as dificuldades dos alunos, do 6º ano do ensino

Universidade Estadual de Maringá
26 e 27/05/2011
AS DIFICULDADES DOS ALUNOS, DO 6º ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL, PARA A REALIZAÇÃO DAS OPERAÇÕES
FUNDAMENTAIS: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E
DIVISÃO COM NÚMEROS NATURAIS
BRANDT, Celia Finck (UEPG)
BASSOI, Tânia Stella (UEPG)
PEREZ, Marlene (UEPG)
DIONIZIO, Fátima Queiroz (UEPG)
MIDENBERG, Adriane (UEPG)
WOLSKI, Denise Therezinha Marques (UEPG)
CABRAL, Andréia (UEPG)
ROCHA, Hallayne Nadal B. (UEPG)
Introdução
O presente texto apresenta os resultados de uma pesquisa relativa às respostas
dadas por alunos de quatro 6os anos, ou seja, antigas 5as séries, com aproximadamente
30 alunos em cada turma, à questões envolvendo operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão com números naturais. Essas respostas caracterizaram os dados
empíricos, submetidos à analise à luz da teoria dos Campos Conceituais de Gérard
Vergnaud (1990), da presente investigação que buscou responder às seguintes questões:
Quais as dificuldades dos alunos, do 6º ano do ensino fundamental, para a realização
das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números naturais? Os
erros são decorrentes da compreensão da estrutura do sistema de numeração decimal?
Os erros são decorrentes da compreensão da estrutura do algoritmo? Os erros cometidos
são decorrentes da compreensão da organização dos registros de representação (palavra
e notação arábica)?
Com o desenvolvimento da investigação pretendeu-se atingir os seguintes
objetivos: compreender as dificuldades das crianças no domínio da estrutura do Sistema
de Numeração Decimal (SND); explicitar a compreensão do SND pelas crianças no
momento da utilização dos algoritmos operatórios; desvelar as hipóteses que as crianças
manifestam para justificar estratégias e procedimentos utilizados para realizar operações
de adição, subtração, multiplicação e divisão com números naturais; apontar o campo
conceitual (conjunto de situações e conjunto de conceitos) necessário para a realização
de operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números naturais.
Procedimentos Metodológicos
A investigação foi encaminhada numa abordagem qualitativa, que se
desenvolveu em momentos distintos. Primeiramente, foi aplicado um instrumento de
coleta de informações, com dez questões, com os quatro tipos de operações
matemáticas: adição, subtração, multiplicação e divisão para quatro turmas de alunos do
6° ano (5ª série) do Ensino Fundamental de uma escola pública. As respostas
apresentadas, por escrito, foram organizadas numa tabela de acordo com a seguinte
categorização: resolução correta ou incorreta. Para a resolução correta elencaram-se
mais duas subcategorias, resolução com algoritmo e resolução sem algoritmo. Para as
resoluções incorretas elencaram-se três subcategorias: questão não resolvida (NF),
questão errada (R) e erro incompreensível (I). Essa tabela pode ser visualizada a seguir:
Questão
Aluno
Acerto: Estratégias
Erro
I
NF
R
Procedimentos de organização dos dados
Os erros foram apontados bem como as resoluções apresentadas não passíveis de
compreensão. Dessa forma pudemos identificar os tipos de erros apresentados na
resolução das questões e o número de sujeitos do grupo que apresentaram o mesmo tipo
de erro. Esses erros forma analisados à luz da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard
Vergnaud,
A tabela a seguir permite visualizar esse procedimento e, ao mesmo tempo, os
diferentes erros cometidos e sua natureza.
Questão A: Adição sem recurso à ordem superior, com duas parcelas de dois algarismos:
35 + 42.
Efetuou corretamente com a utilização do algoritmo.
Não fez.
2
Efetuou corretamente sem a utilização do algoritmo.
Faltou.
Registro incompreensível: sem utilização do algoritmo, resultado 41.
Utilização incorreta do algoritmo apresentou um resultado que não condiz com a conta (57).
Não especificado
Errou a soma só na casa das dezenas
Utilizou o processo da subtração, realizando a operação da direita para a esquerda. Subtraiu e
por essa razão teve que emprestar para poder subtrai 4 de 3. Fez isso emprestando da casa das
unidades (era 5, ficou 4). No entanto o empréstimo foi colocado ao lado do algarismo da casa
das dezenas (e não a ele adicionado, ficando 31 para retirar as 4 dezenas) Ex:3154
Questão B: Adição com recurso à ordem superior, com duas parcelas sendo a 1º. Com
três algarismos e a segunda com quatro algarismos: 2785+3456
Resolução correta com uso do algoritmo, com o registro das reservas sobre as ordens. (69
alunos)
Resolução correta, sem utilização do algoritmo. (4 alunos)
Resolução correta com uso do algoritmo, com o registro das reservas sobre as ordens. Errou a
soma das unidades. (2 alunos)
Fez sem a utilização do algoritmo e errou a soma das unidades de milhar (2 alunos)
Fez sem a utilização do algoritmo e errou a soma das dezenas e unidades (1 aluno)
Fez sem a utilização do algoritmo e errou a soma das dezenas e das centenas (1aluno)
Fez sem a utilização do algoritmo e errou soma da casa das unidades e centenas (1 aluno)
Utilização incorreta do algoritmo.Colocou a unidade 8 abaixo da dezena 4 e realizou a
operação.(Resultado 6326) (5 alunos)
Utilização correta do algoritmo com registro das reservas. Errou a soma das centenas (3724 e
3924) (1 aluno)
Utilização correta do algoritmo com registro das reservas. Errou a soma das centenas e dezenas
(6134 e 3794) (2 alunos)
Copiou a conta errada (2785+35460=3845) (2 alunos)
Acrescentou um zero ao número 278 ficando 2780 e realizou a operação. (1 aluno)
Utilização correta do algoritmo sem registro das reservas. Errou a soma das dezenas (1 aluno)
Deixou em branco. (4 alunos)
Faltou. (20 alunos)
Irreconhecível (4 alunos)
278
+3546
0226
Irreconhecível Não especificado (1)
Questão C: Subtração com recurso à ordem superior na ordem das dezenas com três
algarismos no minuendo e no subtraendo: 839
Utilização correta do algoritmo com o registro do empréstimo ao algarismo de ordem superior.
(63 alunos)
Resposta correta, sem uso do algoritmo. (6 alunos)
Inverteu a operação: somou ao invés de subtrair. (7 alunos)
Subtraiu o menor do maior, invertendo minuendo e subtraendo. (3-5=2) (10 alunos)
Subtraiu o menor do maior na casa das dezenas. (3 alunos)
Somou (4 alunos)
Somou uma parte dos algarismos e subtraiu outra. (2 alunos)
Utilização correta do algoritmo sem o registro do empréstimo ao algarismo de ordem superior,
3
ocasionando o erro na ordem das dezenas. (1 aluno)
Somou corretamente com a utilização do algoritmo, mas deveria ter subtraído. (6 alunos)
Faltou. (20 alunos)
Não foi possível analisar: sem algoritmo, só o resultado 115 e 336 (2 alunos); II) só o resultado
405; sem utilização de algoritmo, só o resultado 41. (3 alunos) (resultado 1574 e 386) (2
alunos)
Não fez (5 alunos)
Questão D: Subtração com recurso à ordem das dezenas, com três algarismos no
minuendo e no subtraendo: 942-543
Utilização correta do algoritmo com o registro do recurso à ordem superior. (47 alunos)
Resposta correta sem a utilização do algoritmo. (2 alunos)
Subtraiu o maior do menor. (5 alunos)
Somou (5 alunos)
Erro parcial: utilizou corretamente o algoritmo com o registro do recurso à ordem superior, mas
errou nas centenas e⁄ou dezenas e⁄ou unidades. (5 alunos)
Somou e subtraiu ao mesmo tempo. (4 alunos)
Copiou errado o algarismo da centena da segunda parcela (8 ). Fez o registro incorreto do
empréstimo (49) (1 aluno)
Copiou o sinal da subtração, mas resolveu como se fosse adição e fez a soma errada. (2)
Na casa das unidades não era possível subtrair 3 de 2, mas possivelmente fez o inverso e
colocou como resultado o número 1 (2-3=1) e na casa das dezenas fez uso do recurso
normalmente. (2 alunos)
Ao emprestar um número da casa das dezenas, somou com o das unidades como se fosse
unidade, e ao emprestar da casa das centenas, fez certo, mas não diminuiu uma unidade nas
centenas. (1 aluno)
Errou (não apresentado o tipo de erro). (2 alunos)
Não foi possível categorizar: resultado 115. (2 alunos)
Deixou em branco. (10 alunos)
Faltou (22 alunos).
Questão E: Multiplicação por 1 com três algarismos no multiplicador: 121x1
Acertou com algoritmo. (84 alunos)
Acertou sem algoritmo. (5 alunos)
Incompreensível, obteve 3 na casa das centenas. (1 aluno)
Duplicou o valor numérico após multiplicação por 1: obteve 242. (1 aluno)
Não fez. (13 alunos)
Copiou errado (1 aluno)
Errou o resultado da multiplicação. (2 alunos)
Somou uma unidade a cada algarismo 121x1= 132. (3 alunos)
Faltou. (21 alunos)
Questão F: Multiplicação por zero e com três algarismos no multiplicador: 784 x 0.
acertou sem algoritmo. (5 alunos)
Errou, deu como resultado 784 (resultado da multiplicação por 1, utiliza o zero como elemento
neutro). (36 alunos)
Errou, deu como resultado 7840 ( utiliza o zero como elemento neutro e acrescenta mais um
zero)(1 aluno)
Faltou. (20 alunos)
Não fez. (9 alunos)
Resultado 700. (1 aluno)
4
Questão G: multiplicação de um algarismo no multiplicador por três algarismos no
multiplicando: 743 x 2.
Acertou, registrando a reserva. (70 alunos)
Acertou sem uso do algoritmo (2 alunos)
Errou ao multiplicar a centena (1 aluno)
Faltou. (19 alunos)
Efetuou divisão. (1 aluno)
Não registrou a unidade de milhar. (1 aluno)
Errou o resultado da multiplicação do multiplicador pelo algarismo da dezena do multiplicando
Multiplicou 2 x 4 = 12 (1.526) (1 aluno)
Utilização do algoritmo, somando a unidade,multiplicando a dezena e somando a centena (1
aluno)
743 x 2 = 985.multiplicou e somou (1 aluno)
Não há nenhum tipo de registro. (22 alunos)
Colocou o nº 1 no multiplicador. (1 aluno)
Não fez (5 alunos)
Questão H: Multiplicação de dois algarismos no multiplicador e no multiplicando: 45 x
16.
Acertou, registrando a reserva. (36 alunos)
Utilizou algoritmo com a reserva, mas errou na tabuada (10 alunos)
Registrou e utilizou a reserva, mas errou na soma (4 alunos)
Errou sem utilização do algoritmo, resultado aleatório (2 alunos)
Faltou. (20 alunos)
Não fez . (14 alunos)
Dividiu. (1 aluno)
Registrou e utilizou a reserva. Errou na multiplicação de 6x5, e 6x4 (393). (1 aluno)
registrou e utilizou a reserva. Também erra a posição do resultado, por não compreender que
não multiplicou por 1 e sim por 10.
Incompreensíveis. (9 alunos)
Registrou e utilizou a reserva. Mas copiou errado.(1 aluno)
Multiplica a unidade do multiplicador pela unidade do multiplicando, registra a reserva.
Multiplica a dezena do multiplicador pela unidade e dezena do multiplicando.
(70) (1 aluno)
Somou as unidades e somou novamente 6 com 4 utilizando a reserva. (1 aluno)
Erro na Tabuada (3 alunos)
Só multiplicou a unidade. (4 alunos)
Não utilizou algoritmo, resultado aleatório: 370 e 302454 (2 alunos)
Na hora de colocar o valor da multiplicação do número da casa das unidades pelo número da
casa das dezenas, esqueceu de fazer a soma com o que foi elevado (colocou 24 ao invés de
colocar 24+3=27) (1 aluno)
Multiplicou primeiro a casa das dezenas do multiplicador pelo multiplicando e depois não
soube onde colocar o resultado da multiplicação da casa das unidades. (1 aluno)
Só multiplicou a casa das unidades do multiplicador pelos algarismos do multiplicando
(16x45=270) (1 aluno)
Não somou o valor que “subiu” e colocou na posição errada a segunda parcela da multiplicação
(2 alunos)
Colocou na posição errada a segunda parcela da multiplicação. (1 aluno)
Copiou errado e errou na multiplicação. (1 aluno)
Errou na multiplicação, (tabuada). (1 aluno)
Errou no momento de fazer a soma. (1 aluno)
Errou a tabuada e somou o resultado da multiplicação com o número que foi na casa das
dezenas. (1 aluno)
5
Errou na multiplicação (tabuada) e na soma na casa das dezenas. (1 aluno)
Questão I: Divisão de 100 por 2.
Faltou. (20 alunos)
Não fez. (28 alunos)
Acertou com a utilização do algoritmo. (50 alunos)
Obteve o resultado correto direto. (1 aluno)
Efetuou na horizontal. (1 aluno)
Fizeram tentativas de usar o algoritmo. (5 alunos)
Arrisca o algoritmo e obtém como quociente (100) e resto (0).(2 alunos)
Arrisca o algoritmo e obtém como quociente (200) e resto (0). (1 aluno)
Só colocou o 5 na resposta, e não o 50. (2 alunos)
Errou na divisão (1 aluno)
Divide 10:2 =5, resto 10. Novamente 10:2 e obtém resto 10, 10: 2 = 5 e resto 0, sem registro no
quociente. (1 aluno)
Realizou uma multiplicação. (1 aluno)
OBS: a professora considerou errada
Ex: 100∟2
10 050
00
0
Utiliza parcialmente o algoritmo não sabendo registrar o resultado da divisão de zero por (3
alunos)
Incompreensível (4 alunos)
Questão J: Divisão de um número com três algarismos no dividendo por um algarismo no
divisor.
Faltou. (20 alunos)
Não fez. (36 alunos)
Acertou, efetuando a divisão pelo processo curto. (36 alunos)
Acertou, efetuando a divisão pelo processo longo (1 aluno)
Errou (3 alunos)
Não baixou o segundo número do dividendo, mas fez diretamente a divisão. (1 aluno)
Errou a tabuada. (1 aluno)
(errou na tabuada fazendo 8 x 5 = 45, obtendo como resposta 168) (2 alunos)
O aluno faz que 9x5 = 45, logo 845- 45 = 800 e como é preciso eliminar o 8 ele coloca o 8 no
quociente. (1aluno)
Errou ao trabalhar com o resto. (2 alunos)
utiliza o algoritmo e realiza a operação pelo método breve, mas erra tabuada, sendo 3x5 = 30.
Tendo como resultado do quociente (139) (1 alunos)
Multiplicou (1 aluno)
Não sabe utilizar o algoritmo.(2 alunos)
Incompreensível (5 alunos)
Sem resultado. Ex: 845÷5∟5(1 aluno)
Organização dos dados por erros
Os erros foram agrupados numa tabela para análise posterior e podem ser
visualizados a seguir:
6
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Erros de adição tanto nas adições como nas multiplicações
Empréstimos da casa das unidades para a casa das dezenas, da casa das dezenas para a casa
das centenas. O valor emprestado é considerado uma unidade que não é somado ao
algarismo de qualquer casa e sim justaposto (ou à direita ou à esquerda). Ou esse valor
emprestado é considerado uma unidade. Nesse caso será preciso entrevistar a criança
para descobrir que hipóteses ela construiu para dar significado à estrutura do SND. A
estrutura do SND compreende teoremas, pois envolve adições e multiplicações e
compreende também invenções de natureza arbitrária: base, valor posicional e registros de
representação (palavra e notação escrita)
Utilização excessiva do algoritmo. Até para multiplicar por 1 e por zero. Falta de
segurança para a realização das operações sem a utilização de algoritmos. Novamente
necessidade de um trabalho voltado para a compreensão da estrutura do SND presente nos
registros de representação utilizados para representar os números e a forma de organização
dos diferentes registros: palavra (sufixos e prefixos) e notação escrita (valor absoluto e
valor relativo dos algarismos). Pensar em estratégias para desenvolvimento de habilidades
relativas ao cálculo mental e à memorização de pequenas somas.
Utilização errada do algoritmo oriundo da não compreensão da estrutura do SND (colocar
unidades em baixo de dezenas, ...).
Acréscimo de zero ao número.
Subtrair o menor do maior não importando quem é o minuendo e quem é o subtraendo ou
somar quando não dá para subtrair (mesmo que isso signifique somar alguns algarismos e
subtrair outros na mesma operação.
Multiplicação por 1: soma uma unidade a cada algarismo ou duplica o valor de cada
algarismo.
Multiplicação por zero dá o mesmo número ou acrescenta um zero ao número. Muitas
crianças cometem esse erro, isto é, consideram o zero como elemento neutro.
Na multiplicação por um algarismo no multiplicador erra uma das multiplicações
Divide ao invés de multiplicar.
Não registra o algarismo da ordem das unidades de milhar ao multiplicar um número de
3 algarismos por um número de um algarismo.
Soma e multiplica na mesma operação.
Substituiu o multiplicador 2 por 1. Trata cada algarismo do multiplicador como se
valor absoluto (unidades) e não relativo e, por essa razão, erra a posição do resultado para
adicionar.
Multiplica a unidade por unidade do multiplicando, registra a reserva, e a dezena por
dezena.
Somou o algarismo das unidades do multiplicador aos algarismos do multiplicando
(tanto dezenas como unidades) Não considerou o algarismo da dezenas do multiplicador.
Entrevistar a criança.
Erro de tabuada. Tanto nas multiplicações como nas divisões.
Esquecem de adicionar a reserva na multiplicação.
Só multiplica pelo algarismo da unidade do multiplicador.
Multiplicou primeiro a casa das dezenas do multiplicador pelo multiplicando e depois
não soube onde colocar o resultado da multiplicação da casa das unidades. Entrevistar a
criança.
Fizeram tentativas de usar o algoritmo..
Arrisca o algoritmo e obtém como quociente (100) e resto (0).
Arrisca o algoritmo e obtém como quociente (200) e resto (0). Entrevistar a criança. Pode
ser que multiplicou.
Não sabe o que fazer para dividir zero por dois. Só colocou o 5 na resposta, e não o 50.
Compreensão da professora: não aceita o resultado 050 (a criança ao tentar dividir 1 por
dois vê que não dá e coloca zero. Segue dividindo corretamente e por isso o resultado 050)
7


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Não baixou o segundo número do dividendo, mas fez diretamente a divisão.
Utilização errada do algoritmo.
Reproduz espacialmente o algoritmo das estruturas aditivas conforme já identificado
por (MUNIZ, 2009) porém manipula o algoritmo conforme o da divisão , isto é, inicia pela
esquerda. 100
÷2
05
Incompreensíveis
11
845∟5
370
5
Ex. 845∟5 ( 1)
84 171
5
Ex: ∟5 (1)
845
Ex: 845∟5(1)
40 14
0
Sem resultado. Ex: 845÷5∟5(1)
845∟5
10
8
7
Ex: 845∟5 (1)
24 249
45
0
Ex: 845 ∟5(1)
-50 955
34
-4
14
- 4
10
- 10
00
Ex:845 ∟5 (1)
4225
0
8
Procedimentos de análise dos dados empíricos: esquemas próprios utilizados pelos
alunos que fundamentam a realização de suas atividades matemáticas.
A análise das produções matemáticas das crianças implicou no conhecimento
das formas de pensar dessas crianças, subsidiado por uma teoria de conhecimento na
dimensão epistemológica e psicológica.
Nossa opção foi pela teoria de campos conceituais de Gérard Vergnaud pela
possibilidade de análise dos procedimentos de resolução de questões de matemática,
explicitando as significações compreendidas nos esquemas de pensamento utilizados
pelos alunos.
Segundo Vergnaud (1990, p. 155), a teoria dos campos conceituais trabalha
com a idéia de situação e da ação dos sujeitos nestas situações. Vergnaud (1990)
reconhece a importância da teoria de Piaget para a teoria dos campos conceituais e
destaca dois conceitos de Piaget: o conceito de esquema (organização invariante da
conduta para uma dada classe de situações) e de invariante operatório.
Os erros foram analisados em relação aos esquemas que, segundo o autor,
permitem investigar os conhecimentos-em-ação do sujeito, especificamente em relação
às categorias de elementos: metas e antecipações, regras de ação, invariantes operatórios
(conceitos e teoremas em ato) e possibilidades de inferência em situação.
Dado o exposto passaremos, na sequência, a apresentar as análises dos
procedimentos de resolução, buscando explicar os diferentes tipos de erros
apresentados, as hipóteses levantadas, os conceitos não construídos e as significações
atribuídas às diferentes soluções..
Análise dos erros
Erros de adição e subtração. Exemplo: 35+42 = 67.
Empréstimos: da casa das unidades para a casa das dezenas, da casa das dezenas para a
casa das centenas ou o valor emprestado considerado uma unidade não somada ao
algarismo de qualquer casa e sim justaposta (ou à direita ou à esquerda).
Por exemplo: 3154
981412
- 42
-5 8 3
272
340
9
Subtração do menor do maior não importando quem é o minuendo e quem é o
subtraendo ou adição em virtude da não possibilidade de subtração (mesmo que isso
signifique somar alguns algarismos e subtrair outros na mesma operação).Exemplo:
(942-583=441)
Acréscimo de zero ao número. Na operação 278+3546 faz 2780 + 3546.
Multiplicação por 1: soma uma unidade a cada algarismo ou duplica o valor de cada
algarismo.
Multiplicação por zero dá o mesmo número ou acrescenta um zero ao número.
Muitas crianças cometem esse erro, isto é, consideram o zero como elemento neutro.
Utilização errada do algoritmo oriundo da não compreensão da estrutura do SND
(colocar unidades em baixo de dezenas, ...). + 3546
278
6326
Tratamento de cada algarismo do multiplicador em função de seu valor absoluto
(unidades) e não relativo e, por essa razão, erro da posição do resultado para adicionar.
(por exemplo registro e utilização da reserva, no entanto, adição de unidade com dezena
e dezena com unidade.Por exemplo
Multiplicação da unidade por unidade do multiplicando, registro da reserva, e da
dezena por dezena.
Adição do algarismo das unidades do multiplicador aos algarismos do
multiplicando (tanto dezenas como unidades) Não consideração do algarismo da
dezenas do multiplicador. Multiplicação pelo algarismo da unidade do multiplicador.
Por exemplo (16x45=270)
Os erros identificados, tanto nas operações de adição como de multiplicação,
relativos às adições, foram analisados em relação ao teorema mobilizado (Card A +
Card B= Card (A + B). Qualquer que seja a estratégia utilizada, contar todos ou contar
na sequência, vai significar que a criança está lançando mão de um teorema em ação.
Enquanto conceitos são necessários a contagem (contagem de unidades ou de grupos e,
neste caso, é necessário seguir a lógica de contagem: contar todos, contar apenas uma
vez e repetir os nomes dos números na mesma ordem) e a cardinalidade (estabelecer
relações de ordem e inclusão hierárquica).
10
Foram também identificados erros de subtração e, por essa razão a necessidade da
identificação de conceitos e teoremas em ato necessários para a realização correta das
operações de subtração.
Para os problemas que envolvem subtrações, Fayol (1996) apresenta tipos
diferenciados de procedimentos dentre os quais destacamos: “contar para trás a partir
1
1
1
1
1
1
1
1
1
de” (12,11,10, 9, 8, 7, 6, 5, 4) ou “contar para trás até” (12,1 11, 10, 19, 18) a partir do
maior dos termos até atingir o menor, enumerando os elementos da seqüência obtida.
No caso das crianças analisadas podemos inferir, a partir de suas produções escritas
que as estratégias “contar para trás a partir de” ou “contar para trás até”, relacionadas ao
procedimento de diferença ou ao procedimento do complemento falham levando as
crianças a apresentarem erros de subtração. Essas estratégias exigem também conceitos
de contagem e, também, a manipulação de objetos ou dedos ou a mobilização em
pensamento da correta ordem da sequência numérica recitada em ordem inversa.
Igualmente, como na adição, mobiliza o teorema Car (A)–Car (B) = Car (A–B).
Os erros relativos aos significados atribuídos aos empréstimos, posicionamento dos
numerais no algoritmo ou à não possibilidade de retiradas, foram analisados em relação
às metas traçadas pela criança que compreenderam regras baseadas em conceitos em ato
relacionados à estrutura do SND. Isso porque segundo Duval (1995) um conceito
envolve um significante, um significado e uma significação pelo sujeito tendo por
referência um objeto de conhecimento, nesse caso o SND utilizado para a representação
dos números na forma numérica.
FIGURA 1 - ESTRUTURA DIÁDICA E TRIÁDICA DA SIGNIFICÂNCIA
.
Conceito
referência
Significado
Significação
atribuição
algarismos
de
do
(nesse
caso a
significação
aos
registro
de
Objeto
(O SND)
representação da escrita numérica
pela criança)
Significante
representação
(a escrita
numérica)
A criança realiza uma operação de subtração e cria hipóteses a partir da
significação atribuída aos algarismos dessa escrita. Essa significação não compreende o
conhecimento da estrutura que está presente nesse tipo de registro (de base dez e
11
posicional). Por essa razão ela, ao realizar a operação 35 – 42 e, ao não conseguir retirar
4 (dezenas) de 3 (dezenas), empresta 1 do 5 (que é unidade) e coloca esse valor
numérico à direita das 3 dezenas interpretando o novo valor como sendo 31, retirando as
4 dezenas (consideradas 4 unidades), obtendo 27. As 4 unidades que ficaram são
suficientes para a retirada das 2 unidade do 42, resultando em 272.
Essa interpretação foi baseada no registro apresentado pela criança
4
315
-42
272
A mesma análise permite interpretar os procedimentos em que as crianças
subtraem o menor do maior, não importando se o algarismo do registro seja do
minuendo ou do subtraendo. Nesse caso a criança trabalha com os algarismos dos
numerais como se fossem algarismos justapostos, pois não atribui significação ao
registro de representação do número. As antecipações compreendem regras de ação que
explicitam conceitos em ato utilizados (o conceito de subtração, nesse caso, retirar o
menor do maior) e esquemas que dão conta de obtenção de resultados (a utilização do
algoritmo que se baseia num conceito em ato fragilizado, isto é, a compreensão da
estrutura do SND).
Essas inferências podem justificar também o caso em que a criança completa
com um zero à direita em um numeral com menos algarismos para adicionar a outro
com mais algarismos. A não significação aos registros de representação do número
embasa as ações da criança que se apóia no procedimento algoritmo, mecanizado, mas
que lhe dá segurança para acreditar que obterá o resultado. Esse procedimento é
realizado conforme orientações recebidas, isto é, colocar os algarismos um em baixo do
outro e, nesse caso, o zero é acrescentado por não ter valor nenhum.
Os resultados da multiplicação por 1 e por zero poderiam ser realizados sem o
recurso ao algoritmo se a criança estivesse de posse do conceito de multiplicar. O
mesmo ocorre com a multiplicação por dois que poderia ser realizada sem a recorrência
ao algoritmo se acoplada à conceitualização da estrutura do SND.
A utilização correta do algoritmo, mas com adições do multiplicando aos
algarismos do multiplicador (121 x 1 = 232), ou com a duplicação desses algarismos (121
x 1 = 242), ou com a invariância desses algarismos na multiplicação por zero (121 x 0 =
121), foi analisada em relação ao esquema e, como conseqüência, às antecipações e
regras de ação cujos conceitos em ato revelam uma atribuição de significação
equivocada em relação ao registro de representação da operação em forma de algoritmo
12
escrito. Num outro contexto pode ser que a criança atribua uma significação
diferenciada que a leve a apresentar o resultado correto da operação.
No nosso cotidiano não se manifestam situações em que precisemos multiplicar
por 1ou dividir zero por 2. Prevalece nesse caso a idéia de que multiplicar é aumentar
(idéia de adição sucessiva) e essa idéia tem que ser associada ao registro escrito que se
manifesta no sinal de x (vezes).Ou prevalece a idéia de que o zero não modifica nada
(transportado da adição) e, por essa razão, ao enxergar o sinal de x (vezes) no registro
escrito transporta essa significação ao resultado.
A antecipação da criança, para a utilização do algoritmo, se apóia numa regra de
ação que revela lançar mão de um conceito em ato relativo á estrutura do SND que se
baseia em hipóteses próprias (que não respeitam o valor posicional) em relação aos
algarismos da escrita numérica levando-a a colocar os numerais em posições relativas
não coincidentes. A esse fato se associa a utilização de um teorema em ato fragilizado
(relativo à adição) que não permite que a criança perceba a cardinalidade resultante
dessa adição revelada pela soma obtida.
A reproduz espacial do algoritmo das estruturas aditivas, para a realização da
multiplicação, conforme já identificado por (MUNIZ, 2009), leva a criança a manipular
o algoritmo da divisão, isto é, inicia pela esquerda ou faz a multiplicação da unidade
vezes unidade fazendo a reserva e depois faz dezena vezes dezena.
3
45 ou
x16
70
100
÷2
05
Nestes dois casos aplica o algoritmo da adição para a realização de multiplicação
(somar unidade com unidade e dezena com dezena). Pode-se inferir que houve a
reprodução espacial do algoritmo das estruturas aditivas. Esse erro tem que ser
interpretado em relação ao esquema e sua efetividade. O esquema de adicionar ou
subtrair unidade/dezena com(de) unidade/dezena mantém-se invariante para essa
criança para realização da operação de multiplicação. Esse esquema compreendeu uma
meta, isto é, realizar a operação para obter o resultado, antecipações e neste caso a
criança antecipa que deve multiplicar unidade/dezena por unidade/dezena que
caracterizou as regras que comandaram a ação. Essas regras, por sua vez têm que ser
associadas aos conceitos e conhecimentos em ato (invariantes operatórios) que nesse
caso, para uma nova situação, no caso a multiplicação, estão fragilizados. Nesse caso é
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o teorema que se refere à multiplicação e lhe da a possibilidade de certas inferências,
especificamente proceder da mesma forma que na adição.
Esses procedimentos revelam uma antecipação apoiada sobre hipóteses
construídas pela criança em relação à significação atribuída ao algoritmo da
multiplicação. Nesse caso o esquema se apóia num conceito ainda equivocado e, por
essa razão, hipóteses que poderão ser refutadas em processos de intervenção por meio
de desafios cognoscitivos. Essas hipóteses são construídas em virtude da não atribuição
de significação ao procedimento algoritmo. Ela sabe que cada algarismo do
multiplicando se relaciona com cada algarismo do multiplicador. Como esse conceito é
equivocado ela ao invés de multiplicar, soma, além de esquecer-se do algarismo da casa
das dezenas.
Considerações finais
Na presente investigação foi possível identificar algumas das dificuldades dos
alunos, do 6º ano do ensino fundamental, para a realização das operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão com números naturais. Igualmente a natureza desses
erros como sendo decorrentes da compreensão da estrutura do sistema de numeração
decimal, da estrutura do algoritmo ou da organização dos registros de representação
(palavra e notação arábica)?
A partir dos resultados encontrados foi possível compreender as dificuldades das
crianças no domínio da estrutura do Sistema de Numeração Decimal (SND). As análises
permitiram explicitar a compreensão do SND pelas crianças, no momento da utilização
dos algoritmos operatórios e desvelar as hipóteses que elas manifestam, para justificar
estratégias e procedimentos utilizados para realizar essas operações. Ao proceder com
análises subsidiadas pela teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud foi
possível apontar o campo conceitual (conjunto de situações e conjunto de conceitos)
necessário para a realização dessas operações.
Até o momento procedemos com a avaliação dos erros. Estaremos na
continuidade do estudo procedendo com as análises das formas de intervenção para que
esses erros sejam superados.
Para tanto será importante observar (nas atividades a serem propostas) que para
a utilização do algoritmo da divisão inicia-se pelo algarismo de maior ordem que não é
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o caso do algoritmo da adição, subtração e multiplicação. Isso significa que deve haver
também aprendizado do algoritmo.
Igualmente observar que ao manipular os algoritmos as crianças lançam mão dos
mesmos esquemas (iniciar da direita para a esquerda para as adições, subtrações e
multiplicações e da esquerda para a direita no caso das divisões), no entanto os erros são
decorrentes da não identificação da estrutura do SND na notação arábica. Por isso
emprestam ao subtrair uma unidade da dezenas (ou vice e versa) e a acrescentam às
unidades ou a elas justapõem, ou trabalham com o valor absoluto dos algarismos do
numeral.
Teremos que observar se os erros apresentados por nossas crianças são
decorrentes da incompreensão da estrutura do SND ou se são decorrentes da
incompreensão do algoritmo e ainda, se os esquemas são criações próprias que
funcionariam se houvesse compreensão do SND.
Importante, nas intervenções, será considerar as produções dos alunos e
evidenciar os esquemas utilizados e as atribuições de significados aos dígitos da notação
numérica que levam a soluções diferentes pelos alunos. E isto deve ser feito
aproveitando os argumentos utilizados pelas crianças e ao mesmo tempo socializando
com os demais colegas da classe. São essa produções que podem subsidiar propostas de
intervenção para superação de obstáculos (epistemológicos ou pedagógicos) e avanços
conceituais.
O esquema é um produto de ordem psicológica apoiado na representação
mental. As produções escritas não são capazes de revelar as construções amplas e
complexas das crianças. É necessário, portanto, complementar os registros com
justificativas e argumentos que revelam o que não se torna explicitado.
Tal intencionalidade implica considerar a diversidade do pensamento humano na
organização da prática educativa e, por essa razão efetivar uma transposição didática do
conhecimento científico produzido, não o levando como pronto e acabado, ao
contemplar interesses, necessidades, dificuldades, intuições primeiras, possibilidades,
abordagens, encaminhamentos, estratégias, entre outras questões.
Igualmente considerar a necessidade de uma forma diferenciada do olhar do
professor em relação às produções das crianças buscando compreendê-las, aceitá-las
quando corretas, mesmo que diferentes ou não canônicas, socializá-las para valorizar o
sujeito epistêmico que é capaz de pensar e de produzir conhecimento, entendê-las
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enquanto frágeis ou oriundas de processos de desenvolvimento, e, colaborar para as
rupturas necessárias por meio de desafios cognoscitivos e de problematizações.
Essa forma diferenciada de olhar implica rupturas pessoais oriundas de nossos
processos de formação tanto escolar como profissional em cursos de formação de
professores. Essas rupturas significarão desconstruções e reconstruções de natureza
conceitual, procedimental e profissional, conforme apontado por Muniz (2009).
REFERÊNCIAS
FAYOL, M. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto
Alegre: Artes Médicas, 1996.
MUNIZ, Cristiano A. B. & BITTAR, Marilena. A aprendizagem matemática na
perspectiva da teoria dos campos conceituais. 1. Ed. Curitiba: Editora CRV, 2009.
VERGNAUD (1990), Gérard. La théorie des champs conceptuels. Recherches em
didactique de mathématiques, v. 10, n. 23, 1990, p.133-170.
DUVAL,
Raymond.
Sémiósis et
pensée humaine:
registres sémiotiques et
apprentissages intellectuels. Suisse: Peter Lang, 1995.
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