sebenta - matemática

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS
SEBENTA
EXAME DE ACESSO 2017
ENGENHARIAS E GEOCIÊNCIAS
LÍNGUA PORTUGUESA | LÍNGUA INGLESA | MATEMÁTICA | FÍSICA | QUÍMICA
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
MATEMÁTICA
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
61
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS
FICHA TÉCNICA
Título: Exame de Acesso 2016 - Engenharias e Tecnologias
Língua Portuguesa - Autores: Rita Dala, Ana Vasconcelos e João Bento.
Língua Inglesa - Autores: José Augusto, Sansão Norton e Théophile Wadigesil.
Matemática - Autores: Cláudio Bernardo, Francisco Gil, Leopoldina Paz
Colaboradores - Walter Pedro, Luísa Vega, Paulo Kaminda, Joaquim Bumba,
Valdik Fonseca, Paulo Teka, Cláudia Matoso, Valdick Jaime, Manuel Cabenda,
António Delgado, Alexis Carrasco, Cândido João e Odayla Perez.
Física - Autor: Karl Krush.
Química - Autores: Kátia Gabriel, Domingos Santana, Júlio Kuende, Martha
Molina, Magata Nkuba, Mário Rey, Mónica Francisco e Letícia Torres.
Colaborador - Miguel Clemente.
Editores - Kátia Gabriel, Emanuel Tunga e Cláudio Bernardo.
Capas e Separadores - Assessoria de Comunicação e Imagem
Morada
Av. Luanda Sul, Rua Lateral Via S10
Talatona - Luanda - Angola
Telefone:+244 226 690 417
Email: [email protected]
© 2015
INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE
TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS - ISPTEC
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
PREFÁCIO
Esta sebenta foi elaborada por uma equipa de Professores do Instituto Superior Politécnico de
Tecnologias e Ciências (ISPTEC) de diversas áreas de conhecimento, com o propósito de auxiliar
os candidatos no estudo dos conteúdos específicos avaliados nos Exames de Acesso, realizados
por esta instituição. Os conteúdos aqui descritos são as principais referências para candidatos que
pretendem ingressar no ensino superior pois, abarcam os conhecimentos mínimos necessários
para frequentar os Cursos de Engenharia desta instituição que é caracterizada pelos processos de
ensino e aprendizagem com qualidade e rigor alicerçados na investigação, inovação e extensão
universitária.
A sebenta contém conteúdos de quatro (4) disciplinas distribuídos da seguinte forma:
Língua Portuguesa: Tipo de texto; Categorias narrativas; Língua e comunicação; Ortografia;
Lexicologia; Verbos e tipos de conjugação.
Matemática:
Conjuntos
numéricos;
Potenciação
e
radiciação;
Equações
algébricas;
Desigualdades algébricas; Exponenciais e logaritmos; Trigonometria; Geometria no plano; Noções
básicas de derivadas.
Física: Mecânica; Fundamentos da termodinâmica; Eletricidade.
Química: Teoria atómica; Símbolos e fórmulas químicas; Soluções e unidades de concentração;
Cálculo estequiométrico; Cinética, química e equilíbrio químico; Teorias ácido-base; Trocas de
energia em reações químicas; Hidrocarbonetos.
Cada disciplina referida aborda, de forma resumida, os conteúdos programáticos do Ensino Médio
de Angola, na área de Ciências Exatas.
Para consolidar esses conteúdos, são apresentados exercícios resolvidos que permitem a
orientação e suporte dos candidatos na resolução de outros exercícios propostos.
Nesta perspectiva, o ISPTEC lança esta sebenta como material com valor acrescentado para
suportar os estudos realizados pelos candidatos na compreensão dos temas abordados no
percurso do ensino médio.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
i
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1 Principais Conjuntos Numéricos
Os conjuntos denotam-se por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C,… e os seus elementos por
letras minúsculas: a, b, c, x, y, ….Para indicar que a é um elemento do conjunto A, escrevemos:
a A e se a não é um elemento do conjunto A, escrevemos: a A. Para descrever qualquer
conjunto utilizamos dois recursos: 1º) Descrição pela citação dos elementos do conjunto,
Exemplo: M =  a, b, c, d e 2º) Descrição pela propriedade que caracteriza os seus elementos,
Exemplo: M: é o conjunto das quatro primeiras letras do alfabeto.
Os principais conjuntos numéricos são:
;
; Q e R. As relações entre conjuntos são mais
evidentes quando se mostram com Diagramas de Venn.
Exemplo:

é o conjunto dos números naturais e representa-se por:

é o conjunto dos números inteiros e representa-se por:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
= {0,  1,  2,  3, 4, …}
 Q é o conjunto dos números racionais e representa-se por:
Q =
 tal que os seus elementos
podem representar-se como uma
fração decimal que possui finitos algarismos após a vírgula (Exemplo:
ou como uma
fração decimal de infinitos algarismos de dízima periódica, isto é, após a vírgula repete-se sempre
algum dos algarismos (Exemplo:
Se os elementos
).
não podem representar-se como uma fração finita, pois
possui infinitos algarismo após a vírgula, mas não se repete nenhum, então eles não são
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
62
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
elementos
1
2
do
conjunto
Q
e
chamam-se
simplesmente
números
irracionais
(Exemplo:
 0,70710678.... ) cujo conjunto se denota por: I.
 R é o conjunto dos números reais que inclui os números racionais e os números irracionais. Os
subconjuntos dos números reais representam-se com intervalos.
1.2 Intervalos de Números Reais
Tabela 8 - Representação de intervalos de números reais
Intervalos
a,
Representação na recta real
b
Fechado
 a,
b
a≤x≤b
{x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}
a<x<b
{x ∈ ℝ : a < x < b}
a<x≤b
{x ∈ ℝ : a < x ≤ b}
a≤x<b
{x ∈ ℝ : a ≤ x < b}
b
a
b

Semiaberto
à esquerda
a,
Conjunto
b
Aberto
 a,
a
Condição
a
b
a
b
b
Semiaberto
à direita
Nota: o primeiro dos casos chama-se intervalo fechado, onde os extremos a e b estão incluídos; o
segundo chama-se intervalo aberto onde não estão incluídos os extremos e os dois restantes são
semiabertos (ou também semifechados).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Usando a notação de conjunto, escreva os seguintes intervalos:
a) ]−3, 6[
b) ]  , 6]
c) [
2 ,
3]
d) [−1, 0[
e) ]−∞, 0[
Solução: É importante observar se os extremos do intervalo estão incluídos. Neste caso usam-se
convenientemente os sinais  ou . Assim escrevemos:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
63
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
a) ]−3, 6[ =
b)
c) [
]  , 6] =
2 ,
x  R :  3  x  6
d) [−1, 0[
x  R :   x  6
e) ]−∞, 0[ =

3] = xR:
2x 3
b) B – A
x  R : x  0

2. Se A = {x ∈ ℝ : 2 < x < 5} e B = {x ∈ ℝ :
a)A ∩ B
= x  R : 1  x  0
3 ≤ x < 8}, determine:
c) A – B
Solução: em cada item é conveniente representar sobre a mesma recta numérica os intervalos A
e B, para determinar com precisão os elementos comuns e também observar se os extremos do
intervalo estão incluídos na união ou na intersecção. Nestes casos usam-se convenientemente os
sinais  ou . Assim escrevemos:
a)A ∩ B = { x ∈ ℝ : 3 ≤ x < 5} b) B – A = { x ∈ ℝ : 5 < x < 8 } c) A – B = { x ∈ ℝ : 2 < x < 3 }
3. Represente graficamente os resultados de cada expressão abaixo:
a)]  , 6] ∪ [−1, 1[
-1
b) [
2 ,
1 , 3]
3] ∩ [
2
1
1
2
2

6
3
3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Quais das alternativas abaixo são falsas?
a) {Ø} é um conjunto unitário
b) { } é um conjunto vazio
c) Se A = {1, 2, 3}, então {3} ∈ A
d) M = {x : x = 2n, onde n ∈ ℕ} é o conjunto dos números naturais ímpares
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
64
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
e) Ø ⊂ [
1 , 1 ]
2 2
f) Ø ⊂ [
g) B ∩ A ⊂ (A ∪ B)
1 ,- 1 ] ∪ { }
2
2
h) Q ⊂ (R −
)
2. Escreva cada proposição abaixo usando o sinal de desigualdade.
a) a é um número positivo
b) b é um número negativo
c) a é maior que b
3. Represente graficamente os seguintes intervalos:
a)
[−10, 11]
f)
b) −∞ < x <−1
]5, 7] ∩ [6, 9]
c) ]−3, 0]
g)
4. Sejam M = {x ∈ ℝ: 2 ≤ x <10},
d) √3 ≤ x ≤ √5
e) ]0, +∞ [
]−∞, 7] ∩ [8, 10]
N = {x ∈ ℝ: 3 < x < 8} e P = {x ∈ ℝ: 2 ≤ x ≤ 9}.
Determine o conjunto P − (M − N).
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. São falsos os itens:
c) Pois o elemento 3  A, mas o conjunto {3}  A.
d) Pois M é o conjunto dos naturais pares.
1 , 1 ] não é um conjunto de conjuntos, então não inclui o conjunto vazio
2 2
e) Pois o intervalo [
e tampouco é um conjunto que não tem elementos, logo não é igual ao Ø.
h) Pois
 Q e se do conjunto dos reais se elimina
então Q não pode estar incluído no conjunto (R −
2. a
;b
a
, está-se a eliminar uma parte de Q e
).
b
3. Apresentam-se os três primeiros:
a)
11
4. M – N =  3, 8 
b)

c)
8, 10 [
3
0
Logo P − (M − N) = ] 3 , 8 [
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
65
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
CAPÍTULO 2 - POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
2.1 Potenciação
A potência é o produto de n factores iguais a a, ou seja:
a n  a.a.a.
...
.a
 , n ∈ N.
n fat ores
a é a base;
onde : 
n é o expoente.
Exemplos:
a)
33  3  3  3  27
b)
 22
  2 2  4
c)  3 
4
2

3 3

4 4

9
16
2.2 Propriedades da Potenciação
A) Multiplicação de Potências da Mesma Base
Procedimento: conserva-se a base e somam-se os expoentes.
am . an = am + n
Exemplos:
a)
2 x  2 2  2 x2
c)
(0,9)8  (0,9)2  (0,9)5  (0,9)825  (0,9)15
b)
a4  a7  a47  a11
d)
24  28  248  212
B) Divisão de Potências da Mesma Base
Procedimento: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.
am
an
 a m n ;
a  0
ou
a
m n
am

an
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
66
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Exemplos:
a)
26
 263  23
3
2
34
3x
b)
 3
4
c) a  a 45  a 1
a5
4 x
d) a
4 x
a4
 x
a
C) Potência de Uma Potência
Procedimento: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
(a m ) n  a m.n
Exemplos:
a)
(32 )3  32.3  36
c)
b 
x 4
b)
 b x4  b 4 x
d)
4 
3 2
 432  46
 
37 x  37
x
D)Potências de Um Produto
Procedimento: Eleva-se cada factor a esse expoente.
(a m ) n  a m.n
Exemplos:
a)
x  a2
b) 4 x 
3
 
c) 3 x
d)
e)
4
 x2  a2
 43  x 3  64x 3
 
 34  x
1
x y x 2y
1
 3 4   x 2 
 
4
1
2
4
 34  x
4
2
 3 4  x 2  81x 2
 x  y  2  x  y
1
(5.4) 2  52.4 2  20 2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
67
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
E) Potências de Um Quociente
Procedimento: Eleva-se o dividendo e o divisor a esse expoente.
a
 
b
n
an
, com b  0 com n  0
bn

an
e
bn
n

a
  ;
b

1
25
(b  0)
Exemplos:
2
a) 
 
3
2

1
c)
22
32
4
9

2
2 2
2
 1  
3
3
3 2
1
2

b)  1 
2

5
2
3
d)  4 

9 

2

12
52
42
16

2
81
9
F) Potência decimal ou potência de base 10
Uma potência decimal é um múltiplo da potência de base 10, apresentando algumas vantagens:
a) Evita trabalhar-se com números muito extensos.
b) Estes números extensos podem ser substituídos por expressões com o mesmo significado
e valor.
Exemplos:
a)
103  10  10  10  1000
b)
105  10  10  10  10  10  100000
Conversão de 10 ou múltiplo de 10 numa potência decimal
Para realizar esta conversão, basta contar o número de zeros à direita do algarismo 1 (que
representará o expoente da potência).
O expoente indica-nos quantos zeros devem ser colocados à direita do algarismo 1
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
68
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Tabela 9 - Potência de base 10
Números
Potência
Resolve-se
10
101
10
100
10 2
10  10
1000
103
10  10  10
10000
10 4
10  10  10  10
100000
105
10  10  10  10  10
1000000
10 6
10  10  10  10  10  10
…
…
…
Múltiplos de potência de base 10
A partir de um número, obtém-se o seu produto e a sua potência.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
69
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Tabela 10 - Múltiplos de potência de base 10
Número
Produto
Potência
30
3 10
3 101
300
3  100
3 102
7 000
7  1000
7  103
2 000 000
2  1000 000
2  106
9 000 000 000
9  1000 000 000
9 109
11 000 000 000 000
11 1000 000 000 000
11 1012
25 000 000 000 000 000
25  1000 000 000 000 000
25 1015
194 000 000 000 000 000 000
194  1000 000 000 000 000 000
194 1018
214 000 000 000 000 000 000 000
214  1000 000 000 000 000 000 000
214 1021
G) Casos particulares
i) Base negativa:
A potência é Positiva se o expoente for par e é Negativa se o expoente for ímpar.
Exemplos:
a)  24   2 2 2(2)  16
b)  33   3 3 3   27
ii) Base positiva e expoente negativo: é igual ao inverso dessa potência com expoente
positivo.
a n 
1
an
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
70
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Exemplos:
a) a 3 
1 1
 
a3  a 
3
b)  2 
2
c)  4 2    1   1

2

 
3
4
d)  2 
 
 3
16
2
9
3
  
2
2
4
 
2
 
3
1
3

3
1
 2
 
 3
2
27
 3
    
8
 2
iii) Expoente fraccionário:
a
m
n

n
am
, a0
Exemplos:
a)
d)
x  2 x1  x
1
25 2

25
1
2

b)
x
e)
5
3
x7  x
8

3
7
3
c) a
3
x8
5
2

a5
f) 92  91  3
1
iv) Potência de expoente 1: é igual à base.
Qualquer número natural é uma potência de expoente 1 (um)
Exemplo:
a)
f)
(10)1  10 b) (10)1  10
10  10
1
5
1
1 1
 
g)
2 2
d) 71  7
1
c)  1   1
h)
d)
(0,8)1  0,8
e)
1225  1
5
 3   3
1
v) Potência de base 1 é igual a 1.
Exemplos:
a)
15  1
b)
13  1
1
2
c) 1
1
d)
21  2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
71
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
vi) Potência de base 0 (zero) é igual a 0.
a)
05  0
1
03  0
b)
d) 010  0
c) 0 2  0
e)
0225  0
vii) Potência de expoente 0 (zero): qualquer potência de expoente zero em qualquer base é
igual a 1 (um).
a 0  1,
(a  0)
Exemplos:
1
0
a) 12
f)
b)
(3)0  1
32  50  9  1  10
0
1
c)    1
2
d)
20  1
e)
2250  1
(100)0  10  1  1  2
g)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcule:
a)
12002
b)
24
c) (2)
4
d) ( 2 ) 4
3
2. Escreva numa só potência:
a)
35.32.37
b)
2 4.2 6
37.33
5
3
c) 10 .10 .10
7
10 .10 4
d)
 5 
3
4 2
3. Calcule cada uma das potências.
a)
2x 
2 3
b)  x 
3 
3 2
 29 
d) 
3
 2 2.2 

3
c)
8
6
3
2
2 
5 3/ 5
3

4. Assinale se as alíneas são verdadeiras ou falsas. Corrija as falsas.
a) 73  43  283
d)
b) (2  5) 2  2 2  5 2
c)
(9 4 ) 6  348
(0,25) 2  16
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
72
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
5. Escreva na forma decimal.
a) 10 6
c) 10 6
b) 10 8
d) 10 2
6. Escreva na forma de potência de base 2.
a)
 0,53
b)
 0,252
c)
 0,25 
2 3
d)
16 2 : 0,253
7. Simplifique dando a resposta na forma de potência de base 3.
(27 3 ) 6 .(2432 ) 4 .(3)
[(0,1) 2 ]3 .(7292 ) 3 .[(0,34 ) 2 ]6 .9
8. Calcular o valor das expressões:
a)
(7  3) 2 .10 2
10 3.10 1
9. Se x  36 e
a)
b)
5,4.0,036.23
2,3.0,054.0,36
c)
4 7.8 2.2
1024 2
d)
2 9.2.2 3
2 4.2 2.2 5
y  93 , então pode-se afirmar que:
x é o dobro de y
b) x – y = 1
c) x = y
d) y é o triplo de x
10. Se x = 4, indique o valor de

 x 2

 
2

1

x 2 . x 3  : x 5
 52  32   2 
11. Simplifique a expressão
32

0
3
1 1
 
5 2
2.3 Radiciação
A raiz enésima de um número a é indicado por:
n
a  b
Em
n

bn  a
a  0 e b  0, n
 Z e n  2
n - o índice;
a , temos : 
a - o radicando.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
73
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Exemplos:
4  2
a)
5
b)
22  4
pois
32  2
25  32
pois
2.4 Número Irracional
É um número real que não pode ser escrito sob a forma p/q, com p e q números inteiros.
Exemplos:
2,
3
5,
4
15
2.5 Conversão de Um Radical em Potência de Expoente Fraccionário
Um radical pode ser representado na forma de potência com expoente fraccionário:
n
m
am  a n
,
a  0.
Exemplos:
2 2
a)
1
2
b)
3
5 5
1
3
c)
3
5 5
2
2
3
2.6 Conversão de Um Radical em Potência de Expoente Fraccionário em Radical
Uma potência de expoente fraccionário pode ser transformada num radical
m
n
a 
n
am
, a0
Exemplos:
a)
10
3
( )
2

1
103
b)
2
3
5 
3
5
2
c)
5
2
( )
3

Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
1
3
52
74
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
2.7 Propriedades dos Radicais
a) Produto de radicais com o mesmo índice
Procedimento: Conserva-se o índice e multiplicam-se os radicandos, simplificando sempre que
for possível o resultado obtido.
Exemplos:
Efectue as multiplicações seguintes:






a) 2 7  3 5  2  3 7  5  6 35

b) 33 2  53 6  83 4  3  5  83 2  6  4  1203 48  2403 6
c)
 18x   2x  
3
2
3
3
1
1
36x 3  x3 36
3
2
d) 3  3 2  3 2  2 3  3 6  2 6  6 33  6 2 2  6 108


e) 3 2  2 

2  3  3( 2 ) 2  9 2  2 2  6  6  (9  2) 2  6  7 2
b) Divisão de radicais com o mesmo índice:
Procedimento: Devemos conservar o índice e dividir os radicandos, simplificando sempre que for
possível o resultado obtido.
Exemplos:
Efectue as divisões abaixo:
a)
3
20  3 10 
3
20

10
c) 30 15  5 3  30
5
e)
50 
2 
3
2
15
6 5
3
b)
28 
7 
28

7
d)
12 
3
12
2
3
4 2
50
5
2
c) Potência de radical
Procedimento: Para elevar um radical a uma potência, conservamos o índice do radical e
elevamos o radicando à potência indicada.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
75
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Exemplos:
Calcule as potências:
a)
 2
 (2 2 ) 2  2 2  2
b)
 9
 (3 32 ) 2  (3 3 ) 2  (3) 3  3 34  3 33.3  33 3
c)
4 5 
d)

1
2
2
2
3
2
3
4
 43 53  64 53  64 5 2.5  64.5 5  320 5

7  3  ( 7 ) 2  2 7 3  ( 3 ) 2  7  2 7.3  3  10  2 21  2(5  21)
2
d) Radical de radical
Procedimento: Devemos multiplicar os índices desses radicais e conservar o radicando,
simplificando o radical obtido, sempre que possível (considerando o radicando um número real
positivo e os índices números naturais não-nulos).
mn
a 
m.n
1 . a  mn a , a  0
Exemplos:
Reduza a um único radical:
81  2 x 2 1 81  4 81
a)
3
b)
7  3 x 2 1 7  6 7
2
3
c)
d)
4
1
52  2 x3 x 2 11 52  12 52  512  5 6  6 5
23 5  4 x 2 x 3 1  2 3  5  24 40
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
76
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
2.8 Redução dos Radicais
Para reduzir os radicais ao máximo possível, devemos decompor primeiro os radicandos.
Exemplos:
144  24  32  22  3  12
a)
b)
243 
3
3
243  3 35  3 32  33  3  3 9
8  18  2 2  3 2   2
c)
2.9 Racionalização
Procedimentos: Recorrer às propriedades de radiciação.
1.
Temos no denominador apenas raiz quadrada:
4
3
2.
2
x
3

4 3

 3
2

4 3
3
5
1
x2
3.
2
Temos que multiplicar numerador e denominador por
x
3
x2
3
x2
1
b)
5
3
3
Temos no denominador raízes com índices maiores que 2:
a)
3
4

3

x


2  3 x2
3
x1  x 2
2  3 x2


x1 2
3
2  3 x2
3
3
5
x3
5
x3
5

5
x3
x2  x3

5
5
x3

x3
x 23
5
x3
5
x5
2  3 x2
x

Temos que multiplicar numerador e denominador por
2
x 2 , pois 1 + 2 =3.

5
x 3 , pois 2 + 3 = 5.
5
x3
x
Temos no denominador soma ou subtração de radicais:
2

7 3



2

7 3
 

    
7 3
2 7 3

2
7 3
7  3
2


2
 
7 3
2

73
 
7 3

4
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
7 3
2

77
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fraccionária:
1
100
a)
b)
c)
0,81
4
9
d)
2,25
2. Calcule a raiz indicada:
a)
9
a3
b) 3
t7
c)
48
d)
4 12
t
3. Escreva na forma de potência com expoente fraccionário:
a)
b)
7
4
23
c)
5
32
6
d)
a5
4. Escreva na forma de radical:
a)
8

1
2
b)
a
5
7
c)
a b
3
1
4
d)
m n

2
1
5
5. Calcule as seguintes raízes:
a)
3
b)
125
5
c)
243
3
 125
d)
5
1
6. Factorize e escreva na forma de potência com expoente fraccionário:
a)
3
32
b)
8
c)
512
8
d)
625
4
27
7. Simplifique os radicais:
a)
5
a 10 x
b)
a 4b 2c
c)
25a 4 x
3
432
8. Determine as somas algébricas:
a)
73
5
2  23 2  3 2
3
4
3
b) 5
2  83 3  2  43 2  83 3
9. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas:
a)
4
96  4 486  24 6  94 243
b) 43 81  813 375  103 24
64
729
125
 1 6 3 10 5 10  .
y a  a y 
2

10. Simplifique a expressão  4 a 2 y 4  
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
78
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
11. Racionalize as expressões:
a)
2
2
3
5 3
2
3 1

3 1
b)
3 1
3 1
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE RADICIAÇÃO
1
4
9
10
c)
15
10
b)
23 6
c)
t3 t
1
3
2
5
3.
2
a) 7
b)
24
5
c) 3
6
d) a
4.
1
a) 8
5.
a)
1.
a)
1
10
2.
a)
3
b)
a
b)
5
b)
5
3
6.
a)
2
7.
a)
a2 5 x
8.
a)
9.
a)

34 6  273 3
10. 10.
11.
a)

a5
c)
3
b)
11 3
2
12
7
5
c)
2
d)
3
7
3
b)
b)
4
t
1
a 3 .b
d)
5
m 2 .n
d)  1
4
3
7
c) 3
4
d) 3
a 2b c
b)
d)

c)
5a 2 x
d)
62 2
22
443 3
y
a
2
5  3 3 4
b) 4
CAPÍTULO 3 – POLINÓMIOS
3.1 Definição
Um polinómio na variável real x é definido como sendo uma soma algébrica de monómios.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
79
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Px   an xn  an1xn1  ...  a2 x2  a1x1  a0 , onde (n ∈ℕ0).
3.2 Monómio
Um monómio é uma expressão constituída por um número, por uma variável ou por um produto
de números de expoentes naturais.
3.3 Grau de Polinómio
Dado o polinómio
Px   an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x1  a0 , não identicamente nulo, com
an  0 , o grau do polinómio é dado pela mais alta potência da variável do polinómio P(x).
Tabela 11 - Grau de polinómios
Exemplos
Procedimentos
Grau do polinómio
Px   4 x3  3x  5
Expoente do maior termo
3
P  7 x 3 y 2  2xy  15
Soma dos expoentes do termo de
maior grau
Número
5
Px  5
0
Observação:
Um Polinômio é nulo, (P(x) = 0) quando todos os coeficientes são iguais a Zero.
Exemplos:
a) P(x) = 0 x 4  0 x 3  0 x 2  0 x  0 = 0
b) Se P( x)  (a  7) x 3  4(2  b) x 2  6(c  2) x  4d é identicamente nulo, concluímos que:
a7
a  7  0
 4(2  b)  0  b  2


6(c  2)  0  c  2

d0
 4d  0
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
80
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
a) Em relação a uma das variáveis, o grau do polinómio é dado pelo maior expoente
dessa variável.
Exemplos:
a)
P( x)  5x3  3x 2  4x  5  gr( P( x))  3  Polinómio do 3º grau
b)
P  5yx 3
gr( P)  3  grau do polinómio P(x) em relação a x
gr( P)  1  grau do polinómio P(x) em relação a y
c)
P  2xy2  4 x 2 y
gr( P)  2  grau do polinómio P(x) em relação a x
gr( P)  2  grau do polinómio P(x) em relação a y
3.4 Valor Numérico
Quando é atribuído um número à variável
x , ou seja x   (  ℝ), e calculamos
P   an n  an1 n1  ...  a2 2  a1 1  a0 , dizemos que P  é o valor numérico do polinómio
para
x  .
Exemplos:
Determinar o valor numérico do polinómio
a)
Px  x 3  4 x 2  6 x  4 para:
b) x   1
2
x 1
c)
x0
d) x  3
Resolução:
a)
Substituindo a variável
x por 1 teremos:
P1  13  41  61  4  1  4  6  4  1
2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
81
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
b)
Substituindo a variável x por   1  teremos:

3
2
2
1
65
 1  1
 1
 1
1
 1
P        4    6    4    4     6      4  
8
8
 2  2
 2
 2
4
 2
c)
P0  03  402  60  4  0  0  0  4  4
d)
P3  33  43  63  4  27  36  18  4  5
2
EXERCÍCIOS
1.
Determine o valor numérico dos seguintes polinómios:
a)
P x  
b)
Px   7 x  15 para x  5
2.
A partir do polinómio
3 2
x para x  3
4
c)
Px  2x 3  2x  5
d)
para
x2
Px  3x 3  4x 2 para x  1
Px  x 2  2 x  a , obtenha o valor numérico de
a , de modo que
P3  10 .
3.
Determine o grau dos seguintes polinómios:
a)
F (a)  3ab3  5a 2bc 2  3a 3b
d) B( y)  10cx2  4 y
b)
G( x)  5a 2 x  3ax2  8x 4  3ax3
e) L( x)  10dx3  4
c)
D(b)  4bx2  2bx  2
f) A( x)  33x  41x 2
3.5 Operações com Polinómios
Sejam P x  e Q x  , tais que
Px   an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x1  a0 ,
e
Qx   bn x n  bn1 x n1  ...  b2 x 2  b1 x1  b0 e a, b  ℝ .
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
82
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
3.5.1 Adição (ou Soma) e Subtração (ou Diferença) de Polinómios
As operações de adição e subtração de polinómios requerem a aplicação de jogos de sinais,
redução de termos semelhantes e o reconhecimento do grau do polinómio. Vejamos com
exemplos,
como
são
realizadas
as
operações
de
adição
e
subtração.
a) Adição
Px   Qx   a n  bn x n  a n 1  bn 1 x n 1  ...  a1  b1 x1  a0  b 0 
Observação: P  x   Q x   P  Q  x 
Exemplo:
Dados os polinómios P x  e Q x  , calcule P x   Q x 
Px   3x 3  2x 2  7 e Qx   3 x 4  7 x 3.  2x  1.
Somando-se os coeficientes dos termos do mesmo grau, obtemos:
Px  Qx  0  3x 4  3  7x 3   2  0x 2  0  2x  7  1  3x 4  4x 3  2x 2  2x  8
b) Subtração
Subtraindo-se os coeficientes dos termos de mesmo grau, obtemos:
Px   Qx   an  bn x n  an1  bn1 x n1  ...  a1  b1 x1  a0  b 0 
Observação: P  x   Q x   P  Q  x 
Exemplo: Dados os polinómios P x  e Q x  , calcule P  x   Q  x 
Px  3x 3  2x 2  7 e Qx  3x 4  7 x 3.  2x  1.
Subtraindo-se os coeficientes dos termos de mesmo grau, obtemos:
Px  Qx  0  3x 4  3  7x 3   2  0x 2  0  2x  7 1  3x 4 10x 3  2x 2  2x  6
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
83
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
1.
Efectue as seguintes adições de polinómios:
a)
2x
2
 9 x  2  3x 2  7 x  1
b)
5x
2
 5x  8   2 x 2  3x  2
c)
2x
2.
fectue as seguintes subtrações de polinómios:
a)
6x
b)
 2a
c)
4x
3
 
 

 
 5x 2  4 x  2 x 3  3x 2  x
 


 6 x  9  3x 2  8x  2
2
3

2
 

 

 3a  6   4a 2  5a  6
 6 x 2  3x  7 x 3  6 x 2  8x
Resolução:

 

 

 

1.a) 2 x 2  9 x  2  3x 2  7 x 1  2 x 2  9 x  2  3x 2  7 x 1  5x 2  2 x  1

1.b) 5x 2  5x  8   2 x 2  3x  2  5x 2  5x  8  2 x 2  3x  2  3x 2  8x  10

1.c) 2x 3  5x 2  4 x  2 x 3  3x 2  x  2x 3  5x 2  4x  1  2x 3  3x 2  x  4x 3  2x 2  5x
2.a) 6 x 2  6 x  9  3x 2  8x  2  6 x 2  6 x  9  3x 2  8x  2  3x 2 14x  11

 

2.b)  2a 2  3a  6   4a 2  5a  6  2a 2  3a  6  4a 2  5a  6  2a 2  2a
2.c) 4 x 3  6 x 2  3x  7 x 3  6 x 2  8x  4 x 3  6 x 2  3x  7 x 3  6 x 2  8x  3x 3  5x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1.
Efectue as seguintes adições e subtrações:
a)
5x
b)
y
c)
9x
2
2
 
 2ax  a 2   3x 2  2ax  a 2
 
 3y  5   3y  7  5 y 2
2
 



 4x  3  3x 2  10
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
84
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
d)
7 x  4 y  2  2 x  2 y  5
e)
x
f)
7ab  4c  3a   5c  4a  10
2
 

 2 xy  y 2  y 2  x 2  2 xy
Resposta:
a)
2x  ;
2
b)
 4 y
2

2 ;
c)
e) 0  ;
d) 5 x  2 y  3 ;
12x
2

 4 x  13 ;
f) 7 ab  c  7 a  10
3.6 Multiplicação de polinómios
3.6.1 Multiplicação de Polinómios por Um Número Real (ou Escalar)
Na multiplicação de um polinómio por um número real (ou escalar), devemos observar o seguinte
procedimento: seguir cuidadosamente a regra dos sinais e a redução dos termos semelhantes.
3.6.2 Regra de Sinais da Multiplicação
     ;
     ;
    
e
    
k  Px   k  an x n  k  an1 x n1  ...  k  a2 x 2  k  a1 x1  k  a0
Observação: k  P  x   k  P  x  ,

k_constant e
Exemplos:
Multiplique os seguintes polinómios pelas constantes correspondentes:
a)
Px   3x3  2 x 2  7 e k  -4
Multiplicando-se os coeficientes dos termos do polinómio pela constante
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
- 4 obtemos:
85
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
 4Px   43x 3  2x 2  7   43x 3   42x 2   47  12x 3  8x 2  28
b)
Px   5x 4  3x 3  7 x  3 e k  2.
Multiplicando-se os coeficientes dos termos do polinómio pela constante
2 obtemos:
2Px  2 5x 4  3x 3  7 x  3  25x 4  23x 3  27 x  23  10x 4  6x 3  14x  6
3.6.3 Multiplicação de Um Monómio por Um Polinómio
Para multiplicarmos um polinómio por um monómio devemos multiplicar cada monómio do polinómio
por cada monómio multiplicador, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.
Vejamos o exemplo abaixo:
Multiplicar o polinómio
2 x 2  y pelo monómio 7xy2 .
Efectuando as multiplicações, teremos:

 
 

7 xy2  2 x 2  y  7 xy2  2 x 2  7 xy2  y  14x 3 y 2  7 xy3
Veja mais exemplos:
a)
2a  7b  3c  2a  7b  2a  3c  14ab  6ac
b)
4x  2 y    3x  4x 3x  2 y 3x  12x 2  6xy
c)
6a  5b   3c  (6a  3c)  5b  3c   18ac  15bc
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1.
Multiplicar o polinómio 7ax 2  4ax  a  2 pelo monómio
3a 2 x .
efetuando as multiplicações, teremos:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
86
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
7ax
2
 
 
     
 4ax  a  2  3a 2 x  7ax 2 3a 2 x  4ax 3a 2 x  a  3a 2 x  2  3a 2 x 
 21a 3 x 3  12a 3 x 2  3a 3 x  6a 2 x
2.




3x 2 y  2 xy2  x 3  5 y 3 pelo monómio  xy1 .
Multiplicar o polinómio
Efectuando as multiplicações, teremos:
3x
2








y  2 xy 2  x 3  5 y 3   xy 1  3x 2 y  xy 1  2 xy 2   xy 1  x 3   xy 1  5 y 3   xy 1 
 3x 3 y 0  2 x 2 y 1  x 4 y 1 x  5 xy 2  3x 3  2 x 2 y  x 4 y 1  5 xy 2
Multiplicar o polinómio x 3  5 x 2  10 x  7 pelo monómio
3.
 2x .
2
Efectuando as multiplicações, teremos:
x
3


 6 x  10x  20x  14x
5
4.








 5x 2  10x  7   2 x 2  x 3  2 x 2  5x 2  2 x 2  10x   2 x 2  7   2 x 2 
4
3
2
Multiplicar o polinómio y 2  2 y  1 pelo monómio 0,5 y 3 .
Efectuando as multiplicações, teremos:
y
2






 2 y  1  0,5 y 3  y 2 0,5 y 3  2 y 0,5 y 3  1  0,5 y  
 0,5 y 5  y 4  0,5 y 3
5.
Multiplicar o polinómio x 3  3x 2 pelo monómio
x
.
2
Efectuando as multiplicações, teremos:
x 3
x
x4
3x 3
 x
3
2
2

   x  3x   x    3x  
2
2
2
2
2
6.
2x .
Multiplicar o polinómio 2 x 2  1 x pelo monómio
3
3
2
Efectuando as multiplicações, teremos:
1 
2x  2 2 
x1 
4x3
2x 2
 2x   2 2
x 


 x 
 x 
 x 
2 
3 3
22 
9
6
 3  3

Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
87
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
7.
Simplifique as expressões:
a)
2a  a 4  5a  3a 3  a 2  2
b)
2y y2  2y
y 2 3 y  7

5
5






Resolução:




a) 2a  a 4  5a  3a 3  a 2  2 
 2a 5  10a 2  3a 5  6a 3
 a 5  6a 3  10a 2


2 y y2  2 y
y 2 3 y  7 


5
5
2 y3  4 y 2
3 y3  7 y 2


5
5
3
2
3
2y
4y
3y
7 y2




5
5
5
5
3
3
2
2y
3y
4y
7 y2




5
5
5
5
3
2
y
3y


5
5
b)
3.6.4 Multiplicação de Um Polinómio por Um Polinómio
Para multiplicar dois polinómios, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação
à adição e à subtração. Isto é, multiplicamos cada termo do 1º polinómio por cada termo do 2º
polinómio. Em seguida, agrupamos os termos semelhantes.
Exemplos:
1.
Se multiplicarmos 3 x  1 por
3x  1  5x 2


2

5x
2
 2, teremos:
→ aplicar a propriedade distributiva.


3x  5x 2  3x  2  1  5x 2  12  15x 3  6 x  5x 2  2


Portanto: 3x  1  5x 2  2  15x 3  5x 2  6 x  2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
88
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
2.
Multiplicando
2x
2
2x
2
 x  1 por 5 x  2  , teremos:

 x  1  5x  2 → aplicar a propriedade distributiva.
2x 2  5x   2x 2   2  x  5x   x   2  1  5x   1   2
 10 x 3 - 4x 2  5x 2´ 2x  5x  2
 10 x 3  x 2  3x  2
Portanto:
3.
a)
2x
2

 x  1 5x  2  10x 3  x 2  3x  2
Dados os polinómios P  x  e Q  x  , calcule P
Px   3x 3  2 x 2  7

 3x
e

Qx   3x4  3

Px Qx   3x3  2 x 2  7 3x 4  3
3
 
x   Qx 
 
 
 

 3x 4  3x3  3  2 x 2  3x 4  2 x 2  3  7  3x 4  7  3
 9 x 7  9 x3  6 x 6  6 x 2  21x 4  21
 9 x 7  6 x 6  21x 4  9 x3 - 6x 2  21
b)
Px   3ab  5ab 2 e Qx   2a  7a 2 b 3



2
2
2 3
2
2
2 3
 3a b  2a   3a b  7 a b   5ab  2a   5ab  7 a b 
P  Q  3a 2b  5ab2 2a  7 a 2b3
3
4 4
2 2
3 5
 6a b  21a b  10 a b  35 a b
 21a 4b 4  35a3b5  6a3b2  10a 2b2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
Efectue os seguintes produtos:
a)
3 x  5

b)
2 x x  5

c) 4 x a  b
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017

89
Sebenta – Engenharias e Tecnologias

d)
2x x 2  2x  5

e) 3 x  2  x  5
g)
3x

h)
2
 4x  3 x  1
x
3

f)

 2 x3  8
x  4 y  x 
y


Resolução
a)
3 x  5   3x  15 ; b) 2xx  5   2 x 2  10x
c)
4 xa  b   4ax  4bx d) 2xx 2  2x  5   2x 3  4x 2  10x
e)
f)
3x  2x  5   6 x 2  15x  2 x  10
 6 x 2  17 x  10
x  4 y x  y   x 2  xy  4 xy  4 y 2
 x 2  4 y 2  5 xy
g)
3x
h)
x
2
3

 4x  3 x  1  3x 3  3x 2  4x 2  4x  3x  3  3x 3  x 2  7 x  3

 2 x3  8
 x
6
 8x3  2 x3  16  x6  6 x3  16
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Considere os polinómios:
Px  x 2  3x  5
; Qx    x  5 e
Rx   3x 3  2 x  1
Calcule:
a)
P x   Q x 
b) P x   R x 
c) P  x   Q  x 
e) 3  Q  x 
d) P  x   Q  x 
f) R  x   Q  x 
Respostas:
a)
x
d)
 x
2
 4 x  10
3

 8x 2  20x  25
b)
3x
e)
 3x  15
5

 9 x 4  17 x 3  7 x 2  13x  5
f)
3x
5
c)
x
2
 2x

 9 x 4  17 x 3  7 x 2  13x  5
2. Efectue e simplifique as expressões seguintes:
a)
xx  2 
b)
ab  c   ba  c 
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
90
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
c)
3x  2  1 x 2   3xx  1

d)

2


x 4 x 3  x 2  1  3xx  4
Respostas:
a)
3.
x
2
 2x
;
b)
2ac 
;
c)
 3 3

2
  x  2 x  3x  ;
 2

d)
4x
4
 x 3  3x 2  11x

Calcule os seguintes produtos:
a) 4 x
x
a  b 
b) 2 x
d) 6 x 2  46 x 2  4
e)
x
2
2
 2 x  5
c) 3 x  2 2 x  1

 x  1 x  1
Respostas:
a)
4 xa  4 xb
b)
d)
36x
e)
4

 16
2x
3x
3
 4 x 2  10x
3
 x 2  7x  3
c)

6x
2

 7x  2
3.6.5 Divisão de Polinómios
3.6.5.1 Divisão de Polinómios Pelo Método das Chaves
Dados os polinómios P(x) e Q(x) e
Px   Qx   qx ,
pois
qx   Qx   r x   Px ,
onde
r x  é o resto da divisão.
O resto da divisão r  x  é um polinómio cujo grau não pode ser igual nem maior que o grau do
divisor Q  x  .
As partes que constituem uma divisão são:
P x   Dividendo;
Q x   Divisor ;
q  x   Quociente
e
r  x   Resto
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
91
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Este método consiste no seguinte formato
P(x)
Q(x)
r(x)
q(x)
Exemplo 1:
Divida
Px  x 3  3x 2  4x  1
por
Qx  x2  x  1
.
1º) Escolha o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos termos do divisor.
Pode também dividir directamente o 1º termo de maior grau do polinómio P  x  (dividendo) pelo
1º termo de maior grau do polinómio Q  x  (Divisor);
x3
 x , obtendo assim o 1º termo do
x2
quociente.
2º)
Multiplique o termo do quociente obtido e passe o inverso do resultado para subtrair do
polinómio.
3º) Agora deve repetir o primeiro passo, escolher o termo conveniente para multiplicar pelo
primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do polinómio que foi resultado da
primeira operação.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
92
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
4º) Repita o mesmo processo do segundo passo.
Como o resto tem um grau menor do que o grau do divisor não é possível continuar com a
divisão. Assim temos que
qx   x  4
e que
r x    x  3
.
Exemplo 2:
12 x 3  4 x 2  8x
4x
 12x 3
3x 2  x  2
0x  4x 2
 4x 2
0 x  8x
+ 8x
0
Assim temos que
qx  3x 2  x  2
e o resto
r x   0
.
Exemplo 3:
10 x 2  43x  40
2x  5
5x  9
 10 x 2  25x
0 x  18 x  40
18 x  45
5
Assim temos que
qx   5 x  9
e o resto
r  x   -5 .
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
93
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Exemplo 4:
6 x 4  10 x 3  9 x 2  9 x  5
2x 2  4x  5
 6 x 4  10x 3  9 x 2
3x 2  x  1
0x 4  2x 3  6x 2  9x  5
 2 x 3  4 x 2  5x
0x 3  2x 2  4x  5
2x 2  4x  5
0
Assim temos que
qx   3x 2  x  1
e o resto
r x   0 .
Exemplo 5:
12x 3  19x 2  15x  3
3x 2  x  2
4x  5
 12 x 3  4 x 2  8x
0 x 3  15x 2  7 x  3
 15x 2  5 x  10
2x  7
Assim temos que
qx   4 x  5
e o resto
r x   2 x  7
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Calcule os seguintes quocientes:
a)
2x
c)
7x  2x
2

 5x  12  x  4
4

 3x 5  2  6x 2  3x  2
b)
6x
d)
4a
4
2
 

 11x 3  5x 2  18x  7  2x 2  3x  1

 7a  3  4a  3
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
94
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
e)
3x
3
 

 13x 2  37 x  50  x 2  2x  5
f)
x
3
 

 6x 2  7 x  4  x 2  2x  1
Respostas:
3x 2  x  6 e resto  x  1 ;
a) 2 x e resto 0;
b)
d) a  1 e resto 0
e) 3 x  7 e resto 0
c)
x 4  2 x  1 e resto 0 ;
f) x  4 e resto 0
3.7 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
O dispositivo prático de Briot-Ruffini consiste na divisão de um polinómio por um divisor do
primeiro grau da forma ( x   ) , onde
 é uma das suas raízes.
Exemplo:
Dados: P(x) = 5x3 – 2x2 + 3x – 1 e Q(x) = x – 2.
Aplicando a regra do Briot Ruffini, teremos:
O primeiro coeficiente de P(x) é o 5. Repete-se o primeiro coeficiente na linha de baixo
Em seguida, multiplica-se o 5 por 2 e soma-se o resultado com o segundo coeficiente de P(x), o
número (– 2), isto é, 5.2 + (– 2) = 8. O resultado 8 deve ser escrito em baixo do coeficiente
(– 2).
Repete-se o processo, multiplicando 8 por 2 e somando-se o terceiro coeficiente de P(x), o
número 3. O cálculo é dado por 8.2 + 3 = 19. Escreve-se o resultado em baixo do coeficiente 3.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
95
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Aplicando o mesmo procedimento pela última vez, multiplica-se o 19 por 2 e soma-se o resultado
ao (– 1), ou seja, 19.2 + (– 1) = 37. O resultado (37) é colocado em baixo de ( –1) e é
o resto da nossa divisão.
O polinómio resultante dessa divisão tem como coeficientes 5, 8 e 19 e terá um grau a menos
que o polinómio inicial. Isto é, a divisão de 5x3 – 2x2 + 3x – 1 por x – 2 é 5x2 + 8x + 19 e
o resto da mesma é r = 37.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Seja o polinómio P (x) = 3x4-2x3+4x-10, efectuar a divisão pelo binómio (x-2).
Vemos que P (x) está incompleto, faltando o termo 0x2. Completamo-lo da seguinte forma:
P (x) = 3x4-2x3+0x2+ 4x-10
Concluímos que o quociente q(x) = 3x3+4x2+8x+20 e o resto r(x)= 30
2. Efectuar, utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, a divisão do polinómio
P(x) = 2x4 + 4x3–7x2+12 por Q(x) = (x – 1).
Resolução
Concluímos que o quociente q(x) = 2x3 + 6x2 – x – 1 e o resto r(x) = 11
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
96
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
3. Obter o quociente e o resto da divisão de
P(x) = 2x5 – x3 – 4x + 6 por Q(x)=(x + 2).
Resolução
Assim sendo, o quociente q(x) = 2x4 – 4x3 + 7x2 – 14x + 24 e o resto r(x) = – 42
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto, caso exista, da
divisão de:
Qx   x  3
a)
Px  2 x 2  3x  2
b)
Px  x 4  3x 2  x  5
c)
Px  2x 3  7 x 2  2x  1
d)
Px  2x 3  10x 2  8x  3
e)
Px  x 2  2x  1 por Qx   3x  1
f)
Px  2x 3  3x 2  x  2
por
por
Qx   x  2
por
por
por
Qx   x  4
Qx   x  5
Q x   2 x  1
Soluções:
a)
qx   5 x  18 ; r x   56
b)
qx  x 3  2x 2  7 x  13 ; r x  21
c)
qx  2x 2  x  6 ; r x  25
d)
qx  2x 2  8 ; r x  37
e) qx  
f)
x 7

3 9
qx  x 2  x
; r x  
16
9
; r x   2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
97
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
3.8 Produtos Notáveis e Factorização
3.8.1 Produtos Notáveis (ou Casos Notáveis)
Tabela 12 - Produtos notáveis
Designação
Expressão
Produto da soma pela diferença
x  y x  y 
x  y 2
x  y 2
x  y 3
x3  3 x 2 y  3xy 2  y 3
x  y 3
x 3  3x 2 y  3 xy 2  y 3
Quadrado de uma soma
Quadrado de uma diferença
Cubo de uma soma
Cubo de uma diferença
Expansão do
produto
x2  y2
x 2  2 xy  y 2
x 2  2 xy  y 2
Produtos especiais

x  y x  y   x 2  y 2

x  y x 2  xy  y 2   x 3  y 3

x  y x 2

x  y x  y x 2  y 2   x 4  y 4

x  y x 4

x  y x  y x 2  xy  y 2 x 2  xy  y 2   x 6  y 6

x  y 2  x  y 2

 xy  y 2  x 3  y 3

 x 3 y  x 2 y 2  xy3  y 4  x 5  y 5
 4 xy
Exemplos:
a)
x  4x  4  x 2  42
 x 2  16
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
98
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
b)
3x  5 y 3x  5 y   3x 2  5 y 2
c)
3  23  2  32  22
d)
x  12  x 2  2x 1  12  x 2  2x  1
e)
3x  4 y 2  3x 2  23x4 y   4 y 2  32 x 2  24xy  4 2 y 2  9 x 2  24xy  16 y 2
f)
x  23  x3  3x 2 2  3x22  23  x3  6x 2 12x  8
g)
2x  33  2x3  32x2 3  32x32  33  8x 3  36x 2  54x  27
 32 x 2  5 2 y 2  9 x 2  25 y 2
94 5
3.9 Completar Quadrado
O método de completar quadrado consiste em formar trinómios quadrados perfeitos. Este foi
criado por Al-Khowarkmi.
Para completar o quadrado é necessário recordar qual é a forma de um trinómio quadrático
perfeito.
x 2  2ax  a 2
Nesta equação:
O coeficiente do primeiro termo deve ser 1 (repara que
O último termo
a2
 ).
x2  1 x2
é o termo independente.
O coeficiente do termo do meio é o dobro da raiz quadrada do último termo pelo 1º termo
(
a 2  a ; e o seu dobro  2 a ).
Desta forma teremos:
x 2  2ax  a 2  0  x  a 2  0   x  a  x  a   0  x  a
(neste caso há uma raiz dupla).
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
99
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Exemplos:
a) x 2  8 x  16  0

O coeficiente do primeiro termo é 1.

O último termo é o quadrado perfeito de 4.

O coeficiente do termo do meio é o dobro da raiz quadrada do último termo.
Então x 2  8 x  16  0
2
 x  4  0  x  4 (raiz dupla)
b) x 2  11x  24  0

O coeficiente do primeiro termo é 1.

O último termo não é um quadrado perfeito.

O coeficiente do termo do meio não é o dobro da raiz quadrada do último termo.
Nestes casos multiplica-se e divide-se o 2º termo, por 2 e eleva-se a metade desse número ao
quadrado. Em seguida, adiciona-se para completar o quadrado perfeito, e como não podemos
alterar a equação inicial, subtraímos a metade e desse número ao 3º termo.
2
2
 11 
 11 
 11 
x 2  2  x        24  0
 2
2
2
2
2
11 

 11 
  x       24  0
2


2
2
11 
121 96

 x   

0
2
4
4


2
11 
25

 x   
0
2
4


2
2
11 

5
  x       0  usando a 2  b 2  a  b a  b  vem :
2


2
11 5 
11 5 

  x    x     0
2 2 
2 2

16 
6

  x   x    0
2 
2

 x  8x  3  0
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
100
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
A equação tem duas raízes reais: x1  8 ou x 2  3
b) Resolução de equação quadrática através do método de Completar o quadrado:
Dada a equação 2 x 2  12 x  8  0
 Para tornar o coeficiente do termo x 2 igual a 1, dividimos ambos os termos da equação por 2 :
x 2  6x  4  0
 Multiplica-se e divide-se o 2º termo, isto é, o coeficiente de “ x ” por 2 (dois) e adiciona-se e
subtrai-se o quadrado da metade do coeficiente do termo em “ x ”para formar o quadrado
perfeito:
2
2
6
6
6
2
2
x  2  x        4  0  x 2  23x  3  3  4  0
2
2
2
2
 x  3  9  4  x  3  5  0 
2

 x 3
2

5 x 3

5

2
0
5 0
A equação tem duas soluções (ou raízes):
d)
x  32  
x1  3 
5
ou
x2  3 
5
x 2  8 x  16  0
• O coeficiente do primeiro termo é 1
• O último termo é o quadrado perfeito de 4 (reparar que 16  4 2 )
• O coeficiente do termo do meio é o dobro da raiz quadrada do último termo
Então x 2  8 x  16  0
 x  4  0  x  4 (neste caso há uma raiz dupla)
2
3.10 Factorização
A factorização de um polinómio consiste em colocá-lo na forma de um produto de dois ou mais
factores.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
101
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
3.10.1 Condições de Factorização de Polinómios
I. Colocação de Factor Comum em Evidência
Coloca-se em evidência o factor comum do polinómio para obter a forma factorizada.
Exemplos:
a)
2 xy  3 y  2 x  y  3  y  y 2 x  3
b)
x 2  4 x  x  x  4  x  xx  4
c)
8x 3  4x 2  12x  4x  x 2  4 x  x  4x  3  4x 2x 2  x  3
d)
x 3 y  xy3  xy  x 2  xy  y 2  xy x 2  y 2




II. Agrupamento
Agrupam-se termos do polinómio que possuem factores em comum que são colocados em
evidência.
Exemplos:




a)
2x 3  x 2  4x  2  2x 3  x 2  4x  2  x 2 2x  1  22x  1  2x  1 x 2  2
b)
6x 2  5x  4xy  10 y  6x 2  5x  4xy  10 y   x6x  5  2 y2x  5


III. Factorização de Trinómios Quadrados Perfeitos
Os Trinómios quadrados perfeitos são o resultado da expansão do quadrado de uma soma ou do
quadrado de uma diferença de dois termos. Para factorizar um Trinómio quadrado perfeito é
preciso identificar quais são esses termos, o que é feito por inspeção (ou tentativa).
Exemplos:
Factorize as seguintes expressões:
a)
4 x 2  4 x  1  2 x   22 x 1  1  2 x  1
2
2
2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
102
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
b)
9 x 2  12 x  4  3x   23x 2  2  3x  2
c)
16 x 2  24 xy  9 y 2  4 x   24 x 3 y   3 y   4 x  3 y 
d)
x 2  10 x  25  x   2x 5  5  x  5
e)
64 x 2  80 x  25  8 x   28 x 5  5  8 x  5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1. Factorize as seguintes expressões:
a)
6 x 3  8x 8
b)
4ax 2 6a 2 4 x 2  4a 3 x 2
c)
10000  x 2 y 2
d)
a 2b 4  9
e)
ax 2  bx 2  3a  3b
f)
25a 4  100b 2
g)
33xy2  44 x 2 y  22 x 2 y
Respostas:


a) 2 x 3 3  4 x 5
d)
f)
ab
5a
2
2


2ax 12a  2a 
e) ax  3  bx  3

 3 ab 2  3

2
b)
 10b 5a 2  10b
2

g)
c) 100  xy100  xy
2
2
ou
x 2 a  b  3a  b
11xy3y  4 x  2 x 
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
103
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
CAPÍTULO 4 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
4.1 Definição
Uma equação é uma igualdade entre duas expressões algebraicas, chamadas membros, que
incluem diversas operações matemáticas relacionadas com números e variáveis ou incógnitas.
4.2 Classificação
As equações classificam-se em função dos seus graus. Assim sendo, uma equação pode
ser do 1º grau, 2º grau, 3º grau, etc.
Exemplos:
a) -3x + 4 = 3
(equação do 1º grau)
b) 5x2 + 2x – 7 = 3x2 – 4x + 5
(equação do 2º grau)
c) –x3 + x2 - 2x +4 = 3x3 – 4x – 3.
(equação do 3º grau)
4.3 Resolução de Uma Equação
Resolver uma equação significa tentar descobrir os valores que podem assumir as variáveis em um domínio
numérico determinado para converter essa equação numa expressão verdadeira mais simples, ou seja é achar
uma equação equivalente da forma x = c, onde c é denominado a solução da equação.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
104
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
A.
Procedimento para a resolução de uma Equação Linear
Uma equação linear (ou do primeiro grau) numa variável pode reduzir-se na forma ax =
b, com a, b 
e a  0.
Para resolver uma equação linear aplicam-se os seguintes passos:
a) Eliminar os parêntesis;
b) Reduzir os termos semelhantes, caso existam, em cada membro da equação;
c) Passar para o 1º membro as variáveis e para o 2º, os termos independentes;
d) Isolar a variável da equação ax = b;
e) Escrever o conjunto solução encontrado.
Exemplos:
1. Encontrar o número natural que satisfaz a seguinte equação:
6x + 5 – 4 (5x + 0,25) = 3x + 56 – (x + 4)
Resolução
6x + 5 – 4 (5x + 0,25) = 3x + 56 – (x + 4)
Eliminando parêntesis
6x + 5 – 20 x – 1 = 3x + 56 – x – 4
Reduzindo os termos semelhantes
– 14x + 4 = 2x + 52
52 – 4 = – 14x – 2x
48 = – 16x
48 : (– 16) = x
x = -3
S = , pois -3 não é um número natural (-3  N)
2. A Joana perguntou à Ana: quantos conhecidos tens aqui na rua?
A Ana respondeu: a terça parte são jovens, a sexta parte são senhores, a oitava parte,
crianças e há ainda 9 senhoras.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
105
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Resolução
Nesta equação x representa o total de conhecidos da Ana.
Em primeiro lugar, vamos escrever a expressão acima com o mesmo denominador (mmc
). Desta forma, o mmc(3,6,8,1)=24.
Aplicando o princípio de equivalência, multiplica-se por 24 ambos os membros da
equação.
(agrupando os termos semelhantes)
Logo, a Ana tem 24 conhecidos.
B. Procedimento para a Resolução de Uma Equação Quadrática
Uma equação quadrática (ou do 2º grau) numa variável é uma expressão reduzida na
forma ax2 + bx + c = 0,
onde a, b, c são os coeficientes e a, b, c  , com a  0.
Para resolvermos uma equação do 2º grau recorremos à Lei do anulamento do produto e
à fórmula de Bháskara (fórmula resolvente).
a) Lei do anulamento do produto
O produto (x-a)(x-b)=0  x-a=0 ou x-b=0, logo x=a ou x=b.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
106
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Nota: Um produto é nulo se, e somente se, pelo menos um dos seus factores for nulo.
Exemplo:
Vamos resolver a equação
Consideremos a equação
Resolvendo a equação teremos:
Assim sendo, 2 e 5 são soluções da equação.
b) Fórmula de Bháskara (fórmula resolvente)
Dada a equação quadrática ax2 + bx + c = 0
baseada no cálculo do discriminante e representada por:
=b2 – 4ac
onde a, b e c são os coeficientes da equação quadrática.
O discriminante () indica a quantidade de soluções da equação quadrática. Ou seja:
Se  > 0, a equação tem duas raízes reais;

Se  = 0, a equação tem duas raízes reais iguais (ou uma única raiz);
Se  < 0, a equação não tem raízes reais.


b 
 x1 
2a


e

b 


x
2

2a

Exemplo:
Determinar o conjunto solução da equação: x2 – 2x – 2= 0
Solução
Como a = 1,
b = -2
e
c = -2, substituindo na fórmula, temos:
 b  b 2  4ac
x1,2 
2a
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
107
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
x
1
x
2

2  12 2  2 3

 1 3
2 1
2

2  12 2  2 3

1 3
2 1
2


S  1  3,1  3
Equações Biquadráticas
Chama-se equação biquadrática a toda a equação que pode ser reduzida na forma
, onde
, com a  0.
Resolução de equação Biquadrática
Dada a equação
Neste caso
Como
y1, 2 
, se
,
y  0 teremos
b 
2a
então
x
b 
2a
Exemplo:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
108
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
S  x1  3, x2  2, x3  2, x4  3
Propredades das equações biquadráticas
a)
b) -
c)
-
C. Equações Fraccionárias
Uma equação fraccionária a uma variável é uma expressão algébrica que tem a variável,
pelo menos, em algum denominador.
Ou seja, tomam a forma:
P(x)
 0, com Q(x)  0
Q(x)
Para obtermos a solução das equações fraccionárias, procedemos da seguinte forma:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
109
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
a) Determina-se o domínio da equação, isto é, exclui-se todos os valores que anulam os
denominadores;
b) Simplifica-se, se for possível, todas as fracções algébricas;
c) Acha-se o denominador comum das fracções e posteriormente eliminamo-lo;
d) Efetua-se os produtos indicados e agrupa-se os termos semelhantes;
e) Isola-se a variável para determinar a solução da equação quadrática aplicando o
algoritmo visto anteriormente.
Exemplo:
Resolver a seguinte equação:
x
4
2


x  2 x 1 x  2
Resolução:
x
4
2


0
x  2 x 1 x  2
D = {x: x -2 e x 1}
Determinar o domínio
x( x  1)  4( x  2)   2x  1
0
x  2x  1
MMC é (x +2)(x + 1)
x2  x  4 x  8  2 x  2
0
x  2x  1
x2  x  6
0
x  2x  1
x 2  x  6 =0 Eliminar os denominadores e
Resolver a equação
Como x = -2 anula um dos denominadores, então, a solução da equação é
x = 3
S = { 3 }.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
110
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Resolva as equações usando a fórmula resolvente.
1.
2.
3.
4.
5. Determine os valores de K para os quais a equação
tenha raízes reais e
desiguais.
6. Determine os valores de a para os quais a equação
tenha raízes
reais iguais.
7. Resolva a seguinte equação usando a forma do anulamento do produto.
Soluções
1.
2.
3.
4.
5. k 3
6. a=2 ou a=6
7.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
111
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
CAPÍTULO 5 - DESIGUALDADES ALGÉBRICAS
5.1 Introdução Sobre Inequações
Inequações são expressões matemáticas que envolvem os símbolos:
a)
> (maior que)
b)
< (menor que)
c)
≥ (maior ou igual a)
d)
≤ (menor ou igual a)
Resolver uma inequação em x significa encontrar todos os valores de x para os quais a inequação
é verdadeira.
O conjunto de todas as soluções de uma inequação é o que chamamos conjunto solução.
5.2 Manipulação de Equações
As inequações podem ser manipuladas como as equações e as regras são muito similares, mas
existe uma excepção.
 Se adicionarmos um mesmo número aos dois membros da inequação, esta mantem-se
inalterável.
 Se subtrairmos um mesmo número aos dois membros da inequação, esta mantem-se
inalterável.
 Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros por um número positivo, a inequação
mantem-se verdadeira.
 Se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros por um número negativo, muda o sinal
da desigualdade.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
112
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
5.2.1 Inequações do 1º grau
Uma inequação linear é escrita da forma
,
,
e
onde
são
números reais com
O conjunto das soluções de uma inequação linear com uma variável forma um intervalo de
números reais. Por este facto, podemos apresentar o conjunto solução por meio da representação
gráfica da recta real ou em forma de intervalos.
Exemplos:
Resolver as inequações:
a)
b)
c)
d)
2
1
x
3
5
x
3
10
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
113
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a)
b)
c)
d)
e)
3x x x
  0
2 3 6
f)
3
g)
1  2x x  2 x  3


1
3
6
2
2x  5
5
3
h)
x
1
2
i)
x  1  7  3x 
j)
x  3 1  x 2( x  5)


3
2
4
Soluções
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
 
j)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
114
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
5.2.2 Inequações do 2º Grau
Considere a função
, onde
, sendo
e
números reais. A inequação do 2º
grau é toda a desigualdade tal que:
ou
A resolução de uma inequação do 2º grau consiste na determinação dos valores de x que
satisfaçam a desigualdade, envolvendo o estudo dos sinais de uma função do 2º grau.
Exemplos:
a)
Achando os zeros de
, temos:
Os valores que satisfazem a desigualdade são aqueles que
.
Avaliando os sinais da função na recta real:
b)
c)
d)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
115
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
 x2 x 1
  0
3
2 4
i)
j)
Soluções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
116
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
g)
h)
i)
j)
S 

S 

5.2.3 Inequações Modulares
As inequações modulares são dadas segundo a definição de módulo.
De modo geral, se
é um número positivo, então:
1º caso:
2º caso:
ou
Exemplos:
a)
b)
7  2x
2
x4
Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, temos:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
117
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
c)
d)
1º Caso
Se
, temos:
2º Caso
Se
, temos:
A solução da inequação proposta é:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
118
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a)
b)
c)
d)
2x  3
2
3x  1
e)
x3
1

 x 1 4
f)
g)
h)
i)
j)
+3
Soluções:
a)
b)
c)
1
5
1

S  x  R :   x  e x 
d)
4
8
3




e)
f)
g)
h)
i)
j)
S 

Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
119
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
5.2.4 Inequações Produto
Consideremos
e
funções de variável
. Chamamos inequações produto às seguintes
desigualdades:
ou
Para resolvê-las, é necessário fazer o estudo do sinal separadamente, transportar os sinais para
um quadro, efectuar o produto dos sinais e determinar os intervalos de valores em que a
inequação se torna verdadeira.
Exemplos:
a)
x  4  0 ou x  2  0
x  4 ou x  2
S  x  R : x  4 ou x  2
b)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
120
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
x  3  0 ou x  3  0
x  3 ou x  3
c)
d)
x  3  0 ou x 2  3x  4  0
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
121
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2
j)
Soluções
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
5.2.5 Inequações Quociente
Consideremos
e
funções de variável
. Chamamos inequações quociente às seguintes
desigualdades:
f ( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x)
 0,
0,
 0 ou
0
g ( x)
g ( x)
g ( x)
g ( x)
A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação produto pois no conjunto dos
números reais, a divisão ou multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de sinais,
lembrando que
g ( x)  0.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
122
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Exemplos
a)
3x  4
2
1 x
b)
3x 
x6
2
x
3
e
e
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
123
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
c)
x 2  8x  12
0
x2  9
e
e
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a)
2x 1
0
x2
b)
3  4x
0
5x  1
c)
5x  3
 1
3x  4
d)
x 2  4x  5
0
 x3
e)
x2  7x  6
0
x2  2x  3
f)
3x  1
0
2 x  55x  3
g)
x 1 x  3

x2 x4
h)
1
2
3


0
x 1 x  2 x  3
i)
x  13  1  1
x  13  1
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
124
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
 x
2
j)

 10x  25 x  3
0
x4
Soluções
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
CAPÍTULO 6: EXPONENCIAIS E LOGARITMOS
6.1 Equações Exponenciais
As equações em que as variáveis aparecem como expoentes de potências, chamam-se equações
exponenciais.
6.2 Resolução de Equações Exponenciais
a) Obter nos dois membros da equação, potências de bases iguais.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
125
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
b) Igualar os expoentes.
c)
Determinar o valor da variável (x).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1
1
2
 23 x  2  23 x  2 2  3x  2  x  
4
3
2
1)
8 x  0,25  (23 ) x 
2)
8 x  x  4 x1  (2 3 ) x  x  (2 2 ) x1  2 3( x
2
2
2
x)
 2 2( x1)  3( x 2  x)  2( x  1)
3x 2  3x  2 x  2  3x 2  5 x  2  0
Resolvendo a equação do segundo grau temos:
x1 
5  25  24 5  7

 2  x1  2
6
6
x2 
5  25  24 5  7
1
1

   x2  6
6
3
3
S = { -1/3 ; 2}
3)
3 x1  3 x  3 x1  3x2  306
Colocando
3x 1 em evidência:
3 x1 (1  3  32  33 )  306  3 x1.34  306  3 x1 
306
 3 x1  9  3 x1  32  x  1  2
34
 x3
6.3 Inequações Exponenciais
As desigualdades que contêm variáveis no expoente chamam-se inequações exponenciais.
a x  a b , a x  a b , a x  a b ou a x  a b
com a  1 ou 0  a  1
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
126
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
6.4 Resolução de Inequações Exponenciais
a)
Converter os dois membros da inequação em potências da mesma base.
b) Comparar os expoentes.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1)
3 x  9  3 x  32  x  2
S  x  R : x  2
2)
3 x  81  3 x  34  x  4
S  x  R : x  4
x
3)
x
x
 
1
1
1
3
   8     82     2
 2
2
 2
1
1
2
3
3
3
 2  x  2 2   x  / (1)  x  
2
2
3

S  x  R : x   
2

4)
1
1
28
3 x2  3 x1  28  3 x.32  3 x.  28  3 x (9  )  28  3 x.  28  3 x  3  x  1
3
3
3
S  x  R : x  1
5)
3x
2
4
 1  3x
2
4
 30  x 2  4  0
S  x  R : x  2 ou x  2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
127
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Resolva as seguintes inequações:
a)
2
x 5
1

4
x 1
x 1
c) 3  3  18
b)
3
1
2 x 3
1
d)  
 3
3
x 3

1
81
1
27
6.5 Logaritmo ( log a b  c )
Chama-se logaritmo do número b em relação à base a a representação
log a b  c  a c  b
6.5.1 Condição de Existência do Logaritmo
Para que exista o logaritmo c é preciso que:
b  0; a  0; a  1
Exemplos:
a)
log 2 8  x  2 x  8  2 x  23  x  3
b)
log 32 64  x  32 x  64  (25 ) x  2 6  5x  6  x 
c)
log 2
d)
log 10 3 100  x  10 x  3 100  10 x  100 3  10 x  10 2
 
1
1
 x  2x 
 2 x  321  2 x  25
32
32
1
1
6
5
 x  5
 
1
3
2
 10 x  10 3  x 
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
2
3
128
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Propriedades
a) Logaritmo de 1 em qualquer base é igual a zero.
log a 1  0  a 0  1
b) Logaritmo da base
log a a  1  a1  a
c)
Logaritmo de potência da base
log a a n  n  a n  a n
Exemplos:
a)
log 3 81 3  3  log 3 81  3  4  12
3
b)  log 1 27   log 1 3  3
3
3
6.5.2 Logaritmos Iguais
Dois logaritmos da mesma base são iguais, se os seus logaritmandos forem iguais.
log a b  log a c  b  c
6.5.3 Logaritmo do Produto
O logaritmo do produto é igual à soma dos logaritmos dos factores.
log a ( A.B)  log a A  log a B
Exemplo:
log 2 (4.8)  log 2 4  log 2 8  log 2 22  log 2 23  log 2 22  log 2 23  2  3  5
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
129
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
6.5.4 Logaritmo do Quociente
O logaritmo do quociente é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e do divisor:
A
log a ( )  log a A  log a B
B
Exemplo:
 81 
log 3    log 3 81 - log 3 27  log 3 3 4 - log 3 3 3  4 - 3  1
 27 
6.5.5 Cologaritmo de Um Número
É o logaritmo do inverso desse número.
co log a b  log
a
1
 - log a b
b
6.5.6 Logaritmo da Potência
log a ( B n )  n. log a B
Exemplo:
log 2 (43 )  3 log 2 4  3 log 2 2 2  3.2  6
6.5.7 Logaritmo da Potência da Base
1
log a n b  log a b , com n  0
n
Exemplo:
1
1
1
log 22 4  log 2 4  log 2 2 2  .2  1
2
2
2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
130
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
6.5.8 Logaritmo da Raiz n-Ésima
O logaritmo da raiz n-ésima é igual ao inverso do índice da raiz multiplicado pelo logaritmo do
radicando.
1
log a n A  . log a A
n
Exemplo:
1
1
1
1
log 3 81  . log 3 81  . log 3 34  .4. log 3 3  .4.1  2
2
2
2
2
6.6 Mudança de Base
Esta operação permite-nos passar de uma a outra base, segundo a nossa conveniência.
Existem duas formas:
6.6.1 Mudança da Base Como Quociente
O logaritmo de b na base a- é igual ao logaritmo de b numa outra base (c), dividindo pelo
logaritmo de a na base (c).
log a b 
log c b
log c a
Exemplos:
a)
log 5 3 
log 7 3
log 7 5
b)
log 2 7 
log 5 7
log 5 2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
131
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
6.6.2 Mudança de Base Como Produto
O logaritmo de x na base a, é igual ao logaritmo de b (nova base) na base a, multiplicado pelo
logaritmo de x numa outra base b.
log a x  (log a b).(log b x)
6.7 Função Exponencial
6.7.1 Definição
Uma função do tipo
y  a x com x  R, a  0 e a  1 chama-se função exponencial.
A. Domínio da função exponencial
D = R (o expoente x pode ser qualquer número real).
B. Imagem da função exponencial
+
(a potência y é sempre um número positivo)
C. Zero da função
A função exponencial não possui zeros, pois
y0
6.7.2 Representação Gráfica
Para representarmos graficamente uma função exponencial, podemos fazê-lo da mesma forma
que fizemos com a função quadrática, ou seja, atribuímos alguns valores arbitrários ao x,
montamos uma tabela com os respectivos valores de f(x), localizamos os pontos no plano
cartesiano e traçamos a curva do gráfico.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
132
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Para a representação gráfica da função
f ( x)  1,8x , Atribuímos ao x os valores representados no
quadro abaixo:
Tabela 13 - Atribuição de valores arbitrário ao x
Gráfico
x
y
-6
0.03
-3
0.17
-1
0.56
0
1
1
1.8
2
3.24
a) Função Exponencial Crescente
Se a  1 , temos uma função exponencial crescente, qualquer que seja o valor real de x.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
133
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
b) Função Exponencial Decrescente
Se 0  a  1 , temos uma função exponencial decrescente em todo o domínio da função.
6.8 Função Logarítmica
Toda a função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada
função logarítmica de base a. Neste tipo de função, o domínio é representado pelo conjunto dos
números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
Exemplos:
a) f(x) = log2x
b) f(x) = log3x
c) f(x) = log1/2x
d) f(x) = log10x
e) f(x) = log1/3x
f) f(x) = log4x
g) f(x) = log2(x – 1)
h) f(x) = log0,5x
6.8.1 Domínio da Função Logarítmica
Dada a função f(x) = log(x – 2) (4 – x), temos as seguintes restrições:
a) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4
b) x – 2 > 0 → x > 2
c) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
134
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Realizando a intersecção das restrições a, b e c, temos o seguinte resultado:
2 < x < 3 e 3 < x < 4.
Desta forma, D = {x
R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}
6.8.2 Gráfico de Uma Função Logarítmica
Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:
1) a > 1
2) 0 < a < 1
a) Função crescente (a > 1)
b) Função decrescente (0 < a < 1)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
135
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
6.8.3 Características do Gráfico da Função Logarítmica
y  log a x
a) O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x>0.
b) O gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x=1.
Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão que ela é uma função
inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
136
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
CAPÍTULO 7: TRIGONOMETRIA
7.1 Relações Trigonométricas no Triângulo Rectângulo: Teorema de Pitágoras
c2 = a2 + b2
senA 
cateto oposto a

hipotenusa
c
cos A 
cateto oposto
a
tan gA 

cateto adjacente b
ou
cot gA 
1
b cateto adjacente
 
tan gA a
cateto oposto
sec A 
1
cos A
e
cateto adjacente b

hipotenusa
c
tan gA 
cosec A 
sen(A)
cos (A)
1
senA
7.2 Fórmula Fundamental da Trigonometria
sen 2 A  cos2 A  1
1  tg 2 A 
1
, cos A  0
cos2 A
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
137
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
7.3 Ângulos Notáveis
Os chamados ângulos notáveis são aqueles que aparecem com mais frequência, a saber:
Tabela 14 - Ângulos notáveis
Grau 0º
30º
45º
60º
90º
120º 135º 150º 180º 210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º
-90º
360 330º 315º 300º 270º 240º 225º 210º 180º 150º 135º 120º
-60º
-45º
-30º
0
Radianos 0
0
Seno 0
1
0
-1
0
Cosseno 1
0
-1
0
1
Tangente 0
1
-1
0
1
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
-1
0
138
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
7.4 Fórmulas Trigonométricas
Tabela 15 - Fórmulas Trigonométricas
Fórmulas de adição
sen(  +) = cos  · cos + sen  · cos
cos(  +) = cos  · cos – sen  · sen
tg   tg
tg(   ) 
1  tg   tg 
Fórmulas de subtracção
sen(  -) = sen  · cos – cos  · sen
cos(  -) = cos  · cos +sen  · sen
tg   tg 
tg(   ) 
1  tg   tg 
Fórmulas de duplicação
sen(2  ) = 2 . sen  . cos 
Fórmulas de bissecção
cos(2  ) = cos2  – sen2 
tg (2 ) 
2  tg 
1  tg 2 
sen( / 2)  
1  cos
2
cos( / 2)  
1  cos
2
tg( / 2)  
1  cos
1  cos
Fórmulas de transformação
   
   
sen  sen  2  sen
  cos

 2 
 2 
  
sen  sen   2  sen
 2

   
  cos


 2 
   
   
cos  cos   2  cos
  cos

 2 
 2 
sen(   )
tan  tan  
cos  cos 
  
cos  cos   2  sen
 2

   
  sen


 2 
tan  tan  
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
sen(   )
cos  cos 
139
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. No triângulo rectângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas
(Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)
Resolução
cos 65° =
y
9
sen 65° =
0,42 * 9 = y
x
9
0,91 * 9 = x
y = 3,78
x = 8,19
2. Considerando o triângulo rectângulo ABC da figura, determine as medidas a e b indicadas.
(sen 60° = 0,866)
Resolução
sen 60° =
12 3
a
0,866 . a = 20,78
cos 60° = b / 24
0,5 * 24 = b
b = 12
a = 24
3. Nos triângulos das figuras abaixo, calcule tg Â, tg Ê, tg Ô:
a)
b)
c)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
140
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Resolução
a) tg  =
tg Ê =
48 24

14 7
14 7

48 24
tg Ô, não existe.
b) tg Ô =
tg Ê =
3 2
1
3 2
c) 16² = 2² + x²
x² = 252
3 2
1
3 2
tg Â, não existe.
x=
6 7
tg  =
2
6 7
tg Ô =
=
7
21
6 7
3 7
2
tg Ê, não existe.
4. Sabendo que o triângulo retângulo da figura abaixo é isósceles, quais são os valores das tg
 e tg Ê?
Resposta
Sendo um triângulo isósceles, então os seus lados são
iguais.
1.
Logo, tg  =
CE
AC
 1, pois, CE  AC , então, tg Ê = 1
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
141
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
5. Encontre a medida
RA sabendo que tg  = 3.
Resolução
3=
9
, onde x é o lado YA
x
3x = 9
x=3
( RA )² = 9² + 3²
6. Encontre x e y:
( RA )² = 90
RA = 3 10
a)
b)
Resolução
a) cos 45° =
x  20 2 
x
20 2
2
2
x  20
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
142
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Como o ângulo entre a hipotenusa e os catetos
é 45º, então, y=x, logo, y=20.
b) Cos 30° =
y
9 3
y
9 3
3
2
y = 18
18² =
9 3   x
2
2
324 = 243 + x²
x² = 81
x=9
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Um navio partiu do porto A, percorreu 70 milhas para sul e atingiu o porto B. Em seguida,
percorreu 30 milhas para leste e atingiu o porto C. Finalmente, navegou 110 milhas para o norte e
chegou ao porto D. Quantas milhas teria poupado se fosse directamente do porto A para o porto
D? (Resposta: 160 milhas)
2. Sendo a, b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indique, justificando,
aqueles que são rectângulos:
a) a = 6; b = 7 e c = 13;
(Resposta: Falsa)
b) a = 6; b = 10 e c = 8.
(Resposta: Verdadeira)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
143
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
3. Calcule o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:
a)
(Resposta: x = 13)
b)
(Resposta: x = 6)
4. Calcule as áreas das seguintes figuras.
a)
(Resposta: A = 153)
b)
(Resposta: A = 108)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
144
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
5. Qual é a altura do poste?
(Resposta: 9m)
6. Qual é a distância percorrida pelo berlinde?
(Resposta: 256 cm = 2,56 m)
7.5 Equações Trigonométricas
São equações que podem ser reduzidas nas seguintes formas:
senx  sen , cos x  cos  , tgx  tg , ctgx  ctg , etc.
Elas
são
chamadas
de
equações
fundamentais.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
145
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
7.5.1- Equação do Tipo
senx  sen
Atendendo à periodicidade do seno, então:
senx  sen  x    k  360º ou x  180º   k  360º , k  Z
ou, em radianos:
senx  sen  x    k  2 ou x      k  2, ou ainda x   1   k , k  Z
k
7.5.2- Equação do Tipo
cos x  cos
Devido ao facto do cosseno ter período 2, as soluções que divergem entre si de um múltiplo
inteiro do período também são solução. Logo, são solução geral de
cos x  cos
cos x  cos   x    k  360º , k  Z
ou ainda, em radianos:
cos x  cos   x    k  2, k  Z
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Resolve as seguintes equações.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
146
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
147
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
1)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
148
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
7.5.3- Equação do Tipo
tgx  tg 
A tangente tem período 180º, ou  radianos. O resultado em radianos é:
tg x  tg   x    k  , k  Z .
7.5.4- Equação do tipo
ctgx  ctg
A cotangente, tal como a tangente, tem período  radianos. O resultado em radianos é:
cotg x  cotg   x    k  , k  Z .
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
149
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Resolver as seguintes equações.
Dividindo os membros da equação por cosx, vem:
Donde vem que:
Dividindo os membros da equação or cos2x, vem:
Fazendo tgx = u, vem
Donde vem que
Resolvendo o conjunto da equação,
tem se
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
150
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
c) tg
3
x  tg 2 x  2tgx  0
Fatorizando a tgx, para todo x 

2
 k , k  Z , vem:
tgx  (tg 2 x  tgx  2)  0 , aplicando o anulamento do produto, tem-se:
tgx  0 , x1  0  k    k ou tg 2 x  tgx  2  0 , e fazendo tgx=t na segunda equação, vem:
t2-t-2=0, onde, teremos, t=-1 ou t=2; voltando à variável x, vem:
tgx  1 ou tgx  2 , onde se tem: x2  
Solução:
d)
x1  k , x2     n
4
ou

4
 n ou x3  arctg2  m onde : k , n e m  Z
x3  arctg2  m
ctg 2 2 x  3  2ctg2 x , fazendo ctg2 x  t , para x  k , vem: t 2  3  2t . Resolvendo esta
equação do segundo grau, temos:
ctg2 x  1 ou
ctg2 x  ctg
2x 
x

4

8

4
t  1 ou t  3 . Voltando à variável x, vem:
ctg2 x  3
, ou
ctg2 x  arcctg(3)  n
 k ou 2 x    arctg3  n

 n arcctg3
k
ou x  
, são as soluções.

2
2
2
2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Resolva as seguintes equações em R.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
151
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
l)
cos 2 x  1 .
m) 2 cos x 
n)
30
2sen 2 x  3senx  2  0 .


o) sen 2 x 

1
, x  [0,2 ] .

4
2
p)
4sent  3  2sent , t  [0,2 ] .
q)
cos2 x   sen3 x 
r)
senx  2senx cos x  0 .
s)
3tg 2 x  1  2 3tgx .
t)
2 cos 2   11cos   5 .
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
152
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
u) Se
x  [0,  ] , a equação 8sen 2 x  4  0 tem duas soluções reais e distintas a e b . Sabendo que
a > b, é verdade que:
a)
a  3b
b)
v) A equação
a  2b
c) a  b 

d) a  b 
2

e) a  b 
3

6

tgx  cos x tem, para x no intervalo  0,  , uma raiz x   sobre a qual podemos
 2
dizer:
a)


b) sen 
4
2
2
c) sen 
w) O conjunto solução da equação
 

4
b) 
x) Sabe-se que
b)  3
2
a) 3
2
y) Sabendo que senx 
a) 3 2
4
c) 
4tg 2 x  9 e
b) 2 2
3
d) cos 
senx  cos x , sendo 0  x  2
 5 

4
 

3
a) 
 1 5
2
 4 
, 
3 3 
1
2
e)


3
, é:
 5 
, 
4 4 
d) 
e) 

 x   . Então, a expressão E  4senx  6 cos x  cot gx vale:
2
c) 2
3
d)  2
3
e) 9
4

1
e
 x   , o valor de cos sec x  sec x é:
2
3
cot gx  1
c)  3 2
4
d)  2 2
e)
3
3
Simplifique as seguintes expressões.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
153
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
n) Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.
o) Sejam x, y ∈ R. Se x + y =
senx  seny


ex−y=
, calcule o valor de t, sendo t 
6
2
cos x  cos y
7.6 Inequações Trigonométricas Fundamentais
Quase todas as inequações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas,
podem ser reduzidas a pelo menos uma das inequações fundamentais. Vamos conhecê-las, a
seguir, através de exemplos.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
154
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Por exemplo, ao resolvermos a inequação
encontramos, inicialmente,
que é uma solução particular no intervalo
Acrescentando
.
) às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em
IR, que é:
O conjunto solução é, portanto:
Por outro lado, se a inequação fosse
então, bastaria incluir as extremidades de
e o conjunto solução seria:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
155
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
Por exemplo, ao resolvermos a inequação,
encontramos, inicialmente,
que é uma uma solução particular no intervalo
Acrescentando
.
) às extremidades dos intervalos encontrados, temos a solução geral em
IR, que é:
O conjunto solução é, portanto:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
156
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
3º caso: cos x <cos a (cos x
cos a)
Por exemplo, ao resolvermos a inequação
encontramos, inicialmente,
que é uma solução particular no intervalo
Acrescentando
.
) às extremidades do intervalo encontrado, temos a solução geral em
IR,que é:
O conjunto solução é, portanto:
Por outro lado, se a inequação fosse
,
então, bastaria incluir as extremidades de
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
157
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
e o conjunto solução seria:
4º Caso: cos x > cos a ( cos x
cos a)
Por exemplo, ao resolvermos a inequação
encontramos, inicialmente,
,
que é uma solução particular no intervalo
. Acrescentando
) às extremidades dos
intervalos encontrados, temos o conjunto solução seguinte:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
158
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
5º caso: tg x < tg a
(tg x
tg a)
Por exemplo, ao resolvermos a inequação
encontramos, inicialmente,
que é uma solução particular no intervalo
.
A solução geral em IR pode ser expressa por
O conjunto solução é, portanto:
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
159
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
6º Caso: tg x > tg a ( tg x
tg a)
Vamos estudar este último caso resolvendo a inequação
como exemplo.
Na resolução da inequação
encontramos, inicialmente,
que é uma solução particular no intervalo
.
A solução geral em IR pode ser expressa por
O conjunto solução é, portanto:
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
160
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2
Resolva as seguintes inequações trigonométricas no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π:
a) sen x ≥ 
b) cos x ≤
1
2
1
2
c) tg x > 1
d) cos x >
3
2
e) sen x ≥ 
2
2
f) tg x ≤ 1
R:
 7  11

0, 6    6 ,2 
R:
  5 
 3 , 3 
R:
     5 3 
 4 , 2    4 , 2 
R:
   11

0, 6    6 ,2 
R:
 5   7

0, 4    4 ,2 
R:
     5   3

0, 4    2 , 4    2 ,2 
g) cos x > −1
R:

2
2
R:
  7 
 4 , 4 
R:
   5

 4 ,     4 ,2 
h) cos x <
i) sen 2x + cos 2x ≤ 1
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
161
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
j) sen 2x > cos x
k) cos2x<  1
R:
     5 3 
 6 , 2    6 , 2 
R:


l) sen5x >1
R:
m) sen2x ≤ 1
R: 0 ≤ x ≤ 2π
n) sen2x ≥ 1
R: 
 5 
, 
4 4 
CAPÍTULO 8 – GEOMETRIA
A geometria é o ramo das matemáticas que estuda as propriedades e as medidas das figuras no
espaço ou no plano. No seu desenvolvimento, a geometria usa noções tais como pontos, rectas,
planos e curvas, entre outras.
8.1 Unidades de Medida de Área e de Volume
O cálculo de áreas e volumes das figuras geométricas planas ou sólidas exige dos alunos o
conhecimento de unidades de medidas. Quando as unidades de medida são diferentes, devemos
efectuar a redução à mesma medida. Os quadros abaixo apresentam um resumo das Unidades de
medidas.
A. Unidades de Área
Tabela 16 - Unidades de Área
km2
hm2
dam2
m2
dm2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
cm2
mm2
162
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
A unidade principal (ou fundamental) da medida de área é o metro quadrado (m2)
Exemplos:
km2 = 100 hm2
ou
1 m2 = 0,01 dam2
ou
1km2 = 102 hm2
1m2 = 10
-2
hm2
B. Unidades agrárias
Tabela 17 - Unidades agrárias
Unidades agrárias
ha
a
ca
hectar
are
centiare
Exemplos:
1 ha = 1 hm2
1a = 1 dam2
1ca = 1 m2
C. Unidades de Volume
Tabela 18 - Unidades de Volume
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
A unidade principal (ou fundamental) da medida de volume é o metro cúbico (m3)
Exemplos:
km3 = 1000 hm3
1m2 = 0,001dam3
ou
ou
1km3 = 103 hm3
1m2 = 10
-3
hm3
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
163
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
D. Unidades de Capacidade
Tabela 19 - Unidades de Capacidade
Unidades de capacidade
kl
hl
dal
l
dl
cl
ml
A unidade principal (ou fundamental) da medida de capacidade é o litro (l)
1 l = 1000 ml
1 kl = 1000 l
Obs.: Quando se calcula a área de uma figura geométrica a sua unidade de medida aparece
sempre ao quadrado (por exemplo, em metros quadrados (m2)).
8.2 Áreas de Figuras Geométricas Planas
Figure 1 - Áreas de figuras geométricas planas
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
164
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
8.3 Áreas e Volumes de Figuras Geométricas Sólidas
Figure 2 - Áreas e volumes de figuras geométricas sólidas
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
165
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Uma mesa rectangular mede 1,2 m x 0,8 m. Se numa das quinas desta mesa eu fixar um
barbante com um prego, qual deve ser o tamanho aproximado do barbante de maneira que eu
consiga percorrer um sector circular com um terço da área da mesa?
(Resposta: o comprimento do barbante é de aproximadamente 0,6383 m)
2. Uma pizza circular tem área de 706,86 cm2. Qual é a área interna da menor caixa quadrada
para transportá-la?
(Resposta: A área interna da menor caixa quadrada para transportar a pizza é de 900
cm2)
3. Se dobrarmos as medidas da base e da altura de um rectângulo, em quanto estaremos a
aumentar a sua área?
(Resposta: Dobrando as medidas das laterais de um rectângulo quadriplica-se a sua
área)
4. Um prato tem 24 cm de diâmetro e o outro tem 30 cm. Em termos de área, o prato menor é
quantos por cento do maior?
(Resposta: 64%)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
166
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
5. Observe a figura. Determine a área da parte colorida da figura.
(Resposta:
14,25 cm2)
6. Observe as dimensões do novo aquário do Abel.
O Abel decidiu colocar uma camada de areia de 6 cm de espessura no fundo do aquário e pediu ao
João para ir ao mercado comprá-la. Que quantidade de areia, em cm 3, deverá o João comprar?
(Resposta: 9000 cm3)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
167
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
6.1
Introduziu-se
na
proveta
um
paralelepípedo,
que
ficou
completamente
submerso.
As dimensões do paralelepípedo são:
Comprimento: 8 cm, largura; 2 cm, altura: 3 cm
Qual é a leitura do volume marcado na proveta, depois de colocado na proveta o paralelepípedo?
(Resposta: 108 cm3)
7. Na casa da Inês, gastam-se por mês 50 garrafas de 1,5 litros de água. Para ficar mais
económico, os seus pais resolveram passar a comprar a água em garrafões de 5 litros. Quantos
garrafões são necessários comprar?
(Resposta: São necessários comprar 15 garrafões de 5 litros)
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
168
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
8.4 O Plano Cartesiano
Para representar graficamente um par ordenado de números reais, fixamos um referencial
cartesiano ortogonal no plano. A recta x é o eixo das abscissas e a recta y é o eixo das ordenadas.
Dá-se o nome de eixo x ou eixo das abscissas à recta horizontal. À vertical denomina-se eixo
y ou eixo das ordenadas.
A orientação positiva das rectas é representada por uma seta como podemos ver na figura1
abaixo.
Figure 3 - Referencial ou sistema de referência
Figure 4 - Quadrantes matemáticos
8.5 Representação de Coordenadas no Plano
Para se determinar as coordenadas de um ponto P qualquer no plano, traçam-se linhas
perpendiculares aos eixos X e y.
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
169
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
8.6 Distância Entre dois Pontos de Um Plano
Por meio das coordenadas dos pontos A e B pode-se determinar a distância d(A,B) entre dois
pontos representados no plano.
Na figura abaixo, os pontos A, B e C formam um triângulo rectângulo em C. Assim sendo, a
distância de A a B pode ser calculada aplicando-se o teorema de Pitágoras.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Determine a distância entre os pontos A(5,11) e B (2,7).
Resolução.
A (5,11): x1=5 e y1=11 e B (2,7): x2=2 e y2=7
d ( A, B)  (2  5) 2  (7  11) 2
d ( A, B)  9  16
2. Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são A(-1,-3), B(6,1) e C(2,-5).
Resolução:
Para se conhecer a medida de cada lado basta calcular as distâncias entre os pontos
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
170
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
o perímetro vale
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcule as distâncias entre os pontos abaixo:
a) A (4,-1) e B (2,1)
b) B (-3,2) e D (4,-6)
c)
E (-1,-3) e F (-2,-5
2. Calcule a distância do ponto P (8,-6) à origem do sistema.
3. A distância entre os pontos A (x, 3) e B(-1, 7) é 5. Então:
a) x = 3 ou x = -5
b) x = 2 ou x = -4
c)
x = 1 ou x = -3
d) x = 0 ou x = -2
e) x = -6 ou x = -1
4. Se o ponto P(m, O) é equidistante dos pontos P1(2, 4) e P2(4,6), então m é igual a:
a) 6
5.
b) 7
c) 8
d) 9
Quais as coordenadas do ponto P do plano cartesiano que pertencem à bissetriz do segundo
quadrante e equidistante dos pontos A (0,3) e B(-1,0)?
a) (2, 2)
6.
b) (0, 2)
c) (2, 0)
d) (-2, 2)
e ) (2, -2)
Dados os pontos A(-1, -1), B(5, -7) e C(x, 2), determine x sabendo que o ponto c é
equidistante dos pontos A e B.
7. O perímetro do triangulo ABC cujos vértices são A(0,0), B(12, 5) e C(0, -4) é:
a) 23
b) 33
c) 22
d) 11
e) 32
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
171
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
8.7 Equação Geral da Recta no Plano
Recta no plano
As equações na forma ax + by + c = 0 são expressões representativas de rectas no plano. Os
coeficientes a, b e c são números reais constantes, considerando a e b valores diferentes de zero.
A essa representação matemática damos o nome de equação geral da recta.
Podemos escrever a equação geral da recta utilizando duas formas:
1ª – através da determinação do coeficiente angular da recta aplicado na forma geral dada por:
y – y1 = m (x – x1).
Coeficiente angular (ou inclinação) da
Equação geral da recta no ponto P(x,y)
recta
y – y1 = m (x – x1).
m
( y 2  y1 )
( x2  x1 )
36 9
m

 3  m  -3
2  (1) 3
y – 6 = –3 (x + 1)
y – 6 = –3x – 3
y – 6 + 3x + 3 = 0
y + 3x – 3 = 0
Então, a equação da recta é 3x + y – 3 = 0
2ª – através de uma matriz quadrada formada pelos pontos pertencentes à recta dada.
1ª forma
Vamos determinar a equação da recta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e B(2, –3).
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
172
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
2ª forma
Considerando o ponto genérico P(x, y), pertencente à recta s que passa pelos pontos A(–1, 6) e
B(2, –3), vamos construir a matriz formada pelas coordenadas dos pontos dados:
Diagonal principal
x * (–6) * 1 = 6x
y * 1 * 2 = 2y
1 * (–1) * (–3) = 3
Diagonal secundária
1* 6 * 2 = 12
x * 1 * (–3) = –3x
y * (–1) * 1 = –y
s: 6x + 2y + 3 – (12 – 3x – y) = 0
s: 6x + 2y + 3 – 12 + 3x + y = 0
s: 9x + 3y – 9 = 0 (dividindo a equação por 3)
A equação de recta desejada é s: 3x + y – 3 = 0
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Encontre a inclinação do segmento com extremos nos pontos
a) A(1, 2) e B(3, 8);
b) A(0, – 3) e B(4, 1);
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
173
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
2. O valor de b para que o coeficiente angular da recta que passa pelos pontos A(4,2) e
B(2b + 1,4b) seja –2 é:
a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
e) n.d.a
3. A equação geral da recta que passa pelos pontos (2,3) e (1,5) é:
a) – 2x – y + 7 = 0
b) – 2x + y – 7 = 0
c) 2x – y – 7 = 0
d) 2x + y – 7 = 0
e) n.d.a
4. Dada a equação da recta r: x + y – 1 = 0 e as afirmações:
I – o ponto (1,1) pertence a r
II – a recta passa na origem do sistema cartesiano
III – o coeficiente angular de r é –1
IV – r intercepta a recta s: x + y – 2 = 0 no ponto
P(1,2)
a) apenas I é verdadeira
b) apenas III é verdadeira
d) apenas I é falsa
e) n.d.a
c) nenhuma é falsa
5. Determine a equação reduzida da recta r, representada pelo gráfico abaixo:
a) y = x + 3
b) y = -x + 3
c) y = 2x+6
d) y = x – 3
e)
y = - 3x + 2
6. Determine a equação geral da recta representada pelo gráfico abaixo:
a) x – 2y - 8 = 0
d)
x–y+2=0
b) 2x + y – 2 = 0
e)
c) 4x – 2y – 4 = 0
x–y+4=0
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
174
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
7. Determine a equação da recta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, -4)
a) 4x + 3y + 1= 0
c)
b) 3x + 4y + 1= 0
x + y + 3 = 0 d) x + y – 4 = 0
d) x – y – 1 = 0
8.8 Estudo da Circunferência
Circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que se encontram à mesma
distância de um ponto fixo(centro).
8.8.1 Equação Reduzida da Circunferência
8.8.2 Equação Geral da Circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida da recta teremos
equação geral da circunferência
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
175
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1.
Determine a equação da circunferência de centro C e raio r, nos seguintes casos:
(a) C  (0,0) e r  2
(b) C  (1,3) e
r 3
1 5
,  e r4
2 2
(c) C  
Resolução.
Em cada caso serão substituídos os valores na equação
( x  c1 ) 2  ( y  c2 ) 2  r 2 .
c1  0

2
2
2
2
2
a) c2  0  ( x  0)  ( y  0)  2  x  y  4  0
r  2

c1  1

2
2
2
2
2
2
2
b) c2  3  ( x  (1))  ( y  3)  3  x  2 x  1  y  6 y  9  9  0  x  y  2 x  6 y  1  0
r  3

1

c1  2

2
2
5 
1 
5
1
25

2
2
2
c2    x     y    4  x  x   y  5 y   16  0
2 
2 
2
4
4
c) 
r  4


 4 x 2  y 2  4 x  y 2  20 y  38  0
2.
a)
Determine o centro e o raio de cada circunferência dada.
x 2  ( y  3)2  16
b)
( x  2) 2  y 2  12  0
c)
3x 2  3 y 2  6x  12 y  14  0
Resolução.
Podemos completar quadrados ou utilizar as fórmulas de identificação de centro e raio.
a)
C  (0,3)
x 2  ( y  3) 2  16  ( x  0) 2  ( y  3) 2  42  
r  4
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
176
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
b) ( x  2) 2  y 2  12  0  ( x  (2)) 2  ( y  0) 2 
2,0)
 12   Cr  (12
2
2

3x 2  3 y 2  6 x  12 y  14  0  (3)  x 2  y 2  2 x  4 y 
c)
3
14
0
3

2
1
c1 
2

C  (1,2)
4


 c2 
 2

3
2

r 
3


14
14
14
1
3
2
2
r

(
1
)

(

2
)


1

4


5




3
3
3
3
3

3. Verifique se as equações dadas representam circunferências. No caso de as representarem,
determine o centro e o raio.
a)
9x 2  9 y 2  6x  36 y  64  0
c)
4x 2  4 y 2  x  6 y  5  0
b)
x 2  y 2  7x  y  1  0
Resolução.
Em cada caso, verificar as condições de existência e, se positivo, identificar os termos.
6
64
9 x 2  9 y 2  6 x  36 y  64  0  (9)  x 2  y 2  x  4 y 
0
9
9
Coef ( x 2 )  Coef ( y 2 )  0

Coef ( xy)  0
a) 
2
64
1  36  64
 27

 1
2
6/9
1

r




 irregular
   2 
c1 

3
9
9
9


2
3


4
2
c2 
2

Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
177
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
CAPÍTULO 9 - NOÇÕES BÁSICAS DE DERIVADAS
9.1 Propriedades das Derivadas
a)
yk
y' 0
b)
yx
y'  1
c)
y uv
y´ u 'v'
d)
y  u.v
y´ u' v  uv'
e)
y
u
v
y´
u '.v  u.v'
v2
9.2 Regras de Derivação
Seja u = f(x) e v = g(x) e n
a)
y  k.u
y´ k .u '
b)
y  un
y'  n. u n1u'
c)
y  ln u
y' 
d)
y  au
y'  a u .ln a.u'
e)
y  sen u
y'  u' cos u
f)
y  cos u
y'  u' senu
k _ cons tan te
u'
u
y' 
u'
g)
y  arcsen u
h)
y  sec u
y'  u' sec u.tgu
i)
y  cosseu
y'  u' cos sec u .cot gu
j)
y  arccos u
y'  
1 u2
u'
1 u2
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
178
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
k)
y  arc cot g u
l)
y  uv
y'  
u'
1 u2
y'  vuv1 .u' u v .ln u.v'
9.3 Exemplos
a)
f ( x) 
f ' ( x) 
b)
2x 3  5
4x 2  7
6 x 2 (4 x 2  7)  (2 x 3  5)8 x 24 x 4  42 x 2  16 x 4  40 x 8 x 4  42 x 2  40 x 2 x(4 x 3  21x  20)



( 4 x 2  7) 2
( 4 x 2  7) 2
( 4 x 2  7) 2
( 4 x 2  7) 2
f ( x)  ln arctag( x)
1
2
1
f ' ( x)  1  x

2
arctag( x) (1  x )arctag( x)
c)

f ( x)  ln  x 3  15x 2  sen( x)
f ' ( x) 
d)

 3x 2  30x  cos( x)
 x 3  15x 2  sen( x)
f ( x) 
x
Transformando a função em potência temos:
1
f ( x)  x 8
7
f ' ( x) 
1 8
x
8
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
179
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
e)
f ( x)  cos(ln( 4 x 2  x))
f ' ( x)  
8x  1
sen(ln( 4 x 2  x))
2
4x  x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a)
f ( x)  2 x  5
b)
f ( x)  1  4 x 2
c)
f ( x)  ( x 3  x) . ( x 2  x)
f ' ( x)  2
'
R: f ( x)  8x
'
4
3
2
R: f ( x)  5x  4 x  3x  2 x
d)
f ( x)  (3x 2  2x  1).( x 2  x)
R:
e)
f ( x)  3 x  x
f)
f ( x)  3
g)
f ( x)  x  8 . x  4
h)
f ( x)  cos x  senx
i)
f ( x)  cos 2 x
j)
f ( x)  sen x 3  5x
k)
f ( x)  x 2 tgx3
l)
f ( x)  e x
m)
f (x)  5 x
f ' ( x)  12x3  15x 2  2x  1
x 1
3
2
R:
f ( x) 
f ' ( x) 
R:
R:
x
2 x  5x
3
cos x 3  5x
f ' ( x)  (2 x  3).e x
R:
R:
3x 2  5
f ' ( x)  2 xtagx3  3x 4 sec2 x3
R:
f ( x)  ln( e  e )
x
63 ( x 2  4) 2 . x  8
f ' ( x)  2 cos x.senx
R:
x
2
x 1
63 ( x  1) 4 . x  1
f ' ( x)  senx  cos x
R:
5 x
x5
7 x 2  32 x  2
'
3 x
2
44 (3x 3  x)3
f ' ( x) 
R:
x 1
2
f ( x) 
9x2  1
'
R:
3
4
n) f ( x)  log
o)
R:
2
3 x
f ' ( x)  (2 x  5).5 x
f ' ( x) 
2
5 x
. ln 5
 x2  1
x( x 2  1)
e x  e x
R: f ( x)  x
e  ex
'
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
180
Sebenta – Engenharias e Tecnologias
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1.
BIANCHIN, Edwaldo and Herval PACCOLA , 1997. Curso de Matemática. Brasil Editora
Moderna. Volume Único. ISBN 8516036901.
2.
CARVALHO, João, 2010. Coleção Explorando O Ensino: Matemática. Ministério da Educação,
Secretaria de Educação Básica. Brasília. Volume 17. ISBN: 978-85-7783-041-1.
3.
DANTE, L. Roberto 2003. Matemática: Contexto e aplicações. 3ª ed. São Paulo, Editora Ática.
Volume 1. ISBN 85-322-4514-5.
4.
IEZZI, Gelson, et al, 1977. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo Editora Atual.
Volume 4. ISBN: 8575602985.
5.
LITVINENKO, MORDKÓVICH, 1984. Problemas Matemáticos de Álgebra e trigonometria.
Moscovo, Editora Mir. ISBN-13: 978-5-03-000697.
6.
MADEIROS, Valeria, el al, 2010. Pré-Cálculo. 2ª ed. São Paulo. Editora CENGAGE Learning.
ISBN 9788522107353
7.
N.
PISKUNOV,
1977.
ISBN 9789681839857
8.
Programas de Matemática do 2º Ciclo do Ensino Secundário, INIDE, Editora Moderna, S.A, 2.ª
Edição 2013
Cálculo
diferencial
e
Integral,
Sebenta Exclusiva para o Exame de Acesso 2017
Editoria
MIR,
MOSCU.
181