GEO046 Geofísica Ondas eletromagnéticas Ondas - CPGG-UFBA

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GEO046
Geofísica
Ondas eletromagnéticas
A teoria eletromagnética representa a extensão e o
entendimento de que os fenômenos elétricos e
magnéticos são interligados.
Além das fontes naturais, o campo EM é gerado,
controlado e usado num intervalo largo em freqüência.
Da mais alta para a mais baixa, são a radiação gama,
raio X, luz ultravioleta, luz visível, infravermelho (calor
irradiado), microonda, telefonia celular, comunicação em
UHF, televisão/FM (VHF), rádio difusão de longo e curto
alcance, VLF (“Very low frequency”).
Aula no 10
MÉTODOS ELETROMAGNÉTICOS
Equações de Maxwell
Espectro e fontes de energia
June 04
Hédison K. Sato
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Ondas eletromagnéticas
Equações de Maxwell
As ondas EM podem ser irradiadas em
Alguns métodos geofísicos usam ondas EM:
diversas direções que é o caso das TV, lâmpadas, etc.
concentradas através de antenas parabólicas
literalmente entubadas como ocorre nas fibras óticas.
radiométricos (radiação gama),
eletromagnéticos
⌧UHF e VHF no método GPR (“ground penetrating radar”).
⌧VLF e ULF nos eletromagnéticos clássicos.
Espectro das ondas EM
10-5
105
107
109
TV(7-13)
Celular
3×101
Freqüência
(Hz)
3×105
TV(2-6) Ondas Ondas
Raio Ultra Luz
Infra
X violeta visível vermelho Microondas FM curtas longas VLF ULF ELF
3×109
3×1021
Raio
gama
10-7
Denotando
Comprimento de onda (cm)
10-3
10-1
101
103
3×1013
10-9
3×1017
10-11
4
o campo elétrico por e( x, y, z , t ),
o campo magnético por h( x, y, z , t ),
o vetor densidade do fluxo magnético b( x, y, z , t ),
o vetor deslocamen to elétrico por d( x, y, z , t ), e
o vetor densidade de corrente elétrica j( x, y, z , t ).
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Equações de Maxwell
Equações de Maxwell
As evidências experimentais demonstram que
∇×e = −
∂b
∂t
∂b
∂t
∇×h = j+
j+
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Na forma integral, as equações de Maxwell ficam
∂d
∂t
∂⎛
⎞
∫ e ⋅ dl = − ∂t ⎜⎜⎝ ∫ b ⋅ ds ⎟⎟⎠
C
∂d
∂t
S
curva C
∂⎛
C
S
S
curva C
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Equações de Maxwell
Das equações anteriores e usando o princípio da
conservaçã o de carga elétrica,
∂q
∇⋅ j = −
∂t
pode - se demonstrar que
∇ ⋅ d = q e ∇ ⋅ b = 0,
onde q é a densidade de carga elétrica.
⎞
∫ h ⋅ dl = ∫ j ⋅ ds + ∂t ⎜⎜⎝ ∫ d ⋅ ds ⎟⎟⎠
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Relações constitutivas
Para meios lineares e isotrópicos, tem-se
b = µh
onde µ é a permeabilidade magnética, (µ 0 = 4π × 10 −7 H m )
d = εe,
sendo ε a permissi vidade elétrica, (ε 0 = 8,85 × 10 −12 F m ) e
j = σe
sendo σ a condutividade elétrica.
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Equações de onda
10
Equações de onda
Tomando as equações de Maxwell
Invertendo a ordem das diferenciações, e supondo que o
meio é homogêneo,
∂
∂
∇ × ∇ × e + µ (∇ × h ) = 0 e ∇ × ∇ × h − ε (∇ × e ) − σ∇ × e = 0.
∂t
∂t
Relembrando as equações de Maxwell
∂b
∂d
∇×e = −
e ∇×h = j+
,
∂t
∂t
∂
∂d
∇ × ∇ × e + µ ⎛⎜ j + ⎞⎟ = 0 e
∂t ⎝ ∂t ⎠
∂ ∂b
∂b
∇ × ∇ × h + ε ⎛⎜ ⎟⎞ + σ ⎛⎜ ⎞⎟ = 0.
∂t ⎝ ∂t ⎠
⎝ ∂t ⎠
∂d
∂b
e ∇×h = j+
∂t
∂t
vamos aplicar o rotacional aos dois lados da equação.
Além disso, supondo as relações constitutivas :
b = µh, d = εe e j = σe,
∂ (εe )
∂ ( µh )
=0
= 0 e ∇ × ∇ × h − ∇ × (σe ) − ∇ ×
∇×∇×e + ∇×
∂t
∂t
∇×e = −
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Equações de onda
Repetindo o uso das relações constitutivas,
∂ (εe ) ⎞
∂
∇ × ∇ × e + µ ⎛⎜ σe +
⎟=0 e
∂t ⎝
∂t ⎠
∂ ( µh )
∂ ⎛ ∂ ( µh ) ⎞
= 0.
∇×∇×h + ε ⎜
⎟ +σ
∂t
∂t ⎝ ∂t ⎠
Rearrumando os termos e ordens de diferenciação
∂e
∂e
=0 e
+ µσ
2
∂t
∂t
∂h
∂ 2h
=0
∇ × ∇ × h + µε 2 + µσ
∂t
∂t
∇ × ∇ × e + µε
2
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Equações de onda
Utilizando a identidade vetorial, válido para coordenadas
cartesianas:
∇ × ∇ × a = ∇∇ ⋅ a − ∇ 2 a
e o fato que ∇ ⋅ e e ∇ ⋅ h se anulam em regiões homogêneas
com condutividades finitas, pode - se escrever que
∂ 2e
∂e
− µσ
=0 e
2
∂t
∂t
∂ 2h
∂h
∇ 2h − µε 2 − µσ
= 0.
∂t
∂t
∇ 2e − µε
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Equações de onda
Equações de onda (exemplo)
Vamos tomar o caso 1-D com um componente
Em meios não condutores (no vácuo), as equações
reduzem-se a:
∂ 2 ei
∂ 2 ei
−
µε
= 0.
∂x 2
∂t 2
∂e
∂h
= 0 e ∇ 2h − µε 2 = 0.
2
∂t
∂t
que são equações de onda com velocidade de fase
2
∇ 2e − µε
v=
1
µε
14
2
Será que ei ( x, t ) = f ( x − vt ) satisfaz a equação?
Vejamos :
∂ei
∂2 e
= f ′( x − vt ); assim, 2i = f ′′( x − vt ). Por outro lado,
∂x
∂x
∂2 e
∂ei
= −v f ′( x − vt ); assim, 2 i = v 2 f ′′( x − vt ).
∂t
∂t
Logo, se v = 1 µε , fica demonstrado.
. Se considerar mos o vácuo, µ 0 = 4π × 10 −7 H m e
ε 0 = 8,85 ×10 −12 F m . Assim, ν = 299863 km/s .
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Equações de onda
Em meios condutores, naqueles em que
µεω 2 << µσω
as equações de onda reduzem - se às equações de difusão
r
r
r
∂e
∂h
2r
2
∇ e − µσ
= 0 e ∇ h − µσ
= 0.
∂t
∂t
Na versão 1-D (dependência com z), a solução para o
campo elétrico pode ser escrita como
r r
e = e0+ exp(− βz ) cos(ωt − αt )
onde α = β =
ωµσ
2
.
16
Equações de onda
r r
r r
e = e0+ e −iαz e − βz e iωt e h = h0+ e −iαz e − βz e iωt ,
como β é positivo, e-βz diminui à medida que z aumenta e
representa uma atenuação. A atenuação é de 1/e a cada
intervalo
2
1
δ=
(" skin depth" ).
= 503
ωµσ
fσ
além disso, como
e −iαz = cos(αz ) − i sen(αz ) e e iωt = cos(ωt ) + i sen (ωt ),
a onda varia senoidalmente com a profundidade z e com
o tempo t.
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Skin depth
0
18
Skin depth
2 profundidade em "skin depth"
4
1E+6
Condutividade
1
0.001 S/m
1E+5
0,010 S/m
"skin depth" (m)
amplitude relativa
0,5
ωΤ=0
ωΤ=(1/3) π
ωΤ=(2/3) π
ωΤ=π
ωΤ=(4/3) π
ωΤ=(5/3) π
0
-0,5
0,100 S/m
1E+4
1,000 S/m
1E+3
1E+2
1E+1
1E+0
0,01
-1
0,1
1
10
100
Freqüência (Hz)
1000
10000
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Espectro EM
EHF (Extremely High Frequency: 30-300 GHz)
SHF (Super High Frequency: 3-30 GHz)
UHF (Ultra High Frequency : 0.3-3 GHz)
VHF (Very High Frequency : 30-300 MHz)
HF (High Frequency: 3-30 MHz)
MF (Medium Frequency: 0.3-3 MHz)
LF (Low Frequency: 30-300 kHz)
VLF (Very Low Frequency : 3-30 kHz)
ELF (Extra Low Frequency : 3-3000 Hz)
ULF (Ultra Low Frequency : < 3 Hz)
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Espectro útil
A profundidade de exploração depende de alguns
fatores e, entre eles, a freqüência é fundamental.
Quanto menor a freqüência, maior a penetração da
onda EM.
Na geofísica, tem-se aplicado os intervalos:
UHF, VHF
⌧Ground Penetrating Radar
VLF (15-25 KHz na prática), ELF, ULF.
⌧Métodos geofísicos eletromagnéticos clássicos.
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Fontes de energia
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Fontes de energia
Naturais:
Artificiais elétricas
Para freqüências acima de 1 Hz, predominam as ondas
irradiadas a partir dos relâmpagos que ocorrem durante as
tempestades (concentradas na região equatorial), que se
propagam a grandes distâncias.
Para freqüências abaixo de 1 Hz, predominam as ondas
irradiadas a partir do sistema de correntes elétricas que se
desenvolvem na magnetosfera terrestre, subordinada à
atividade solar.
Para altas freqüências (VHF-UHF), dipolos elétricos de 1m.
Para baixas freqüências (VLF)
Antena Jim Creek
Estação NLK
Próximo a
Seattle
Artificiais magnéticas
Para baixas freqüências, bobinas para a geração de campos
magnéticos primários, cujas áreas podem variar de alguns cm2 a
milhares de m2 (retângulo com 100m x 400m), ou mais.
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Campos primário e secundário
Conceitos típicos da geofísica.
Campo primário é o campo EM devido à fonte geradora.
Na realidade não existem ondas planas mas, na prática,
elas são consideradas quando a fonte encontra-se
distante.
O campo EM secundário é aquele gerado por um corpo
condutor quando este está sob a ação de um campo
primário.
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Campos primário e secundário
De certa forma, a luz refletida por um espelho é um
campo secundário.
campo
primário
fonte
campo
primário
observador
campo
secundário
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Campos primário e secundário
A imagem “fantasma” no receptor de TV é uma reflexão
indesejada em obstáculos (edifícios)
antena
de TV
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Campos primário e secundário
Corpo condutor em um ambiente resistivo
Campo magnético, primário,
devido a bobina de eixo vertical
campo
primário
superfície
campo
secundário
campo
primário
ie
fíc
er
p
su
corpo condutor
campo
secundário
correntes elétricas
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Referências:
McNeill, J. D. e Labson, V. F., 1991, Geological mapping
using VLF radio fields. In: Nabighian, M. N.,
Electromagnetic methods in applied geophysics, V.2,
Theory, p. 521-640.
Telford, W. M., Geldart, L. P., Sheriff, R. E. e Keys, D.
A., 1978, Applied geophysics. Cambridge University
Press.
Ward, S. H. e Hohmann, G. W., 1987, Electromagnetic
theory for geophysical applications. In: Nabighian, M.
N., Electromagnetic methods in applied geophysics, V.1,
Theory, p. 131-311.