r Comentário: Para a resolução da questão, fez-se necessário considerar que a tração em um mesmo fio ideal é diferente em dois pontos distintos e que a massa da polia é desprezível e, consequentemente, seu momento de inércia é nulo. 27 FÍSICA – IME 2016 Questão 7. Uma fenda é iluminada com luz monocromática cujo comprimento de onda é igual a 510 nm. Em um grande anteparo, capaz de refletir toda a luz que atravessa a fenda, são observados apenas cinco mínimos de intensidade de cada lado do máximo central. Sabendo 3 que um dos mínimos encontra-se em , tal que sen() = 4 e cos() = √7 , 4 28 determine a largura da fenda. FÍSICA – IME 2016 Solução: Os mínimos de difração encontram-se nos ângulos n sen , n 1, 2, 3,... a Como possui exatamente 5 mínimos, deve existir solução para n = 5 e não existir para n = 6. Desta forma: sen sen 5 a 6 a 1 a 5 1 a 6 Logo 2550nm a 3060 nm . 3 : 4 Existe um mínimo em sen Se for o 1º mínimo: sen 3 4 510 a a 680 nm 29 FÍSICA – IME 2016 Se for o 2º mínimo: sen 3 4 2 510 a a 1360 nm Se for o 3º mínimo: sen 3 4 3 510 a a 2040 nm Se for o 4º mínimo: sen 3 4 4 510 a a 2720 nm Se for o 5º mínimo: sen 3 4 5 510 a a 3400 nm O único valor válido é a = 2720 nm correspondente ao 4º mínimo. 30 FÍSICA – IME 2016 Questão 8. O circuito magnético apresentado na Figura 1 é constituído pelas bobinas B1 e B2, formadas por 100 e 10 espiras, respectivamente, e por um material ferromagnético que possui a curva de magnetização apresentada na Figura 2. Considerando que seja aplicada no lado de B1 a corrente i1(t) apresentada na Figura 3, desenhe: a) o gráfico do fluxo magnético (t) indicado na Figura 1; b) o gráfico da tensão induzida e2(t) indicada na Figura 1. 31 FÍSICA – IME 2016 Consideração: todo o fluxo magnético criado fica confinado ao material ferromagnético. Solução: a) A força magnetomotriz é dada por: Fmm= Ni em Ampère espira. De 0 a 2s e 8 a 10s, tem-se i1 = 0 Fmm= 0 = 0 De 2 a 4s tem-se: i1 varia linearmente com t e varia linearmente com Fmm até a saturação que ocorre quando |Fmm| = 50 A.esp, ou seja 100 × i = 50 i = 0,5 A Logo para i1 > 0,5 A = constante = 10 Wb Ou seja, o gráfico é da forma: 32 FÍSICA – IME 2016 33 FÍSICA – IME 2016 b) Pela regra da mão direita e o sentido do enrolamento, o sinal de e2 (t), conforme a orientação da seta desenhada no enunciado, é o mesmo da variação do fluxo magnético. Logo: e2 t 34 N2 d . dt FÍSICA – IME 2016 Questão 9. A figura acima mostra uma fonte luminosa e uma lente convergente, presas a molas idênticas, de massas desprezíveis e relaxadas. A fonte e a lente são colocadas em contato, provocando a mesma elongação nas três molas. Em seguida são soltas e movimentam-se sem atrito. Do instante inicial até o instante em que a fonte e a lente se encontram novamente, determine o tempo total em que a imagem formada é virtual. Dados: constante elástica das molas: k = 20 g/s2; massa da fonte luminosa + suporte: 20 g; massa da lente: 10 g; elongação das molas no instante do contato: 10 cm; distância focal da lente: 26,25 cm. 35 FÍSICA – IME 2016 Solução y p(t) x0 x O Para a fonte luminosa, temos: i) Frequência angular: k mF F 20 20 1 rad/s ii) Equação da posição: xF x0 10.cos F .t xF x0 10.cos t Para a lente, temos : i) Frequência angular: 36 x0 FÍSICA – IME 2016 k eq L mL , como as molas estão em paralelo, temos que k eq = 2k. Logo: 2k mL L 40 10 2 rad/s ii) Equação da posição: Como em t = 0 cada mola estará distendida de 10 cm, a distância entre a fonte e a lente quando as molas estão relaxadas é 20 cm. xL x0 20 10.cos L .t xL x0 Como p ' 20 fp p f 10 cos 2t ,f 0ep 0, para que a imagem seja virtual: p’ < 0 p < f xL – xF < f Desta forma, temos que: 20 10cos(2t) 10cos(t) 26,25 Como cos(2t) 2cos (t) 1, segue que: 2 10 2cos2 (t) 1 20 cos2 (t) cos(t) 10 cos(t) 10 cos(t) 3,75 3 ou cos(t) 4 1 4 6,25 0 0 37 FÍSICA – IME 2016 O período da fonte é: 2 TF 2 s F TF O período da lente é: 2 TL s L TL Dessa forma, o novo encontro ocorrerá no tempo igual a mmc(TF, TL) = 2 s. Então, o intervalo de tempo pedido está entre 0 e 2 s, representado a seguir no círculo trigonométrico: Com isso o tempo total pedido é: t 2 2 Como 38 arccos 3 e 4 arccos 1 , temos que: 4 FÍSICA – IME 2016 t 2 3 4 2arccos t 2 t 2 arccos 2 2arccos arccos 3 4 3 4 arccos 1 4 2arccos 1 4 1 s 4 COMENTÁRIOS Parabenizamos a banca pelo alto nível cobrado no vestibular deste ano. Percebemos a ausência de determinados assuntos que normalmente figuram na prova do IME, tais como Termodinâmica, Conservação da Quantidade de Movimento e Energia. As questões mais complexas foram as de números 4, 5 e 7, exigindo do candidato um bom conhecimento físico e algébrico para resolvê-las. As questões 1, 2, 3 e 6 foram as mais simples da prova. Nelas os candidatos devem obter pontuações elevadas. Por fim, vale mencionar que a questão 9 envolve conceitos de força magnetomotriz geralmente não abordados no ensino médio. EQUIPE DE FÍSICA: Prof. Antônio Carlos Bonfadini Prof. Bruno Suarez Pompeo Prof. Marcos Grochowski Mattana Prof. Rafael Madeira Estevam Barbosa 39 FÍSICA – IME 2016 40
