universidade católica de pelotas - PPGINF

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS
CENTRO POLITÉCNICO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
ESTUDO DA PROBABILIDADE FUZZY INTERVALAR
Por
Ana Maria Barbosa Abeijon
Trabalho Individual I
TI- 2009-2-001
Orientador: Profº. Dr. Antônio Carlos da Rocha Costa
PELOTAS, novembro de 2009
DEDICATÓRIA
À minha mãe, que proporcionou e incentivou meu estudo, esta conquista, com
carinho.
AGRADECIMENTOS
À DEUS, socorro espiritual, pela minha vida.
À meu esposo Claiton e filha Luciele, pela compreensão e paciência.
Aos meus colegas de mestrado, pela ajuda.
À professora Renata Reiser, pela disposição, carinho e dedicação.
À professora Graçaliz, pelo incentivo.
Ao professor Rocha, pela acolhida.
São vários os nomes que deveriam ser citados neste momento, entretanto
permito-me não fazê-lo.
Minha gratidão a todos aqueles que estiveram ao meu lado. A ajuda dessas
pessoas sempre foi de fundamental importância.
A todos, muito obrigado.
“É fácil comprovar que o aprendizado do aluno melhora na mesma proporção
em que o professor desenvolve suas próprias inteligências”.
- HOWARD GARDNER -
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ....................................................................... 5
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ......................................... 6
RESUMO .......................................................................................... 7
ABSTRACT ...................................................................................... 8
INTRODUÇÃO .................................................................................. 9
1.1. Estrutura do Texto ........................................................... 12
1.2. Motivação ........................................................................ 12
1.3. Objetivo Geral .................................................................. 13
1.4. Objetivos Específicos ....................................................... 13
2. ESTUDO DA PROBABILIDADE FUZZY INTERVALAR ............. 14
2.1. Lógica Fuzzy ................................................................... 14
2.2. Operações dos Conjuntos Fuzzy .................................... 15
2.3. Subconjunto Fuzzy .......................................................... 16
2.4. Propriedades Algébricas dos Conjuntos Fuzzy ............... 16
2.5. Características dos Conjuntos Fuzzy .............................. 17
2.6. Propriedades dos alfa-curts ............................................. 19
2.7. Conjunto Fuzzy Normal .................................................... 19
2.8. Conjunto Fuzzy Convexo .................................................. 20
3. NÚMEROS FUZZY ......................................................................... 21
3.1. Tipos de Números Fuzzy .................................................. 21
3.2. Propriedades dos Números Fuzzy .................................... 22
4. LÓGICA FUZZY INTERVALAR .................................................... 24
5. MATEMÁTICA INTERVALAR ....................................................... 26
5.1. Intervalo de Reais ............................................................. 26
5.2. Igualdade de Intervalo de Reais ....................................... 27
5.3. Operações Aritméticas Intervalares .................................. 27
5.4. Propriedades Algébricas da Matemática Intervalar ........... 27
5.5. Propriedades dos Intervalos Simétricos ........................... 28
5.6. Operações com Intervalos ............................................... 29
6. PROBABILIDADE ........................................................................ 30
6.1. Noção de Probabilidade ............................................ 30
6.2. Distribuição de Probabilidades .................................. 30
6.3. Axiomática asProbabilidades .................................... 30
7. PROBABILIDADEINTERVALAR .......................................... 32
7.1.Densidade de Probabilidade ...................................... 33
7.2. Cadeiasde Markov .................................................... 33
7.3. Probabilidades de Transição .................................... 35
7.4. ProcessosEstocásticos ............................................ 37
8. PROBABILIDADEFUZZY ..................................................... 39
8.1. Probabilidade de Eventos Fuzzy ............................. 40
9. CONCLUSÃO ....................................................................... 42
REFERÊNCIAS .......................................................................... 43
LISTA DE FIGURAS
Figura 1
União de números fuzzy triangulares .................................
15
Figura 2
União de números fuzzy trapezoidais ................................
15
Figura 3
Intersecção de números fuzzy triangulares ........................
15
Figura 4
Intersecção de números fuzzy trapezoidais .......................
15
Figura 5
Conjunto complementar dos números fuzzy ......................
16
Figura 6
Alfa-Corte de um conjunto fuzzy ........................................
19
Figura 7
Conjunto fuzzy normal e convexo ......................................
19
Figura 8
Conjunto fuzzy normal e não convexo ...............................
19
Figura 9
Conjunto fuzzy não normal e convexo ..............................
20
Figura 10
Conjunto fuzzy não normal e não convexo ........................
20
Figura 11
Suporte de um conjunto fuzzy ...........................................
21
Figura 12
Número fuzzy triangular ....................................................
22
Figura 13
Número fuzzy trapezoidal .................................................
22
Figura 14
Diagrama de Transição da Cadeia de Markov .................
34
Figura 15
Diagrama de Transição da Aplicação da Cadeia de Markov .. 37
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
MI
Matemática Intervalar
CF
Conjuntos Fuzzy
 A (x)
Grau de pertinência de um elemento x
U
Conjunto Universo
R
Conjunto dos Números Reais
IR
Conjuntos dos Números Reais Intervalares
PE
Processo Estocástico
LF
Lógica Fuzzy
Є
Símbolo de pertence
Ø
Símbolo de conjunto vazio
∩
Símbolo da operação intersecção
∑
Símbolo da operação somatório
U
Símbolo da operação união
RESUMO
A característica especial da Lógica Fuzzy é a de representar uma forma de
manuseio de informações imprecisas. A Lógica Fuzzy, traduz expressões
verbais, vagas, comuns na comunicação humana em valores numéricos. A
Lógica Fuzzy, possui sua base nos conjuntos fuzzy, e tem se mostrado mais
adequada para tratar imperfeições da informação do que a teoria das
probabilidades. É uma ferramenta capaz de capturar informações vagas,
convertendo-as para um formato numérico , de fácil manipulação pelos
computadores de hoje. A lógica difusa ou lógica nebulosa, também pode ser
definida, como a lógica que suporta os modos de raciocínio que são
aproximados, ao invés de exatos, como estamos naturalmente acostumados a
trabalhar. A Matemática Intervalar é uma alternativa para o controle do erro do
resultado na Computação Científica e Tecnológica, cujo objetivo é responder à
questão da exatidão e da eficiência, dos problemas que envolvem a
computação. A Matemática Intervalar, manipula os dados e parâmetros iniciais
incertos como intervalos, antes que os dados sejam introduzidos no
computador. Assim, algoritmos intervalares, comparados à algoritmos pontuais,
apresentam um intervalo como solução, portanto, garantem que a resposta
estará contida no intervalo obtido. A probabilidade, teve sua origem no século
XVII, através dos matemáticos FERMAT e PASCAL, com a finalidade de
resolver questões de jogos de azar. Somente no século XX foi desenvolvida
uma teoria matemática rigorosa, contendo axiomas, definições e teoremas. Os
avanços tecnológicos, em qualquer área do conhecimento humano, está ligada
quase que exclusivamente, aos experimentos. Um princípio fundamental é que
se efetuarmos tais experimentos repetidas vezes, sob condições idênticas,
obteremos resultados que são praticamente os mesmos. Em alguns
experimentos, os resultados não são essencialmente os mesmos, então,
constrói-se modelos matemáticos para explicá-los.
Palavras-chave : Lógica Fuzzy, Matemática Intervalar, Probabilidade
TITLE: “ Study of Probability Fuzzy Intervalar”
ABSTRACT
Of Fuzzy logic is to represent a form of inaccurate information handling. Fuzzy
logic, translates sayings, vacancies, common in human communication in
numeric values. Fuzzy logic, has its basis in fuzzy sets, and is more appropriate
for dealing with faults of the theory of probability. Is a tool able to capture
information waves, converting it to a numeric format, for easy manipulation by
today's computers. Fuzzy logic, or logic Nebula can also be defined as the logic
that supports reasoning are approximate, instead of exact course, as we are
accustomed to working. The math Intervalar is an alternative to control error
result in technological and scientific computing, whose goal is to answer the
question of accuracy and efficiency, the problems that involve computing. The
math Intervalar, handles the initial uncertain data and parameters as ranges
before that data is placed on your computer. Thus, intervalares algorithms,
compared to individual algorithms have a range as a solution, therefore, ensure
that the response is contained in the range obtained. The likelihood, had its
origin in the 17th century, by PASCAL and FERMAT math, with the purpose of
resolving issues of gambling. Only in the 20th century was developed a rigorous
mathematical
theory,
containing
theorems,
axioms
and
definitions.
Technological advances in any area of human knowledge, is tied almost
exclusively to experiments. A fundamental principle is that if you repeatedly
efetuarmos such experiments, under identical conditions, will get results that
are virtually the same. In some experiments, the results are essentially the
same, then build mathematical models to explain them.
KEYWORDS: Fuzzy Logic, Interval Mathematics, Probability
1. INTRODUÇÃO
A Lógica Fuzzy trabalha com dados não-precisos. Com a L.F., é possível
quantificar essa imprecisão, principalmente, dentro da Ciência da
Computação. Há vários tipos de subjetividades e, o modelo fuzzy, depende
da escolha da variável de estado e dos parâmetros dos modelos.A L.F. é
uma tecnologia que permite definir modelos complexos do mundo real
através de variáveis e regras simples, sendo muito utilizada nas Ciências e
Engenharias. Já a Matemática Intervalar, trata dos dados na forma de
intervalos numéricos. Esses intervalos podem ser aplicados , na
Computação Científica, representando valores desconhecidos e valores
contínuos.
Também
são
utilizados
para
controlar
erros
de
arredondamentos, representar dados não-exatos, aproximações e erros de
truncamentos . Na L.F. Intervalar, é necessário a especificação de subintervalos, conseguindo-se, assim, determinar o grau de pertinência das
informações nebulosas,através do mapeamentos desses resultados. Esses
valores possíveis e impossíveis, dentro da L. F. , são determinados por
diferentes graus de pertinência. É muito comum se fazer confusão entre
teoria dos conjuntos fuzzy e teoria das probabilidades, quando trocamos
grau de pertinência por probabilidade.É fácil mesmo essa confusão porque
a medida de probabilidade está contida na medida fuzzy, isto é, é um caso
particular da medida fuzzy. As duas teorias lidam com incertezas distintas.
Na probabilidade se o evento ocorreu não há mais dúvida e, a probabilidade
pode ser calculada, isto é, a incerteza não mais existe. A probabilidade está
ligada à ocorrência de um evento ocorrer e, a teoria dos c.f. está ligada à
possibilidade de um dado evento acontecer.
Por exemplo : um paciente , ao procurar um médico, falando o que está
sentindo não é suficiente para o médico fazer o diagnóstico ou saber qual é
a doença . Terá que fazer exames, e mesmo assim, haverá inúmeras
possibilidades de classificação das possíveis doenças. As duas teorias são
complementares e servem como ferramentas muito importantes para
determinar as possibilidades e as probabilidades dos eventos cotidianos.
Este trabalho é o ponto de partida para alcançar o objetivo
propõe. Através da Lógica Fuzzy,
a que se
da Matemática Intervalar e da
Probabilidade Clássica, buscar subsídios, dentro de suas propriedades e
operações, para estabelecer resultados sobre Probabilidade Fuzzy
Intervalar.
1.1 Organização do Texto
O texto está organizado da seguinte maneira:
No capítulo 2, uma abordagem sobre o estudo da probabilidade fuzzy
intervalar, onde apresenta-se operações, propriedades e características dos
conjuntos fuzzy. No capítulo 3, trata-se dos números fuzzy com suas
propriedades. No capítulo 4, apresenta-se uma breve explanação da lógica
fuzzy intervalar. No capítulo 5, consta a matemática intervalar, com suas
propriedades e operações. No capítulo 6, fala-se da probabilidade e suas
características. No capítulo 7, aborda-se a probabilidade intervalar, onde
consta as cadeias de Markov, diagramas de transição, matrizes e modelos
estocásticos. No capítulo 8, trata-se da probabilidade fuzzy e suas
propriedades. No capítulo 9, encontra-se a conclusão, considerações finais
e perspectivas de trabalhos futuros.
1.2 MOTIVAÇÃO
A Lógica Fuzzy Intervalar ainda apresenta vários problemas para os quais
ainda não foram propostas soluções. Dentre eles encontra-se o estudo de
probabilidades fuzzy intervalares. O conceito de probabilidade existe tanto
na abordagem fuzzy como na intervalar (denominada de probabilidade
imprecisa), mas não na abordagem da Lógica Fuzzy Intervalar.
1.3. OBJETIVO GERAL
 Estudar os conceitos de probabilidade fuzzy intervalar propostos na
literatura e analisar suas propriedades, buscando visão crítica sobre
elas.
1.4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Esclarecer a noção de probabilidade fuzzy intervalar;
 Estabelecer resultados e estudar propriedades ;
 Fazer comparações entre as propriedades das probabilidades real,
intervalar e fuzzy, com a probabilidade fuzzy intervalar.
2. Estudo da Probabilidade Fuzzy Intervalar
2.1. Lógica Fuzzy
Na teoria clássica dos conjuntos,um elemento pertence ou não pertence a um
conjunto. Na teoria dos conjuntos fuzzy, determina-se um grau de pertinência,
para indicar se um elemento pertence a esse conjunto. Na lógica fuzzy,
proposta por Lotfi A. Zadeh, em 1965, os conjuntos são caracterizados por não
possuírem limites definidos.A lógica fuzzy, que é associada à conjuntos fuzzy,
possui um intervalo de 0 a 1, para a determinação de um elemento do conjunto,
o que difere da lógica clássica.
É preciso o valor do elemento do conjunto, enquanto que no conjunto fuzzy,o
valor do elemento é impreciso.Zadeh teve a idéia de criar uma nova lógica e
uma nova teoria dos conjuntos onde não precisamos nos contentar com
apenas duas opções: verdadeiro ou falso, pertence ou não pertence, mas com
um grau infinito que varia entre essas duas. Assim podemos ter algo que é
50% falso ou pertence ao conjunto apenas 30%.Uma das grandes percepções
de Zadeh foi que a matemática pode ser utilizada para fazer uma ligação entre
a linguagem e a inteligência humanas.
Muitos conceitos, podem ser muito bem definidos por palavras do que pela
matemática, e a lógica fuzzy, com os conjuntos fuzzy proporcionam uma
disciplina que melhor pode construir modelos do mundo real.
A lógica fuzzy está sendo muito utilizada na abordagem de problemas onde se
lida com incertezas, valores aproximados, erros de arredondamento. Em
muitas aplicações, pode ser difícil encontrar ou determinar exatamente o grau
de quanto se pode acreditar que um elemento pertença ao conjunto.
2.2.
Operações dos Conjuntos Fuzzy (MUSSI,2009)
1. União
Dado x Є U, μAUB (x) = max { μA (x) , μB (x) }
A
B
U(AUB)
Fig. 1 – união triangular
Fig. 2 – união trapezoidal
2. Intersecção
Dado x Є U, μA∩B (x) = min { μA (x) , μB (x) }
X
Fig 3 – intersecção triangular
Fig. 4 – intersecção trapezoidal
3. Complemento
Dado x Є U, μA(x) = 1 - μA(x)
A
A
Fig. 5 - complemento
2.3. Subconjunto fuzzy
Sejam A e B subconjuntos fuzzy
A  B  μA (x)  μB (x),  x Є U
2.4. Propriedades Algébricas dos Conjuntos Fuzzy
1. Comutativa
AUB=BUA
2. Associativa
(A ∩ B) ∩ C = (A ∩ B) ∩ C
3. Complemento Duplo
(A U B)´ = A´∩ B´
4. Indempotência
AUA=A
A∩A=A
5 Conjunto Universo
A∩U=A
6. Conjunto Vazio
AUø=A
A∩ø=ø
7. Distributiva
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
8. Involução
(A´)´= A
9. Leis de Morgan
(A ∩ B) = A U B
AUB=A∩B
2.5. Características dos Conjuntos Fuzzy
1. CF Universo - o valor da função membro é um para todos os membros
em consideração ;
2. Cardinalidade - dado um cf A em um universo finito U, a cardinalidade
é a soma dos graus de pertinência de todos os elementos de U em A,
indicados por
|A| = ∑ μA (x) ;
3. CF Vazio - um cf é vazio se
A = ø  μA (x) = 0 ,  x Є X ;
4. CF Iguais - Sejam A e B cf se e somente se , para todo x Є X ,
μA (x) = μB (x) , logo A = B ;
5.
Conjunto Crisp - são os conjuntos cuja função característica assume
apenas valores zero e um, não possuindo valores intermediários ;
6. Conjunto Unitário – é um cf A cujo suporte é um único elemento em X
com μA (x) = 1
7. Altura (h) - o maior valor μA para o qual o  -corte não é vazio, chamamos
de altura de A. Altura igual a 1 é um conjunto dito normal, caso contrário é dito
sub-normal.
h(A) = sup xЄX A(x)
8.  -corte - contém todos os elementos do domínio que possui valores de
pertinência acima de um certo valor  ;
[A]α = { x Є X │ A(x) > α
1
a
b
Fig. 6 – α- corte
9. Normalização- de um cf é quando a sua altura é igual a 1. A pertinência
total do elemento se dá quando seu grau é igual a 1.
10. Níveis( ^ ) – de um cf A corresponde a um conjunto que contém todos os
valores  Є [0;1] e que representam cortes  de A distintos .
A = { α │ A(x) = α para algum x Є X }
2.6. Propriedades dos  - cortes ou  - cut
Sejam os conjuntos fuzzy A e B, possuem as seguintes propriedades :
1. [A U B]α = [A] α U [B] α
2. [A ∩ B] α = [A] α ∩ [B] α
3. A = B  [A] α = [B] α
4.     [A] α  [B] α
2.7. Conjuntos Fuzzy Normal - os α - cortes são não vazios
1
normal
é convexo
Fig. 7 – normal e convexo
Fig. 8 – normal e não convexo
2.8. Conjuntos Fuzzy Convexos - todos os α - cortes são intervalos
1
1
não é normal
é convexo
Fig. 9 – conj não .normal
conj. convexo
não é normal
não é convexo
Fig. 10 – conj. não normal
conj. não convexo
3. Números Fuzzy
DEFINIÇÃO : Um número fuzzy pode ser definido por uma tripla A (a 1 , m , a2).
Um nf é qualquer subconjunto fuzzy dos números reais (U = IR), que satisfaz
as seguintes condições :
1. Todos os α - cortes são não vazios com 0  x  1 (normal)
2. Todos os α - cortes são intervalos fechados de IR (convexos)
3. O suporte é limitado [a,b]
core
1
a
c
d
b
Fig. 11 – suporte do conj. fuzzy
3.1. Tipos de Números Fuzzy
Os mais usados são os nf triangulares e os nf trapezoidais.
a) Triangular
N = (a, b, c)
1
0
a
c
b
Fig. 12 – número triangular
b) Trapezoidal M = (a, b, c, d)
core
1
a
c
d
b
Fig. 13 – número trapezoidal
3.2. Propriedades Operatórias com Números Fuzzy
Para operar com nf, opera-se com seus α- cortes, utilizando-se a matemática
intervalar.
Sejam N e M dois números fuzzy, logo, obedecem as seguintes propriedades :
1. Adição
N + M = [N +M] α = [N] α + [M] α
2. Subtração
[M – N] α = [M] α – [N] α
3. Multiplicação
[M . N] α = [M] α . [N] α
4. Divisão
[M / N] α = [M] α / [N] α , se 0  [N] α
4. Lógica Fuzzy Intervalar
A fundamentação dos conjuntos fuzzy é encontrar um grau de pertinência, para
determinar até que ponto um determinado elemento pertence a um conjunto e,
esses valores variam em 0 e 1. A característica da lógica nebulosa está
baseada em palavras e não números, ou seja, os valores verdades são
expressos linguísticamente.
Possui vários modificadores de predicado, tais como: muito, mais ou menos,
pouco, bastante, médio. Possui também um amplo conjunto de quantificadores
como: poucos, vários, entorno de, usualmente. Faz uso das probabilidades
linguísticas como provável e improvável que são interpretados como números
nebulosos e manipulados pela sua aritmética. O manuseio dos valores entre 0
e 1, funcionam apenas como um limite.
VANTAGENS
- O uso de variáveis linguísticas nos deixa mais perto do pensamento humano;
- Requer poucas regras, valores e decisões;
- Simplifica a solução de problemas e a aquisição da base do conhecimento;
- Mais variáveis observáveis podem ser valoradas;
- Mais fáceis de entender, manter e testar;
- São robustos;
- Operam com falta de regras ou com regras defeituosas;
- Acumulam evidências contra e a favor;
- Proporciona um rápido protótipo dos sistemas.
DESVANTAGENS
- Necessitam de mais simulações e testes;
- Não aprendem facilmente;
- Dificuldade de estabelecer regras corretamente;
- Não há uma definição matemática precisa.
5. MATEMÁTICA INTERVALAR
A matemática intervalar, proposta por Moore (MOORE,1979),estabelece como
objetivo, obter maior precisão ou exatidão nos procedimentos presentes dentro
da computação científica. Através do intervalo se pode controlar a
imprecisão,se melhorar a aproximação e ter certeza que a resposta está dentro
do intervalo.
A MI trata com dados na forma de intervalos numéricos. Serve para a
elaboração de algorítmos numéricos com controle de erro. Os intervalos podem
ser aplicados para representar valores desconhecidos e,representam valores
contínuos, controlar erro de arredondamento, representar dados
inexatos, aproximações e erros de procedimentos.
A MI busca resolver dois problemas: um modelo computacional que faça o
controle e análise dos erros que ocorrem no processamento dos dados e a
escolha
de
técnicas
de
programação
para
o
desenvolvimento
de
softwares,tentando minimizar os erros nos resultados.Por exemplo: "estar bem
informado", "viver uma vida longa". Essas realizações são diretamente
observáveis. Sabemos que parte da resposta é subjetiva, porém uma parte é
razoavelmente objetiva, basta que olhemos em volta, de modo que por mais
que variem os detalhes, os "temas" são praticamente invariáveis.
5.1. Intervalo de Reais
Seja R conjunto dos números reais.
Sejam x1 e x2 Є IR │ x1 ≤ x2 , então { x Є R │ x1 ≤ x ≤ x2 }, é o intervalo de
reais.
X = [x1; x2]
5.2. Igualdade de Intervalos de Reais
Seja A = [a1; a2] e B = [b1; b2] dois intervalos de números reais, se
A = B  {a1 = b1 e a2 = b2}
5.3. Operações Aritméticas Intervalares
Sejam A e B intervalos de reais, definem-se as operações
Sejam A = [a1; a2] e B = [b1; b2] , então
1. Adição - A + B = [a1,a2] + [b1,b2] = [a1+b1 ; a2+b2]
2. Pseudo Inverso Intervalar - Seja A  R e A = [a1; a2], logo
- A = - [a1; a2] = [- a2; - a1]
3. Subtração - Sejam A = [a1; a2] e B = [b1; b2], então
A - B = [a1; a2] - [b1; b2]
= [a1; a2] + [- b2; - b1]
= [a1 – b2 ; a2 – b1]
4. Multiplicação - Sejam A = [a1; a2] e B = [b1; b2], logo
A . B = [a1; a2] . [b1; b2]
= [min {a1b1, a1b2, a2b1, a2b2}; max{a1b1, a1b2, a2b1, a2b2}]
5.4. Propriedades Algébricas da Matemática Intervalar
Sejam A = [a1; a2] e B = [b1; b2], intervalos de números reais, logo, obedecem
às operações :
1. Soma
(A1) Fechamento -
A, B  R , então A + B  R
(A2) Associativa -
(A + B) + C = A + (B + C)
(A3) Comutativa -
A+B=B+A
 │ 0  IR , 0 + A = A + 0 = A
(A4) Elemento Neutro -
2. Multiplicação
A . B  IR
(M1) Fechamento (M2) Associativa -
(A . B) . C = A . (B . C)
(M3) Comutativa -
A.B=B.A
(M4) Elemento Neutro -
 │ 1  IR , 1 . A = A . 1 = A
(M5) Subdistributividade -
A . (B + C)  (A . B) + (A . C)
5.5. Propriedades dos Intervalos Simétricos
Sejam A , X, Y pertencentes ao intervalo de reais com X e Y simétricos.
Então valem as propriedades:
1. A+X = A + Y , X = Y
2. X- A = Y - A , X = Y
3. A+X está contido A + Y , X está contido Y
4. X. 0 = 0 . X = [0;0]
5.  ,   R , (  ,  )X  ( X ) + (  X )
6.  ,   R , (  . ).X =  (  X )
7.   R ,  (X + Y) = (  X) + (  Y)
5.6. Operações com Intervalos
Sejam A = [a1 ; a2] e B = [b1 ; b2], dois intervalos reais, então, obedecem às
operações :
1. Intersecção
A ∩ B = [max { a1, b1}; min {a2, b2}] ; min {a1 , b1}] se
max {a1, b1}  min {a2, b2}
2. União
A U B = [ min {a1, b1}; max {a2, b2}]
3. União Convexa
A U B = [min {a1, b1}; max {a2, b2}]
Ponto Flutuante: É o modo como o computador representa números reais.
Sistema de ponto flutuante:  É possível representar somente um intervalo limitado de números;
 Um número de ponto flutuante se representa um conjunto de números
reais.
6. PROBABILIDADE
6.1. Noção de Probabilidade
No início do século XX começa a sentir-se a necessidade de uma
axiomatização da Teoria das Probabilidades , feita em 1933 pelo matemático
russo A. N. Kolmogorov (1903 - 1987).
Evento : É um subconjunto do espaço amostral.
Experimento Aleatório : Operação cujo resultado não é conhecido com
certeza ou é sujeito a mecanismos de chance. Muitos experimentos aleatórios
produzem resultados não numéricos. É conveniente transformar seus
resultados em números, através da variável aleatória. Logo, variáveis aleatórias
são variáveis numéricas, onde iremos associar modelos probabilísticos.
6.2.
Distribuição de Probabilidade
Definida a variável aleatória, há interesse no cálculo dos valores das
probabilidades correspondentes.O conjunto das variáveis e das probabilidades
correspondentes é denominado distribuição de probabilidades.
P ( X = xi ) = P (Ai) , i = 1, 2, ..., n
6.3.
Axiomática das Probabilidades
Sob um ponto de vista puramente matemático, suporemos que para cada
acontecimento A , pertencente ao conjunto de todos os acontecimentos
possíveis, existe um número, que designamos por P(A), satisfazendo:
A1 : 0  P(A)  1 ;
A2 : P(Ω) = 1 em que Ω é o acontecimento certo ;
A3 : Se Ai ∩ Aj = Ø , como i  j então P(Un i =1 Ai) = ∑n i=1 P(Ai)
7. Probabilidade Intervalar
A
probabilidade
intervalar,
como
o
nome
sugere,
assume
valores
representados por intervalos numéricos, modelando incertezas, sobre uma
medida de probabilidade desconhecida. É uma função que atribui um número
real a cada um dos eventos.A função probabilidade deve ser compatível com
uma relação de inclusão. Os cálculos probabilísticos se utilizam de variáveis
aleatórias contínuas ou discretas.
t
Variável discreta :
Fx (t) =
 P (x)
x
x  
t
Variável contínua :
Fx (t) =
 f ( x)dx
x

Conforme a mudança de estado do sistema, os modelos podem ser
classificados em discretos, onde o estado do sistema muda apenas em pontos
discretos no tempo, que coincidem com a ocorrência de eventos; ou contínuos,
onde o estado do sistema muda continuamente ao longo do tempo simulado.
Conforme a presença de aleatoriedade, os modelos podem ser classificados
em determinísticos, que sempre produzem os mesmos resultados para o
mesmo conjunto; ou estocásticos, que incluem aleatoriedade e distribuições de
probabilidade, e podem produzir resultados diferentes.
Uma variável aleatória X é uma função real definida em Ω tal que dado evento
aleatório ω pertence a Ω ,
X(ω): Ω → R
7.1. Densidade de Probabilidade
Para a variável aleatória X, uma função densidade de probabilidade é uma
funçãoque satisfaz as propriedades :
1. f(x)  0

2.
 f ( x)dx  1

b
3. P ( a  X  b ) =
 f ( x)dx = área sob f(x) entre “a” e “b” para qualquer
a
“a”“b”.
7.2. Cadeias de Markov
Variável - É uma função, isto é, são intervalos de tempo, que é determinado
por uma probabilidade. A cadeia de Markov é um processo em que a
sequência de variáveis aleatórias toma valores num alfabeto finito. Funciona
como uma máquina de estados em que as transições são estocásticas. A (CM)
é caracterizada pelas probabilidades de transição.
B
A
C
Fig. 14 – diagrama de transição
Diz-se que a CM é invariante no tempo se as probabilidades de transição não
variam ao longo do tempo, isto é, não dependem de n.
Processo invariante no tempo diz respeito ao "mecanismo" de funcionamento
(probabilidades de transição constantes).
Processo estacionário diz respeito às variáveis aleatórias ou estado
(probabilidades de cada um dos estados). Um processo pode ser invariante no
tempo e encontrar-se ou não em regime estacionário.
Um novo e importante processo de desenvolvimento da teoria das
probabilidades, encontra-se na Teoria dos Processos Estocásticos. A CM é um
tipo especial de processo estocástico, que satisfaz as condições :
- o parâmetro é discreto (ex: tempo) ;
- o espaço de estados é discreto ;
- o estado inicial é conhecido.
Uma cadeia de Markov discreto no tempo é especificada pela:
- probabilidade inicial p 0 ;
- matriz de transição de probabilidade:
 a11 a12

P =  a21 a22
a
 31 a32
a13 

a23 
a33 
P é conhecida como a matriz de probabilidade de transição :
 P[ X
j
n 1
 j │ X n  i]   Pij  1
j
7.3. Probabilidades de Transição
Exemplo:
1) Existem três marcas de sabão em pó, disponíveis no mercado. OMO,
MINERVA e GIRANDO SOL.. O termo aij da matriz A, é a probabilidade de
quem gosta de uma marca de sabão da coluna j.(supondo as probabilidades).
para
De O, M , G
O M G
0,7 0,2 0,1
0,3 0,5 0,2
0,4 0,4 0,2
Os termos da diagonal de A, dão a probabilidade aii de se trocar de produto.
5
28 13
10 100 100
0,7 0,2 0,1 0,7 0,2 0,1
0,5 0,28 0,13
44 39 17
0,3 0,5 0,2 0,3 0,5 0,2  0,44 0,39 0,17 
100 100 100
0,4 0,4 0,2 0,4 0,4 0,2 0,48 0,36 0,16
48 36 16
100 100 100
Os termos de A2, aij, significam mudar da marca i para a marca j depois de
duas compras.
7
7
2
2
1
4
10
10
10
10
10
10
O → O → O │ O → M → O │ O → G → O, então :
a11 - probabilidade de usar inicialmente a marca de sabão O , mudando para
outro da mesma marca, ou seja, O , depois de duas compras.
a11 =
7 7
2 3 1 4
59
.  .  . 
10 10 10 10 10 10 100
a12 – probabilidade de estar usando o sabão O e mudar para a marca M,
depois de duas compras.
7
2
2
5
1
4
10
10
10
10
10
10
O→ O → M │ O → M → M │O → G → M
a12 =
7 2 2 5 1 4
28
.  .  . 
10 10 10 10 10 10 100
a13 – probabilidade de usar marca O e trocar pela marca G, depois de duas
compras.
7
1
2
2
1
2
10
10
10
10
10
10
O→ O → G │ O → M → G │O → G → G
a13 =
7 1
2 2 1 4
13
.  .  . 
10 10 10 10 10 10 100
Os outros cálculos são análogos.
a21 =
3 7 5 3 2 4
44
(mudança da marca M para O ).
.  .  

10 10 10 10 10 10 100
a22 =
3 2 5 5 2 4
44
(troca do produto M para M).
.  .  . 
10 10 10 10 10 10 100
a23 =
7 2 2 5 1 4
16
(troca de M para G).
.  .  . 
10 10 10 10 10 10 100
a31 =
4 7
4 3 2 4
48
(mudança de G para O).
.  .  . 
10 10 10 10 10 10 100
a32 =
4 2 4 5 2 4
36
( mudança de G para M).
.  .  . 
10 10 10 10 10 10 100
a33 =
4 1
4 2 2 2
16
( mudança de G para G).
.  .  . 
10 10 10 10 10 10 100
a11
a1
2
3
a1
1
a3
M
a2
1
O
a23
a32
G
a22
a33
Fig. 15 – Diagrama de transição
7.4. Processos Estocásticos
É uma sequência de variáveis aleatórias X1, X2,..., Xn e é caracterizado pela
distribuição conjunta p(X1, X2,..., Xn). Diz-se estacionário se a distribuição
conjunta de um número arbitrário de variável aleatória se mantém quando se
efetuam deslocamento no tempo, isto é,
Pr {X1 = x1,...,Xn = xn} = Pr{ X
1+m
= x1,..., X
n+m
= xn} para qualquer
deslocamento m e qualquer número de variável aleatória n.
Diz-se que forma um processo de Markov se cada variável aleatória depende
da precedente e é condicionalmente independente das restantes, isto é,
Pr {Xn = xn , X n-1 = x n-1 ,..., X1 = x1} = Pr { Xn = xn , X n-1 = x n-1}.
Exemplos - (série temporal – intervalo de tempo)
- flutuação de câmbio;
- sinais (fala, áudio e vídeo);
- dados médicos (eletrocardiograma, pressão sanguínea e temperatura);
- movimentos aleatórios.
-(campo aleatório – região do espaço )
- imagens estáticas;
- topografias aleatórias (satélite);
- variações de composição em um material não homogêneo.
Exemplo 1:
Seja X a variável aleatória que indica se chove ou não num determinado dia
num dado local. A sequência X1, X2,..., Xn que indica o estado do tempo ]em
dias consecutivos forma um processo estocástico. É um (PE) não estacionário
pois as probabilidades variam ao longo do tempo.
Exemplo 2:
Uma sequência de lançamentos de um dado forma um processo estocástico
estacionário. As probabilidades são constantes ao longo do tempo.
8. Probabilidade Fuzzy
Há três tipos de incertezas: a incerteza de natureza aleatória, a incerteza
devida ao conhecimento incompleto e a incerteza em função do conhecimento
vago ou impreciso. A probabilidade só é capaz de modelar o primeiro tipo de
incerteza.
A partir do reconhecimento da existência de diferentes tipos de incerteza, têmse desenvolvido ferramentas matemáticas capazes de lidar com mais de um
tipo de incerteza ao mesmo tempo, como por exemplo, a probabilidade fuzzy.
Em especial, a (PF) pode ser utilizada para estudar um experimento aleatório
cujos dados possuem incerteza de medição. Para isso, a imprecisão dos dados
é modelada por números fuzzy.
A falha humana resulta, das interações homem - máquina ou homem –
ambiente dentro do sistema sócio-técnico que ele atua.
Termos da lógica fuzzy compreendem: a menor parte, aproximadamente a
terça parte, muitos e nada. Termos de probabilidade compreendem: certo,
incerto, improvável, provável. Para muitos sistemas devido às incertezas e
imprecisões dos dados, fazer estimações únicas de probabilidades e
consequências é muito difícil. A teoria de probabilidades e a teoria dos (CF)
lidam, em geral, com tipos de incertezas distintos.
Na teoria de probabilidades temos o evento muito bem definido e a dúvida é
sobre a ocorrência do evento. Uma vez que o evento ocorreu não existirá mais
dúvida alguma. A medida da probabilidade é um caso particular da medida
fuzzy. O espaço mensurável é dado pelo par ( Ω , A) - o universo Ω e uma σálgebra de conjuntos mensuráveis de Ω .
Definição 1 : Dizemos que A é uma σ-álgebra , com A ≠ 0 , se são satisfeitas
:
1. A Є A  A Є A , onde A é o complemento de A
2. Ak Є A , K Є N  U KЄN Ak Є A .
Definição 2 : Uma medida μ é uma função definida em um espaço mensurável
( Ω , A) que não assume valores negativos e que satisfaz os seguintes
postulados:
1. μ (Ø) = 0
2. μ é σ – soma para uma família de pares de conjuntos disjuntos , Ai Є Ω
3. Ai ∩ Aj = Ø , i = 1, 2, ..., i ≠ j , a medida da união dos Ais é dada por :

μ (U i 1 Ai ) =

  ( Ai )
i 1
3. Se An , n = 1, 2, ..., é uma sequência crescente de conjuntos
mensuráveis, então :
lim n→  μ (An) = μ ( lim n→  An )
Uma das medida σ- soma mais comumente usada é a medida de
probabilidade, que é expressa por :



i 1
i 1
i 1
P ( Ai )   P ( Ai )   Pi
8.1.
Probabilidade de Eventos Fuzzy
Uma maneira de unir a teoria de probabilidades e a lógica fuzzy é
considerarmos a probabilidade de um evento fuzzy. Um evento é um
subconjunto do espaço amostral. Lançar dez moedas e verificar quantas caras
e coroas obtivemos é um evento. Considerando todas as possibilidades entre
nenhuma cara e nenhuma coroa que representam o espaço amostral. Há
casos em que o evento não é bem definido, esse evento é chamado de evento
fuzzy. No lançamento das moedas o (EF) poderia ser "existem muito mais
caras do que coroas"; o "quanto é muito mais" não é bem definido.
A probabilidade de um (EF) é obtido pela generalização da teoria de
probabilidade, que é dada por ...
P(A) =

μA (x) . PX (x) dx
onde PX é a distribuição de probabilidades de X, μA é a função de pertinência
do evento A. Para o caso em que X é discreto teremos:
P(A) = ∑ μA (xi) . PX (xi)
A probabilidade é uma medida de eventos. Se o evento A  Ω , onde Ω
denota o conjunto universo e  a inclusão não estrita. Então a probabilidade
de ocorrência de A é dada por P : 2
Ω
→ [0;1] , satisfazendo os seguintes
axiomas, sendo 2 Ω é o conjunto das partes de Ω :
i)  A  Ω, 0  P(A)  1
ii) P(Ω) = 1
iii)  (A,B)  Ω , se A ∩ B = Ø então
P(A U B) = P(A) + P(B) , onde Ø é o conjunto vazio. Pelo axioma da soma
podemos então concluir que :
i)
ii)
iii)
P(Ø) = 0
P(A) = 1 – P(A)
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
9. CONCLUSÃO
O conceito “fuzzy” pode ser entendido como uma situação onde não podemos
responder simplesmente SIM ou NÂO. Se não conhecemos as informações
sobre uma determinada situação, o mais apropriado é usar expressões como :
alguns, talvez, quase. A lógica fuzzy gera uma saída lógica a partir de um
conjunto de entradas não precisas. A matemática intervalar busca resolver os
problemas de controle e análise de erros, procurando minimizar esses
resultados, no processo computacional. A matemática intervalar tenta
solucionar esses problemas, com as devidas aproximações que induzem ao
erro, o que pode provocar distorções , em
computação. Os números
representados como intervalos servem como controladores da propagação do
erro. Logo , a matemática intervalar, torna-se uma alternativa na resolução de
problemas onde haja imprecisão. Com a probabilidade, é possível calcular a
chance de determinado evento ocorrer. Para esse cálculo do evento, existem
dois modelos matemáticos que são : - Determinístico – tendo as condições de
execução de um experimento se realizar, pode-se saber o resultado por
antecipação.
- Probabilístico – as condições de execução de um experimento não
determinam o resultado do mesmo, somente o comportamento probabilístico
do resultado observável. Pelo exposto , podemos deduzir que a Lógica Fuzzy,
a Matemática Intervalar e a Probabilidade, serão as ferramentas auxiliares para
um trabalho futuro. Ainda não se tem um resultado concreto mas, espera-se
conseguir formular as propriedades e operações da “Probabilidade Fuzzy
Intervalar”, como forma de contribuição à comunidade científica.
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Chu Fuzzy Intervalar. XXV CNMAC . 2002
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Conjuntos Fuzzy com Aplicações. V.17.SBMAC. SP. 2005.
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Intervalares. Monografia. 2009.
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partir de Dados Imprecisos.Tese de Doutorado.RJ.2006.
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Intervalar à Teoria Fuzzy. Tese de Mestrado. UFRN. 2002.
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Trocas Sociais entre Agentes Baseados em Personalidades. XXXI
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Lógica Fuzzy. Artigo.FATEC. S.P. (www.ime.usp.br).
[16] TAKAHASHI,A.;BEDEGRAL,B.R.C.T-normas,T-conormas.
Complementos e Implicações Intervalares.DIMAP. LABLIC.UFRN. 2006
(www.dcie.ibilce.unesp.br).