Sebenta teórica de física aplicada à engenharia civil

UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE
FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL
Rui Lança, Eq. Professor Adjunto
SETEMBRO DE 2008
Índice de matérias
1 Introdução........................................................................................................................................ 1
1.1 Sistema de unidades ................................................................................................................. 3
1.2 Semelhança............................................................................................................................... 4
1.3 Cálculo vectorial....................................................................................................................... 6
1.4 Cálculo de determinantes ....................................................................................................... 11
1.5 Questões teóricas .................................................................................................................... 12
2 Cinemática ..................................................................................................................................... 13
2.1 Introdução............................................................................................................................... 13
2.2 Movimento de uma partícula material.................................................................................... 13
2.3 Vector deslocamento .............................................................................................................. 14
2.4 Espaço Percorrido................................................................................................................... 14
2.5 Equação da trajectória ............................................................................................................ 14
2.6 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea ..................................................... 15
2.7 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea ...................................................... 16
2.8 Componente normal e tangencial do vector aceleração ......................................................... 16
2.9 Questões teóricas .................................................................................................................... 23
3 Cinemática – movimentos ............................................................................................................. 24
3.1 Movimento rectilíneo ............................................................................................................. 24
3.2 Movimento circular ................................................................................................................ 28
3.3 Projecteis ................................................................................................................................ 33
3.4 Questões teóricas .................................................................................................................... 33
4 Estática das partículas no plano..................................................................................................... 35
4.1 Forças actuantes numa partícula............................................................................................. 35
4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes ....................................................................... 35
4.3 Resultante de várias forças ..................................................................................................... 36
4.4 Decomposição de uma força em componentes ...................................................................... 37
4.5 Equilíbrio de uma partícula .................................................................................................... 38
4.6 Diagrama de corpo livre ......................................................................................................... 39
4.7 Questões teóricas .................................................................................................................... 42
5 Dinâmica de uma partícula ............................................................................................................ 44
5.1 As três leis do movimento de Newton.................................................................................... 44
r
r
5.2 Relação entre F e a e sua aplicação aos vários tipos de movimento ................................... 46
5.3 Forças de ligação .................................................................................................................... 47
5.4 Movimento harmónico simples .............................................................................................. 53
i
6 Quantidade de movimento de um sistema de partículas................................................................ 55
6.1 Impulso de uma força ............................................................................................................. 55
6.2 Momento linear de uma partícula e de um sistema discreto de partículas ............................. 56
6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partículas ........................................................... 56
6.4 Momento linear do centro de massa ....................................................................................... 57
6.5 Lei do movimento do centro de massa ................................................................................... 58
6.6 Conservação do momento linear ............................................................................................ 59
6.7 Colisões perfeitamente elásticas ............................................................................................. 59
6.8 Colisões perfeitamente inelásticas.......................................................................................... 60
7 Trabalho e energia ......................................................................................................................... 61
7.1 Noção de trabalho................................................................................................................... 61
7.2 Trabalho de uma força constante............................................................................................ 61
7.3 Trabalho realizado por uma força variável ............................................................................. 61
7.4 Forças que não realizam trabalho ........................................................................................... 64
7.5 Trabalho de um sistema de forças .......................................................................................... 64
7.6 Energia cinética ...................................................................................................................... 64
7.7 Energia potencial .................................................................................................................... 65
7.8 Conservação da energia mecânica .......................................................................................... 66
7.9 Lei da conservação da energia................................................................................................ 67
8 Mecânica dos fluidos ..................................................................................................................... 68
8.1 Propriedades dos fluidos ........................................................................................................ 68
8.2 Pressão.................................................................................................................................... 68
8.3 Distribuição hidrostática de pressões ..................................................................................... 69
8.4 Vasos comunicantes ............................................................................................................... 71
8.5 Prensa hidráulica .................................................................................................................... 72
8.6 Pressão atmosférica ................................................................................................................ 72
8.7 Lei de Arquimedes ................................................................................................................. 74
9 Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de forças distribuídas .................................. 75
9.1 Momento de uma força em relação a um ponto ..................................................................... 75
9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional ................................................................... 76
9.3 Centro de massa de uma placa homogénea ............................................................................ 77
9.4 Momentos de primeira ordem ou momento estático .............................................................. 77
9.5 Baricentro de uma placa composta ......................................................................................... 79
9.6 Teorema de Pappus-Guldin .................................................................................................... 81
9.7 Cargas distribuídas sobre vigas .............................................................................................. 81
10 Eixos principais de inércia, inércias máximas e mínimas ........................................................... 84
10.1 Exemplos de aplicação ......................................................................................................... 84
ii
10.2 Momentos de inércia ............................................................................................................ 86
10.3 Momento polar de inércia..................................................................................................... 88
10.4 Raio de giração de uma superfície........................................................................................ 89
10.5 Teorema dos eixos paralelos ................................................................................................ 90
10.6 Momento de inércia de superfícies planas compostas .......................................................... 91
10.7 Momentos de inércia de figuras geométricas comuns .......................................................... 94
11 Produto de inércia e círculo de Mohr .......................................................................................... 97
11.1 Produto de inércia................................................................................................................. 97
11.2 Extensão do teorema dos eixos paralelos ............................................................................. 97
11.3 Eixos e momentos principais de inércia ............................................................................... 98
11.4 Círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia...................................................... 101
Referencias Bibliográficas ............................................................................................................. 107
iii
1 Introdução
A física é a mais básica das ciências, aborta o comportamento e estrutura da matéria. Esta área tão
abrangente divide-se em áreas do conhecimento que estudam o movimento, os sólidos, os fluidos,
os gases, o calor, o som, a luz, a electricidade, o magnetismo, a relatividade, a estrutura atómica, a
radioactividade, a física de partículas e a astrofísica entre outros.
Na aplicação à engenharia civil abordamos apenas alguns tópicos relacionados com o movimento,
sólidos e fluidos, dos quais se destacam:
- Grandeza física e sistemas de unidades. Estas noções são fundamentais para quantificar as
variáveis envolvidas nos diversos problemas e resolver. Para o Engenheiro Civil é fundamental ter
uma noção das grandezas com que lida, saber o que significam e o que valem as unidade utilizadas
para as quantificar e com a experiência adquirir sensibilidade para os valores das unidade e associar
esses valores com a sua materialização na realidade.
- Cinemática. Neste capítulo aborta-se o estudo do movimento em 1D e 2D, esta análise permite
estabelecer cálculos sobre trajectórias, velocidade, tempos de viagem, tempos de queda de um
corpo em queda livre.
- Estáticas das partículas no plano. A estática é um caso particular do movimento (dinâmica),
situação em que as forças aplicadas se equilibram. Neste capítulo utiliza-se o cálculo vectorial para
o cálculo de situações de equilíbrio aplicado a casos reais com que o engenheiro civil se pode
debater.
- Centros de gravidade. O cálculo do centro de gravidade de uma superfície ou de um corpo é
muito utilizado na Engenharia Civil, basta pensar que se for necessário segurar um corpo por um
único ponto, esse ponto será o centro de gravidade.
- Conceito de momento. O momento de uma força em relação a um ponto traduz o efeito de
rotação que essa força causa num corpo que possa girar em torno do ponto. Em situações estáticas
o conceito de momento também é importante pois permite determinar as condições de equilíbrio à
rotação.
- Momentos estáticos de uma superfície. O momento estático ou o momento de primeira ordem
de uma superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pela distância ao eixo
considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se
distribuem numa secção de um elemento estrutural.
- Estudo de forças distribuídas. Na natureza todas as forças são distribuídas, mas na concepção
de um problema se a força actua numa área muito reduzida pode ser considerada como uma força
concentrada. Existem outras situações em que para efeito da resolução de um problema podemos
representar uma força distribuída como uma força concentrada desde esta abstracção não altere os
resultados obtidos na resolução do problema.
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- Momento de inércia de superfícies. O inércia ou o momento de segunda ordem de uma
superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pelo quadrado distância ao eixo
considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se
distribuem numa secção de um elemento estrutural. Não confundir momento de inércia de uma
superfície com inércia (propriedade de um corpo tem para oferecer resistência a alterações de
velocidade).
- Dinâmica de uma partícula. Neste capítulo introduzem-se as leis fundamentais da dinâmica
clássica, ou seja, as três leis de Newton. Estas leis são aplicadas em situações práticas do dia a dia
com ênfase para casos da engenharia civil. Também se aborda o movimento harmónico e a sua
utilização na analise dinâmica de estruturas.
- Trabalho e energia. O conceito de trabalho e energia permite resolver alguns problemas da
cinemática e da dinâmica de uma forma muito mais simples.
- Mecânica dos fluidos. Neste capítulo faz-se uma ligeira abordagem aos estados da matéria, às
propriedades dos fluidos e a alguns casos em que a acção hidrostática dos fluidos condiciona o
resultado de uma observação, como a força exercida por um fluido nas paredes do recipiente que o
contem, o funcionamento do barómetro de mercúrio, a prensa hidráulica e a aplicação do teorema
de Arquimedes a corpos totalmente ou parcialmente imersos.
A Física Aplicada à Engenharia Civil não deve ser vista como uma disciplina estanque, mas sim
como uma disciplina cujos conhecimentos são aprofundados e aplicados em outras disciplinas da
engenharia civil como estática, estruturas, betão, hidráulica e solos.
Este manual da disciplina de Física Aplicada à Engenharia Civil não pretende ser o único
elemento de consulta para apoio às aulas teóricas. Pretende ser uma referência para o
primeiro contacto do aluno com as matérias leccionadas, as quais serão alvo estudo mais
detalhado nas referências bibliográficas indicadas.
É recomendado que o estudante leve estes apontamentos para as aulas teóricas para
não ser forçado a passar toda a informação do quadro e desta forma poder seguir a
aula com tempo para raciocinar sobre os temas discutidos.
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1.1 Sistema de unidades
Uma medição de uma grandeza física é exprimida com base num valor padrão dessa grandeza. A
esse valor padrão chama-se a unidade de medida da grandeza.
Um sistema de unidades é um conjunto coerente de unidades, umas fixadas arbitrariamente por
comparação com valores padrão (unidades fundamentais) e outras obtidas com base nas primeiras
por meio de equações de definição (unidades derivadas).
Na física mecânica as grandezas físicas fundamentais são três:
M
massa
L
comprimento
T
tempo
Formando o sistema MLT, o qual é a base do sistema internacional (SI).
As unidades de medida das grandezas físicas fundamentais no sistema internacional de pesos e
medidas (S.I.) são
Quilograma (kg)
massa
Metro (m)
comprimento
Segundo (s)
tempo
Unidades padrão
A unidade padrão para a massa é o (kg). O (kg) padrão é um cilindro de platina guardado no
International Bureau of Weights and Measures próximo de Paris.
A unidade padrão para o tempo é o (s) e é definido como 9 192 631 770 períodos da radiação de
átomos de celcium.
A unidade padrão para o comprimento é o (m). O metro padrão é o comprimento percorrido pela
luz no vacum durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 (s).
Todas as unidades utilizadas para quantificar as grandezas físicas fundamentais foram definidas por
convenção e as medições são feitas por comparação do tamanho da grandeza física com a unidade
padrão dessa mesma grandeza física.
Grandeza física derivada
Uma grandeza física derivada é exprimida por uma equação de definição. Como exemplo de
equação de definição, pode-se considerar a equação da variação da posição num movimento
rectilíneo uniforme.
r r
dr = v ⋅ dt
r
r dr
v=
dt
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Para determinar as grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada
velocidade, substitui-se na equação os símbolos das grandezas físicas fundamentais, obtendo-se.
r
[ v ] = L ⋅ T −1
Para a aceleração, que se define como a variação da velocidade em ordem ao tempo, obtém-se.
r
r dv
a=
dt
Substituindo na equação os símbolos das unidades fundamentais, vem.
r
r [v]
[ a ] = = L ⋅ T −2
T
A força é definida pela segunda lei de Newton.
r
r
F = m⋅ a
E as respectivas grandezas físicas fundamentais são.
r
[F] = M ⋅ L ⋅ T
−2
De um modo geral as grandezas físicas fundamentais de uma grandeza derivada X são.
[ X ] = M α ⋅ Lβ ⋅ T γ
Em que α , β e γ são as dimensões da grandeza. Quando α = β = γ = 0 a grandeza diz-se
adimensional, como por exemplo a densidade relativa e um ângulo.
O quadro seguinte apresenta as dimensões das grandezas mais correntes da Física Mecânica, no
sistema MLT.
Grandeza física [X]
Comprimento
Área
Volume
Tempo
Velocidade
Aceleração
Massa
Força
Pressão
Peso volúmico
Massa volúmica
Quantidade de movimento
Trabalho
Potência
α
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Dimensões
β
γ
Sistema
SI
1
2
3
0
1
1
0
1
-1
-2
-3
1
2
2
0
0
0
1
-1
-2
0
-2
-2
-2
0
-1
-2
-3
(m)
(m2)
(m3)
(s)
(m/s)
(m/s2)
(kg)
(N) ≡ (kg.m/s2)
(Pa) ≡ (N/m2)
(N/m3)
(kg/m3)
(kg.m/s)
(J) ≡ (kg.m2/s2)
(W) ≡ (kg.m2/s3)
1.2 Semelhança
Na física e na engenharia civil utiliza-se modelos matemáticos que se baseiam em fórmulas e
processos matemáticos para obter os resultados. Algumas vezes lida-se com problemas cuja
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caracterização através de modelos matemáticos pode ser difícil pelo que se torna rentável utilizar
modelos físicos.
Os modelos físicos assentam na construção de uma maquete à escala com comportamento
semelhante à realidade. No modelo são colocados instrumentos que permitem obter leituras sobre
velocidades, posições, forças, deformações, etc.
A correlação entre as leituras obtidas no modelo e a realidade muitas vezes não são lineares.
Quando se constrói um modelo podem-se ter escalas diferentes para as grandezas físicas
comprimentos [L] segundo x, y e z (Lx), [Ly] e [Lz], para a massa [M] e para o tempo [T]. Ora vejase o seguinte exemplo:
Exemplo 1:
Num modelo físico à escala [L] = 1/10, [T] = 1/1 e [M] = 1/20 desloca-se uma partícula com massa
r
mModelo à velocidade v Modelo .
Questão: Qual será a velocidade real?
Resposta: A grandeza física derivada velocidade define-se como:
r
r dr
v=
dt
As grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada velocidade são:
[vr ] = L ⋅ T −1
r
r
−1
v Re al = (10 ⋅ rModelo ) ⋅ (1 ⋅ t Modelo )
Ou seja
r
r
v Re al = 10 ⋅ v Modelo
A velocidade será 10 vezes superior na realidade do que no modelo.
Nem sempre a relação de proporcionalidade é linear como se pode constatar neste exemplo para a
velocidade.
Questão: Qual será a energia cinética real?
Resposta: A equação de definição da energia cinética é dada por:
EC =
r2
1
⋅m⋅ v
2
Logo
E Re al =
r
1
⋅ (20 ⋅ m Modelo ) ⋅ (10 ⋅ v Modelo
2
(
E Re al = 20 ⋅ 10 2
) 12 ⋅ m
Modelo
r
⋅ v Modelo
)
2
2
EC Re al = 1000 ⋅ ECModelo
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Exemplo 2:
Para testar o comportamento de um reservatório, desenvolveu-se um modelo físico à escala [L] =
1/20; [T] = 1/1; [M] = 1/1.7. Sabendo que a acção da água sobre uma parede vertical plana com
r
r
dimensões (H . L) é de FModelo , qual é a força que actua sobre a parede na realidade. F Re al . A
equação de definição é:
r 1
r
F = ⋅ρ⋅g⋅H2 ⋅L
2
Sendo:
ρ
massa volúmica da água (kg/m3)
r
g
aceleração da gravidade (m/s2)
H
altura da parede (m)
L
extensão da parede em planta (m)
r
r
1
2
FRe al = ⋅ (1.7 ⋅ ρ Modelo ) ⋅ g ⋅ (20 ⋅ H Modelo ) ⋅ (20 ⋅ LModelo )
2
r
r
1
FRe al = ⋅ 1.7 ⋅ 20 2 ⋅ 20 ⋅ ρ Modelo ⋅ g ⋅ H 2 ⋅ L
2
r
r
2
FRe al = 6800 ⋅ ρ Modelo ⋅ g ⋅ H Modelo
⋅ LModelo
Nos exemplos anteriores mostrou-se como a partir de dados medidos em modelos reduzidos de
podem obter os valores reais. Nestes exemplos utilizaram-se casos em que por equações
matemáticas é fácil obter os resultados para a realidade pelo que não faz sentido construir modelos
físicos, nestes casos utilizam-se modelos matemáticos. Contudo existem situações, que saem fora
do programa desta cadeira, em que não existem modelos matemáticos correctos como por exemplo:
cálculo de forças aerodinâmicas exercidas pelo vento numa estrutura não convencional; calcular as
alterações no transporte de sedimentos que provocam a alteração da configuração do fundo de um
estuário devido à ampliação dos molhes de protecção de um porto; na construção de um novo
empreendimento turístico numa zona ventosa determinar as zonas abrigadas para colocar
esplanadas; etc.
1.3 Cálculo vectorial
Na física trabalha-se com grandezas escalares e grandezas vectoriais. Uma grandeza escalar é
definida por um número. Por exemplo a massa de um corpo é de x (kg). Significa que a massa deste
corpo é de x vezes a unidade padrão. Desta forma está definida qual é a massa do corpo. Contudo
ao dizer que a velocidade de um corpo é de y (m/s), esta grandeza não está definida. Sabe-se que o
corpo se desloca a y (m/s) mas em que direcção? E em que sentido? Para não deixar estas perguntas
em aberto, a velocidade define-se como uma grandeza vectorial. Ao escrever que a velocidade do
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r
corpo é de y (m/s), está definido também a direcção e sentido da grandeza para além da sua
intensidade.
Um vector é um segmento de recta orientado. As componentes escalares de um vector são dadas
pelas diferenças entre as coordenadas do ponto apontado pelo vector (B) e o ponto onde o vector é
aplicado (A).
r
u
B
r
u = (u x , u y , u z ) = (B x − Ax , B y − Ay , B z − Az )
θ
Vectores equivalentes têm o mesmo módulo, direcção e sentido. Porém podem ser aplicados em
pontos distintos.
1.3.1 Soma de vectores
r r r
a = u+v
r
v
r
a = (u x + v x , u y + v y , u z + v z )
r
u
r
a
1.3.2 Diferença de vectores
r r
r
a = u + (− v )
r
−v
r
a
r
v
r
u
(
r
a = u x − v x , u y − v y , uz − v z
)
1.3.3 Módulo de um vector
O módulo de um vector é uma grandeza escalar e significa o comprimento do vector, ou seja a
distância em linha recta entre os pontos situados nas extremidades desse vector.
r
a = a x2 + a 2y + a z2
r
a
r
a
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1.3.4 Ângulo formado entre um vector e o eixo xx
O ângulo formado entre um vector e o eixo dos xx é dado pelas seguintes funções trigonométricas.
r
u ⋅ cot g (α )
u
cos(α ) = rx
u
r
u ⋅ tan (α )
r
u y = u ⋅ sin (α )
α
uy
sin (α ) = r
u
tan (α ) =
r
u x = u ⋅ cos(α )
uy
ux
cot g (α ) =
ux
uy
1.3.5 Produto de um vector por um escalar
O resultado do produto de um vector por um escalar é um vector com a mesma direcção e sentido,
mas com o seu módulo multiplicado pelo escalar. Se a variável escalar tiver um valor negativo, o
r
r
sentido do vector a será contrário ao do vector v .
r
r
a = k ⋅v
r
a = k ⋅ v x , k ⋅ v y , k ⋅ vz
(
)
1.3.6 Versores
Versores são vectores com módulo unitário que descrevem uma direcção e sentido no espaço.
Normalmente utilizam-se versores para definir o sistema de eixos de um referencial. Neste curso só
se trabalha com referenciais cartesianos ortonormados. Num sentido lato um referencial
ortonormado é um referencial em que os dois ou três eixos fazem entre si ângulos rectos.
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r
r = 3 ⋅ iˆ + 2 ⋅ ˆj + 3 ⋅ kˆ
y
r
r
ĵ
iˆ
x
k̂
z
A notação recorrendo a versores é mais correcta do ponto de vista matemático e facilita os cálculos
que envolvam grandezas vectoriais.
O vector
(
r
r = rx , ry , rz
)
Passa a ser escrito na forma
r
r = rx ⋅ i$ + ry ⋅ $j + rz ⋅ k$
Na realidade, um vector é definido como a soma dos produtos de escalares por versores que
indicam a direcção e sentido de cada um dos eixos.
1.3.7 Produto interno de 2 vectores
O produto interno de 2 vectores é uma grandeza escalar e é definido como o produto dos módulos
de dois vectores projectados sobre a direcção de um deles. O produto interno é comutativo.
[
r r r r
a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos( α)
r
a
]
r
r r
r
a ⋅ b = [ a ⋅ cos( α ) ] ⋅ b
r
b
O produto interno de dois vectores pode ser calculado recorrendo só às componentes escalares. Por
vezes é útil calcular o produto interno desta forma pois não se sabe qual é o ângulo formado entre
os dois vectores. Esta questão é mais pertinente se o problema for tridimensional.
Se estivermos num referencial ortonormado é válido afirmar.
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iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = (1) ⋅ (1) ⋅ cos(0 ) = 1
iˆ ⋅ ˆj = iˆ ⋅ kˆ = kˆ ⋅ ˆj = (1) ⋅ (1) ⋅ cos(90º ) = 0
Pelo que.
(
)(
r r
a ⋅ b = a x ⋅ iˆ + a y ⋅ ˆj + a z ⋅ kˆ ⋅ b x ⋅ iˆ + b y ⋅ ˆj + bz ⋅ kˆ
r r
a ⋅ b = a x ⋅ iˆ ⋅ bx ⋅ iˆ + a x ⋅ iˆ ⋅ b y ⋅ ˆj + a x ⋅ iˆ ⋅ bz ⋅ kˆ +
)
+ a y ⋅ ˆj ⋅ bx ⋅ iˆ + a y ⋅ ˆj ⋅ b y ⋅ ˆj + a y ⋅ ˆj ⋅ bz ⋅ kˆ +
+ a z ⋅ kˆ ⋅ bx ⋅ iˆ + a z ⋅ kˆ ⋅ b y ⋅ ˆj + a z ⋅ kˆ ⋅ bz ⋅ kˆ
Simplificando, vem.
r r
a ⋅ b = a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ bz
Conjugando as duas equações para o cálculo do produto interno resulta.
r r
r r
a ⋅ b = a x ⋅ bx + a y ⋅ b y + a z ⋅ bz = a ⋅ b ⋅ cos( α )
Explicitando o termo desconhecido cos( α ) , obtém-se.
cos( α ) =
a x ⋅ b x + a y ⋅ b y + a z ⋅ bz
r r
a ⋅b
1.3.8 Produto externo de 2 vectores:
O produto externo de dois vectores é um vector que tem uma direcção perpendicular ao plano que
contém os dois vectores e cujo sentido é definido pela regra da mão direita ou do saca-rolhas. O
módulo é dado pelo produto do módulo do primeiro vector pelo segundo projectado numa direcção
normal à direcção do primeiro. Este conceito é importante para o cálculo do momento de uma força
em relação a um ponto por exemplo.
O produto externo não é comutativo.
r
b
r
a
r
b ⋅ sin( α )
(
) (
)
r r
r × F = rx ⋅ i$ + ry ⋅ $j + rz ⋅ k$ × Fx ⋅ i$ + Fy ⋅ $j + Fz ⋅ k$ A
equação anterior traduz-se pela resolução do seguinte
determinante
i$
r r
r × F = rx
$j
k$
ry
rz
Fx
Fy
Fz
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10
Resolvendo o determinante, vem:
r
r r
r × F = iˆ ⋅ ry ⋅ Fz + j ⋅ rz ⋅ Fx + kˆ ⋅ rx ⋅ Fy − kˆ ⋅ ry ⋅ Fx − rz ⋅ Fy ⋅ iˆ − Fz ⋅ ˆj ⋅ rx
r r
r × F = (ry ⋅ Fz − rz ⋅ Fy ) ⋅ iˆ + (rz ⋅ Fx − Fz ⋅ rx ) ⋅ ˆj + (rx ⋅ Fy − ry ⋅ Fx ) ⋅ kˆ
1.4 Cálculo de determinantes
Cálculo de um determinante de 2ª ordem
Considere-se a matriz A quadrada de 2 x 2 e onde se pretende calcular o determinante:
a
A =  11
a 21
a12 
a 22 
det A = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21
Cálculo de um determinante de 3ª ordem
Considere-se a matriz A quadrada de 3 x 3 e onde se pretende calcular o determinante:
 a11
A = a 21
 a31
a12
a 22
a32
a13 
a 23 
a33 
Passos a seguir:
1. Multiplicar o elemento a11 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se
obtém eliminando a 1ª linha e a 1ª coluna:
a 11 K a12 K a13 
 M



a
 a 21
a 22
a 23  ; a11 22
a32


M


 a 31
a32
a33 
a 23
= a11 (a 22 ⋅ a33 − a 23 ⋅ a32 )
a33
2. Multiplicar o elemento a12 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se
obtém eliminando a 1ª linha e a 2ª coluna:
 a11 K a 12

M

a 21
a 22

M

a 31
a32
K a13 


a
a 23  ; a12 21
a31


a33 
a 23
= a12 (a 21 ⋅ a33 − a 23 ⋅ a31 )
a33
3. Multiplicar o elemento a13 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se
obtém eliminando a 1ª linha e a 3ª coluna:
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11
 a11 K a12 K a 13 

M 

a
a 21
a 22
a 23  ; a13 21
a31


M 

a 31
a32
a33 
a 22
= a13 (a 21 ⋅ a32 − a 22 ⋅ a31 )
a32
4. Em seguida fazer os três produtos obtidos anteriormente serem precedidos alternadamente sinais
+ e -, iniciando pelo +:
a 11
a12
det A = a21
a31
a22
a32
a13
a 23 = a11 (a22 ⋅ a33 − a23 ⋅ a32 ) − a12 (a 21 ⋅ a33 − a 23 ⋅ a31 ) + a13 (a21 ⋅ a32 − a 22 ⋅ a31 )
a33
ou simplificadamente:
a 11
a12
det A = a 21
a31
a 22
a32
a13
a
a 23 = a11 22
a32
a33
a 23
a
− a12 21
a33
a31
a 23
a
+ a13 21
a33
a31
a 22
a32
1.5 Questões teóricas
Q1) Quais as grandezas físicas fundamentais envolvidas nas seguintes variáveis e respectivas
unidades no sistema (S.I.): força; velocidade; posição; aceleração.
Q2) Qual é diferença entre uma grandeza física fundamental e uma grandeza física derivada?
Q3) Qual é a diferença entre um produto interno e um produto externo de vectores?
Q4) Explique o que é e para que serve a teoria da semelhança?
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12
2 Cinemática
2.1 Introdução
A cinemática é o capítulo da física que estuda o movimento.
O repouso e o movimento são conceitos relativos pois dependem do referencial utilizado para
descrever o movimento. Por exemplo, uma árvore está em repouso em relação à terra mas em
movimento em relação ao Sol.
Assim para descrever o movimento, o observador deve definir o referencial que utiliza.
2.2 Movimento de uma partícula material
A posição de uma partícula pode ser definida relativamente a um referencial através de um vector
r
de posição r .
r
r
Seja r1 o vector de posição da partícula no instante t1 e r2 o vector de posição da partícula no
instante t2.
y
r
r1
r
r1 = r1x ⋅ i$ + r1 y ⋅ $j + r1z ⋅ k$
r
r2
$j
k$
i$
x
r
r2 = r2 x ⋅ i$ + r2 y ⋅ $j + r2 z ⋅ k$
z
r
Como a posição da partícula altera-se com o tempo, o vector r é função de t.
r
r = rx ⋅ i$ + ry ⋅ $j + rz ⋅ k$
Sendo.
rx = f x ( t )
ry = f y ( t )
rz = f z ( t )
As equações rx (t ) , ry (t ) e rz (t ) são as equações paramétricas do movimento. Neste caso concluise que o vector posição será uma função de t.
r
r = f (t )
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13
Em função do tempo, um ponto material, definido apenas pelas suas coordenadas, em movimento
vai ocupando sucessivas posições num determinado referencial, formando uma linha que se
designa trajectória.
2.3 Vector deslocamento
r
Considere-se uma partícula que descreve uma trajectória tal que a sua posição no instante t1 é r1 e
r
no instante t2 é r2 .
A diferença entre as posições final e inicial indica a mudança de posição do ponto material, chama-
r
se deslocamento e designa-se por ∆r .
y
r
r1
r r r
∆r = r2 − r1
r
∆r
r
r2
$j
k$
i$
x
z
2.4 Espaço Percorrido
O espaço corresponde à distância total percorrida e é igual à soma dos módulos dos vários
deslocamentos elementares. O espaço é sempre um valor positivo.
r
r
r
s = ∆r1 + ∆r2 +...+ ∆rn
A um deslocamento nulo pode não corresponder um espaço nulo e a um mesmo deslocamento
podem corresponder espaços diferentes. O espaço percorrido só é idêntico ao módulo do vector
deslocamento se a trajectória for rectilínea e se não ocorrerem inversões de sentido.
2.5 Equação da trajectória
r
Considere-se um referencial tridimensional ortonormado xyz e vector posição r dado por.
r
r = rx ⋅ i$ + ry ⋅ $j + rz ⋅ k$
Se a partícula estiver em movimento, rx, ry e rz são funções de t.
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14
As equações que traduzem a variação das coordenadas de posição com o tempo designam-se por
equações paramétricas do movimento.
x = f x (t) ; y = f y (t) ; z = f z (t)
Eliminando a variável t neste sistema obtém-se a equação da trajectória.
EXEMPLO:
Sendo o vector posição de uma partícula dado.
r
r = 2 ⋅ t ⋅ i$ + 3 ⋅ t 2 ⋅ $j
As equações paramétricas do movimento são.
rx = 2 ⋅ t

2
ry = 3 ⋅ t
A equação da trajectória será.
 rx
− − −
t =

2 ⇔

3 2
− − −
 y = 4 ⋅ rx
2.6 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea
O vector velocidade média é a razão entre o vector deslocamento e o intervalo de tempo em que
esse deslocamento ocorre, ou seja:
r
∆r
r
vm =
∆t
r
O vector velocidade instantânea é dado pelo vector ∆r sobre o intervalo ∆t quando este tende para
zero.
r
∆r
r
v = lim
∆t → 0 ∆t
v
r dr
v=
dt
r
A direcção de v é tangente à trajectória no ponto onde se encontra a partícula no instante
considerado.
y
r
v
x
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15
2.7 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea
O vector aceleração média é dado por:
r
∆v
r
am =
∆t
r
A aceleração média tem a direcção e o sentido do vector ∆v .
y
r
vf
A
r
∆v
r
vi
B
r
vf
x
O vector aceleração instantânea é o limite para que tende o vector aceleração média quando o
intervalo de tempo tende para zero.
r
∆v
r
r
a = lim a m = lim
∆t → 0
∆t → 0 ∆t
r
r
r dv d 2 r
a=
= 2
dt
dt
2.8 Componente normal e tangencial do vector aceleração
Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a concavidade da
trajectória.
2.8.1 Movimento acelerado
Num certo intervalo de tempo o movimento é acelerado se o módulo da velocidade aumentar.
y
r
vf
A
r
vi
r
∆v
B
r
vf
x
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16
y
B
v
at
A
r r
r
a = an + at
r
a
v
an
r
∆v
x
2.8.2 Movimento retardado
Num certo intervalo de tempo o movimento é retardado se o módulo da velocidade diminuir.
y
B
A
r
vi
r
vf
r
∆v
r
vf
x
y
B
v
at
A
v
an
r
a
r
∆v
x
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17
2.8.3 Movimento uniforme
Se num certo intervalo de tempo o módulo da velocidade for constante, o movimento diz-se
uniforme.
y
A
B
r
∆v
r
vi
r
vf
r
vf
x
y
v r
at ≡ o
A
B
r
v
an ≡ a
r
∆v
x
2.8.4 Componente normal e tangencial do vector aceleração
Considere-se uma partícula a descrever uma trajectória curvilínea no plano xy.
y
P
r
at
r
an
r
v
r
a
$j
i$
x
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18
r
r
No instante t a partícula encontra-se no ponto P com velocidade com velocidade v e aceleração a
.
r
Pode-se exprimir a em função de duas componentes:
r
- uma segundo a direcção tangente à trajectória, aceleração tangencial a t ;
r
- uma segundo a direcção normal à trajectória, aceleração normal a n .
r r
r
a = an + at
Considerando um versor tangente à trajectória u$ t e outro normal à trajectória u$ n . O vector
aceleração pode escrever-se da seguinte forma.
r
a = a n ⋅ u$n + a t ⋅ u$t
Em que as variáveis têm o seguinte significado:
r
r
a n está relacionado com a variação da direcção de v ;
r
r
a t está relacionado com a variação do modulo de v .
r
Como v é tangente à trajectória, pode-se escrever que:
r
v = v ⋅ u$t
Sabendo que:
r
r dv
a=
dt
Pode-se escrever:
duˆ
r d (v ⋅ uˆ t ) dv
a=
=
⋅ uˆ t + v ⋅ t
dt
dt
dt
Numa trajectória curvilínea, a direcção do versor u$ t varia e assim
∂u$t
≠ 0 . Considerando a
∂t
seguinte figura.
y
dα
R
α
P'
u$n
$j
P
i$
u$t
α
x
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19
Em que α é um ângulo que a tangente à curva faz no ponto P com o eixo dos xx.
Pode-se decompor u$ t e u$ n segundo as direcções dos eixos x e y.
u$t = cos( α ) ⋅ i$ + sin( α ) ⋅ $j
π
π


uˆ n = cos α +  ⋅ iˆ + sin  α +  ⋅ ˆj
2
2


uˆ n = − sin (α ) ⋅ iˆ + cos(α ) ⋅ ˆj
A derivada de u$t em ordem ao tempo é dada pela seguinte equação.
duˆ t
dα ˆ
dα ˆ
= − sin (α ) ⋅
⋅ i + cos(α ) ⋅
⋅j
dt
dt
dt
Colocando
dα
em evidência obtém-se.
dt
[
]
duˆ t
dα
= − sin (α ) ⋅ iˆ + cos(α ) ⋅ ˆj ⋅
dt
dt
O que é igual a.
duˆ t
dα
= uˆ n ⋅
dt
dt
Com dα em radianos pode-se escrever:
dS = dα ⋅ R
O que pode ser escrito como.
dα 1
=
dS R
Ou.
dα dα dS
=
⋅
dt
dS ∂t
dα
R
R
dS
dα 1
v
= ⋅v =
dt
R
R
Ou seja.
duˆ t
v
= ⋅ uˆ n
dt
R
Substituindo
duˆ t
r
na expressão de a ,
dt
duˆ
r d (v ⋅ uˆ t ) dv
a=
=
⋅ uˆ t + v ⋅ t
dt
dt
dt
Vem.
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20
r dv
v
a=
⋅ uˆ t + v ⋅ ⋅ uˆ n
dt
R
r dv
v2
a=
⋅ uˆ t + ⋅ uˆ n
dt
R
em que.
r r r
a = at + an
∂v
r
at =
⋅ u$
∂t t
v2
r
an =
⋅ u$
R n
r r
r
Se v = constante → a t = 0
r
r
Se a trajectória for rectilínea ( R = ∞ ) → a n = 0
r
r
Se o ângulo formado entre os vectores v e a for:
r
r
< 90º → a t e v têm o mesmo sentido → movimento acelerado;
r
r
> 90º → a t e v têm o sentido contrário → movimento retardado;
r r
= 90º → a t = 0 , o movimento é uniforme.
EXEMPLO
Considere um canal rectangular, no qual o escoamento segue com velocidade v. Sabendo que o
canal descreve uma curva horizontal com raio R. Qual será a inclinação da superfície livre do
escoamento quando representada numa secção transversal do mesmo?
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21
∆h
θ
r
an
∆h
h
θ
r
g
L
Na massa de liquido actua a aceleração da gravidade e a aceleração centrifuga devido à curva
horizontal que o canal descreve. A inclinação da superfície livre do escoamento irá fazer um
ângulo com a horizontal por forma a equilibrar estas duas acelerações. Essa inclinação será dada
por:
 an
 g
θ = arctan



 v2 

 R⋅g 
θ = arctan
L
∆h =   ⋅ tan (θ )
2
2
L  v 

∆h =   ⋅ 
 2 R⋅g 
Como a área da secção transversal do escoamento continua a ser a mesma, o aumento de
profundidade no exterior da curva é compensado pelo aumento de profundidade no exterior da
mesma.
Desta forma conclui-se que no dimensionamento de um canal é necessário considerar um aumento
da altura das paredes laterais quando existem curvas.
Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas: aceleração
normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração angular,
período, frequência.
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22
2.9 Questões teóricas
Q1) Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas:
aceleração normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea,
aceleração angular, período, frequência.
Q2) Estabeleça a equação da posição angular para um movimento circular uniforme.
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23
3 Cinemática – movimentos
Na aula anterior foram analisadas as relações entre as variáveis cinemáticas (posição, velocidade e
aceleração) na situação mais geral. Agora vão ser analisados casos particulares para movimentos
rectilíneos uniformes, movimentos rectilíneos uniformemente acelerados, movimentos circulares
uniformes, movimentos circulares uniformemente acelerados, movimentos harmónicos simples e
movimento de projécteis sem considerar os efeitos da resistência aerodinâmica.
3.1 Movimento rectilíneo
Movimentos rectilíneos são todos os movimentos cuja trajectória é rectilínea.
r
v
i$
x
Considere-se uma partícula a mover-se numa direcção associada à de um versor i$ . Como o vector
é tangente à trajectória.
r
v = v ⋅ i$
Logo a aceleração será dada por.
r
∂i$
r ∂v ∂v $
a=
=
⋅i + v ⋅
∂t ∂t
∂t
em que
iˆ = Constante
O termo
v⋅
diˆ r
=0
dt
Logo podemos escrever.
a=
dv ˆ
⋅i
dt
Como foi visto.
dv
= at
dt
Logo.
r
a = a t ⋅ i$
Ou seja.
r r
a = at
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24
Isto quer dizer que nos movimentos rectilíneos só existe aceleração tangencial. Por isso de uma
forma geral fala-se simplesmente em aceleração sendo a aceleração e aceleração tangencial a
mesma coisa.
Quando se descreve uma variável vectorial num sistema com um único eixo, esta pode ser escrita
como uma variável escalar sem perda de informação. Se o vector estiver dirigido no mesmo sentido
do eixo a variável é positiva, caso contrário é negativa. O módulo do vector é dado pelo valor da
variável e a direcção é a única possível, a do eixo utilizado.
3.1.1 Movimento rectilíneo uniforme
Os movimentos rectilíneos uniformes (m.r.u.) são movimentos em que o módulo do vector
velocidade permanece constante.
r
v = Constante
r
Como nos movimentos rectilíneos a direcção do vector v é constante.
r
v = Constante
Foi visto que.
r
r dv
a=
dt
r
e v = constante
Logo.
r r
a=0
O vector velocidade instantânea é constante, pelo que coincide com o vector velocidade média.
r r
v = vm
v r r
∆r r f − ri
r
vm =
=
∆t
∆t
Neste tipo de movimento.
r r
v = vm
Pelo que se pode escrever.
r r
r r f − ri
v=
∆t
r
r r
r f = ri + v ⋅ ∆t
Como o movimento é rectilíneo, é possível escrever a equação do seguinte modo.
r f ⋅ i$ = ri ⋅ i$ + v ⋅ i$ ⋅ ∆t
Dividindo a equação pelo versor, obtém-se a equação do movimento rectilíneo uniforme na forma
escalar.
r f = ri + v ⋅ ∆t
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25
Nos movimentos rectilíneos que são descritos com base num único eixo as variáveis vectoriais
posição, velocidade e aceleração são completamente definidas por um escalar uma vez que está
inerente à equação que têm a direcção do único eixo definido no problema e o sentido será dado
pelo respectivo sinal.
É possível chegar ao mesmo resultado com base no cálculo infinitesimal. Neste exemplo utilizamos
as equações na forma escalar, com conhecimento de que a posição, velocidade e aceleração se
desenvolvem segundo um único eixo.
v=
dr
dt
dr = v ⋅ dt
r = ∫ v ⋅ dt
Como v é constante resulta
r = ri + v ⋅ t
Se derivarmos v em ordem ao tempo, obtemos r. Se integrarmos r em ordem ao tempo obtemos v.
Podemos ver o significado destas operações em termos gráficos.
r
v
r
a
v
ti
tf
t
Neste gráfico foi considerado que ti=0 e ri=0 para a visualização ser mais fácil. Nesta situação a
posição r no instante ti é dada por v.t que representa a área sob a linha das velocidades até ao
instante tf .
O declive da linha que define a posição r é igual ao valor da velocidade v.
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26
3.1.2 Movimento rectilíneo uniformemente variado
Os movimentos rectilíneos uniformemente variados são movimentos em que o escalar da
r
aceleração tangencial permanece constante a t , que se pode escrever de uma forma simplificada e
sem perda de rigor como a t .
a t = Constante
Como se trata de um movimento rectilíneo.
an = 0
Como a aceleração é constante o seu valor médio é igual ao valor instantâneo.
r r
a = am
r
r
v f − vi
r
am =
∆t
Pode escrever-se.
r
r
r v f − vi
a=
∆t
Ou seja.
r
r r
v f = vi + a ⋅ ∆t
v f ⋅ iˆ = vi ⋅ iˆ + a ⋅ iˆ ⋅ ∆t
Dividindo por iˆ resulta.
v f = vi + a ⋅ t
Pela definição de velocidade.
r
r dr
v=
dt
Pode-se estabelecer a seguinte equação diferencial ordinária de 1ª ordem.
r r
dr = v ⋅ dt
r r r
dr = (vi + a ⋅ t ) ⋅ dt
Integrando a equação interior.
r
r r
r = ∫ (vi + a ⋅ t ) ⋅ dt
Da sua resolução resulta.
1 r
r
r r
r f = ri + vi ⋅ t + ⋅ a ⋅ t 2
2
Representação típica do comportamento da posição, velocidade e aceleração em função do tempo
num movimento rectilíneo uniformemente variado m.r.u.v.
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27
r, v, a
a
r
v
t
Para qualquer m.r.u. temos sempre a aceleração definida por uma recta horizontal a velocidade
definida por uma recta qualquer e a posição definida por uma parábola.
v=
dr
dt
a=
dv
= constante
dt
3.2 Movimento circular
Designam-se por movimentos circulares aqueles em que a trajectória é circular ou seja o raio R é
constante.
Considerando uma partícula a descrever uma trajectória circular no plano xy em que R é o raio da
trajectória.
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28
z
r
ω
θ
y
r
r
r
v
S
x
Em que as variáveis representadas na figura anterior assumem os seguintes significados:
S
comprimento do arco descrito pela partícula;
dt
intervalo de tempo;
θ
ângulo ao centro;
r
R= r
raio da trajectória.
Nestes movimentos podemos utilizar coordenadas polares para definir a posição. Como o raio é
constante, a posição fica definida pelo ângulo ao centro. Quando a partícula descreve um ângulo ao
centro θ a distância S percorrida pela partícula é dada por.
S =θ ⋅R
3.2.1 Velocidade angular
Como a posição é definida pela posição angular θ podemos definir a velocidade angular com o
ângulo ao centro varrido por unidade de tempo.
r
ω medio =
∆θ
∆t
No limite quando ∆t → 0 temos:
r
∆θ
∆t →o ∆t
r
dθ
dt
ω = lim
ω=
A velocidade angular é uma grandeza vectorial com direcção normal ao plano do movimento e
sentido dado pela regra da mão direita.
Podemos então escrever:
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29
r r
ω = ω ⋅ k$
Em que k$ é o versor que define a direcção e sentido do eixo z.
Como o espaço percorrido é definido por.
S =θ ⋅R
Derivando em ordem ao tempo obtém-se a relação entre velocidade ou velocidade linear e
velocidade angular.
dS dθ
dR
=
⋅ R +θ ⋅
dt
dt
dt
Como o raio R é constante, resulta.
v ⋅ uˆ t = ω ⋅ kˆ ⋅ R
3.2.2 Aceleração angular
Derivando o vector velocidade angular em ordem ao tempo, obtém-se a aceleração angular:
v
r ∂ω
α=
∂t
3.2.3 Movimento circular uniforme
Neste tipo de movimentos o módulo do vector velocidade é constante, mas a sua direcção altera-se
constantemente.
v = Constante
r
v ≠ Constante
Assim temos as seguintes relações.
dv
= 0 → at = 0
dt
r
r r
dv
≠0→a≠0
dt
O que nos leva a concluir que só existe aceleração normal à trajectória:
r r
a = an
Como.
v = Constante
v = vm
v=
∆S
∆t
O espaço S é dado pela seguinte expressão:
∆S = v ⋅ ∆t
S 2 − S1 = v ⋅ ∆t
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30
S 2 = S1 + v ⋅ ∆t
Neste movimento v e R são constantes.
v = ω⋅R
ω=
v
e ω = constante
R
A aceleração angular:
α=
dω
=0
dt
Como ω = constante, a partícula descreve ângulos ao centro iguais em iguais intervalos de tempo.
ω medio = ω =
ω=
∆θ
∆t
θ − θ0
∆t
θ = θ 0 + ω ⋅ ∆t
No movimento circular uniforme, o vector aceleração é radial, centrípeto, portanto normal ao
vector velocidade em cada ponto e de módulo constante.
r
vB
B
r
r
r
a A = a B = aC
r
aB
r
vA
A
r
aA
r
r
r
v A = v B = vC
r
aC
C
r
vC
3.2.3.1 Período
O período (T) é o intervalo de tempo ao fim do qual as características posição, vector velocidade e
vector aceleração se repetem.
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31
3.2.3.2 Frequência
A frequência de um movimento circular uniforme (m.c.u) é o número de voltas por unidade de
tempo que a partícula descreve.
Sendo R o raio da trajectória e T o período do movimento, vem.
v=
2⋅π⋅ R
T
Como.
v = ω⋅R
ω=
v
R
Podemos escrever que.
ω=
2⋅π⋅ R
= 2⋅π⋅ f
T⋅R
3.2.4 Movimento circular uniformemente variado
Neste tipo de movimento, a aceleração angular é constante.
α =constante
Como.
α=
dω
dt
dω = α ⋅ dt
ω = ∫ α ⋅ ∂t
ω = ω0 + α ⋅t
E porque.
ω=
dθ
dt
dθ = ω ⋅ dt
Substituindo.
dθ = (ω 0 + α ⋅ t ) ⋅ dt
Integrando.
θ = ∫ (ω 0 + α ⋅ t ) ⋅ dt
Obtém-se.
θ = θ0 + ω 0 ⋅ t +
1
⋅α ⋅t2
2
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32
3.3 Projecteis
O movimento efectuado por um projéctil descreve uma trajectória plana em forma de parábola.
Trata-se da soma de dois movimentos, um segundo a horizontal e outro segundo a vertical.
Um projéctil, se desprezarmos a resistência do ar, após ter sido lançado só está sujeito à acção da
r
gravidade g . Este vector tem a direcção vertical e é dirigido de cima para baixo.
A componente horizontal do movimento é um movimento rectilíneo uniforme. A componente
vertical é um movimento rectilíneo uniformemente variado.
1
r


r = (rx 0 + v 0 x ⋅ t ) ⋅ i$ +  ry 0 + v 0 y ⋅ t − ⋅ g ⋅ t 2  ⋅ $j


2
(
)
r
v = v 0 x ⋅ i$ + v oy − g ⋅ t ⋅ $j
r
a = − g ⋅ ˆj
y
r
v0 y
r
v0
r
v0 x
r
r0 y
r
r0
$j
r
r0 x
i$
x
3.4 Questões teóricas
Q1) Prove que a trajectória de um projéctil é parabólica.
Q2) Indique o conceito de período e de frequência
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33
Q3) Explique porque razão dois objectos em queda livre no vácuo, com massas e volumes
diferentes, partindo do repouso, percorrem a mesma distância no mesmo intervalo de tempo?
Apresente a equação que traduz o fenómeno.
Q4) Estabeleça a partir da equação da aceleração normal e aceleração tangencial a relação entre o
tempo e o ângulo formado entre o vector velocidade e o vector aceleração num movimento circular
uniformemente acelerado. Assuma que a partícula partiu do repouso.
Q5) Represente os gráficos posição/tempo, velocidade/tempo e aceleração/tempo para o
movimento rectilíneo uniformemente variado, nas variantes de ser acelerado e de ser acelerado.
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34
4 Estática das partículas no plano
Este capítulo estuda o efeito das forças que actuam em partículas.
Por partícula entende-se um corpo com dimensões desprezáveis, pelo que a sua forma e dimensão
não alteram significativamente os resultados do problema.
4.1 Forças actuantes numa partícula
Uma força representa a acção de um corpo sobre outro e é representada pela sua intensidade, ponto
de aplicação, direcção e sentido.
Forças actuantes numa partícula têm o mesmo ponto de aplicação.
Uma força representa-se por um segmento de recta orientado, o que se pode denominar por vector.
O módulo do vector representa a intensidade da força. No sistema internacional a unidade de força
é o Newton (N). Na engenharia civil é comum utilizar o quilo newton (kN), pois lida-se com forças
grandes e com a utilização de um múltiplo, evita o uso de números com muitos dígitos nos
cálculos.
4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes
Se actuam numa partícula várias forças, estas podem ser substituídas por uma única força chamada
resultante, a qual produz o mesmo efeito sobre a partícula. A resultante é calculada pela soma das
forças que actuam sobre a partícula.
r r r
R = F1 + F2
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35
r
R
r
F1
r
F2
Regra do paralelogramo
4.3 Resultante de várias forças
Se uma partícula é actuada por várias forças, a resultante é dada pela sua soma vectorial
r r r
r
R = F1 + F2 + F3
O que graficamente corresponde a.
r
F1
r
F1
r
F2
r
F3
r
F2
r
F3
r
R
r
R
Regra do polígono, a qual corresponde à repetição da regra do paralelogramo
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36
4.4 Decomposição de uma força em componentes
Tal como um conjunto de forças concorrentes, pode ser substituído por uma força resultante. Logo
esta resultante pode ser por várias forças concorrentes. O número de combinações de forças
concorrentes é infinito.
Por razões práticas é frequente decompor uma força nas suas componentes.
r r
r
F = Fx + Fy
r
F = Fx ⋅ iˆ + Fy ⋅ ˆj
r
Fy
r
F
r
Fx
Em que as componentes escalares Fx e Fy são dadas por:
Fx = F ⋅ cos(α )
Fy = F ⋅ sin (α )
r
Porem o problema pode colocar-se de outra forma. É conhecida a força R e uma das componentes.
r r r
R = F1 + F2
r
r r
F2 = R − F1
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37
Neste caso, com base na regra do paralelogramo, constrói-se o seguinte esquema:
r
R
r
F2
r
F1
r
R
r
F1
Regra do paralelogramo
Pela regra do polígono
r
r
r
F2 = R + (− F1 )
r
F1
r
− F1
r
F2
r
R
Regra do polígono
4.5 Equilíbrio de uma partícula
Uma partícula diz-se em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que lhe são aplicadas é
nula.
Uma partícula sujeita à acção de duas forças, está em equilíbrio se essas forças tiverem a mesma
linha de acção, a mesma intensidade e sentidos opostos.
( )
r
r
r
F1 + − F1 = 0
r
r
F1
- F1
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38
r r
r r
F1 + F2 + F3 = 0
r
F2
r
F1
r
F1
r
F4
r
F2
r
F3
r
F4
r
F3
Quando o conjunto de forças que actuam numa partícula forma um polígono fechado, essa partícula
encontra-se em equilíbrio. Nesta situação podemos escrever.
n r
r
r
R = ∑ Fi = 0
i =1
No final do século VXII, Sir Isaac Newton, formulou três leis fundamentais nas quais se baseia a
física mecânica também designada por física clássica ou física Newtoriana. A primeira dessas leis é
enunciada como:
1ª Lei de Newton “Se a força resultante actuando sobre uma partícula é nula, a partícula
permanecerá em repouso (se inicialmente estiver em repouso) ou mover-se-á com velocidade
constante e em linha recta (se estiver inicialmente em movimento) ”
Os princípios da estática de um ponto material assentam nesta lei e na definição de equilíbrio de
uma partícula.
4.6 Diagrama de corpo livre
Na prática, os problemas em Engenharia Civil derivam de situações físicas reais. Um esquema que
represente as condições físicas do problema chama-se diagrama espacial.
Existem muitos problemas reais que podem ser reduzidos a problemas referentes ao equilíbrio de
uma partícula.
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39
Exemplo 01 – Como calcular as forças de tracção aplicadas pelos cabos 1 e 2 no bloco?
1
2
Diagrama espacial
Diagrama espacial
r
F1
r
F1
r
F2
r
Fg
r
F2
r
Fg
Diagrama de corpo livre
O polígono formado pelas três forças aplicadas no corpo é fechado, logo a resultante é nula. Nesta
situação, o corpo está em equilíbrio.
r
r
As forças F1 e F2 podem ser calculadas através da condição de equilíbrio de uma partícula.
r
r
∑F = 0
Na prática é mais simples lidar com as componentes cartesianas das forças
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40
∑F
∑F
x
=0
y
=0
r
F1
r
F2
α
β
r
Fg
x
= 0 ⇔ F1 ⋅ cos(α ) − F2 ⋅ cos(β ) = 0
y
= 0 ⇔ F1 ⋅ sin (α ) + F2 ⋅ sin (β ) − Fg = 0
∑F
∑F
Estas equações são resolvidas simultaneamente para as incógnitas F1 e F2 .
Exemplo 02 – Cálculo da força aplicada por um cabo a segurar um bloco assente num plano
inclinado sem atrito.
y
r
Rn
r
T
β
α
α
x
r
Fg
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41
r
Fg peso do bloco
r
Rn reacção normal do plano sobre o bloco
r
T força exercida pelo cabo no bloco
Aplicando as equações de equilíbrio.
∑F
∑F
x
=0
y
=0
y
=0
Resulta.
∑F
Rn + T ⋅ sin( β ) − Fg ⋅ cos(α ) = 0
Nesta equação temos duas variáveis cujo valor é desconhecido, logo não é possível calcular o valor
de T .
Analisando o equilíbrio de forças segundo x :
∑F
x
=0
Fg ⋅ sin (α ) − T ⋅ cos(β ) = 0
T=
Fg ⋅ sin (α )
cos(β )
Este exemplo demonstra a necessidade de saber visualizar no diagrama de corpo livre qual ou quais
são as direcções mais convenientes para aplicar as condições de equilíbrio.
4.7 Questões teóricas
Q1) Estabeleça o diagrama de corpo livre para a seguinte situação. Represente as forças actuantes
no cabo e na barra.
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42
A figura representa uma barra inclinada com peso Fg segura por um cabo de massa desprezável.
Q2) Considerando a mesma situação, estabeleça a equação para o cálculo da força de tracção a que
o cabo AC está sujeito.
A
θ
β
C
α
B
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43
5 Dinâmica de uma partícula
A dinâmica estuda as relações entre as forças que actuam na partícula e os movimentos por ela
adquiridos.
A estática estuda as condições de equilíbrio de uma partícula.
5.1 As três leis do movimento de Newton
Newton estudou e desenvolveu as ideias de Galileu sobre o movimento e estabeleceu três leis que
têm hoje o seu nome.
1ª Lei de Newton
"Todos os corpos permanecem no seu estado de repouso ou de movimento rectilíneo uniforme a
não ser que sejam obrigados a modificar esse estado por acção de forças aplicadas."
Da 1ª lei de Newton podemos concluir que:
- Quando um corpo está em repouso, não actua nenhuma força, ou actua um sistema de forças cuja
resultante é nula;
- Quando um corpo tiver movimento rectilíneo uniforme não actua nele nenhuma força ou actua
um sistema de forças cuja resultante é nula.
r
Quando um corpo está numa situação de equilíbrio (
∑F
i
r
= 0 ), esse equilíbrio pode ser estático (
r r
r r r
v = 0 ) ou dinâmico ( a = 0 e v = constante).
2ª Lei de Newton
"A aceleração de um corpo é directamente proporcional à intensidade da força resultante, tem a
mesma direcção e o mesmo sentido que esta e é inversamente proporcional à massa do corpo."
O enunciado desta lei é traduzido pela expressão:
r
r
r
r F
a = ⇔ F = m⋅a
m
A unidade de força chama-se Newton (N) e corresponde a uma força constante com intensidade
igual a uma unidade que aplicada a uma massa de 1 kg, comunica-lhe uma aceleração de 1 m/s2.
r r
r
Relação entre as direcções e sentidos de v , a e F :
r
1) Aplicando a um corpo em repouso uma força F constante em direcção, sentido e intensidade,
ele adquire movimento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) com direcção e sentido da
força.
r
F
r
F
r
F
r
r
r
r
v1
v2
v0 = 0
r r r
r r
Nesta situação v , a e F têm a mesma direcção e sentido. a e F são constantes.
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44
r
r
2) Aplicando a um corpo com velocidade v 0 uma força F constante na mesma direcção mas
r
sentido contrário do de v 0 , o corpo terá movimento rectilíneo uniformemente retardado (a
velocidade e a aceleração têm sentidos contrários).
r
a
r
F
r
r
F
r
v0
r
F
r
r
v1
r
v2
3) Se F tiver direcção diferente da de v , o corpo passa a ter uma trajectória curva, pelo que se
r
altera a direcção de v .
r
a
r
v
r
F
r
r
Em todas as situações F e a têm a mesma direcção e sentido.
3ª Lei de Newton
"A qualquer acção opõe-se sempre uma reacção igual, ou seja, as acções mutuas de dois corpos
um sobre o outro são sempre iguais e de sentidos opostos."
Esta lei exprime uma propriedade importante das forças: as forças nunca aparecem isoladas, mas
sempre aos pares como resultado da interacção entre dois corpos.
O par acção reacção tem as seguintes características:
- a mesma linha de acção;
- sentidos opostos;
- mesma intensidade,
- estão aplicados em corpos diferentes.
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45
r
FA , B
A
B
r
FB , A
Em que:
r
FA , B
r
FB , A
Força aplicada no corpo A pelo corpo B
Força aplicada no corpo B pelo corpo A
Estes dois vectores são simétricos:
r
r
FA, B = − FB , A
É totalmente errado somar estes dois vectores e dizer que o resultado é nulo pois estas forças são
aplicadas em corpos diferentes.
r
r
5.2 Relação entre F e a e sua aplicação aos vários tipos de movimento
Como foi visto, a 2ª lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica é:
r
r
F = m⋅a
Como:
r r
r
a = an + at
r
r
r
F = m ⋅ (a n + a t )
r
r
r
F = m ⋅ an + m ⋅ at
Logo:
r r
r
F = Fn + Ft
Em que:
r
v2
Fn = m ⋅ ⋅ u$n
R
r
∂v
Ft = m ⋅ ⋅ u$t
∂t
r
A componente da força normal à trajectória Ft é responsável pela variação da direcção da
velocidade e a componente tangente à trajectória causa a alteração do módulo da velocidade.
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46
r
r
r
r
Se relacionarmos os vectores Fn e Ft com a n e a t nos vários tipos de movimentos, podemos
concluir que:
Movimentos
Rectilíneos
r r
Curvilíneos
r r
Fn ≠ 0
r
r
an ≠ 0
Fn = 0
r
r
an = 0
Uniformes
r r
Variados
r r
Uniformes
r r
Variados
r r
r r
F =0
r r
F = Ft
r r
F = Fn
r r
r
F = Fn + Ft
Ft = 0
r r
at = 0
Ft ≠ 0
r r
at ≠ 0
Ft = 0
r r
at = 0
Ft ≠ 0
r r
at ≠ 0
5.3 Forças de ligação
Forças de ligação são forças que condicionam o movimento de um determinado corpo, como por
exemplo:
- Tracções em cabos;
- Reacção normal de planos;
- Forças de atrito.
Considere-se o seguinte corpo suspenso. O dispositivo é constituído por um apoio A, um cabo C e
uma esfera E.
A
C
E
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47
r
r
Na esfera actua a força gravítica Fg e a força de tracção aplicada pelo cabo FE ,C . No cabo actua o
peso da esfera que tracciona o cabo e na outra extremidade actua a força aplicada pelo apoio no
r
cabo. No apoio actua a força aplicada pelo cabo FA ,C e um conjunto de forças não representadas
exercidas pela estrutura que suporta o apoio.
A
r
FA ,C
r
FC , A
C
r
FC , E
r
FE ,C
E
r
Fg
Como todos os elementos estão em equilíbrio estático, a resultante das forças aplicadas em cada um
r
destes elementos é nula
∑F
i
r
= 0.
No esquema acima existem dois pares acção reacção, um na ligação entre a esfera e o cabo e outro
na ligação entre o cabo e o apoio.
5.3.1.Pendulos
Um pêndulo gravítico simples é um sistema constituído por um corpo, normalmente uma esfera,
com uma massa m e um fio inextensível e de massa desprezível.
A trajectória é circular com raio igual ao comprimento do fio l e centro no ponto de suspensão O.
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48
n
O
θ
v
T
v
Fgt
A
C
v
Fgn
vθ
Fg
B
v
Fc
t
A figura acima representada é o diagrama de corpo livre da massa. Nela estão representadas todas
as forças aplicadas na esfera.
Consideram-se um sistema de eixos tn em que o eixo t é tangente e o eixo n é normal à trajectória.
Uma vez que o referencial é ortonormado, é possível fazer o somatório das forças segundo cada um
dos eixos de forma independente.
Uma vez que o sistema de eixos acompanha o movimento da massa do pêndulo, segundo n não há
variação da posição, a distancia à origem é constante, a velocidade é nula e a aceleração é nula e
consequentemente a resultante das forças que actuam segundo esta direcção também é nula.
∑F
n
=0
T − Fg ⋅ cos(θ ) = m ⋅ a n
T = m ⋅ g ⋅ cos( θ) + m ⋅
v2
l
O somatório das forças segundo a tangente à trajectória é diferente de zero. Segundo esta direcção
existe variação da velocidade e aceleração não constante.
∑F
∑F
n
≠0
t
= Fg ⋅ sin( θ)
∑F
= m ⋅ g ⋅ sin( θ)
t
Como:
F = m⋅a
Conclui-se que:
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49
a t = g ⋅ sin( θ)
A aceleração a que a massa está sujeita no pêndulo gravítico não é constante, mas sim uma função
sinusoidal do ângulo que o cabo faz com a vertical.
Desta expressão e das relações estudadas na cinemática pode-se concluir que a aceleração é sempre
tangente à trajectória, dirigida na direcção do ponto mais baixo. É máxima nas posições extremas e
nula quando o pêndulo passa pela vertical.
A velocidade é nula nas extremidades e máxima quando o pêndulo passa pela vertical.
5.3.2 Reacção de superfícies
Sempre que um corpo está apoiado numa superfície, exerce sobre ela uma força compressora à qual
r
se opõe uma reacção que a superfície aplica no corpo. Esta força R subdivide-se em duas
r
r
componentes, uma normal à superfície Rn e outra tangencial à superfície Rt . Esta última costuma
designar-se por força de atrito.
r r
r
R = Rn + Rt
CM
r
Fg
r
Rn
r
A
r
r
A força exercida pelo corpo na superfície A e a reacção normal da superfície Rn formam um par
acção reacção.
r
r
N = − Rn
Como o corpo está imóvel, o somatório das forças que lhe são aplicadas é nula, tal que:
r
r
r
Fg + Rn = 0
r
Se a um corpo em repouso assente sobre uma superfície horizontal aplicarmos uma força F , a
superfície apresenta uma resistência ao movimento que se traduz por uma força tangente à
superfície com sentido contrário ao movimento. Essa força designa-se por força de atrito.
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50
Existem forças de atrito estático e forças de atrito cinético. Se não existe movimento relativo entre
as duas superfícies o atrito é estático, se existe movimento relativo entre as duas superfícies, o
atrito é cinético.
A experiência demonstra que as forças de atrito estáticas são superiores às forças de atrito
dinâmicas para a maioria dos materiais.
r
F
CM
r
Fg
r
Fa
r
Rn
r
N
Na situação acima referida podem acontecer duas situações:
r
r
1) a força F é superior à força de atrito estático Fae , o corpo entra em movimento e o atrito passa
r
a ser cinético Fak ;
r
r
2) a força F é inferior à força de atrito estático Fae e o corpo permanece em repouso.
A força de atrito é calculada por:
r
r
Fa = µ ⋅ Rn
Para o cálculo do atrito estático, emprega-se o coeficiente de atrito estático µ e e para o cálculo do
atrito cinético utiliza-se o coeficiente de atrito cinético µ k .
Considere-se um corpo colocado sobre um plano inclinado que faz um determinado ângulo θ com
a horizontal.
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51
n
r
r
Fgt = Fg ⋅ sin( θ)
r
r
Fa = µ ⋅ Rn
t
θ
r
Fg
r
r
Fgn = Fg ⋅ cos( θ)
Nesta situação, segundo o eixo n não se há movimento, este apenas ocorre segundo a tangente à
superfície definida pelo eixo t. Desta forma pode-se escrever que:
∑F
n
=0
Rn − Fg ⋅ cos( θ) = 0
Rn = Fg ⋅ cos( θ)
Quanto à resultante segundo o eixo t:
∑F
= Fg ⋅ sin( θ) − Fa
∑F
∑F
∑F
t
= m ⋅ g ⋅ sin( θ) − µ ⋅ Rn
t
= m ⋅ g ⋅ sin( θ) − µ ⋅ m ⋅ g ⋅ cos( θ)
t
= m ⋅ g ⋅( sin( θ) − µ ⋅ cos( θ) )
t
Os valores dos coeficientes de atrito dependem dos materiais das duas superfícies que tendem a
deslizar entre si. São referidos no quadro seguinte, a título de exemplo, os valores dos coeficientes
de atrito para alguns materiais.
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52
MATERIAIS
µe
µk
cobre / ferro
1.1
0.3
aço / aço
0.7
0.5
aço / madeira
0.4
0.2
aço / teflon
0.04
0.04
5.4 Movimento harmónico simples
Quando a força aplicada num corpo é proporcional ao afastamento do ponto de equilíbrio e no
sentido desse mesmo ponto, o movimento que se desenvolve é harmónico simples.
r r
F =0
r
F
r
F
x
A força F será dada por:
F = −k ⋅ x
F = m⋅ a
− k ⋅ x = m⋅ a
logo, explicitando a aceleração:
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53
a=−
k
⋅x
m
como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento:
d2x
k
⋅x
2 = −
m
dt
se substituir:
k
= ω2
m
d2x
2
2 = −ω ⋅ x
dt
a solução da equação diferencial acima, é:
x = A ⋅ sin(ω ⋅ t + φ )
isto pode ser provado da seguinte forma:
a primeira derivada de x em ordem ao tempo é:
dx
d
= A ⋅ sin(ω ⋅ t + φ )
dt
dt
dx
= ω ⋅ A ⋅ cos(ω ⋅ t + φ )
dt
a segunda derivada será:
d2x
d
cos(ω ⋅ t + φ )
2 = ω ⋅ A⋅
dt
dt
d2x
2
2 = −ω ⋅ A ⋅ sin(ω ⋅ t + φ )
dt
logo prova-se que:
d2x
= −ω 2 ⋅ x( t )
dt 2
O movimento harmónico simples aplica-se a todos os corpos que oscilam em torno de uma posição
de equilíbrio (PE) e que estão sujeitos a uma força directamente proporcional ao afastamento da
(PE) dirigida no sentido da (PE). Aplica-se a pêndulos gravíticos com pequena amplitude de
movimentos e a osciladores de um ou mais graus de liberdade. Os osciladores têm aplicação na
Engenharia Civil por serem utilizados como modelos simplificados do comportamento dinâmico de
estruturas de edifícios.
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54
6 Quantidade de movimento de um sistema de partículas
6.1 Impulso de uma força
Forças diferentes poderão originar acréscimos iguais de velocidade na mesma partícula, desde que
actuem de modo a ser constante o produto da força pelo seu tempo de actuação.
r r
J = F ⋅ ∆t
Fm
J
t1
t2
F(N)
t1
t2
t(s)
n r
r
J = lim ∑ Fi ⋅ ∆t
n →∞
i =1
r t2 r
J = ∫ F ⋅∂t
t1
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55
r
Na primeira figura a força F é constante, na segunda é variável, contudo os impulsos são idênticos
se as áreas sob as curvas forem idênticas.
6.2 Momento linear de uma partícula e de um sistema discreto de partículas
r
A grandeza vectorial que se obtém multiplicando a velocidade v pela sua massa m chama-se
momento linear ou quantidade de movimento da partícula.
r
r
p = m⋅v
Para um sistema constituído por n partículas
r r
r
r
p = p1 + p2 +...+ pn
n
r
r
p = ∑ mi ⋅ vi
i =1
A forma geral da 2ª lei de Newton é dada por:
r
r
r
r ∂p ∂( m ⋅ v ) ∂m r
∂v
F=
=
=
⋅v + m⋅
∂t
∂t
∂t
∂t
Na situação de m = constante, vem a equação na sua forma particular:
r
r
F = m⋅a
r
r
F ⋅ ∆t = m ⋅ a ⋅ ∆t
r
r
F ⋅ ∆t = m ⋅ ∆v
r
r r
J = m ⋅ (v 2 − v1 )
r r
r
J = p 2 − p1
r
r
J = ∆p
r
Se a força F for constante no intervalo de tempo entre t1 e t2, pode-se escrever.
r r r
r
r
r
r
∆p = J = F ⋅ ∆t = p2 − p1 = m ⋅ v 2 − m ⋅ v1
Logo o impulso de uma força aplicada numa partícula é igual à variação da quantidade de
movimento dessa partícula.
6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partículas
Por definição o centro de massa de um sistema discreto de partículas, com base na dinâmica, é o
ponto que se desloca como se deslocaria uma partícula com a massa do corpo ou do sistema se na
qual se aplicassem as forças exteriores a que está submetido o corpo ou o sistema.
As coordenadas do centro de massa de um sistema constituído por n partículas são:
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56
n
x CM
m1 ⋅ x1 + m2 ⋅ x 2 +...+ mn ⋅ x n
=
=
m1 + m2 +... mn
∑m ⋅ x
i
i =1
i
n
∑m
i
i =1
n
yCM
m1 ⋅ y1 + m2 ⋅ y2 +...+ mn ⋅ yn
=
=
m1 + m2 +... mn
∑m ⋅ y
i
i =1
i
n
∑m
i
i =1
n
zCM
m1 ⋅ z1 + m2 ⋅ z2 +...+ mn ⋅ zn
=
=
m1 + m2 +... mn
∑m ⋅z
i
i =1
i
n
∑m
i =1
i
O vector posição do centro de massa é dado por:
n
r
∑m ⋅r
r
rCM =
i
i =1
i
n
∑m
i
i =1
6.4 Momento linear do centro de massa
Como foi visto, o vector posição do centro de massa é dado por:
n
r
∑m ⋅r
r
rCM =
i
i =1
i
n
∑m
i =1
i
esta equação pode ser escrita na seguinte forma:
r
r
∑ (mi ) ⋅ rCM = ∑ (mi ⋅ ri )
n
n
i =1
i =1
derivando em ordem ao tempo e assumindo que a massa é sempre constante, vem:
r
r
n
∂rCM
∂ri 

(mi ) ⋅ ∂t = ∑  mi ⋅ ∂t 
∑
i =1
i =1
n
n
∑ (m ) ⋅ v
i =1
r
i
n
∑ (m ) ⋅ v
i =1
CM
r
i
CM
n
r
= ∑ (mi ⋅ vi )
i =1
n
r
= ∑ ( pi )
i =1
Assim fica demonstrado que a quantidade de movimento ou momento linear de um sistema de
partículas é dado por:
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57
r
r
P = ∑ (mi ) ⋅ v CM = ∑ pi
n
n
i =1
i =1
6.5 Lei do movimento do centro de massa
n
r
r
P = ∑ (mi ) ⋅ v CM
i =1
r
r
n
v CM
∂P
= ∑ (mi ) ⋅
∂t
∂t
i =1
r
n
∂P
r
= ∑ (mi ) ⋅ a CM
∂t
i =1
r
r
r
∑ Fext + ∑ Fint = m ⋅ aCM
As forças exteriores são aplicadas devido à interacção de um ou mais corpos pertencentes ao
sistema com um corpo que não pertence ao sistema. As forças internas, ocorrem devido à
interacção entre dois ou mais corpos pertencentes ao sistema. Segundo a 3ª lei de Newton (par
acção reacção), se somarmos todas as forças internas do sistema, o resultado é um vector nulo.
r
int
r
=0
ext
r
= m ⋅ a CM
∑F
r
∑F
Esta última equação traduz a 2ª lei de Newton, na forma particular m = constante, aplicada aos
sistemas de partículas.
Para exemplificar tomemos o exemplo de um projéctil que é lançado e percorre uma determinada
trajectória. Em determinado instante, sem a aplicação de nenhuma força exterior ao projéctil, este
explode e separa-se em dois fragmentos. Nesta situação o centro de gravidade do sistema segue a
mesma trajectória como se nada se tivesse passado.
y
CM
x
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58
6.6 Conservação do momento linear
n
r
r
∑ Fext = ∑ (mi ) ⋅ aCM
i =1
r
n
∂P
r
= ∑ (mi ) ⋅ a CM
∂t
i =1
r
r
∂P
= ∑ Fext
∂t
Quando a resultante das forças exteriores que actuam num sistema é nula, o momento linear do
sistema mantém-se constante, pelo que a sua derivada é nula.
r
r
∂P r
P =constante, logo
=0
∂t
6.7 Colisões perfeitamente elásticas
Neste tipo de colisões existe conservação da quantidade de movimento e da energia cinética do
sistema.
r
r
∂P r
= 0 , logo P = constante
∂t
Isto quer dizer que antes e após a colisão a quantidade de movimento do sistema é a mesma, logo.
r
r
P1 = P2
Na situação de dois corpos A e B colidirem, pode-se escrever a seguinte equação.
r
r
r
r
m A ⋅ v A1 + m B ⋅ v B 1 = m A ⋅ v A 2 + m B ⋅ v B 2
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59
6.8 Colisões perfeitamente inelásticas
Neste tipo de colisões existe conservação da quantidade de movimento, mas ocorrem perdas de
energia cinética. Esta situação verifica-se quando após a colisão os corpos permanecem juntos
seguindo uma trajectória comum.
r
r
P1 = P2
r
r
r
m A ⋅ v A1 + mB ⋅ v B1 = (m A + mB ) ⋅ v 2
Antes
r
r
v B1 = 0
r
v A1
Depois
r
r
r
v A2 = v B 2 = v B
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60
7 Trabalho e energia
7.1 Noção de trabalho
7.2 Trabalho de uma força constante
7.2.1 Trabalho realizado por uma força constante ao longo de uma trajectória
rectilínea
O trabalho de uma força constante ao longo de uma trajectória rectilínea, define-se como o produto
interno do vector força pelo vector deslocamento:
r r
W = F ⋅ ∆r
Esta equação também pode ser escrita como:
r
W = F ⋅ ∆r ⋅ cos( α )
em que α é o ângulo formado entre os dois vectores.
O trabalho de uma força pode ser motor ou potente, resistente ou nulo. O trabalho é motor quando a
força contribui para o deslocamento, é resistente quando a força se opõe ao deslocamento.
r
∆r
r
F
Trabalho resistente
r
∆r
r
F
r
∆r
r
F
Trabalho nulo
Trabalho motor ou potente
7.3 Trabalho realizado por uma força variável
7.3.1 Trabalho realizado por uma força de valor variável ao longo de uma
trajectória rectilínea
O trabalho de uma força variável ao longo de uma trajectória rectilínea é dado pela integração da
força em ordem à distância percorrida.
Para entender melhor esta definição, considere o seguinte caso:
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61
F
x1
x2
xn
x
A força F actua sobre uma partícula que se desloca segundo uma trajectória rectilínea, desde a
posição x1, até à posição xn Durante este deslocamento, a intensidade da força F possui, diferentes
valores, como mostra o gráfico. Assim, o trabalho realizado pela forca, pode ser calculado por:
xn
W = ∑ Fi ⋅ xi
x1
Quando a força varia continuamente, as distancias xi em que a força se pode considerar constante,
tende para zero e o número de intervalos n, tende para infinito. Logo, a equação para o cálculo do
trabalho será:
xn
W=
∫ F ⋅ dx
x1
7.3.2 Trabalho de uma força variável ao longo de uma trajectória plana qualquer
O cálculo do trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma trajectória plana qualquer,
assenta nos mesmos princípios apresentados acima.
y
n
1
r
∆r1
r
F1
r
r ∆rn
F2
r
Fn
x
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62
É possível aproximar a trajectória rectilínea por pequenos deslocamentos, desta forma, o trabalho é
calculado por:
n r
r
W = ∑ Fi ⋅ ∆ri
i =1
Quando o número de deslocamentos utilizados para aproximar a trajectória curvilínea tende para
infinito, o trabalho é calculado por:
r
r
W = lim ∑ Fi ⋅ ∆ri
n
n →∞
i =1
r r
W = ∫ F ⋅ dr
Logo:
r r
dW = F ⋅ dr
r r
dW = F ⋅ dr ⋅ cos( θ)
em que θ é o ângulo formado entre os dois vectores.
Como:
r r
dr = v ⋅ dt e
r
dr = ds
É válido afirmar que:
r
dW = F ⋅ cos( θ) ⋅ ds
Como:
r
r
F ⋅ cos( θ) = Ft
r
dw = Ft ⋅ ds
Ou seja:
r r
W = ∫ F ⋅ dr
Ou:
W = ∫ Ft ⋅ ds
r
F
Ft
r
Fn
Logo ao calcular o trabalho realizado por uma força variável ao longo de uma trajectória curvilínea,
a abordagem é semelhante à situação de uma força variável ao longo de uma trajectória rectilínea,
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63
só que em vez de considerar a força, considera-se a componente tangencial da força, e em vez de
considerar o deslocamento, considera-se o espaço percorrido.
7.4 Forças que não realizam trabalho
7.4.1 Trabalho realizado ao longo de uma trajectória fechada
B
r r
r r
W = lim ∑ ( Fi ⋅ ∆ri ) = ∫ F ⋅ dr
n
n →∞
A≡ B
i =1
A
r r
W = ∫ F ⋅ dr
caso a força seja constante
r
r
W = F ⋅ ∫ dr
W=0
7.5 Trabalho de um sistema de forças
Quando um sistema de forças actua numa partícula, o trabalho realizado por esse sistema de forças,
é igual ao trabalho realizado pela força resultante do sistema.
r
r r
r r
r
W = F1 ⋅ ∆r + F2 ⋅ ∆r + F3 ⋅ ∆r
r
r
r
r
W = ( F1 + F2 + F3 ) ⋅ ∆r
r
r
W = Fr ⋅ ∆r
7.6 Energia cinética
r r
W = F ⋅ ∆r
r
W = F ⋅ ( x − x0 )
como:
r
r
F = m⋅a
r
W = m ⋅ a ⋅ ( x − x0 )
x − x0 = v0 ⋅ t +
1
⋅a ⋅t2
2
como:
v = v0 + a ⋅ t
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64
e:
a ⋅ t = v − v0
logo, substituindo, obtém-se:
1


W = m ⋅ a ⋅  v0 ⋅ t + ⋅ a ⋅ t 2 


2
1


W = m ⋅ a ⋅ t ⋅  v0 + ⋅ a ⋅ t 
2


1


W = m ⋅ (v − v 0 ) ⋅ v 0 + ⋅ (v − v 0 )
2


W=
1
⋅ m ⋅ (v − v 0 ) ⋅ (2 ⋅ v 0 + v − v 0 )
2
W=
1
⋅ m ⋅ (v − v 0 ) ⋅ (v + v 0 )
2
W=
1
⋅ m ⋅ (v 2 − v 02 )
2
W=
1
1
⋅ m ⋅ v 2 − ⋅ m ⋅ v0 2
2
2
W = E c − E c0
W = ∆E c
7.7 Energia potencial
A energia potencial de um sistema representa uma forma de energia mecânica armazenada no
sistema, podendo converter-se integralmente em energia cinética.
7.7.1 Energia potencial gravítica
B
∆Ep = − ∆Ec
r
Fg
Ep B − Ep A = −WFg
r
∆r
se
Ep A = 0
Ep B = −WFg
r
r
Ep B = Fg ⋅ ∆r
Ep B = Fg ⋅ ∆r ⋅ cosθ
A
r
Fg
Ep B = Fg ⋅ ∆h
Ep g = m ⋅ g ⋅ h
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65
7.7.2 Energia potencial elástica
A energia potencial elástica armazenada na mola é igual ao simétrico do trabalho realizado pela
força elástica no movimento de deformação da mola.
A
∆x
B
v
Fe
x
r
Fe
Epe B − Epe A = −WFe
Epe A = 0
B
Epe B = − ∫ − K ⋅ x ⋅ dx
A
Epe B =
1
⋅ K ⋅ x2
2
7.8 Conservação da energia mecânica
Se considerar um sistema isolado, em que as forças interiores são conservativas, pode-se escrever
que:
WC = −∆E p
e
WC = ∆E C
portanto:
− ∆E p = ∆E c
∆E c + ∆E p = 0
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66
E m = E c + E p = constante
7.9 Lei da conservação da energia
Se algumas forças interiores forem não conservativas (força de atrito por exemplo), o trabalho
realizado por estas forças é transformado em outras formas de energia como calor e ruído devido à
fricção por exemplo.
∆Em = ∆Ec + ∆Ep + WFnc
Como o termo.
∆E c + ∆E p = 0
Logo.
r
∆Em = WFa
∆Em + ∆U = 0
Em que ∆U representa a energia foi dissipada no sistema.
NOTA:
O exemplo do pêndulo gravítico apresentado no capítulo da dinâmica pode agora ser resolvido de
uma forma mais simples.
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67
8 Mecânica dos fluidos
Fluidos são substâncias que podem fluir, escoar-se com maior ou menor facilidade porque as suas
moléculas: movem-se umas em redor das outras com pequeno atrito, como nos líquidos e estão
muito afastadas como nos gases.
Os líquidos não têm forma própria, mas têm volume definido e são quase incompressíveis.
Os gases não têm forma própria nem volume definido e são altamente compressíveis.
8.1 Propriedades dos fluidos
8.1.1 Massa volúmica
A massa volúmica define a massa por unidade de volume, é praticamente constante nos líquidos e
variável com a pressão e temperatura nos gases.
ρ=
m
V
(kg/m3)
ρagua = 1000 kg/m3 a 4ºC
ρar = 1,293 kg/m3
8.1.2 Densidade relativa
d=
ρ
ρp
(adimensional)
Em que ρ p é uma massa volúmica padrão, salvo indicação em contrário, utiliza-se a massa
volúmica da água para os líquidos. Para os gases, utiliza-se a massa volúmica do ar, nas mesmas
condições de temperatura e pressão em que se encontra o gás.
8.1.3 Peso volúmico
O peso volúmico pode ser apresentado como o produto da passa volúmica pela aceleração da
gravidade.
r
r
γ = ρ⋅g
(N/m3)
8.2 Pressão
A pressão é uma força por unidade de área. A pressão média numa dada superfície, é definida por:
r
F
r
pm =
A
(N/m2) = (Pa)
Numa superfície infinitésima:
r
r
p = lim pm
A→ 0
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68
r
r ∂F
p=
∂A
Desde que o fluido esteja em equilíbrio hidrostático, as forças de pressão são sempre normais às
superfícies do recipiente que contem o fluido.
8.3 Distribuição hidrostática de pressões
Considere o seguinte volume de controlo. Por volume de controlo, entende-se uma porção de
fluido, delimitado por uma fronteira imaginária, na qual se analisam as forças aplicadas.
r
F1
r
F3
r
Fg
h1
r
F4
h2
r
F2
Como o fluido está em repouso e permanece neste estado, o somatório das forças aplicadas é nulo,
logo:
Somatório das forças horizontais igual a zero.
r
r
∑F = 0
∑F = 0
x
F3 = F4
Somatório das forças verticais igual a zero.
∑F
y
=0
F2 − F1 = Fg
m
V
p2 ⋅ A − p1 ⋅ A = Fg
ρ=
p2 ⋅ A − p1 ⋅ A = m ⋅ g
m = ρ ⋅V
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69
(p
2
− p1 ) ⋅ A = ρ ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ A
∆p = ρ ⋅ g ⋅ ∆h
m = ρ ⋅ ( A ⋅ ∆h)
m = ρ ⋅ ∆h ⋅ A
Como em cima da superfície do liquido contido no recipiente existe a pressão atmosférica, para ter
o valor da pressão absoluta é necessário somar o valor da pressão atmosférica p 0 .
p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ ∆h
8.3.1 Distribuição de pressões na parede vertical de um reservatório
r
p0
H
r
v
p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ H
No esquema acima representam-se em simultâneo os diagramas de pressões relativas e o diagrama
de pressões absolutas. Para o cálculo da força exercida na parede vertical utiliza-se o diagrama de
pressões relativas pois o acréscimo de pressão devido a acção da atmosférica também se faz sentir
no exterior da parede.
O valor da força resultante por metro de extensão horizontal da parede será dado pela “área” do
diagrama de pressões relativas (com forma triangular).
F=
1
⋅ρ⋅g⋅H2
2
O ponto de aplicação desta força resultante passa pelo centro de gravidade, ou seja a um terço da
altura H a contar da base.
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70
8.4 Vasos comunicantes
O cálculo do problema de vasos comunicantes aplica directamente o principio da distribuição
hidrostática de pressões. Para a mesma altura de referencia h o valor da pressão terá que ser o
mesmo nas duas coluna de liquido ligadas entre si..
ρ2
H1
H2
ρ1
1
h
2
p1 = p2
ρ1 ⋅ g ⋅ H1 = ρ2 ⋅ g ⋅ H 2
ρ1 H 2
=
ρ2 H1
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71
8.5 Prensa hidráulica
Considere um sistema constituído por dois êmbolos ligados entre si em que a área interior de cada
um é diferente. No sistema representado na figura são aplicadas forças em ambos os êmbolos por
forma a que o sistema esteja em equilíbrio hidrostático.
r
F2
r
F1
Como a pressão do óleo no interior dos êmbolos é idêntica, pode-se escrever.
p1 = p 2 = p
F1 = p ⋅ A1
p=
F2 = p ⋅ A2
F1
A1
p=
F2
A2
F1 F2
=
A1 A2
8.6 Pressão atmosférica
O ar que respiramos está sujeito à pressão de uma atmosfera. Esta pressão é criada pelo peso da
coluna de ar que se encontra acima de nós. Quando nos deslocamos para regiões mais altas, a altura
da coluna de ar diminui pelo que a pressão também diminui.
8.6.1 Barómetro de mercúrio
Os barómetros são instrumentos para medir a pressão atmosférica. O primeiro barómetro ficou
conhecido como o barómetro de mercúrio e assenta no seguinte funcionamento.
Trata-se de um tubo em vidro com 1 m de comprimento fechado numa extremidade. Inicialmente
este tubo é completamente preenchido com mercúrio. A extremidade aberta desse tubo é colocada
dentro de um recipiente também cheio de mercúrio com o cuidado de não entrar ar para o interior
do tubo.
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72
r
p2 = 0
76 cm
r
r
p1 = patm
Ao realizar esta experiência verifica-se que o mercúrio desce dentro do tubo até uma altura de 76
(cm) acima do nível de mercúrio na tina. Como na parte superior do tubo temos uma situação de
vácuo e na superfície da tina temos a pressão atmosférica, então a diferença de pressão é igual à
própria pressão atmosférica e também é igual à pressão exercida pela coluna de mercúrio que se
encontra dento do tubo.
Como o valor da massa volúmica do mercúrio é conhecida.
ρHg = 13,60 g/cm3
ρ Hg =
13,60 / 1000 ⋅ kg
10 − 6 ⋅ m 3
ρHg = 13,60 ⋅ 10 3 kg/m3
E uma atmosfera é igual a.
1 atm = 76 cm Hg
Logo podemos escrever.
1 atm = ρ Hg ⋅ g ⋅ h
1 atm = 13,60 ⋅ 10 3 ⋅ 9,8 ⋅ 0,76
1 atm = 101 293 Pa
1 torr = 1 mm Hg
1 torr = ρ Hg ⋅ g ⋅ h
1 torr = 13,6 ⋅ 10 3 ⋅ 9,8 ⋅ 0,001 = 133,2 Pa
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73
8.7 Lei de Arquimedes
A diminuição de peso de um corpo mergulhado num líquido é igual ao peso de liquido de volume
igual ao volume da parte imersa do corpo. Essa diminuição é na realidade uma força dirigida de
r
baixo para cima que o fluido aplica no corpo e chama-se impulsão I .
r
F1
r
F3
r
Fg
r
F4
h2
r
F2
I = F2 − F1
I = p2 ⋅ A1 − p2 ⋅ A2
I = ( p2 − p1 ) ⋅ A
I = ∆p ⋅ A
∆p = ρ ⋅ g ⋅ A
I = ρ ⋅ g ⋅ ∆h ⋅ A
I = ρ ⋅ g ⋅V
Sendo:
ρ
massa volúmica do fluido
g
aceleração da gravidade
V
volume da parte imersa do corpo
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74
9 Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de
forças distribuídas
9.1 Momento de uma força em relação a um ponto
r
Considere uma força F aplicada num ponto (uma força é representada por um vector que define a
sua intensidade, direcção e sentido). Contudo, o efeito da força depende também do seu ponto de
aplicação.
r
MO
O
r
r
r
F
d
θ
v
A posição do ponto de aplicação é definida pelo vector posição r , com origem no ponto fixo de
referência O.
r
r
O momento de uma força define-se como o produto externo de r por F e traduz o efeito de
r
rotação em torno do ponto O que a força F provoca.
r
r r
MO = r × F
r
De acordo com a definição de produto externo, o vector momento M O é normal ao plano que
r
r
contém os vectores r e F e o seu sentido é dado pela regra da mão direita.
r
A intensidade do vector M O é dada por
M O = r ⋅ F ⋅ sin (θ )
MO = d ⋅ F
M O = r ⋅ Ft
sendo:
r
r
θ
ângulo formado entre os vectores r e F
d
braço do momento
r
Ft
força tangencial
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75
No sistema internacional (SI), onde a força é expressa em Newtons (N) e a distância em metros
(m), o momento de uma força é expresso em Newton.metro (N.m).
9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional
r
FR
z
y
y
x
x
Considere um corpo bidimensional no plano xy . A acção da gravidade actua sobre o corpo como
r
uma força distribuída, cuja resultante será o peso do corpo, aqui designado por Fr .
r
r
Fr = ∑ Fi
As equações dos momentos serão:
∑M
y
= x ⋅ Fr =∑ xi ⋅ Fi
∑M
x
= y ⋅ Fr =∑ yi ⋅ Fi
Quando o número de elementos tende para infinito, pode-se escrever:
Fr = ∫ dF
∑M
y
= ∫ x ⋅ dF
∑M
x
= ∫ y ⋅ dF
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76
9.3 Centro de massa de uma placa homogénea
Como a força gravítica é proporcional à massa.
Fg = m ⋅ g
Para uma placa de espessura constante a massa distribui-se uniformemente pela área da mesma.
m = ρ ⋅ VOL
m = ρ ⋅ A⋅e
Fg = ρ ⋅ A ⋅ e ⋅ g
Substituindo na equação dos momentos.
∑M
y
→ x ⋅ ρ ⋅ A ⋅ e ⋅ g = ∑ ( xi ⋅ Ai ⋅ ρ ⋅ e ⋅ g )
∑M
x
→ y ⋅ ρ ⋅ A ⋅ e ⋅ g = ∑ ( yi ⋅ Ai ⋅ ρ ⋅ e ⋅ g )
Como ρ , e, g são constantes, podemos escrever.
∑M
y
→ x ⋅ A = ∑ ( xi ⋅ Ai )
∑M
x
→ y ⋅ A = ∑ ( yi ⋅ Ai )
Quando o número de elementos tende para infinito.
∑M
y
→ x ⋅ A = ∫ xi ⋅ dA
∑M
x
→ y ⋅ A = ∫ yi ⋅ dA
9.4 Momentos de primeira ordem ou momento estático
Os momentos de primeira ordem ou momentos estáticos em relação aos eixos x e y são dados por.
∑M
y
= x ⋅ A = ∫ xi ⋅ dA
∑M
x
= y ⋅ A = ∫ yi ⋅ dA
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77
y
dA
-x
dA
My =0
x
dA
BB
M BB = 0
-x
x
dA
Sempre que uma figura é simétrica em relação a um eixo, o momento estático em relação a esse
eixo é nulo e o centro de massa da figura pertence a esse eixo.
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78
y
dA
x
y
CG
x
-x
y
Mx = 0
My =0
dA
9.5 Baricentro de uma placa composta
Quando uma placa tem uma geometria irregular, esta quase sempre pode ser dividida em figuras
elementares simples
y
x
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79
y
CG3
y3
y2
y1
CG2
CG1
x1
x2
x3
x
y
CG
y
x
x
As coordenadas do centro de gravidade podem ser obtidas através das seguintes equações,
M y = x ⋅ A = ∑ xi ⋅ Ai
M x = y ⋅ A = ∑ yi ⋅ Ai
Caso exista uma abertura ou furo na placa, a área desse vazio é considerada como negativa.
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80
9.6 Teorema de Pappus-Guldin
Este teorema refere-se a superfícies e corpos de revolução. Superfície de revolução é uma
superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eixo fixo.
Da revolução de um semicírculo resulta uma esfera, de um segmento de recta resulta um cone e de
uma circunferência resulta um toro.
Esfera
Cone
Toro
(Donut)
TEOREMA I
A área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geratriz multiplicada pela
distancia percorrida pelo centroide da curva durante a geração da superfície.
TEOREMA II
O volume de um corpo de revolução é igual à área geratriz multiplicada pela distancia percorrida
pelo centroide da área durante a geração do corpo.
9.7 Cargas distribuídas sobre vigas
Considere uma carga distribuída sobre uma viga.
y
dW = dA
x
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81
A resultante será dada pelo integral da carga distribuída em ordem ao comprimento da viga, ao que
corresponde a “área” do diagrama de distribuição de carga.
L
w = ∫ w ⋅ dx
0
L
w = ∫ dA = A
0
Para uma carga distribuída uniforme (diagrama rectangular) o integral pode ser substituído pela
área de um rectângulo.
y
Fr = 10 ⋅ 5 = 50kN
p = 10kN / m
x
L = 5.00m
No caso de uma carga trapezoidal, esta pode ser considerada como uma carga rectangular com uma
carga triangular por cima.
Fr = 50kN
y
Fr 2 = 25kN
Fr1 = 25kN
p2 = 10kN / m
p1 = 5kN / m
x
x
L = 5.00m
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82
O valor da força resultante é determinado da seguinte forma.
Fr1 =
10 ⋅ 5
= 25kN
2
Fr 2 = 5 ⋅ 5 = 25kN
Fr = Fr1 + Fr2 = 50kN
O ponto de aplicação é determinado com base na equação dos momentos estáticos.
M y = x1 ⋅ Fr1 + x2 ⋅ Fr2 = x ⋅ Fr
M y = 2.50 ⋅ 25 + 3.33 ⋅ 25 = x ⋅ 50
x = 2.915m
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83
10 Eixos principais de inércia, inércias máximas e
mínimas
10.1 Exemplos de aplicação
Considere uma viga num estado de flexão pura. As forças internas na secção são forças
distribuídas, cujos módulos variam linearmente com a distancia ao centroide da secção.
y
A
Tracção
Secção AA’
−k⋅y
x
k⋅y
A’
Compressão
O módulo das forças internas será dado por.
∆F = k ⋅ y ⋅ ∆A
M x = ∑ yi ⋅ ∆Fi
M x = ∑ k ⋅ yi ⋅ ∆Ai
2
M x = k ⋅ ∑ yi ⋅ ∆Ai
2
Quando o numero de elementos em que a secção foi dividida tende para infinito
M x = k ⋅ ∫ y 2 ⋅ dA
M x = k ⋅ Ix
A variável Ix é o momento de segunda ordem ou momento de inércia
Considere um segundo exemplo, uma parede vertical de um reservatório onde existe uma comporta
circular.
Como se demonstra no capitulo Mecânica dos fluidos, a distribuição hidrostática de pressões é
calculada por
p= ρ⋅g⋅y =γ ⋅y
em que:
ρ
massa volúmica da água (kg/m3)
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84
g
aceleração da gravidade (m2/s)
y
profundidade (m)
γ
peso volúmico (N/m3)
p = ρ⋅g⋅y
∆F = p ⋅ ∆A
∆F = γ ⋅ y ⋅ ∆A
A força resultante é calculada por.
Fr = ∑ ∆Fi
Fr = ∑ γ ⋅ y i ⋅ ∆A i
Fr = γ ⋅ ∑ y ⋅ ∆Ai
Fr = γ ⋅ ∫ y ⋅ dA
M x = y ⋅ Fr = ∑ ∆Fi ⋅ yi
M x = ∑ γ ⋅ y i ⋅ ∆Ai ⋅ y i
M x = γ ⋅ ∑ y i ⋅ ∆Ai
2
Quando o número de elementos i tende para infinito
M x = γ ⋅ ∫ y 2 ⋅ dA
M x = γ ⋅ Ix
A variável Ix é o momento de segunda ordem ou momento de inércia
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85
Os momentos de inércia de uma secção são dados por
I x = ∫ y 2 ⋅ dA
I y = ∫ x 2 ⋅ dA
10.2 Momentos de inércia
10.2.1 Momento de inércia de uma superfície rectangular
y
dA = b ⋅ dy
h
x
b
dI x = (b ⋅ dy ) ⋅ y 2
h
I x = ∫ b ⋅ y 2 ⋅ dy
0
1
I x = ⋅ b ⋅ h3
3
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86
10.2.2 Momento de inércia de uma superfície triangular
Considere um triângulo de base b e altura h. Escolhe-se uma faixa diferencial paralela ao eixo x .
y
h-y
h
dA = l ⋅ dy
dy
y
l
x
b
dI y = y 2 ⋅ dA
dA = l ⋅ dy
Das relações entre triângulos semelhantes obtém-se.
l h− y
=
b
h
l = b⋅
h− y
h
dA = b ⋅
h− y
⋅ dy
h
Integrando dI x
I x = ∫ y 2 ⋅ dA
h
Ix = ∫ y2 ⋅b ⋅
0
h
Ix =
(
h− y
⋅ dy
h
)
b
⋅ ∫ h ⋅ y 2 − y 3 ⋅ dy
h 0
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87
h
b  y3 y4 
− 
I x = ⋅ h ⋅
h  3
4 0
Ix =
b ⋅ h3
12
10.3 Momento polar de inércia
O momento polar de inércia de uma superfície é definido por,
J 0 = ∫ r 2 ⋅ dA
y
dA
y
r
r
x
x
r 2 = x2 + y2
(
)
J 0 = ∫ r 2 ⋅ dA = ∫ x 2 + y 2 ⋅ dA
J 0 = ∫ y 2 ⋅ dA + ∫ x 2 ⋅ dA
pelo que se conclui que,
J0 = Ix + I y
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88
10.4 Raio de giração de uma superfície
Considera-se que uma superfície de área A tem um momento de inércia Ix em relação ao eixo x. Se
concentramos esta área numa faixa estreita paralela ao eixo x e se a área A assim concentrada tem o
mesmo momento de inércia Ix, a faixa deve estar colocada a uma distância Kx do eixo x.
I x = kx ⋅ A
2
kx =
Ix
A
kx é denominado o raio de giração ou o raio de inércia. De forma análoga podemos escrever,
I y = k y2 ⋅ A
ky =
Iy
J 0 = k 02 ⋅ A
k0 =
J0
A
A
como,
J0 = Ix + I y
logo,
k 02 = k x2 + k y2
Para um rectângulo podemos escrever,
1
⋅ b ⋅ h3
I
h2
k x2 = x = 3
=
A
b⋅h
3
kx =
h
3
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89
10.5 Teorema dos eixos paralelos
y
dA
y
y’
CG
B
B’
r
r
d
x
I x = ∫ y 2 ⋅ dA = ∫ ( y '+ d ) ⋅ dA
2
I x = ∫ y ' 2 ⋅dA + 2d ⋅ ∫ y '⋅dA + d 2 ⋅ ∫ dA
Nesta última equação o 1º integral representa o momento de inércia em relação ao eixo BB’, o 2º
integral representa o momento de 1ª ordem em relação a BB’ e o 3º integral representa a área da
superfície. Como o eixo BB’ passa pelo centro geométrico da superfície, o momento de 1º ordem é
nulo, logo podemos escrever,
I = I + A⋅d 2
em que I representa o momento de inércia em relação ao eixo BB’.
2
k 2 ⋅ A = k ⋅ A + A⋅ d 2
2
k2 = k + d2
podemos desenvolver o mesmo raciocínio em relação ao momento polar de inércia,
J 0 = J CG + A ⋅ d 2
k 0 = k c2 + d 2
2
Considere o seguinte exemplo
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90
CG
B
B’
A
A’
I = I + A⋅d 2
I AA' = I BB ' + π ⋅ r 2 ⋅ r 2
I AA' =
1
5
⋅π ⋅ r4 + π ⋅ r4 = ⋅π ⋅ r4
4
4
OBSERVAÇÃO
O teorema dos eixos paralelos só pode ser aplicado se um dos eixos passar pelo baricentro da
superfície.
10.6 Momento de inércia de superfícies planas compostas
O momento de inércia de uma superfície plana composta pode ser obtido pela soma dos momentos
de inércia das diferentes áreas que compõem a superfície, calculadas em relação ao mesmo eixo.
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91
EXEMPLO
(2) chapa 150*20 mm
(1) perfil duplo T 380*149 mm
A1 = 107 cm2
I 1x = 24010 cm4
A2 = 15*2 = 30 cm2
I 2x =
1
⋅15 ⋅ 2 3 = 10 cm4
12
AT = 137 cm2
CÁLCULO DO CENTRO DE GRAVIDADE DA SUPERFÍCIE COMPOSTA
AT ⋅ x = A1 ⋅ x1 + A2 ⋅ x2
137 ⋅ x = 107 ⋅ 7.5 + 30 ⋅ 7.5
x = 7.5 cm
AT ⋅ y = A1 ⋅ y1 + A2 ⋅ y 2
137 ⋅ y = 107 ⋅19 + 30 ⋅ 39
y = 23.38 cm
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92
39
(2) chapa 150*20 mm
CG
(1) perfil duplo T 380*149 mm
19
7.5
TRANSFERIR OS MOMENTOS DE INÉRCIA PARA O CG DA FIGURA COMPOSTA
I = I + A⋅d 2
I1x = 24010 + 107 ⋅ (23.38 − 19)
2
I1x = 26063 cm4
I 2 x = 10 + 30 ⋅ (39 − 23.38)
2
I 2 x = 7329.53 cm4
Como os momentos de inércia foram calculados em relação ao mesmo eixo, podem ser somados.
I Tx = I1x + I 2 x = 33392.53 cm4
O raio de giração é calculado por,
kx =
Ix
33392.53
=
= 15.61 cm
A
137
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93
10.7 Momentos de inércia de figuras geométricas comuns
y
I x' =
1
⋅ b ⋅ h3
12
I y' =
1 3
⋅b ⋅ h
12
Ix =
1
⋅ b ⋅ h3
3
Iy =
1 3
⋅b ⋅h
3
y’
CG
h
x’
J CG =
(
1
⋅ b ⋅ h ⋅ b2 + h2
12
)
x
b
y
I x' =
Ix =
1
⋅ b ⋅ h3
36
1
⋅ b ⋅ h3
12
h
CG
x’
x
b
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94
I x' = I y' =
y’
J CG =
1
⋅π ⋅ r 4
4
1
⋅π ⋅ r 4
2
CG
x’
r
I x' = I y' =
y’
J CG =
r
1
⋅π ⋅ r 4
8
1
⋅π ⋅ r 4
4
CG
0
x’
I x' = I y' =
y’
J0 =
1
⋅π ⋅ r 4
16
1
⋅π ⋅ r 4
8
r
CG
0
x’
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95
I x' =
1
⋅ π ⋅ a ⋅ b3
4
I y' =
1
⋅π ⋅ a3 ⋅ b
4
y’
J CG =
b
(
1
⋅π ⋅ a ⋅ b ⋅ a2 + b2
4
)
CG
x’
a
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96
11 Produto de inércia e círculo de Mohr
11.1 Produto de inércia
O produto de inércia de uma superfície plana é definido por,
Pxy = ∫ x ⋅ y ⋅ dA
y’
y
dA
y’
CG
y
x’
x’
x
x
11.2 Extensão do teorema dos eixos paralelos
Pxy = ∫ x ⋅ y ⋅ dA
(
)(
)
Pxy = ∫ x'+ x ⋅ y '+ y ⋅ dA
Pxy = ∫ ( x'⋅ y ') ⋅ dA + y ⋅ ∫ x' ⋅ dA + x ⋅ ∫ y '⋅dA + x ⋅ y ⋅ ∫ dA
O 2º e o 3º integral representam os momentos estáticos em relação ao baricentro da secção e
reduzem-se a zero, pelo que podemos escrever,
Pxy = P + x ⋅ y ⋅ A
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(2)
97
11.3 Eixos e momentos principais de inércia
Recapitulando, podemos dizer que o momento de inércia em ordem ao eixo x, ao eixo y e o produto
de inércia são dados por,
I x = ∫ y 2 ⋅ dA
I y = ∫ x 2 ⋅ dA
Pxy = ∫ x ⋅ y ⋅ dA
O objectivo da dedução que se segue é determinar os momentos e produto de inércia Iu, Iv e Puv em
relação a novos eixos u,v obtidos por rotação dos eixos originais em torno da origem de um ângulo
θ.
v
y
dA
y
x’
y’
u
x’
θ
x
x
u = x ⋅ cos(θ ) + y ⋅ sin (θ )
v = y ⋅ cos(θ ) − x ⋅ sin (θ )
(
)
I u = ∫ v 2 ⋅ dA = ∫ y ⋅ cos(θ ) − x ⋅ sin (θ ) ⋅ dA
2
I u = cos 2 (θ ) ⋅ ∫ y 2 ⋅ dA − 2 ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) ⋅ ∫ x ⋅ y ⋅ dA + sin 2 (θ ) ⋅ ∫ x 2 ⋅ dA
I u = I x ⋅ cos 2 (θ ) − 2 ⋅ Pxy ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) + I y ⋅ sin 2 (θ )
De forma semelhante obtemos as expressões para I v e Puv
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98
I v = I x ⋅ sin 2 (θ ) − 2 ⋅ Pxy ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) + I y ⋅ cos 2 (θ )
(
)
Puv = I x ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ ) + Pxy ⋅ cos 2 (θ ) − sin 2 (θ ) ⋅ − I y ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ )
Recorrendo às seguintes relações trigonométricas
sin (2θ ) = 2 ⋅ sin (θ ) ⋅ cos(θ )
cos(2θ ) = cos 2 (θ ) − sin 2 (θ )
cos 2 (θ ) =
1 + cos(2θ )
2
sin 2 (θ ) =
1 − cos(2θ )
2
É possível escrever
Iu =
Iv =
Puv =
Ix + Iy
2
Ix + Iy
2
Ix − Iy
2
+
−
Ix − Iy
2
Ix − Iy
2
⋅ cos(2θ ) − Pxy ⋅ sin (2θ )
(4)
⋅ cos(2θ ) + Pxy ⋅ sin (2θ )
(1)
⋅ sin (2θ ) + Pxy ⋅ cos(2θ )
(5)
Somando (1) com (2), obtém-se
Iu + Iv = I x + I y
(3)
Os dois membros desta equação são iguais ao momento polar de inércia J o . As equações (1) e (3)
são as equações paramétricas de uma circunferência.
Isto significa que se escolhermos um par de eixos cartesianos e tomarmos um ponto M com
coordenadas I u , Pux para qualquer valor de θ , o lugar geométrico de todos os pontos será uma
circunferência.
Se eliminarmos θ das equações (4) e (5), obtém-se
I + Iy

 I u − x
2


 I − Iy
 + Puv2 =  x

 2
2
2

 + Pxy2

Se considerarmos
I med =
Ix + Iy
2
 Ix − I y
R = 
 2
2

 + Pxy2

escrevemos
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99
(I u − I med )2 + Puv2 = R 2
Esta equação traduz uma circunferência de raio R e centro no ponto C com as coordenadas (Imed, 0).
Os pontos A e B onde a circunferência intersecta o eixo horizontal correspondem aos valores
máximo I max e mínimo I min do momento de inércia. Os dois pontos correspondem a um valor
nulo do produto de inércia Puv .
Os valores θ m do parâmetro θ correspondem aos pontos A e B e podem ser obtidos pela atribuição
de Puv = 0 na equação (3). Desta forma obtém-se.
tan (2θ m ) = −
2 ⋅ Pxy
Ix − Iy
Px 'y '
M
Px 'y '
C
I min
I med
I x ' I max
I x'
I min = I med − R
I max = I med + R
substituindo
I max, min =
Ix + Iy
2
 Ix − Iy
± 
 2
2

 + Pxy2

As propriedades estabelecidas são válidas para qualquer ponto, dentro ou fora da secção. Se o
centro dos eixos de inércia coincidir com o baricentro da secção e a orientação dos eixos for a de
I max e I min , temos os eixos centrais de inércia da secção.
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100
11.4 Círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia
O círculo de Mohr pode ser utilizado para determinar graficamente os eixos principais de inércia,
os momentos principais de inércia ou os momentos de inércia e o produto de inércia da superfície
em relação a qualquer outro par de eixos ortogonais u e v.
Para exemplificar, considere a seguinte secção e os respectivos sistemas de eixos representados.
y
b
y'
x'
θ
x
θm
a
E o respectivo circulo de Mohr.
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101
P
X’
Px ' y '
X
Pxy
2θ
Iy
I y'
I x'
I min
− Pxy
2θ m
Ix
I max
I
Y
− Px ' y '
Y’
EXEMPLO - problema resolvido 9.7 (Beer, 1991)
Para a secção representada, foram calculados os momentos de inércia em relação aos eixos x e y.
I x = 10.38 cm4
I y = 6.97 cm4
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102
y
3 cm
0.5 cm
O
x
4 cm
0.5 cm
0.5 cm
3 cm
1) Determine os eixos principais da secção em relação ao ponto O.
2) Calcule os valores dos momentos principais de inércia da secção em relação a O.
CÁLCULO DO PRODUTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AOS EIXOS x,y
y
3 cm
O1
0.5 cm
1.25 cm
1.75 cm
O2
1.75 cm
x
4 cm
0.5 cm
O3
1.25 cm
0.5 cm
3 cm
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103
Se utilizarmos o teorema dos eixos paralelos
Pxy = Px ' y ' + x' ⋅ y ' ⋅ A
Rectângulo
Área
x'
y'
x'⋅ y '⋅ A
(cm2)
(cm)
(cm)
(cm4)
(1)
1.50
-1.25
1.75
-3.38
(2)
1.50
0.00
0.00
0.00
(3)
1.50
1.25
-1.75
-3.38
Soma
-6.56
Pxy = ∑ x' ⋅ y ' ⋅ A = -6.56 cm4
CÁLCULO DOS EIXOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
Como I x ' , I y ' e Px 'y ' são conhecidos
tan (2θ m ) = −
2 ⋅ Px ' y '
I x' − I i'
= −
2 ⋅ (− 6.56 )
= 3.85
10.38 − 6.97
arctan (3.85) = 75.43º = 2 ⋅ θ m
θ m = 37.72º e θ m = 37.72º +90º = 127.71º
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104
b(min)
y
3 cm
0.5 cm
a(max)
θ m = 127.7º
θ m = 37.7º
O
x
4 cm
0.5 cm
0.5 cm
3 cm
MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA
I max, min =
Ix + Iy
2
 Ix − Iy
± 
 2
2

 + Pxy2

10.38 + 6.97
 10.38 − 6.97 
2
=
± 
 + (− 6.56 )
2
2


2
I max, min
I max = 15.54 cm4
I min = 1.90 cm4
RESOLUÇÃO DO MESMO PROBLEMA COM BASE NO CÍRCULO DE MOHR
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Y
Pxy
Iy
I min
C
D
Ix
E
I max
- Pxy
X
X (I x , Pxy ) ≡ (10.38,−6.56 )
Y (I x , Pxy ) ≡ (6.97,+6.56 )
 I x + I y   10.38 + 6.97 
C 
,0  ≡ 
,0  ≡ (8.68,0 )
2
2




R=
(CD )2 + (DX )2
tan (2θ m ) =
=
(10.38 − 8.68)2 + (− 6.56)2
= 6.78 cm4
DX 6.56
=
= 3.86
CD 1.70
2θ m = 75.47 º
θ m = 37.7º e θ m = 37.7 º +90º = 127.7º
I max = 8.68 + 6.78 = 15.46 cm4
I min = 8.68 − 6.78 = 1.90 cm4
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Referencias Bibliográficas
Almeida, G. "SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI). GRANDEZAS E UNIDADES
(SI)". Plátano Editora.
Beer, F.; Johnston, E. "MECÂNICA VECTORIAL PARA ENGENHEIROS - ESTÁTICA".
McGraw Hill.
Deus, J.; Pimenta, M.; Noronha, A.; Penã, T. (2000). "INTRODUÇÃO À FÍSICA". McGraw Hill.
Giancoli, Douglas C.; (1998). "PHYSICS". Prentice Hall.
Gispert, C. ."FÍSICA E QUIMICA". Enciclopédia Audio Visual Educativa.
Indias, M. (1992). "CURSO DE FÍSICA". McGraw Hill.
James, M. (1985). "ESTÁTICA". Livros Técnicos e Científicos Editora.
Merian, J. "ESTÁTICA". Livros Técnicos e Científicos Editora.
Noronha, A; Brogueira, P. (1994). "EXERCICIOS DE FÍSICA". McGraw Hill.
Resnik, R.; Halliday, D. (1984). "FÍSICA". Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
Serway, R. (1982). "PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS WITH MODERN PHYSICS"
Young, H.; Freedman, R. (1996). "UNIVERSITY PHYSICS". Addison-Wesley Publishing
Company Inc.
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