Lista de Exerc´ıcios 7 - ´Algebra Linear

Lista de Exercı́cios 7 - Álgebra Linear - Verão/2017
Exercı́cio 1. Ache os autovalores e os autovetores do operador linear T : R2 → R2 dado por:
(a) T (x, y) = (x + y, x − y).
(b) T (x, y) = (−x, −y).
(c) T (1, 0) = (0, −1) e T (0, 1) = (1, 0).
Exercı́cio 2. Ache os autovalores e os autovetores do operador linear T : R3 → R3 dado por:
(a) T (1, 0, 0) = (2, 0, 0) , T (0, 1, 0) = (2, 1, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 2, 1).
(b) T (1, 0, 0) = (0, 0, 0) , T (0, 1, 0) = (0, 0, 0) e T (0, 0, 1) = (5, −1, 2).
Exercı́cio 3. Determine os autovalores e os autovetores do operador T : R4 → R4 cuja matriz em
relação à base canônica é


3 1 0 0
 0 3 0 0 


 0 0 4 0 .
0 0 0 3
Exercı́cio 4. Determine o polinômio caracterı́stico e os autovalores das seguintes matrizes:
−1 −1
2 1
(a)
.
(b)
.
−3
1
0 1
Exercı́cio 5. Determine o polinômio caracterı́stico e

2 1
0
 0 2
0

 0 0
1
0 0 −2
os autovalores da matriz:

0
0 
.
1 
4
Exercı́cio 6. Considere o operador T : R3 → R3 dado por
T (x, y, z) = (−2x + y − z, x − 2y − z, −x − y − 2z).
Encontre os autovalores de T e verifique se T é diagonalizável.
Exercı́cio 7. Diga se é diagonalizável a matriz:


6 4
1 1 0
(a)
.
−9 18
(c)  0 2 0 .
0 0 3


1 −1
0
14 4
1 −1 .
(d)  0
.
(b)
3 18
0
0
1


1 0 0
(e)  2 4 0 .
0 0 3


3 1 0
(f)  0 3 0 .
0 0 5
Exercı́cio 8. Determine, se possı́vel, uma matriz M ∈ M2 (R) de maneira que M −1 AM seja diagonal,
nos seguintes casos:
1
(a)
2 4
.
3 13
(b)
3 −2
.
2
1
Exercı́cio 9. Sejam V um espaço vetorial e T : V → V um operador linear. Mostre que:
(a) se k ∈ R, k 6= 0, então λ é autovalor de T se e só se kλ é autovalor de kT ;
(b) λ é autovalor de T se e só se λ2 é autovalor de T 2 ;
(c) se T é inversı́vel, então λ é autovalor de T se e só se λ−1 é autovalor de T −1 ;
(d) se λ é autovalor de T e v ∈ AutT (λ) então T (v) ∈ AutT (λ);
(e) se a dimensão de V é ı́mpar, então T possui pelo menos um autovalor;
(f) se todas as raı́zes de pT (x) são reais e simples então T é diagonalizável.
2
Algumas respostas:
Exercı́cio 1:
(a) autovalores:
√
√
√
√
√
√
2 e − 2; AutT ( 2) = (1, 2 − 1) e AutT (− 2) = (−1, 2 + 1)
(b) autovalor: −1; AutT (−1) = R
(c) não possui autovalores
Exercı́cio 2:
(a) autovalores: 2, 3 e −1; AutT (2) = [(1, 0, 0)], AutT (3) = [(5, 1, 1)] e AutT (−1) = [(1, 3, −3)]
(b) autovalores: 0 e 2; AutT (0) = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e AutT (2) = [(5, −1, 1)]
Exercı́cio 3: autovalores: 3 e 4; AutT (3) = [(1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1)] e AutT (4) = [(0, 0, 1, 0)]
Exercı́cio 4:
(a) pT (x) = x2 − 4, autovalores: 2 e −2
(b) pT (x) = x2 − 3x + 2, autovalores: 1 e 2
Exercı́cio 5: p(x) = (x − 2)3 (x − 3), autovalores: 2 e 3
Exercı́cio 6: autovalores: 0 e −3; é diagonalizável
Exercı́cio 7:
(a) Não é diagonalizável.
(d) Não é diagonalizável.
(b) É diagonalizável.
(e) É diagonalizável.
(c) É diagonalizável.
(f) Não é diagonalizável.
Exercı́cio 8:
1 −4
(a)
3
1
(b) não existe
3