Prova do Nível 2 (resolvida)

Prova do Nível 2
(resolvida)
1ª fase
05 de novembro de 2011
Instruções para realização da prova
1. Verifique se este caderno contém 30 questões e/ou qualquer tipo de defeito. Se houver algum
problema, avise imediatamente o fiscal.
2. Para cada questão há apenas uma resposta correta.
3. Transcreva para a folha de respostas (gabarito) o resultado que julgar correto em cada questão,
preenchendo o quadrado correspondente, à caneta com tinta azul ou preta.
4. Não haverá substituição de folha de resposta (gabarito) por erro de preenchimento provocado pelo
participante.
5. Não serão permitidas consultas, empréstimos e comunicação entre os candidatos, bem como o uso de
apontamentos e equipamentos eletrônicos ou não-eletrônicos, inclusive relógio. O não cumprimento
dessas exigências implicará a exclusão do participante desse concurso.
6. Utilize como rascunho o próprio caderno de questões.
7. No tempo destinado a essa prova (3 horas), está incluída a identificação do participante e o
preenchimento da folha de respostas (gabarito).
8. Ao término dessa prova, levante o braço e aguarde o atendimento do fiscal. Entregue ao fiscal somente
a folha de respostas (gabarito).
1
1. Calculando 33.23  33  23 obtemos:
a) 0
b) 73
c) 181
d) 217
e) 730
Resolução
33.23  33  23  27.8  27  8  216  27  8  181
 2 2 1  2
2. O resultado do cálculo     . é:
 3  5  4
7
30
17
b)
30
31
c)
90
1
d)
45
11
e)
90
Resolução
a)
 2 2 1  2  4 1  1  20  9  1 11 1 11
    .     .  
.  . 
 3  5  4  9 5  2  45  2 45 2 90
3. Qual é o algarismo das unidades da potência 312?
a)
b)
c)
d)
e)
1
3
5
7
9
Resolução
31  3 

32  9 

3 3  27 

3 4  81 
3 5  243
36  729
12
4
O algarismo das unidades de 3 é igual ao algarismo das unidades de 3 , ou seja, 1.
2
4. Considere os números 548, 712 e 840. Quais desses números podem ser escritos como um produto de
quatro números naturais consecutivos?
a) apenas o número 840
b) apenas o número 548
c) apenas o número 712
d) os números 548 e 712
e) os números 548 e 840
Resolução
840 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 7 = 4 . 5 . 6 . 7
5. Dobrando-se a planificação abaixo, reconstruímos o cubo que a originou.
A letra que fica na face oposta a que tem o X é:
a)
b)
c)
d)
e)
B
C
K
O
V
6. O terreno que Joaquim adquiriu, tempos atrás, tem a forma do polígono ABCD e as medidas estão em
metros. O terreno triangular ao lado pertence à prefeitura do município, o qual está destinado a ser uma
praça de lazer. Para evitar que esse terreno ao lado continuasse servindo de aterro de lixo, que era o que a
maior parte da vizinhança fazia, a Prefeitura cercou-o. Como o projeto da área de lazer acabou não se
concretizando, a Prefeitura fez uma proposta de venda desse terreno a Joaquim.
3
Sabendo que a área dos dois terrenos juntos é de 2 400 m2 e o valor por metro quadrado sairia R$ 85,00,
quanto Joaquim deve pagar pelo terreno da Prefeitura?
a) R$ 640,00
b) R$ 1.700,00
c) R$ 54.400,00
d) R$ 204.000,00
e) R$ 640.000,00
Resolução
2x . 3x = 6x2 = 2400
x2 = 400
x = 20
AT 
 3x  ( x  8) .2x  60  28  .40  16.40  640
2
2
640 . 85 = 54.400,00
7. Dois cometas são vistos da Terra: um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos. Se em 1920 ambos
apareceram juntos, quantas novas coincidências irão ocorrer até o ano 2160?
a) 3 coincidências
b) 4 coincidências
c) 5 coincidências
d) 6 coincidências
e) 7 coincidências
Resolução
MMC(20, 30) = 60
1920 + 60 = 1980
1980 + 60 = 2040
2040 + 60 = 2100
2100 + 60 = 2160
8. Os Jogos Pan-Americanos são um evento multiesportivo, que tem como base os Jogos Olímpicos.
Funcionam como uma versão das Olimpíadas modernas, nos quais participam os países do continente
americano. Nesse ano, os Jogos aconteceram em Guadalajara no México e até 28/10/2011 o Brasil tinha se
mantido na 2ª posição graças ao número de medalhas de ouro, que é a condição de colocação nos Jogos. A
seguir, temos um “RAIO-X” de medalhas do Brasil até aquela data.
MEDALHAS DE OURO
4
MEDALHAS DE PRATA
MEDALHAS DE BRONZE
Fonte: http://pan.uol.com.br/2011/quadro-de-medalhas
A partir desses gráficos concluímos que:
a)
b)
c)
d)
e)
o 1º colocado nos Jogos deve necessariamente ter conquistado mais de 112 medalhas no total.
o 1º colocado nos Jogos deve necessariamente ter conquistado mais de 39 medalhas de ouro.
o 3º colocado nos Jogos deve necessariamente ter conquistado 39 medalhas.
o 3º colocado nos Jogos deve necessariamente ter conquistado menos de 112 medalhas no total.
o Brasil conquistou 112 medalhas até o dia 27 de outubro.
9. Podemos escrever
33856
, como:
10000
a) 1,84
b) 1,38
c) 1,56
d) 5,74
e) 2,74
Resolução
33856
26 .232 23 .23 184



 1,84
10000
10 4
10 2
100
10. Medidas de tempo - Nível de dificuldade: 2 - Renato
Qual é o tempo necessário para que o ponteiro das horas de um relógio faça um giro de 10°?
a) 10 minutos
b) 20 minutos
c) 30 minutos
5
d) 40 minutos
e) 50 minutos
Resolução
60 min ---- 30º
x min --- 10º
30x = 600
x = 20 min
11. Observe as seguintes afirmações:
I.
17
 2,8
6
II.
2,52 
III.
2
0,9   
6
25
10
2
Podemos afirmar corretamente que:
a)
b)
c)
d)
e)
apenas a afirmação II é falsa.
a afirmação III é verdadeira.
duas afirmações são verdadeiras.
as afirmações I e II são falsas.
a afirmação I é falsa e a II é verdadeira.
12. A divisão entre dois números inteiros pode ser um número decimal exato ou um número decimal infinito,
nesse, o decimal infinito, há um algarismo ou um grupo de algarismos que se repete periódica e
indefinidamente na representação decimal. É possível também, representar um número decimal em
frações, indiferente se o número a ser representado em forma de fração for um número decimal exato, ou
se o número for uma dízima periódica. Sendo assim, qual alternativa abaixo, corresponde a representação
em forma de fração, da dizima periódica 0,5722222...?
525
900
515
b)
999
515
c)
900
525
d)
999
525
e)
990
a)
6
13. A expressão
a)
2
3
b)
2
2
é equivalente à:
3 2
62 2
7
4
d)
5
c)
e) 2 2
Resolução
2
3 2 62 2 62 2
.


92
7
3 2 3 2
14. Uma empresa que dispõe de carros-pipa de 8000 l de capacidade foi chamada para encher um reservatório
subterrâneo de água de um edifício. Esse reservatório, em forma de bloco retangular, tem dimensões 3 m,
5 m e 1 m. Para a realização dessa tarefa, podemos concluir que:
a) 2 carros-pipa ultrapassam em 1000 litros a capacidade do reservatório.
b) 1 carro-pipa de água tem capacidade maior do que a capacidade do reservatório.
c) 2 carros-pipa de água são insuficientes para encher totalmente o reservatório.
d) 1 carro-pipa e meio enchem totalmente o reservatório.
e) 1 carro-pipa de água é suficiente para encher totalmente o reservatório sem sobrar água.
Resolução
3 . 5 . 1 = 15 m3 = 15000 dm3 = 15000l
15. Karina fez o desenho representado na figura 1 em uma folha de cartolina. Em seguida, recortou-o, fez as
dobras adequadas e, usando fita-crepe, montou a caixa representada na figura 2 (nem todos os desenhos
das faces da caixa estão representados na figura).
7
O desenho de uma das faces quadradas da caixa não foi representado na figura 2. Marque a alternativa
que contém o desenho que complementa corretamente a face branca.
Resolução
Item c
16. Uma sala retangular é dividida em quatro outras por duas paredes retilíneas, paralelas aos lados. Três das
salas assim obtidas têm suas áreas, em metros quadrados, indicadas na figura a seguir.
Qual a área, em metros quadrados, da sala A?
a)
b)
c)
d)
e)
10
15
18
20
21
Resolução
xy  6  x  2, y  3
x  1, y  6
ou

x  1, z  14
xz  14  x  2,z  7
tz  35
A  yt
t 5
A  3.5  15
t  2,5
A  6.2,5  15
8
17. Observe a seqüência de figuras:
Continuando com esse padrão, quantos quadradinhos haverá na figura 8?
a) 56
b) 72
c) 80
d) 92
e) 100
Resolução
9 x 8 = 72
18. Pedro ao entrar na garagem de sua casa não observou que o pneu traseiro de sua bicicleta estava todo
cheio de barro. Quando sua mãe lhe chamou atenção para parar, o pneu traseiro já tinha dado 4 voltas e
meia. Se o pneu tem 80 cm de diâmetro, aproximadamente quantos metros de rastro de barro ficaram
marcados no chão da garagem?
a) 2,50 m
b) 11,30 m
c) 5.60 m
d) 12,8 m
e) 22,6 m
Resolução
d = 80 cm  r = 40 cm
c = 2.40 = 80 = 80.3,14 = 251,2
4,5 . 251,20 = 1130,4 cm = 11,30 m
19. Uma torneira está com defeito e, mesmo fechada, pinga. Durante meia hora a torneira perde cerca 1,5 dm3
de água. Se fosse possível colocar esses “pingos” em um galão de 20 litros, durante 30 dias, quantos galões
conseguiríamos encher?
a) 52 galões
b) 72 galões
c) 21 galões
d) 15 galões
e) 108 galões
Resolução
30 min  1,5 dm3 = 1,5l
24h  24 . 2 . 1,5l = 72l
30 . 72 = 2160l
2160 l : 20 = 108 galões
9
20. Em um salão há 100 pessoas, das quais 99% são homens. Quantos homens devem sair desse salão para que
a quantidade de homens passe a ser 98% do total de pessoas?
a) 2 homens
b) 10 homens
c) 12 homens
d) 25 homens
e) 50 homens
Resolução
99  x
 98%
( 99  x)  1
99  x
98

100  x 100
9900  100x  9800  98x
2x  100
x  50
21. Um carro a uma velocidade média de 80 km/h viaja em trajetória retilínea passando ao longo do percurso
por uma placa A com inscrição KM 70 às 10 h. Supondo que esse carro mantenha a mesma velocidade
média ao longo do percurso, a que horas o carro passará pela placa B com inscrição KM 190?
a) 11h
b) 11h 30min
c) 12h
d) 12h 30min
e) 13h
Resolução
190km  70km  120km
120km
 1,5h  1h30 min
80km/h
10h  1h30 min  11h30 min
22. No pé de uma torre de 18 metros de altura há um buraco de cobra e no cume da torre está empoleirada
uma águia. A águia vê a cobra que está a uma distância de seu buraco que é igual ao triplo da altura da
torre, quando a cobra começa a se rastejar para o seu buraco, a águia arremete-se sobre ela. A quantos
metros do buraco da cobra os dois, a águia e a cobra vão se encontrar, se ambos percorrem distâncias
iguais em seus deslocamentos?
a)
b)
c)
d)
e)
12 metros
15 metros
20 metros
24 metros
30 metros
10
Resolução
x 2  18 2  ( 54  x) 2
x 2  324  2916  108x  x 2
108x  3240
x  30
Assim, 54  x  54  30  24
23. Números amigos- Nível de dificuldade: 3 – Renato
Como diria o poeta:
Se a soma dos divisores de um número (excetuando ele próprio) for igual a outro número e vice-versa,
diz-se que eles são números amigos. A soma dos divisores de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, e 110)
é igual a 284. Os divisores de 284 (1, 2, 4, 71 e 142) quando somados, resultam 220.
Os pitagóricos também encontraram números que eram amigos de si mesmo, como 6 (igual a soma de
seus divisores próprios 1, 2 e 3) e 28 (cujos
divisores próprios são 1, 2, 4, 7 e 14). E Euclides descobriu que os quatro primeiros números perfeitos são
gerados pela fórmula: 2n−1(2n − 1), onde 2n – 1 é um número primo. Assim, o 4º número perfeito obtido é:
a) 496
b) 8.128
c) 33.550.336
d) 8.589.869.056
e) 137.438.691.328
Resolução
27 1 (27  1)  26 .127  64.127  8128
11
24. No esquema a seguir cada bloco deve receber um número. Nas camadas acima da base, o número
colocado em cada bloco retangular é a soma dos números dos blocos nos quais ele se apoia e que estão
imediatamente abaixo dele.
Os valores que devem aparecer nos blocos A, B e C são respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
7, 11 e 39
8, 26 e 39
7, 11 e 46
8, 11 e 26
9, 11 e 39
Resolução
25. Criminosos raptaram um cachorrinho de uma senhora rica e exigiram pagamento de resgate de R$
9.450,00, que deveria ser pago unicamente com cédulas de R$ 100,00 e R$ 50,00, num total de 120 notas.
As quantidades de cédulas pedidas visavam permitir que os criminosos dividissem igualmente cada tipo de
cédula em quantidades iguais. Sabendo disso, quantos criminosos no máximo havia?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Resolução
100x  50y  9450

 x  y  120
100x  50y  9450

100x  100y  12000
50y  2250
y  51  x  69
mdc( 51,69)  3
12
26. Augusto só fala a verdade aos sábados, domingos, segundas e terças. Em outros dias, mente. Vanessa só
mente aos domingos, segundas e terças. Em outros dias, fala verdade. Em certo dia da semana ambos
disseram: “Amanhã vou mentir”. Esse dia, certamente foi:
a)
b)
c)
d)
e)
terça-feira
quarta-feira
sexta-feira
sábado
domingo
Resolução
Augusto
Vanessa
Domingo
Segunda
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
Sábado
V
M
V
M
V
M
M
V
M
V
M
V
V
V
27. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia abriram um canal de 238 metros de comprimento em 17 dias,
quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal, em 25 dias de 7 horas de
trabalho?
a)
b)
c)
d)
e)
70
75
80
85
90
Resolução
25 7 238 25
 .
.
x 10 686 17
25 41650

x 116620
x  70
28. Quantos são os valores inteiros k de tal forma que x2  12x  k  0 tenha somente raízes inteiras?
(Cancelada)
a)
b)
c)
d)
e)
5
6
7
8
9
Resolução
O discriminante da equação dada é  = 144 – 4k, logo
naturais k que fazem
  2 36  k . Os números
 inteiro são k = 11, 20, 27, 32, 35 e 36, com os quais se tem
respectivamente   10, 8, 4, 2 e 0. As raízes correspondentes a essas escolhas são
-1 e -11, -2 e -10, -3 e -9, -4 e -8, -5 e -7 e -6.
13
29. Augusto e Felipe estão disputando um jogo chamado “Trinta e Um”, cujo tabuleiro está representado
abaixo.
Nesse jogo, os jogadores alternadamente marcam um número ainda não marcado e, imediatamente,
falam, em voz audível ao adversário, o resultado da soma parcial de todos os números marcados ao
completar a jogada. Vence o jogador que obter total 31.
Veja abaixo uma partida iniciada por eles.
- Augusto (1ª jogada): 1
- Felipe (1ª jogada): 4
- Augusto: 9
- Felipe: 15
- Augusto: 21
Qual o número que deve ser marcado por Felipe na 3ª jogada para que ele ganhe a partida em sua 4ª
jogada independente do número que Augusto marcar em sua 4ª jogada?
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
4
5
6
30. Em livros de história da Matemática há problemas interessantes que foram criados em milênios passados.
Em um deles, o papiro de Ahmes (1650 a.C) existe o seguinte problema.
“Quando ia a Santo Ives,
encontrei um homem com sete mulheres,
cada mulher tinha sete sacos,
cada saco tinha sete gatos,
cada gato tinha sete gatinhos,
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres,
quantos iam a Santo Ives?”
14
A resposta correta ao problema apresentado é:
a) 74  73  72  7  1
b) 73  72  7  1
c)  74  73  72  .7
d)
7
4
 73  72  7.7
e) 74  73  72  7
Resolução
1 homem + 7 mulheres = 8 pessoas
Cada mulher com 7 sacos (7x7 = 49 sacos)
Cada saco com 7 gatos (49x7 = 343 gatos)
Cada gato com 7 gatinhos (343x7 = 2401 gatinhos)
Então 8 + 49 + 343 + 2401 = 2801 = 74  73  72  7  1
15