FECI - CÁLCULO I - 1a SÉRIE DE EXERCÍCOS - FUNÇÕES

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
GABARITO DE CÁLCULO 1 – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E
PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 01/12/2013
CANDIDATO: _______________________________________________________
CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________
01 – Prova SEM consulta.
OBSERVAÇÕES:
02 – A prova PODE ser feita a lápis.
03 – PROIBIDO o uso de calculadoras e similares.
04 – Duração: 2 HORAS.
1a Questão (10 pontos): Se f e g são funções tais que f x   7 x  4 e f g x   x 2  f x  1 ,
então g 7  é igual a:
a)
1
5
b)
1
6
c)
1
7
d)
1
8
e)
1
9
SOLUÇÃO
Temos: f x  1  7x  1  4 e f g x   7 g x   4 .
Assim: 7 g x   4  x 2  7x  1  4
7 g x   4  x 2  7 x  7  4  7 g x   x 2  7 x  1  g x  
Para x  7 , teremos: g 7  
x2  7x  1
7
7 2  7.7  1
1
 g 7  
7
7
2a Questão (10 pontos): Sejam f e g funções tais que f x   x 3 .g x  . Sabendo que g 2  3 ,
g 2  4 e f 2  4 , então o valor de g 2 é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
SOLUÇÃO
Temos: f x   3x 2 .g x   x 3 .g x  , isto é, a derivada de um produto de funções.
A segunda derivada será:
f x   6 x.g x   3x 2 .g x   3x 2 .g x   x 3 .g x   f x   6 x.g x   6 x 2 .g x   x 3 .g x 
Para x  2 , teremos:
f 2  6.2.g 2  6.2 2.g 2  23.g 2
Substituindo os valores dados, resulta:
4  12.3  24. 4  8.g 2
 g 2  8
 y  t 3  2t 2  7t  1
dy

3a Questão (10 pontos): Sendo 
, então o valor de
para x  1 é:
4
dx
x 
t

a)  152
b)  153
c)  154
d)  155
e)  156
SOLUÇÃO
A função dada está na forma paramétrica.
dy
dy dt

Neste caso, sabemos que:
dx dx
dt
Portanto:

dy 3t 2  4t  7
dy t 2 . 3t 2  4t  7



4
dx
dx
4
 2
t
Para x  1 , temos: 1 


dy  3t 4  4t 3  7t 2

dx
4
4
 t4
t
Fazendo t  4 na expressão da derivada, resulta:
dy  3.4 4  4.4 3  7.4 2

 192  64  28
dx
4

dy
 156
dx
4a Questão (10 pontos): A função f , definida de  em  por f x   ax 2  4 x  a tem um valor
máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nestas condições, o valor da expressão
A  f  2  f  f 1  f  f  1 é:
a)  100
b)  102
c)  104
d)  106
SOLUÇÃO
Devemos ter a  0 e   0 .
Assim: 16  4a 2  0  a 2  4  a  2
Logo: f x   2 x 2  4 x  2
 f  2  2

 f 1  8  f  f 1  f  8  98
 f  1  0  f  f  1  f 0  2

Portanto: A  2  98  2  A  102
e)  108
5a Questão (10 pontos): A área limitada pelas curvas y  x 2 e y  2 x vale:
a)
1
3
b)
2
3
c)
4
3
d)
5
3
e)
7
3
SOLUÇÃO
Devemos inicialmente fazer um esboço das curvas envolvidas para localizar a área a ser
calculada:
Assim:
y
y  2x
y  x2
y
x
0
2
x
A área limitada pelas duas curvas será:
S   y * .dx   y reta  y parábola.dx .
2
2
0
0
2
 2 x3 
S   2 x  x .dx   x   .
0
3 0

2
2
Calculando, obtemos finalmente: S 
4
u. A.
3
6a Questão (10 pontos): Encontre dois números reais cuja soma seja igual a 4 , de modo que a
soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja:
a) Máxima;
b) Mínima.
SOLUÇÃO
Sejam x o menor número e y o maior número.
Sabe-se que x  y  4  y  4  x .
Tomando S  x 3  y 2 , e substituindo a equação acima, temos: S  x 3  4  x  .
2
Como queremos obter os extremos desta soma, devemos encontrar os Pontos Críticos, ou
seja, devemos ter:
dS
 0.
dx
Assim: 3x 2  2.4  x 
.  1  0  3x 2  2 x  8  0 .
 x  2
 2  10 
Resolvendo a equação, obtemos: x 
4 , que são os Pontos Críticos.

6
 x  3
Pelo Teste da Derivada Segunda:
 Para x  2 
 Para x 
d 2S
 6x  2 .
dx 2
d 2S
d 2S


10

 0 (Ponto de Máximo Relativo).
dx 2
dx 2
4
d 2S
d 2S


10

 0 (Ponto de Mínimo Relativo).
3
dx 2
dx 2
Máxima : x  2 e y  6

Portanto: 
4
8
Mínima : x  e y 

3
3


7a Questão (10 pontos): Achar a equação da reta que é tangente à curva 3. x 2  y 2

2
 100 xy
pelo ponto P3,1 .
SOLUÇÃO
Sabemos que a equação da reta tangente à curva da função y  f x  pelo ponto Px0 , y0  é
. x  x0  ou y  y0  y P .x  x0  .
dada por y  y0  f x0 
No nosso caso, temos: x0  3 e y 0  1 .
Para obtermos f x0   y P , vamos derivar implicitamente a função dada.
Assim: 6.x 2  y 2 .2 x  2 y. y   100 y  100 x. y 
12.x 2  y 2 .x  y. y   100 y  100 x. y   3.x 2  y 2 .x  y. y   25 y  25x. y 
Substituindo o ponto P3,1 na expressão acima, obtemos:
3.9  1
. 3  y P   25  75 y P  y P 
Portanto, a reta tangente é: y  1 
13
.
9
13
13
10
.x  3  y  x 
9
9
3
8a Questão (10 pontos): Resolver a integral I   arctgx.dx , usando o Método de Integração por
Partes  u.dv  u.v   v.du .
SOLUÇÃO
1

u  arctgx  du  1  x 2 .dx
Fazendo: 
dv  dx  dv  dx  v  x
 

Assim, teremos:
I  x.arctgx  
x
.dx
1 x2
A segunda integral é imediata (Diretiva da Função Quociente). Basta arrumarmos o numerador
do integrando, ou seja:
I  x.arctgx 


1
2x
1
.dx  I  x.arctgx  ln 1  x 2  C
2

2 1 x
2
9a Questão (10 pontos): Resolver a integral I   e x  1 dx , usando uma substituição de variáveis
conveniente.
SOLUÇÃO
Fazendo: t  e x  1  e x  1  t 2  x  ln t 2  1  dx 
Assim: I  
2t
dt .
t 1
2
2t 2
2 

dt  I    2  2
dt  I  2t  2arctgt  C .
2
t 1
t  1

Como t  e x  1 , então:
I  2 e x  1  2arctg e x  1  C
10a Questão (10 pontos): Calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da
área limitada pelas curvas y  4 x  0 e 2 x 2  y  0 .
SOLUÇÃO
O volume a ser calculado é mostrado na figura abaixo:
y
y  2x 2
8
y  4x
y1
x
0
2
2
0
0

 y1  y reta  y1  4 x

2

 y 2  y par.  y 2  2 x
y2
x
x
2
Temos: V    y12 dx    y 22 dx .
 
V    4 x  dx    2 x 2 dx  V    16 x 2 dx    4 x 4 dx .
2
2
0
16 x 3
V  .
3
2
0
2
0
4x 5
 .
5
2
2
 V 
0
2
2
0
0
16.8
4.32
256
u.V .
 .
 V
3
5
15
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
GABARITO DE PROGRAMAÇÃO – PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA,
EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 01/12/2013
CANDIDATO: _______________________________________________________
CURSO PRETENDIDO: _______________________________________________
01 – Prova SEM consulta.
02 – A prova PODE ser feita a lápis.
03 – Duração: 2 HORAS.
04 – Resolver a prova de programação empregando uma pseudolinguagem (pseudocódigo, Portugol, etc.) ou uma linguagem de programação (C, C++,
Pascal, etc.) de seu domínio.
OBSERVAÇÕES:
1a Questão: Assinale a alternativa que mostra o que será impresso pelo trecho de programa
abaixo escrito em pseudocódigo (obs.: o símbolo “” corresponde ao comando de atribuição,
isto é, a variável à esquerda recebe o valor apontado para ela):
INTEIRO A, B, C
A  12
B 5
C  A*B
ESCREVE A, “, ”, C, “, ”, B
( a ) 12, 5, 60
( b ) 12, 5 60
( c ) 12, 60, 5
( d ) 5 12, 60
2a Questão: ANULADA
(A pontuação referente a esta questão será atribuída a todos os candidatos que compareceram à prova).
3a Questão: Um programa lê, armazena e imprime mensagens de texto, empregando um arranjo
unidimensional de 4096 posições (vetor Vet[ ]). Quando a mensagem não ocupa todas as
posições disponíveis é gravado o caractere “#” para sinalizar o final da mensagem. Por questões
de segurança, antes de armazenar, modifica os dados lidos substituindo vogais por números
através das seguintes trocas: lê “a” e armazena “7”, lê “e” e armazena “6”, lê “i” e armazena “5”, lê
“o” e armazena “4” e finalmente, lê “u” e armazena “9”. Em mensagens contento números, é
armazenado o caratere ”\” antes e depois do número para sinalizar que não é uma vogal
codificada. Quando é utilizado para imprimir os dados armazenados decodifica as palavras
trocando os números pelas respectivas vogais. Supondo que, ao rodar esse programa para
imprimir uma mensagem armazenada, obtém-se “modelo-2 de frase para codificar”, assinale a
alternativa que corresponde aos dados que estão no vetor:
(a) m4d6l4-\2\ d6 fr7s6 p7r7 c4d5f5c7r#
(b) m5d6l4 fr4s\6\ p7r5 c4d5f5c7r#
(c) m4d6l\4\ d6 fr7s6 p5r7 c4d5f5c7r
(d) m4d7l4-\2\ d6 fr7s5 p5r5 c4d7f5c5r
4a Questão: A Cia X tem jornada semanal de trabalho prevista para 40 horas e realiza o
pagamento de seus funcionários no final de cada jornada. Quando ultrapassa as 40 horas, o
funcionário recebe um adicional de 50% sobre o valor das horas extras. Sabendo que para o
cálculo são fornecidos o total de horas trabalhadas e o valor pago por cada hora de trabalho,
escolha uma das alternativas, escrita em pseudocódigo, que mostre como o cálculo desse
pagamento é efetuado:
(a) SE Total_horas > 40
ENTÃO Pagamento = (40 + (Total_horas – 40)*1,5)*Valor_hora
SENÃO Pagamento = Total_horas*Valor_hora
(b) SE Total_horas  40
ENTÃO Pagamento = Total_horas*Valor_hora
SENÃO Pagamento = 40*Valor_hora + (Total_horas – 40)*Valor_hora
(c) SE Total_horas > 40
ENTÃO Pagamento = 40*Valor_hora + (Total_horas – 40)*0,5*Valor_hora
SENÃO Pagamento = Total_horas*Valor_hora
(d) SE Total_horas  40
ENTÃO Pagamento = Total_horas*Valor_hora
SENÃO Pagamento = Total_horas*(Valor_hora + (Total_horas – 40)*0,5*Valor_hora)
5a Questão: Escolha entre as alternativas no corpo do programa, qual é a sequência correta de
comandos de leitura dos dados de uma matriz que armazena em cada elemento M(i,j) um número
inteiro diferente de zero. A matriz tem dimensões N linhas e M colunas indicadas antes da leitura.
Obs.: 2 < N, M < 11.
Programa Matriz
INTEIRO i, j, M[10, 10]
FAÇA
ESCREVA “digite o número de linhas e colunas”
LEIA N, M
ENQUANTO N  3 OU N  10 OU M  3 OU M  10
i1
ENQUANTO i  N FAÇA
j1
ENQUANTO j  M FAÇA
(a)
(b)
ESCREVA “digite M(“, i, “, “, j, “): “
LEIA M(i,j)
FAÇA
ESCREVA “digite M(“, i, “, “, j, “): “
LEIA M(i,j)
ENQUANTO M(i,j) = 0
(c)
(d)
LEIA M(i, j)
FAÇA
ESCREVA “digite M(“, i, “, “, j, “): “
LEIA M(i,j)
ENQUANTO i < M E j < N
jj+1
FIM-ENQUANTO
ii+1
FIM-ENQUANTO
FIM Programa Matriz
6a Questão: Escreva um programa de controle para ler a quantidade atual em estoque e as
quantidades máxima e mínima previstas para estoque de um produto. Calcula e imprime a
quantidade média ([qtd máxima + qtd mínima]/2). Se a quantidade atual em estoque for maior ou
igual a média calculada, escreva a mensagem “não efetuar compra”, caso contrário escreva
“efetuar compra”.
Programa-6
REAL atual, máximo, mínino, Média
ESCREVA “digite quantidade atual, a máxima e a mínima prevista”
LEIA atual, máximo, mínimo
Média = (máximo + mínimo)/2
ESCREVA “quantidade média: ”, Média
SE Média < atual
ENTÃO ESCREVA “efetuar compra”
SENÃO ESCREVA “não efetuar compra”
FIM Programa-6
7a Questão: Escreva um programa que leia três números inteiros, ordene-os em ordem crescente
de valor e depois os imprima ordenados.
Programa-7
INTEIRO x, y, z, aux
ESCREVA “digite três números inteiros“
LEIA x, y, z
aux  x
SE aux > y
ENTÃO aux  y
yx
x  aux
FIM-SE
SE aux > z
ENTÃO aux  z
zx
x  aux
FIM-SE
aux  z
SE aux < y
ENTÃO aux  y
zy
y  aux
FIM-SE
ESCREVA “seqüência ordenada: “, x, “ ,”, y, “ ,”, z
FIM Programa-7
8a Questão: Acrescente um fragmento de código com comandos necessários para modificar o
Programa Matriz apresentado na questão 5, logo após a leitura de todos os elementos. Os
comandos a acrescentar devem verificar se entre os valores armazenados existe algum que tenha
a propriedade: M(i,j) = i*j. Deverão ser impressos todos os elementos localizados e sua posição
(i,j) que tiverem essa propriedade, por exemplo, se M(2,3) = 6 observaremos uma mensagem
“M(2,3) = 6” impressa.
i1
ENQUANTO i  N FAÇA
j1
ENQUANTO j  M FAÇA
SE M(i,j) = i * j
ENTÃO ESCREVA “M( “, i, “, “, j, “ ) = “, M(i,j)
jj+1
FIM-ENQUANTO
ii+1
FIM-ENQUANTO
9a Questão: Seja um programa que lê e armazena pequenas mensagens de texto em um arranjo
unidimensional de 2000 posições (vetor Vet[ ]). Escreva um fragmento de código com os
comandos necessários para que o programa possa contar as ocorrências das vogais “a” e “o”
digitadas, escrevendo logo em seguida a estatística realizada e o total de caracteres da
mensagem (espaços em branco não são contabilizados). Logo após a digitação da mensagem é
gravado o caractere “#” para sinalizar seu final. Considere que apenas letras minúsculas são
utilizadas nas mensagens. Por exemplo, considere a leitura da frase: “mensagem do exercício 9
!”. Teríamos após a digitação a seguinte saída do programa:
Vogal a: 1 ocorrência(s)
Vogal o: 2 ocorrência(s)
Tamanho da mensagem: 21 caractere(s)
k1
A0
O0
ENQUANTO Vet(k)  ‘# ’ E k  2000 FAÇA
SE Vet(k) = ‘a’
ENTÃO A  A + 1
SENÃO SE Vet(k) = ‘o’
ENTÃO O  O + 1
FIM-SE
FIM-SE
kk+1
FIM-ENQUANTO
ESCREVA “Vogal a: “, A, “ocorrência(s)
ESCREVA “Vogal o: “, O, “ocorrência(s)
ESCREVA “Tamanho da mensagem: “, k, “caractere(s)“
10a Questão: Escreva um programa para calcular a raiz quadrada de um número real positivo Y,
usando o roteiro abaixo, baseado no método de aproximações de Newton:
I.
II.
A primeira aproximação para a raiz quadrada de Y é X1 = Y/2;
As aproximações seguintes serão dadas pela relação:
Xn+1 = (Xn2 + Y)/(2*Xn), n = 1, 2, 3, ....
O programa deverá realizar os cálculos até que a diferença entre dois cálculos consecutivos seja
inferior a 0,1 (Xn - Xn+1 < 0,1).
Programa CalculaRaiz
REAL Y, Xant, Xatual, dif
FAÇA
ESCREVA “digite um numero positivo”
LEIA Y
ENQUANTO Y  0
Xant  Y/2
dif  1
ENQUANTO dif  0,1 FAÇA
Xatual  (Xant*Xant + Y)/(2*Xant)
dif  Xant - Xatual
Xant  Xatual
FIM-ENQUANTO
ESCREVA “RAIZ ( “, Y, “ ) = “, Xant
FIM Programa CalculaRaiz