Potencial Elétrico II

Aula 3_2
Potencial Elétrico II
Física Geral e Experimental III
Prof. Cláudio Graça
Capítulo 3
Resumo da Aula
• E(r) a partir de V(r)
– Exemplo: dipolo
•
•
•
•
Equipotenciais e Condutores
Forma diferencial da Lei de Gauss
Distribuição de carga em condutores
Aplicações
CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO
B
r r
ΔV = − ∫ E ⋅ ds ⇒ ΔV = ∫ dV
B
A
A
Portanto podemos escrever que a diferença de potencial dV entre dois pontos que distam ds um
do outro como sendo
Para
r r
E = Ex
Forma diferencial
r da Lei de Gauss
temos que
r r
E ⋅ ds = E x dx
ou
r
dV = − E ⋅ ds
⇒
dV = − E x dx
dV
Ex = −
dx
→ o campo elétrico é igual a menos derivada do potencial elétrico com respeito a alguma
coordenada
CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO
A variação no potencial é nula para qualquer deslocamento perpendicular ao campo elétrico
Isso é consistente com a noção de que as superfícies equipotenciais são perpendiculares ao campo:
Campo elétrico uniforme
Carga pontual
Distribuição de carga tem simetria esférica
→
Dipolo elétrico
r r
dV = − E ⋅ ds = − Er dr ⇒
dV
Er = −
dr
Em geral, o potencial elétrico é uma função de todas as três coordenadas espaciais →
dV
Ex = −
dx
Ey = −
dV
dy
é uma equação diferencial, onde ∇ = (
dV
Ez = −
dz
∂ r
∂ r
∂ r
ex + e y + ez )
∂x
∂y
∂z
e
V ( x, y , z )
r
E = −∇V
→ o operador gradiente
Cálculo do Campo E a partir do potencial em um condutor
Para o caso unidimensional
dV
E=−
ds
Equação de Poisson
r r ρ
∇⋅E =
εo
ρ
−∇ V =
εo
2
Equacão de Laplace
∇ V =0
2
E espaço livre onde ρ=0
dV
=0
ds
Potencial de condutor isolado
Forma diferencial da Lei de Gauss
E a partir de V
−q0 dV = q0 E cos θ ds
E cos θ = −
dV
ds
∂V
Ex = −
∂x
r
E = −∇V
∂V
∂V
∂V
xˆ +
yˆ +
zˆ )
= −(
∂x
∂y
∂z
Equação de Poisson
r r ρ
∇⋅E =
εo
r
ρ
ρ
∇ ⋅ ( −∇V ) =
− ∇ 2V =
εo
εo
e equacão de Laplace
∇ 2V = 0
E a partir de V
r
E = −∇V
∂V
∂V
∂V
= −(
xˆ +
yˆ +
zˆ )
∂x
∂y
∂z
Equação de Poisson
r r ρ
∇⋅E =
εo
Para o caso unidimensional
r
ρ
∇ ⋅ ( −∇V ) =
− ∇ 2V =
εo
dV
E=−
ds
ρ
εo
e equacão de Laplace
E espaço livre onde ρ=0
dV
=0
ds
∇ V =0
2
Potencial constante, ou campo
elétrico nulo (interior do condutores)
E a partir de V?
• Pode-se obter o E a partir de V utilizando as relações:
∂V
Ex = −
∂x
∂V
Ez = −
∂z
∂V
Ey = −
∂y
Expressando na forma vetorial:
•
•
•
E é o valor negativo do gradiente de V
Coordenadas cartesianas:
Coordenadas esféricas:
r
r
E = −∇ V
r
∂V
∂V
∂V
∇V =
x̂ +
ŷ +
ẑ
∂x
∂y
∂z
r
∂V
1 ∂V ˆ
1 ∂V ˆ
∇V =
r̂ +
θ+
φ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
E a partir de V: exemplo
•
Considere o seguinte
potencial elétrico:
V(x, y, z) = 3x 2 + 2xy − z2
• Como se descreve este campo elétrico?
∂V
∂V
Ex = −
= −6x − 2y
Ey = −
= −2x
∂x
∂y
... Expressando
como vetor:
r
E = (−6 x − 2 y)î − 2 xĵ + 2zk̂
∂V
Ez = −
= 2z
∂z
Dipolo Elétrico
•
z
+q
O potencial para r >> a:
V(r) =
r1
r
aθ
a
1 2 aq cos θ
4 πε 0
r2
-q
• Calculando E em coordenadas esféricas:
∂V
Er = −
∂r
2 aq ⎛ −2 cos θ ⎞
=−
⎟
⎜
3
⎠
r
4 πε o ⎝
1 ∂V
Eθ = −
r ∂θ
2 aq ⎛ − sin θ ⎞
=−
⎜
⎟
4 πε o ⎝ r 3 ⎠
⇒
r
E=
2 aq
4 πε o r 3
Momento de dipolo
((2 cos θ )rˆ + (sin θ )θˆ )
r2
POTENCIAL ELÉTRICO EM UM CONDUTOR CARREGADO
Considere um condutor de formato arbitrário com um excesso de carga positiva
A densidade superficial de carga não é uniforme
O condutor está em equilíbrio eletrostático ⇒
• toda a carga permanece na superfície, e E = 0 dentro do
condutor
• o campo elétrico na face externa do condutor é perpendicular à
superfície
Todos os pontos na superfície de um condutor carregado em
equilíbrio eletrostático estão no mesmo potencial elétrico;
• E é sempre perpendicular ao deslocamento ds entre dois pontos
da superfície. Então
r r
E ⋅ ds = Eds cos 90o = 0
→
→ como o campo elétrico é zero dentro do condutor, concluímos
que o potencial é constante em todo lugar dentro do condutor e
igual a seu valor na superfície.
r r
ΔV = V B − V A = − ∫ E ⋅ ds = 0
B
A
Distribuição de carga nos condutores
Para determinar como a carga se distribui num condutor não esférico, vamos analisar
um sistema simples
O sistema consiste em duas esferas condutoras carregadas de raio r1 e r2, onde r1 > r2, ligadas por
um fino fio condutor
Supomos que as duas esferas são tão separadas que o campo
elétrico duma esfera não influencia o campo eléctrico da outra
esfera.
Como as duas esferas são ligadas por um fio condutor ⇒ supomos
que todo o sistema é um único condutor e que todos os pontos devem
estar no mesmo potencial
q2
q1
= ke
V = ke
r2
r1
⇒
q1 r1
=
q 2 r2
⇒ que esfera maior tem a maior quantidade de carga.
Campo elétrico em cada
condutor
q1
E1 = k e 2
r1
E2 = k e
q2
r22
Distribuição de carga nos condutores
q1
→ quer dizer que o campo elétrico próximo à
2
2
2
E1
r1
qr
rr
E1 r2
esfera menor é maior que o campo próximo à
⇒
=
=
= 1 22 = 1 22
q
E 2 r1
esfera maior.
E2
q 2 r1
r2 r1
k e 22
r2
→ Como o campo elétrico próximo à superfície de um condutor é proporcional à densidade
superficial de carga, a esfera menor tem a maior densidade superficial de carga.
ke
Esta é a quarta propriedade listada para os condutores em equilíbrio eletrostático:
• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS
LOCAIS ONDE É MÍNIMO O RAIO DE CURVATURA DA SUPERFÍCIE
Campo forte
Maior densidade superficial de carga
Campo fraco
Menor densidade superficial de carga
Distribuição de carga nos condutores
Exemplo: Duas esferas condutoras. A esfera menor tem raio a e carga Q positiva , e a
esfera maior de raio c não está carregada (neutra).
Ao aproximarmos as duas esferas:
- A esfera menor atrai as cargas negativas da
esfera maior e repele as cargas positivas.
As curvas pontilhadas azuis correspondem as
interseções das superfícies equipotenciais com
a página.
Como varia o potencial a partir o
centro da esfera 1 até para a
direita da esfera 2, considerando
que b é a distância entre a
superfície da esfera menor e o
centro da esfera maior ?
Distribuição de carga nos condutores
Uma cavidade dentro de um condutor em equilíbrio
Considere um condutor de formato arbitrário contendo uma cavidade.
Se não há cargas dentro da cavidade, o campo elétrico
dentro da cavidade tem de ser zero, independentemente
da carga na superfície externa do condutor.
Todo ponto no condutor está no mesmo potencial ⇒
quaisquer dois pontos A e B na superfície da cavidade têm
de estar no mesmo potencial
assim
r r
ΔV = V B − V A = − ∫ E ⋅ d s = 0
VB − V A = 0
B
Por isso E deve ser zero.
A
Esta propriedade pode ser utilizada para blindar um equipamento eletrónico ou
até mesmo todo um laboratório dos campos externos cercando-o com paredes
condutores.
Blindagem eletrostática
No século XIX, por Michael Faraday, através da seguinte experiência: Eletrizou uma grande
gaiola metálica, até que ela soltasse faíscas.
Utilizando um eletroscópio, verificou que:
1º O interior da gaiola não ficou eletrizado.
2º As cargas em excesso foram tão distanciadas umas das outras que se concentraram na
superfície da gaiola.
Blindagem eletrostática
A blindagem eletrostática mostra que uma pessoa dentro de um carro atingido
por um raio nada sofrerá, pois a estrutura metálica do carro isola o seu interior
das influencias elétricas externas.
18
Efeito Corona (Coroa)
• Nas linhas de alta tensão, é usual e aconselhável evitar
ângulos agudos na trajetória dos condutores, pois podem
haver nestas regiões de “pontas”, grandes densidades de
carga e de força elétrica, que provocam a dispersão
espontânea de cargas elétricas (efeito coroa), que se
manifesta sob a forma de eflúvios fluorescentes com certa
luminosidade. O fenômeno é facilitado pela presença de
umidade no ar.
Rigidez dielétrica e efeito das pontas
• O fenômeno do poder das pontas ocorre porque, em um condutor eletrizado a
carga tende a se acumular nas regiões pontiagudas, criando um campo elétrico
maior que nas regiões mais planas.
• Se aumentarmos continuadamente a carga elétrica no condutor, a intensidade do
campo elétrico em torno dele aumentará também, até que na região pontiaguda o
valor da rigidez dielétrica do ar será ultrapassado antes que isto ocorra nas
demais regiões. Portanto nas proximidades da região pontiaguda que o ar se
tornará condutor e será através da ponta que a carga se escoará.
r
E
Rigidez dielétrica e efeito das pontas
Microscópio Ionico de efeito de campo
Field Ionic
Microscopic
http://www.nims.go.jp/apfim/fim.html
Prof. Caio Castro Castilho
UFBa
Menor byte magnético já feito
Vinte átomos de ferro formam a
menor unidade de armazenamento
magnético já construída
Os átomos de ferro são colocados sobre uma superfície de nitreto de
cobre e ligados por dois átomos de nitrogênio (azul) em uma estrutura
regular separada por um átomo de cobre (amarelo). [Imagem: Sebastian
Loth/CFEL]
Transistor de efeito de campo