Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Microeconomia 1 Professor Rodrigo Nobre Fernandez Lista 2 - Soluções 1) Derive as agregações de Engel e Cournot para o caso de n bens. Reescreva essas agregações em termos de elasticidades.Interprete (por exemplo, é possível que todos os bens que um indivíduo consuma sejam bens inferiores? Por quê? Se um indivíduo consome n bens, no máximo quantos bens podem ser inferiores? S: Derivando a relação de “adding-up”, p1 x1 (p, m) + p2 x2 (p, m) + ... + pn xn (p, m) = m com relação à renda, obtermos a agregação de Engel: p1 ∂x2 (p, m) ∂xn (p, m) ∂x1 (p, m) + p2 + ... + pn =1 ∂m ∂m ∂m Multiplicando cada termo do lado esquerdo da equação por p 1 x1 m xi m xi m e rearranjando os termos obtemos: m ∂x1 (p, m) p2 x2 m ∂x2 (p, m) pn xn m ∂xn (p, m) + + ... + =1 x1 ∂m m x2 ∂m m xn ∂m Logo a agregação de Engel escrita em termos de elasticidades: s1 η1 + s2 η2 + ... + sn ηn = 1 onde si = pi xi m é a fração da renda gasta com o bem i e ηi é a elasticidade renda do bem i. Podemos concluir que: 1. Todas as elasticidades renda podem ser iguais a um. Nesse caso, um aumento da renda a um aumento na mesma proporção do consumo de todos os bens. 2. Se ηi > 1 para algum bem i, então deve existir algum bem j diferente do bem i tal que ηj < 1: se a fração da renda consumida do bem i aumentou mais proporcionalmente à renda, o consumo de algum outro bem j terá que aumentar menos que proporcionalmente à renda. 3. No máximo n-1 bens podem ser inferiores. Se todos os bens são inferiores, então a elasticidade renda será negativa para todo bem i. Como si ≥ 0 , então se todas as elasticidades renda forem negativas, a igualdade acima não será verificada. Se derivarmos a relação de “adding-up” em relação ao preço do bem i, obtemos a agregação de Cournot: xi (p, m) + n X pj j=1 Multiplicando a expressão por pi m, ∂xj (p, m) =0 ∂m obtemos a agregação de Cournot em termos de elasticidades: n pi xi (p, m) X pi ∂xj (p, m) + pj =0 m m ∂m j=1 Reescrevendo a expressão acima (multiplique o somatório por n xj xj ): pi xi (p, m) X xj pj pi ∂xj (p, m) + =0 m m xj ∂m j=1 1 Em termos de elasticidades: si + n X sj εM ji = 0 j=1 Rearranjando os termos da última equação, obtemos: n X si 1 + εM ji = − sj εM ji (1) j=1,j6=1 Se o bem i é elástico (inelástico), então εM ii < −1, e o lado esquerdo de (1) é negativo (positivo). O lado direito de (1) deve ser negativo (positivo) também, ou seja, a soma ponderada das elasticidades preço cruzadas dos outros bens com relação ao bem i deve ser na média positiva (negativa). Portanto, se a demanda do bem i é elástica (inelástica), então os outros bens devem ser , na média ponderada pela fração gasta em cada bem, substitutos (complementares) do bem i, independente de como esse bens afetem a função de utilidade. Outra implicação que pode ser extraída de (1) é a reação dos gastos nos outros bens devido a uma mudança no preço do bem i: essa reação depende da elasticidade preço de i. Se a demanda i é elástica, então quando o preço do bem i diminui, o gasto com os outros bens diminui também. 2) Suponha a existência de n bens. Usando a propriedade de homogeneidade das funções de demanda Marshalliana, mostre que as elasticidades preço e renda para um dado bem i satisfazem a seguinte igualdade: ηi + Pn j=1 ij =0 onde ηi é a elasticidade renda do bem i e ij é a elasticidade preço da demanda do bem i com relação ao preço do bem j. Interprete intuitivamente a relação acima. S: A função de demanda Marshalliana é homogênea de grau zero nos preços e na renda. Logo, para cada bem i=1,...,n temos: xi (tp, tm) = xi (p, m) , ∀t > 0 Derivando essa expressão em elação a t, obtemos: n X ∂xi (p, m) ∂xi (tp, tm) m+ pj = 0 ∂m ∂pj (2) j=1 para todo t>0. Dividindo a igualdade acima por xi (tp, tm), fazendo, t=1 e reescrevendo (2) em termos de elasticidades obtemos a expressão desejada: ηi + Pn j=1 ij =0 válida para todo i=1,...n. 3) Suponha que a elasticidade renda da demanda per capita de cerveja é constante e igual a 0.75 e a elasticidade preço é também constante e igual 0.5. Os consumidores gastam em média, R$ 400,00 por ano com cerveja. A renda média anual destes consumidores é de R$ 6.000,00. Cada garrafa de cerveja custa R$ 3,00. a) Se o governo pretende desestimular o consumo de cerveja em 50%, qual deve ser o aumento no preço para que essa meta seja alcançada? S: A elasticidade preço constante igual -0.5 significa que um aumento em 10% no preço leva a uma redução na quantidade demandada de 5%. Logo, um aumento no preço em 100% levaria à redução almejada pelo governo de 50% na quantidade consumida de cerveja. Cada garrafa de cerveja passaria então a custa R$ 6,00. 2 b) Suponha que o governo estimou um aumento de R$ 3.000,00 na renda média. O governo deseja manter o nível de consumo de cerveja constante no próximo ano, usando um imposto sobre a cerveja. Qual deve ser o aumento no preço da cerveja no próximo ano para que seu consumo não se modifique, dado que a previsão do aumento da renda se realize? Como a elasticidade renda da demanda de cerveja é constante igual a 0.75 e um aumento na renda de R$ 3.000,00 sobre uma renda de R$ 6.000,00 corresponde a um aumento de 50% na renda, o aumento no consumo de cerveja é de 0.75x0.5=35.50%. Pelo mesmo motivo explicado no item a, o aumento no preço da cerveja necessário para anular o efeito do aumento de renda é de 2x37.50% = 75%. Cada garrafa de cerveja passaria a custar R$ 5,25. 4) Encontre as demandas Hicksianas e a função despesa para os seguintes casos : 1−α a) u (x1 , x2 ) = xα ,0 < α < 1 1 x2 b) Quais são os parâmetros do problema? S: 1−α L = p1 x1 + p2 x2 + µ u − xα 1 x2 As CPOs do problema são: µαxα−1 x1−α = p1 1 2 (3) −α µ (1 − α) xα 1 x2 = p2 (4) 1−α u = xα 1 x2 (5) Divida (3) por (4) para obter: x2 = p1 p2 1−α p2 p1 1−α α x1 (6) Insira (6) em (5) e obtenha: xh1 = ū α 1−α 1−α (7) Substituindo (7) em (6): xh2 α = ū 1−α −α p1 p2 α (8) Inserindo as demandas compensadas na restrição orçamentária, temos a função dispêndio: 1−α e (p1 , p2 , ū) = ūα−α (1 − α)α−1 pα 1 p2 (9) b) u (x1 , x2 ) = ax1 + bx2 a, b > 0 S: Neste caso, não podemos montar o Lagrangiano para resolver o problema, pois a solução será de canto. Porém, podemos resolver o sistema usando a intuição econômica. Intuitivamente, o consumidor irá adquirir apenas o bem relativamente mais barato, na quantidade que lhe assegure o nível de utilidade ū. Deste modo, as demandas Hicksianas são: xh1 (p1 , p2 , ū) = ū, se qualquer valor entre 0 e ū, se 0, se 3 p1 a p1 a p1 a < = > p2 b p2 b p2 b xh2 (p1 , p2 , ū) = ū, se qualquer valor entre 0 e ū, se 0, se p1 a p1 a p1 a > = < p2 b p2 b p2 b A função de dispêndio é dada por: e (p1 , p2 , ū) = ūmin c) u (x1 , x2 ) = axρ1 + bxρ2 1/ρ np p2 o a b 1 , a, b > 0 e 0 < ρ < 1 S: Primeiramente usaremos a=b=1, e então formulamos o Lagrangiano: 1 ρ ρ ρ L = p1 x1 + p2 x2 + µ ū − x1 + x2 As CPOs são: xρ1 + xρ2 p1 = λ 1−ρ ρ xρ−1 1 1 −1 xρ1 + xρ2 ρ xρ−1 2 p2 = λ ū = xρ1 + xρ2 (10) (11) ρ1 (12) Portanto: ūρ = xρ1 + xρ2 Dividindo (10) por (11) teremos: x1 p1 p2 1 ρ−1 = x2 (13) Substituindo (13) em (12) teremos: x1 = ū ρ1 ρ p1ρ−1 ρ ρ−1 p2 ρ ρ−1 (14) + p1 Inserindo (14) em (13) teremos: x2 = ū ρ1 ρ p2ρ−1 ρ ρ−1 p2 ρ ρ−1 (15) + p1 Podemos inserir (14) e (15) na função objetivo para obtermos a função de custos mínimos: p1 ū ρ1 ρ p1ρ−1 ρ ρ−1 p2 ρ ρ−1 + p1 + p2 ū ρ1 ρ p2ρ−1 ρ ρ−1 p2 ρ ρ−1 + p1 ū ρ ρ p2ρ−1 + p1ρ−1 1 1 ρ−1 ρ−1 p p + p p 2 2 1 1 ρ1 4 ū ρ ρ p2ρ−1 + p1ρ−1 ρ ρ−1 ū p2 Denote ρ ρ−1 = r, então ρ−1 ρ = 1 r ρ ρ ρ−1 ρ−1 p + p2 ρ1 1 p−1 ρ ρ ρ−1 + p1 1 e − ρ−1 = 1 − r e com um pouco de álgebra tediosa teremos: 1 e (p1 , p2 , ū) = ū (pr2 + pr1 ) r d) u (x1 , x2 ) = min {ax1 , bx2 } a, b > 0 S: Este é outro caso onde não podemos usar o método de Lagrange, pois a função de utilidade não é diferenciável. Devemos, mais uma vez, resolver o problema usando a intuição econômica. Como os bens são complementares perfeitos temos que: ax1 = bx2 . Então teremos que xh1 (p1 , p2 , ū) = modo, a função dispêndio é: e (p1 , p2 , ū) = ū p 2 b + ū a e xh2 (p1 , p2 , ū) = ūb . Desse p1 a 5) Resolva os seguintes itens para as seguintes funções de utilidade do exercício 5: a,b e c. a) Verifique se as demandas Hicksianas são homogêneas de grau 0 nos preços. S: Vamos mostrar para o bem 1, para o outro bem é similar: (Cobb-Douglas) xh1 (tp1 , tp2 , ū) α = ū 1−α 1−α tp2 tp1 1−α = xh1 (p1 , p2 , ū) (Linear) xh1 (tp1 , tp2 , ū) = ū, se qualquer valor entre 0 e ū, se 0, se tp1 a tp1 a tp1 a < = > tp2 b tp2 b tp2 b = xh1 (p1 , p2 , ū) (CES) " xh1 (tp1 , tp2 , ū) = ū (tp1 ) (tp2 ) ρ ρ−1 + (tp1 ) # ρ1 ρ ρ−1 ρ ρ−1 = ū t ρ ρ−1 t ρ ρ−1 p1 ρ ρ−1 p2 ρ1 ρ ρ−1 ρ ρ−1 + p1 h = x1 (p1 , p2 , ū) b) Mostre a validade do lema de Shephard. S: Vamos mostrar para o bem 1, para o outro bem é similar: (Cobb-Douglas) 1−α e (p1 , p2 , ū) = ūα−α (1 − α)α−1 pα 1 p2 1−α 1−α ∂e (p1 , p2 , ū) α p2 α−1 α−1 1−α 1−α = ūα (1 − α) p1 p2 = ū = xh1 (p1 , p2 , ū) ∂p1 1−α p1 (Linear) Nesse caso a função não é diferenciável. (CES) 1 e (p1 , p2 , ū) = ū (pr2 + pr1 ) r 1 ∂e (p1 , p2 , ū) = ū (pr2 + pr1 ) r −1 p1r−1 = xh1 (p1 , p2 , ū) ∂p1 5 c) Mostre que a demanda Hicksiana obedece a Lei da Demanda. S: Faremos apenas para a função Cobb-Douglas e para a CES: 1−α 1−α ∂e (p1 , p2 , ū) p2 α 1−α = ūα1−α (1 − α)α−1 pα−1 = xh1 (p1 , p2 , ū) p = ū 1 2 ∂p1 1−α p1 1−α 1−α α p2 1 ∂xh1 (p1 , p2 , ū) = ū (1 − α) <0 ∂p1 1−α p1 p1 (CES) 1 ∂e (p1 , p2 , ū) = ū (pr2 + pr1 ) r −1 p1r−1 = xh1 (p1 , p2 , ū) ∂p1 1 1 ∂xh1 (p1 , p2 , ū) 1−r 2(r−1) = ū (pr2 + pr1 ) r −2 rp1 + ū (r − 1) (pr2 + pr1 ) r −1 pr−2 1 ∂p1 r 1 ∂xh1 (p1 , p2 , ū) = ū (r − 1) (pr2 + pr1 ) r −1 ∂p1 − 1 2(r−1) (pr2 + pr1 )−1 rp1 + pr−2 <0 1 r 6) Cicero possui a seguinte função de utilidade u (x1 , x2 ) = x1 x2 e uma renda de R$ 24,00. Inicialmente o preço do bem 1 custa R$ 1,00 e o preço do bem 2 R$ 2,00. Suponha que o preço do bem 2 aumentou 50%. Calcule os efeitos renda, substituição e total. S: Primeiramente devemos construir o Lagrangiano para encontrar as demandas: L = x1 x2 + λ [m − p1 x1 − p2 x2 ] As CPOS são: Lx1 = x2 = λp1 (16) Lx2 = x1 = λp2 (17) Lλ = m = p1 x1 + p2 x2 (18) Dividindo (16) por (17) e isolando x2 teremos que: x∗2 = x1 p1 p2 (19) Substituindo (19) em (18) encontramos que: x∗1 = m 2p1 (20) x∗2 = m 2p2 (21) Inserindo (20) em (19) temos que: Para os valores dados, sabemos que x∗1 (p1 , p2 , m) = 12 e x∗2 (p1 , p2 , m) = 6. A demanda do bem dois ao preço novo é: xN 2 (1, 3, 24) = 4. Aos novos preços, o quanto de renda seria necessário para que o indivíduo consiga atingir a mesma curva de indiferença, antes da variação dos preços? A conta é bem simples: m = (1 × 12) + (3 × 6) 6 m = 30 Calculamos a demanda do bem 2 usando essa renda virtual, isto é: xh2 (1, 3, 30) = 5. O efeito substituição é a diferença entre a demanda compensada (com a renda virtual) e a demanda antes da variação dos preços: ES = xh2 (1, 3, 30) − x∗2 (1, 1, 24) = 5 − 6 = −1. Por outro lado, o efeito renda é a diferença entre a nova demanda h e a demanda compensada, ou seja: ER = xN 2 (1, 3, 24) − x2 (1, 3, 30) = 4 − 5 = −1. O efeito total é a soma dos dois anteriores: ET=ER+ES=-2. 7) A função de demanda de Douglas Cornfield pelo bem x é x (px , py , m) = 2m/5px . Sua renda é de R$ 1.000,00 e o preço de x é R$ 5,00 e o de y é R$ 20,00. Se o preço de x cai para R$ 4,00, pede-se: a) Calcule a mudança na demanda pelo bem x. S: Primeiramente calcularemos a demanda de x antes e depois da mudança dos preços: xantes (5, 20, 1000) = 80 xdepois (4, 20, 1000) = 100 Então teremos que: 4x = xdepois − xantes = 20 b) Calcule o efeito renda e o substituição. S: Vamos usar a restrição orçamentária do consumidor para obtermos a demanda do bem y: m = px x + py y m = px 2m + py y 5px y= 3m 5py Calcularemos a demanda virtual, isto é, quanto de renda o consumidor precisa a este novo preço de x para se manter na mesma curva de indiferença. Novamente usamos a restrição orçamentária do consumidor: m = (80 × 4) + (30 × 20) m = 920 Agora calcularemos a demanda compensada de x: xcompensada (4, 20, 920) = 92 Repetiremos o mesmo procedimento que realizamos no exercício anterior: ES = xcompensada (4, 20, 920) − xantes (5, 20, 100) = 92 − 80 = 12 7 ER = xantes (4, 20, 100) − xcompensada (4, 20, 920) = 100 − 92 = 8 ET = ES + ER = 20 8