4.5 Quarta lista de exercıcios

108
4.5. Quarta lista de exercı́cios
realizando o escalonamento da matriz, encontramos:


3x−y−z
2

−x+y+z 

2

1 0 0 |


0 1 0 |

0 0 1 |
x−y
Agora, procedendo as substituições, obtemos:

T
−1 
x y
0 z

(
=
)
(
)
3x − y − z
−x + y + z
(1, 1, 0) +
(0, 1, −1) + (x − y)(1, −1, 1)
2
2
portanto

[T ]
4.5
−1
5
2
− 32
3
2
− 32

= 0

1

− 12


0 =

− 12
(
5x − 3y − z 3x − 3y − z
, y,
2
2
)
Quarta lista de exercı́cios
Exercı́cio 4.1 Verifique se as funções dadas abaixo são transformações lineares. Em cada caso,
justifique sua afirmação:
a) T : ℜ4 → ℜ3 dada por T (x, y, z,t) = (x + y, 0, z + t)
b) L : ℜ2 → ℜ dada por
L(x, y)=xy

a b
 = (a + b, 0)
c) S : M(2, 2) → ℜ2 , S 
c d
d) G : M(5, 5) → M(5, 5), G(A) = AB + I5 , onde B = diag(d1 , d2 , d3 , d4 , d5 ) é uma matriz diagonal
e I5 é a matriz identidade de ordem 5.
e) F : P2 → P2 tal que F(p) = p + q, p ∈ P2 e q(t) = t 2 + 1, t ∈ ℜ.
f) S : R2 → R2 dada por S(x, y)
 = (x +y, x − y) 

a b
a b
 −→ det 

g) T : M(2, 2) → R dada por 
c d
c d
h) T : R → R, T (x)
=
 |x|. 
a b
 = a + dt
i) T : M2 → P1 , T 
c d
j) S : R3 → R3 tal que S(x, y, z) = (3x, a, 5z), onde a ∈ R é uma constante.
′
′′
k) T : Pn → Pn tal que T (p(x)) = p (x) + x2 p (x)
Exercı́cio 4.2 Seja T : P2 → P2 um operador linear tal que T (p0 )(t) = 1 + t, T (p1 )(t) = t + t 2 ,
109
4.5. Quarta lista de exercı́cios
T (p2 )(t) = 1 + t − 2t 2 onde pi (t) = t i , i = 0, 1, 2.
a) Encontre T (p)
b) T é injetora? Justifique sua resposta.
c) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
d) T é bijetora? Justifique sua resposta.


1 −1
,
Exercı́cio 4.3 a) Encontre a transformação T : ℜ2 → M(2, 2) tal que T (−1, 0) = 
−1 1


−1 1

T (0, −1) = 
1 −1
b) Usando a transformação T encontrada no item a) , calcule T (1000, 999)
c) A transformação é bijetora? Justifique sua resposta.
Exercı́cio 4.4 Seja T : ℜ3 → ℜ3 uma transformação linear definida por T (1, 0, 0) = (1, 1, 0),
T (0, 1, 0) = (1, 1, 2) e T (0, 0, 1) = (0, 0, 2).
Determinar uma base de cada um dos seguintes
subespaços:
a) N(T )
b) N(T ) ∩ Im(T )
c) N(T ) + Im(T )
2
3
Exercı́cio 4.5 Sejam α ={(1, −1),
 (0, 2)} e β = {(1, 0, −1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de ℜ e ℜ ,
1 0




respectivamente e [T ]αβ = 1 1 


0 −1
a) Encontre a transformação linear T .
b) Enconte uma base para Ker(T ) e uma base 
para Im(T
 ).
1 0




3
α
c) Encontre uma base γ de ℜ tal que [T ]γ = 0 0


0 1
Exercı́cio
4.6 Encontre a transformação linear T : ℜ2 → ℜ2 que é a projeção sobre a reta dada por

 x = 2t
. Determine dim Im(t) e dim Ker(T ). T é inversı́vel? Se for, determine T −1 .
 y=t
Exercı́cio 4.7 Considere o operador linear em ℜ3 tal que T (1, 0, 0) = (1, 1, 1), T (0, 0, 1) = (1, 0, 1),
T (0, 1, 2) = (0, 0, 4). T é isomorfismo? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.
110
4.5. Quarta lista de exercı́cios
Exercı́cio 4.8 Considere a transformação linear T : P2 → R3 tal que T (1) = (1, 0, 1), T (x + x2 ) =
(1, 2, −2) e T (1 − x) = (0, −1, 1). Encontre T −1 .
γ
Exercı́cio 4.9 Seja T : P2 → P3 a transformação definida por T (p(x)) = xp(x − 3). Encontre [T ]β em
relação às bases β = {1, x, x2 , x3 } e γ = {1, x, x2 }.
Exercı́cio 4.10 Encontre uma transformação linear T : ℜ3 → ℜ3 cujo núcleo é gerado por (1, 1, 0)
e (0, 0, 1) e a imagem gerada pelo vetor (1, −1, 1).
Exercı́cio 4.11 Encontre uma transformação linear T : ℜ4 → ℜ4 cujo núcleo é gerado por (1, 1, 0, 0)
e (0, 0, 1, 0).
→
−
Exercı́cio 4.12 Mostre que se a matriz transformação [T ] é inversı́vel então N(T ) = { 0 }.
Exercı́cio 4.13 Se T : V → W é uma transformação linear tal que T (w) = T (u) + T (v) então w =
u + v?
Exercı́cio 4.14 Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear T : P2 → M2
satisfazendo simultaneamente as seguintes condições:
a) o elemento p(x) = 1 + x2 pertence ao N(T );
b) o elemento q(x) = 1 − x 
+ x2 não pertence ao N(T );
2 3
 pertence à Im(T ).
c) o elemento A = 
−1 1
Exercı́cio 4.15 Seja T : V → W uma transformação linear.
a) Mostre que o núcleo de T é um subespaço de V .
b) Mostre que a imagem de T é um subespaço de W .
′
Exercı́cio 4.16 Seja T : P2 → P2 a transformação linear definida por T (p(x)) = xp (x)
a) Quais dos seguintes polinômios pertencem ao N(T )?
1. 2
2. x2
3. 1 − x
b) Quais dos polinômios do item a) pertencem a Im(T )?
c) Descreva N(T ) e Im(T ).
111
4.5. Quarta lista de exercı́cios
Exercı́cio 4.17 Quando possı́vel, dê exemplos de transformações lineares satisfazendo:
a) T : R3 → R3 tal que dim N(T ) = 1
b) T : R3 → R3 tal que N(T ) = {(0, 0, 0)}
c) T : R3 → R3 tal que Im(T ) = {(0, 0, 0)}
d) T : R3 → R3 tal que N(T ) = {(x, y, z) ∈ ℜ3 : z = −x}
{
}
e) T : R3 → R3 tal que Im(T ) = (x, y, z) ∈ R3 y = 2x − z .
′
Exercı́cio 4.18 Seja T : P3 → P2 definida por T (p) = p . Determine a matriz T em relação às bases
{
{
}
}
α = 1,t,t 2 ,t 3 e β = 1, 1 + t, −1 + t 2 , isto é, [T ]αβ .
→
−
Exercı́cio 4.19 Mostre que se uma transfomação linear é injetora então N(T ) = { 0 }.

Exercı́cio 4.20 Seja β a base canônica de M2 . Se T : M2 → P3 é dada por T 
a b
c d
a + (b + c)x + (c − d)x2 + dx3 .
{
}
a) Encontre [T ]αβ onde α = 2, 2 + x, 2 + x2 , 2 + x3 é base de P3 .
b) Faça o escalonamento da matriz [T ]αβ .
c) Detemine dim Ker(T ).
d) Determine dim Im(T ).
Exercı́cio 4.21 Se A ∈ Rn×n é inversı́vel então:
a) dim N(A) =
b) dim Im(T ) =
Exercı́cio 4.22 Determine dim N(T ) sabendo que:
a) T R6 → R8 com dim(Im(T )) = 3;
b) T : V → W com T sobrejetiva, dimV = 5, dimW = 3;
c) T : V → W com T injetiva;
d) T : R4 → R4 sabendo que existe a inversa de T .
Exercı́cio 4.23 Explique em cada caso abaixo porque não existe uma transformação linear:
a) T : R4 → R2 cujo núcleo seja a origem;
b) T : R5 → R6 que seja sobrejetiva;
c) T : R3 → R2 que seja injetiva;
d) T : R7 → R6 tal que dim N(T ) = dim Im(T );
e) T : R4 → R3 com N(T ) = [(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)] e Im(T ) = [(1, 1, 2), (2, 2, 4)].

 =
112
4.5. Quarta lista de exercı́cios
Exercı́cio 4.24 Responda as seguintes questões:
a) Se T : R5 → R6 é uma transformação linear, podemos ter dim Im(T ) > 6? Justifique sua
resposta.
b) Existe alguma transformação linear T : R2 → R2 tal que T (1, 1) = (2, 2) e T (2, 2) = (3, 1)?
Justifique sua resposta.
c) A transformação T : P1 → P2 definida por T (p(t)) = t p(t) + p(0)p′ (1) é linear?
d) Se T : R3 → R3 é um operador linear e se a imagem de T é um plano que passa pela origem,
que tipo de objeto geométrico é o núcleo de T ?

Exercı́cio 4.25 Seja T : R2 → R2 tal que [T ] = 
a) T (u) = 2u
2 1
0 −1

. Encontre os vetores u e v tais que:
b) T (v) = −v
Exercı́cio 4.26 Sejam F, G : R3 → R3 transformações lineares dadas por F(x, y, z) = (x + y, z + y, z)
e G(x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z).
a) Determine F ◦ G.
b) Determine uma base para N(F ◦ G).
c) Determine uma base para Im(F ◦ G).
g) F ◦ G é isomorfismo? Justifique sua resposta.
Exercı́cio 4.27 Seja T : ℜ3 → ℜ3 o operador linear definido por T (x, y, z) = (3x, x − y, 2x + y + z).
Mostre que (T 2 − I)◦ (T 2 − 9I) = 0.
Exercı́cio4.28 Sejam R,
lineares
de R3 em R3 . Se
 S, T três transformações


1 0 1
−2 1 −1








[R] =  2 1 1  e [S] =  3
1
2 ,




0 −1 1
1 −2 0
encontre T tal que R = S ◦ T .
Exercı́cio 4.29 Sejam as transformações lineares S : P1 → P2 e T : P2 → P1 definidas por
S(a + bx) = a + (a + b)x + 2bx2
T (a + bx + cx2 ) = b + 2cx
a) Determine (S ◦ T )(3 + 2x − x2 ).
b) É possı́vel calcular (T ◦ S)(a + bx)? Em caso afirmativo calcule (T ◦ S)(π + π x).
113
4.5. Quarta lista de exercı́cios
Exercı́cio 4.30 Considere o operador T : P2 → P2 definida por T (p(x)) = p′ (x) + p(x) e a
transformação linear S : P2 → R3 definida por S(a + bx + cx2 ) = (a + b, c, a − b).
a) Verifique se S é isomorfismo. Se for, determine S−1 .
b) Determine uma base para N(S ◦ T ) e uma base para Im(S ◦ T ).
c) Seja β = {1 + x, x − x2 , 1} uma base de P2 e α = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, −1)} base do R3 .
β
Determine [S ◦ T ]α .
Exercı́cio
4.31 Considere a transformação linear T : R4 → M2
definida
=
porT (a, b, c, d) 

a−c c−b
a b
a
a+b
.
 = 

 e a transformação linear S : M2 → M2 definida por S 
b
a+d
c d
b+c
d
Verifique se S ◦ T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso (S ◦ T )−1 .
4.5.1
Algumas respostas e sugestões
4.1 - a) Sim b) Não c) Sim d) Não e) Não f) Sim g) Não h) Não i) Sim j) É transformação
linear se a = 0. k) Sim
4.2 - a) T (p) = (a + c) + (a + b + c)t + (b − 2c)t 2 .
b) Sim c) Sim d)
 Sim

y−x x−y

4.3 - a) T (x, y) = 
x−y y−x


−1 1

b) T (1000, 999) = 
1 −1
c) Não, pois T não é injetora (dim N(T ) = 1 ̸= 0) nem sobrejetora (dim Im(T ) = 1 ̸= 4)
4.4 - a) β = {(1, −1, 1)}
b) Não existe base
c) β = {(1, 1, 0), (0, 0, 2), (1, −1, 1)}
(
)
x−y
4.5 - a) T (x, y) = x−y
2 , 2 , 2x + y
b) Não existe base para o N(T ) e β =
{( 1
) ( 1 1 )}
1
,
,
2
, − 2 , − 2 , 1 é uma base para Im(T )
2 2
c) γ = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (−1, −1, 2)}
)
(
2x+y
, dim Im(T ) = 1 e dim N(T ) = 1. T não é inversı́vel pois T não é
4.6 - T (x, y) = 4x+2y
,
5
5
injetora e nem sobrejetora.
)
(
z−x x−2y+z
−1
4.7 - T (x, y, z) = y, 4 , 2
4.8 - T −1 (a, b, c) = (2a − 2b − c) + (−a + 2b + c)x + (a − b − c)x2
114

4.5. Quarta lista de exercı́cios

0 0
0






1
−3
9
γ

4.9 - [T ]β = 


 0 1 −6 


0 0
1
4.10 - T (x, y, z) = (x − y, −x + y, x − y) é uma possibilidade.
4.11 - T (x, y, z, w) = (x − y, 0, 0, w) é uma possibilidade.
4.16 - a) Apenas p(x) = 2 ∈ N(T )
b) Apenas p(x) = x2 ∈ Im(T )
2
c) N(T ) = {p(x)
 = a; a ∈ R} eIm(T ) = {p(x) = bx + cx ; b, c ∈ R}.
0 1 −2 3




4.18 - [T ]αβ =  0 0 2 0 


0 0 0 3

1
−1 −2 0
 2

 0 1
1
0
β
4.20 - a) [T ]α = 

 0 0
1 −1

0 0
0
1
c) dim N(T ) = 0 d) dim Im(T ) = 4








4.21 - a) dim N(A) = 0 b) dim Im(T ) = n
4.22 - a) dim N(T ) = 3 b) dim N(T ) = 2 c) dim N(T ) = 0 d) dim N(T ) = 0
4.23 - Use o teorema da dimensão para provar cada um dos ı́tens.
4.24 - a) Não, pois dim Im(T ) ≤ 5
b) Não, pois o conjunto {(1, 1), (2, 2)} não forma uma base para o R2 .
4.25 - a) u = (x, 0) b) v = (x, −3x).
4.26 - a) (F ◦ G)(x, y, z) = (x + 3y − z, x + y + z, x + 2z)
b) N(F ◦ G) = {(x, y, z) ∈ R3 : y = z e x = −2z} e β = {(−2, 1, 1)} é base para o núcleo.
c) Uma das bases é α = {(1, 1, 1), (3, 1, 0)}
d) Não, pois F ◦ G não é injetora (dim N(F ◦ G) = 1 ̸= 0) e não é sobrejetora (dim Im(F ◦ G) =
2 ̸= 3)
4.27 - Note que [(T 2 − I) ◦ (T 2 − 9I)] = [(T 2 − I)] × [(T 2 − 9I)]
4.29 - a) (S ◦ T )(3 + 2x − x2 ) = 2 − 4x2
b) (T ◦ S)(a + bx) = 2π + 4π x
4.30 - a) S−1 (x, y, z) =
x+z
2
2
+ x−z
2 t + yt .
b) ker(S ◦ T ) = {0}, (S ◦ T )(P2 ) = R3
4.5. Quarta lista de exercı́cios


3
0
1




β
c) [S ◦ T ]α =  0 −1 0 


−1 −3 −1


a b
 = (a + b + c, −a − b, a + 2b + c, −a − b − c + d)
4.31 - (S ◦ T )−1 
c d
4... - T (x, y, z) = (8x − y+ 9z, 4x + 4z, −13x + 2y− 15z).
4... - T (a + bt + ct 2 ) = 
a − c + 2b
−b
3b
a−c+b
 é uma possibilidade.
115