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Movimento em 1D
Objetivos:
●
●
Descrever o movimento de um corpo em 1
dimensão;
Resolver problemas de movimento em 1D a
aceleração constante.
Movimento em 1D
Limitações do problema tratado:
●
●
●
o corpo não possui forma ou dimensões, é
um ponto;
a causa do movimento não será abordada
aqui;
o movimento ocorre apenas ao longo de um
único eixo.
Posição (x)
-2
-1
0
1
2
t = 1s
t = 3s
t=0
t = 2s
Considere o movimento de um corpo pontual
se deslocando ao longo de um eixo horizontal:
3
4
Tempo (s)
Posição (m)
0,0
1,0
2,0
4,0
2,0
-2,0
3,0
2,0
x (m)
Posição (x)
Algumas observações sobre este movimento:
●
●
A posição somente é conhecida nos instante
em que esta é medida.
Nada se pode afirmar sobre a posição deste
corpo entre duas medidas quaisquer.
●
ou seja, no intervalo 0 a 1s nada indica que
o corpo esteja entre as posições 2,0m e
4,0m
Variação da
Posição (Δx)
Definição:
Δ x=x f −x i
Unidade:
[Δ x]=[ x f −x i ]=m
Observações:
●
●
Na simbologia matemática é de praxe usar a letra grega delta
(Δ) para expressar a variação de uma grandeza;
Como uma notação pessoal usarei os colchetes, [ ], para
simbolizar a extração das unidades das grandezas em seu
interior.
Variação da
Posição (Δx)
Calculando as variações de Posição:
-2
-1
0
1
2
3
4
x (m)
Δ x 23 =+
Δ x4,0
m
Δ xΔ04x=0,0
m
01 =+ 2,0 m
12 =−6,0
Intervalo: 0 – 1s
Δ x 01=x 1−x 0=4−2=+ 2,0 m
Intervalo: 1s – 2s
Δ x 12=x 2−x 1=−2−4=−6,0 m
Intervalo: 2s – 3s
Δ x 23 =x 3−x 2=2−(−2)=+ 4,0 m
Intervalo: 0 – 3s
Δ x 03 =x 3−x 0=2−2=0,0 m
Velocidade Média (vm)
Definição:
vm
Δx
ou ̄v =
Δt
x f −x i
̄v =
t f −t i
Unidade:
[Δ x ] m
[v ]=
= =m/ s
[Δ t ] s
Velocidade Média (vm)
Calculando as velocidades médias em alguns
intervalos:
Intervalo 0 – 1s:
Δ x 01 x 1−x 0 (4−2)
=
=
=+ 2,0 m/ s
̄v 01=
Δ t 01 t 1−t 0 (1−0)
Intervalo 1s – 2s:
Δ x 12 x 2−x 1 −2−4
=
=
=−6,0 m/ s
̄v 12=
Δ t 12 t 2−t 1
2−1
Intervalo 1s – 3s:
Δ x 13 x 3−x 1 2−4
=
=
=−1,0 m/ s
̄v 13=
Δ t 13 t 3−t 1 3−1
Intervalo 0 – 3s:
Δ x 03 x 3 −x 0 2−2
=
=
=0,0 m/ s
̄v 03=
Δ t 03 t 3 −t 0 3−0
Equação do movimento
Considere o movimento de um corpo onde sua
posição, em qualquer instante, é conhecida
por meio de uma expressão matemática, com
no exemplo a segui:
A posição de um corpo é dado pela equação:
2
x (t )=5 t −20 t+ 15
onde x é dado em metros e t em segundos.
Equação do movimento
Para este movimento responda:
(a) qual a posição deste corpo nos instantes 0; 1; 2;
3; 4s? (faça o gráfico espaço x tempo do
movimento)
(b) sua velocidade média nos intervalos:
i. 0 a 1s;
ii. 1 a 4s;
iii.2 a 4s
(c) qual a velocidade deste corpo no instante 3s?
Equação do movimento
(a) qual a posição deste corpo nos instantes 0; 1; 2;
3; 4s? (faça o gráfico espaço x tempo do
movimento)
t (s) x (m)
0
15
1
0
2
-5
3
0
4
15
2
x (0)=5⋅0 −20⋅0+ 15=15 m
x (1)=5⋅12−20⋅1+ 15=0
2
x (2)=5⋅2 −20⋅2+ 15=−5 m
2
x (3)=5⋅3 −20⋅3+ 15=0
2
x (4)=5⋅4 −20⋅4+ 15=15 m
Equação do movimento
(a) sua velocidade média nos intervalos: ...
Intervalo 0 – 1s:
Δ x 01 x 1−x 0 (0−15)
=
=
=−15,0 m/s
̄v 01=
Δ t 01 t 1−t 0 (1−0)
Intervalo 1s – 4s:
Δ x 14 x 4 −x 1 15−0
=
=
=5,0 m/ s
̄v 14 =
Δ t 14 t 4 −t 1 4−1
Intervalo 2s – 4s:
Δ x 24 x 4 −x 2 15−(−5)
=
=
=10,0 m/ s
̄v 24 =
Δ t 24 t 4 −t 2
4−2
Velocidade (v)
(c) qual a velocidade deste corpo no instante 3s?
Como calcular a velocidade instantânea (em um
instante) se a definição que se dispões necessita de
dois instantes diferentes?
Δ x ii x i −x i 0
=
= indeterminado !
̄v ii=
Δ t ii t i −t i 0
Velocidade (v)
Uma boa forma de resolver este problema é
representando graficamente a velocidade do gráfico
espaço tempo .
Primeiro vou calcular algumas velocidades média,
tomando como ponto final sempre o instante 3s, e
como inicial os instantes:
0; 1s; 2s; 2,5s; 2,9s; 2,99s; 2,999s; …
ou seja um instante sempre menor que 3s, mas se
aproxima indefinidamente de 3s.
Velocidade (v)
A tabela a segui apresenta os cálculos destas
velocidades:
ti (s)
xi (m)
tf (s)
xf (m)
Δt (s)
Δx (m)
vm (m/s)
0
15
3
0
3
-15
-5
1
0
3
0
2
0
0
2
-5
3
0
1
5
5
2,5
-3,75
3
0
0,5
3,75
7,5
2,9
-0,95
3
0
0,1
0,95
9,5
2,99
-0,0995
3
0
0,01
0,0995
9,95
2,999
-0,009995
3
0
0,001
0,009995
9,995
Velocidade (v)
Em seguida estas velocidades serão marcadas no
gráfico espaço x tempo, representados por uma reta
que liga o instante inicial ao final.
Graficamente
Graficamente percebe-se
percebe-se que:
que:
●● a velocidade média é a inclinação da reta que liga
a velocidade média é a inclinação da reta que liga
oo instante
no
gráfico
“espaço
xx
instante inicial
inicial ao
ao final,
final,
no
gráfico
“espaço
v 0−3s
̄
tempo”
tempo”
●● a velocidade instantânea é a inclinação no gráfico
v̄vāv2,99
̄v 1s−3s
a velocidade instantânea
é̄
inclinação
no gráfico
2,5
2,9
2s−3s
s−3s
s−3s
“espaço
“espaço xx tempo”,
tempo”, no
no instante
instante desejado.
desejado.
Velocidade (v)
No limite em que Δt → 0 a velocidade média se torna
a velocidade instantânea
Δx
v= lim
Δ t →0 Δ t
dx
v=
dt
ou
d
v= x
dt
Como um operador que atua sobre a posição e me
gera a velocidade instantânea.
A derivada
A seguir é apresentado a fórmula da derivada de
polinômios:
d n
n−1
(t )=n t
dt
com n um número real qualquer, diferente de 0
Alguns exemplos:
d 3
3−1
2
(t )=3 t =3 t
dt
d 5
5−1
4
(t )=5 t =5 t
dt
A derivada
Mais alguns exemplos:
d
d 1
1−1
(t )= (t )=1t =1
dt
dt
d
(6)=0
dt
Derivada de uma constante
é sempre nulo.
d
d 2
2
2−1
(6 t )=6 (t )=6⋅2 t =12 t
dt
dt
d
d 2
d
2
(3 t + 5 t+ 20)=3 (t )+ 5 (t)+ 0=3⋅2t+ 5=6 t+ 5
dt
dt
dt
Velocidade (v)
Retornando ao problema, a velocidade em 3s pode
ser facilmente encontrada:
2
dx d
dt
d t d 15
2
v= = ( 5 t −20 t +15 ) =5
−20 +
dt dt
dt
dt dt
v=5⋅2 t
2−1
−20⋅1t
v (t)=10 t−20
1−1
+0=10 t−20
Esta é equação para a velocidade,
deste corpo, em qualquer instante!
v (3s)=10⋅3−20 ⇒ v (3s)=10 m/ s
Aceleração Média (am)
Como feito com a velocidade, a definição da
aceleração começa pela aceleração média:
Δv
̄a =
Δt
abrindo a expressão:
v f −v i
a
̄=
t f −t i
Observe que as velocidades que aparecem nesta
equação são instantâneas!
Unidade:
[Δ v] m/ s
2
[a]=
=
=m/s
[Δ t ]
s
Aceleração (a)
A aceleração instantânea é definida a partir da
aceleração média como:
Δv
a= lim
Δ t →0 Δ t
Ou, através da derivada:
dv
a=
dt
Aceleração (a)
Continuando o exercício anterior, responda:
(d) qual a aceleração média deste corpo no
intervalo de 1s a 4s?
(e) qual a sua aceleração em 3s?
Aceleração (a)
(d) qual a aceleração média deste corpo no
intervalo de 1s a 4s?
Δ v v f −v i
a=
=
̄
Δ t t f −t i
onde, para este problema:
t i=1s ⇒ v i=v (1s)=10⋅1−20=−10m / s
t f =4s ⇒ v f =v (4s)=10⋅4−20=20m /s
20−(−10) 30
2
a
=
=
=10m
/s
̄
4−1
3
v (t )=10 t−20
Aceleração (a)
(d) qual a sua aceleração em 3s?
dv d
d
d
2
a= = (10 t−20)=10 (t )+
(20)=10 m/ s
dt dt
dt
dt
2
a=10m / s ⇒ constante !
Isto ocorre pois a equação da posição é um polinômio
de segundo grau e a cada derivação este polinômio
decresce seu grau.
2
x (t)=5 t −20 t+ 15 ⇒ v (t )=10 t−20 ⇒ a=10m /s
2