registros de representação algébricos

Comunicação Científica
REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICOS – MOBILIZAÇÕES POR
PARTE DOS ALUNOS DO SEGUNDO ANO DO ENSINO MÉDIO
GT 02 – Educação Matemática no Ensino Médio e Ensino Superior.
Raquel Taís Breunig, UNIJUÍ, [email protected]
Cátia Maria Nehring, UNIJUÍ, [email protected]
Marta Cristina Cezar Pozzobon, UNIJUÍ, [email protected]
Resumo: Este trabalho foi desenvolvido a partir do Projeto de Pesquisa “Propostas Curriculares
de Matemática e Aquisição Conceitual na Perspectiva dos Registros de Representação”, no
período de dois mil e oito a dois mil e dez. A pesquisa foi subsidiada pela Teoria dos Registros de
Representação de Duval (2003), pelas Dimensões da Álgebra, propostas pelos Parâmetros
Curriculares – Matemática (BRASIL, 1998) e, pelas ideias da álgebra, propostas por Coxford e
Shulte (1995). O estudo teórico possibilitou a reorganização de duas situações de ensino a partir de
oito variações dos registros de partida, organizadas em protocolos e, posteriormente, propostas a
noventa e oito alunos, de quatro turmas, do segundo ano do Ensino Médio. Analisamos um destes
protocolos sob a perspectiva dos Registros de Representação Algébricos, considerando as
possibilidades de conversão e tratamento e as proposições dos alunos. Identificamos que os alunos
possuem grande dificuldade ao mobilizar os registros propostos, com ênfase ao Registro Gráfico e
o Registro da Língua Materna.
Palavras-chave: Registros de Representação Semiótica; Ensino de Álgebra; Ensino Médio.
Introdução
Este trabalho foi realizado com o intuito de analisar, relatar e refletir acerca do
ensino de Álgebra para o Ensino Médio, mais especificamente do segundo ano. Partimos
de atividades realizadas no Projeto de Pesquisa “Propostas Curriculares de Matemática e
Aquisição Conceitual na Perspectiva dos Registros de Representação”, com enfoque às do
ano de dois mil e dez, período em que foram organizados alguns protocolos,
posteriormente, propostos a alunos do segundo ano do Ensino Médio de uma Escola de
Educação Básica. Estes protocolos foram analisados a partir da Teoria dos Registros de
Representação Semiótica (DUVAL, 2003), considerando os procedimentos dos alunos
envolvidos na pesquisa.
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Identificamos grande dificuldade por parte de professores e alunos, no que tange ao
ensinar e aprender conceitos algébricos. Além disso, inúmeras pesquisas1 também têm
identificado o mesmo fato, considerando as discussões acerca do ensino e aprendizagem da
Álgebra. Tais circunstâncias têm nos instigado a explorar novas alternativas para o ensinar
e aprender dos conceitos algébricos. Para tanto, buscamos referência na Teoria dos
Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003), que viabiliza a coordenação de
diferentes representações semióticas de um mesmo objeto matemático. Coxford e Shulte
(1995), salientam que os alunos, necessitam de fato, compreender de forma significativa os
conceitos algébricos e sejam capazes de utilizar esse conhecimento em situações novas e
inesperadas.
Diante dessas considerações, analisamos situações de ensino propostas em uma
Coleção de Livros Didáticos2 muito utilizada na região de abrangência da UNIJUÍ. A
análise foi subsidiada pela Teoria dos Registros de Representação, na qual consideramos
os conceitos de Álgebra e suas respectivas representações. A partir dessa análise
reorganizamos e elaboramos oito situações de ensino, organizadas na forma de protocolos,
e posteriormente, propomos a noventa e oito alunos do segundo ano do Ensino Médio, de
uma Escola de Educação Básica. O referencial teórico possibilitou a análise dos
procedimentos realizados pelos alunos nos protocolos.
A aplicação e análise dos protocolos subsidiaram o desenvolvimento deste artigo,
na qual, realizaremos uma discussão acerca da contribuição da Teoria dos Registros de
Representação para o ensino, mais especificamente de Álgebra. Para tanto, consideramos,
também, as Dimensões da Álgebra, propostas pelos documentos oficiais de ensino, e as
transformações entre os Registros de Representação Semiótica. Essas discussões norteiam
a análise e reflexão dos procedimentos realizados pelos alunos, considerando uma das
situações de ensino propostas nos protocolos, que contempla conceitos algébricos.
1
2
LOPES JUNIOR, 2006; VIZOLLI, 2006; JACOMELLI, 2006; KEPPKE, 2007; entre outros.
Coleção de Livros Didáticos Tudo é Matemática (DANTE, 2002).
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Registros de Representação Algébricos
As dificuldades em relação ao ensinar e aprender dos conceitos algébricos
possibilitam afirmar que, em muitas salas de aula, os alunos continuam sendo treinados
para armazenar informações e para desenvolver a competência no desempenho de
manipulações algorítmicas (COXFORD; SHULTE, 1995). Fato este que infelizmente
ainda ocorre em muitas salas de aula, prejudicando o desempenho e o aprendizado
significativo dos alunos, principalmente em relação ao ensino dos conceitos algébricos.
Na Matemática, diferente de outras áreas do conhecimento, nem tudo é perceptível
ou observável através de objetos concretos (DUVAL, 2003), ou seja, os conceitos e
conteúdos são abstrações desencadeadas por generalizações, sendo necessária a utilização
das representações semióticas para que ocorra uma verdadeira apreensão e “evolução do
pensamento matemático”. Para exemplificar esta afirmação, podemos nos referir a uma
função, que possui diferentes representações, como uma expressão algébrica, um gráfico
ou tabela.
A Teoria dos Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003) e, as
Dimensões da Álgebra (BRASIL, 1998), possibilitaram a identificação dos registros
algébricos: Registro Aritmético (RA) – linguagem algébrica usada para expressar ou
traduzir padrões numéricos e geométricos; Registro Funcional (RF) – expressa relações e
variáveis; Registro de Equações (REq) – as letras são entendidas como incógnitas; Registro
Estrutural (RE) – a letra assume dimensão de símbolo abstrato; Registro da Língua
Materna (RLM) – as situações são apresentadas na língua natural; Registro Figural (RFig)
– envolve figuras geométricas; Registro Gráfico (RG) – envolve gráficos no plano
cartesiano; Registro Numérico (RN) – envolve tabelas ou sequências numéricas.
A partir dessa diversidade de representações semióticas é possível desencadear duas
atividades distintas: o Tratamento e a Conversão. O Tratamento consiste em
transformações dentro de um mesmo registro. No entanto a Conversão enfatiza a mudança
de registro, ou seja, são as transformações dos Registros de Representação, conservando o
mesmo objeto matemático. Porém a atividade de conversão pode trazer algumas
complicações aos alunos, pois estes possuem dificuldades em identificar os diferentes
Registros de Representação.
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A partir das atividades de tratamento e conversão, Duval (2003) propõe que a
compreensão em Matemática supõe a coordenação de ao menos dois Registros de
Representação Semiótica. A proposição de Duval possibilita afirmar que a apreensão
conceitual em Matemática, somente é possível a partir da coordenação de vários Registros
de Representação, pois quanto maior a mobilização entre eles, maior a apreensão
conceitual do objeto matemático (DAMM, 1999). Os Registros de Representação
Semiótica e a conversão entre eles propiciam a compreensão do objeto matemático em
suas diferentes dimensões.
Como contribuição ao ensinar e aprender dos conceitos algébricos, é importante
que o professor, com um “olhar” de gestor das ações de ensino, considere a Teoria dos
Registros de Representação Semiótica de Duval (2003), explorando as atividades de
Conversão e Tratamento na organização e reorganização de situações de ensino. Esta
exploração possibilita ao aluno, a construção de um significado concreto, no que tange ao
ensino de Álgebra (COXFORD; SHULTE, 1995). É importante propor aos alunos,
situações de ensino que os estimulem a identificar, utilizar e mobilizar os diferentes
Registros de Representação a partir da compreensão dos conceitos, isso é enfatizado em
diversos trabalhos realizados por Breunig, Nehring e Pozzobon (2010).
A partir das dimensões da álgebra, propostas e enfatizadas nos Parâmetros
Curriculares Nacionais – Matemática (BRASIL, 1998) e por Coxford e Shulte (1995),
entendemos ser importante propor situações de ensino que estimulem os alunos a
identificar e utilizar os diferentes Registros de Representação, considerando as atividades
de tratamento e conversão, a partir da compreensão dos conceitos. A identificação dos
Registros de Representação Algébricos, a compreensão do tratamento e conversão destes,
ou seja, o estudo teórico dos Registros de Representação, possibilitou a análise da Coleção
de Livros Didáticos, com ênfase aos conceitos algébricos, destacada por Nehring e
Pozzobon (2009). Esta análise contribuiu para seleção e reorganização de duas situações de
ensino, possibilitando a organização de oito protocolos distintos. Sequencialmente será
feita análise de um dos protocolos, considerando as possibilidades de exploração e as
proposições dos alunos, enfatizando as transformações entre os registros.
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Procedimentos realizados pelos alunos – tratamentos e conversão
A pesquisa se realizou a partir da análise da Coleção de Livros Didáticos
supracitada, considerando as situações de ensino, com ênfase aos Registros de
Representação Algébricos. Posteriormente selecionamos duas situações de ensino do Livro
Didático da oitava série, nas quais observamos maior ênfase aos conceitos algébricos e
possibilidade de mobilizar os Registros de Representação Algébricos. O procedimento
seguinte foi reorganizar e reestruturar as duas situações de ensino, considerando os
Registros Algébricos, com o intuito de variar os registros de partida e os diferentes
registros possíveis de serem mobilizados pelos alunos no desenvolvimento de cada
situação. A reestruturação das situações de ensino possibilitou a estruturação de quatro
novas situações de ensino, para cada uma das duas, tendo como Registros de
Representação de partida, respectivamente o, RF, RG, RLM, RFig e, o RN. Tal
estruturação possibilitou a organização de oito protocolos distintos, cada um deles
constituído por apenas uma situação de ensino. Em seguida os protocolos foram propostos
a quatro turmas do segundo ano do Ensino Médio, em uma Escola de Educação Básica. Os
protocolos foram distribuídos a noventa e oito alunos de forma aleatória, ou seja, cada
aluno realizou apenas uma, das oito situações de ensino. Este procedimento foi realizado
no primeiro semestre de dois mil e dez, mediante conversa prévia com a equipe diretiva da
Escola e professor titular de Matemática das turmas. A partir do referencial teórico
utilizado na pesquisa, foi realizada a análise dos procedimentos dos alunos, na qual foram
identificados os tratamentos adotados pelos alunos e os tipos de dificuldades que estes
tratamento desencadeavam. Buscamos, neste artigo, relatar e refletir acerca de parte da
análise, considerando a análise de um dos oito protocolos propostos, sendo este, realizado
por doze alunos, na qual foi proposta a situação abaixo:
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Figura 1: Situação de ensino proposta.
3.1 Com atenção, observe o gráfico abaixo que representa a quantidade de palitos utilizados em função
do número de quadrados formados.
14 Palitos (P)
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Quadrados (q)
a) Qual a informação que o gráfico determina, considerando o número de quadrados e a quantidade de
palitos?
b) Qual a expressão que indica o número P de palitos em função do número q de quadrados.
c) Quantos palitos são necessários para formar 9 quadrados.
d) Quantos quadrados são formados com 16 palitos.
e) a expressão de x em função de P.
Fonte: Protocolo 3.1, 2010.
Esta situação de ensino propõe a mobilização do RG, RLM, RF e REq. O RG é o
registro de partida da situação de ensino, a partir de sua compreensão e mobilização é
possível que o aluno identifique os demais Registros de Representação. Inicialmente é
importante que o aluno compreenda o que compõe e o que é o RG, ou seja, que ele é
composto por uma função linear crescente e que o número de palitos está em função do
número de quadrados, identificando previamente, uma regularidade. A identificação desta
regularidade possibilita que o aluno realize a mobilização do RG para o RLM, proposta no
item A, na qual se espera que ocorra a percepção de que o número de palitos é três vezes o
número de quadrados mais um. Esta compreensão possibilita a mobilização correta do RG
e RLM para o RF (item B), pois é necessária a identificação das variáveis, ou seja, que o
número de palitos está em função do número de quadrados ( P  3q  1 ), neste processo o
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aluno estará registrando algebricamente através da função a regularidade observada no RG
e registrada através da língua portuguesa no RLM. Os itens C e D propõe que o aluno
realize o tratamento do REq, para tanto, é necessária a mobilização do RF, identificado no
item B, para o REq. Neste momento é importante a identificação e definição das letras,
pois estas deixam de ser variáveis, ou seja, devem ser identificadas como incógnitas, para
posterior substituição das letras por seus respectivos valores. No item E é necessário o
tratamento do RF, pois o número de quadrados q, ou x, sugerida pelo enunciado, passa a
estar em função do número de palitos (P), ou seja, é necessário que o aluno relembre o que
compõe a função inversa, que será definida por x  ( P  1) 3 . O RLM ainda pode ser
identificado no decorrer da situação de ensino, pois a cada item é preciso que o aluno
compreenda o proposto no enunciado, identificando os processos de mobilização e os
Registros de Representação solicitados. Identificamos, portanto, a possibilidade de
conversão do RG  RLM  RF  REq, e o tratamento do RF e REq.
A partir dessas possibilidades de mobilização dos registros propostos na situação de
ensino, realizamos a análise dos procedimentos realizados pelos doze alunos que a
realizaram. A análise foi realizada com o intuito de identificar os tratamentos corretos e os
incorretos realizados nos itens propostos na situação de ensino. Além disso, identificamos
quais os Registros de Representação mobilizados e quais os processos realizados pelos
alunos. O quadro abaixo relaciona o número de alunos
que realizou correta e
incorretamente o tratamento dos itens propostos na situação de ensino.
Quadro 1 – Relação de tratamentos corretos e incorretos por item, considerando a
quantidade de alunos
Tratamentos
Tratamentos incorretos
Corretos
0
12
A
5
7
B
4
9
C
6
6
D
2
10 (3 não realizaram)
E
Fonte: Protocolos da situação de ensino 3.1 propostos a doze alunos.
Item
Identificamos no item B cinco tratamentos corretos, ou seja, os alunos tiveram um
pensamento algébrico. No entanto, apenas três identificaram corretamente as variáveis no
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RG e a regularidade existente, realizando corretamente a mobilização do RG para o RF.
Dois alunos, que por sua vez, também tiveram um pensamento algébrico, utilizaram o
conteúdo de Progressão Aritmética, que estava sendo ensinado pelo professor titular. Nos
itens C e D respectivamente, observamos que os resultados encontravam-se corretos. No
item C os quatro alunos realizaram corretamente a conversão do RF para o REq e
posteriormente seu tratamento, não sendo possível identificar qualquer dificuldade, ambos
os alunos, realizaram corretamente o item B. No entanto, no item D, foi possível identificar
a mobilização correta dos registros em apenas cinco protocolos. Identificamos no item E
apenas dois tratamentos corretos, na qual os alunos, relembraram os conceitos de função
inversa, bem como identificaram a variável q como x e, que esta, se torna dependente do
número de palitos (P), ou seja, realizaram corretamente o tratamento do RF.
Foram expressivos os tratamentos incorretos dos registros propostos na situação de
ensino. No item A identificamos todos os registros incorretos, ou seja, houve muita
dificuldade na conversão do RG para o RLM ao expressar a regularidade observada no
registro de partida. Identificamos erros expressivos no item B, dois alunos realizaram
apenas o RN, três alunos identificaram a existência de variáveis, no entanto não realizaram
corretamente o RF. Dois alunos expressaram-se através do RLM, um deles da seguinte
forma: “A expressão de x indica P de palitos e a expressão y indica o q de quadrados.”,
indicando as ordenadas e abscissas. Nos itens C e D identificamos nove e seis tratamentos
incorretos, estes devido ao RF (item B) estar incorreto. Identificamos em um dos
protocolos a utilização da lógica como estratégia, também a utilização de Regra de Três,
seqüências numéricas e multiplicação de números inteiros. O item E apresentou grande
índice de erros, isso devido aos alunos não compreenderem qual o procedimento a ser
realizado. Além disso, os alunos que utilizaram a Progressão Aritmética para realizar o RF
também não identificaram a função inversa da função obtida no item B. Identificamos
também a utilização do RLM, no entanto, de forma incorreta.
No decorrer da análise foi possível identificar e refletir acerca da imensa
dificuldade demonstrada por parte dos alunos ao identificar e mobilizar os diferentes
Registros Algébricos de um mesmo objeto matemático. Esta percepção nos possibilita
afirmar novamente e com certeza, que os alunos continuam entendendo a Álgebra como a
substituição de letras por números. Identificamos que o aluno possui maior dificuldade ao
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realizar a conversão do Registro Gráfico para os demais registros, tal fato pode ser
exemplificado com o registro de um dos alunos (Figura 2).
Figura 2: Registro de aluno
Fonte: Protocolo 3.1, 2010, realizado pelo aluno C.
Esse relato demonstra a importância do aluno reconhecer os diferentes Registros de
Representação de um mesmo objeto matemático, bem como, realizar a conversão e o
tratamento dos mesmos. Pois, conforme os Parâmetros Curriculares (BRASIL, 1998), o
reconhecimento e a conversão entre os diferentes Registros de Representação Algébricos
permitem ao aluno o reconhecimento de diferentes formas de representar um objeto
matemático, adquirindo uma aprendizagem dos conceitos algébricos mais significativa.
Considerações Parciais
Este trabalho foi realizado com o intuito de analisar e refletir acerca dos
procedimentos adotados pelos alunos do segundo ano do Ensino Médio ao identificar e
mobilizar diferentes Registros de Representação Algébricos, considerando o aporte teórico
dos Registros de Representação Semiótica, proposto por Duval (2003). Buscamos
identificar e compreender quais as dificuldades dos alunos ao reconhecer, utilizar e
mobilizar os diferentes Registros Algébricos propostos em uma situação de ensino,
considerando o tratamento e a conversão. Compreendemos a importância dos Registros de
Representação para uma apreensão conceitual no que tange ao ensino de Álgebra. Damm
(1999, p. 144), afirma que, quanto maior for a mobilidade com registros de representação
diferentes do mesmo objeto matemático, maior será a possibilidade de apreensão deste
objeto.
As dificuldades observadas na conversão entre os Registros de Representação e no
reconhecimento dos mesmos, bem como a utilização, quase que, constante do RN, podem
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ser reflexo das opções metodológicas realizadas pelos professores, muitas vezes, marcadas
apenas pela utilização constante do Livro Didático. Identificamos que as dificuldades
existentes no Ensino Fundamental permanecem ainda no Ensino Médio. Esses fatos
evidenciam a importância do professor ter acesso a novas metodologias e aportes teóricos
que contribuam para a apreensão conceitual significativa dos alunos.
Ao considerarmos como foco o Ensino Médio, nos preocupamos com os resultados
obtidos, pois estes alunos já tiveram contato com os conceitos algébricos no Ensino
Fundamental e no primeiro ano do Ensino Médio. Para tanto, é importante que os Registros
de Representação Semiótica estejam presentes no Ensino de Álgebra, não somente no
Ensino Fundamental ou Médio, mas sim, em todos os períodos de ensino. É importante que
os alunos, desde a introdução à Álgebra reconheçam e tenham conhecimento das diferentes
representações de um mesmo objeto matemático. Por esse motivo salienta-se a importância
do professor utilizar novos referenciais teóricos e ter ações mais consistentes que
possibilitem um aprendizado significativo de conceitos algébricos.
É importante que o professor de Matemática considere, ao planejar suas aulas e,
elaborar/reorganizar situações de ensino, a Teoria dos Registros de Representação
Semiótica, com ênfase ao ensino de conceitos algébricos. Em nossos estudos identificamos
a importância de compreender os conceitos matemáticos, especificamente algébricos. Isso
possibilita que o aluno reconheça, coordene e mobilize corretamente os diferentes
Registros de Representação. Duval (2003), afirma que a compreensão dos conceitos supõe
a coordenação dos registros. Portanto, é importante a compreensão das diferentes
representações de um objeto matemático, bem como as possibilidades de conversão entre
os registros, para que o aluno tenha uma aprendizagem significativa dos conceitos
algébricos.
Referências
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação.
Brasília: MEC, SEF, 1998. (Anos Finais do Ensino Fundamental)
BREUNIG, R. T.; NEHRING, C. M.; POZZOBON, M. C. C. Registros de Representação
e o Ensino de Álgebra: conversões realizadas por alunos a oitava série em uma situação de
Comunicação Científica
ensino. In: Anais do III Jornada Nacional de Educação Matemática e XVI Jornada
Regional de Educação Matemática. UPF/RS, 2010.
BREUNIG, R. T.; NEHRING, C. M.; POZZOBON, M. C. C. Registros de Representação
Algébricos: proposições de alunos do primeiro ano do ensino médio. In: V Congresso
Internacional de Educação Matemática. ULBRA/RS, 2010.
COXFORD, A. F.; SHULTE, A. P. As idéias da álgebra. Traduzido por Hygino H.
Domingues. São Paulo: Atual, 1994.
DAMM, R. F. Registros de Representação. In: MACHADO, S. D. A. (et al.). Educação
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DANTE, L. R. Tudo é Matemática. 1ª Edição. São Paulo: SP, Editora Ática, 2002. (8ª
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DUVAL, R. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da
Compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org). Aprendizagem em
matemática: registros de representação semiótica. Campinas, SP: Papirus, p. 11-33, 2003.
JACOMELLI, K. Z. A linguagem natural e a linguagem algébrica: nos livros didáticos e
em uma classe de 7ª série do ensino fundamental. Florianópolis / SC, 2006. Dissertação
(Programa de Pós – Graduação em Educação Científica e Tecnológica). Universidade
Federal de Santa Catarina.
KEPPKE, C. L. Álgebra nos Currículos do Ensino Fundamental. São Paulo/ SP, 2007.
Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática). Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo.
LOPES JUNIOR, D. Função do 1º Grau: um estudo sobre seus registros de
representação semiótica por alunos da 1ª série do Ensino Médio. Campo Grande/ MS,
2006. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Educação). Universidade Federal do
Mato Grosso do Sul.
NEHRING, C. M.; POZZOBON, M. C. C. A intervenção docente no ensino de álgebra:
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VIZOLLI, I. Registros de Alunos e Professores de Educação de Jovens e Adultos na
Solução de Problemas de Proporção – Porcentagem. Curitiba/ Paraná, 2006. Tese de
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