Sistema por unidade. - José Roberto Camacho

Quantidades por-unidade (p.u.)
Prof. José R. Camacho (PhD)
UFU- Faculdade de Engenharia Elétrica
As quantidades por-unidade são quantidades que foram normalizadas para uma
quantidade base. Por exemplo, considere um motor de 6 kW operando com uma carga de
4 kW. A potência é de 4 kW. A base de potência é 6 kW. A potência por-unidade é,
portanto 4/6 = 0,6667 p.u. Como outro exemplo, um cabo pode ser dimensionado para
150 A. Se ele estiver conduzindo 89 A, e se nós tomarmos a corrente base como a mesma
da corrente nominal, então a corrente por-unidade é 89/150 = 0,593 p.u.
Em geral, 1
x=
X
p.u.
Xb
(1)
onde x é um valor por-unidade, X é o valor corrente, e Xb é o valor base. X e Xb são
expressos em unidades comuns, como volts, ampéres, watts, Nm, etc. As unidades porunidade não possuem dimensão, mas é uma prática normal expressá-las “em p.u.”, por
exemplo, 1,05 p.u.
As quantidades por-unidade expressam valores relativos – isto é, relativas ao
valor base. A escolha do valor base é importante. No exemplo simples mostrado acima, a
escolha mais natural da base é o valor nominal, que é o valor associado com “a operação
normal à plena carga”. Entretanto, valores base podem ser escolhidos livremente, como
mostra o próximo exemplo.
Imagine dois motores em paralelo, um com potência nominal de 10 kW e outro
com potência nominal de 100 kW, conectados a uma fonte supridora com capacidade de
300 A. Suponha que o menor motor solicite sua corrente nominal de 15 A da fonte
supridora, enquanto o motor maior solicite 150 A. Se nós considerarmos cada motor
individualmente nós podemos dizer que cada um está trabalhando em 1 p.u. ou 100% de
sua própria capacidade nominal. Mas se nós escolhermos 300 A como a base comum de
corrente, então o primeiro motor está solicitando 15/300 = 0,05 p.u. enquanto o segundo
motor está solicitando 150/300 = 0,5 p.u. A corrente total é 0,55 p.u., ou 165 A. Isto
1
Letras minúsculas em negrito denotam valores por-unidade. Letras em itálico denotam valores em
unidades comuns.
expressa claramente o fato que o menor motor está absorvendo 5% da corrente de
suprimento enquanto que o maior motor está absorvendo 50%. A fonte supridora está
trabalhando em 55% da sua capacidade. Evidentemente nós podemos adicionar motores e
aproximadamente dobrar a carga.
Sistemas por-unidade são especialmente úteis quando se possui uma rede mais
complicada com transformadores, na qual existem tensões e correntes com diferentes
níveis. Quando as quantidades são expressas em por-unidade, a maioria das tensões está
próxima de um sob operação normal; tensões mais altas indicam sobre-tensão e valores
mais baixos podem indicar sobrecarga. Isto ajuda o engenheiro no mapeamento dos
resultados de uma análise de fluxo de carga ou estudo de curto-circuito, porque condições
anormais são imediatamente identificáveis: por exemplo, correntes fora da faixa 0 – 1, ou
tensões que se desviam mais de alguns por centos da unidade. Sob condições transitórias,
tensões e oscilações de corrente elevadas podem ser detectadas.
Fórmulas de engenharia frequentemente contêm coeficientes “estranhos” como
2π / 2 ou até constantes como 1,358, e frequentemente está longe de ser óbvio de onde
elas vêem. 2 E um sistema por-unidade bem escolhido, fatores que são comuns aos valores
corrente e base se cancelam, e isto faz com que desapareçam a maioria dos coeficientes
espúrios. Expressões por-unidade são, portanto menos desordenadas e expressam de
forma econômica a natureza física essencial do sistema.
Como um exemplo desta afirmação tem-se a normalização da potência em um
sistema trifásico: em unidades simples
P = 3U LL I L cos φ
[W]
(2)
As bases Pb, Ub e Ib devem estar relacionadas com a mesma equação: dessa forma
Pb = 3U b I b (cos φ ) b [W]
(3)
Normalizar significar dividir a equação (2) pela equação (3). Tomando o valor base do
fator de potência como sendo (cos φ )b = 1 , nós temos
p = ui cos φ
2
(4)
Elas usualmente surgem da construção teórica da fórmula, mas elas podem também surgir devido às
unidades utilizadas para os parâmetros da equação. Um exemplo simples é a equação y = 25,4.x para
representar um comprimento y em mm que é igual a outro comprimento x em polegadas. A equação
expressa a igualdade essencial das dimensões y e x, mas o fator 25,4 aparece na equação devido à diferença
em unidades de medida e faz parecer que y e x não são iguais.
O fator
3 se cancela: isto não somente simplifica o cálculo, mas também expressa a
equação da potência de uma forma fundamental e genérica que é independente do
número de fases ou se a carga está conectada em estrela ou triângulo.
Fórmulas padrão para sistemas trifásicos.
Um sistema trifásico é dimensionado de acordo com sua capacidade em MVA, S.
Suponhamos que o valor base seja Sb MVA. Se a tensão base de linha para linha é Ub e a
corrente base de linha é Ib, então
Sb = 3U b I b
(5)
Geralmente, Ub é expressa em kV e Ib é expressa em kA. Por convenção a impedância
base Zb é impedância de fase ou de linha para neutro que é dada por:
Zb =
Ub
3
Ib
[Ω]
(6)
[Ω]
(7)
Combinando as equações (5) e (6), temos que
U b2
Zb =
Sb
Se Ub é expressa em kV e Sb em MVA, nós podemos expressar a equação (7) na forma
que é largamente utilizada por engenheiros de potência
Zb =
(kVbase ) 2
MVAbase
[Ω]
(8)
Mudando de base
Muitas vezes os parâmetros para dois elementos no mesmo circuito são citados em porunidade em bases diferentes. Por exemplo, nós podemos ter um cabo cuja impedância
série é dada como 0,1+j0,3 p.u. em uma base de 100 MVA e 33 kV. Suponha que este
cabo está conectado a uma carga cuja impedância é dada como 1,0+j0,2 p.u. em uma base
de 150 MVA e 22 kV. Qual é a impedância série combinada? Para continuar nós
devemos escolher um único conjunto de quantidades base e converter todas as
impedâncias em por-unidade para aquele conjunto. Vamos escolher os valores base do
cabo como os valores base comum: 100 MVA e 33 kV. Nós podemos converter a
impedância para este conjunto base através de razão de proporcionalidade, usando a
equação (9).
Z novo = Z velho
( kV )
×
( kV )
2
bvelho
2
bnovo
×
MVAbnovo
MVAbvelho
(9)
A impedância da carga em por-unidade na nova (cabo) base é, portanto:
(1, 0 + j 0, 2 ) ×
222 100
×
= 0, 2963 + j 0, 0593 p.u.
332 150
(10)
Com ambas as impedâncias na mesma base, nós podemos agora adicioná-las para obter
0,3963+j0,3593 p.u. (na base de 100 MVA e 33 kV).
Fica claro que ‘p.u.’ não é uma unidade absoluta, uma vez que a mesma impedância pode
ter valores diferentes, dependendo da base. Um valor por-unidade é incompleto a menos
que uma base seja declarada.
Quantidades por-unidade são largamente utilizadas em engenharia de potência. Elas são
úteis para expressar as características que são comuns a equipamentos diferentes. Por
exemplo, em sistemas de geração de energia a impedância série da maioria das grandes
“unidades transformadoras” (aquelas que elevam a voltagem do gerador para 400 kV) é
quase sempre em torno de 0,10 a 0,15 p.u.. Os valores em Ohms variam largamente de
acordo com os valores nominais e tensões correntes. De forma semelhante a corrente de
magnetização de pequenos motores de indução situa-se tipicamente na faixa de 0,2 a 0,5
p.u. Os valores em ampéres variam largamente, dependendo da capacidade nominal e
tensões e, portanto elas mascaram a uniformidade essencial desta característica de
projeto. Frequentemente o cálculo em por-unidade pode fornecer percepção que não é
aparente quando trabalhando em unidades simples.
Transformadores em sistemas por-unidade
Uma das simplificações mais úteis em se trabalhando com sistemas por-unidade é quando
se trabalha com transformadores. A relação das tensões base entre o primário e o
secundário pode ser logicamente tomada come sendo a relação de espiras, n. Então a
relação entre as correntes base deve ser o inverso da relação entre o número de espiras,
1/n. Portanto, a razão entre as impedâncias base deve ser o quadrado da relação de
espiras, n2. Mas esta é precisamente a razão pela qual uma impedância é referida do
secundário para o primário. Portanto, se nós normalizarmos uma impedância para a base
de um lado do transformador, e então referirmos esta impedância em por-unidade para o
outro lado, o valor em por-unidade obtido será exatamente o mesmo. Isto significa que
em um sistema por-unidade consistente, transformadores ideais simplesmente
desaparecem. Matematicamente, isto pode ser expresso como se segue:
Z b1 = n 2 Z b 2
(11)
Na base do secundário, uma impedância de carga Z (ohms) no lado secundário possui o
valor por-unidade:
z=
Z
Zb2
p.u.
(12)
Se nós referirmos Z ao primário ele torna-se Z’ = n2 Z. O valor por-unidade disto na base
do primário, é:
z, =
Z,
n2 Z
= 2
=z
Z b1 n Z b 2
(13)
Esta relação diz que o valor por-unidade de uma impedância é a mesma de ambos os
lados do transformador. Em outras palavras, em por-unidade a relação de espiras do
transformador é unitária e pode ser removida do circuito. Isto é verdadeiro somente se as
impedâncias base do primário e do secundário apresentam uma relação n2.
Estes
comentários
aplicam-se
somente
aos
transformadores
ideais.
Mas
os
transformadores reais podem ser modelados por um transformador ideal com
impedâncias parasitas (resistências, reatâncias de dispersão, etc...) que podem ser
aglomeradas com as outras impedâncias de circuito de qualquer lado. O circuito
equivalente de um transformador em por-unidade é somente uma impedância série igual a
r+jx, onde r é a soma das resistências do primário e secundário em p.u. e x é a soma das
reatâncias de dispersão do primário e secundário em por-unidade. O ramo magnetizante
aparece como uma impedância em paralelo no circuito equivalente. Transformadores
estrela/delta tem uma representação mais complexa, mas o transformador ideal
desaparece do circuito equivalente. De forma semelhante, os transformadores com
mudança de tap podem ser representados também por um circuito equivalente simples.