a) { 3 b) { 1 d) {3·n3+1 e) { f) { g) {ln n i) { n CONCLUSÃO (a

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
ASSUNTO: SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
1. Determine se as sequências são convergentes ou divergentes:
3
a) { n−1
};
b) { √1n };
5−n
c) { 2+3·n
};
3
3·n +1
d) { 2·n
2 +n };
e) { en };
n
√
√
f) { n + 1 − n};
g) { lnn2n };
h) {tanh n};
n
· sin n·π
i) { n+1
2 };
j) {n · rn }, onde |r| < 1;
CONCLUSÃO
(a) Como
3
=0
x→+∞ x − 1
3
temos que a sequência { n−1
} é convergente;
lim
(c) Calculando o limite do termo geral da sequência, obtemos:
5−x
−1 −1
= lim
=
.
x→+∞ 2 + 3 · x
x→+∞ 3
3
Como o limite do termo geral da sequência existe, a sequência é
lim
convergente.
(d) Calculando o limite:
3 · x3 + 1
9 · x2
lim
= lim
= +∞.
x→+∞ 2 · x2 + x
x→+∞ 4 · n
3
3·n +1
Portanto, a sequência { 2·n
2 +n } é divergente.
1
2
(h) Considere tanh x =
sinh x
cosh x
=
ex −e−x
ex +e−x ,
lim tanh x =
x→+∞
=
=
=
logo
ex − e−x
lim
x→+∞ ex + e−x
ex · (1 − e−2·x )
ex · (1 + e−2·x )
1
1 − e2·x
lim
1
x→+∞ 1 + 2·x
e
1
Portanto, a sequência é convergente.
(j) Como |r| < 1, temos:
• Para r positivo:
lim x · rx =
x→+∞
=
lim
x
x→+∞ 1x
r
lim
1
r
x→+∞ − ln
rx
= 0
• Para r = 0, a sequência é {0}e lim+∞ 0 = 0. Logo, a sequência
é convergente e o n-ésimo elemento converge para zero.
• Para r negativo, basta considerarmos (−1)n · (−r)n . Assim,
temos o produto de uma sequência limitada (−1 elevado a "n")
por outra que converge para zero (pois −r é positivo e pode ser
usado o resultado da primeira parte).
concluímos que a sequência é convergente.
2. Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona:
a) { 3·n−1
4·n+5 };
b) {sin n · π};
n
2
c) { 1+2
n };
d) { 3n!n }
1
e) { n+sin
n2 }
3
CONCLUSÃO
(a) Observando seus primeiros termos, vemos que a sequência { 3·n−1
4·n+5 }
tende a ser crescente:
3·n−1
3 · (n + 1)
≤
4·n+5
4 · (n + 1) + 5
3·n−1 3·n+2
⇐⇒
≤
4·n+5
4·n+9
⇐⇒ (3 · n − 1)(4 · n + 9) ≤ (3 · n + 2)(4 · n + 5)
an ≤ an+1 ⇐⇒
⇐⇒ 12 · n2 + 23 · n − 9 ≤ 12 · n2 + 23 · n + 10
Portanto { 3·n−1
4·n+5 } é crescente.
(d) Observe os termos da sequência { 3n!n }:
1 2 6 24 120
, , , ,
.
3 9 27 81 243
A sequência é não-monótona, pois a1 > a2 , a2 = a3 e a3 < a4 .
3. Verique se as sequências dadas são monótonas e limitadas e conclua
se elas são convergente ou divergentes. Utilize o seguinte teorema:
Teorema 0.1 Uma seqUência monótona limitada é convergente.
n
5
(a) { 1+5
2·n };
(b) { 2nn };
CONCLUSÃO
n
5
(a) Observando os primeiros termos da sequência { 1+5
2·n }
5 252 125
,
,
,
26 626 15626
vemos que a ela tende a ser decrescente:
5n
5n+1
≥
1 + 52·n
1 + 52·n+2
⇐⇒ 1 + 52·n+2 ≥ 5 · (1 + 52·n )
an ≥ an+1 ⇐⇒
⇐⇒ 52·n · 5 ≥ 52·n
4
n
5
Um limitante superior de { 1+5
2·n } é
5
26
e um limitante inferior é
dado por:
5x
5x
lim
= lim x 1
= lim
x→+∞ 1 + 52·x
x→+∞ 5 · ( x + 5x )
x→+∞
5
1
5x
1
= 0.
+ 5x
n
5
Logo, pelo Teorema anterior, a sequência { 1+5
2·n } é convergente.
BIBLIOGRAFIA
1. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria analítica. Editora Harbra Ltda, São Paulo, SP. Volumes II.
2. ÁVILA, Geraldo S.S. Cálculo 3: Funções de várias variáveis.3a Ed.
Vol.02 LTC- Livros Técnicos e Cientícos S.A, Rio de Janeiro, 1983
Esta lista foi elaborada e confeccionada
pela professora Liliane Xavier Neves (DCET - UESC).