teoria dos números - Professor Joaquim

Prof.: Joaquim Rodrigues
TEORIA DOS NÚMEROS
Número: é o resultado da comparação de uma grandeza com a unidade.
Grandeza: é tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado.
Unidade: é uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. A
grandeza escolhida é arbitrária, mas é necessário que seja perfeitamente definida.
Algarismos: são símbolos que representam os números.
Importante: não confundir algarismo com número. (Por exemplo: 738 é um
número representado pelos algarismos 7, 3 e 8; já 6 é um número representado
pelo único algarismo 6).
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Número natural é um conceito primitivo, originário da necessidade dos homens
contarem quantidade de coisas ou objetos.
Posteriormente foi estabelecida a sucessão dos números naturais, que se constitui
num conjunto infinito de números, denominado conjunto dos números naturais.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Esse conjunto tem as seguintes características:
• é representado pela letra N (maiúscula)
• é um conjunto infinito
• todo número natural tem um sucessor
• todo número natural, exceto o zero, tem um antecessor
• zero é o menor dos números naturais
NOTA:
sucessor de um número natural é outro número natural acrescido de um (1)
Exemplos:
O sucessor de 0 é 1
O sucessor de 1 é 2
etc
antecessor de um número natural, exceto o zero, é outro número natural, subtraído
de um (1)
Exemplos:
O antecessor de 1 é 0
O antecessor de 2 é 1
etc
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IMPORTANTE:
Um número natural e seu sucessor ou o seu antecessor são chamados consecutivos
Exemplos:
7, 8 e 9 são consecutivos
1 e 2 são consecutivos
O algarismo zero (0) é o único número natural que não possui antecessor, isto é, não
há nenhum número natural antes dele.
Observações
1. Quando se exclui o zero do conjunto dos números naturais, obtém-se o conjunto
IN* = {1, 2, 3, ...}
2. Os números que usamos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} são chamados algarismos indoarábicos e a partir deles, podemos formar qualquer outro número.
Exemplos:
7 é um número formado pelo algarismo 7
21 é um número formado pelos algarismos 2 e 1
103 é um número formado pelos algarismos 1, 0 e 3
etc
3. Lembre-se que número é uma idéia de quantidade, mas numeral é simplesmente o
símbolo que representa essa idéia.
Exemplo:
idéia de quantidade
numeral indo-arábico
cinco bolas
5 bolas
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
1. ADIÇÃO: adição é a operação que determina um número natural para representar o
total de objetos de duas ou mais coleções.
2. SUBRAÇÃO: é a operação inversa da adição
3. MULTIPLICAÇÃO: é uma soma de parcelas iguais.
Observe: 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Podemos representar a mesma igualdade de uma forma diferente, assim: 4 x 3 = 12
ou 4 ▪ 3 = 12 que se lê, quatro vezes três igual a doze.
Essa operação chama-se multiplicação e é indicada pelo sinal x ou ▪
Na multiplicação 4 x 3 = 12, dizemos que:
• 4 e 3 são os fatores
• 12 é o produto
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4. DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação
dividendo
12
3
divisor
0
4
quociente
Quando o resto da divisão for igual a zero, dizemos que a divisão é exata.
resto
dividendo
17
3
divisor
2
5
quociente
Quando o resto da divisão for diferente de zero, a
divisão não é exata.
resto
Algumas observações importantes:
No conjunto IN não se pode dividir um número menor por um número maior.
Zero dividido por qualquer número dá sempre zero.
Mas, é impossível dividir qualquer número por zero, ou seja, não existe divisão
por zero.
5. POTENCIAÇÃO: Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são
iguais:
5 x 5 x 5, que vamos indicar por 53 , ou seja: 53 = 5 × 5 × 5 = 125
Expoente
Desta forma, temos que:
5
3
= 125
Potência
Base
Onde:
• 5 é a base (que é o fator que se repete)
• 3 é o expoente (o número de vezes que repetimos a base)
• 125 é a potência (que é o resultado da operação)
3
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Casos particulares: NÃO ESQUEÇA VIU!!!
qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele próprio.
Exemplos: a) 71 = 7
b) 201 = 20
qualquer número elevado a zero é igual a 1.
Exemplos: a) 8 0 = 1
b) 235 0 = 1 (viu, não importa o tamanho do número)
para resolver uma potência de base 10, basta repetir o número 1 e acrescentar
tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
Exemplos: a) 101 = 10 (1 zero)
b) 10 2 = 100 (2 zeros)
c) 10 5 = 100.000 (5 zeros)
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES
Não é preciso escrever o expoente quando o número é elevado a 1, pois fica subentendido.
Quando o expoente é 2, lê-se ao quadrado.
Quando o expoente é 3, lê-se ao cubo.
Quando o expoente é 4, lê-se à quarta potência.
etc
Assim, podemos dizer que a POTENCIAÇÃO EM IN, é definida como:
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a , n ∈ IN e n ≥ 2
142
4 43
4
n vezes
• Se n = 0 ⇒ a 0 = 1 (a ≠ 0)
• Se n = 1 ⇒ a 1 = a (∀ a )
PROPRIEDADES
1. a m ⋅ a n = a m + n
am
2.
= a m − n ( a ≠ 0 e m ≥ n)
n
a
(a )
m n
= a m⋅n
4. (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n
3.
n
an
a
5.   = n (b ≠ 0)
b
b
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6. RADICIAÇÃO: Consideremos o caso particular de um número natural elevado ao
quadrado.
Por exemplo: quanto dá o número 3 elevado ao quadrado?
32 = 9
E se fizermos agora, a pergunta inversa: qual é o número que elevado ao quadrado
dá 9?
A resposta é 3.
índice do radical
E sua operação é chamada de radiciação e
indicada assim:
2
9
= 3
raiz
radicando
•
•
•
o símbolo
chama-se radical
o número 9 é o radicando
o número 3, que é o resultado da operação chama-se raiz quadrada de 9
Obs.: quando o índice do radical é 2, como nesse caso que examinamos, a raiz chama-se quadrada e não há a necessidade de se escrevê-la. Então podemos fazer simplesmente assim: 9 = 3
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Numa expressão numérica com adição e subtração, o que devemos fazer primeiro?
Devemos efetuar essas operações na ordem em que aparecem na expressão.
Exemplos:
1) 35 − 18 + 13 = 17 + 13 = 30
2) 57 + 35 − 42 − 15 = 92 − 42 − 15 = 50 − 15 = 35
E se a expressão tiver parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }?
Em primeiro lugar, devemos resolver as operações indicadas entre parênteses, depois
as operações entre colchetes e por último as operações entre chaves.
Exemplos:
1) 35 + [80 − (42 + 11)] = 35 + [80 − 53] = 35 + 27 = 62
2) 18 + {72 − [43 + (35 − 28 + 13)]} = 18 + {72 − [43 + 20]} = 18 + {72 − 63} =
= 18 + 9 = 27
Para calcular o valor de expressões numéricas com as operações de adição, subtração e
multiplicação:
1º ) efetuamos as multiplicações.
2º ) efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda
para a direita.
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Exemplos:
1) 3 ⋅ 4 + 5 ⋅ 8 − 2 ⋅ 9 = 12 + 40 − 18 = 52 − 18 = 34
2) 9 ⋅ 6 − 4 ⋅ 12 + 7 ⋅ 2 = 54 − 48 + 14 = 6 + 14 = 20
3) 75 − {(18 ⋅ 6) − 7 ⋅ [12 − 2 ⋅ (10 − 8 + 4) + (3 ⋅ 5)] + (6 ⋅ 7)} =
= 75 − {108 − 7 ⋅ [12 − 2 ⋅ 6 + 15] + 42} = 75 − {108 − 7 ⋅ [12 − 12 + 15] + 42} =
= 75 − {108 − 7 ⋅15 + 42} = 75 − {108 − 105 + 42} = 75 − 45 = 30
4) 22 + {12 + [(6 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9) − (3 ⋅ 7)] − 8 ⋅ 9} = 22 + {12 + [(48 + 36) − 21] − 72} =
= 22 + {12 + [84 − 21] − 72} = 22 + {12 + 63 − 72} = 22 + 3 = 25
Para calcular o valor das expressões numéricas com as quatro operações:
1º ) efetuamos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem.
2º ) efetuamos as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem.
Exemplos:
1) 3 ⋅15 + 36 ÷ 9 = 45 + 4 = 49
2) 18 ÷ 3 ⋅ 2 + 8 − 6 ⋅ 5 ÷ 10 = 6 ⋅ 2 + 8 − 30 ÷ 10 = 12 + 8 − 3 = 20 − 3 = 17
3) [(36 ⋅ 4) + (72 ÷ 9 + 6 ⋅ 12)] + 16 = [144 + (8 + 72)] + 16 =
= [144 + 80] + 16 = 224 + 16 = 240
4) 11 − {(46 ÷ 2) + 3 ⋅ [(52 ÷ 4) − (3 ⋅ 4 + 1)] − (120 ÷ 10)} =
= 11 − {23 + 3 ⋅ [13 − (12 + 1)] − 12} =
= 11 − {23 + 3 ⋅ [13 − 13] − 12} = 11 − {23 + 3 ⋅ 0 − 12} =
= 11 − {23 + 0 − 12} = 11 − {23 − 12} = 11 − 11 = 0
IMPORTANTE: não se esqueça da ordem de resolução numa expressão numérica
1º) potenciação
2º) multiplicação e divisão
3º) adição e subtração
Obs.: Ao resolver uma expressão numérica, devemos eliminar parênteses, colchetes e
chaves, nessa ordem. A ordem de resolução das operações deve ser, potenciação e radiciação, na ordem em que aparecerem, multiplicação e divisão, na ordem em que aparecerem e finalmente, adição e subtração, na ordem em que aparecerem. Para ficar
mais fácil, começamos pelas expressões que estão dentro dos parênteses, colchetes ou
chaves, a partir do mais interno, no caso de estar um dentro do outro.
IMPORTANTE
Veja que, em uma expressão numérica, a posição dos parênteses, colchetes e chaves
alteram o resultado da expressão.
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EXEMPLOS
Resolva as expressões:
a) 5 2 + 8 2 − 18 − 7 ⋅ 2
Resolução
25 + 64 − 18 − 14 = 89 − 32 = 57
(
)
b) 5 2 + 8 2 − 18 − 7 ⋅ 2
Resolução
(25 + 64 − 18 − 7) ⋅ 2 = (89 − 25) ⋅ 2 = 64 ⋅ 2 = 128
c) 3 2 + 8 + [7 2 + (6 2 : 2) − 3]
Resolução
9 + 8 + [49 + (36 : 2) − 3] = 17 + [49 + 18 − 3] = 17 + [67 − 3] = 17 + 64 = 81
d) 37 − 2 ⋅ {5 + 8 ÷ 2 − [4 ⋅ 6 − 20 ⋅ (9 − 8)]}
Resolução
37 − 2 ⋅ {5 + 4 − [24 − 20 ⋅ 1]} = 37 − 2 ⋅ {9 − [24 − 20]} = 37 − 2 ⋅ {9 − 4} =
= 37 − 2 ⋅ 5 = 37 − 10 = 27
{
[
]}
e) 1 + 2 ⋅ 3 ⋅ 7 − 2 2 + (3 2 − 3 ⋅ 2) ⋅ 5
Resolução
1 + 2 ⋅ {21 − [4 + (9 − 6) ⋅ 5]} = 1 + 2 ⋅ {21 − [4 + 3 ⋅ 5]} = 1 + 2 ⋅ {21 − [4 + 15]} =
1 + 2 ⋅ {21 − 19} = 1 + 2 ⋅ 2 = 1 + 4 = 5
EXERCÍCIOS
Questão 01
Calcule o valor das expressões:
a) 9 + 7 − 2
c) 23 − 14 + 35
e) 10 − 1 + 8 − 4
g) 25 − 1 − 4 − 7
i) 75 − 10 − 8 + 5 − 1
b) 18 + 12 − 13
d) 320 − 150 + 230 − 270
f) 12 − 8 + 9 − 3
h) 45 − 18 + 3 + 1 − 2
j) 10 + 5 − 6 − 3 − 3 + 1
Questão 02
Calcule o valor das expressões:
a) 12 − (6 + 4)
c) (15 + 9) − 8
e) 30 − (5 + 3)
g) 25 − (10 −1 − 3)
i) (10 + 5 ) − (1 + 6)
k) 9 + [13 − (6 + 4 − 7)]
m) 17 + {42 + [26 − (9 + 5)] − 10}
b) (12 − 6) + 4
d) 15 + (9 − 8)
f) 15 + (8 + 2)
h) 23 − (2 + 8) − 7
j) 7 − (8 − 3) + 1
l) 57 − [64 − (23 + 7 − 8) + 15]
n) 72 − {25 + [34 − (18 + 9 − 5)] + 15}
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Questão 03
Calcule o valor das expressões:
a) 70 ÷ 7 − 1
c) 30 + 10 ÷ 10
e) 48 ÷ 16 + 20 ÷ 4
g) 10 − 8 ÷ 2 + 3
b) 20 + 3 × 2
d) 150 − 7 × 12
f) 20 − 2 × 3 + 1
h) 30 ÷ 5 − 1 + 2 × 3
Questão 04
Calcule o valor das expressões:
a) (3 + 4) × (9 − 8)
c) 15 + 8 × (2 + 3)
e) 25 + (8 ÷ 2 + 1) − 1
g) 50 − [13 − (10 − 2) ÷ 2]
b) (20 + 8) ÷ (3 + 4)
d) (5 + 3 × 2) − 1
f) 15 + [5 × (8 − 6 ÷ 2)]
h) [40 + 2 × (7 − 5)] × 2 − 20
Questão 05
Calcule o valor das expressões:
a) 16 + [10 − (18 ÷ 3 + 2) + 5]
b) 25 − [12 − (3 × 2 + 1)]
c) 90 − [25 + (5 × 2 − 1) + 3]
d) 45 + [(8 × 5 − 10 ÷ 2) + (18 ÷ 6 − 2)]
e) 50 − 2 × {7 + 8 ÷ 2 − [9 − 3 × (5 − 4) ]}
f) 100 − 3 × {5 + 8 ÷ 2 − [8 − 3 × (7 − 6) ]}
g) {60 ÷ 10 + 2 ⋅ [(35 − 17) ÷ 6]} − 35 ÷ (5 + 2)
Questão 06
Calcule o valor das expressões:
a) 7 2 − 4
b) 2 3 + 10
c) 5 2 − 6
d) 4 2 + 7 0
e) 5 0 + 53
Questão 07
Calcule o valor das expressões:
a) 4 2 − 10 + (2 3 − 5)
b) 30 − (2 + 1) 2 + 2 3
c) 30 + [6 2 ÷ (5 − 3) + 1]
d) 20 − [6 − 4 × (10 − 3 2 ) + 1
e) 50 + [33 ÷ (1 + 2) + 4 × 3]
f) 100 − [5 2 ÷ (10 − 5) + 2 4 × 1]
g) [4 2 + (5 − 3) 3 ] ÷ (9 − 7) 3
h) 7 2 + 2 × [ (3 + 1) 2 − 4 × 13 ]
i) 25 + {33 ÷ 9 + [3 2 × 5 − 3 × (2 3 − 51 ) ]}
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DIVISIBILIDADE EM IN
Sejam a e b ∈ IN*. Dividir a por b é encontrar dois outros números naturais q e r, tais
que:
dividendo
a
b
divisor
r
q
quociente
Sendo a = b ⋅ q + r e r < b
resto
NOTA: se r = 0, temos a = b ⋅ q . Dizemos, neste caso, que:
1. a é divisível por b;
2. a é múltiplo de b;
3. b é divisor de a
Por conseguinte, temos os múltiplos e divisores de um número natural.
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO
Para obter o conjunto dos múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pelos
elementos do conjunto dos números naturais.
IN
5
5
5
5
5
.
.
.
x
x
x
x
x
0
1
2
3
4
.
.
.
= 0
= 5
= 10
= 15
= 20
.
.
.
Múltiplos de 5
Exemplo:
Obter o conjunto dos múltiplos de 5
Indicaremos por M(5), o conjunto formado por todos os
números que são múltiplos de 5.
Assim:
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}
O conjunto dos múltiplos de um número natural qualquer, diferente de zero, é um conjunto infinito.
IMPORTANTE (NÃO ESQUEÇA)
• O zero é múltiplo de qualquer número.
• Todo número é múltiplo de 1 e de si mesmo.
• O único múltiplo de zero é o próprio zero.
DIVISORES DE UM NÚMERO
Quando um número é múltiplo de outro, este chama-se divisor do primeiro.
Assim:
8 é múltiplo de 1 e 1 é divisor de 8
8 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 8
8 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 8
8 é múltiplo de 8 e 8 é divisor de 8
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Agora, observe novamente:
8:1=8
8:5=?
8:2=4
8:6=?
8:3=?
8:7=?
8:4=2
8:8=1
Somente os números 1, 2, 4 e 8 dividem exatamente o número 8.
Eles formam um conjunto, denominado conjunto dos divisores de 8, que indicamos por:
D(8) = {1, 2, 4, 8}
NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS
Dado um número natural n, tal que n ≠ 0 e n ≠1, chamamos:
i. divisores triviais de n: 1 e n
ii. divisores próprios de n: os demais divisores
Exemplos:
1. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Divisores triviais: 1 e 24
Divisores próprios: 2, 3, 4, 6, 8 e 12
2. D(7) = {1, 7}
Divisores triviais: 1 e 7
Divisores próprios: não tem
Nessas condições, quando um número possui somente os divisores triviais, como no caso do 7, esse número é chamado de número primo;
Mas, se o número possui, pelo menos um divisor próprio, então ele será chamado de
número composto.
Observe que, um número primo, possui exatamente dois divisores, que são os divisores triviais. Assim, o número 1 não é primo, pois ele só possui um divisor, e para ser
primo, deve possuir 2 divisores.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Um número é divisível:
1. por 2: quando for par;
2. por 3: quando a soma de seus algarismos formar um número divisível por 3;
3. por 9: quando a soma de seus algarismos formar um número divisível por 9;
4. por 6: quando for divisível por 2 e por 3, ao mesmo tempo;
5. por 4: quando os dois últimos algarismos à direita, formarem um número divisível
por 4
6. por 8: quando os três últimos algarismos à direita, formarem um número divisível
por 8
7. por 5: quando terminar em 0 ou 5;
8. por 10: quando terminar em 0;
9. por 11: quando a soma dos algarismos de ordem ímpar, menos a soma dos algarismos de ordem par, for divisível por 11.
Obs.:
A expressão geral dos números pares é 2n (n ∈ IN) e a dos ímpares é 2n + 1 (n ∈ IN)
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EXEMPLOS
Questão 01
Calcule o maior valor de a para que o número 5.210.45a seja divisível por 3.
Resolução
Um número é divisível por 5 se terminar em 0 ou 5, logo para que o número 5.210.45a
seja divisível por 5, é necessário que a seja 0 ou 5; como queremos saber o maior valor
de a, devemos tomar somente a = 5.
Questão 02
Qual o menor valor de a para que o número 35.45a seja divisível por 6?
Resolução
Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Para ser divisível por 2, deve ser par, assim a deve ser {0, 2, 4, 6, 8}.
Para ser divisível por 3, a soma de seus algarismos deve formar um número divisível
por 3, logo 3 + 5 + 4 + 5 + a = 17 + a
A soma formada deu 17 + a, e o primeiro número depois de 17, divisível por 3 é 18, logo 17 + a = 18 ou a = 1
o próximo número depois de 17, divisível por 3, é 21, logo 17 + a = 21 ou a = 4
o próximo número depois de 17, divisível por 3, é 24, logo 17 + a = 24 ou a = 7
o próximo número depois de 17, divisível por 3, é 27, logo 17 + a = 27 ou a = 10 (mas
nesse caso, não nos interessa mais, pois o número 10, é formado de dois algarismos e
nós queremos apenas um algarismo, que é o algarismo das unidades no número 35.45a
Agora vamos tomar os valores que são pares e que satisfazem a condição de ser múltiplo de 3, ou seja apenas o 4, pois 1 e 7 são ímpares.
Questão 03
Se o número 7.21a.47b é divisível por 45, calcule a soma a + b.
Resolução
Se o número é divisível por 45, então ele será divisível por 9 e por 5 (45 = 9 x 5).
Assim, se ele é divisível por 5, então ele deve terminar em 0 ou 5.
Então temos 2 hipóteses:
1.Se ele terminar em 0, será 7.21a.470 e nesse caso, a soma dos algarismos será:
7 + 2 + 1 + a + 4 + 7 + 0 = 21 + a
O primeiro número depois de 21 que dá uma divisão exata por 9 é 27, logo a = 6
O próximo é 36, logo a = 15 (não pode, pois tem 2 algarismos e a possui somente um
algarismo)
2. Se ele terminar em 5, será 7.21a.475 e nesse caso, a soma dos algarismos será:
7 + 2 + 1 + a + 4 + 7 + 5 = 26 + a
O primeiro número depois de 26 que dá uma divisão exata por 9 é 27, logo a = 1
O próximo é 36, logo a = 10 (não pode, pois tem 2 algarismos e a possui somente um
algarismo)
Na primeira hipótese, temos a = 6 e b = 0, cuja soma a + b = 6 + 0 = 6
Na segunda hipótese, temos a = 1 e b = 5, cuja soma a + b = 1 + 5 = 6
Nos dois casos, a soma a + b = 6
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Questão 04
Considere todas as divisões de números naturais não nulos em que o divisor é 19 e o
resto é igual ao triplo do quociente. Determine a soma de todos os valores possíveis para estes quocientes.
Resolução
A 19
e R = 3Q
Q
R
De acordo com os dados, temos que, os números A, Q e R devem ser naturais não nulos
Para Q = 1, temos R = 3 ⋅ 1 = 3
Para Q = 2, temos R = 3 ⋅ 2 = 6
Para Q = 3, temos R = 3 ⋅ 3 = 9
Para Q = 4, temos R = 3 ⋅ 4 = 12
Para Q = 5, temos R = 3 ⋅ 5 = 15
Para Q = 6, temos R = 3 ⋅ 6 = 18
Se considerarmos Q = 7, teremos R = 3 ⋅ 7 = 21 , o que nos leva a uma situação onde o
resto fica maior do que o divisor, e como sabemos que o maior resto possível, deve ser
1 a menos do o divisor, então, pode ser no máximo 6, assim as nossas hipóteses, são:
Q = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}
A soma desses possíveis quocientes será: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Questão 05
Na divisão de dois números naturais não nulos, o quociente é 14 e o resto é igual ao divisor menos duas unidades. Se a diferença do dividendo e do divisor é 110, calcule o
resto.
Resolução
A
R
B
14
R = B−2
e 
 A − B = 110
A = B ⋅ 14 + R ∴ A = 14 B + ( B − 2) = 14 B + B − 2 ⇒
A = 15 B − 2
por outro lado, temos:
A − B = 110 ⇒ (15 B − 2) − B = 110 ⇒ 15 B − 2 − B = 110
14 B − 2 = 110 ⇒ 14 B = 112 ⇒ B = 8
E como R = B − 2 , teremos R = 8 − 2 ⇒ R = 6
12
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FATORAÇÃO
Teorema fundamental da aritmética
Todo número composto é igual ao produto de números primos.
Dessa forma, todo número composto pode ser decomposto, ou seja, pode ser fatorado.
Exemplo:
Fatorar 140
PROCEDIMENTO
140
70
35
7
1
2
2
5
7
22 × 5 × 7
• Escrevemos o número dado (no caso, 140) e marcamos
uma barra vertical ao seu lado
• Dividimos o número 140 pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2.
• Voltamos a dividir o quociente, que é 70, pelo menor
número primo possível. Aqui, novamente é o 2.
• O processo é repetido, até que o quociente seja 1.
DETERMINAÇÃO DE TODOS OS DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL
Vamos supor que se queira determinar todos os divisores do número 24.
24
12
6
3
1
2
2
2
3
• Fatora-se o número 24;
• Faz-se um traço vertical à direita dos
fatores da decomposição completa de
24;
• Escreve-se o número 1 (que é o primeiro divisor de qualquer número natural) um pouco acima do primeiro fator primo (2).
1
2
2, 4
2, 4, 4, 8
3, 6, 6, 12, 6, 12, 12, 24
• Os divisores serão obtidos, a partir de 1, multiplicando-se cada um dos fatores primos (que estão à esquerda do traço), pelos números que vêm à direita do traço, e situados acima dele.
• Os divisores obtidos mais de uma vez, não serão repetidos.
Logo, D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Mas se, o nosso interesse, é saber quantos são os divisores de um número natural, vamos utilizar a seguinte estratégia:
“ basta somar 1 a cada expoente de seus fatores primos (na fatoração completa) e multiplicar os resultados encontrados.”
24
12
6
3
1
2
2
2
3
2 3 × 31
(3 + 1) x (1 + 1) = 4 x 2 = 8
Logo, o número 24, possui 8 divisores.
23 × 3
13
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EXEMPLOS
Questão 01
Quais são os divisores naturais de:
a) 8
Resolução
Fatoramos 8
1
8
4
2
1
2
2
2
2
logo, os divisores de 8, são {1, 2, 4, 8}
2, 4
2, 4, 4, 8
b) 20
Resolução
Fatoramos 20
1
20
10
5
1
2
2
5
2
Os divisores de 20, são {1, 2, 4, 5, 10, 20}
2, 4
5, 10, 10, 20
c) 7
Resolução
O número 7 é primo, logo, possui somente dois divisores, um e ele mesmo, assim
D7 ={1, 7}
Questão 02
Determine quantos divisores possui o número:
a) 70.
Resolução
Observe que 70 = 7 × 10 = 7 × (2 × 5) = 2 × 5 × 7 = 21 × 51 × 71
A cada expoente de cada número primo que está na base somamos uma unidade e
multiplicamos o resultado obtido, assim:
(1 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 , logo, o número 70 possui 8 divisores
14
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b) 60
Resolução
Observe que 60 = 6 × 10 = (2 × 3) × (2 × 5) = 2 × 2 × 3 × 5 = 2 2 × 31 × 51
A cada expoente de cada número primo que está na base somamos uma unidade e
multiplicamos o resultado obtido, assim:
(2 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 , logo, o número 60 possui 12 divisores
c) 140
Resolução
Observe que 140 = 14 × 10 = (2 × 7) × (2 × 5) = 2 × 2 × 5 × 7 = 2 2 × 51 × 71
A cada expoente de cada número primo que está na base somamos uma unidade e
multiplicamos o resultado obtido, assim:
(2 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (1 + 1) = 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 12 , logo, o número 140 possui 12 divisores
d) 2 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 ⋅ 11
Resolução
Observe que, nesse caso, o número já está fatorado, isto é, suas bases, são formadas
de números primos, veja: 2, 5, 7 e 11 são números primos. Então é só tomar cada
expoente de cada número primo que está na base, somamos uma unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim:
(3 + 1) ⋅ (1 + 1) ⋅ (2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 4 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 48 , logo, o número 2 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2 ⋅ 11 possui 48
divisores
e) 5 2 ⋅ 6 3
Resolução
Nesse caso, 5 é primo, mas 6, não é, assim, temos que
5 2 ⋅ 6 3 = 5 2 ⋅ (2 ⋅ 3) 3 = 5 2 ⋅ 2 3 ⋅ 33 = 2 3 ⋅ 33 ⋅ 5 2
Agora é só tomar cada expoente de cada número primo que está na base, somamos
uma unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim:
(3 + 1) ⋅ (3 + 1) ⋅ (2 + 1) = 4 ⋅ 4 ⋅ 3 = 48 , logo, o número 5 2 ⋅ 6 3 possui 48 divisores
Questão 03
Fatore:
a) 72
Resolução
72 = 36 × 2 = 6 2 × 2 = (2 × 3) 2 × 2
b) 3.600.000
Resolução
3.600.000 = 36 × 10 5 = 6 2 × (2 × 5) 5
72 = 2 2 × 3 2 × 2 = 2 2 × 2 × 3 2
3.600.000 = (2 × 3) 2 × 2 5 × 5 5
72 = 2 3 × 3 2
3.600.000 = 2 2 × 3 2 × 2 5 × 5 5
3.600.000 = 2 2 × 2 5 × 3 2 × 5 5
3.600.000 = 2 7 × 3 2 × 5 5
15
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Questão 04
Calcule a soma de todos os divisores de 90.
Resolução
Os divisores de 90 são {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}
A soma será 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 15 + 18 + 30 + 45 + 90 = 234
Questão 05
Calcule a soma dos divisores próprios de 108.
Os divisores de 108 são { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108}, sendo que os divisores próprios são: {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54}, pois 1 e 108 são os divisores triviais
Assim, a soma será: 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 27 + 36 + 54 = 171
Questão 06
Calcule k, sabendo que 2 2 ⋅ 3 k ⋅ 5 ⋅ 6 2 ⋅10 3 tem 240 divisores.
Resolução
Nesse caso, 2, 3 e 5 são primos, mas 6 e 10, não são, assim, temos que
2 2 ⋅ 3 k ⋅ 5 ⋅ 6 2 ⋅ 10 3 = 2 2 ⋅ 3 k ⋅ 5 ⋅ (2 ⋅ 3) 2 ⋅ (2 ⋅ 5) 3 = 2 2 ⋅ 3 k ⋅ 5 ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2 3 ⋅ 5 3
2 2 ⋅ 3 k ⋅ 5 ⋅ 6 2 ⋅ 10 3 = 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 3 ⋅ 3 k ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 5 3 = 2 7 ⋅ 3 k + 2 ⋅ 5 4
Agora é só tomar cada expoente de cada número primo que está na base, somamos uma
unidade e multiplicamos o resultado obtido, assim:
(7 + 1) ⋅ (k + 2 + 1) ⋅ (4 + 1) = 240
8 ⋅ (k + 3) ⋅ 5 = 240 ⇒ 8 ⋅ 5 ⋅ (k + 3) = 240 ⇒ 40 ⋅ (k + 3) = 240
240
(k + 3) =
⇒ k +3= 6 ⇒ k = 6−3 ⇒ k = 3
40
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)
O mdc de dois ou mais números é o maior número que divide dois ou mais números ao
mesmo tempo. Para determinar o mdc, fatoramos os números e tomamos os fatores comuns com os menores expoentes.
Exemplo
Determinar o mdc entre 360 e 48.
360 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 e 48 = 2 4 ⋅ 3
Logo, o mdc (360, 48) = 2 3 ⋅ 3 = 8 ⋅ 3 = 24
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
O mmc é o menor número divisível por dois ou mais números ao mesmo tempo. Para
determinar o mmc, fatoramos os números e tomamos os fatores comuns e não comuns
com os maiores expoentes.
Exemplo
Determinar o mmc entre 360 e 48.
360 = 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 e 48 = 2 4 ⋅ 3
Logo, o mmc (360, 48) = 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 720
Propriedade: o produto do mdc pelo mmc de dois números é igual ao produto dos dois
números.
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QUESTÕES
Questão 01
Calcule o mmc e o mdc de 24 e 30.
Resolução
24 = 2 3 × 3 e 30 = 2 × 3 × 5
Logo, mmc (24, 30) = 2 3 × 3 × 5 = 8 × 3 × 5 = 120 e o mdc (24, 30) = 2 × 3 = 6
Observe que:
24 × 30 = 720
mmc (24, 30) × mdc (24, 30) = 120 × 6 = 720
Questão 02
Calcule o mmc e o mdc entre A e B, sendo A = a 5b 3 x 4 y 2 t e B = a 3b 4 x 6 y s .
Resolução
mmc ( A, B ) = a 5 b 4 x 6 y 2 t s , que é o produto dos fatores comuns e não comuns de maior
expoente;
mdc ( A, B ) = a 3b 3 x 4 y , que é o produto só dos fatores comuns e de menor expoente.
Questão 03
O produto de dois números é 2400 e o mdc deles é 20. Calcule o seu mmc.
Resolução
mmc (a, b) × mdc (a, b) = 2.400
mmc (a, b) × 20 = 2.400
2.400
mmc (a, b) =
20
mmc (a, b) = 120
Questão 04
Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que
haja perda de material. O menor número total possível de pedaços é:
a) 7
Resolução
b) 9
Se queremos o menor número total de pedaços, é porque queremos o
c) 11
maior tamanho de cada fio, ou seja, o mdc dos três números.
d) 13
Assim, fatorando os números, temos:
e) 30
Fio A (36m): 36 = 2 2 × 3 2
Fio B (48m): 48 = 2 4 × 3
Fio C (72m): 72 = 2 3 × 3 2
mdc (36, 48, 72) = 2 2 × 3 = 4 × 3 = 12
Isto quer dizer que o maior tamanho de cada fio é de 12m, logo:
36 : 12 = 3 pedaços
48 : 12 = 4 pedaços
72 : 12 = 6 pedaços
daí, temos um total de 3 + 4 + 6 = 13 pedaços
Letra D
17
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SISTEMA DE NUMERAÇÃO
Como existem infinitos números naturais, é impossível inventar um nome especial para
cada número, bem como representar cada um deles por um símbolo especial. Daí a necessidade de certas regras que permitam ler e escrever qualquer número, usando poucas
palavras e poucos símbolos. O conjunto de tais regras constitui um sistema de numeração.
Base do sistema de numeração: é a quantidade de algarismos que ele utiliza.
Mudança de base
• Da base 10 para uma base qualquer: efetue sucessivas divisões do número dado e
dos quocientes obtidos pela base dada, até achar um quociente menor que a base dada.
Exemplos:
1. Escreva o número 353, base 10, na base 7.
Resolução
353
7
3
50
1
7
7
7
1 último quociente
0
Assim, 353 na base 7 será escrito como 1013 ( 7 ) = 353
2. Escreva o número 1513, base 10, na base 5.
Resolução
1513 5
3
302
2
5
60
5
0
12
2
5
2 último quociente
Assim, 1513 na base 5 será escrito como 22023 ( 5 ) = 1513
18
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• De uma base qualquer para a base 10: vamos associar a cada algarismo, da direita
para a esquerda, uma potência crescente a partir de zero da base dada; multiplicamos
cada algarismo e somamos os produtos obtidos.
Exemplos:
1. Escrever o número 12102 ( 3 ) na base dez.
Resolução
12102 ( 3 ) = 2 ⋅ 30 + 0 ⋅ 31 + 1 ⋅ 3 2 + 2 ⋅ 33 + 1 ⋅ 3 4
12102 ( 3 ) = 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 + 1 ⋅ 9 + 2 ⋅ 27 + 1 ⋅ 81
12102 ( 3 ) = 2 + 0 + 9 + 54 + 81
12102 ( 3 ) = 146
2. Escrever o número 12301 (4 ) na base dez.
Resolução
12301( 4 ) = 1 ⋅ 4 0 + 0 ⋅ 41 + 3 ⋅ 4 2 + 2 ⋅ 4 3 + 1 ⋅ 4 4
12301( 4 ) = 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 4 + 3 ⋅ 16 + 2 ⋅ 64 + 1 ⋅ 256
12301( 4 ) = 1 + 0 + 48 + 128 + 256
12301( 4 ) = 433
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros formam um conjunto que se indica por
Z = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
OPERAÇÕES EM Z
1. Adição e subtração
2. multiplicação e divisão
Regra de sinais
Sinais iguais (resultado positivo) Ex.: (+2) ⋅ (+3) = +6 e (−2) ⋅ (−3) = +6
Sinais opostos (resultado negativo) Ex.: (−2) ⋅ (+3) = −6 e (+2) ⋅ (−3) = −6
3. Potenciação com expoente natural
• Base positiva (expoente par ou ímpar) dá resultado positivo;
Ex.: (+2) 2 = +4 e (+2) 3 = +8
• Base negativa (expoente par) dá resultado positivo;
Ex.: (−2) 2 = +4
•
Obs.: cuidado, pois (−2) 2 = +4 , mas − 2 2 = −4 , pois nesse caso, somente o 2, é
que está elevado ao quadrado, o sinal de menos não.
Base negativa (expoente ímpar) dá resultado negativo.
Ex.: (−2) 3 = −8
19
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CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais formam um conjunto que se indica por:


p
Q = x / x = , p ∈ Z e q ∈ Z * 
q


p
Um número racional
(q ≠ 0) , ele pode ser:
q
i. um número inteiro
3 6 9 12
= ...
Ex.: 3 = = = =
1 2 3 4
ii. um número decimal exato
7
Ex.: = 3, 5
2
iii. um número decimal periódico (dízima periódica)
1
Ex.: = 0, 333 ...
3
OPERAÇÕES EM Q (COM FRAÇÕES)
1. Adição e subtração (com o mesmo denominador)
Conserve o denominador e efetue a operação indicada no numerador
Ex.:
2 5 2+5 7
a) + =
=
3 3
3
3
11 7 11 − 7 4
b)
− =
=
5 5
5
5
2. Adição e subtração (com os denominadores diferentes)
É só tirar o mmc dos denominadores; depois dividir o novo denominador, que é o
mmc, por cada um dos denominadores e o resultado multiplicar pelo numerador de
cada fração correspondente.
Ex.:
2 5 1
a) + − tirando o mmc (3, 12, 5) encontramos 60, assim:
3 12 5
2 5 1 5 ⋅ 2 5 ⋅ 5 12 ⋅ 1 10 + 25 − 12 23
+ − =
+
−
=
=
3 12 5 60
60
60
60
60
b)
3
5
3
5
3 2 5
− 2 + , note que podemos fazer − 2 +
igual a − +
8
12
8
12
8 1 12
e tirando o mmc (8, 1, 12) encontramos 24, logo:
3 2 5 3 ⋅ 3 24 ⋅ 2 2 ⋅ 5 9 − 48 + 10
29
− +
=
−
+
=
=−
8 1 12 24
24
24
24
24
20
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3. Multiplicação e divisão
Na multiplicação, devemos multiplicar numerador com numerador e denominador
com denominador.
Ex.:
2 5 2 ⋅ 5 10
=
a) ⋅ =
3 7 3 ⋅ 7 21
b)
c)
2 5
⋅ (note que nesse caso, é possível simplificar antes o 2 com o 4)
3 4
2 5 1 5 5
⋅ = ⋅ =
3 4 3 2 6
3 2
⋅ ⋅ 7 (vamos simplificar 3 com 3)
5 3
3 2
1 2 7
2
7
⋅ ⋅ 7 = ⋅ ⋅ (veja que temos 2 = e 7 = )
5 3
5 1 1
1
1
3 2
1 2 7 14
⋅ ⋅7 = ⋅ ⋅ =
5 3
5 1 1 5
14
pode ser escrita como uma fração mista, assim
Obs.: veja que essa fração
5
14
4
4
= 2 (o que significa que são 2 inteiros e )
5
5
5
4 5 ⋅ 2 + 4 10 + 4 14
e para retornar à fração, basta fazer 2 =
=
=
5
5
5
5
Na divisão, devemos conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da outra
Ex.:
2 5 2 7 14
a) : = ⋅ =
3 7 3 5 15
b)
1 3 1 7 7
: = ⋅ =
3 7 3 3 9
c)
3 1 3 3 9
: = ⋅ =
7 3 7 1 7
d)
3
3 3 3 1 1
:3 = : = ⋅ =
7
7 1 7 3 7
21
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4. Potenciação
• com expoente natural
Basta elevar o numerador e o denominador ao expoente, seguindo a propriedade
n
an
a
  = n
b
b
2
22 4
2
Ex.:   = 2 =
9
3
3
•
com expoente inteiro negativo
Nesse caso, devemos inverter a fração para depois elevar ao mesmo expoente
a
com o sinal trocado, conforme a propriedade  
b
Ex.:
2
a)  
3
1
b)  
3
−2
−3
3
b
= 
a
n
2
9
3
=  =
4
2
3
3
=   = 33 = 27
1
c) 3 − 2 note que nesse caso, 3 é o mesmo que
−2
−n
3
= 
1
−2
3
, logo:
1
2
1
1
=  =
9
3
REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL EXATO EM FRAÇÃO
Devemos colocar um traço de fração, em seguida, escrevemos no numerador, o número
sem a vírgula e no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantos forem as
casas após a vírgula.
Ex.:
13
a) 1,3 =
(1 casa após a vírgula, colocamos 1 zero)
10
237
b) 2,37 =
(2 casas após a vírgula, colocamos 2 zeros)
100
0171 171
c) 0,171 =
=
(3 casas após a vírgula, colocamos 3 zeros)
1000 1.000
5
5 1
d) 0,5 =
(veja que nesse caso, é possível simplificar) 0,5 =
=
10
10 2
0003
3
e) 0,003 =
=
1.000 1.000
22
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REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE UMA DÍZIMA EM FRAÇÃO
Dízima simples: uma dízima periódica simples é igual à parte inteira mais uma fração
cujo numerador é o período e cujo denominador é um número formado de tantos noves
quantos forem os algarismos do período.
Ex.:
3 3 1
a) 0,333 ... = 0 + = =
9 9 3
23 99 + 23 122
b) 1.232323 ... = 1 +
=
=
99
99
99
457 999 ⋅ 3 + 457 2.997 + 457 3.454
=
=
=
(observe que o traço acima
c) 3, 457 = 3 +
999
999
999
999
do número nas casas decimais, indica que ele é o número que repete, ou período)
Dízimas compostas: uma dízima periódica composta é igual à parte inteira mais uma
fração cujo numerador é formado pelo ante-período, seguido de um período, menos o
ante-período e cujo denominador é formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos do ante-período.
Ex.:
231 − 2 229
a) 0,23131... = 0 +
=
990
990
35453 − 35
35.418 99.900 ⋅ 2 + 35.418 235.218
b) 2,35453453 ... = 2 +
= 2+
=
=
99900
99.900
99.900
99.900
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
São todos os números decimais não exatos e não periódicos.
Ex.:
a) 2 = 1,41421...
b) π = 3,1413 ...
c) e = 2,7182 ...
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
É a união entre os racionais e os irracionais
m
Expoentes fracionários: a n = n a m
Ex.:
3
5
a) 2 = 5 23
1
b) 3 2 = 2 31 = 3
2
c)  
3
−
2
3
2
 3 3
3
=  =3  
2
2
2
23
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RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Quando o denominador é irracional, é útil transformar a fração numa equivalente de denominador racional. Essa transformação denomina-se racionalização do denominador.
A racionalização é obtida multiplicando-se ambos os termos da fração por uma expressão convenientemente escolhida e denominada fator racionalizante.
1º caso: o denominador é um radical de 2º grau. Multiplicaremos os dois termos da fração pelo denominador.
2
Ex.: Racionalizar o denominador de
3
multiplicamos o numerador e o denominador por 3 , assim:
2
3
×
3
3
=
2⋅ 3
3⋅ 3
te do radicando
2
3
×
3
3
=
2
=
2 3
32
aqui devemos simplificar o índice do radical com o expoen-
3 2 = 3 , logo:
2⋅ 3
3⋅ 3
=
2 3
3
2
=
2 3
3
2º caso: o denominador é um radical de grau qualquer. Multiplicaremos os dois termos
da fração pela potência do denominador que tornar o expoente do radicando igual ao
índice.
2
Ex.: Racionalizar o denominador de
7
32
multiplicamos o numerador e o denominador por
2
7
32
×
7
5
3
7
35
=
2⋅ 3
7
7
5
3 2 ⋅ 7 35
=
7
2 3
7
5
3 2 ⋅ 35
=
7
2 3
7
5
37
=
7
2 3
3
3 , assim:
5
3º caso: denominador binômio em que um só termo, ou ambos, são radicais de 2º grau.
Multiplicaremos os dois temos da fração pela expressão conjugada do denominador, baseando-se no princípio: “o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença de seus quadrados.
2
Ex.: Racionalizar o denominador de
5− 3
A expressão conjugada de 5 − 3 é 5 + 3
logo
2
5− 3
×
5+ 3
5+ 3
=
2 ( 5 + 3)
( 5) − ( 3)
2
2
=
2
(
) (
5+ 3
2
=
5−3
Note que ao racionalizarmos uma expressão como
2
5− 3
essa expressão numa equivalente que nesse caso é: 5 + 3
24
)
5+ 3
= 5+ 3
2
, estamos transformando
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TESTES
Questão 01 (PUC – MG)
A soma dos valores absolutos do número ab é 9. Se invertermos a ordem dos algarismos
(ba), o número obtido será maior que o anterior em 45 unidades. Então, é CORRETO
afirmar que o número ab é:
a) múltiplo de 2
b) múltiplo de 3
c) múltiplo de 4
d) múltiplo de 5
e) um número primo
Questão 02 (UFMG)
Considere um número de dois algarismos tal que a soma desses algarismos seja 13. Adicionando-se 9 ao número, obter-se-á outro formado com os mesmos algarismos dispostos em ordem inversa. O novo número é:
a) menor que 49
b) maior que 50 e menor que 60
c) maior que 61 e menor que 77
d) maior que 78 e menor que 86
e) maior que 87
Questão 03 (UNIMONTES)
A soma dos algarismos das dezenas simples com o algarismo das unidades simples de
um número de dois dígitos é 15. Subtraindo 9 unidades desse número, obteremos um
segundo que se escreve usando os algarismos do primeiro, mas com ordem invertida. O
primeiro e o segundo números são, respectivamente:
a) 78 e 87
b) 87 e 78
c) 96 e 69
d) 69 e 96
Questão 04 (PUC – MG)
Os algarismos A e B formam os números AB e BA, na base 10. Se A + B = 12, o valor
de AB + BA é:
a) 142
b) 132
c) 122
d) 112
Questão 05
Um número de dois dígitos, é k vezes a soma dos seus dígitos. Trocando-se de posição
seus dígitos, a soma dos dígitos desse novo número fica multiplicado por:
a) 9 − k
b) 9 + k
c) 11 + k
d) 11 − k
25
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Questão 06 (PUC – MG)
O número natural A é ímpar e a soma de seus dois algarismos é 11. A soma dos possíveis valores de A é:
a) 76
b) 103
c) 141
d) 148
e) 224
Questão 07
A soma dos 3 algarismos de um número é 9; a diferença entre o algarismo das dezenas e
o das unidades é 6; a razão entre o algarismo das dezenas e o das centenas é 2. Nessas
condições, a soma do algarismo das centenas com o algarismo das unidades é:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
Questão 08 (UNIMONTES)
O resto da divisão de (1075 × 7 + 6) × (325 × 7 + 3) 2 × 2 + 4 , por 7 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
Questão 09 (PUC – MG)
Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a
soma do dividendo e do divisor é 125, o resto é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Questão 10
Na divisão de dois inteiros positivos, o quociente obtido é 18 e o resto é igual ao divisor
menos duas unidades. Sendo a diferença entre o dividendo e o divisor igual a 106, o divisor é um número:
a) primo
b) múltiplo de 2
c) par e maior que 8
d) ímpar
Questão 11 (PUC – MG)
No conjunto IN, a divisão do número M por 14, apresenta como resto o triplo do quociente. A soma dos possíveis valores do quociente é:
a) 8
b) 10
c) 13
d) 23
e) 30
26
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Questão 12
Considerem-se todas as divisões em que seus termos são inteiros positivos, o divisor é
325 e o quociente é igual ao resto. O número de tais divisões é:
a) 124
b) 180
c) 200
d) 320
e) 324
Questão 13 (UFMG)
Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17, cujo resto é igual
ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é:
a) 10
b) 17
c) 17 2
d) 1 + 2 + 3 + ... + 17
e) 12 + 2 2 + 3 2 + ... + 17 2
Questão 14 (UNICAMP)
Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clientes em fila única. Suponha que
o atendimento de cada cliente demore exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atende o
primeiro da fila ao mesmo tempo em que o caixa 2 atende o segundo, o caixa 3 atende o
terceiro, e assim sucessivamente. Com base nas informações acima, responda: Quantos
minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento do sexagésimo oitavo
cliente e em que caixa será atendido?
a) 33 minutos; caixa 2
b) 35 minutos; caixa 5
c) 39 minutos; caixa 3
d) 51 minutos; caixa 4
Questão 15 (UNA)
O valor do mdc do conjunto {24, 36, 72, 144}, é igual a:
a) 4
b) 6
c) 12
d) 18
e) 32
Questão 16 (UFMG)
Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 segundos, da
segunda, uma de 6 em 6 segundos, e da terceira, uma de 10 em 10 segundos. Exatamente às 2 horas, cai uma gota de cada torneira. O número de vezes que as três torneiras
pingaram juntas, no intervalo de 2h 30s às 2 h 27min 30s, é:
a) 26
b) 27
c) 28
d) 29
e) 30
27
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Questão 17 (FUVEST)
No alto de uma torre de uma emissora de televisão, duas luzes piscam com freqüências
diferentes. A primeira pisca 15 vezes por minuto e a segunda pisca 10 vezes por minuto.
Se num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas
voltarão a piscar simultaneamente?
a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30
Questão 18 (UFMG)
Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis
e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de
famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo
número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material.
Nesse caso, o número de cadernos que cada família ganhou foi:
a) 6
b) 9
c) 8
d) 4
Questão 19
Dois terrenos de 21.600m2 e 16.800m2 são loteados em lotes iguais com a maior área
possível e sem perda de terreno. O número de lotes obtidos é:
a) 16
b) 23
c) 9
d) 7
Questão 20
Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m. Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos sejam iguais, expressos em número inteiro de metros e sem que
haja perda de material. O menor número total de pedaços é:
a) 7
b) 9
c) 11
d) 13
e) 17
Questão 21
Os restos das divisões de 247 e 315 por x são 7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões de 167 e 213 por y são 5 e 3, respectivamente. O maior valor possível para a soma
x + y é:
a) 36
b) 34
c) 30
d) 25
e) 18
28
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Questão 22
O produto de dois números é 1.200 e o mdc deles é 4. O mmc desses dois números é:
a) 200
b) 300
c) 400
d) 600
e) 800
Questão 23
Assinale a afirmativa falsa:
a) a é divisor de b ⇒ mdc (a, b) = a
b) a é múltiplo de b ⇒ mmc (a, b) = a
c) mdc (a, b) = 1 ⇒ mmc (a, b) = ab
d) a e b são primos e a ≠ b ⇒ mdc (a, b) = 1
e) mdc (a, 1) = a
Questão 24
Assinale a afirmativa falsa:
a) todo natural é divisor de si mesmo;
b) todo natural é múltiplo de si mesmo;
c) 1 é divisor de todo natural;
d) todo natural é múltiplo de 1
e) o único divisor natural de 1 é o próprio 1.
Questão 25
A soma de todos os divisores do número 105 é:
a) 192
b) 121
c) 120
d) 16
e) 15
Questão 26
O número 2 a ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 20 tem 48 divisores. O valor de a é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Questão 27
O número 2 2 ⋅ 3 k ⋅ 5 ⋅ 6 2 ⋅10 3 tem 240 divisores. O valor de k é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
29
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Questão 28 (UFMG)
Sabe-se que o número 213 − 1 é primo. Seja n = 217 − 16 . No conjunto dos números naturais, o número de divisores de n é:
a) 10
b) 6
c) 8
d) 5
Questão 29
Seja o número 5.210.45a. O maior valor de a para que esse número seja divisível por 6
é:
a) 1
b) 4
c) 7
d) 9
Questão 30
Qual o menor valor de a para que o número 35.45a seja divisível por 6?
a) 1
b) 4
c) 6
d) 7
e) 9
Questão 31
Seja o número m = 488a9b, onde b é o algarismo das unidades e a, o algarismo das centenas. Sabendo-se que m é divisível por 45, então a + b é igual a:
a) 1
b) 7
c) 9
d) 16
e) 18
Questão 32 (UNIMONTES)
“Seja K = {1 } ∪ { 2 , 4 , 6 , 8 , ... , 2 p , ...}, p ∈ IN*. Um número x ∈ K, x ≠ 1, é chamado
par primo, se x ∈ K e seus únicos divisores, em k, são: ele mesmo e 1.”
Com base na definição acima, escolha a alternativa que apresenta um conjunto formado
só de pares primos.
a) {2, 6, 10, 18}
b) {4, 6, 20, 22}
c) {6, 12, 18, 24}
d) {6, 36, 14, 16}
Questão 33 (PUC – MG)
O número 10101 está escrito na base dois. A sua representação na base 10 é:
a) 11
b) 21
c) 31
d) 41
e) 51
30
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Questão 34
O número 201 na base 3, é na base 2, igual ao número:
a) 10101
b) 11010
c) 11001
d) 10011
Questão 35 (UNIMONTES)
O sistema de numeração mais adotado pela sociedade é o de base dez. No entanto, se a
base fosse mudada para a base 6, nós contaríamos: 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
20, 21, 22, 23, 24, 25, 30, ...
A soma do quadragésimo número, contando-se na base 6, conforme o exemplo acima,
será:
a) 7
b) 4
c) 6
d) 5
Questão 36
Converter o número 1FC9 na base 16 para a base 10.
a) 3840
b) 4096
c) 6746
d) 8137
e) 3546
Questão 37 (CEFET – MG)
Seja x = (1001) 2 e y = (123) 8. Nessas condições, o valor de (x + y) 16 é:
a) 5C
b) 5E
c) 46
d) 92
e) 125
Questão 38
A base do sistema de numeração em que o número 211 é igual a 79 na base decimal é:
a) divisor de 10
b) múltiplo de 3
c) múltiplo de 4
d) menor que 5
e) um número primo
Questão 39
Se a = 111 ( 2) e b = 12 (3) , então a + b, na base 10, vale:
a) 9
b) 11
c) 12
d) 15
e) 21
31
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Questão 40
O número 221 escrito na base x é igual ao número 121 na base x + 1. O número na base
10, vale:
a) 12
b) 15
c) 20
d) 25
e) 32
Questão 41 (FCMMG)
Simplificando a expressão
  4  0, 5

   × 0 , 777 ...
  49 

a)
b)
c)
d)
e)
−1
 18
72 
 , obteremos:
+ 
−

3
6


9 2
2
7 2
3
101
9
2
9
2
Questão 42 (Diamantina)
Se o número b é tal que b ⋅
3 −1 2 − 3
=
, então é CORRETO afirmar que b2 vale:
2
2
2− 3
2
3 −1
b)
2
3− 2
c)
2
2 −1
d)
2
a)
Questão 43 (Diamantina)
Sejam as dízimas periódicas a = 0, 333 ... e b = 0, 444 .... A soma 27 a + 512 b é igual a:
a) 15
b) 16
c) 17
d) 19
32
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Questão 44
A expressão
a2
a3
a
3
3
a a a
é igual a:
a) a 12 a 7
b) a 2
6
a
c) a 12 a 5
d) a 2
6
a5
e) a 6 a
Questão 45 (PUC – MG)
Os números naturais distintos a, b e c são tais que a =
2c
e b = 15 −3c. O valor da so3
ma a + b + c é:
a) 5
b) 17
c) 9
d) 11
e) 15
Questão 46
A expressão
a)
b)
c)
d)
1 6 218 − 2 3
⋅
é igual a:
8
215 − 1
1
2
4
2 −1
Questão 47
1
O valor de m = 7
a)
3
5
b)
5
c)
57
5
d)
6
3
 3 5 7 − 6 5 21  21
 é:
2 ⋅
3


2
8


Questão 48 (FGV – SP / 2001)
Seja N o resultado da operação 375 2 − 374 2 A soma dos algarismos de N é:
a) 18
b) 19
c) 20
d) 21
e) 22
33
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Questão 49 (UFMG)
[
O valor de m = 2 − − 3 2 − 3 ⋅ (33 + (−4) 2
121
a)
60
169
b)
84
205
c)
102
203
d)
102
]
−1
é igual a:
Questão 50
O quociente (7 3 − 5 48 + 2 192 ) : 3 3 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 2 3
d) 3 3
Questão 51 (UFMG)
2 , 3444 ... − (− 2 ) 2
O valor de m =
é:
1
6 , 4 ⋅ 10
a)
b)
c)
d)
e)
−
2
31 10
72
31
72
213
72
213 10
72
3 2
4
Questão 52 (UF – Sergipe)
Racionalizando-se o denominador da expressão
a)
3− 2
b)
3
c)
3+ 2
d) 2 3
e) 3 2
34
3+ 6
5 3 − 2 12 − 32 + 50
, obtém-se:
Prof.: Joaquim Rodrigues
Questão 53 (UFMG)
108 + 12 − 11 3
Se m =
, então pode-se afirmar que:
3− 6
a) m = 3
b) m < 3
c) m < 3 2
d) m > 3
Questão 54 (PUC – MG / 2001)
5
Se m =
+ 4 4 , então m é igual a:
7+ 2
a) 7
b) 2 7
c) − 7
d)
7− 2
Questão 55 (PUC – MG / 2001)
O quociente do mínimo múltiplo comum pelo máximo divisor comum de m = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 6
e n = 2 5 ⋅ 3 ⋅10 é:
20
a)
3
b) 20
c) 60
1
d)
60
Questão 56 (UNIMONTES / 2001)
Dispondo em ordem crescente as potências 2 700 , 4 600 , 5500 e 9 200 , obteremos:
a) 9 200 < 2 700 < 5500 < 4 600
b) 9 200 < 4 600 < 2 700 < 5 500
c) 2 700 < 4 600 < 5 500 < 9 200
d) 4 600 < 5 500 < 2 700 < 9 200
Questão 57 (UFMG / 2002)
 4
7 − 2 2 1 − 
 3  . O valor de m é:
Seja m =
1
1+
4
20
68
a)
b)
3
3
c)
35
85
12
d)
125
12
Prof.: Joaquim Rodrigues
Questão 58 (UNIMONTES / 2003)
O quociente e o resto da divisão de 10010 (2) por 110 (2) são:
a) quociente 101 (2) e resto 0
b) quociente 11 (2) e resto 0
c) quociente 10 (2) e resto 1 (2)
d) quociente 11 (2) e resto 1 (2)
Questão 59 (Paes – UNIMONTES / 2003)
Na “Olimpíada de Matemática – 2003” do Colégio “São Pedro” havia a seguinte questão: Na divisão exata xyz4:3 = 1xyz, os algarismos x, y e z são desconhecidos. O valor da
soma x + y + z é:
a) 14
b) 64
c) 28
d) 18
Questão 60 (FGV – SP / 2003)
3
Simplificando a expressão
, obteremos:
1
4+
2
3+
5
51
73
49
b)
71
53
c)
75
47
d)
69
a)
Questão 61 (UNIMONTES / 2004)
A tábua de multiplicação abaixo está incompleta.
x
1
2
3
1
1
2
3
2
2
3
3
Os números para completá-la, na base 4, são:
a)
4 6
6 9
b)
10 12
12 21
c)
10 12
11 12
d)
10 12
11 13
36
Prof.: Joaquim Rodrigues
Questão 62 (UNIMONTES / 2005)
Duas empresas, M e N, realizam avaliações periódicas de seus funcionários. Na empresa M, a avaliação acontece de dois em dois anos e, na empresa N, de três em três anos.
Essas avaliações coincidiram em maio de 2003. Quando voltarão a coincidir?
a) Maio de 2005
b) Maio de 2009
c) Maio de 2006
d) Maio de 2008
Questão 63 (Paes – UNIMONTES / 2005)
O número 143 é:
a) o produto de dois números pares
b) divisor de 1431
c) divisível por 13
d) primo
Questão 64 (UNIMONTES / 2005)
a
3 , 444 ...
Qual o valor de a + b, se
é a fração irredutível equivalente a
?
b
1, 222 ...
42
a)
9
21
b)
9
c) 21
d) 42
Questão 65 (UNIMONTES / 2005)
O número 6 é o primeiro elemento de uma seqüência. O próximo é obtido calculando-se
o quadrado do número anterior e, a seguir, somando-se seus algarismos e adicionandose 1 à soma, isto é:
6 2 = 36 → 3 + 6 = 9 → 9 + 1 = 10.
Repetimos esse processo e encontramos o terceiro número da seqüência e, assim, sucessivamente. Qual o 1010º elemento dessa seqüência?
a) 2
b) 5
c) 8
d) 10
Questão 66 (UNIMONTES / 2005)
Suponha que da estação rodoviária de Montes Claros saia um ônibus para o bairro Santos Reis, a cada 45 minutos, e um ônibus para o bairro Independência, a cada 50 minutos. Suponha, ainda, que a primeira saída conjunta do dia ocorra às 6 horas da manhã. A
que horas, depois da primeira saída conjunta, ocorrerá a próxima?
a) 21h 15min
b) 13h 30min
c) 19h 20min
d) 16h 50min
37
Prof.: Joaquim Rodrigues
Questão 67 (UNIMONTES / 2005)
O número 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 2 − 2 é:
a) irracional
b) natural
c) inteiro não natural
d) racional não inteiro
Questão 68 (UFMG / 2005)
No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou entre 500 e 1.500 unidades. Se essas laranjas fossem colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam 12 laranjas e, se
fossem colocadas em sacos com 36 unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas.
Assim sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem colocadas em sacos com 35 unidades cada um?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 7
Questão 69 (UNIMONTES / 2006)
Dois cavalos de corrida completam o percurso de uma volta em 18 min e 21 min, respectivamente. Tendo saído juntos, depois de quanto tempo voltarão a se encontrar no
lugar de onde saíram?
a) 1h 6 min
b) 6h 2 min
c) 2h 6 min
d) 6h 1 min
Questão 70 (UNIMONTES / 2006)
Dada a seqüência numérica 987687987687987687987687 ..., o seu 1214º algarismo é o:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
Questão 71 (UNIMONTES / 2006)
Uma caixa de bombons custa R$ 4, 80. Se cada bombom custa R$ 0, 16, então essa caixa tem:
a) 30 bombons
b) 20 bombons
c) 25 bombons
d) 35 bombons
Questão 72 (Paes – UNIMONTES / 2006)
Numa caixa cabem 9 dúzias de laranjas. Na cooperativa, o transporte é feito em carretas
que levam 18 caixas por vez. Quantas laranjas são carregadas em uma carreta?
a) 162
b) 261
c) 1494
d) 1944
38
Prof.: Joaquim Rodrigues
Questão 73 (UFMG / 2006)
Sejam N um número natural de dois algarismos não nulos e M o número obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Sabe-se que N − M = 45. Então, quantos são os
possíveis valores de N?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Questão 74 (UFMG / 2006)
5 3 5 4
Considere o conjunto de números racionais M =  , , ,  .
 9 7 11 7 
Sejam x o menor elemento e y o maior elemento de M. Então, é CORRETO afirmar
que:
5
4
e y=
a) x =
11
7
3
5
b) x =
e y=
7
9
3
4
e y=
c) x =
7
7
5
5
d) x =
e y=
11
9
Questão 75 (PAS – Lavras / 2006)
Considere a expressão dada por:
1
 
9
−1
⋅ 2 − 16 0 , 5


−1

 4
1
3 
0, 5
( 2 ) +
⋅ 2 −  
1
 2  

1 +  
2 

O valor dessa expressão é :
a)
1
9
b)
2
2
c)
2
3
d) 9
e) 1
Questão 76 (UNIMONTES / 2007)
Se em uma fração o denominador for 5 unidades maior que o numerador e se, ao subtra1
irmos duas unidades aos dois termos, obtivermos uma fração equivalente a , então
2
essa fração é:
2
5
1
7
a)
b)
c)
d)
7
10
6
12
39
Prof.: Joaquim Rodrigues
Questão 77 (PUC – MG / 2007)
Uma pessoa tem 36 moedas. Um quarto dessas moedas é de 25 centavos, um terço é de
5 centavos, e as restantes são de 10 centavos. Essas moedas totalizam a quantia de:
a) 8, 75
b) 7, 35
c) 5, 45
d) 4, 35
Questão 78 (PUC – RJ / 2007)
Dados que a = 2, 4; b = 6 , 2 e c =
a)
b)
c)
d)
e)
13
, temos que:
5
a<b<c
a<c<b
c<b<a
b<c<a
b<a<c
Questão 79 (Mack – SP / 2007)
A soma de dois números inteiros positivos, a e b, é 43. Sabendo-se que o produto do
mdc (a, b) pelo mmc (a, b) é 190, o valor absoluto da diferença desses números é:
a) 25
b) 33
c) 41
d) 49
e) 57
Questão 80 (PAS – Lavras / 2007)
O produto
a) a
b) a a
c) a 3 a
d)
e)
3
3
a 2 ⋅ a ⋅ 6 a , no qual a > 0, pode ser simplificado como:
a2
a
Questão 81
Um terço do número (39 + 9 5 ) é equivalente a:
a) 33 + 35
b) 32 + 9 2
c) 39 + 9 4
d) 36 + 3 2
RESPOSTAS
A. 7, 8, 13, 18, 19, 24, 25, 28, 32, 37, 42, 44, 50, 54, 56, 57, 59, 60, 68, 71, 73, 78
B. 1, 3, 4, 10, 16, 22, 30, 31, 33, 38, 51, 52, 58, 61, 62, 66, 67, 79
C. 2, 9, 14, 15, 21, 27, 29, 39, 48, 49, 55, 63, 65, 69, 70, 74, 80
D. 5, 20, 26, 34, 35, 36, 40, 43, 45, 46, 47, 53, 64, 72, 75, 76, 77
E. 6, 11, 12, 17, 23, 41
40