TP504_2av2s06

TP504 – Introdução às Comunicações Digitais
2ª Avaliação – 23/11/2006 – 13:30h
Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães
Nota ou conceito:
Aluno(a): _______________________________________________________________________________________
Prova com consulta, com duração de três horas. A interpretação é parte integrante das questões. Seja organizado nas
suas respostas e BOA PROVA!
1ª questão (16 pontos, 4 pontos cada item)
Determine a expressão aproximada de cálculo da probabilidade de erro de símbolo para as modulações a seguir, quando
contaminadas com ruído AWGN de densidade espectral de potência N0/2 watts/Hz. Admita que a relação sinal-ruído
seja alta o suficiente para que os erros de símbolo ocorram apenas para os símbolos vizinhos mais próximos.
a) Sinalização unidimensional 4-ASK. Determine a expressão em função de E0/N0.
b) Sinalização unidimensional 8-ASK. Determine a expressão em função de E0/N0
c) Sinalização unidimensional M-ASK. Neste caso, observe os resultados dos itens “a” e “b” e, por analogia,
generalize para qualquer número de símbolos, M. Determine a expressão em função de E0/N0.
d) Reescreva a expressão do item “c” em função de Eb/N0.
Dados:
1
0
3
E
0
Pe  mi  
E
0
 d
1 M
erfc  ik

 2 N0
2 k 1

k i
M
E
3
E
0
0
Pe   pi Pe (mi )




0

1
7
E
3
E
E
E
E
7
E
E
E
0 5
0
0
0 3
0 5
0
0
0
Onde:
pi são as probabilidades a priori dos símbolos.
dik é a distância euclidiana entre os símbolos mi e mk.
Pe(mi) é a probabilidade de erro condicionada ao envio do símbolo mi.
Pe é a probabilidade de erro de símbolo média.
i 1
2ª questão (11 pontos, 1 ponto cada item)
No contexto de extração de sincronismo de portadora e de temporização de símbolo, marque V (verdadeiro) ou F (falso)
nos itens a seguir:
( ) Conhecendo-se o atraso de propagação do sinal, , é possível determinar a fase do sinal recebido e, com isso
realizar o sincronismo de portadora e, ao mesmo tempo, de símbolo.
( ) Conhecendo-se o atraso de propagação do sinal, , é possível determinar a fase do sinal recebido, mas a precisão na
estimativa de  teria que ser muito grande para que a fase pudesse ser estimada também com precisão.
( ) Na determinação da Função de Verossimilhança (), onde  = [ , ], decidiu-se por admitir um valor de  = 0 e,
assim, torná-la apenas função de , ou seja, (). Esta medida não muda o valor de  que também maximiza ().
( ) Um PLL, isoladamente, não pode ser utilizado para extração de sincronismo de portadora de um sinal BPSK.
( ) Um PLL, isoladamente, não pode ser utilizado para extração de sincronismo de portadora de um sinal QPSK.
( ) Um PLL pode ser utilizado para extração de sincronismo de portadora de um sinal BPSK, desde que exista algum
dispositivo que possa gerar um tom ao qual o PLL possa se amarrar.
( ) Um PLL pode ser utilizado para extração de sincronismo de portadora de um sinal QPSK, desde que exista algum
dispositivo que possa gerar um tom ao qual o PLL possa se amarrar.
( ) Um Costas Loop, isoladamente, não pode ser utilizado para extração de sincronismo de portadora de um sinal
BPSK.
( ) Um Costas Loop, isoladamente, não pode ser utilizado para extração de sincronismo de portadora de um sinal
QPSK. É preciso um dispositivo em potência de M para gerar um tom em Mfc.
( ) Um sincronizador Early-Late implementado em banda-base pressupõe que o circuito de extração de sincronismo
de portadora esteja funcionando.
1
( ) Independentemente do formato de pulso de transmissão, a média dos valores das amostras tomadas antes e depois
do instante ótimo de amostragem têm valor menor que aquela referente às amostras tomadas no instante ótimo.
3ª questão (14 pontos, 7 pontos cada item)
Seja um canal BSC (Binary Simetric Channel) para o qual a matriz de transição é:
 p  y0 | x0 
P
 p  y0 | x1 
p  y1 | x0  1  p
p 

p  y1 | x1    p 1  p 
a) Sabendo que as probabilidades a priori dos símbolos de entrada são p(x0) e p(x1), determine as probabilidades a
posteriori p(y0) e p(y1) para os símbolos de saída do canal.
b) Determine a relação entre as probabilidades de transição p(xj | yk) e p(yk | xj), k e j = 0, 1.
4ª questão (15 pontos, 5 pontos cada item)
Um sistema de comunicação digital com sinalização BPSK em canal AWGN contínuo utiliza um código corretor de
erros com taxa Rc = k/n = ½. A taxa de bits de informação é menor que a capacidade do canal. A taxa de bits na entrada
do codificador de canal é de 1 Mbit/s. Para este sistema, dado o gráfico da Figura 8, pede-se.
a) Determine de forma aproximada os Limites de Shannon (em termos do valor mínimo de Eb/N0) para as taxas de erro
de bit de 110-3 e 110-4. Interprete os resultados.
b) Qual a taxa de símbolos imposta ao canal? Justifique com cálculos.
c) Qual a taxa de bits de informação imposta ao canal, sabendo que a entropia da fonte binária é de 0,5 bits?
Justifique com cálculos e interprete o resultado.
Figura 8 - Mínimo Eb/N0 em função da taxa de codificação de canal.
5ª questão – (14 pontos, 7 pontos cada item)
Esta questão está resolvida em seguida. A solução está correta ou parcialmente correta? Se estiver parcialmente
correta, indique onde está incorreta e proponha a forma correta de solução.
Pretende-se dimensionar um sistema de comunicação digital para operar em uma banda de, no máximo, 25 kHz. É
necessário que o sistema consiga dar vazão a 50 kbit/s e que a modulação utilizada leve a uma taxa de erro de bit de, no
máximo, 110-3, consumindo a menor potência possível da fonte de alimentação. Pede-se:
a) Escolha uma modulação capaz de atender aos requisitos acima mencionados. Apresente os cálculos e/ou
justificativas utilizadas na sua escolha.
2
b) Para a modulação selecionada, determine o valor de Eb/N0 mínimo para atender à taxa de erro de bit imposta.
Apresente os cálculos.
SOLUÇÃO
a) Definindo-se que a banda ocupada pelo sinal modulado e filtrado corresponde à distância de nulo-a-nulo no
espectro do sinal modulado (lobo principal), para qualquer modulação tem-se que 2/T  25 kHz, o que leva a T  80
s. Se a taxa de bits é de 50 kbit/s, a duração de um bit vale Tb = 1/50.000 = 20 s. Então o número de bits por
símbolo deverá ser T/Tb  4 bit/símbolo. Portanto, usando uma modulação com 4 bit/símbolo atende-se aos
requisitos de banda e taxa de transmissão. Dentre as modulações estudadas pode-se escolher a 16-QAM, que
proporcionará também o desempenho adequado com menor consumo de potência se comparada à modulação 16PSK. Poderia ser escolhida a modulação 16-FSK também.
b) Usando a expressão de probabilidade de erro de símbolo da modulação M-QAM, M = 16 e admitindo mapeamento
Gray, tem-se:


3Eav

Pe
Pe
1 
, onde Pe  2 1 
,  Pe  4 10-3 . Levando
BER 
 . Então, 110-3 
 erfc 
log 2 M
log 2 16
M 
 2  M  1 N 0 

este valor à expressão de Pe e extraindo o valor da energia média da constelação (energia média por símbolo) Eav,
 Eav 
 Eav 
8 10-3
8 10-3
tem-se:
 erfc 
 erf 
 , que pode ser escrita de forma alternativa como: 1 
 .
3
3
 10 N0 
 10 N0 
Usando a tabela A6.6 da página 766 do livro-texto observa-se que o valor 0,9973 = erf u  é tal que u está entre
2,00 e 2,50. Poderíamos fazer uma interpolação, mas para garantir a taxa de erro imposta, vamos escolher u = 2,50.
E
Eav
Então
 2,50 , donde extrai-se av  62,5 . Então o valor de Eb/N0 mínimo poderá ser calculado por
N0
10 N 0
Eb
Eav
62,5


 15, 63 = 11,94 dB.
N0 N0 log 2 M
4
6ª questão – (14 pontos, 7 pontos cada item)
Esta questão está resolvida em seguida. A solução está correta ou parcialmente correta? Se estiver parcialmente
correta, indique onde está incorreta e proponha a forma correta de solução.
Para um valor de Eb/N0 de 10,5424 dB, uma modulação GMSK operando no canal AWGN apresenta uma probabilidade
de erro de símbolo de 110-5. Pede-se:
a) (10 pontos) Estime a relação Eb/N0 que seria necessária para se atingir a probabilidade de erro de símbolo de 110-5
se a modulação GMSK tivesse WTb  .
b) Estime valor do produto WTb do filtro gaussiano utilizado no modulador GMSK.
SOLUÇÃO
a) Nesta hipótese a modulação GMSK passará a apresentar a mesma probabilidade de erro de símbolo da modulação
 Eb 
 Eb 
MSK. Então tem-se: 2 (110-5) = erfc 
=> 1  210-5 = erf 
. Da tabela da página 766 do livro-texto

 N0 
 N0 




tem-se 0,99998 = erf(3). Então
E
Eb
= 3 e, portanto, b  9 = 9,5424 dB.
N0
N0
  Eb 
1
.
erfc 
 2 N0 
2


que erfc(u) = 1  erf(u), pode-se utilizar a tabela da página 766 do
  Eb 
=> 1  210-5 = erf 
. Da tabela tem-se 0,99998 = erf(3).
 2 N 0 


b) Sabe-se que a probabilidade de erro de símbolo média para a modulação GMSK é dada por: Pe 
Igualando-a à 110-5 e resolvendo para , sabendo
  Eb 
livro-texto, obtendo-se: 2 (110-5) = erfc 
 2 N 0 


3
Então
 Eb
2 N0
= 3. Resolvendo, encontra-se /2 = 1,259. A correspondente degradação da modulação GMSK em
relação à modulação MSK será então 10log10(/2) = 10log10(1,259) = 1 dB. Do gráfico de degradação em função do
produto WTb finalmente obtém-se WTb  0,22. Alternativamente, como no item “a” já foi calculado o valor de Eb/N0
para a modulação MSK, obtém-se diretamente a degradação de 10,5424 dB – 9,5424 dB = 1 dB. Do gráfico de
degradação em função do produto WTb obtém-se WTb  0,22.
7ª questão – (16 pontos, 4 pontos cada item)
No gráfico ao lado há três curvas de densidade
espectral de potência (PSD, Power Spectral
Density) em banda-base, referentes às
modulações digitais M-FSK, M-PSK e MSK.
Todas estão transportando um feixe de 100 bit/s.
Pede-se:
a) Associe cada uma das curvas à
correspondentes modulações, não se esquecendo
de determinar os valores de M onde for
pertinente.
b) Determine a taxa de símbolos e, de forma
literal (não numérica), a largura de faixa (nulo-anulo do lobo principal) para cada modulação.
c) Determine o espaçamento entre os tons da
modulação M-FSK, em termos da taxa de
símbolos.
d) Calcule a eficiência espectral de cada uma das
modulações e comente sobre os resultados.
_______________________________________________________________________________________________
4