Aula 00 - Estratégia Concursos

Aula 00
Matemática p/ EFOMM (Escola de Formação de Oficiais da Marinha Mercante) - Com
videoaulas
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
00000000000 - DEMO
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
AULA 00 (demonstrativa)
SUMÁRIO
PÁGINA
1. Apresentação
01
2. Edital e cronograma do curso
04
3. Resolução de questões
10
4. Questões apresentadas na aula
29
5. Gabarito
35
1. APRESENTAÇÃO
Seja bem-vindo a este curso de MATEMÁTICA desenvolvido
auxiliar na sua preparação para o próximo concurso da Escola de
Formação de Oficiais da Marinha Mercante (EFOMM). Vamos seguir
à risca o conteúdo exigido no último Edital. Neste material você terá:
- curso completo em vídeo, formado por cerca de 15 horas de
gravações onde explico todos os tópicos exigidos no edital e resolvo
alguns exercícios para você começar a se familiarizar com os temas;
00000000000
- curso escrito completo (em PDF), formado por 20 aulas onde
também explico todo o conteúdo teórico do edital, além de apresentar
cerca de 600 questões resolvidas e comentadas sobre todos os
assuntos trabalhados, podendo ser da EFOMM, EsPCEx, EsSA, ENEM e até
de vestibulares;
- fórum de dúvidas, onde você pode entrar em contato direto conosco.
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
1
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Vale dizer que este curso é concebido para ser o seu único
material de estudos, isto é, você não precisará adquirir livros ou outros
materiais para tratar da minha disciplina. A ideia é que você consiga
economizar bastante tempo, pois abordaremos todos os tópicos
exigidos nos editais da EFOMM e nada além disso, e você poderá
estudar conforme a sua disponibilidade de tempo, em qualquer ambiente
onde você tenha acesso a um computador, tablet ou celular, e evitará a
perda de tempo gerada pelo trânsito das grandes cidades. Isso é
importante para todos os candidatos, mas é especialmente relevante
para aqueles que trabalham e estudam.
Já faz tempo que você não estuda Matemática do ensino médio?
Não tem problema, este curso também te atende perfeitamente. Isto
porque você estará adquirindo um material bastante completo, onde você
poderá trabalhar cada assunto em vídeos e também em aulas escritas, e
resolver uma grande quantidade de exercícios, sempre podendo consultar
as minhas resoluções e tirar dúvidas através do fórum. Assim, é
plenamente possível que, mesmo tendo dificuldade em Matemática e
estando há algum tempo sem estudar esses temas, você consiga um
ótimo desempenho na prova da EFOMM. Obviamente, se você se encontra
nesta situação, será preciso investir um tempo maior e dedicar-se
bastante ao conteúdo do nosso curso.
O fato de o curso ser formado por vídeos e PDFs tem mais uma
vantagem: isto permite que você vá alternando entre essas duas
00000000000
formas de estudo, tornando um pouco mais agradável essa dura
jornada de preparação. Quando você estiver cansado de ler, mas ainda
quiser continuar estudando, é simples: assista algumas aulas em vídeo!
Ou resolva uma bateria de questões!
Caso você não me conheça, eu sou Engenheiro Aeronáutico formado
pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Sou professor há quase
10 anos, tendo lecionado tanto para cursos pré-vestibulares como para
concursos públicos que exigem Matemática. Como engenheiro, trabalhei
por 5 anos no mercado da aviação, quando então decidi migrar para o
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
2
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
serviço público, sendo atualmente Auditor-Fiscal da Receita Federal. Aqui
no Estratégia eu já tive o privilégio de ministrar mais de 250 cursos online
de Matemática e outros assuntos correlatos, o que me permitiu ganhar
bastante familiaridade com este tipo de ensino, que no meu ponto de
vista possui muitas vantagens em relação ao estudo em um cursinho
presencial tradicional. Também contaremos com a colaboração do
professor Hugo Lima neste curso. Veja a apresentação dele abaixo:
Olá! Meu
nome
é
Hugo
Lima e
sou Engenheiro
Mecânico-
Aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA). Trabalhei por
5 anos e meio na Força Aérea Brasileira, como oficial engenheiro, sendo
que, no período final, também tive que conciliar o trabalho com o estudo
para o concurso da Receita Federal. Fui aprovado para o cargo de AuditorFiscal em 2012.
Sempre solicitamos que nossos alunos avaliem os nossos cursos.
Procuro sempre acompanhar as críticas, para estar sempre aperfeiçoando
os materiais. Felizmente venho conseguindo obter índices de aprovação
bastante elevados – acima de 95%, muitas vezes chegando a 100%.
Farei o que for possível para que você também aprove o nosso trabalho!
Quer tirar alguma dúvida antes de adquirir o curso? Deixo abaixo
meus contatos:
00000000000
E-mail: [email protected]
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Instagram, onde posto
dicas gratuitas para seu estudo: profarthurlima
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
3
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
2. CRONOGRAMA DO CURSO
Veja abaixo os tópicos de matemática cobrados no último edital:
I - CONJUNTO
a) Relação de pertinência.
b) Conjuntos universo, unitário e vazio.
c) Subconjunto.
d) Operações com conjuntos.
e) Número de elementos nas operações.
f) Conjuntos numéricos.
g) Operações com conjuntos numéricos.
II- RELAÇÕES
a) Produto cartesiano.
b) Número de elementos.
d) Relação binária e representação gráfica.
e) Domínio e imagem.
III- FUNÇÕES
a) Conceito.
b) Diagramas.
c) Domínio, contradomínio e imagem de uma função.
d) Gráfico.
e) Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras.
f) Funções compostas e inversas.
00000000000
g) Funções do 1º e 2º graus.
h)Função modular, exponencial e logarítmica.
IV- PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS
a) Classificação.
b) Termo geral.
c) Interpolação.
d) Propriedades.
e) Soma dos termos.
f) Problemas envolvendo progressões aritmética e geométrica.
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
4
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
V - TRIGONOMETRIA
a) Arcos e ângulos.
b) Relações métricas no triângulo retângulo.
c) Funções trigonométricas.
d) Gráficos.
e) Relações entre funções trigonométricas.
f) Redução ao 1º quadrante.
g) Transformações trigonométricas.
h) Equações trigonométricas.
i) Inequações trigonométricas.
j) Resolução de triângulos quaisquer.
VI - MATRIZES
a) Operações com matrizes.
b) Equação matricial.
c) Matriz transposta.
d) Matriz inversa.
e) Sistema de equações lineares.
f) Emprego do método Gauss-Jordan na solução dos sistemas.
g) Matriz de Vadermonde.
VII – DETERMINANTES
a) Menor complementar.
b) Cofator.
c) Teorema de La Place.
00000000000
d) Regra de Cramer.
VIII – CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
a) Vetores no R2 e R3.
b) Adição vetorial, multiplicação por escalar, produto escalar e produto
vetorial
c) Distância entre dois pontos.
d) Ponto médio de um segmento de reta.
e) Condição para o alinhamento de três pontos.
f) Coeficiente angular da reta.
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
5
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
g) Equação da reta.
h) Equações paramétricas da reta.
i) Posições relativas de duas retas no plano.
j) Ângulo formado por duas retas.
k) Distância de um ponto a uma reta.
l) Área de um triângulo.
m) Circunferência: equação geral, posição de um ponto e uma reta em
relação a uma circunferência.
n) Posições relativas de duas circunferências.
IX - GEOMETRIA ESPACIAL
a) Áreas e volumes de um prisma.
b) Áreas e volumes de uma pirâmide.
c) Tronco de pirâmide regular.
d) Áreas e volumes de um cilindro.
e) Áreas e volumes de um cone.
f) Áreas da superfície esférica.
g) Volume da esfera.
h) Inscrição e circunscrição de sólidos: relações entre elementos. Cálculo
de áreas e volumes.
X - NÚMERO COMPLEXO
a) Operações na forma algébrica.
b) Oposto e conjugado de um número complexo.
c) Potências de i.
00000000000
d) Forma trigonométrica: módulo e argumento.
e) Operações na forma trigonométrica.
f) Potenciação na forma trigonométrica.
g) Potenciação na forma trigonométrica (Fórmula de Moivre)
XI – POLINÔMIO
a) Grau e valor numérico.
b) Operações com polinômios.
c) Teoremas de D’Alembert e de Resto.
d) Teorema das divisões sucessivas.
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
6
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
e) Dispositivo de Briot-Ruffini.
XII- EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
a) Grau.
b) Teorema fundamental.
c) Raízes nulas.
d) Multiplicidade de uma raiz.
e) Teoremas das raízes conjugadas.
f) Relações de Girard.
g) Raízes racionais.
XIII- LIMITE
a) Limite de uma função.
b) Operações com limites finitos e infinitos.
c) Limites fundamentais.
d) Número irracional.
XIV- DERIVADAS
a) Aplicação de derivadas.
b) Regras de derivação
c) Regra de L´Hospital
d) Máximos e Mínimos.
e) Esboço de gráfico de funções com assíntotas.
XV- INTEGRAIS
a) Integrais imediatas
XVI- ANALISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
00000000000
a) Permutações simples, circulares e de elementos nem todos distintos.
b) Combinações simples e completas.
c) Binômio de Newton.
d) Probabilidade.
Nosso curso será dividido em 20 aulas escritas, além desta aula
demonstrativa, acompanhadas pelos vídeos sobre os mesmos assuntos.
Segue abaixo a relação de aulas e as datas limite de publicação. Vale
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
7
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
dizer que nós sempre procuramos publicar as aulas com o máximo de
antecedência possível.
AULA
CONTEÚDO
DATA
Aula 0
Demonstrativa
24/02
Aula 1
Conjuntos Numéricos
03/03
Aula 2
Divisibilidade e Fatoração
09/03
Aula 3
Proporcionalidade
16/03
Aula 4
Resolução de equações
23/03
Aula 5
Funções: Linear, Afim e Quadrática
29/03
Aula 6
Polinômios
05/04
Aula 7
Funções: Modular, Exponencial e
Logarítmica
Aula 8
Aula 9
Inequações
Sequências Numéricas e
Progressões
11/04
18/04
24/04
Aula 10
Geometria Plana
30/04
Aula 11
Geometria plana (continuação)
06/05
Aula 12
Geometria Espacial
13/05
Aula 13
Trigonometria
20/05
Aula 14
Geometria Analítica
27/05
Aula 15
Contagem e Análise Combinatória
05/06
Aula 16
Probabilidade
15/06
Aula 17
Limite, Derivadas e Integrais
25/06
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
00000000000
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
8
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Aula 18
Matrizes, Determinantes e Sistemas
Lineares
05/07
Aula 19
Números complexos
15/07
Aula 20
Resumo
25/07
Sem mais, vamos a uma demonstração do curso.
00000000000
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
9
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
3. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES
Nesta aula demonstrativa vamos resolver juntos algumas questões
das provas anteriores da EFOMM e de provas de outras carreiras. O
objetivo é que você tenha uma ideia do estilo de cobrança da banca. É
natural que você sinta alguma dificuldade em resolver as questões
neste momento, afinal ainda não passamos pelos tópicos teóricos
correspondentes. Ao longo das aulas voltaremos a essas questões nos
momentos oportunos, isto é, após estudar a respectiva teoria. Aproveite
esta aula para avaliar o nível de cobrança esperado para a sua prova e,
claro, a minha forma de lecionar. Vamos começar?
1. EFOMM – 2016) Quantos anagramas é possível formar com a palavra
CARAVELAS, não
havendo duas vogais consecutivas e nem duas
consoantes consecutivas?
a) 24
b) 120
c) 480
00000000000
d) 1920
e) 3840
RESOLUÇÃO:
ANAGRAMA nos remete automaticamente para permutação. Isso
porque nesse caso a ordem interfere.
Temos 9 letras disponíveis, entre consoantes e vogais. Para não
haver duas consoantes consecutivas, é necessário haver uma vogal entre
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
10
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
cada duas consoantes. A única forma de fazer isso, com 5 consoantes (C)
e 4 vogais (V) é com a seguinte distribuição:
C-V-C-V-C-V-C-V-C
Veja que dessa forma já satisfazemos também a condição de não
ter duas vogais consecutivas.
Assim, temos 5 vogais diferentes e 5 possíveis posições que elas
podem ocupar. Logo, temos 5 opções de consoantes para a primeira
posição C, 4 opções para a segunda, e assim por diante, de forma que
temos 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas de distribuir as 5 consoantes nas 5
posições C.
Para as vogais temos a mesma coisa, com a diferença que temos
repetição de 4 letras A. Assim, temos uma permutação de 4 vogais, com
repetição de 3:
PR(4;3) 
4! 4  3!

4
3!
3!
No total, temos 120 x 4 = 480 anagramas que seguem as condições
do enunciado.
RESPOSTA: C
2. EFOMM – 2016) Seja g(x) = 4 − cos x e f'(x) = 4x − e2x. Sabendose que f(0) = g(0), determine f(x).
a) f(x) = 3 − 2x
00000000000
b) f(x) = 2x2 - 1/2 e2x + 7/2
c) f(x) = e-2x - 6x - 2/3
d) f(x) = e2x - x2 + 2
e) f(x) = e2x + senx - 3
RESOLUÇÃO:
Vamos obter a função f(x):
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
11
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
f ( x)   f `( x)dx
f ( x)   (4 x  e 2 x )dx
f ( x)   4 xdx   e 2 xdx
1
f ( x)  2 x2  e 2 x  c
2
O enunciado disse que g(0) = f(0). Temos:
4(0) 2 1 2(0)
1
f (0) 
 e 
2
2
2
g (0)  4  cos(0)  4  1  3
c  3
1 7

2 2
Portanto, temos que:
1
7
f ( x)  2 x2  e 2 x 
2
2
RESPOSTA: B
3. EFOMM – 2016) Na Escola de Marinha Mercante, há alunos de ambos
os sexos (130 mulheres e 370 homens), divididos entre os Cursos Básico,
de Máquinas e de Náutica. Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso
00000000000
de Máquinas, 20 são mulheres. O Curso de Náutica tem 270 alunos no
total e o Curso Básico tem o mesmo número de homens e mulheres.
Quantas mulheres há no Curso de Náutica?
a) 50
b) 55
c) 60
d) 65
e) 70
RESOLUÇÃO:
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
12
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso de Máquinas, 20 são
mulheres. Portanto, 110 são homens.
Seja MN o número de mulheres no curso de Náutica. Como este
curso tem 270 alunos no total, o número de homens no mesmo é de 270
– MN.
O Curso Básico tem o mesmo número de homens e mulheres, que
vamos chamar de X.
Portanto, na Escola inteira, o número de mulheres e de homens é
dado respectivamente por:
130 = 20 + MN + X
370 = 110 + 270 – MN + X
Reescrevendo as igualdades acima, temos:
MN + X = 110
-MN + X = -10
O que nos leva a X = 50 e MN = 60.
RESPOSTA: C
4. EFOMM – 2016) Um cubo de lado 2a possui uma esfera circunscrita
nele. Qual é a probabilidade de, ao ser sorteado um ponto interno da
esfera, esse ponto ser interno ao cubo?
a) /6
00000000000
b) 2√3/3
c) √3/6
d) 2 /6√3
e) 1/2
RESOLUÇÃO:
Temos uma esfera circunscrevendo um cubo. O volume do cubo é
(2a)3 = 8a3.
A diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera. Logo, o diâmetro
é de 2a√3. Assim, o volume da esfera cujo raio é a√3 é dado por:
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
13
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00

4
4
V  r3   a 3
3
3
4
V   a33 3
3


3

V  4 a 3 3
Portanto, a probabilidade de, ao ser sorteado um ponto interno da
esfera, esse ponto ser interno ao cubo é de:
8a 3
probabilidade 
4 a 3 3
2
probabilidade 
 3
probabilidade 
2 3
3
RESPOSTA: B
5. EFOMM – 2016) Sobre a função f ( x) 
I - f(x) é contínua em todo x
1 x
, analise as afirmativas:
x2
R
II - lim f ( x)  lim f ( x)
x
x
III - lim f ( x)  
x0
00000000000
Então, pode-se dizer que
a) todas as afirmativas são verdadeiras.
b) todas as afirmativas são falsas.
c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
Vamos analisar cada alternativa:
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
14
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
I - f(x) é contínua em todo x
R  FALSO. Veja que x não pode ser zero,
visto que isso levaria a uma divisão por zero. Portanto, f(x) não está
definida para x = 0 e, portanto, não teria como ser contínua nesse ponto.
II -
lim f ( x)  lim f ( x)  VERDADEIRO. Quando x tende a menos
x
x
infinito, ou mais infinito, o denominador x2 tende a infinito mais
rapidamente que o numerador! Logo, a fração como um todo tende a
zero. Matematicamente, temos:
 1 x 
 1 1
lim f ( x)  lim  2   lim  2  
x
x
 x  x  x x 
 1 
1
lim f ( x)  lim  2   lim    0
x
x x
  x  x 
Para lim f ( x) a solução é análoga.
x
III - lim f ( x)    VERDADEIRO. Quando x tende a zero, o denominador
x0
da fração diminui muito, fazendo com que o resultado da fração em si se
eleve muito. Matematicamente, temos:
 1 x 
 1 1
lim f ( x)  lim  2   lim  2  
x0
x0
 x  x0  x x 
 1 
1
lim f ( x)  lim  2   lim    
x0
x0 x
  x0  x 
00000000000
RESPOSTA: E
6. EspCEx – 2014) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça
ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este
fabricante venderá por mês (600 – x) unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600.
Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas
mensalmente que corresponde ao lucro máximo.
[A] 150
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
15
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
[B] 250
[C] 350
[D] 450
[E] 550
RESOLUÇÃO:
O valor V(x) resultante da venda de (600 – x) poltronas ao preço de
x reais é igual a V(x) = x(600 – x) = 600x – x2.
O custo C(x) de (600 – x) poltronas é dado por C(x) = (600 –
x).300 = 180.000 – 300x
O lucro L(x) é dado pela diferença entre o valor resultante da venda
e o custo. Logo:
L(x) = V(x) – C(x)
L(x) = 600x – x2 – 180.000 + 300x
L(x) = – x2 + 900x – 180.000
Veja que temos uma parábola cuja concavidade é voltada para
baixo. Logo, ela possui um ponto de máximo, dado por:
xvértice 
b 900

 450
2a 2( 1)
O número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao
lucro máximo é de 450 poltronas.
Resposta: D
00000000000
7. EspCEx – 2014) Assinale a alternativa que representa o conjunto de
todos
f  x 
os
números
reais
para
os
quais
está
definida
a
função
x²  6 x  5
3
x²  4
a) R-{-2,2}
b) (-,-2)
(5,+)
c) (-,-2)
(-2,1]
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
[5,+)
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
16
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
d) (-,1)
(5,+)
e) (-,-2]
(2,+)
RESOLUÇÃO:
f  x 
x²  6 x  5
3
x²  4
As funções que estão dentro das raízes não devem ter valor inferior
a zero. Já o denominador deve ser diferente de zero. Vamos aplicar as
duas condições.
Primeiramente, vamos encontrar os valores de x que fazem a
função de segundo grau ser igual à zero:
0 = x²  6 x  5
  b 2  4ac
  (6) 2  4(1)(5)
  36  20
  16
b  
2a
x
x
(6)  16 6  4

2
2
x1 
64
5
2
x2 
64
1
2
00000000000
Veja que essa função de segundo grau tem concavidade voltada
para cima. Devemos ter apenas valores positivos para a função. Logo, os
valores de x menores que 1 e maiores que 5 são os que nos interessam.
O gráfico abaixo ajuda a visualizar a situação:
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
17
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Para o denominador, que é uma função de primeiro grau dentro de
uma raiz cúbica, temos:
x2  4  0
x2  4
x  2 ou x  2
Repare que o numerador traz uma raiz cúbica. Raiz cúbica de
número negativo existe e está definida nos reais. Por exemplo:
3
8  3 (2)3  2 . Raiz cúbica de número positivo também existe e está
definida nos reais. Se no denominador tivéssemos uma raiz quadrada, aí
sim teríamos que fazer x2  4  0 .
00000000000
Nosso conjunto resposta consta no gráfico abaixo:
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
18
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Em vermelho marcamos os valores que x pode assumir, levando em
consideração o numerador. X pode ser qualquer valor menor ou igual a 1
ou qualquer valor maior ou igual a 5. Em azul marcamos os dois valores
que o x não pode assumir, levando em consideração o denominador, que
são -2 e 2.
Assim, x pode ser qualquer número menor que -2, mais qualquer
número acima de -2 e menor ou igual a um, mais qualquer número maior
ou igual a 5, cuja representação matemática é (-,-2)
(-2,1]
[5,+) .
Resposta: C
8. EspCEx – 2014) Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior
valor
de
“d”
tal
que
a
função
00000000000
f
:
R

R
definida
  x  c, para x  d
f ( x)   2
seja injetora é
 x  4 x  3, para x  d
[A] 0.
[B] 1.
[C] 2.
[D] 3.
[E] 4.
RESOLUÇÃO:
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
19
por
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Se cada elemento do conjunto Imagem estiver ligado a um único
elemento do Domínio, a função é chamada injetora.
Veja que uma das partes da função f(x) é uma função de segundo
grau. Essa parábola tem concavidade voltada para cima. Logo, ela tem
um ponto de mínimo.
Vamos calcular o valor de mínimo da parábola:
xvértice 
b ( 4)

2
2a
2(1)
Veja agora um esboço do gráfico dessa parábola:
00000000000
A partir do momento em que a parábola atinge o mínimo, ela
começa a associar novos elementos de domínio aos mesmos elementos
da
imagem
que
já
tinham
elementos
de
domínio
associados
anteriormente. A partir de x>2, cada elemento da imagem passa a estar
associado a dois elementos do domínio. Veja por exemplo que para y = 6
(imagem) temos dois valores de x (domínio). Portanto, x não pode ser
maior que 2 para que a função seja injetora. Logo, x < 2, o que nos leva
a d = 2.
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
20
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Resposta: C
9. EspCEx – 2015) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = √x
+ 4 e f(g(x))=x2 - 5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a
alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que
satisfazem os dados do enunciado.
[A]
 3,3
[B]
   5, 5 
[C]
  5, 5 


[D]
3,3
[E]
 ,3
RESOLUÇÃO:
Conhecemos a função f(x). Logo, f(g(x)) é:
f(g(x)) = √g(x) + 4
No entanto, f(g(x)) = x2 - 5. Logo:
√g(x) + 4 = x2 - 5
√g(x) = x2 - 9
g(x) é não negativa para todo x real, logo:
√g(x) = x2 - 9 ≥ 0
x ≥ 3 e x ≤-3
00000000000
Voltando a f(x), temos que f(x) = √x + 4. Para que f(x) seja uma
função real, devemos ter x ≥ 0. Portanto, x pode ser qualquer valor maior
ou igual a 3. Outra forma seria dizer que x pode ser qualquer real exceto
aqueles números menores que 3. Foi o que a letra E fez.
 ,3
Resposta: E
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
21
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
10. EspCEx – 2011 - adaptada) Determine o valor numérico da
expressão
sec1320º
 23
 2.cos 
2
 3
[A]
-1
[B]
0
[C]
1
2
[D]
1
[E]


  (tg 2220º )²

3
2
RESOLUÇÃO:
Veja que 1320º equivale a 3 x 360º + 240º. Já 23 /3 equivale a
18 /3 + 5 /3 = 6 + 5 /3.
2220º pode ser reescrito como 6 x 360º + 60º. Assim, temos:
00000000000
Resposta: D
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
22
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
11. EspCEx – 2011) A função real f(x) está representada no gráfico
abaixo.
RESOLUÇÃO:
00000000000
Para valores positivos de x, temos que em x = 0, y = 1. Portanto,
estamos diante de uma função cosseno, visto que o cosseno de zero é 1.
No entanto, temos o módulo da função cosx, visto que y não assume
valores negativos.
Para valores negativos de x, temos que em x = 0, y = 0. Portanto,
estamos diante de uma função seno, visto que o seno de zero é zero. No
entanto, temos o módulo da função senx sendo multiplicado por -1, visto
que y não assume valores positivos.
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
23
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Assim, a função representada é:
Resposta: A
12. EspCEx – 2014) A população de peixes em uma lagoa varia
conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e
decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela

 t  2   
expressão P (t )  10³  cos  
    5  em que o tempo t é medido em
6

  


meses. É correto afirmar que:
[A]
o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano.
[B]
a população atinge seu máximo em t=6.
[C]
o período de seca corresponde a 4 meses do ano.
[D]
população média anual é de 6.000 animais.
[E]
a população atinge seu mínimo em t=4 com 6.000 animais.
RESOLUÇÃO:
O tempo é medido em meses. Precisamos determinar em quais
meses do ano a função P(t) é crescente, quando teremos o período
chuvoso, e em quais ela é decrescente, quando teremos o período de
seca. A função cosx é crescente quando x vai de
Quando x =
a2 .
na função, temos:
t2

  
 6 
00000000000
t2
1
6
t  62 8
Quando x = 2 na função, temos:
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
24
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
t 2

   2
 6 
t2
2
6
t  12  2  14
Portanto, num intervalo de seis meses, de agosto (t = 8) a fevereiro
(t = 14) a função P(t) é crescente. Assim, o período chuvoso corresponde
a dois trimestres do ano.
Resposta: A
log10 3
1
13. EspCEx – 2014) Seja   .
. O conjunto solução da
2 log10 3  log10 7

cos( x)
desigualdade 3
3
   no intervalo [0, 2 ), é igual a
7


3
[A]
0,
[B]
  5 
 3 , 3 
[C]

 3 , 2 
[D]

 3 , 2 
[E]
 3
 2 , 2 
00000000000
RESOLUÇÃO:
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
25
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
b
Usando a propriedade
a loga  b , temos:
Logo, temos:
  5 
Ou seja, x deve estar no intervalo  , 
3 3 
Resposta: B
14. EspCEx – 2011) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4%
dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo
formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao
acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja
diabética é
00000000000
[A] 4%
[B] 5%
[C] 5,4%
[D] 7,2%
[E] 8,2%
RESOLUÇÃO:
Pelas porcentagens, temos, entre os homens, 300 x 4% = 12
diabéticos e, entre as mulheres, 700 x 10% = 70 diabéticas. Ao todo são
82 diabéticos num grupo de 1000 pessoas. Logo, tomando-se ao acaso
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
26
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja
diabética é de 82/1000 = 8,2/100 = 8,2%.
Resposta: E
15. EspCEx – 2012) A probabilidade de se obter um número divisível
por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2,
3, 4, 5 é
[A]
1
5
[B]
2
5
[C]
3
4
[D]
1
4
[E]
1
2
RESOLUÇÃO:
O total de permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 totalizam 5 x 4
x 3 x 2 x 1 = 120 números diferentes. Para ser divisível por 2, basta que
o número termine em 2 ou 4. Temos 5 terminações possíveis (1, 2, 3, 4
ou 5). Teremos 120 / 5 = 24 números com cada terminação. Logo,
terminando em 2 ou 4 teremos 48 números. A probabilidade de se obter
um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações
é de 48/120 = 2/5.
00000000000
Resposta: B
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
27
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
Fim de aula!!! Nos vemos na Aula 01.
Abraço,
Prof. Arthur Lima
Youtube: Professor Arthur Lima
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima
00000000000
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
28
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
1. EFOMM – 2016) Quantos anagramas é possível formar com a palavra
CARAVELAS, não
havendo duas vogais consecutivas e nem duas
consoantes consecutivas?
a) 24
b) 120
c) 480
d) 1920
e) 3840
2. EFOMM – 2016) Seja g(x) = 4 − cos x e f'(x) = 4x − e2x. Sabendose que f(0) = g(0), determine f(x).
a) f(x) = 3 − 2x
b) f(x) = 2x2 - 1/2 e2x + 7/2
c) f(x) = e-2x - 6x - 2/3
d) f(x) = e2x - x2 + 2
e) f(x) = e2x + senx - 3
3. EFOMM – 2016) Na Escola de Marinha Mercante, há alunos de ambos
00000000000
os sexos (130 mulheres e 370 homens), divididos entre os Cursos Básico,
de Máquinas e de Náutica. Sabe-se que do total de 130 alunos do Curso
de Máquinas, 20 são mulheres. O Curso de Náutica tem 270 alunos no
total e o Curso Básico tem o mesmo número de homens e mulheres.
Quantas mulheres há no Curso de Náutica?
a) 50
b) 55
c) 60
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
29
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
d) 65
e) 70
4. EFOMM – 2016) Um cubo de lado 2a possui uma esfera circunscrita
nele. Qual é a probabilidade de, ao ser sorteado um ponto interno da
esfera, esse ponto ser interno ao cubo?
a) /6
b) 2√3/3
c) √3/6
d) 2 /6√3
e) 1/2
5. EFOMM – 2016) Sobre a função f ( x) 
I - f(x) é contínua em todo x
1 x
, analise as afirmativas:
x2
R
II - lim f ( x)  lim f ( x)
x
x
III - lim f ( x)  
x0
Então, pode-se dizer que
a) todas as afirmativas são verdadeiras.
b) todas as afirmativas são falsas.
c) somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
00000000000
e) somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
6. EspCEx – 2014) Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça
ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este
fabricante venderá por mês (600 – x) unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600.
Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas
mensalmente que corresponde ao lucro máximo.
[A] 150
[B] 250
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
30
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
[C] 350
[D] 450
[E] 550
7. EspCEx – 2014) Assinale a alternativa que representa o conjunto de
todos
os
números
reais
para
os
quais
está
definida
a
função
x²  6 x  5
3
x²  4
f  x 
a) R-{-2,2}
b) (-,-2)
(5,+)
c) (-,-2)
(-2,1]
d) (-,1)
(5,+)
e) (-,-2]
(2,+)
[5,+)
8. EspCEx – 2014) Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior
valor
de
“d”
tal
que
a
função
f
:
R

R
definida
por
  x  c, para x  d
f ( x)   2
seja injetora é
 x  4 x  3, para x  d
[A] 0.
[B] 1.
[C] 2.
[D] 3.
[E] 4.
00000000000
9. EspCEx – 2015) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = √x
+ 4 e f(g(x))=x2 - 5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a
alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que
satisfazem os dados do enunciado.
[A]
 3,3
[B]
   5, 5 
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
31
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
[C]
  5, 5 


[D]
3,3
 ,3
[E]
10. EspCEx – 2011 - adaptada) Determine o valor numérico da
expressão
sec1320º
 23
 2.cos 
2
 3
[A]
-1
[B]
0
[C]
1
2
[D]
1
[E]


  (tg 2220º )²

3
2
11. EspCEx – 2011) A função real f(x) está representada no gráfico
abaixo.
00000000000
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
32
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
12. EspCEx – 2014) A população de peixes em uma lagoa varia
conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e
decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela

 t  2   
expressão P (t )  10³  cos  
    5  em que o tempo t é medido em
 6   

meses. É correto afirmar que:
[A]
o período chuvoso corresponde a dois trimestres do ano.
[B]
a população atinge seu máximo em t=6.
[C]
o período de seca corresponde a 4 meses do ano.
[D]
população média anual é de 6.000 animais.
[E]
a população atinge seu mínimo em t=4 com 6.000 animais.
00000000000
log10 3
1
13. EspCEx – 2014) Seja   .
. O conjunto solução da
2 log10 3  log10 7

3
desigualdade 3cos( x)    no intervalo [0, 2 ), é igual a
7
[A]
0,


3
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
33
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
[B]
  5 
 3 , 3 
[C]

 3 , 2 
[D]

 3 , 2 
[E]
 3
 2 , 2 
14. EspCEx – 2011) Pesquisas revelaram que, numa certa região, 4%
dos homens e 10% das mulheres são diabéticos. Considere um grupo
formado por 300 homens e 700 mulheres dessa região. Tomando-se ao
acaso uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que essa pessoa seja
diabética é
[A] 4%
[B] 5%
[C] 5,4%
[D] 7,2%
[E] 8,2%
15. EspCEx – 2012) A probabilidade de se obter um número divisível
por 2 na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1, 2,
3, 4, 5 é
[A]
1
5
[B]
2
5
[C]
3
4
[D]
1
4
[E]
00000000000
1
2
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
34
MATEMÁTICA P/
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE OFICIAIS DA MARINHA MERCANTE
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS
Prof. Arthur Lima, Prof. Hugo Lima Aula 00
01 C
02 B
03 C
04 B
05 E
06 D
07 C
08 C
09 E
10 D
11 A
12 A
13 B
14 E
15 B
00000000000
Prof. Arthur Lima
Prof. Hugo Lima
www.estrategiaconcursos.com.br
00000000000 - DEMO
35