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Matemática
TEORIA DOS CONJUNTOS
1. Definição: Conjunto é um conceito intuitivo, ou
seja, não precisa de definição. Podemos entender como
sendo um agrupamento de coisas, objetos, números,
etc. Aos componentes dos conjuntos (que serão
geralmente representados por letra maiúscula)
chamamos
elementos (que serão geralmente
representados por letras minúsculas).
• A ∪ U = U, onde U é o conjunto universo.
2. Representação: podemos representar um conjunto
de três maneiras:
2.1. Pela enumeração de seus elementos. Exemplo: A =
{a, e, i, o, u}
2.2. Pela caracterização de seus elementos. Exemplo: A
= {x/x é vogal}
2.3. Pelo diagrama de Venn. Exemplo:
6. Intersecção (∩
∩)
Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto intersecção
A∩
∩B={x/x∈A e x ∈B}.
Exemplo: {0,1,3} ∩ {3,4,5} = {3}.
•A∩A=A
• A∩∅=∅
• A ∩ B = B ∩ A (a intersecção é uma operação
comutativa)
• A ∩ U = A onde U é o conjunto universo.
• Se A ∩ B = ∅, então dizemos que os conjuntos A e
B são disjuntos.
2. Relação de Pertinência: Se um elemento x é
elemento de um conjunto A indicamos assim: x ∈ A,
onde o símbolo ∈ significa "pertence a".
Se um elemento y não é elemento de um conjunto A,
indicamos assim: y ∉ A, onde o símbolo ∉ significa
“não pertence a”.
• A pertinência só é usada na relação entre
elementos e conjuntos.
3. Subconjunto: São todos os conjuntos que podem
ser formados com os elementos do conjunto A.
Exemplo: Seja o conjunto A = {1,3,5}
Os seus subconjuntos serão:
φ, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5}
7. Diferença: dados dois conjuntos A e B, chama-se
diferença entre A e B, e indica-se por A – B, ao conjunto
formado por elementos que pertençam ao conjunto A e
não pertençam ao conjunto B, ou seja: A – B = {x/x ∈ A e
x ∉ B}.
•A–∅=A
•∅–A=∅
•A–A=∅
• A – B ≠ B – A (a diferença de conjuntos não é uma
operação comutativa).
• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer
conjunto.
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
• Se um conjunto A possui n elementos então ele
possui 2n subconjuntos.
Para relacionarmos conjuntos com subconjuntos
usamos os símbolos ⊂ (está contido), ⊄ (não está
contido).
4. Igualdade de conjuntos: Dois conjuntos são
iguais se, e somente se, A for subconjunto de B e N
subconjunto de A, ou seja: A ⊂ B e B ⊂ A.
8. Complementar: Dados dois conjuntos A e B tais que A
é subconjunto de B, chama-se complementar de A em
relação a B ao conjunto dos elementos que pertencem a B
e não pertencem a A.
A =B−A
CB
5. União (∪
∪): Dados os conjuntos A e B, define-se o
conjunto união A U B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}.
Exemplo: {0,1,3} ∪ {3,4,5} = {0,1,3,4,5}.
•A∪A=A
• A∪∅=A
• A ∪ B = B U A (a união de conjuntos é uma
operação comutativa)
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EXERCÍCIOS
01. Se A= {x/x é letra da palavra ramo},
B = {x/x é letra da palavra enfeite} e
C = {x/x é letra da palavra atemorizado}, obtenha os
conjuntos:
a) A ∩ B
b) B ∩ C
c) A ∩ C
d) A ∩ B ∩ C
02. Sendo A e B conjuntos quaisquer,
identifique as sentenças verdadeiras:
a) A ∩ A = A
b) ∅ ∩ A = ∅
c) A ∪ A = A
d) ∅ ∩ A = A
e) (A ⊂ B) → A ∪ B = B
03. (BM-2004) O tipo sanguíneo de uma pessoa é
classificado segundo a presença no sangue de
antígenos A e B, podendo ser dos tipos:
A: pessoas que têm apenas o antígeno A.
B: pessoas que têm apenas o antígeno B.
AB: pessoas que têm os antígenos A e B.
O: pessoas que não têm o antígeno A nem o antígeno
B. Em 80 amostras de sangue, observou-se que 31
apresentaram o antígeno A, 32 apresentaram o
antígeno B e 8 apresentaram os antígenos A e B. A
quantidade de amostras de sangue tipo O é
a) 32
b) 31
c) 25
d) 9
04.(PM-2001) Num grupo de 75 pessoas, verificou-se
que 42 são fumantes, 47 bebem cerveja e 11 não
fumam nem bebem cerveja.
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar
que:
a) 20 pessoas são apenas fumantes.
b) 25 pessoas são fumantes e bebem cerveja.
c) 25 pessoas não bebem cerveja.
d) 31 pessoas não fumam.
05. (UFG 2004) Sejam os conjuntos:
A={2n : n ∈ Z} e B={2n-1 : n ∈ Z}
Sobre esses conjuntos pode-se afirmar:
I - A IB = Φ
II - A é o conjunto dos números pares
III - A U B = Z
(A) I e II, apenas.
(B) II, apenas.
(C) II e III, apenas.
(D) III, apenas.
(E) I, II e III.
07. Uma pesquisa realizada numa empresa que tem 500
funcionários, na qual todos foram ouvidos, mostrou que
120 pessoas lêem o jornal (1), 98 pessoas lêem o jornal
(2) e 15 lêem ambos os jornais.
a) quantas pessoas lêem apenas o jornal (1)?
b) quantas lêem apenas o jornal (2)?
c) quantas lêem apenas um dos jornais?
d) quantas não lêem nenhum dos dois jornais?
08. Numa escola de 360 alunos, onde as únicas matérias
dadas são matemática e português, 240 alunos estudam
matemática e 180 alunos estudam português. O número de
alunos que estudam matemática e português é:
a) 120
b) 60
c) 90
d) 180
09. Numa indústria, 120 operários trabalham de manhã,
130 trabalham à tarde, 80 trabalham à noite; 60 trabalham
de manhã e à tarde, 50 trabalham de manhã e a noite, 40
trabalham à tarde e à noite e 20 trabalham nos três
períodos.
Assim:
a) 150 operários trabalham em 2 períodos;
b) há 500 operários na indústria;
c) 300 operários não trabalham à tarde;
d) há 30 operários que trabalham só de manhã;
10. (UFG/02) Em uma empresa, cujos funcionários são
constituídos de 60% de mulheres e 40% de homens, são
praticadas duas atividades esportivas: hidroginástica e
natação. Foi realizada uma pesquisa e constatou-se que,
entre as mulheres, 20% praticam apenas hidroginástica;
15%, apenas natação; e 15 % não praticam qualquer das
duas atividades. Quanto aos homens, foi constatado que
30% praticam apenas hidroginástica; 10% praticam
hidroginástica e natação; e 10% não praticam qualquer
das duas atividades.
De acordo com estas informações, pode-se afirmar que,
nessa empresa.
1. ( ) 25% do total dos funcionários não praticam
qualquer dessas duas atividades.
2. ( ) Do total de funcionários, a quantidade dos que
praticam apenas hidroginástica é superior a 25%.
3. ( ) O número de funcionários que praticam natação é
maior que o numero dos que praticam hidroginástica.
4. ( ) O número de homens que pratica hidroginástica é
a metade do numero de mulheres que praticam as duas
atividades.
06. (UNITINS – 2005 – PM) Trinta e cinco (35)
estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram
Manaus; 16, São Paulo e 11, Salvador. Desses
estudantes 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5,
3 visitaram também São Paulo. O número de
estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:
a) 29
b) 24
c) 11
d) 8
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. Conjunto dos números naturais (N)
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Intervalo fechado em a e aberto em b:
2. Conjunto dos números inteiros (Z)
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
[a, b[ = {x ∈ R / a ≤ x < b}
Alguns subconjuntos de Z:
• Z* = Z – {0}
• Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} → conjunto dos inteiros não
negativos
• Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5,...} → conjunto dos inteiros
Intervalo aberto em a e fechado em b:
]a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
positivos
• Z– = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0} → conjunto dos
inteiros não positivos
• Z*− = {..., – 5, – 4, – 3, – 2, – 1} → conjunto dos
Intervalo aberto em a e b:
]a, b[ = {x ∈ R / a < x < b}
inteiros negativos
3. Conjunto dos números racionais (Q)
Os números racionais são todos aqueles que podem ser
colocados na forma de fração
Q = {x / x =
a
, com a ∈ Z , b ∈ Z e b ≠ 0}
b
Obs: Toda dízima periódica pode ser representada na
forma de número racional.
4. Conjunto dos números irracionais (I)
7. OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
7.1. Potenciação de números inteiros
Definição: A potência an do número inteiro a, é definida
como um produto de n fatores iguais. O número a é
denominado base e o número n é o expoente.
an = a . a . a . a ... a
a n vezes
Os números irracionais são decimais infinitas não
periódicas, ou seja, os números que não podem ser
escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros).
Como exemplo de números irracionais, temos a raiz
quadrada de 2, o pi (π), a raiz quadrada de 3, etc.
Propriedades
5. Conjunto dos números reais (R)
Para a, b ∈ R e m, n ∈ Z, valem as seguintes
propriedades:
am × an = am + n
am : an = am - n (a ¹ 0)
(am)n = (an)m = am × n
(a × b)n = an × bn
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos
numéricos:
Potência de expoente racional.
m
x
Para a > 0, m e n inteiros e n ≥1 define-se a x = am
n
an
a
(b ≠ 0)
  =
b
bn
6. Intervalos Numéricos
7.2. Radiciação de números inteiros
Dados dois números reais a e b, chama-se intervalo a
todo conjunto de todos números reais compreendidos
entre a e b, podendo
Definição: A raiz n-ésima (de ordem n) de um número
inteiro a é a operação que resulta em um outro número
inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o
número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o
número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical).
inclusive incluir a e b. Os números a e b
Propriedades das raízes
são os limites do intervalo, sendo a diferença b – a,
chamada amplitude do intervalo.
Sendo a e b dois números reais, com a < b, temos os
seguintes subconjuntos de R chamados intervalos.
Intervalo fechado nos extremos a e b:
[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
n
(n a )m = am
p.n p.m
a
n
= am
n a .n b = n a.b
n
na = a
b nb
nm
a = m n a = m.n a
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7.3. Produtos Notáveis
11. MMC
São aqueles produtos que são freqüentemente usados
e para evitar a multiplicação de termo a termo, existem
algumas fórmulas que convém serem memorizadas.
1) Soma pela diferença: quadrado do primeiro menos o
quadrado do segundo.
(a + b). (a – b) = a² - b²
É o menor número, diferente de zero, que é múltiplo
comum desses números. Para calcular o m.m.c. de dois ou
mais números, devemos seguir também uma série de
etapas:
1) Decompomos os números em fatores primos.
2) Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior
expoente.
3) Multiplicamos esses fatores entre si.
2) Quadrado da soma: quadrado do primeiro, mais
duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado
do segundo.
(a + b)² = a² + 2ab +b²
12. Razão e proporção
Razão: é o mesmo que fração, divisão.
Proporção: Chama-se de proporção a toda sentença que
3) Quadrado da diferença: quadrado do primeiro,
indica uma igualdade entre duas razões.
menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o
quadrado do segundo.
(a – b)² = a² - 2ab + b²
12.1. Propriedades das proporções
a) O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
8. Divisibilidade
Regras de divisibilidade
• Divisibilidade por 2: Todo número par é divisível por
2.
• Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 se a
soma dos seus algarismos for divisível por 3.
• Divisibilidade por 5: São divisíveis por 5 os números
terminados em 0 ou 5.
9. Fatoração
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos
de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
• Fator Comum em evidência: quando os termos
apresentam fatores comuns. Observe o polinômio: ax +
ay. Ambos os termos apresentam o fator a em
evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
• Fatoração por agrupamento: Consiste em aplicar duas
vezes o caso do fator comum em alguns polinômios
especiais. Como por exemplo: ax + ay + bx + by. Os
dois primeiros termos possuem em comum o fator a, os
dois últimos termos possuem em comum o fator b.
Colocando esses termos em evidência: a.(x+y) +
b.(x+y). Este novo polinômio possui o termo (x+y) em
comum. Assim colocando-o em evidência: (x+y).(a+b)
• Fatoração por diferença de quadrados: Consiste em
transformar as expressões em produtos da soma pela
diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de
cada quadrado.
Assim: x 2 − 9 = (x + 3).( x − 3)
• Fatoração do trinômio quadrado perfeito: O trinômio
que se obtém quando se eleva um binômio ao
quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
10. M.D.C.
O máximo divisor comum de dois ou mais números
Naturais não-nulos é o maior dos divisores comuns
desses números.
Para calcular o m.d.c. de dois ou mais números,
devemos seguir uma série de etapas:
1) Decompomos os números em fatores primos
2) Tomamos os fatores comuns com o menor expoente.
3) Multiplicamos esses fatores entre si.
OBS: Dizemos que dois números Naturais distintos são
Primos entre si quando seu m.d.c. é 1.
a.d=b.c
b) somando-se os antecedentes e dividindo pela soma dos
conseqüentes a proporção continua a mesma.
a c a+c
= =
b d b+d
3. subtraindo-se os antecedentes e dividindo pela
subtração dos conseqüentes a proporção continua a
mesma.
a c a−c
= =
b d b−d
13. Regra de três
Escrevem-se as grandezas envolvidas.
Marca-se o X com uma seta para cima.
Não olhar os valores numéricos.
Isola-se X no primeiro termo.
Fazem-se os cálculos.
EXERCÍCIOS
11. Numa adição com três parcelas, o total era 67.
Somando-se 15 à primeira parcela, 21 à segunda e
subtraindo-se 20 à terceira, determine a nova soma.
12. Numa subtração a soma do minuendo com o
subtraendo e o resto resultou 412. Qual o valor do
minuendo?
13. O produto de dois números é 620. Se adicionássemos
5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria
aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores?
14. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma
unidade maior que o divisor e o resto uma unidade menor
que o divisor. Qual o valor do dividendo?
15. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de
modo que o primeiro receberá R$ 325,00; o segundo
receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro
receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo
juntos. Qual o valor total do prêmio repartido entre os três
vendedores?
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Matemática
16. Um dicionário tem 950páginas; cada página é
dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada
linha tem, em média, 35 letras. Quantas letras há nesse
dicionário?
17. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e
gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em
um ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês?
18. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas
com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e
vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1760,00.
Qual era a capacidade de cada barrica?
19. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em
três montes iguais, um deles foi repartido entre 4
meninos e os dois montes restantes foram repartidos
entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada
menino e cada menina?
20. João, Maria e Pedro têm, juntos, R$ 275,00. João
tem R$ 15,00 mais do que Maria e Pedro possui R$
20,00 mais que Maria. Quanto tem cada um dos três?
21. Do salário de R$ 3302,00, Pedro transferiu uma
parte para uma conta de poupança. Já a caminho de
casa, Pedro considerou que se tivesse transferido o
dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2058,00 do
seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito
feito?
22. Camila e Vanessa ganharam, ao todo, 23 bombons.
Se Camila comesse 3 bombons e desse 2 para Vanessa,
elas ficariam com o mesmo número de bombons.
Quantos bombons ganhou cada uma delas?
23. Dois homens, três mulheres e seis crianças
conseguem carregar juntos um total de 69 kg. Cada
homem carrega tanto quanto uma mulher e uma
criança, enquanto cada mulher consegue carregar tanto
quanto três crianças. Quanto cada um deles consegue
carregar?
24. Num atelier de costura empregam-se quatro
gerentes, oito costureiras e 12 ajudantes. Cada gerente
ganha por dia tanto quanto duas costureiras ou quatro
ajudantes. Qual o valor da diária de cada gerente,
costureira e ajudante, se a folha mensal desta equipe é
de R$ 26400,00?
25. O dono de uma papelaria adquiriu um certo
número de pastas escolares que seriam revendidas ao
preço unitário de R$ 5,00. Ao conferir as pastas
constatou que entre elas havia 15 com defeito. Fazendo
as contas, descobriu então que se ele vendesse as
pastas restantes ao preço unitário de R$ 8,00, a sua
margem de lucro continuaria sendo a mesma de antes.
Quantas pastas perfeitas o dono da papelaria recebeu?
26. Se eu der 4 balinhas a cada um dos alunos de uma
classe sobram-me 7 das 135 que eu tenho. Quantos
alunos há nesta classe?
27. Quero dividir 186 figurinhas igualmente entre certo
número de crianças. Para dar duas dúzias a cada
crianças faltariam 6 figurinhas. Quantas são as crianças?
28. A soma de dois números inteiros e consecutivos é 91.
Quais são eles?
29. A soma de dois números pares e consecutivos é 126.
Quais são eles?
30. A soma de dois números ímpares e consecutivos é
244. Quais são eles?
31. A soma do dobro de um número natural com o triplo
de seu sucessor dá 93. Esse número é:
a) 17
b) 18
c) 20
d) 21
31. Um cavalo disse a outro cavalo: “Se eu lhe passar um
dos sacos de farinha que carrego, ficaremos com cargas
iguais, mas se você passar para mim um dos sacos que
carrega, minha carga ficará sendo o dobro da sua”.
Quantos sacos de farinha, cada cavalo carrega?
32. Duas pessoas ganharam, juntas R$ 200,00. A primeira,
embora recebendo menos, doou R$ 20,00 à segunda, que
acabou ficando com R$ 20,00 a mais que o dobro do que a
primeira ficou. A primeira ficou com (em R$):
a) 100,00
b) 80,00
c) 20,00
d) 60,00
33. Paulino distribui 300 figurinhas das “Rebeldes” entre
seus três sobrinhos, PH, Oton e Tahan, de modo que Oton
recebeu 20 figurinhas a mais que PH, e que Tahan recebeu
80 figurinhas a mais que Oton. Quantas figurinhas recebeu
cada um?
34. Para retirar um caminhão encalhado foram necessários
10 homens, 2 cavalos e 5 cachorros puxando no cabo. Se o
peso do caminhão é7,8 toneladas, quanto consegue puxar
um cachorro se o homem puxa um peso igual a 2/5 do
cavalo e esse igual a 10 vezes o peso que o cachorro puxa?
a) 1,20 kg
b) 1,20 t
c) 0,12 t
d) 12 kg
35. Carol gastou em compras 3/5 da quantia que levava e
ainda lhe sobraram R$ 90,00. Quanto levava Carol
inicialmente?
36. Um rapaz separou 1/10 do que possuía para comprar
um par de sapatos; 3/5 para roupas, restando-lhe, ainda,
R$ 180,00. Quanto o rapaz tinha?
37. Se subtrairmos 5 anos da metade da idade do Alfredo
obteremos a idade do Manoel. O Manoel tem 15 anos. Qual
a idade do Alfredo?
a) 30 anos
b) 20 anos
c) 40 anos
d) 50 anos
38. Numa gincana de perguntas e respostas o aluno
ganhava 3 pontos por acerto e perdia 2 pontos a cada
erro. Um aluno respondeu a 20 perguntas e ganhou 40
pontos. Quantos acertos e erros ele teve?
39. (PM-2001) Pode-se AFIRMAR que para todo x ∈ R, (x
– 5)3.(x + 5)2 é igual a:
a) (x2 – 25)2.(x – 5)
b) (x2 + 25)2 .(x – 5)
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c) (x – 5)5
d) (x2 – 25)2.(x + 5)
40. (BM-2004) Sejam a e b números reais, com a > b
> 0 É INCORRETO afirmar que:
a) | b − a |=| a − b |
a
b) > 1
b
c) ab < a 2
a b
d)
− <0
b a
41. (UEG – 2005 – Soldado PM) Marcela saiu para
fazer compras em quatro lojas diferentes. Em cada loja
que entrava, gastava a metade do dinheiro que tinha
naquele momento. Ao ir embora, ainda gastou R$ 7,00
com lanche e R$ 3,00 com estacionamento. Quando
chegou em casa, observou que ainda lhe restavam R$
10,00. Na terceira loja em que entrou, gastou a quantia
de
a) R$ 160,00.
b) R$ 80,00.
c) R$ 40,00.
d) R$ 20,00.
42. (UEG – 2005 – Soldado PM) Karol tinha R$ 2,30
em moedas de 5 e de 25 centavos. Sabendo que ao
todo ela tinha 18 moedas, é CORRETO afirmar que
a) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é par.
b) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é um número
primo.
c) o produto entre as quantidades de moedas é 56.
d) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é maior que a
quantidade das de R$ 0,05.
43. (UEG – 2005 – Soldado PM) Aline e mais quatro
amigas planejaram uma temporada de 30 dias no Rio
de Janeiro e, para sua acomodação, alugaram um
apartamento. Na última hora, uma das amigas desistiu
da viagem, acarretando um aumento de R$ 58,00 de
despesa com o aluguel para cada uma das que
viajaram. O valor que cada uma pagou pelo aluguel foi
de
a) R$ 290,00.
b) R$ 320,00.
c) R$ 280,00.
d) R$ 300,00.
44. (UEG – 2005 – Soldado PM) Uma pequena
fábrica de doces gasta diariamente a importância fixa
de R$ 60,00 e mais R$ 12,00 por cada cento de doces
fabricados. Se o cento de doces é vendido a R$ 18,00,
para que o lucro da fábrica seja no mínimo R$ 840,00
em 20 dias de trabalho, ela deve produzir, em média,
pelo menos
a) 15 centos de doces por dia.
b) 16 centos de doces por dia.
c) 17 centos de doces por dia.
d) 18 centos de doces por dia.
45. (UEG – 2005 – Soldado PM) Um caminhão pode
carregar, no máximo, 10 toneladas. Em uma cerealista,
há um estoque de arroz e feijão ensacados para serem
transportados. Cada saca de arroz pesa 60 kg, sendo
que a de feijão pesa 80 kg. A capacidade de carga do
caminhão é de 150 sacas, sejam de arroz ou de feijão
ou de ambos. Para que a carga do caminhão satisfaça
as duas condições, 10 toneladas e 150 sacas, é
necessário que
Matemática
a) a quantidade de sacas de feijão seja a metade da
quantidade das de arroz.
b) a quantidade de sacas de feijão seja igual à quantidade
das de arroz.
c) a quantidade de sacas de feijão seja o triplo da
quantidade das de arroz.
d) a quantidade de sacas de feijão seja a quarta parte da
quantidade das de arroz
46. (UEG – 2005 – Soldado PM) Em uma rua, existem
16 pontos de parada de ônibus que estão dois a dois à
mesma distância. Se entre o terceiro e o sétimo ponto há
1,2 km, a distância entre o primeiro e o último ponto é de
a) 4,0 km.
b) 4,5 km.
c) 5,0 km.
d) 5,5 km.
47. (Fuvest) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 , é:
a. 0,0264
b. 0,0336
c. 0,1056
d. 0,2568
48. (FEI) O valor da expressão (−2) + (−3).(−2)−1 : (−3)1
a. -5/6
b. 5/6
c. 1
d. -5/3
e. -5/2
49. (UECE) O valor de:
2−1 − ( −2)2 + (−2) −1
22 + 2− 2
a) –15/17
c) –15/16
é
b) –16/17
d) –17/16
50. Efetue:
a) (–2)³
d) (0,5)³
g) 100º
1
i)  
2
−1
b) (−3)4
e) 500¹
h) 0³
2
j)  
3
c) 120
f) 15¹
−2
51. (UEG – 2005 – Soldado PM) João toma diariamente
três medicamentos. Um deles, toma a cada duas horas; o
outro, a cada 4 horas; e o terceiro, a cada 6 horas. Se João
tomou os três medicamentos juntos às 7 horas da manhã
de hoje, então, ele tomará os três medicamentos juntos
novamente às
a) 16 horas de hoje.
b) 17 horas de hoje.
c) 18 horas de hoje.
d) 19 horas de hoje.
52 (UNITINS – 2005 – PM) Um carpinteiro deve cortar
três tábuas de madeira com 2,40 m; 2,70 m e 3 m,
respectivamente, em pedaços iguais e de maior
comprimento possível. Qual deve ser o comprimento de
cada parte?
a) 35 cm
b) 30 cm
c) 40 cm
d) 45 cm
53. Laura tem 28 metros de fita verde e 20 metros de fita
amarela para decorar pacotes de presente. Ela quer cortar
essas fitas de modo que os pedaços tenham o mesmo
tamanho, que sejam o maior possível e que não haja
Apostilas
Brasil
C ultural
6
Matemática
sobras de fita. Quantos metros deve ter cada pedaço
de fita?
54. Uma firma possui 2 funcionários que viajam a
serviço. O primeiro viaja de 15 em 15 dias e o segundo,
de 20 em 20 dias. Se ambos viajarem hoje, daqui a
quantos dias eles voltarão a viajar no mesmo dia?
55. Se 760 litros de uma mistura contém álcool e água
na razão 14 : 5, então o número de litros de álcool na
mistura é:
a) 230
b) 360
c) 560
d) 460
56. A razão entre dois números é 3 : 8. Se a soma do
maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é:
a) 24
b) 20
c) 22
d) 26
57. Meu filho é 21 anos mais novo que eu. A razão
entre nossas idades será qual, se tenho hoje 63 anos?
58. Um pai distribui R$ 150,00 entre seus três filhos de
maneira proporcional às suas idades, que são 8, 10 e
12 anos. Quanto recebe o caçula?
59. O proprietário de uma pequena empresa de
transporte resolveu distribuir
R$ 6000,00 entre
seus 3 motoristas, em partes inversamente
proporcionais à quantidade de multas de trânsito que
tiveram durante 1 ano. Quanto coube a cada motorista,
sabendo que 2 deles foram multados 2 vezes cada um
e o outro 5 vezes?
60. Quatro números são proporcionais a 2, 5, 6 e 8
respectivamente. A soma do maior com o menor é 50.
Qual é o menor desses números?
61. (PM-2001) Os irmãos Paulo, João e Manoel
receberão uma herança de R$ 90.000,00 que deverá
ser dividida em partes diretamente proporcionais às
suas idades. Sabendo que a soma de suas idades é 45
e que elas estão em progressão aritmética de razão 3,
é INCORRETO afirmar que:
a) o mais novo receberá 2/3 da quantia que o mais
velho receberá.
b) o mais velho receberá R$ 36.000,00.
c) o mais velho receberá 3/2 da quantia que os outros
receberão juntos.
d) o do meio receberá 1/3 da herança.
62. Dividir o número 370 em três partes inversamente
proporcionais a 8, 10 e 12.
63. Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um
tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min para encher
o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras
juntas enchem esse tanque?
segundo, 88 e o terceiro, 70. O prêmio do primeiro
colocado foi de
a) R$ 1.740,00.
b) R$ 1.680,00.
c) R$ 1.780,00.
d) R$ 1.840,00.
65. Se 8 kg de carne custam R$ 7,00, quanto pagarei se
comprar 6 kg da mesma carne?
66. (UEG – 2005 – Soldado PM) Trinta e seis litros de
óleo pesam trinta e dois quilos e quatrocentos gramas. A
quantidade de litros de um quilo e oitocentos gramas desse
mesmo óleo é de
a) 1,6.
b) 1,8.
c) 2,0.
d) 2,1.
67. Se 20 operários, trabalhando 6 h por dia, produzem
400 peças por mês, o número de operários necessários
para produzir 500 peças no mesmo período e com a
mesma produtividade, caso trabalhem apenas 5 h por dia,
é igual a:
68. Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5 dias, por 8
operários, trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra
será feito, agora, com 6 operários, trabalhando 10 horas
por dia, em:
69. Numa pensão gastou-se R$ 16.000,00 para o sustento
de 50 pessoas, em 24 dias. Quanto teria gasto com o
sustento de 72 pessoas, em 20 dias?
70. (UEG – 2006 – AGANP) Um trabalho executado por
cinco homens leva 36 dias para ficar pronto. Quantas
pessoas a mais deveriam ser contratadas para que fosse
possível executar o mesmo trabalho em 20 dias?
a) 9
b) 5
c) 4
d) 3
71. (UEG – 2006 – AGANP) Cinco operários conseguem
levantar dois andares de uma construção em 20 dias.
Quantos andares serão levantados por 10 operários,
trabalhando durante 40 dias?
a) 10
b) 8
c) 6
d) 2
72. (UEG – 2006 – AGANP) Quatro impressoras
trabalhando juntas conseguem terminar um serviço em 42
horas. Caso uma impressora
quebre, em quanto tempo as três impressoras restantes
terminarão o mesmo serviço?
a) 62 horas
b) 56 horas
c) 35 horas
d) 31,5 horas
73. Se 6 datilógrafos, trabalhando 10 horas por dia,
executam uma tarefa em 18 dias, em que tempo a
executariam, se o trabalho diário fosse de 12 horas?
74. Uma torneira despeja num reservatório 227 litros
d’água em 3 minutos; quantos litros despejará em 1 hora?
64. (UEG – 2005 – Soldado PM) Em uma prova de
atletismo foi oferecida como prêmio a importância de
R$ 5.000,00, a ser dividida entre os três primeiros
classificados na prova. A divisão foi proporcional ao
número de pontos obtidos por cada um dos atletas
premiados. O primeiro colocado conseguiu 92 pontos, o
75. Duas estações, A e B, de uma linha férrea, distam 180
km. Um trem parte da estação A para B, com velocidade
de 10m/s; no mesmo instante, parte de B para A, um
segundo trem, com velocidade de 5m/s. A que distância de
A se encontrarão?
Apostilas
Brasil
C ultural
7
Matemática
a) 120 km
c) 110 km
b) 100 km
d) 80 km
76. A tripulação de um navio, composta de 180
homens, dispõe de víveres para 60 dias. Decorridos 15
dias de viagem foram recolhidos 45 náufragos. Para
quantos dias ainda darão os víveres, após o aumento
da tripulação?
a) 36
b) 27
c) 30
d) 42
77. Uma substância perdeu água por evaporação, o
que representa 2% do seu volume, restando 39, 2
ml. Para reconstituir a substância, é preciso
acrescentar:
a) 0,4 ml
b) 0,6 ml
c) 0,2 ml
d) 0,8 ml
78. Uma garrafa cheia de vinho pesa 1,28 kg.
Tomando 4/9 do vinho contido na garrafa ela passa
a pesar 0,72 kg. Qual o peso da garrafa vazia?
a) 50 g
b) 40 g
c) 30 g
d) 20 g
79. Na construção de um armazém, empregaram-se,
inicialmente, 14 operários, que o terminaram em 17
dias. Sete dias, porém, após o início das obras, o
número de operários foi aumentado para 18. Sabendose que os operários trabalham 9 horas por dia,
pergunta-se em quanto tempo foi construído todo o
armazém?
e) 21d 2h 30min
86. Em uma classe há um total de 36 alunos. Se há 5
meninos para cada 7 meninas, determine o número de
meninas.
a) 15
b) 21
c) 24
d) 30
87. Minha esposa é 18 anos mais nova que eu. Qual a
razão entre a minha idade e da minha esposa, nessa
ordem, se tenho hoje 50 anos?
a) 25/13
b) 25/16
c) 16/25
d) 13/25
88. Numa indústria química, uma certa solução contém ao
todo 350 g de 3 substâncias em quantidades diretamente
proporcionais aos números 2, 5 e 7. Quantos gramas de
cada substância contém a solução?
89. Três municípios goianos receberam, do Ministério da
Saúde, um lote de medicamentos contendo um milhão de
unidades, que deve ser repartido proporcionalmente ao
número de habitantes de cada um desses municípios: 50
mil, 70 mil e 80 mil. Achar a quantidade de medicamentos
que cada município recebeu.
90. Para estimular a assiduidade, uma professora primária
promete distribuir 600 figurinhas aos alunos de suas três
classes. A distribuição será feita de modo inversamente
proporcional ao número de faltas de cada classe durante
um mês. Após esse tempo, as faltas foram: 8, 12 e 24.
Achar a quantidade de figurinhas que cada classe recebeu.
80. Se 8 operários, em 10 dias, fizeram 200 metros de
uma obra, 12 operários, em 9 dias, farão quantos
metros da mesma obra?
81. Cem operários fizeram uma obra em 12 dias,
trabalhando 9 horas por dia; quantos operários
seriam necessários para fazer a mesma obra em 8
dias, trabalhando 10 horas por dia?
82. Com 68 kg de lã fizeram-se 42 m de um tecido que
tem 0,60 m de largura; quantos metros se poderiam
fazer com 85 kg da mesma lã, sendo de 0,50 m a
largura do tecido?
83. Para o calçamento de uma rua de 352 metros de
comprimento e 18 metros de largura, empregaramse 132.000 paralelepípedos. Quantos serão
necessários para uma rua de 432 metros de
comprimento e 16 metros de largura?
84. Se 20 operários, trabalhando 6 h por dia, produzem
400 peças por mês, o número de operários
necessários para produzir 500 peças no mesmo
período e com a mesma produtividade, caso
trabalhem apenas 5 h por dia, é igual a:
85. Sessenta digitadores, trabalhando 9 horas por dia,
digitam as 150 páginas de um livro, em 30 dias;
quarenta digitadores, com o dobro da eficácia dos
outros primeiros, trabalhando 10 horas por dia,
digitarão as 500 páginas de um outro livro, com 1/3
da dificuldade do primeiro, em quanto tempo?
a) 10d 4h 5min
b) 22d 5h
c) 11d 20h
d) 22d 11h
Porcentagem e Juros
1. Porcentagem
Uma razão (fração) cujo segundo termo (conseqüente –
denominador) é 100 é chamada de taxa porcentual e
indica-se com % (por cento).
Exemplos de porcentagem
10
100
2. Se um ocorreu um aumento de 20% →
100
20
120
x + 20% . x →
.x +
.x =
. x → 1,2 . x
100
100
100
3. Se um ocorreu uma subtração de 30% →
100
30
70
x − 30% . x →
.x −
.x =
. x → 0,7 . x
100
100
100
1. 10% →
2. Juros Simples
Capital (C) → Quantia a ser aplicada ou quantia pega por
empréstimo.
Tempo (t) → tempo em que o capital ficou aplicado.
Taxa (i) → porcentagem na qual o capital foi aplicado.
Juros (j) → lucro auferido pela aplicação ou despesa paga
pelo uso do capital.
Montante (M) → Soma do juro mais o capital (total a ser
pago ou resgatado).
Apostilas
Brasil
C ultural
8
Matemática
Fórmulas
j=C.i.t
M = j+C
EXERCÍCIOS
´
91. O preço de uma mercadoria é de R$ 180,00, Por
quanto deve ser vendida para que se tenha um lucro de
30% sobre o preço de custo?
a) R$ 234,00
b) R$ 240,00
c) R$ 306,00
d) R$ 428,00
92. Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido
de R$ 76,00 para R$ 57,00. De quantos por cento foi a
redução?
a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 40%
93. Mônica tinha uma quantia, gastou 20% dela e, em
seguida, gastou 25% do que havia sobrado, ficando
ainda com R$ 144,00. Quanto ela tinha no início?
a) R$ 120,00
b) R$ 200,00
c) R$ 240,00
d) R$ 280,00
94. Alguns amigos foram comer pizza. A conta,
incluindo os 10% de serviço, ficou em R$ 143,00. Qual
seria o valor da conta sem a taxa de serviço?
a) R$ 128,70
b) R$ 130,00
c) R$ 103,00
d) R$ 112,78
95. Dentro de uma promoção o preço de um
computador é de R$ 2632,00. Terminada a promoção
este sofrerá um acréscimo de 21%. Qual o preço do
computador após a promoção?
a) 2079,28
b) 4869,20
c) 3123,83
d) 3184,72
96. Um deposito de combustível de capacidade de 8
m³ tem 75% de sua capacidade preenchida. Quantos
m³ de combustível serão necessários para preenchê-lo?
a) 2 m3.
b) 4 m3.
c) 6 m3.
d) 8 m3.
97. (UEG – 2005 – Soldado PM) Se 2/5 de uma
obra foram avaliados em R$ 13.200,00, então o valor
de 80% da mesma obra é de
a) R$ 27.200,00.
b) R$ 26.400,00.
c) R$ 24.600,00.
d) R$
22.500,00
Apostilas
Brasil
C ultural
98. (UEG – 2004 – CELG) Um objeto foi vendido com
lucro de 60% sobre o preço de venda. Sabendo que o
preço de compra foi de R$ 40,00, conclui-se que o preço
de venda foi de
a) R$ 48,00.
b) R$ 64,00.
c) R$ 80,00.
d) R$ 90,00.
e) R$ 100,00
99. (UEG – 2005 – Soldado PM) João emprestou 3/5 de
um capital a 2% ao mês e o restante a 2,5% ao mês,
ambas as partes a juro simples, por um período de 4
meses. Ao final, recebeu um montante de R$ 1.088,00. O
capital que João emprestou a 2% foi de
a) R$ 600,00.
b) R$ 500,00.
c) R$ 560,00.
d) R$ 620,00.
100. (UEG – 2004 – CELG) Uma quantia de R$ 920,00
foi dividida em duas partes, de forma que a primeira,
aplicada durante 2 meses a juros simples de 8% ao mês,
renda os mesmos juros que a segunda, aplicada a 10% ao
mês durante 3 meses, também a juros simples. A primeira
parte é de
a) R$ 580,00.
b) R$ 600,00.
c) R$ 640,00.
d) R$ 680,00.
e) R$ 700,00.
101 (UEG – 2002 – IQUEGO) Um grupo de 5 amigos
resolveu fazer um consórcio de dinheiro e acertaram as
seguintes cláusulas:
1. O valor de cada mês será o valor do mês anterior
acrescido de 3%.
2. Aplicada a cláusula 1, o valor de cada mês será
ajustado para um valor inteiro, da seguinte forma: de x,01
até x,50, será ajustado para (baixo) x,00; e de x,51 até
x,99, será ajustado para (cima) (x+1),00. Exemplo: 42,45
é ajustado para 42 e 42,65 é ajustado para 43.
Considerando um valor inicial de R$ 150,00, a
seqüência que representa os valores pagos por cada
participante do consórcio é:
a) 150, 153, 156, 159 e 162
b) 150, 154, 158, 162 e 166
c) 150, 154, 159, 164 e 169
d) 150, 154, 159, 164 e 168
102 (UA – AM). Em quanto tempo um capital, aplicado à
taxa de 5% ao mês, produz, a juros simples, 50% do seu
valor?
a) 8 meses
b) 1 ano
c) 10 meses
1 ano e 2 meses.
77. (BM-2004) O óleo de motor de carro para 5.000 km
custa R$ 6,00 o litro, e o óleo para 10.000 km custa R$
8,00 o litro.
Considerando que durante um mês o carro percorre 10.000
km, optar pelo óleo de 10.000 km representa uma
economia de
a) 60%
b) 50%
9
Matemática
c) 40 %
d) 30%
103. Miguel Luis investiu R$ 50000,00 em uma
instituição financeira que paga juros simples de 3% ao
mês. Depois de 4 meses de investimento, qual é o total
de juros e o montante que Miguel Luís vai receber?
a) 6000,00 e 56000,00
b) 8000,00 e 58000,00
c) 10000,00 e 60000,00
d) 5000,00 e 55000,00
104. (UEG – 2006 – AGANP) Qual o valor do juro
simples que será conseguido em uma aplicação de $
2.000, por 18 meses, a uma taxa de 6% ao ano?
a) $ 1.200
b) $ 216
c) $ 180
d) $ 120
105. (UEG – 2005 – Soldado PM) João emprestou
3/5 de um capital a 2% ao mês e o restante a 2,5% ao
mês, ambas as partes a juro simples, por um período
de 4 meses. Ao final, recebeu um montante de R$
1.088,00. O capital que João emprestou a 2% foi de
a) R$ 600,00.
b) R$ 500,00.
c) R$ 560,00.
d) R$ 620,00.
106. (UEG – 2004 – CELG) Uma quantia de R$
920,00 foi dividida em duas partes, de forma que a
primeira, aplicada durante 2 meses a juros simples de
8% ao mês, renda os mesmos juros que a segunda,
aplicada a 10% ao mês durante 3 meses, também a
juros simples.
A primeira parte é de
a) R$ 580,00.
b) R$ 600,00.
c) R$ 640,00.
d) R$ 680,00.
e) R$ 700,00.]
68. (BM-2004) O senhor Tales tomou um empréstimo
de R$ 500,00 a juros de 8% ao mês, para pagar em
três parcelas, sendo que o juro incide sobre o saldo
devedor. A primeira parcela, de R$ 240,00, será paga
ao final do primeiro mês. A dívida será quitada na
terceira parcela, no valor de R$ 216,00, ao final do
terceiro mês.
O valor a ser pago pelo senhor Tales na segunda
parcela, no final do segundo mês é de
a) R$ 124,00
b) R$ 128,00
c) R$ 168,00
d) R$ 228,00
107. Um capital de R$ 150,00, aplicado no sistema de
juros simples, produziu um montante de R$ 162,00
após 4 meses de aplicação. Qual a taxa de juros?
a) 1% a.m.
b) 2% a.m.
c) 3% a.m.
d) 4,5 % a.m.
•
•
•
•
•
Comprimento → metro (m)
Superfície → metro quadrado (m2)
Volume → metro cúbico (m3)
Capacidade → litro (L)
Massa → grama (g)
1.1. Múltiplos
Chamados múltiplos às unidades de medida superiores à
uma unidade principal. Os múltiplos são 10, 100, 1000
vezes maiores, e são indicados pelos prefixos gregos:
• deca (da) → 10 vezes
• hecto (h) → 100 vezes
• quilo (k) → 1000 vezes
Esses prefixos sãos seguidos sempre da unidade principal.
Ex.:
km (quilômetro) → 1.000 metros
kL quilolitro → (1.000 litros)
1.2. Submúltiplos
Chamamos “submúltiplos” às unidades menores do que a
unidade considerada principal. Os submúltiplos são 10.
100. 1000 vezes menores do que unidade principal e são
indicados pelos prefixos latinos.
• deci (d) → décima parte (1/10)
• centi (c) → centésima parte (1/100)
• mili (m) → milésima parte (1/1000)
Regra prática
÷10
Km
É o sistema de medida adotado oficialmente pelo Brasil.
Algumas unidsdes:
Apostilas
Brasil
C ultural
dam
m
dm
cm
mm
• Se for, por exemplo, metro quadrado elevamos 10 ao
quadrado.
Relações importantes
1 dm3 = 1 L.
1 há = 1 hm2.
Exercícios
108. Dois sítios, um de 8 ha e 6 a e outro de 200000 m2
foram unidos, formando uma propriedade única, de:
a) 28060
b) 280,6
c) 28,06
d) 2806
109. Julgue os itens e assinale os corretos.
a) Para se ladrilhar uma parede de 12 m por 2,5 m
(retangular) serão necessários 1334 ladrilhos quadrados de
1,5 dm de lado.
b) uma caixa de dimensões 30 cm x 12 cm x 9 cm
(medidas internas) pode conter em seu interior mais de 4
litros de água.
c) 12 g/mL equivale a 0,12 kg/dL.
d) Um terreno de 25 hectares pode ser dividido em 8 lotes
de áreas iguais e exatas, medidas em dam2.
110. Em um pedaço de papelão recortamos a figura
abaixo, que será utilizada na montagem de uma caixa.
3
1
Unidades de Medidas
1. Sistema métrico decimal
hm
x 10
1
3
1,5
1
10
Matemática
Sabendo que as medidas da figura estão em decímetros
é FALSO afirmar que:
a) A área desta figura é 0,18 m2.
b) Se o m2 do papelão custa R$ 0,50, para recortar
cinco figuras como esta, serão gastos R$ 0,45.
c) O
volume
da
caixa
obtida
dobrando-se
adequadamente nos lugares pontilhados, como mostra
a figura é de 450 cm3.
d) Se utilizarmos esta caixa para armazenar polvilho,
podemos colocar nela 4,5 litros de polvilho.
111. “O ministério da saúde adverte: fumar é prejudicial
à saúde”. Em cada cigarro de uma determinada marca
são encontrados:
5 mg de alcatrão
0,5 mg de nicotina
5 mg de monóxido de carbono
Sabendo também uma carteira de cigarro contém
cigarros, é VERDADEIRO afirmar que:
a) Uma carteira de cigarros contem 10% de 1 g
alcatrão.
b) Um cigarro contem 0,005 g de nicotina
c) A quantidade de nicotina equivale a 1%
quantidade de monóxido de carbono
d) A soma das quantidades de nicotina e monóxido
carbono em um cigarro é de 0,55 dg.
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES – 2º GRAU
 a → acompanha x 2

a . x 2 + b . x + c = 0  b → acompanha x
 c → termo independente

a ε R *, b ε R , c ε R
 ∆ > 0 → 2 raízes reais e diferentes

∆ → discri min ante  ∆ = 0 → 2 raízes reais e iguais
 ∆ < 0 → Não possui raízes reais

∆ = b2 − 4 . a . c
Bháskara → x =
−b± ∆
2 . a
EXERCÍCIOS
112. Resolva as seguintes equações:
a) x²-3x+2=0
b) 2y²-14y+12=0
c) -x²+7x-10=0
d) 5x²-x+7=0
e) y²-25=0
f) x²-1/4=0
g) 5x²-10x=0
h) 5+x²=9
2X
5
5
x +1
i)
=
J) 3 +
=−
5
X
x −2
x
113. A diferença entre o quadrado de um número
natural e o seu dobro é 35. Qual é o número?
a) – 5
b) – 7
c) 5
d) 7
20
de
114. A metade do quadrado de um número menos o
dobro desse número é igual a 30. Determine esse número.
a) 10 ou – 6.
b) – 10 ou – 6.
c) 10 ou 6.
d) – 10 ou 6.
115. Se do quadrado de um número inteiro e positivo
subtrairmos 6, o resto será 30. Qual é esse número?
a) 2
b) 4
c) 6
D) 8
116. O produto de dois números inteiros é 108 e o maior é
igual ao menor acrescido de 3 unidades. Qual o menor
número?
a) 12
b) 10
c) 11
d) 9
e) 8
da
de
117. Dada a equação:
x2 + 5 x + 6 = 0. Podemos afirmar que a mesma:
a) Possui duas raízes reais e iguais.
b) Possui duas raízes reais e diferentes.
c) Não possui raízes reais.
d) Possui somente uma raiz.
118. A função f(x) = x2 + 4x+ 2b possui duas raízes e
distintas se, e somente se,
a) b for maior ou igual a 2
b) b for menor que 2
c) b for qualquer número real
d) b for qualquer número negativo
119. Resolva as seguintes inequações.
(4 x − 7).( x + 1)
a)
>0
4−x
b) (2x + 3) ( 5 x + 1) ≥ 0
c) – 3 x2 – x + 2 > 0
d) x2 – 6x + 9 ≥ 0
e) (x2 – 4) (3 – x) ≤ 0
120. Resolvendo a inequação a seguir, no conjunto dos
naturais, a soma das soluções será:
3x − 4 −
x +1
≤3
2
a) 8
b) 6
c) 4
d) 2
e) 0
121. O conjunto solução :
S = {x ε R/ - 4 < x < 3} pertence à inequação:
a) x2 – x + 12 < 0
b) x2 + x + 12 > 0
c) x2 – x – 12 < 0
d) x2 + x – 12 < 0
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11
Matemática
FUNÇÕES
1. Plano Cartesiano
Cada ponto do plano cartesiano é identificado por um
único par de números, chamadas coordenadas do
ponto.
qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B
Exemplo: No exemplo anterior
A = {1;2;3}
B = {3.4}
A x B = {(1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;3), (3, 4)}
Exemplo de uma relação:
R = {(1;3), (3;3)}
eixo das ordenadas
y
2º quadrante
1º quadrante
3º quadrante
x
4º quadrante
origem
eixo das abscissas
5. Imagem
É o conjunto de todos os elementos de B que são imagens
de pelo menos um elemento de A.
6. Função
É toda relação de A em B na qual:
Todo elemento de A, está associado um único
elemento em B.
y
P
b
4. Domínio
É o conjunto de todos os elementos de A que estão
associados a pelo menos um elemento de B.
B
A
1
2
3
4
5
1
2
0
a
x
3
4
6.1. Sinais de uma função
f: A
B
f(x)
f(x) > 0
O ponto P da figura tem coordenadas (a;b).
-3 0
y
2
6
x
f(x) > 0
z R
Os pontos onde o gráfico corta o eixo 0x correspondem aos
valores de x que possuem imagens iguais a zero São os
ZEROS DA FUNÇÃO.
Q
0
w
x
6.2. Função crescente
y
f(x2)
• Se a ordenada vale zero o ponto está situado no eixo
das abscissas. Q (w;0)
• Se a abscissa vale zero o ponto está situado no eixo
das ordenadas R (0;z)
• Se a abscissa e a ordenada valem zero o ponto está
na origem O (0;0)
2. Produto Cartesiano
Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chama-se
produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os
pares ordenados (a;b) com a ∈ A e b ∈ B.
A x B = {(a;b) / a ∈ A e b ∈ B}
Exemplo:
A = {1;2;3}
B = {3.4}
A x B = {(1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;3), (3, 4)}
f(x1)
0 ax1
x2b x
•
X2 > x1 → f(x2) > f(x1)
Por isso, dizemos que f é uma função crescente no
intervalo [a;b]
6.3. Função decrescente
y
f(x1)
f(x2)
0 ax1
x2b x
3. Relação
Denomina-se relação (lê-se: relação de A em B) a
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12
Matemática
• X2 > x1 → f(x2) < f(x1)
Por isso, dizemos que f é uma função decrescente no
intervalo [a;b]
2 x = 4 → x = 4/2
x=2
S={2}
6.4. Função constante
6.7.2 Gráfico da função do
primeiro grau
4
y
3
2
1
-4 -3 -2 -1
0
1 2 3 4x
Vejamos um exemplo:
• Dada a função: f(x) = 2x – 3.
• Monta-se a tabela atribuindo valores para x e obtendo-se
os valores de f(x).
x
–1
0
1
2
3
f(x)
–5
–3
–1
1
3
• Marca-se os pontos no plano cartesiano
f(x)
-2
5
4
3
2
1
-3
-4
• X2 > x1 → f(x2) = f(x1)
Por isso, dizemos que f é uma função constante no
intervalo [a;b]
6.5. Função inversa
Dada a função f: A → B, definida por
y = f(x) podemos obter a lei da função inversa f–1 da
seguinte forma:
• na lei de formação f(x) trocamos a variável x por y e y
por x;
• em seguida isolamos y, obtendo a lei da função
inversa f–1.
Exemplo:
Seja: f(x) = 2x – 4
Trocando x por y:
x = 2y – 4
Isolando y:
x + 4 = 2y → y =
x+4
x+4
→ f −1 ( x ) =
2
2
6.6. Função composta
Dadas duas funções f e g, chama-se função composta
de f com g representa-se fog a função definida por:
fog(x) = f(g(x))
Exemplo:
Dadas as funções: f(x) = 2x + 1 e
g(x) = x – 4, temos:
f(g(x)) = 2 (g(x) ) + 1 (no lugar de x colocamos g(x)),
fog = 2 (x – 4) + 1 → fog = 2x – 8 + 1 → fog = 2x – 7
4
5
-1 0 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
-5
x
• O gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta
oblíqua (inclinada).
f(x)
5
4
3
2
1
f(x) = 0
-1 0 1 2 3 4
-1
-2
f(0)
-3
-4
-5
x
f(x) = 2x -3
6.7. Função do primeiro grau
Chama-se função do primeiro grau toda função definida
de R em R por:
f(x) = a x + b, com a ε R* e b ε R.
6.7.1. Zeros da função (raízes)
São os valores de x para os quais a função se anula.
Uma função de primeiro grau admite um único zero.
Exemplo:
f(x) = 2x – 4
Para calcular a raiz da função basta igualar, a função, a
zero, ou seja:
0 = 2x – 4 → – 2x = – 4 → multiplicando por “menos
1”. Apostilas
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6.7.3. Coeficientes
• a → coeficiente angular (é calculado pela tangente). Se a
> 0 → a função é crescente. Se a < 0 → a função é
decrescente.
• b → coeficiente linear (mostra onde a função intercepta o
eixo das ordenadas – “corta y”).
6.8. Função do segundo grau
Chama-se função do segundo grau toda função definida de
R em R por:
f(x) = a x2 + b x + c, (a ε R*, b ε R e c ε R)
13
Matemática
6.8.1. Zeros da função (raízes)
São os valores de x para os quais f(x) = 0, ou seja:
a x2 + b x + c = 0 → EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU.
Resolve-se uma equação do segundo grau usando a
fórmula de Bháskara:
−b± ∆
x=
2a
Onde ∆ é chamado discriminante. Calcula o
discriminante como sendo:
∆ = b 2 − 4.a.c
 ∆ > 0 → 2 raízes reais e diferentes

Raízes  ∆ = 0 → 2 raízes reais e iguais
 ∆ < 0 → não possui raízes reais

6.8.2 Gráfico da função do segundo grau
O gráfico de uma função do segundo grau é uma curva
chamada PARÁBOLA.
• Se a > 0 → a parábola tem a concavidade voltada
para cima.
A>0
É toda função definida de R em R por:
f(x) = ax, com a ε R* e a ≠1.
6.9.1. Comportamento
• Se a > 1 → a função será crescente.
• Se 0 < a < 1 → a função será decrescente.
6.10. Função logarítmica
É toda função definida de R em R por:
f(x) = loga x, com a ε R* e a ≠1.
6.11. Logaritmo
logab = x (logaritmo de b na base a)
(a é a base; b é o logaritmando e x é o logaritmo)
Por definição, temos:
logab = x → ax = b
• log b → se a base for omitida significa que a mesma é
dez.
6.11.1. Condições de existência
• a base tem que ser um número positivo e diferente de 1.
• o logaritmando tem que ser um número real e positivo.
6.11.2. Algumas propriedades operatórias
• loga (b . c ) = logab + logac
• loga (b ÷ c ) = logab – logac
• loga bn = n . logab
eixo de
simetria
EXERCÍCIOS
Vértice
122. Se uma função do primeiro grau é da forma
f(x)=ax+b tal que b= – 11 e f(3)=7, obtenha o valor do
coeficiente angular.
V
Concavidade voltada
para cima
123. (UNITINS – 2005 – PM) Sabendo que f(x) = x2 +
• Se a < 0 → a parábola tem a concavidade voltada
para baixo.
A<0
Vértice
1 e g(x) = x – 1, qual o valor de:
a) 2
c) – 2
f (g( x )) − g(f ( x ))
x −1
b) 0
d) 3
V
124. (UEG – 2005 – Soldado PM) A figura abaixo
representa os gráficos VA e VB, respectivamente, dos
valores, em reais, do aluguel de um mesmo carro, em duas
concessionárias distintas, A e B, em função da quantidade
x de quilômetros rodados.
eixo de
simetria
V
Concavidade voltada
para baixo
6.8.2 Vértice
y
km
f(0)
c
b/2a
0
- ∆/4a
6.9. Função exponencial
x
V
Sabendo que os gráficos de VA e VB interceptam o eixo y
nos pontos (0,100) e (0,200), respectivamente, e que o
ponto (100,250) é comum aos dois gráficos, é CORRETO
afirmar que:
a) VA (x) = 0,50 x + 100
b) VA (90) < VB (90)
c) VA < VB, para todo x > 100
d) VB(x) = x + 200
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14
Matemática
125. Iram é representante comercial. Ele recebe
mensalmente um salário composto de duas partes: uma
fixa, no valor de R$ 1200,00 e uma variável, que
corresponde a uma comissão de 7% sobre o total de
vendas que ele faz durante o mês. Se o total de vendas
no mês de dezembro foi de R$ 10000,00, quanto
recebeu Iram nesse mês?
a) R$ 700,00
b) R$ 1270,00
c) R$ 1900,00
d) R$ 1970,00
TRIGONOMETRIA
Triângulo Retângulo
a2 = b 2 + c2
126. Edilene vai escolher um plano de saúde entre
duas opções: A e B.
• O plano A cobra R$ 100,00 de inscrição e R$ 50,00
por consulta em certo período.
• O plano B cobra R$ 180,00 de inscrição e R$ 40,00
por consulta no mesmo período.
Se Edilene usar o plano 10 vezes no período, qual é o
mais econômico?
a) o plano A.
b) o plano B.
c) qualquer um dos dois o valor pago será o mesmo
d) o plano B é duas vezes mais barato que o plano A,
no período citado.
127. Desprezando-se a resistência do ar, a trajetória
de uma bola em um chute descreve uma parábola.
Supondo que a altura h (em metros) em que a bola se
encontra, t segundos após o chute, seja dada pela
função: h = - t2 + 6 t, assinale a alternativa correta.
a) a bola atinge a altura máxima em 5 s.
b) a altura máxima atingida pela bola é 9m.
c) O eixo de simetria da parábola passa por t = 4 s.
d) a parábola tem a concavidade voltada para cima.
128. Determine x.
a) log3 81 = x
b) log 10000 = x
c) log2 (x2 + 5x + 2) = 4
129. dados:
log 2 = 0,3010
log 3 = 0,4771
log 5 = 0,6990
log 11 = 1,0414
calcule:
a) log 22
b) log 15
c) log 33
d) log 55
130. Determine x.
a) 2x = 8
b) 25
c)
x
=35
5 x +1
25 x
= 125
cateto oposto b
=
hipotenusa
a
cateto adjacente c
cos α =
=
hipotenusa
a
cateto oposto
b
tgα =
=
cateto adjacente c
senα =
senβ =
cateto oposto c
=
hipotenusa
a
cos β =
cateto adjacente b
=
a
hipotenusa
tgβ =
cateto oposto
c
=
cateto adjacente b
Ângulos mais importantes
30º
45º
60º
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
3
Lei dos senos
a
b
c
=
=
= 2R
senA senB senC
Lei dos co-senos
a2 = b2 + c2 - 2 . b. c . cosA
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15
Matemática
EXERCÍCIOS
128. Nas figuras seguintes, calcule o seno, o coseno e a tangente dos ângulos α eβ:
automóvel está estacionado em uma das estradas, a 1,5
km da sua junção.
A distância que o automóvel se encontra em relação à
outra estrada é de
a) 750 m.
b) 850 m.
c) 500
2 m.
d) 750
3 m.
133. Um caminhão sobe uma rampa inclinada em relação
ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de
comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva,
verticalmente, após percorrer toda a rampa?
Dados: sen 10º = 0,174; cos 10º = 0,985;
tg 10º =
0,176
129. Determine x nos seguintes triângulos
retângulos:
134. Um móvel parte de A e segue numa direção que
forma com a reta AC um ângulo de 30°. Sabe-se que o
móvel caminha com uma velocidade constante de 50 Km/h.
Após 3 h de percurso, a distância a que o móvel se
encontra de AC é de:
a) 75 km
b)
75 3km
c)
50 3Km
d)
e)
50 km
75 2 Km
135. Em uma operação de salvamento, o Corpo de
Bombeiros armou um cabo (corda) do terraço de um
prédio de 16 metros de altura, ate uma viatura parada a 12
metros do mesmo. Sabendo-se que o prédio forma um
ângulo reto com a calçada, qual é o comprimento da corda
utilizada no resgate?
a) 28m
b) 48m
c) 20m
d) 18m
130. Calcule x e y na figura seguinte:
136. Uma pessoa está distante
80 m da base de um
prédio e vê o ponto mais alto do prédio sob ângulo de 16º
em relação à horizontal. Sendo a tangente de 16º = 0,28
determine a altura do prédio.
137.. Dois observadores A e B vêem um balão,
respectivamente sob ângulos visuais de 20º e 40º,
conforme indica a figura. Sabendo que a distância entre A
e B é de 200 m, calcule h. Dados: tg 20º = 0,364 e
tg 40º = 0,839.
131. (UEG – 2005 – Soldado PM) Uma rampa plana
de 28 m de comprimento faz um ângulo de 30º com o
plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira
eleva-se verticalmente a
a) 14 metros.
b) 28 metros.
c) 14 3 metros.
138. (FUVEST – SP) Calcule x indicado na figura.
d) 9 3 metros
132. (UEG – 2004 – Bombeiro) Duas estradas retas
cruzam-se formando um ângulo de 30º entre si. Um
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16
Matemática
EXERCÍCIOS
139. Uma escada apoiada em uma parede, num ponto
distante 4 m do solo, forma com essa parede um
ângulo de 60º. Qual o comprimento da escada?
142. Escreva os cinco primeiros termos de uma PA de
raz~]ao r, sabendo que a1 =– 5 e a razão é 6.
140. Dado o triângulo da figura, calcule x e y.
143. Se 2x – 3, x2 e 5 x, nessa ordem são três termos
consecutivos de uma PA, calcule esses termos e a razão da
PA.
144. A soma dos três primeiros termos de uma PA é 15.
Determine esses termos, sabendo que o 3º é o quádruplo
do 1º.
141. Num triângulo ABC, b = 4 m,
30º. Calcule a medida a.
c =
3 eA=
142. Num triângulo ABC, temos: a = 1+ 3 , b = 2 e C
= 30º. Calcule o perímetro desse triângulo.
145. Numa festa de encerramento de um grande torneio
esportivo, todos os atletas foram dispostos em filas, de
modo a formar um triângulo, como indica a figura a seguir.
Quantos atletas participaram do torneio?
1ª fila
2ª
3ª
4ª
143. Uma escada, que mede 2,20 m de comprimento,
acha-se apoiada numa parede vertical e forma um
ângulo de 60º com o plano horizontal. Se uma pessoa
está no topo da escada, a que altura ela se encontra do
chão?
40ª
SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS P.A. e P.G.
1. Seqüência ou sucessão
É um conjunto finito ou infinito de elementos de
qualquer natureza organizados ou escritos numa ordem
bem determinada.
Exemplos.
a) (2, 3, 5, 7, 11, 13, ...) → números naturais primos,
em ordem crescente.
b) (janeiro, fevereiro, março, ..., dezembro) → meses
do ano.
1.1. Termo geral da seqüência
(a1; a2; a3; a4; ... an ...) (n ε N*)
• Os índices associados à letra indicam as posições dos
termos na seqüência.
3. Progressões geométicas (PG)
Toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é
igual a seu antecessor multiplicado por um número
constante q, denominado razão da PG.
an = an–1 . q (n ≥ 2)
3.1. Classificação
•
•
•
•
a1 > 0 e q > 1 → crescente.
a1 < 0 e q > 1 → decrescente.
q = 1 → constante.
a1 ≠ 0 e q < ) → alternante.
3.2. Termo geral de uma PG
an = a1 . qn – 1
2. Progressões aritméticas (P.A.)
Toda seqüência em que cada termo, a partir do
segundo, é igual à soma de seu antecessor com um
número constante r, denominado razão da P.A.
an = an–1 + r (n ≥ 2)
3.3. Soma dos termos de uma PG finita
n
a (q −1)
sn = 1
(q ≠ 1)
q −1
3.4. Soma dos termos de uma PG infinita
2.1. Classificação
• r > 0 → crescente.
• r < 0 → decrescente.
• r = 0 → constante.
sn =
a1
1−q
2.2. Termo geral de uma PA
an = a1 + (n – 1) . r
2.3. Soma dos termos de uma PA
Sn =
(a1 + an )
•n
2
EXERCÍCIOS
146. Se (x – 1, x + 3, 6x) é uma PG, calcule x e cada um
de seus termos.
147. Numa PG a soma e o produto dos seus três primeiros
termos são, respectivamente, 13 e 27. Determine esses
termos.
Apostilas
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17
Matemática
148. Calcule:
4. Matriz linha
É a matriz formada por elementos de uma só
1 1 1
a) 1 + + + + • • •
2 4 8
b) 0,9 + 0,09 + 0,009 + • • •
linha.
5. Matriz coluna
É a matriz constituída por elementos de uma única
149. Determine o primeiro termo de uma PG de razão
3, sabendo que a soma dos seus cinco primeiros termos
é 242.
150. Calcule a soma dos dez primeiros termos da
seqüência:
 4 8 16

 , , ,• • • 
3
3
3


coluna.
6. Notação:
Os elementos de uma matriz. A são indicados de
forma genérica por
aij onde:
i = posição da linha
j = posição da coluna.
Exemplo:
a1,3 = elemento da 1ª linha e 3ª coluna.
a4,4 = elemento da 4ª linha e 4ª coluna.
Matrizes
1. Definição
A uma tabela de números dispostos em linhas
e colunas, damos o nome de matriz. Cada número da
matriz é chamado de elemento.
Uma matriz do tipo m x n (m por n) tem m
linhas e n colunas e, portanto, m, n elementos.
Exemplo:
Uma sala de aula tem 40 alunos que têm notas
em oito disciplinas. As médias anuais foram lançadas
em uma tabela.
A matriz formada pelas notas tem quantos
elementos?
Você observou que m=40 linhas e n=8
colunas.
m.n=40.8=320 elementos (notas).
2. Representação de uma matriz
Genericamente, temos:
A=(aij)mxn
Aij = elemento
i varia de 1 a m;
j varia de 1 a n;
m x n = ordem da matriz
a11a12 a13a14 ...a1n 
a a a a ...a

 21 22 23 24 2 n 
a 31a32 a 33a 34 ...a 3n 


a 41a 42 a 43 a 44 ...a 4 n 

A=
.



.

.



a m1a m 2 a m 3a m 4 ...a mn 
Os elementos de uma matriz podem se colocados
entre:
a) parênteses
b) colchetes
c) barras duplas verticais
7. Matriz nula
Exemplo:
8. Matriz transposta
 2 3 4  2 3 4  2 3 4
=
A=
 =
1 0 1  1 0 1  1 0 1
Veja que a matriz A é de ordem
duas linhas e três colunas.
2 x 3, isto é
É uma matriz em que todos os seus elementos
são iguais a zero.
Definição:
Se A = (aIJ)mxn então B= At = (bJI)nxm
1ª linha de A ⇒ 1ª coluna de B;
2ª linha de A ⇒ 2ª coluna de B;
e, assim, sucessivamente!
9. OPERAÇÕES
3. Matriz quadrada
Uma matriz é quadrada quando m = n
9.1. Igualdade de matrizes
Duas matriz A e B são iguais se, e somente se, têm a
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18
Matemática
mesma ordem e os elementos que ocupam as mesma
posições (correspondentes) são iguais.
Observe as tabelas abaixo feitas por um estudante
sobre seu gasto mensal e de mais dois amigos que sempre
usam seus respectivos carros quando vão à churrascaria.
9.2 Adição de matrizes
Dois clubes estão nas finais de um campeonato. Duas
campanhas estão representadas ao lado.
2º turno
J
V
D
E
PG
nome
Marco Aurélio
Minie
Ricardo
Almoço
10
5
3
jantar
6
12
7
Os números indicam o número de vezes que eles
foram ao restaurante e usaram o estacionamento.
2º turno
J
V
D
E
PG
refeição
almoço
jantar
restaurante
10
8
estacionamento
3
2
Os números indicam valores em reais.
Você vai determinar quanto deve cada um ao dono
do estacionamento.
10 3


 8 2
Como ficarão os clubes, quando fizermos primeiro e
segundo juntos? Escreva os resultados em uma matriz
C=A+B
A+B
Portanto, a adição de duas matrizes A e B
somente poderá se efetuada se as matrizes forem de
mesma ordem.
Cada elemento de C = A + B é obtido pela
soma dos elementos correspondentes de A e B.
10 6 
148 42
5 12 = 146 39 




3 7 
86 23
Observe os gastos de cada um:
Marco Aurélio:
10 .10 = 100 almoço
9.3. Diferença de duas matrizes
6 . 8 = 48
A - B = A + (-B)
Exemplo:
1 2 4 

A=
0 − 1 3 


2 4 8

2A = 
0 − 2 6 


− 3 − 6 − 12

− 3A = 
 0 −1 − 9 


148 churrascaria
10 . 3 = 30 estacionamento diurno
9.4. Multiplicação de uma matriz por um número real
P = KA, K ∈ R
Vocês obtém os elementos da matriz P
multiplicando todos os elementos de A por K.
jantar
6 . 2 = 12
estacionamento noturno
5 . 10 = 100
12 . 8 = 96
146 churrascaria
5 . 3 = 30
12 . 2 = 24
39 estacionamento
42
Minie:
Ricardo:
3 . 10 = 30
7 . 8 = 56
3.3 = 9
7 . 2 = 14
86 churrascaria
23 estacionamento
Observações:
•
•
•
•
k(A+B)=KA+KB
-1.A=-A
(K1+K2).A=K1.A+K2.A
K1.(K2.A)=K1,K2.A
9.5. Multiplicação de Matrizes
No horário do almoço, uma churrascaria cobra
R$ 10,00 por pessoa e o estacionamento custa R$ 3,00.
No período noturno, o jantar está em promoção
por R$
8,00 e o estacionamento por R$ 2,00.
Apostilas
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Resposta:
Nome
Marco Aurélio
Minie
Ricardo
restaurante
148
146
86
Os valores estão em reais.
Condição de existência do
matrizes: A . B = C
estacionamento
42
39
23
produto
de
duas
19
Matemática
Exemplo:
Para que o produto de duas matrizes exista, o
1 2

A = 
 5 4
número de colunas da primeira matriz deve ser igual
ao número de linhas da Segunda.
A
(m x p)
B
=
(p x n ) ⇒
Mais alguns exemplos:
det (A) = 4 – 10 = –6
• Determinante de uma matriz 3 x 3:
(5 x 4) (4 x 7) ⇒ (5 x 7)
(3 x 2) (2 x 4) ⇒ (3 x 4)
(5 x 4) (5 x 4) = ∃/
Propriedades da multiplicação das matrizes
O cálculo do determinante de uma matriz A, 3 x 3, é
feito pelo desenvolvimento dos menores (ou menores
complementares) dos elementos de uma linha ou de uma
coluna.
Por exemplo, se escolhermos a primeira coluna:
a 11
a 12
a 13
• A multiplicação de matrizes não é comutativa.
Mesmo que exista A . B, o produto B . A pode nem
existir.
a 21
a 31
a 22
a 32
(–1)1+1 . a11 .
• Distributiva em relação à adição
A . (B + C) = A . B + A . C
(B + C) . A = B . A + C . A
• Matriz identidade
É uma matriz quadrada onde os elementos da
diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais são
iguais a zero.
a 22
a 32
I3 = 0 1 0
1
det (A) = 1
0
0 0 1
Se A é uma matriz (m x n):
Im . A = A
A . Im = A
• Multiplicação pela matriz nula
Respeitando as condições de existência do
produto:
0.A=0
A.0=0
• Se existe A . B, então:
(A . B)t = Bt . At
a 23
a 12
+ (−1) 2+1.a 21.
a 33
a 32
a 12
a 22
a 13
+
a 33
a 13
a 23
Exemplo:
Qual o valor do determinante abaixo,
desenvolvendo pelos menores complementares dos
elementos da primeira linha?
1 0 0
1 0
a 23 =
a 33
+ (–1)3+1 . a31 .
• Associativa
(A . B) . C = A . (B . C)
I2 = 

0 1 
2 − 5 .2
4 1 .4
1
5
det (A) =
C
(m x n)
2
3
−1
1
2
−2
−1
2
1
−2
Solução:
det (A) =1. (–1)1+1 .
(–1)1+3 . 3
+ (–1)1+2 . 2
1
2
0 −2
+
1 −1
0
1
det (A) = 1 . (2–2) –2 . (–2–0) + 3 . (1–0)
det (A) = 0 + 4 + 3
det (A) = 7
Determinantes
Cálculo de determinantes
• Determinante de uma matriz 2 x 2: O determinante
de uma matriz A, 2 x 2, é o número:
det (A) = a11 . a22 – a12 . a21
Regra de Sarrus
No caso de uma matriz quadrada 3 x 3, podemos
utilizar uma regra prática:
inverta o sinal
a 11
a 12
a 13 a 11
a 12
a 21
a 31
Notação:
a 22
a 32
a 23 a 21
a 33 a 31
a 22
a 32
mantenha o sinal
a 11 a 12
= a 11 .a 22 − a 12 .a 21
a 21 a 22
det (A) = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 .
a32
–a31 . a22 . a13 – a32 . a23 . a11 – a33 . a21 . a12
Apostilas
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20
Matemática
Veja como fica o exemplo anterior pela regra
de Sarrus.
0
1
2
1
0
−1
1
3
1
-2 +4
2
−1
1
2 1
−2 0
det (A) = 7
• Menor complementar
Como você notou, o menor complementar de
um elemento aij é o determinante que se obtém
eliminando a linha i e a coluna j do elemento escolhido.
Assim, na matriz A abaixo:
1
3
5


A =  4 −1 2 
3
1
2 

D11 =
−1
2
1
2
= −4
D11 = –4 é o menor complementar de a11=5
a21= 4
D21 =
1 3
1 2
Se uma matriz quadrada A é invertível, então é
única a matriz B, tal que A . B = In
• Como determinar a matriz inversa
1 1 
A=

2 3
Solução:
+2 0 +3
a11 = 5
Teorema
= 2 –3 = –1
D21 = –1 é o menor complementar de a21 = 4
• Cofator
Chama-se cofator Aij do elemento aij o número
Aij = (–1)i+j . Dij
Teorema de Laplace
SEJA uma matriz quadrada n x n. O
determinante da matriz é igual à soma dos
produtos dos elementos de uma fila (linha ou
coluna) pelos respectivos cofatores.
Assim, se você escolher a primeira coluna:
Det (A) = a11 . A11 + a21 . A21 + a31 . A31 + ... an1 . An1
Observe que no caso de determinantes de
matriz de ordem n > 3, o método de Laplace é muito
trabalhoso.
Dica:
Fica muito mais fácil se você conseguir filas
com maior número de zeros possível.
5.3. Matriz Inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A
matriz quadrada B, de ordem n, é a inversa de A se, e
somente se:
A . B = B . A = In
Uma matriz quadrada A é não-singular quando
possui inversa.
não-singular = invertível (inversível)
singular = não-invertível
1 1 a b  1 0
2 3 ⋅  c d  = 0 1

 
 

a + c = 1

2a + 3c = 0
b + d = 0 ⇒ b = −d

2b + 3d = 1
− 2a − 2c = −2
logo –2d + 3d = 1
c = –2 d= 1
a=3
e b= –1
 3 −1
Resposta: A–1 = 

− 2 1 
Segundo modo:
A–1 =
1
⋅A
det(A )
A = matriz adjunta
Matriz adjunta ( A ) é a transposta da matriz dos
cofatores de A.
Importante:
– Se det (A) ≠ 0, a matriz A é inversível.
- Se det (A) = 0, a matriz A não admite inversa, isto é,
a matriz A é singular.
. MATRIZ INVERSA:
Quando o produto entre duas matrizes quadradas
de ordem n resultar em uma matriz identidade de mesma
ordem, diremos que estas matrizes são inversas entre si.
Uma matriz quadrada A de ordem n é dita
inversível se e somente se Det A ≠ 0.
Indicamos o produto pó A . A-1 = I, onde A-1 é a
matriz inversa de A.
Observação:
Para matrizes de ordem 2, a matriz inversa pode
ser obtida da seguinte forma: ( Dado uma matriz A de
ordem 2)
- Trocam-se os números da diagonal principal;
- Trocam-se os sinais dos números da diagonal
secundária;
- Divide-se esta matriz pelo det A.
EXERCÍCIOS
151 (SBM – 2004) Na segunda-feira, Aquiles, vendedor
da Livraria Grécia, vendeu 3 livros de português, 4 livros de
matemática e 4 livros de história por R$ 215,00. Na terçafeira, vendeu 2 livros de português, 3 livros de matemática
e 2 livros de história por R$ 140,00. Na quarta-feira vendeu
Apostilas
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21
Matemática
1 livro de português e 5 livros de matemática por R$
125,00.
O preço do livro de português é de:
a) R$ 10,00.
c) R$ 20,00.
b) R$ 15,00.
d) R$ 25,00.
152. (PM – 2005) Um caminhão pode carregar, no
máximo, 10 toneladas. Em uma cerealista, há um
estoque de arroz e feijão ensacados para serem
transportados. Cada saca de arroz pesa 60 kg, sendo
que a de feijão pesa 80 kg. A capacidade de carga do
caminhão é de 150 sacas, sejam de arroz ou de feijão
ou de ambos. Para que a carga do caminhão satisfaça
as duas condições, 10 toneladas e 150 sacas, é
necessário que:
a) a quantidade de sacas de feijão seja a metade da
quantidade das de arroz.
b) a quantidade de sacas de feijão seja igual à
quantidade das de arroz.
c) a quantidade de sacas de feijão seja o triplo da
quantidade das de arroz.
d) a quantidade de sacas de feijão seja a quarta parte
da quantidade das de arroz.
anuais de Cláudio, na mesma ordem acima apresentada,
bastará multiplicar essa matriz por:
a)
c)
 1 1 1 1 
1
2
b) 

 4 4 4 4 
1
4
1
4
1
4
1
4
d) ¼
Geometria
1. Perímetro (2p)
É a soma dos lados (?).
c
b
153. (PM – 2005) Karol tinha R$ 2,30 em moedas de
5 e de 25 centavos. Sabendo que ao todo ela tinha 18
moedas, é CORRETO afirmar que
a) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é par.
b) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é um número
primo.
c) o produto entre as quantidades de moedas é 56.
d) a quantidade de moedas de R$ 0,25 é maior que a
quantidade das de R$ 0,05.
154- (FEI-SP) Se B é a matriz inversa de A =
d
a
e
2p = a + b + c + d + e
• Circunferência
1 2
1 3
então:
a) B =
c) B =
R
2 3
b) B =
1 1
3 −2
−1 1
d) B =
2 1
3 1
2 3
1 1
2p = 2 • π • R
GAB= C
155- (UNIFICADO-RJ) Cláudio anotou suas médias
bimestrais de matemática, português, ciências e
estudos sociais em uma tabela com quatro linhas e
quatro colunas, formando uma matriz, como mostra a
figura:
Matemática
Português
Ciências
Est. Sociais
1°
bim
5,0
8,4
9,0
7,7
2°
bim
4,5
6,5
7,8
5,9
3°
bim
6,2
7,1
6,8
5,6
4°
bim
5,9
6,6
8,6
6,2
Sabe-se que as notas de todos os bimestres têm o
mesmo peso peso, isto é, para calcular a média anual
do aluno em cada matéria basta fazer a média
aritmética de suas médias bimestrais. Para gerar uma
nova matriz cujos os elementos representem as médias
2. Área
Medida da superfície delimitada por um perímetro.
2.1 Paralelogramos
Quadriláteros de lados opostos paralelos.
2.1.1. Paralelogramo qualquer
X
y
y
h
X
A = Base • Altura
A = x •h
Apostilas
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22
Matemática
p é semi − perímetro
a+b+c
p=
2
2.1.2.Retângulo
X
y
y
A=
p • (p − a )• (p − b )• (p − c )
2.3.2. Triângulo retângulo
X
A = Base • Altura
A=x•y
a
2.1.3. Quadrado
b
X
c
X
Base • Altura
A=
2
c•a
A=
2
X
X
A = Base • Altura
A=x•x
A=x
2.3.3. Triângulo eqüilátero
2
a
2.1.4.Losango
a
D
a
a2 3
A=
4
a
d
a
A=
a
h
2.4. Hexágono regular
a
a
diagonalmaior • diagonalmenor
2
D•d
A=
2
a
a
a
a
a
A = 6 • Área TRIÂNGULO
2.2. Trapézio
EQUILÁTERO
 a2 3 

A = 6
 4 


Quadrilátero de dois lados opostos paralelos e dois
lados opostos não paralelos
c
2.5. Círculo
b
h
d
R
a
A = Base ( média ) • Altura
a+ c
A=
•h
 2 
A = π • R2
3. Volume
2.3. Triângulo
3.1.Paralelepípedo
Polígono de 3 lados
2.3.1. Triângulo qualquer
b
c
c
b
Apostilas
Brasil
C ultural
a
a
23
Matemática
3.6. Cone
V = ÁreaBASE • Altura
V = a•b•c
3.2. Cubo
h
a
Base
circular
V=
a
a
V = A BASE • Altura
V = a•a•a
1
• A BASE • Altura
3
3.7. Esfera
V = a3
R
3.3.Prisma
V=
h
4
• π • R3
3
EXERCÍCIOS
V = A BASE • Altura
156. Um retângulo tem perímetro de 30 m e as medidas
de seus lados são números consecutivos. Qual e a área
desse retângulo?
157. A diagonal de um quadrado mede 7 2 cm. Qual é
área desse quadrado?
3.4. Pirâmide
158. Um prisma hexagonal regular tem 5 cm de altura, e a
aresta da base mede 3 cm. Determine o seu volume.
h
V=
1
• A BASE • Altura
3
3.5. Cilindro circular reto
Base
circular
V = A BASE • Altura
15
3cm3
4
135
b)
3cm3
2
27
c)
3cm3
2
45
d)
3cm3
4
a)
159. (UEG - PM-GO/2005) Em uma cidade existe uma
praça em forma de hexágono regular de 60 m de lado.
Deseja-se construir um jardim em forma de quadrado de
lado de 60 m no centro da praça, sendo que o restante
será pavimentado para passeio. A área a ser pavimentada
é de:
Para os cálculos, use a aproximação
a) 5.600 m2.
b) 5.520 m2.
c) 5.550 m2.
d) 5.580 m2.
3 = 1,7
V = π • R2 • h
Apostilas
Brasil
C ultural
24
Matemática
160. (UEG - PM-GO/2005) Um terreno retangular
tem área de 140 m2, e a diferença entre seus lados é
de 4 m. Para cercar esse terreno serão necessários
a) 60 metros de cerca.
b) 52 metros de cerca.
c) 48 metros de cerca.
d) 46 metros de cerca.
161. (UEG - PM-GO/2005) Um tanque, com a forma
de um cilindro circular reto, comporta 4.396 litros de
água. Se o raio da base do tanque mede
1 metro,
então a altura do tanque é de:
Para os cálculos, use a aproximação π = 3,14
a) 1,2 m.
b) 1,3 m.
c) 1,4 m.
d) 1,5 m.
162. (UEG - Bombeiro-GO/2005) Um recipiente em
forma de paralelepípedo retangular, com base de 1 m
por 1,2 m e altura de 80 cm, contém água até um nível
menor que 50 cm. Coloca-se dentro desse recipiente
um objeto que fica totalmente submerso. Após a
imersão do objeto, o nível da água sobe 30 cm.
O volume do objeto é de
a) 360 litros.
b) 380 litros.
c) 400 litros.
d) 420 litros.
163. (UNITINS - PM/2005) Calcule a área da região
limitada por duas circunferências concêntricas, uma
com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.
a) 44π cm2
b) 64π cm2
c) 24π cm2
d) 54π cm2
completamente. Quando foi retirado o bloco de chumbo, o
indicador de nível de água marcava que havia no recipiente
207.000 litros d’água. Portanto, o volume do bloco de
chumbo é de
a) 17,5 m3.
b) 18 m3.
c) 16,5 m3.
d) 19 m3.
FATORIAL
Para tornar mais práticas a representação e a
execução dos cálculos relativos aos problemas de
contagem, vamos introduzir um novo conceito: o produto n
x (n-1) x (n-2) x ... x 3 x 2 x 1 é chamado n fatorial, ou
fatorial de n, e representado por n!.
Convenciona-se que 1! = 1 e 0! = 1.
Exemplo:
1. 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
PRÍNCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um evento E é composto de duas etapas
independentes, E1 e E2, que podem ocorrer de n1 e n2
modos, respectivamente, então o evento E pode ocorrer de
n1 x n2 maneiras distintas.
Exemplo:
1- Uma lanchonete serve 3 tipos de diferentes de
sanduíches e 4 tipos de refrigerantes. Podemos calcular o
número de modos distintos de uma pessoa fazer um
lanche.
E1
3 tipos
E2
4 tipos
E
3 x 4 =12 modos
ARRANJO SIMPLES
164. (UNITINS - PM/2005) Na circunferência de
raio 2 cm está inscrito um hexágono. Qual a área desse
polígono?
(use 3 = 1,73 )
a) 11,58 cm2
b) 11,78 cm2
c) 10,38 cm2
d) 11,78 cm2
165. (UEG - IQUEGO/2005) Uma caixa d’agua, que
tem a forma de um cilindro circular reto cujo raio da
base mede 60 cm, contém água até um certo nível.
Colocando-se um pouco mais de água nessa caixa, o
nível aumenta em 10 cm. A quantidade de água
colocada posteriormente na caixa foi de:
(Considere π =3,14)
a) 188,4 litros.
b) 125,8 litros.
c) 113,04 litros.
d) 108 litros.
166. (UEG - SANEAGO/2006) Um tanque usado
para armazenar água tem a forma de um
paralelepípedo retângulo de 7,5 m de comprimento, 6
m de largura e 5 m de altura. Nesse tanque, além da
água, foi colocado um bloco de chumbo que ficou
totalmente submerso; com isso, o tanque encheu-se
Apostilas
Brasil
C ultural
Agrupamentos de elementos, que se distinguem
tanto pela natureza como pela ordem de seus elementos,
são chamados de arranjo simples.
A n,p = n!/(n - p)! ; n≥p
onde n é a quantidade total de elementos a serem
agrupados e p é o número de posições do grupo a ser
formado.
Observações: As permutações de n elementos nada mais
são que os arranjos simples de n elementos em n posições,
ou seja, quando o número de elementos do grupo a ser
formado é igual número de posições do grupo.
P n = n!
EXERCÍCIOS
167- (PUC/Campinas-SP) Considere placas de automóveis
com códigos como estes:
ANA – 3457
BUM – 5166
CHI – 2002
As três letras são escolhidas em um alfabeto de 26 letras.
Quantos códigos distintos existem, terminados com o
número 1000?
25
Matemática
a) 17576
d) 2600
b) 15600
e) 6
c) 5800
168- (Unifor-CE) O segredo de certo cofre é
constituído de 2 letras distintas (escolhidas entre as 23
do alfabeto) e 3 algarismos distintos (escolhidos de 0 a
9). Sabendo-se que a letra da esquerda é uma vogal e
que o algarismo da direita é divisível por 5, qual é o
número máximo de tentativas que podem ser feitas
para se abrir esse cofre?
a) 15840
c) 31680
b) 18840
d) 37680
169. (PM – 2005) As placas
formadas por três letras seguidas
O número de placas que podem
letras C, K e P e os algarismos
nenhum algarismos, é de
a) 720.
b) 360.
e) 63360
dos automóveis são
de quatro algarismos.
ser formadas com as
ímpares, sem repetir
a) 69
d) 12144
b) 2024
d) 9562
e) 13824
176. (Mackenzie) Uma prova de atletismo é disputada por
9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resultados
possíveis para a prova, de modo que pelo menos um
brasileiro fique numa das três primeiras colocações, são em
número de:
a) 426
c) 468
b) 444
d) 480
e) 504
177- (Unisinos-RS) Formam-se todos os números
compreendidos entre 2000 e 3000, com algarismos
distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4 e 5. O total de
números assim formados é:
a) 24
b) 48
c) 60
d)120
e) 240
178- (FURRN) A quantidade de anagramas da palavra
VESTIBULAR que apresentam todas as vogais à esquerda
de todas as consoantes é:
c) 120.
d) 60.
170. (Ufal) Quantos números pares de quatro
algarismos distintos podem ser formados com os
elementos do conjunto A={0,1,2,3,4}?
a) 10080
b) 12780
c) 16760
d) 17280
e) 21870
171. (Ufc) Assinale a alternativa na qual consta a
quantidade de números inteiros formados por três
algarismos distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e
que são maiores que 200 e menores que 800.
179- (UFMG) Numa cidade A, os números de telefones
têm 7 algarismos, sendo que os três primeiros constituem
o prefixo da cidade. Os telefones que terminam em 10
são reservados para as farmácias e os que têm os dois
últimos algarismos iguais, para os médicos e hospitais.
A quantidade dos demais números de telefones disponíveis
na cidade A é:
a) 30
c) 42
a) 1650
b) 2100
a) 60
c) 36
b) 48
d) 24
b) 36
d) 48
e) 18
e) 54
c) 4800
d) 8900
172. (Ufrs) Quantos números inteiros positivos, com 3
algarismos significativos distintos, são múltiplos de 5?
GEOMETRIA ANALÍTICA
a) 128
c) 144
1. Distância entre dois
b) 136
d) 162
e) 648
173. (Fgv) Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa
eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a
senha, esquece-se do número. Ela lembra que o
número tem 5 algarismos, começa com 6, não tem
algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em alguma
posição. O número máximo de tentativas para acertar a
senha é:
a) 1 680
c) 720
b) 1 344
d) 224
a) 25.000
c) 120000
b) 120
d) 18000
Retas
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), a distância entre os
pontos a e B é dada por:
Y
YB
YA
e) 32000
175. (Cesgranrio) Durante a Copa do Mundo, que foi
disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola
traziam palpites sobre os países que se classificariam
nos três primeiros lugares (por exemplo: 1° lugar:
Brasil; 2° lugar: Nigéria; 3° lugar: Holanda).Se, em
cada tampinha, os três países são distintos, quantas
tampinhas diferentes poderiam existir?
B
A
x
xA
e) 136
174. (Faap) Quantas motos podem ser licenciadas se
cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais
repetidas) e 3 algarismos distintos?
e) 9000
dAB =
xB
(x A − x B ) 2 + ( y A − y B ) 2
Note que esta fórmula generaliza a distância entre
dois pontos, mesmo quando o segmento definido por eles
ou é paralelo ao eixo das abscissas ou paralelo ao eixo das
ordenadas.
Ponto médio de AB é o ponto que divide AB em
dois segmentos congruentes. As coordenadas do
ponto M são: XM = (XA + XB)/2
YM = (YA + YB)/2
Apostilas
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26
Matemática
Na equação y – y0 = m(x – x0) o número m é denominado
coeficiente angular da reta.
Baricentro G é o ponto de encontro das
medianas do triângulo ABC.
As coordenadas de G são: XG = (XA + XB + XC)/3
YG = (YA + YB + YC)/3
Condição para alinhamento de três pontos:
A, B e C sendo XA, XB e XC as abscissas e YA, YB e
YC as ordenadas.
XA
YB
1
XB
YB
1
XC
YC
1
=0
2. Área de um Triangulo no Plano
Dados três pontos no plano A = (XA, YA), B =
(XB, YB), C = (XC, YC) , não colineares podemos definir a
área de triangulo ABC, formado de acordo com a
formula.
A=
XA
1
. | D | ,onde :
2
YA 1
D = XB
XC
mr = tg α = (YB - Ya)/( XA - XB), com XA ≠ XB
2) Na equação anterior o número q = y0 – mx0 é
denominado coeficiente linear da reta. Esse número
representa a ordenada do ponto onde a reta intercepta o
eixo y.
COEFICIENTE LINEAR é a ordenada do ponto de
intersecção da reta com o eixo Oy, é o valor do termo
independente (não acompanha variável) na equação da
reta.
Classificação das equações de uma reta
A equação y – y0 = m(x – x0) pode ser escrita de
diversas maneiras, cada uma delas caracterizando uma
nova equação que representa a mesma reta.
I – Equação reduzida
Sendo y – y0 = m(x – x0), temos y = mx – mx0 +
y0 e fazendo –mx0 + y0 = q, podemos escrever y = mx + q
que é chamada de equação reduzida da reta.
YB 1
YC 1
3. Reta
Dados o ponto A(x0, y0) pelo qual passa uma
reta r e o número m = tgα, em que α representa o
ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas; um
ponto P(x, y) pertencente à reta r é dado pela equação:
Y
Y
r
P(x,y)
Y0
α
x
x0
x
y – y0 = m(x – x0)
Podemos ainda escrever que:
a)
y – y0 = ∆y
b)
x – x0 = ∆x
Assim, o coeficiente angular m da reta pode
ser definido por:
m=
COEFICIENTE ANGULAR de uma reta é a tangente
do ângulo (α) formado pelo eixo Ox e pela reta no
sentido anti-horário, ou seja:
EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA de uma reta: x/p + y/q
=1, sendo p a abscissa em que a reta intercepta o
eixo Ox e q a ordenada em que a reta intercepta o
eixo Oy.
II – Equação geral da reta
∆y
(x – x0) e fazendo ∆y = –a e
Sendo y – y0 =
∆x
∆y = b, temos by – by0 = –ax + ax0 ⇒ ax + by – by0 – ax0
= 0. Fazendo c = – (by0 + ax0), temos a equação geral da
reta escrita como ax + by + c = 0.
POSICÃO RELATIVA DE DUAS RETAS NO
PLANO:
Paralelas distintas: coeficientes angulares iguais (mr
= ms) e coeficientes lineares diferentes (qr ≠ qs).
Paralelas coincidentes: coeficientes angulares iguais
(mr = ms) e coeficientes lineares iguais (qr = qs).
Concorrentes: coeficientes angulares diferentes (mr ≠
ms).
Perpendiculares: o produto dos coeficientes
angulares é mr . ms = -1.
Sejam r e s retas quaisquer de coeficientes
angulares mr e ms respectivamente. Uma condição
necessária e suficiente para que r e s sejam
perpendiculares é que:
∆x
∆y
Coeficiente angular e linear de uma reta
1) Coeficiente angular
Apostilas
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27
Matemática
mr . ms = –1
Distância de um ponto a uma reta qualquer
Dado um ponto P (x0, y0) e uma reta r: ax +
by +c = 0, a distância de P a r é dada por:
dPr =
ax 0 + by 0 + c
a 2 + b2
EXERCÍCIOS
180. (PM – 2005) A reta de equação y = √3/ 3x é
tangente a uma circunferência de centro (2,0). O raio
dessa circunferência mede
a) 0,5.
b) √3.
c) 1.
d) 2.
181. (PUC-SP) A equação da circunferência em que
um diâmetro é o segmento da reta x + 2y - 4 = 0
compreendido entre os eixos coordenados é:
a) x2 + y2 - 4x - 2y = 0
c) x2 + y2 - 2x - 4y = 0
e) x2 + y2 = 25
b) x2 + y2 - 4x - 2y = 5
d) x2 + y2 + 4x + 2y = 0
182. (SBM-2004) A reta (r) de equação ax + by = 4,
com a e b positivos, contém o ponto A = (1,2). Se a
área do triângulo determinado pela reta r e pelos eixos
coordenados mede 4, o valor de a é:
a)1/2
c) 2
b) 1
d) 4
183. (VUNESP-SP) O comprimento da corda que a
reta y = x determina na circunferência de equação (x +
2)2 + (y - 2)2 = 16 é:
a) 4
d) 2√2
b) 4√2
e) √2
c) 2
184. (UECE) O perímetro do triângulo isósceles
formado pelos pontos de intersecção das curvas
x2 + y2 = 25 e y = x2 - 5, é igual a:
a) 6(√10 + 1)
c) 4(√10 + 1)
b) 5(√10 + 1)
d) 3(√10 + 1)
Apostilas
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