Análise Numérica via Método de Diferenças Finitas da

Análise Numérica via Método de Diferenças Finitas da Equação da
Onda com Termo de Mémória na Fronteira
Antenor Noronha Silva,
Marcus Pinto da Costa da Rocha
Programa de Pós-Graduação em Matemática e Estatı́stica, CCEN, UFPA,
Campus do Guamá, 66075-110, Belém, PA
E-mail: antenor [email protected],
[email protected],
Valcir João da Cunha Farias
Resumo
O objetivo principal deste trabalho é utilizar o método
de diferenças finitas para estudar a solução numérica
da equação da onda com termo de memória na fronteira
dado pelo seguinte problema
u(0, t) = 0,
Z t
g(t − s)ux (1, s)ds = 0, ∀t > 0
u(1, t) +
1
(1)
0.8
0.6
0.4
(2)
0
u(x, 0) = u0 (x),
Soluçao Numerica de u(x,t)
0.2
u(x,t)
utt − α2 uxx = 0 em (0, 1) × (0, ∞)
ou seja, a energia do sistema decai para zero quando quando
o tempo aumenta indefinidamente.
Simulação Numérica para t = 80 segundos sem o
Termo Memória na Fronteira
ut (x, 0) = u1 (x) em (0, 1) (3)
A integral em (2) é uma condição na fronteira que inclui
o efeito memória o qual é responsável pela dissipação de
energia do sistema. Denotamos por u a amplitude da onda
e por g a função de relaxamento.
Considere um número inteiro m > 0. Sejam ∆t > 0 o
1
tamanho de passo associado à variável temporal e ∆x= m
o tamanho de passo associado à variável espacial. Dessa
forma, definimos uma malha de pontos (xi , tj ) dados por
0
−0.2
−0.4
−0.6
1
0.8
0.6
0.4
0.2
−0.8
−1
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
espaço, (x)
tempo, (t)
Figura 1: Solução Numérica da Equação da Onda sem
o Termo de Memória na Fronteira
Soluçao Numerica de u(x,t)
1
xi = i∆x,
i = 0, 1, ..., m
tj = j∆t,
j = 0, 1, ...
e
0.8
0.6
0.4
0.2
u(x,t)
A discretização do problema fica
0
−0.2
j
j
j
u
− 2ui + ui−1
uj+1
− 2uji + uj−1
i
i
− α2 i+1
=0
∆t2
∆x2
−0.4
(4)
−0.6
140
u0i = u0 (xi ), i = 1, 2, ..., m − 1
uj0 = 0,
ujm = −∆t
j
X
j = 1, 2, ...
g[(j − k)∆t]
k=0
ujm − ujm−1
∆x
1
0.8
0.6
0.4
0.2
−0.8
120
100
(5)
(6)
(7)
Resultados obtidos
Na figura 1 temos o modelo sem o termo memória e na
figura 2 temos um modelo com o termo de memória. Dos
resultados obtidos se pôde observar que o termo memória
provoca a dissipação de energia do sistema à medida em que
tempo aumenta, e com isso o sistema tende a se estabilizar,
80
60
40
20
espaço, (x)
tempo, (t)
Figura 2: Solução Numérica da Equação da Onda com
Termo de Memória na Fronteira
Referências
[1] CUNHA, M. Cristina C. Métodos Numéricos. Editora
UNICAMP, 2003.
[2] SANTOS, M.L. Asymptotic Behavior of Solutions
to Wave Equations With a Memory Condition at the
Boundary. Electronic Journal of Differential Equations, vol. 2001(2001),No 73,pp. 1-11. ISSN:1072-6691.