Equações Diferenciais

A Matemática e as Órbitas dos Satélites
Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos
Instituto Superior Técnico
Julho, 2009
• Equações Diferenciais
• Equações Diferenciais
Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma
função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas.
F (t, x(t), x0 (t), x00 (t), . . . ) = 0
• Equações Diferenciais
Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma
função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas.
F (t, x(t), x0 (t), x00 (t), . . . ) = 0
As equações diferencias são usadas para construir modelos matemáticos de fenómenos físicos nos quais se relacionam os valores de certas grandezas com as
suas taxas de variação.
Movimento de corpo suspenso por mola
X
CRocha
M
Corpo de massa M suspenso por uma mola e
sujeito à gravidade e ao atrito de um líquido.
Forças aplicadas à massa M
Forças aplicadas à massa M
Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação
à posição de equilíbrio
Fm = −km X
Forças aplicadas à massa M
Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação
à posição de equilíbrio
Fm = −km X
Força da gravidade: supondo que a aceleração da gravidade no local é g
Fg = −M g
Forças aplicadas à massa M
Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação
à posição de equilíbrio
Fm = −km X
Força da gravidade: supondo que a aceleração da gravidade no local é g
Fg = −M g
Força de impulsão: supondo que a massa de líquido deslocada pelo corpo é
Ml
Fi = Ml g
Forças aplicadas à massa M
Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação
à posição de equilíbrio
Fm = −km X
Força da gravidade: supondo que a aceleração da gravidade no local é g
Fg = −M g
Força de impulsão: supondo que a massa de líquido deslocada pelo corpo é
Ml
Fi = Ml g
Força de atrito: considera-se proporcional à velocidade do corpo, retardando
o movimento
Fa = −ka V
Forças aplicadas à massa M
Força da mola: considera-se proporcional ao elongamento da mola em relação
à posição de equilíbrio
Fm = −km X
Força da gravidade: supondo que a aceleração da gravidade no local é g
Fg = −M g
Força de impulsão: supondo que a massa de líquido deslocada pelo corpo é
Ml
Fi = Ml g
Força de atrito: considera-se proporcional à velocidade do corpo, retardando
o movimento
Fa = −ka V
Força Total:
F = Fm + F g + Fi + Fa
X = X(t) = posição , V = dX/dt = velocidade , A = dV /dt = aceleração
X = X(t) = posição , V = dX/dt = velocidade , A = dV /dt = aceleração
Lei de Newton:
F = MA
X = X(t) = posição , V = dX/dt = velocidade , A = dV /dt = aceleração
Lei de Newton:
F = MA
−km X − M g + Ml g − ka V = M
dV
dt
X = X(t) = posição , V = dX/dt = velocidade , A = dV /dt = aceleração
F = MA
Lei de Newton:
−km X − M g + Ml g − ka V = M
dV
dt
Equações Diferenciais do Movimento:
dX
dt
= V
dV
dt
= − kMm X −
ka
MV
−
(M −Ml )
g
M
X = X(t) = posição , V = dX/dt = velocidade , A = dV /dt = aceleração
F = MA
Lei de Newton:
−km X − M g + Ml g − ka V = M
dV
dt
Equações Diferenciais do Movimento:
dX
dt
= V
dV
dt
= − kMm X −
ka
MV
−
(M −Ml )
g
M
ou, numa só equação:
d2 X
ka dX km
(M − Ml )
+
+
X
=
−
g
dt2
M dt
M
M
Análise das Equações
Análise das Equações
Posição de equilíbrio: posição e velocidade constantes
V =0
e
X=−
(M − Ml )
g
M
dX
dt
= 0,
dV
dt
=0
Análise das Equações
Posição de equilíbrio: posição e velocidade constantes
V =0
e
X=−
dX
dt
= 0,
(M − Ml )
g
M
A energia:
1
1
E = K + P = M V 2 + (M − Ml )gX + km X 2
2
2
satisfaz
dE
dV
= MV
+ (M − Ml )gV + km XV = −ka V 2
dt
dt
dV
dt
=0
Análise das Equações
Posição de equilíbrio: posição e velocidade constantes
V =0
e
X=−
dX
dt
= 0,
dV
dt
=0
(M − Ml )
g
M
A energia:
1
1
E = K + P = M V 2 + (M − Ml )gX + km X 2
2
2
satisfaz
dE
dV
= MV
+ (M − Ml )gV + km XV = −ka V 2
dt
dt
logo, como ka > 0, a energia decresce com o tempo (dissipação devida ao atrito)
Análise das Equações
Posição de equilíbrio: posição e velocidade constantes
V =0
e
X=−
dX
dt
= 0,
dV
dt
=0
(M − Ml )
g
M
A energia:
1
1
E = K + P = M V 2 + (M − Ml )gX + km X 2
2
2
satisfaz
dE
dV
= MV
+ (M − Ml )gV + km XV = −ka V 2
dt
dt
logo, como ka > 0, a energia decresce com o tempo (dissipação devida ao atrito)
ou, se ka = 0, a energia é conservada (conservação de energia sem atrito)
X(t) = −
ka
M − Ml
g + e− 2M t (A cos µt + Bsenµt) ,
M
p
4km M − ka2
µ=
2M
ka
M − Ml
g + e− 2M t (A cos µt + Bsenµt) ,
M
11.0
10.5
Posição
X(t) = −
p
4km M − ka2
µ=
2M
10.0
9.5
0
2
4
6
Tempo
8
10
X(t) = −
p
4km M − ka2
µ=
2M
ka
M − Ml
g + e− 2M t (A cos µt + Bsenµt) ,
M
11.0
Posição
10.5
10.0
9.5
0
2
4
6
8
10
Tempo
Em geral: Como calcular a posição do corpo ao longo do tempo resolvendo
numericamente as equações diferenciais do movimento?
X(t) = −
p
4km M − ka2
µ=
2M
ka
M − Ml
g + e− 2M t (A cos µt + Bsenµt) ,
M
11.0
Posição
10.5
10.0
9.5
0
2
4
6
8
10
Tempo
Em geral: Como calcular a posição do corpo ao longo do tempo resolvendo
numericamente as equações diferenciais do movimento?
Interessa saber calcular valores de uma variável a partir da sua taxa de variação.
Exemplo: Desintegração radioactiva
Sabe-se que um isótopo radioactivo se desintegra a uma taxa proporcional à
quantidade de isótopo existente em cada instante de tempo.
Exemplo: Desintegração radioactiva
Sabe-se que um isótopo radioactivo se desintegra a uma taxa proporcional à
quantidade de isótopo existente em cada instante de tempo.
dQ
= −KQ ,
dt
K>0
Exemplo: Desintegração radioactiva
Sabe-se que um isótopo radioactivo se desintegra a uma taxa proporcional à
quantidade de isótopo existente em cada instante de tempo.
dQ
= −KQ ,
dt
K>0
Conhecido o gráfico de uma função dependente do tempo, a sua taxa de variação em cada instante é igual ao declive da recta tangente ao gráfico no ponto
correspondente
Exemplo: Desintegração radioactiva
Sabe-se que um isótopo radioactivo se desintegra a uma taxa proporcional à
quantidade de isótopo existente em cada instante de tempo.
dQ
= −KQ ,
dt
K>0
Conhecido o gráfico de uma função dependente do tempo, a sua taxa de variação em cada instante é igual ao declive da recta tangente ao gráfico no ponto
correspondente
Logo, pretende-se determinar uma curva conhecendo as rectas tangentes em
todos os pontos.
Apresentam-se gráficamente as tangentes de possíveis curvas
para soluções da equação diferencial da desintegração
radioactiva e a solução para Q = 1000 no instante
inicial t = 0, com constante de desintegração K = 0, 2.
dQ
= −KQ ,
dt
Q(0) = 1000
1200
1000
800
600
400
200
0
2
4
6
8
10
1200
1000
800
600
400
200
0
2
4
6
8
10
dQ
= −KQ
dt
Q(0) = 1000 ,
K = 0.2
dQ
= −KQ
dt
Q(0) = 1000 ,
K = 0.2
Q(t) = Q(0)e−Kt