www.chiquinho.org GABARITO 01)(UERJ – Exame de Qualificação

GABARITO
01)(UERJ – Exame de Qualificação – 2009) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos em um
suporte, serão usados em uma festa.
Considere, agora, as seguintes informações:
– sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse suporte;
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem juntos, 1 deles é
desperdiçado;
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem juntos, 2 deles são
desperdiçados;
– quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 4 juntos;
– foram retirados todos os copos desse suporte, havendo desperdício de 35%
deles.
– a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos
juntos e o número de vezes em que foram retirados exatamente 3 juntos foi de
3
.
2
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual a:
(A) 30
(B) 35
(C) 40 (X)
(D) 45
(E) 50
Resolução:
Considere x o número de vezes que se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem juntos, 1 deles é
desperdiçado, e considere também y como sendo o número de vezes que se tenta retirar 1 copo, e exatamente
3 saem juntos, 2 deles são desperdiçados. Segundo a informação do texto acima , 35% de 100 = 35 é o
número de copos desperdiçados , então x é o número de copos desperdiçados quando se tenta tirar 1 e saem 2
copos (x vezes 1 copo) , e 2y é o número de copos desperdiçados quando se tenta tirar 1 e saem 3 copos (y
vezes 2 copos), portanto para determinarmos x e y , basta resolvermos o sistema:
⎧ x + 2y = 35
⎧ x + 2y = 35
⎪
⎪
⇒⎨
⎨ x 3
3y
=
⎪ y 2
⎪⎩ x = 2
⎩
x + 2y = 35 ; x =
3y
2
3y
+ 2y = 35 ⇒ 3y + 4y = 70
2
y = 10
e x=
3y 3 ⋅10
=
= 15
2
2
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GABARITO
Sendo 100 – 35 = 65 o número total de vezes que se tenta retirar 1 copo e x + y = 15 + 10 = 25 o total de
vezes que saem mais de 1 copo, então podemos concluir que 65 – 25 = 40 corresponde ao total de vezes em
que apenas 1 copo foi retirado.
02)(UFF–2009) A Terra demora aproximadamente 365,2422 dias para dar uma
volta completa ao redor do Sol, enquanto o ano-calendário comum (por convenção)
tem 365 dias solares. As horas excedentes são somadas e adicionadas ao calendário
na forma inteira de um dia (4 × 6h = 1 dia). Assim, surge a idéia de se criar, para
efeito de correção, o ano bissexto. No calendário Juliano, o ano bissexto ocorria de
três em três anos, tendo passado a ocorrer de quatro em quatro anos no calendário
Augustiano. Já a regra atual (no calendário Gregoriano) é dada da seguinte forma:
• São bissextos todos os anos múltiplos de 4 e não múltiplos de 100;
• Também são bissextos todos os anos múltiplos de 400;
• Não são bissextos todos os demais anos.
Sabendo que o ano de 1600 é bissexto, pode-se afirmar que entre 1601 e 2007 ocorreram:
(A) 97 anos bissextos
(B) 98 anos bissextos (X)
(C) 99 anos bissextos
(D) 100 anos bissextos
(E) 101 anos bissextos
Resolução:
Trata-se de uma PA de razão 4 onde os números não podem ser múltiplos de 100, exceto no caso em que for
múltiplo de 400. Tomemos a1 = 1604 (10 ano bissexto após 1600) e vamos descobrir o último número ,
anterior a 2007, que é múltiplo de 4:
2007 ÷ 4 = 501 com resto da divisão 3, portanto o maior múltiplo de 4 antes do 2007 é 2007 – 3
= 2004. Com esses dados vamos determinar a quantidade de termos da PA (1604, 1608, ... , 2004):
a n = a1 + ( n − 1) ⋅ r
2004 = 1604 + ( n − 1) ⋅ 4
400 = 4n − 4
404 = 4n
n = 101
Dos quais iremos retirar 1700, 1800 e 1900 , múltiplos de 100 e não múltiplos de 400. Portanto o total de anos
bissextos entre 1601 e 2007 é dado por 101 – 3 = 98.
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GABARITO
07) (UFF-2009) The Internet Archive (http://www.archive.org/) é uma organização sem
fins lucrativos com o objetivo de catalogar e armazenar todas as páginas WEB da
Internet, desde 1996. Atualmente, o sistema é gerenciado por cerca de 800
computadores pessoais e ele dispõe de aproximadamente 3 petabytes de memória para
armazenamento. Cada petabyte equivale a 220 gigabytes.
Admitindo-se que um DVD comum é capaz de armazenar 4 gigabytes (na verdade, ele
armazena um pouco mais), então o número de DVDs necessários para se armazenar 3
petabytes é:
(A) menor que 217 e maior que 216
(B) maior que 220
(C) menor que 219 e maior que 218
(D) menor que 218 e maior que 217
(E) menor que 220 e maior que 219 (X)
Resolução:
Como cada petabyte equivale a 220 gigabytes, então 3 petabytes
equivalem a 3 ⋅ 220 . Para determinarmos o número (n) de DVDs devemos efetuar
3 ⋅ 220
a divisão
, veja
4
n=
3 ⋅ 220 3 ⋅ 220
= 2 = 3 ⋅ 218 .
4
2
Como 219 = 2 ⋅ 218 e 220 = 4 ⋅ 218 , então
219 = 2 ⋅ 218 < 3 ⋅ 218 < 4 ⋅ 218 = 220
⇒ 219 < n < 220 .
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