A Escola e o Relógio de Sol Resumo - DM

Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
A Escola e o Relógio de Sol
Resumo
Autora: Raquel Duarte de Souza
Orientador: Prof. Dr. José Antônio Salvador
Disciplina: Trabalho de Graduação A e B
Professor responsável: Prof. Dr. Artur Darezzo Filho
São Carlos, Dezembro de 2003.
As tecnologias de precisão desenvolvidas atualmente fazem com que
o ser humano esqueça de observar os fenômenos naturais e deixe de questionar o
motivo pelo qual eles acontecem. Questões simples estão sendo esquecidas, como
por exemplo: porquê no inverno escurece mais cedo que no verão, porquê a Terra
gira e nós morando nela não percebemos, e muitas outras. Entretanto a construção de
um relógio de Sol pode trazer, aos alunos, inúmeras dessas questões em todas as
séries e em todas disciplinas do Ensino Fundamental e Médio.
Este estudo pode trazer um conhecimento efetivo e de significado
próprio ao aluno e ao professor. Busca a interdisciplinaridade e a contextualização do
aprendizado em diversas disciplinas, concordando com os Parâmetros Curriculares
Nacionais (PCN) e Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM).
Podendo formar um cidadão no sentido universal e profissional.
Nosso objetivo é o estudo, a compreensão e a construção de um
relógio solar, integrando todas as disciplinas do Ensino Fundamental e Médio.
Esperamos motivar os alunos a aprenderem ativamente sendo responsáveis por tal
aprendizado, tornando-se cidadãos críticos e conscientes.
O trabalho foi desenvolvido na escola “Educativa - Instituto de
Educação e Cultura”, de São Carlos. Durante todo o ano letivo de 2003, foi-se
construindo um relógio solar na escola com a participação dos professores e alunos
das várias séries em todos os passos do processo.
A idéia é não centrar os alunos apenas em aula expositiva e material
didático escrito e sim trabalhar com materiais concretos fazendo com que eles
vivenciem ativamente cada experiência de aprendizado.
Para elaborar o projeto foram estudados alguns conceitos de
astronomia em seguida elaboradas algumas atividades para a construção de alguns
tipos de relógio solar.
Cada atividade elaborada foi sugerida aos professores
responsáveis pela turma em que a atividade seria aplicada. O objetivo era fazer com
que o professor modifica-se a atividade para que ela fosse adequada aos seus alunos.
Como poucos professores sugeriram pequenas modificações as mesmas atividades
foram propostas a turmas diferentes.
A seguir os estudo de astronomia.
O sistema solar surgiu a partir de reações termonucleares em uma
nuvem de gás e poeira cósmica, há aproximadamente cinco bilhões de anos atrás.
Ele é constituído pelo Sol, que é uma estrela central e seus nove planetas. Por ordem
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de distância do Sol estão: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte (de formação rochosa),
Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão (de formação gasosa). Além deles, o
Sistema Solar também é constituído pelos satélites dos planetas, por numerosos
cometas, asteróides, meteoróides e pelo espaço interplanetário.
Sistema Solar.
Nas pesquisas realizada foi encontrado no site www.zenite.nu a
disposição do sistema solar em um campo de futebol. Veja a figura abaixo.
Disposição dos planetas no campo de Futebol.
Sendo o futebol um jogo muito popular acreditamos que possa
despertar interesse ou curiosidade nas pessoas.
Considerando o formato do campo de futebol retangular e supondo
que seu comprimento seja x,
em metros. A distância do Sol até Plutão será
equivalente a x. E o posicionamento dos outros planetas será dado pela seguinte
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função:
y=
Distância do Planeta ao Sol em U.A.
*x,
Distância de Plutão ao Sol em U.A.
onde :
y = Posição do planeta na reta
x = Comprimento do campo de futebol
U.A.= 1 Unidade Astronômica =1,5 x 10 8 km
É possível relacionar a disposição do sistema solar com diversos
tópicos de matemática elementar, por exemplo: razão e proporção, regra de três
simples, notação científica, o número π, equação de uma reta e em geometria: área e
comprimento de circunferência, etc.
Estudamos também no sistema solar dois movimentos realizados pelo
planeta Terra. O movimento de rotação onde a Terra gira ao redor do seu eixo
imaginário, no sentido Oeste para Leste ou anti-horário. Este movimento causa a
sucessão dos dias e das noites. E o movimento de translação, em torno do Sol,
também no sentido de Oeste para Leste. Juntamente com a inclinação do eixo
imaginário este movimento causa as estações do ano. A quantidade de calor recebida
em um mesmo ponto da superfície da Terra varia de acordo com a época do ano.
conforme figura abaixo.
As estações do ano.
Quando a Terra está no lado esquerdo os raios solares incidem com
menor inclinação sobre o hemisfério sul do que sobre o hemisfério norte. Em virtude
disso, cada metro quadrado da superfície no hemisfério sul recebe mais radiação
solar do que a mesma área no hemisfério norte. Assim, no hemisfério sul é verão,
enquanto no hemisfério norte é inverno. Seis meses após, a Terra se deslocou para o
lado direito. Nesta situação ocorre o inverso, no hemisfério norte os raios solares
incidem com menor inclinação do que no hemisfério sul. Portanto, temos o verão no
hemisfério norte e inverno no hemisfério sul. A primavera e o outono ocorrem nas
posições intermediárias.
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Os eventos que determinam as estações do ano, solstício e equinócio,
são dados pela inclinação do eixo de rotação terrestre e seu deslocamento anual
O Sol desloca-se regularmente ao longo do horizonte entre dois
extremos máximos. A regularidade desse deslocamento permitiu ao homem definir
um intervalo de tempo, o ano. O intervalo de um ano corresponde ao Sol sair de sua
posição máxima a esquerda passar pelo ponto médio e atingir o extremo máximo a
direita para então retornar ao ponto médio e atingir finalmente o ponto máximo a
esquerda. Estes pontos de extremos são o Solstício e o Equinócio. Veja na figura
abaixo.
Trajetória aparente do Sol durante um ano.
A trajetória aparente do Sol é diferente para cada ponto da superfície
terrestre. Próximo aos pólos (Caso (2)) a trajetória aparente do Sol são círculos
paralelos ao horizonte. Nestes locais ocorre o fenômeno chamado Sol da meia-noite,
são quase seis meses de iluminação solar e seis meses sem iluminação solar. Já
próximo à Linha do Equador (Caso (3)) temos que o Sol fica aproximadamente duas
vezes ao ano perpendicular ao plano do horizonte. E entre os trópicos de Câncer e
Capricórnio (Caso (1)) teremos uma trajetória solar inclinada em relação ao
horizonte e apenas uma vez ao ano perpendicular em relação ao horizonte.
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Caso (1)
Caso (2)
Caso (3)
Para localizar qualquer ponto sobre a superfície terrestre precisamos
conhecer suas coordenadas geográficas. Estas coordenadas são dadas por linhas
imaginárias chamadas paralelos e meridianos.
Os paralelos são assim chamados porque nunca se cruzam, são planos
paralelos ao Equador, eles determinam a latitude que é a distância em graus de um
lugar qualquer da superfície terrestre até a linha do equador. Na linha do Equador
temos latitude 0º. A latitude varia entre 0º e 90º para o Norte e para o Sul.
Os meridianos ligam os pólos da Terra pela menor distância em sua
superfície e determinam a longitude. O Meridiano de Greenwich que passa sobre um
observatório astronômico localizado na cidade de Greenwich tem 0° de longitude. A
longitude varia de 0° a 180° para leste e para oeste.
Nos primórdios da história o homem sentiu a necessidade de mensurar
o tempo. Relacionando o tempo com o movimento aparente do Sol, um dos primeiros
instrumentos utilizados para medir o tempo foi um relógio solar.
A diferença entre um relógio solar e um relógio mecânico é que os
relógios mecânicos, devido ao cálculo de suas engrenagens, marcam um tempo
sempre regular, ou seja, o tempo médio, que é a média anual de todas as variações do
tempo solar. Nestes relógios os dias têm sempre o mesmo número de horas durante
todo o ano. Os relógios mecânicos medem o dia solar médio, que é o tempo em que a
Terra levaria para dar uma volta sobre seu eixo, tomando como ponto de referência o
Sol, caso seu movimento de translação ao redor desse astro fosse rigorosamente
uniforme em todas as épocas do ano.
O relógio solar registra as horas do dia de acordo com o movimento
aparente do Sol, através da sombra de uma haste, produzida pelos raios solares. Este
relógio registra as horas baseado no dia solar verdadeiro. Dia solar verdadeiro é o
tempo que a Terra leva para fazer o movimento de rotação.
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O ponteiro de um relógio solar é chamado de gnomon, nome dado
pelos gregos, significa ponteiro, indicador. O gnomon deve estar apontado para o
Pólo Sul, no nosso hemisfério. Pois o Sol tem uma trajetória aparente em torno deste
eixo. O gnomon deve fazer um ângulo com o plano horizontal igual a latitude do
local onde o relógio solar será instalado. A latitude local pode ser encontrada em
mapas geográficos ou calculada através da observação de um astro.
Vista lateral do relógio equatorial.
O mostrador é colocado perpendicularmente ao gnomon, assim ele
fica situado em um plano paralelo ao plano do Equador.
Como a Terra gira 360 graus em um período de aproximadamente 24
horas, a cada hora ela gira 15 graus. Enquanto a Terra gira, a sombra do gnômon
durante o dia também se move, 15 graus por hora.
Para construir o mostrador basta traçar um diâmetro do disco. Um dos
lados é referente ao período noturno e o outro ao período de iluminação solar. O
último lado deve ser dividido em 12 ângulos de 15 graus cada um. Cada 15 graus
corresponderá a uma hora exata. Veja nas figuras abaixo a disposição dos números
no mostrador e uma foto de um relógio solar de montagem equatorial.
Vista frontal do marcador.
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Relógio solar montagem equatorial.
Os relógios solares podem ser fixos ou portáteis e existem diversos
modelos. A seguir serão apresentados duas outras montagens a horizontal e a
vertical.
Em um relógio solar de montagem horizontal o mostrador é horizontal
e o gnômon faz um ângulo com o mostrador igual ao da latitude do lugar onde está
instalado.
Relógio solar montagem horizontal.
No relógio solar de montagem vertical o mostrador é vertical.
Podendo ser orientado para o sul, ou para o norte. O gnômon faz um ângulo com o
mostrador igual ao da co-latitude do lugar onde será instalado o relógio. A colatitude é o complemento da latitude:
co-latitude = 90º - latitude local
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Relógio solar montagem vertical.
Com devemos apontar o gnomon para a direção sul precisamos
encontrar o meridiano local. Meridiano local é o meridiano que passa exatamente
pelo ponto da superfície terrestre em que estamos localizados. Para encontrá-lo
podemos realizar a seguinte experiência.
Uma vareta deve ser fincada verticalmente no chão, em direção ao
centro da Terra. A sombra da estaca deve ser observada e desenhada, e em seguida
traçada uma circunferência de raio igual a sombra desenhada anteriormente. Esta
seqüência deve ser repetida várias vezes durante um dia. Algumas circunferências
traçadas no período da tarde terão o mesmo raio que outras traçadas no período da
manhã. Traçando a bissetriz dos raios destas circunferências encontramos o
meridiano local, que é a projeção do eixo polar da Terra nos dando a direção Norte e
Sul no ponto da superfície terrestre onde estamos localizados.
Sombras coincidentes e o meridiano local.
O gnomon deve estar inclinado segundo a latitude local, encontrada
em mapas geográficos, por exemplo.
Um relógio solar de montagem equatorial pode ser construído
utilizando os seguintes materiais: uma garrafa do tipo pet, barbante, folha e lápis.
Meça o tamanho da circunferência da garrafa e divida por 24, encontrando a medida
h. Tome a medida de metade da circunferência da garrafa e acrescente um
centímetro. Construa um retângulo de modo que um dos lados tenha a medida
anterior. Faça 13 marcas no retângulo espaçadas entre si com a medida h. Escreva os
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números de 6 às 18 sobre as marcas feitas no retângulo, da esquerda para direita para
representar as horas. Cole-o na garrafa com as marcas voltadas para dentro. Perfure o
fundo da garrafa bem no centro. E também o centro da tampa. Faça um furo no
centro da tampa e do fundo da garrafa. Passe um barbante pelo furos e prenda-o de
forma que fique esticado. Coloque a tampa da garrafa em direção ao pólo elevado e
eleve a garrafa de forma que o barbante faça um ângulo com o plano horizontal igual
a latitude local. Para a cidade de São Carlos a latitude é de 22º, apoiando a garrafa
em um sabão de pedra, por exemplo, teremos aproximadamente este ângulo.Veja na
figura abaixo como fica o relógio construído.
Relógio solar de garrafa.
Um relógio solar de montagem horizontal pode ser construído a partir
da planificação de um relógio solar de montagem equatorial, utilizando a
trigonometria. Observe na figura abaixo este esquema matemático de um relógio
solar de montagem equatorial.
O nosso objetivo consiste em planificar o ângulo w, ou seja descobrir
qual o valor do ângulo theta para cada ângulo w do mostrador. Como cada local da
superfície terrestre tem uma latitude (ângulo phi) deixaremos os ângulos phi e w em
função de theta. Encontrando as relações trigonométricas nos triângulos do tetraedro
das figura encontraremos a seguinte relação:
theta = arctg (sen phi . tg w) .
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Construa um retângulo e um segmento que passe pelo ponto médio de
um dos lados e pelo centro. Este segmento corresponderá a 12 horas. Considerando
w=15º na relação acima encontraremos os ângulos correspondentes a 11 e 13 horas.
Então basta construir um ângulo a partir do segmento correspondente a 12 horas.
Considerando w=30º teremos os ângulos correspondentes a 10 e 14 horas,
considerando sempre ângulos múltiplos de 15º encontramos todos os ângulos do
mostrador equatorial planificados. O mostrador será semelhante ao da figura baixo.
Mostrador horizontal.
A latitude de ponto da superfície terrestre pode ser encontrada através
da observação de um astro e alguns cálculos. Para encontrar a latitude é preciso
definir anteriormente alguns conceitos de astronomia como esfera celeste,
coordenadas celestes, posição geográfica, zênite e distância zenital.
Esfera celeste é uma esfera, concêntrica com a Terra, onde os astros
estão fixados. Para nos localizarmos na esfera celeste usaremos as coordenadas
celestes, que são: ascensão reta (equivalente a longitude terrestre) e declinação
(equivalente a latitude terrestre).
Suponha que em um determinado instante traçamos um segmento de
reta ligando o centro de um astro ao centro da Terra. O ponto onde este segmento de
reta "fura" a superfície da Terra é chamado de Posição Geográfica do astro, ou
simplesmente PG. Um observador colocado sobre a PG de um astro verá este astro
diretamente na vertical, sobre a sua cabeça (no zênite).
Zênite é o ponto da esfera celeste que está situado na vertical do lugar,
sobre a posição do navegador. Distância zenital é a distância entre a PG de um astro
e o zênite do observador.
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Para encontrar a latitude consideramos dois casos, o caso em que o
astro está fora do zênite do observador, onde a latitude é dada pela declinação
somada com a distância zenital. E o caso em que o astro está sobre o zênite do
observador, onde a latitude é igual a declinação, conforme as figuras abaixo.
PS
Z
Dist. Zenital
PS
Z
Declinação
Latitude
Latitude
Equador
Celeste
Sol localizado fora do zênite do observador e no zênite do observador.
Algumas atividades elaboradas para a construção de um relógio solar
foram sugeridas ao professores da escola Educativa de São Carlos, juntamente com
um material de referência para estudo. Todas as atividades poderiam ser modificadas
pelos professores de acordo com a realidade de sua turma. Como nenhuma atividade
foi modificada, as mesmas atividades foram propostas a turmas diferentes.
Na terceira série do Ensino Fundamental, os alunos brincaram de jogo
da sombra, que é um pega-pega, onde para pegar você deve pisar na sombra do outro
colega. Em seguida os alunos fizeram o registro da observação do gnomon no
começo e no final da tarde. Estas atividades tinham como objetivo fazer com que os
alunos percebessem o movimento aparente do Sol. Os pontos cardeais foram
ensinados aos alunos pela professora e para fixar este conceito os alunos fizeram um
mapa para a caça ao tesouro, utilizando os pontos cardeais.
As crianças, registro das observações do gnomon e mapa com pontos cardeais.
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No segundo ano do Ensino Médio os alunos com o auxílio da
trigonometria planificaram o mostrador equatorial.
Alunos do segundo ano do Ensino Médio.
Este trabalho de graduação deu-me a oportunidade de ter um contato
maior com alunos, professores e o dia a dia de uma escola.
A idéia inicial era fazer com que os professores estudassem e
aplicassem as atividades em suas turmas, juntamente com os professores de outras
disciplinas criando a interdisciplinaridade. Mas infelizmente apenas os professores
de matemática participaram do projeto e a interdisciplinaridade aconteceu pois nas
aulas de matemática foram tratados temas de astronomia e geografia.
No ensino fundamental conseguimos atingir nosso objetivo os alunos
se interessaram e se envolveram nas aulas demonstrando prazer em aprender. Já no
ensino médio isso não aconteceu. Serão necessárias algumas modificações nesta área
para que os alunos se envolvam.
Neste trabalho houve uma auto-afirmação, tive certeza que sim, eu
quero ser professora e se Deus quiser a melhor professora do mundo!
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