11 - Leis de Newton

1
Notas de Aula – parte 2 (Dinâmica Newtoniana)
11 - Leis de Newton
As idéias de Galileu sobre o movimento dos corpos deram início a um novo paradigma na história
da Ciência. As explicações de Aristóteles, meramente descritivas e fundamentadas na imaginação, deram lugar
a conceitos embasados na experimentação, dando início a uma interpretação da Natureza em bases empíricas.
Seguindo esse recém inaugurado paradigma da Ciência, Newton compilou suas idéias numa obra
denominada Princípios Matemáticos da Filosofia Natural (Principia), na qual procurou explicar os movimentos
e suas causas. Começa a chamada Dinâmica Newtoniana, ramo da Mecânica que unificou as explicações sobre
movimentos e equilíbrio, dando-lhes uma base matemática consistente.
Contudo, desde Descartes, a idéia da conservação dos movimentos já era cogitada como um fato
passível de descrição matemática. Já podemos vislumbrar, então, a existência de um Princípio da Conservação
do Momento (do latim Momentum = Movimento), que remete à noção intuitiva de quantidade de movimento,
uma grandeza que se conserva.
Neste ensaio, a intenção é demonstrar como as leis de Newton podem ser deduzidas a partir do
Princípio da Conservação do Momento.
Inicialmente, definimos o Momento Linear ( p ), grandeza que quantifica o movimento de
translação de um corpo. A translação é entendida aqui como sendo o deslocamento (grandeza vetorial que
quantifica a variação de posição espacial) de uma partícula. Note que é preciso estabelecer um referencial para
se definir esse movimento e que a variação da posição da partícula é medida tendo o tempo e o espaço como
grandezas referenciais. Assim, o Momento Linear p de uma partícula de massa m é dado por:
p =m
onde
seja,

dr
dt
r é a posição vetorial da partícula. A derivada temporal da posição é definida como velocidade, ou

dr
=v . A expressão do momento fica:
dt
p =m v
O Princípio da Conservação do Momento Linear estabelece que o Momento Linear p conserva
sua magnitude, sua direção e seu sentido, salvo se ocorrer uma modificação em uma dessas características
induzida por uma ação externa. Sendo assim, podemos escrever:
 d
dp
= [m v ]=0
dt dt
que expressa a Conservação do Momento Linear de uma partícula isolada.
Entretanto, na natureza, as partículas não se encontram isoladas, estando em interação com
inúmeras outras partículas, formando o que denominamos de Sistema de Partículas. Nesse sistema de partículas,
não é possível observar sempre a conservação do movimento de cada uma delas, mas o Momento Linear total
do sistema segue o mesmo princípio de conservação, o que é expresso por:
 dp




dp
dp
dp
d
dP
i
1
2
n
=

...
= [ p1 p2 ... p n ]= =0
∑ dt dt dt
dt dt
dt
1
n
onde

P = p1 p2... pn é o Momento Linear total de um Sistema Isolado.
O Princípio da Conservação do Momento Linear pressupõe, então, que, na ausência de alterações
externamente induzidas, um corpo tende a manter seu movimento inalterado. A partir dessa constatação,
podemos inferir a Primeira Lei de Newton ou Lei da Inércia:
Um corpo, livre de interações resultantes, tende a manter o seu estado de
movimento (descrito pelo Momento Linear).
2
Agora vamos analisar a situação interna do Sistema de Partículas, onde elas interagem
constantemente entre si. Sendo assim, podemos dizer que cada partícula isoladamente pode apresentar alteração
no seu Momento Linear, ou seja:

dp
≠0
dt
A grandeza que causa modificação na magnitude, na direção ou no sentido do Momento Linear é
denominada Força. Newton, em sua Segunda Lei, estabelece que a Força é a medida da variação do Momento
Linear, ou seja:

 = dp
F
dt
que foi a expressão para a Segunda Lei de Newton estabelecida por ele nos Principia.
Em seu enunciado, a Segunda Lei estabelece o conceito de Força como sendo a ação modificadora
do movimento.
A variação do movimento de uma partícula só ocorre sob a
ação de uma força resultante não nula.
Se tomarmos a expressão do Momento Linear
como sendo constante, podemos escrever:
p =m v e concebermos a massa da partícula

 = d [ mv ]=m dv
F
dt
dt
A grandeza

dv
dt
é definida como sendo a Aceleração da partícula, ou seja:
a=

A Força pode então ser expressa por:

dv
dt
 =m a
F

Essa é a formulação da Segunda Lei de Newton devida a Euler, a qual está fundamentada no
a .
conceito de aceleração. Geralmente, a Força é representada na forma m 
A Força só pode ser definida como a interação entre duas ou mais partículas componentes do
Sistema. Essa interação pode ser de quatro naturezas: gravitacional, eletromagnética, nuclear forte e nuclear
fraca. No presente ensaio, serão enfocados apenas fenômenos relacionados às duas primeiras.
Partindo do premissa de que só é possível definir a Força como interação entre partículas e
utilizando o Princípio da Conservação do Momento Linear, podemos deduzir a Terceira Lei de Newton, ou Lei
de Ação e Reação. O Princípio da Conservação do Momento Linear estabelece que:
n
∑
1




dp
dp
dp
dp
i
= 1  2 ... n =0
dt
dt
dt
dt
Supondo um Sistema composto por apenas duas partículas, temos:
 dp

dp
1
 2 =0
dt
dt
⇒
1

dp
dp
=− 2
dt
dt
⇒
F12=−F21
ou seja, a força sobre a partícula 1 devida à partícula 2 é igual à força sobre a partícula 2 exercida pela partícula
1, diferindo apenas no sentido. Ou como foi enunciada por Newton:
A toda ação corresponde uma reação, igual em magnitude em direção,
porém em sentido contrário.
3
Até agora, analisamos o Princípio da Conservação do Momento Linear, aplicável aos movimentos
de translação das partículas. Contudo, é preciso definir também as leis para os movimentos de rotação.
Utilizaremos para tanto o Princípio da Conservação do Momento Angular.
Analogamente ao que ocorre com o movimento de translação, o movimento de rotação também
está sujeito a um princípio de conservação. Para defini-lo com maior precisão, vamos imaginar uma partícula P
em rotação em torno de um ponto de referência O, que se constitui no centro de uma trajetória circunferencial
 , o versor 
 indica apenas a
descrita pela partícula. A posição dessa partícula é dada por s = r 
direção do vetor posição s em cada ponto da trajetória.
r
P
s= r
O

A rotação se caracteriza pela variação da direção do vetor r , que determina a posição da
partícula P. Derivando a posição em relação ao tempo, obtemos a velocidade da partícula:
 d
ds

=
r
dt dt

v = r 
Embora de módulo constante, a velocidade varia ponto a ponto ao longo da trajetória, o que indica
que há uma aceleração alterando a direção e o sentido da velocidade. Se ocorresse uma alteração na velocidade
angular  , verificaríamos uma variação no módulo da velocidade. Como a direção da velocidade é
perpendicular à direção do raio da circunferência em cada ponto da trajetória, alterando a direção do raio, a
direção da velocidade é simultaneamente alterada. Isso pode ser expresso por:
d
d

 v =
a =  r 
dt
dt
⇒
ar =
dr 

dt
A derivada temporal do raio tem a mesma magnitude da velocidade, ou seja
dr
=v=r . A
dt
aceleração passa a ser expressa por:
2
ar = r r =
v2
r
r
Fica assim definida a aceleração radial do movimento circunferencial. Dessa forma, podemos
imaginar que a partícula em rotação apresenta uma massa m e que essa aceleração se origina da aplicação de
uma força F r , cuja direção coincide com a do vetor r . Essa força, denominada Força Centrípeta, é
expressa por:
2
mv
F r=
r
r
Como a direção da força centrípeta é radial, ela não vai provocar alteração no módulo da
velocidade. Isso só ocorre quando a aceleração é tangencial. Tomando novamente a expressão da derivada da
velocidade, vamos deduzir uma expressão para a aceleração tangencial:
d
d

 v =
a =  r 
dt
dt
⇒
at =
d 
r
dt
4
Analogamente ao que foi feito anteriormente, definiremos também a grandeza modificadora do
módulo da velocidade. Porém, essa modificação depende não só da força aplicada, mas também do módulo do
vetor r , pois, pela expressão da aceleração tangencial, quanto maior sua magnitude, menor seria a força
 t=m at , é preciso multiplicar ambos os
necessária para modificar a velocidade angular. Assim, como F
membros da equação da aceleração tangencial por m r , pois a inércia, que na translação é representada
apenas pela massa, na rotação depende também do raio. Contudo, a aceleração tangencial e o vetor r são
perpendiculares entre si, configuração esta que maximiza o valor do produto das duas grandezas. Sendo ambas
vetoriais, utilizamos o produto vetorial entre ambas:
m r ×at =m
Como
 , a expressão torna-se:
m
a=F
 =m
r × F
d 2 
r 
dt
d 2 
r 
dt
 é denominada torque e é representada por 
A grandeza r × F
 . A grandeza m r 2 recebe
o nome de momento de inércia I e é a grandeza que determina a inércia para o movimento de rotação.
= I

d 

dt
 =m 
Que é a expressão correspondente a F
a . Da mesma forma, a expressão I  , correspondente de
m v do movimento linear, fornece o valor de uma grandeza denominada Momento Angular, que na forma
 , ou seja:
vetorial segue a orientação de 


L =I  
A expressão do torque torna-se então:
=

d

 I  
dt
⇒
=


dL
dt
que expressa a derivada temporal do Momento Angular, expressão correlata de

 = dp .
F
dt
Da mesma forma que fizemos para a translação, definiremos também o Princípio de Conservação
do Momento Angular. Se tivermos um sistema de n corpos rígidos, entendidos como subsistemas de
partículas que interagem entre si, o momento angular total do sistema se conserva, ou seja, a somatória das
variações temporais dos momentos angulares dos corpos rígidos integrantes do sistema é nula, ou seja:
n
∑
1




dL
dL
dL
dL
i
= 1  2 ... n =0
dt
dt
dt
dt
Num sistema com dois corpos rígidos, temos:


dL
dL
1
 2 =0 => 12 21=0 => 12 =−21
dt
dt
Que seria o equivalente para a Terceira Lei de Newton para as rotações.
5
Problemas sobre Leis de Newton
(resolução em grupos de 3 ou 4 componentes, com discussão prévia
Questão 1 – Lançado sobre uma superfície horizontal Questão 7 – Uma pessoa comprime um bloco, de peso
muito lisa, um bloco desloca-se sobre ela em linha reta P = 4 kgf, contra uma parede, por meio de uma força F
com velocidade constante. Uma pessoa que observa o = 12 kgf (como mostra a figura), e o bloco permanece
movimento afirma que, atuando sobre o bloco, existe em repouso.
uma força para frente, que mantém seu movimento.
a) Você concorda com essa afirmação? Por quê?
b) A pessoa está raciocinando de acordo com as idéias
de Aristóteles ou de Galileu?
P
F
a) Qual o valor da reação normal N da parede sobre o
Questão 2 – Um ônibus está se movendo em linha
bloco?
reta, com certa velocidade. Sendo freado bruscamente,
b) Qual é a força que impede o bloco de cair?
vários passageiros são 'arremessados' para frente.
Determine a intensidade, a direção e o sentido desta
a) Há alguma força que atua nos passageiros,
força.
lançando-os para frente?
c) Supondo que o coeficiente de atrito estático entre a
b) Costuma-se atribuir esse fato à propriedade da
parede e o bloco seja µe = 0,5, qual será o maior valor
inércia, que todos os corpos possuem. Explique com
possível do peso do bloco para que ele não escorregue
outras palavras esta interpretação do fato ocorrido com
da parede?
os passageiros.
Questão 8
Questão 3 – Considere um bloco que se move com
velocidade v constante, sobre uma superfície a) Considere um bloco, cuja massa é 2 kg, que possua
horizontal lisa. Em um certo instante, uma força F uma aceleração de 4,5 m/s2. Calcule o valor da
constante é aplicada ao bloco. Diga o tipo de resultante das forças que atuam no bloco.
movimento que o bloco passa a descrever, supondo
b) Sabendo-se que este bloco está sendo puxado por
que:
uma força de 20 N sobre uma superfície horizontal,
a) F tenha a mesma direção e o mesmo sentido de v.
calcule o valor da força de atrito cinético que atua no
bloco.
b) F tenha a mesma direção e sentido contrário a v.
Questão 9 – Um bloco de massa m = 100 g é lançado
Questão 4 – Uma força F = 10 kgf imprime a um
como uma velocidade horizontal v0 = 6 m/s sobre uma
2
bloco uma aceleração a = 5 m/s . Para calcular a massa
superfície horizontal. Considere o coeficiente de atrito
deste bloco, um estudante desenvolve o seguinte
cinético entre o bloco e a superfície µc = 0,2 e g = 10
raciocínio:
m/s2.
“De F = m × a, vem: m = F / a = 10 / 5 => m = 2 kg”
a) Mostre em um diagrama todas as forças que atuam
a) Há um erro no raciocínio desenvolvido pelo no bloco enquanto ele se desloca.
estudante. Qual é este erro?
b) Qual dessas forças representa a resultante do
b) Qual o valor correto da massa do bloco?
sistema?
Questão 5 – Um pequeno automóvel colide com um c) Calcule a intensidade da aceleração que o bloco
grande caminhão. A força exercida pelo automóvel no adquire nesse movimento.
caminhão é maior, menor, ou igual à força exercida
d) Quanto tempo o bloco gasta para parar?
pelo caminhão no automóvel?
Questão 6 – Uma pessoa encontra-se no meio de um Questão 10 – Na Terra, um fio de cobre é capaz de
suportar, em uma de suas extremidades, massas
lago gelado, de atrito desprezível.
suspensas de até 60 kg sem se romper. Considere, na
a) Ela pode caminhar até a margem do lago?
Terra, gT = 10 m/s2 e, na Lua, gL = 1,5 m/s2.
b) Essa pessoa arremessa horizontalmente um objeto a) Qual o peso máximo que esse fio pode suportar,
(seu sapato, por exemplo). Explique por que isto lhe sem se romper, na Lua?
permite atingir a margem do lago. Comente sua
b) Qual é a maior massa que pode ser suspensa no
resposta.
mesmo fio, na Lua, sem que ele se rompa?
6
12) Aplicações das Leis de Newton – 2ª. Lei
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Segunda lei de Newton e teorema do impulso e as colisões.
A segunda lei de Newton, escrita em sua forma

 = dq
F
dt
permite estabelecer a expressão
 , que define o que chamamos de impulso de uma força. Para visualizarmos melhor esse conceito
 dt= dq
F
recorremos a um exemplo de aplicação, que trata da colisão de dois blocos que deslizam sobre uma superfície
horizontal lisa (sem atrito). Vamos analisar o que acontece antes e depois da colisão:
Antes da colisão
Depois da colisão
v=1m/s
v=1m/s
2kg
2kg
2kg
Bloco 1
Bloco 2
2kg
Dinamômetro
Analisando o que ocorre com o bloco 2, percebemos que antes da colisão sua quantidade de
movimento era nula (q=0). Após a colisão, ele passa a ter uma quantidade de movimento cujo valor é
q=mv=2kg.1m/s=2kg.m/s.
Vamos supor que ao colidir contra o dinamômetro, a força medida por ele seja de 200
newtons (200N). Utilizando o teorema do impulso, temos:
 =>
 dt=dq
F

∫ F dt=∫ dq
t
q
=>  q=F  t =>  t=
q
F
m
m

kg 
s
s
]=0,01[
]=0,01 s
=>  t=[
200N
m
kg 2 
s
 2kg
Portanto, o tempo de interação entre os dois blocos é de 0,01s.
Agora, procure imaginar se esse tempo for maior. Para a mesma variação da quantidade de movimento, o que
acontece com a força?
Problema da espessura da lataria dos automóveis – com base no teorema do impulso, mais especificamente
envolvendo a duração da aplicação de uma força, justifique a utilização de chapas de menor espessura na frente
e na traseira dos automóveis.
7
13) Aplicações das Leis de Newton – 3ª. Lei
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Terceira lei de Newton e força de reação normal.
A terceira lei de Newton ou lei da Ação-Reação prevê a existência de pares de forças entre
dois corpos que interagem. Temos as seguintes situações:
Normal
Normal
Normal
P
Px
-P
Py
Terra
Compressão
A força de atração é
gravitacional. O peso é a
força com que ele é
atraído pela Terra. A
reação é a força com que
a Terra é atraída pelo
corpo.
Py
A força normal não é uma
reação ao peso. Ela é uma
reação da superfície à
compressão exercida pelo
bloco. Na condição acima
ela tem o mesmo valor do
peso.
Px
P
Sendo uma reação da
superfície, a normal é
perpendicular a ela.
Assim, seu módulo é
igual ao da componente
do peso perpendicular à
superfície do plano, ou
seja:
 P y∣
∣N∣=∣
P
Seguindo
o
mesmo
raciocínio
do
exemplo anterior,
vemos que à
medida que a
inclinação
do
plano aumenta,
os valores da
compressão e da
reação
normal
diminuem.
Terceira lei de Newton e força de atrito
Outra força que está relacionada com a terceira lei de Newton é a força de atrito. Ela surge
entre duas superfícies como resultado de interações entre as faces dessas superfícies. O grau de aspereza do
contato entre as superfícies é medido pelo coeficiente de atrito.
Além desse coeficiente, a força de atrito também depende diretamente da compressão
exercida por uma superfície sobre a outra. Essa compressão é equivalente em módulo à força de reação normal
entre as superfícies. Para uma superfície horizontal, ela tem o mesmo valor do peso do objeto. À medida que a
inclinação da superfície aumenta, o valor dessa compressão, que é uma componente do peso, tende a diminuir,
até atingir o caso limite que seria a superfície vertical (veja item anterior).
Problema do cavalo – um cavalo, após ler os Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, em sua versão
original em latim, passou a refletir sobre a inutilidade de sua atividade: “se para toda ação há uma reação de
igual valor, porém de sentido contrário, ao puxar a carroça com uma força, eu serei puxado por uma força
contrária, anulando a força que apliquei; sendo assim, puxar uma carroça é uma atividade inútil!...”. Prove,
utilizando a terceira lei de Newton, que o cavalo está equivocado.
8
14 – Aplicações das Leis de Newton
Utilizando as leis de Newton como base teórica, explique os fenômenos abaixo ilustrados:
O dispositivo das fotos é chamado de ludião. Consiste numa garrafa plástica cheia de água, onde flutua um tubo
de caneta, com a parte de baixo aberta e a de cima fechada. Nesse tubo, fica presa uma bolha de ar. Quando a
garrafa é pressionada, a bolha é comprimida e a caneta afunda. A explicação para o fenômeno pode ser dada
pelo enunciado de Arquimedes. Contudo, é possível utilizar as leis de Newton para a explicação do fenômeno,
justificando teoricamente o enunciado de Arquimedes, que é meramente descritivo.
A seguir, as fotos ilustram um pêndulo executando um movimento, que pode ser aproximado de um movimento
harmônico simples para pequenos ângulos de oscilação. Agora a nossa tarefa é deduzir a equação do período do
pêndulo tendo como base a Segunda Lei de Newton.
Por último, as fotos abaixo mostram um plano inclinado inicialmente apoiado sobre a mesa. Por ele desliza um
disco de latão, de 50g, o qual desce o plano, parecendo não exercer nenhuma força sobre ele. Contudo, quando
apoiamos o plano sobre tubos de caneta cilíndricos, observamos que o plano desliza para o lado contrário do
movimento do disco. Demonstre que a Terceira Lei de Newton é válida para explicar o fenômeno.
9
15) Movimento bidimensional
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Após termos estudado os movimentos e suas causas em apenas uma dimensão, passamos ao
tratamento dos movimentos em duas dimensões. Tal estudo permite que seus conceitos sejam estendidos para o
caso de três dimensões.
Um conceito fundamental nesse tipo de movimento é o conceito de vetor.
Vetor
Definimos, para nosso melhor entendimento, que vetor é um ente geométrico imaginário que
possui módulo (grandeza que expressa sua magnitude), direção (que expressa sua linha de ação) e sentido
(que diz para onde aponta a grandeza).
Um vetor é geometricamente representado por uma reta orientada, ou seja, uma seta. A representação algébrica
do vetor é feita empregando-se o negrito (ex.: r, s, u, v, x, y, z) ou então com a letra com uma seta sobrescrita
(ex.: r , s , u
 , v etc.)
Um vetor pode ser operado com outros e tais operações podem ser de:
a) soma ou subtração;
b) multiplicação ou divisão.
Dentro da multiplicação de vetores, podemos vislumbrar as seguintes possibilidades:
a) multiplicação de um vetor por um escalar;
b) produto escalar entre dois vetores;
c) produto vetorial entre dois vetores.
Soma ou subtração de vetores
Dois vetores podem ser somados das seguintes formas:
u

v
u
v
u
∣
u v∣=∣
u∣∣v∣
∣
u v∣=∣
u∣−∣
v∣
∣
u v∣= u 2v 2
v
Multiplicação de vetor por escalar:
O valor do módulo do vetor fica multiplicado pelo valor do escalar.
Produto escalar e produto vetorial:
Apresentaremos esses conceitos quando realizarmos o estudo de grandezas que empregam esse
tipo de operação vetorial.
Problema: uma partícula percorre 80 centímetros ao longo do eixo x de um acelerador de partículas. Ao final
da trajetória é desviada para o eixo y, percorrendo mais 60 centímetros. Qual foi o deslocamento da partícula?
10
16) Expressões Matemáticas do Movimento Circular Uniforme
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Uma possível descrição do movimento circular uniforme pode ser feita a partir de conceitos fundamentais da
geometria. Sendo assim, partimos do conceito do número π (pi) a fim de definir as expressões do arco s em
função do ângulo de fase φ(fi) e do raio r, da velocidade tangencial v em função da velocidade angular ω
(ômega) e do raio r, bem como da aceleração tangencial α (alfa) e aceleração centrípeta ac em função da
velocidade angular e do raio.
=
C
=> C=2 r ; fazendo C=s e 2 = , temos:
2r
Derivando a expressão do arco em relação ao tempo, temos:
Mas
ds
=v (velocidade tangencial) e
dt
s=r
ds d 
=
r
dt dt
d
= (velocidade angular); assim:
dt
ds d 
=
r => v= r
dt dt
Por outro lado, quando
=2  ,  t =T (período de rotação). Então, =
Se o movimento é periódico, podemos determinar sua freqüência (f)sabendo que
Assim, podemos escrever a expressão da velocidade angular da forma:
Derivando a expressão
v= r , temos
2
.
T
f=
1
.
T
=2  f .
dv d 
=
r ou a= r .
dt
dt
Essa é a expressão da aceleração tangencial, a qual indica a ação de um torque, grandeza que definiremos
adiante.
Problema: estabeleça uma relação entre o movimento circular uniforme e o movimento harmônico simples,
deduzindo as equações que o descrevem. Considere que o movimento harmônico simples é uma projeção do
movimento circular uniforme no eixo x.
11
17) Aceleração no Movimento Circular Uniforme
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
O M. C. U. é definido como sendo um movimento curvilíneo de uma partícula que mantém uma distância fixa r
de um centro O, sendo sua velocidade tangencial v constante, o que, à primeira vista pode dar a entender que
não existe aceleração em tal movimento.
A velocidade v não varia em módulo, mas varia em direção e sentido, o que é determinado pela existência de
uma aceleração denominada ACELERAÇÃO CENTRÍPETA.
vp
P
Vy, p
p
y
q
Vx, p
Vx, q
Vy, q
vq
θ
∣v x , p∣=∣vx , q∣=v cos  ;
Para percorrer o arco
Assim:
θ
∣v y , p∣=v sen  ;
pq , a partícula P leva um intervalo de tempo
v=
A aceleração do movimento é dada pela expressão
arco pq 2  r
=
t
t
a=
x
∣v y ,q∣=−v sen 
 t , a uma velocidade tangencial v.
=>
t=
2 r
v
v
. Podemos decompor a aceleração em suas componentes x
t
e y. Utilizando as componentes da velocidade tangencial, temos:
a x=
 v x v cos  – v cos 
 v y −v sen  – v sen  v 2 sen 
a y=
=
=
=
=0
;
t
2r
r 
t
2r
v
v
Para pequenos valores de
sen 

 (em radianos), o valor do seno tende ao valor do ângulo, o que faz com que a expressão
tenda a 1. Assim, a aceleração radial do movimento circunferencial é dada por:
a y=
v2
2
ou fazendo v= r , temos a y = r
r
A expressão acima fornece a aceleração centrípeta na direção do vetor r (que é o raio da circunferência).
Problema da semana: A terceira lei de Kepler diz que os quadrados dos períodos das órbitas dos planetas são
proporcionais aos cubos dos raios médios das referidas órbitas. Utilizando a gravitação universal e a expressão
da força centrípeta, prove que essa lei é válida.
12
18) Quantidade de Movimento ou Momento Angular e Torque de uma Força
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Os fenômenos de rotação podem ser interpretados a partir do PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DO
MOMENTO ANGULAR. Assim, podemos estabelecer uma comparação entre conceitos relacionados à
translação e os que dizem respeito à rotação.
Características
Momento linear
Momento angular
Grandeza inercial
Massa (m): medida da inércia
do corpo às modificações na
translação
Momento de inércia (I): além da massa,
depende da geometria do corpo em
rotação.
Grandeza quantificadora do
movimento
Momento linear:
Momento angular:
p =m v

L =I 

Grandeza que altera o
movimento:
Força:
Torque:

 = dq
F
dt
=
As três leis de Newton foram
inicialmente definidas para os
movimentos de translação.
Contudo, pode-se fazer também
uma extensão de validade dessas
leis para os movimentos de rotação.
Assim, para alterar os movimentos
de translação nos valemos do
conceito de força e, analogamente,
para alterar a rotação, utilizamos o
conceito de torque.
 =m 
F
a

dL
dt

d
dL
=I
dt
dt
= I 


Utilizando uma geometria de anel
girando em torno do centro, I =m r 2
.
=m r 2 


a= r
Como
e introduzindo o
produto vetorial entre o raio e a
aceleração tangencial, temos:
=m r
r × a

r
=mr ×

a
=r × 
F

Problema: utilizando os conceitos de momento de inércia, momento angular, velocidade angular e torque,
explique os seguintes fatos ou fenômenos:
a) uma bailarina começa a girar com os braços estendidos e, quando os coloca junto ao corpo, sua
velocidade de giro aumenta;
b) um helicóptero precisa do rotor de cauda para poder voar, porém esse dispositivo não tem nada a ver
com a propulsão, nem com a sustentação do aparelho;
c) um pião mantêm seu equilíbrio apenas quando está girando, sendo praticamente impossível equilibra-lo
parado;
d) para uma moto fazer uma curva é preciso inclinar o corpo para o lado que se quer virar; se você tentar
fazer isso virando o guidão, a moto vai para o lado contrário.
13
19) Sistema de partículas
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Dos fenômenos de rotação que estudamos até agora, interpretados a partir do PRINCÍPIO DA
CONSERVAÇÃO, nos detemos apenas nos corpos de geometria regular. Contudo, na natureza, podemos
observar que muitos corpos em rotação não são regulares, havendo até casos de massas separadas no espaço,
mantidas próximas apenas pela interação gravitacional.
Entretanto, como num corpo regular, a rotação de um corpo de geometria mais complexa pode ser descrita como
sendo a rotação de um ponto denominado CENTRO DE MASSA, também conhecido por CENTRO DE
GRAVIDADE (embora esse nome vincule à idéia de campo gravitacional)
A localização desse ponto no espaço é dada por uma média ponderada entre as posições das diversas partículas
componentes do corpo. Isso tem relação com o princípio da conservação do momento angular, ou seja, num
corpo de dimensões não desprezíveis (corpo extenso) a somatória dos torques dos pesos de cada partícula é
igual ao torque do centro de massa, ou seja:
1 23...n =C => r 1 P 1 sen  1r 2 P 2 sen 2r 3 P3 sen 3...r n P n sen  n=r C P C sen C
Se considerarmos que todos os pesos atuam perpendicularmente em relação às posições das partículas e que
P=mg , temos:
r 1 m 1 gr 2 m 2 gr 3 m 3 g ...r n m n g=r C m C g => r 1 m 1r 2 m 2r 3 m3...r n m n =r C mC
donde: r C =
Mas:
r 1 m1r 2 m2r 3 m3...r n mn
.
mC
mC =m1m2m3...mn ; então:
n
∑
r 1 m 1r 2 m2r 3 m3...r n mn
i=1
r C=
, ou, de modo sintético: r C = n
m1m2 m3...mn
r i mi
.
∑ mi
i=1
r são os módulos dos vetores



r x i r y jr z k . A expressão vetorial é:
Onde as posições
r , sendo estes definidos por suas coordenadas
n
∑ ri mi
rC = i=1n
∑ mi
i=1
Como exercício, identifique a expressão para as componentes x , y e z do vetor rC .
Problema do sistema Terra-Lua – utilizando a teoria do centro de massa de um sistema de partículas, mostre
que a Lua não gira em torno da Terra. Estenda a constatação para o sistema solar como um todo e, se possível,
para o todo o Universo.
14
20) Equilíbrio nas Rotações
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Também é de interesse da Física estudar situações de equilíbrio relacionadas aos fenômenos de rotação. A
primeira lei de Newton aplicada às translações estabelece que se a somatória das forças que atuam sobre o corpo
for nula, o corpo estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, ou seja, haverá equilíbrio na
translação.
Para um corpo extenso, esta condição de equilíbrio também é válida. Porém, é preciso definir ainda uma outra
condição: o equilíbrio na rotação.
De maneira geral, o corpo extenso pode estar submetido a uma rotação. Num corpo extenso em equilíbrio não
pode haver rotação. Sendo assim, devemos estabelecer uma segunda condição, de maneira semelhante ao que
foi feito quando estudamos Sistemas de Partículas. Supondo um corpo extenso como o da figura abaixo:
Figura: corpo extenso – para que o corpo extenso esteja em equilíbrio é necessário que sejam satisfeitas duas
condições: (1) a resultante das forças que atuam sobre o corpo deve ser nula e (2) o torque resultante sobre o corpo
deve ser nulo.
Sendo assim, podemos definir a condição geral de equilíbrio de um corpo extenso:
Equilíbrio na translação (corpo em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme):
n
∑ F i=0
i=1
=>
F 1 F 2 F 3... Fn=0
Equilíbrio na rotação (ausência de rotação em qualquer eixo):
n
∑ i =0
i=1
n
=> 1 2 3...n =0 =>
∑  ri × F i=0
=>
i=1
=>  r1× F1  r2× F2  r3× F3 ... rn × Fn =0
Problema da balança de régua – monte uma balança de régua e disponha pesos diversos ao longo da régua, de
um lado e de outro do ponto de apoio. Elabore um estudo para as diversas disposições possíveis.
Material necessário: uma régua de 30cm, bem leve; fios de amarração; pesos (podem ser chumbadas de pescaria
com massas conhecidas).
Montagem: amarre um pedaço de fio bem no centro da régua; é por ele que a régua ficará suspensa; coloque os
pesos suspensos na régua e ajuste suas posições até atingir o equilíbrio.
15
21) Trabalho e Energia
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
A interpretação dos fenômenos relacionados ao movimento, até agora realizada através do princípio da
conservação do momento, também pode ser feita utilizando-se o PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA
ENERGIA. Segundo esse princípio, a energia total de um sistema permanece a mesma, alternando apenas seu
tipo entre potencial e cinética (tidos como os únicos tipos existentes).
Sendo assim, se uma partícula de massa m é levada de uma posição A para uma posição B, elevada de uma
altura ∆z1, dizemos que isso se deve à realização de um trabalho, o qual atribuirá à partícula uma certa
quantidade de uma grandeza denominada energia potencial, proporcional à altura que a massa é elevada.
A partir dessa altura se a massa for colocada para rolar em um plano, essa energia potencial vai se convertendo
em outro tipo de energia, proporcional à velocidade adquirida pela massa, denominada energia cinética (ou
energia de movimento).
Embora mude de tipo ao longo da trajetória de descida, seu valor permanece o mesmo que lhe foi conferido pelo
trabalho realizado entre A e C, desde que o sistema seja considerado conservativo.
Como dissemos, para agregar energia a um corpo de massa m é preciso realizar sobre ele um trabalho, que é
concebido como sendo o produto escalar da força pelo deslocamento que ela provoca. Para o trabalho, interessa
apenas a componente da força paralela ao vetor deslocamento, tendo em vista que é essa que efetivamente
realizará o trabalho.
Problema sobre trabalho – na figura acima, considere apenas o trabalho da força peso.
a) Em qual situação o trabalho seria maior: elevando a massa pelo elevador ou empurrando-a pelo
caminho da rampa?
b) Haveria alguma diferença entre os trabalhos de subida e descida? Discorra sobre suas idéias, levando
em conta o princípio da conservação da energia num sistema de forças conservativas.
16
22) Energia Mecânica
O que é Energia ?
Sem dúvida nenhuma energia é o termo técnico, originário da Física, mais empregado em nossa
vida cotidiana.
Energia é um conceito muito abrangente e, por isso mesmo, muito abstrato e difícil de ser definido
com poucas palavras de um modo preciso. Usando apenas a experiência do nosso cotidiano, poderíamos
conceituar energia como "algo que é capaz de originar mudanças no mundo". A queda de uma folha. A
correnteza de um rio. A rachadura em uma parede. O vôo de um inseto. A remoção de uma colina. A construção
de uma represa. Em todos esses casos, e em uma infinidade de outros que você pode imaginar, a interveniência
da energia é um requisito comum.
Muitos livros definem energia como "capacidade de realizar trabalho". Mas esta é uma definição
limitada a uma área restrita: a Mecânica. Um conceito mais completo de energia deve incluir outras áreas (calor,
luz, eletricidade, por exemplo). À medida que procuramos abranger áreas da Física no conceito de energia,
avolumam-se as dificuldades para se encontrar uma definição concisa e geral.
Mais fácil é descrever aspectos que se relacionam à energia e que, individualmente e como um
todo, nos ajudam a ter uma compreensão cada vez melhor do seu significado.
Vejamos, a seguir, alguns aspectos básicos para a compreensão do conceito de energia.
1) A quantidade que chamamos energia pode ocorrer em diversas formas. Energia pode ser
transformada, ou convertida, de uma forma em outra (conversão de energia).
Exemplo: A energia mecânica de uma queda d’água é convertida em energia elétrica a qual, por
exemplo, é utilizada para estabilizar a temperatura de um aquário (conversão em calor) aumentando, com isso, a
energia interna do sistema em relação à que teria à temperatura ambiente. As moléculas do meio, por sua vez,
recebem do aquário energia que causa um aumento em sua energia cinética de rotação e translação.
2) Cada corpo e, igualmente, cada "sistema" de corpos contém energia, a qual pode ser transferida
de um sistema para outro (transferência de energia).
Exemplo: Um sistema massa-mola é mantido em repouso com a mola distendida. Nestas condições,
ele armazena energia potencial. Quando o sistema é solto, ele oscila durante um determinado tempo mas acaba
parando. A energia mecânica que o sistema possuía inicialmente acaba transferida para o meio que o circunda
(ar) na forma de um aumento da energia cinética de translação e rotação das moléculas do ar.
3) Quando energia é transferida de um sistema para outro, ou quando ela é convertida de uma forma
em outra, a quantidade de energia não muda (conservação de energia).
Exemplo: A energia cinética de um automóvel que pára é igual à soma das diversas formas de
energia nas quais ela se converte durante o acionamento do sistema de freios que detém o carro por atrito nas
rodas.
4) Na conversão, a energia pode transformar-se em energia de menor qualidade, não aproveitável
para o consumo. Por isso, há necessidade de produção de energia apesar da lei de conservação. Dizemos que a
energia se degrada (degradação de energia).
Exemplo:Em nenhum dos três exemplos anteriores, a energia pode "refluir" e assumir sua condição
inicial. Nunca se viu automóvel arrancar reutilizando a energia convertida devido ao acionamento dos freios
quando parou. Ela se degradou. Daí resulta a necessidade de produção constante (e crescente) de energia.
Energia Mecânica - Considerações Gerais
Chamamos de Energia Mecânica a todas as formas de energia relacionadas com o movimento de corpos ou com
a capacidade de colocá-los em movimento ou deformá-los.
Classes de energia mecânica:
1) Energia potencial
É a que tem um corpo que, em virtude de sua posição ou estado, é capaz de
realizar trabalho.
Podemos classificar a energia potencial em:
a) Energia Potencial Gravitacional ( U g ):
Está relacionada com a posição que um corpo ocupa no campo gravitacional
terrestre e sua capacidade de vir a realizar trabalho mecânico.
Matematicamente, o trabalho necessário para elevar um corpo de massa m a
uma altura h é: W g =P  h−h0 
17
Onde P é o peso do corpo e
Ou, sabendo que P=m g :
h−h 0
é a altura em relação ao nível de referência ( h 0 ).
W =m g h – m g h0
onde m é a massa do corpo e g é a aceleração gravitacional no local. A grandeza m g h é denominada Energia
Potencial Gravitacional U g . Então:
W g =U g – U g
0
Exemplo: um corpo de massa 4 kg encontra-se a uma altura de 16 m do solo. Admitindo o solo como nível de
referência e supondo g = 10 m/s2, calcular sua energia potencial gravitacional.
−1
Resolução: U g =m g h=4kg .10 m s . 16m=640 joules J 
b) Energia Potencial Elástica ( U e )
É a energia armazenada em uma mola comprimida ou distendida. O trabalho realizado para armazenar energia
2
F e F e
k x 02
k
k
x
numa mola é W =
 x – x 0 =  xx 0  x− x 0=
−
2
2
2
2
0
onde k é a constante elástica da mola e x é a deformação da mola (quanto a mola foi
comprimida ou distendida). A quantidade
k x2
é denominada Energia Potencial
2
Elástica.
Exemplo: uma mola de constante elástica k = 400 N/m é comprimida de 5 cm. Determinar a sua energia
potencial elástica.
Resolução: U e =
k x 2 400 N /m .0,05 m2
=
=0,5 joules J 
2
2
2) Energia Cinética ( K )
Todo corpo em movimento possui uma energia associada a esse movimento que pode vir a realizar um trabalho
(em uma colisão por exemplo). A essa energia damos o nome de energia cinética.
O trabalho realizado para colocar um corpo em movimento é:
 
2
mv – v 0 
vv 0
mv 2 mv 0
W =ma  x – x 0=
 x – x 0 =mv – v 0 
=
−
t
2
2
2
2
mv
Onde m é a massa e v é o módulo da velocidade do corpo. A quantidade
é denominada Energia Cinética
2
(K). Exemplo: determine a energia cinética de um móvel de massa 50 kg e velocidade 20 m/s.
m v 2 50kg .20m /s 2
Resolução: K =
=
=10000 joules  J 
2
2
A conservação da Energia Mecânica
Uma força é chamada conservativa quando pode devolver o trabalho realizado para vencê-la. Desse
modo, o peso de um corpo e a força elástica são exemplos desse tipo de força. No entanto, a força de atrito
cinético, que não pode devolver o trabalho realizado para vencê-la, é uma força não-conservativa, ou
dissipativa (ocorre degradação da energia mecânica).
Isso quer dizer que, em um sistema no qual só atuam forças conservativas (sistema conservativo), a
ENERGIA MECÂNICA (E) se conserva, isto é, mantém-se com o mesmo valor em qualquer momento, mas
alternando-se nas suas formas cinética e potencial (gravitacional ou elástica).
E inicial = E final => U 0K 0=U  K => m g h0 
m v 02
mv 2
=m g h
2
2
18
Exemplos resolvidos:
1) Uma esfera de massa 5 kg é abandonada de uma altura de 45m num local onde g = 10 m/s2. Calcular a
velocidade do corpo ao atingir o solo. Despreze os efeitos do ar.
Resolução: Conforme o corpo vai descendo, a energia potencial gravitacional vai se transformando em energia
cinética, até que em B toda a energia mecânica está sob a forma de energia cinética. Desprezando a resistência
do ar, o sistema é conservativo, logo:
m v 02
mv 2
m g h0 
=m g h
2
2
m v 02 5kg .0m/ s2
K 0=
=
=0 J
2
2
U =m g h=5kg . 10 m/ s2 . 0 m=0 J
5kg .v 2 ;
v =30m / s
5kg . 10m/ s . 45m=
2
2
2) Um corpo de 2 kg é empurrado contra uma mola de constante elástica 500 N/m, comprimindo-a 20 cm. Ele é
libertado e a mola o projeta ao longo de uma superfície lisa e horizontal que termina numa rampa inclinada
conforme indica a figura. Dado g = 10 m/s2 e desprezando todas as formas de atrito, calcular a altura máxima
atingida pelo corpo na rampa.
Resolução:
Com a mola comprimida, temos apenas energia potencial elástica.
Quando a mola é solta, a energia potencial elástica é transferida para o corpo na forma de energia cinética e
quando o corpo começa a subir a rampa a energia cinética vai se transformando em energia potencial
gravitacional até que, no ponto B, toda energia mecânica do sistema está sob esta forma.
Como o sistema é conservativo, temos:
k x 02
k x2
m g h0 
=m g h
2
2
U g =0
inicial
;
2
U e =0
final
kx
k x2
m g h0  0 =m g h
2
2
0
k x 02
500N/m. 0,2 m2
=2 kg .10 m/s 2 . h B => h B =0,5 m
=m g h0 =>
2
2
3) Um esquiador de massa 60kg desliza de uma encosta, partindo do repouso, de uma altura de 50m. Sabendo
que sua velocidade ao chegar no fim da encosta é de 20m/s, calcule a perda de energia mecânica devido ao
atrito. Adote g = 10m/s2.
Resolução:
U 0K 0=U  K E dissipada
U 0=60 kg .10 m/ s 2 . 50 m ; U 0=30000 J
K 0=0 pois v 0 =0 e U =0 pois h B =0
60 kg . 20 m/s 2 ;
K =12000 J
K=
2
E dissipada =E final – E inicial =12000 J – 30000 J =−18000 J
19
23) Relação Trabalho-Energia
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Estabelecendo um paralelo entre os princípios da conservação do momento e da conservação da energia, temos
a seguinte tabela:
Teorema do impulso:
Impulso=F dt=dq=q – q0
Teorema Trabalho-Energia:
Trabalho=F ds=dK =K – K 0
Num sistema conservativo, observamos também que o Trabalho
é equivalente ao negativo da variação da energia potencial:
Trabalho=F ds=[ ─ dU ]=[ ─ U – U 0 ]
A força é definida como sendo a grandeza A força é definida como sendo a grandeza que provoca a
que provoca a variação temporal do variação espacial da energia.
momento linear.
Problema sobre equivalência trabalho-energia:
Partindo da definição da energia como conceito fundamental e tendo como pressuposto o princípio de
conservação da energia, demonstre a equivalência entre trabalho e energia.
(a ser resolvido em sala)
Problema sobre relação trabalho-energia e velocidade de escape:
Mostre que o trabalho necessário para colocar um objeto em órbita em torno da Terra é o mesmo que seria
necessário para elevá-lo ao topo de uma montanha de altura igual ao raio da Terra, considerando que o campo
gravitacional permanece constante e de valor igual ao medido na superfície terrestre durante toda a escalada da
montanha.
20
24) Potência
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Quando vamos adquirir um veículo, um eletrodoméstico ou um aparelho eletro-eletrônico, um dos fatores
importantes que é levado em conta na aquisição é a POTÊNCIA do dispositivo. Mas qual é o significado dessa
grandeza? Em relação aos aspectos de uso, nível de consumo e de valor de aquisição, qual a importância da
POTÊNCIA do dispositivo?
Em muitos casos, a Potência é confundida com a Força. Trata-se de uma impropriedade, pois Força é a ação
modificadora do movimento e o conceito de Potência está relacionado com Trabalho e Energia.
(Discuta com seu grupo as implicações em se escolher um aparelho ou dispositivo de maior ou de menor
potência)
Por exemplo, entre dois automóveis descritos na tabela, qual seria a melhor escolha? Há um critério absoluto
nessa escolha?
Automóvel (preço)
Cilindrada do
motor (litros)
Potência do
motor (em kW)
Velocidade
máxima (km/h)
Popular
(R$ 18.000,00)
De luxo
(R$ 40.000,00)
1,0
48
140
Tempo de aceleração de
zero a 100km/h (em
segundos)
16
2,0
96
210
10
Elabore sua resolução e discuta suas idéias durante as aulas.
A potência é a grandeza que mede a rapidez de realização de um trabalho, ou seja, quantifica o trabalho
realizado ou a energia convertida durante um intervalo de tempo determinado. Pesquise mais sobre o conceito
de potência e verifique as situações em que ele pode ser utilizado.
Problema: um elevador é projetado para elevar 10 pessoas a uma altura de 30 metros, num tempo de 15 a 20
segundos (considerando o percurso sem paradas nos andares intermediários). Discuta o projeto desse elevador,
analisando os seguintes aspectos: massa das pessoas, potência do motor, bem como na interferência desses
aspectos no tempo de percurso. Atribua valores e apresente alguns resultados numéricos que evidenciem suas
conclusões.
21
25) Estática dos fluidos
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Tópicos: acréscimo de pressão em fluidos incompressíveis (princípio de Pascal)1; acréscimo de pressão em fluidos
compressíveis (lei dos gases ideais)2; empuxo (princípio de Arquimedes).3
Fluidos são definidos como sendo corpos materiais que não opõe resistência às tensões tangenciais que lhe são
aplicadas externamente. Assim, os fluidos possuem a capacidade de “fluir” ou “escorrer”, adquirindo a forma do
recipiente que os contêm (líquidos e gases), ou de não apresentarem volume definido (gases).
Para o estudo dos fluidos, necessitamos definir algumas grandezas que nos auxiliarão a compreender os
fenômenos em que tais materiais estão presentes.
A primeira grandeza que trataremos é densidade absoluta ou massa específica, definida como sendo a
quantidade de massa presente em um determinado volume de uma substância, isto é:
=
dm
dV
onde dm é um elemento de massa do corpo e dV é um elemento de volume.
Outra grandeza utilizada no estudo dos fluidos é a pressão, definida como sendo a medida da força aplicada a
uma determinada área de uma superfície, ou seja:
p=
dF
dA
onde dF é um elemento de força aplicada sobre o elemento de superfície de área dA.
Um fluido, como a água ou o ar, exerce pressão sobre a superfície do recipiente que o contém. No caso da
pressão atmosférica, ela é resultado do peso do ar exercido sobre a superfície da Terra e todos os objetos que se
encontram na atmosfera estão sujeitos a ela.
Portanto, ela é a pressão inicial em todos os fenômenos que envolvem medida de pressão, a não ser que o
sistema em questão esteja isolado.
Se a força infinitesimal dF exercida pelo fluido é o seu peso, então ela pode ser expressa por
dF =dm.g= dV.g . Sendo assim, a expressão da pressão assume a seguinte notação:
p hdh− p h=
dF  g dV
=
dA
dA
onde g é a medida do campo gravitacional local ou aceleração da gravidade. Contudo, sabemos que (dV/dA)=dh
onde dh é a altura da coluna infinitesimal do fluido em questão. Assim, nossa expressão assume a forma:
h
dp= g dh => p= g ∫ dh= g h
0
Que nos fornece o valor da pressão de um fluido de densidade ρ sobre uma superfície, num campo gravitacional
g, a uma profundidade h.
Para um fluido em repouso, a pressão total exercida por ele na superfície de seu recipiente será dada pela
somatória da pressão atmosférica (p0) e da pressão do líquido (ρgh). Ou seja:
p= p0 g h
1
2
3
(a) HALLIDAY, D, RESNICK, R. WALKER, J. Fundamentos de física. Volume 2. Rio de Janeiro: LTC, 1996, p.8190 (capítulo 16 – Fluidos).
(b) NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica. Volume 2. São Paulo: Edgard Blücher, 1996, p.1-14 (capítulo 1 –
Estática dos Fluidos).
Idem (a), p.209 (capítulo 21 – Teoria Cinética dos Gases).
Idem (b), p.188-189 (capítulo 9 – Propriedades dos Gases).
Idem (a) e (b).
22
Num fluido confinado, a pressão atmosférica é substituída por uma parcela denominada pressão externa (pext);
p= pext  g h
A essa parcela pode ser acrescida uma pressão ∆p. Assim, podemos inferir que qualquer acréscimo de pressão
exercido sobre um fluido confinado é transmitido a todos os pontos desse fluido, ou seja:
p ' = p ext  p g h= p p
Essa é a expressão matemática do princípio de Pascal, segundo o qual:
“Uma variação de pressão aplicada em um fluido confinado é transmitida integralmente
para todas as porções do fluido e para as paredes do recipiente que o contém.”
Para os fluidos incompressíveis (líqüidos), não há variação significativa no volume. Contudo, um acréscimo de
pressão aplicado sobre um fluido compressível, como um gás, provoca uma diminuição proporcional em seu
volume. Esse fenômeno é descrito pela lei de Boyle, que diz que um gás encerrado num recipiente fechado, ao
ter variada sua pressão, varia também seu volume, porém na proporção inversa. A expressão que indica esse
comportamento é a equação geral dos gases.
p V =n RT
Onde p é a pressão do gás, V o volume do recipiente, n é o número de moles do gás, R é a constante universal
dos gases perfeitos e T é a temperatura termodinâmica, aqui admitida constante.
Devido ao fato dos fluidos permitirem a penetração de corpos em seu meio, é pertinente discutir um fenômeno
importante relacionado a essa categoria de substâncias: a flutuação.
Quando um corpo é mergulhado num fluido, ele desloca uma quantidade de fluido cujo volume é igual ao da
parte do corpo que foi imersa. Essa quantidade de fluido, por ser um meio material, exerce uma força contra o
corpo (3a lei de Newton) cuja magnitude é a mesma do peso do volume de fluido deslocado. Tal força
denomina-se empuxo, que é explicado pelo princípio de Arquimedes.
“Um corpo completa ou parcialmente imerso em um fluido receberá a ação de uma força
para cima igual ao peso do fluido que o corpo desloca.”
Matematicamente, é expresso por:
E=P f
E=m f g
E=V g
Problema: na figura, representamos um ludião, dispositivo constituído por uma garrafa de plástico, cheia com
água até o gargalo, onde é mergulhado um pequeno tubo com uma das extremidades fechada, com peso
suficiente para ficar flutuando próximo à superfície da água.
Ao ser pressionada a garrafa, observa-se que o tubo dentro dela sofre um
afundamento. Ao soltar a garrafa, o tubo volta à sua posição original.
Olhando mais atentamente, observa-se que o nível de líqüido dentro do
tubo sobe quando a garrafa é pressionada, voltando ao nível original
quando o acréscimo de pressão é subtraído.
Utilizando o princípio de Pascal, o princípio de Arquimedes e a lei dos
gases ideais, explique por que ocorre o fenômeno descrito.
23
26) Dinâmica dos fluidos
Prof. Ms. Clodogil Fabiano Ribeiro dos Santos
[email protected]
Se tivermos um fluido em movimento, a sua velocidade de escoamento também interfere na
pressão. Nesse caso, considerar um fluido real seria muito complicado. Assim, para tratarmos de fenômenos
relacionados ao escoamento de fluidos, concebemos a idéia de fluido ideal o qual deve ter as seguintes
características:
e)
f)
g)
h)
escoamento uniforme – a velocidade de qualquer ponto do fluido não se altera no tempo;
escoamento incompressível – a densidade do fluido ao longo do deslocamento é constante;
escoamento não viscoso – a viscosidade de um fluido é análoga ao coeficiente de atrito entre sólidos;
escoamento irrotacional – não há deslocamentos rotativos de um ponto do fluido em relação a outros;
Precisamos definir o conceito de linha de corrente como sendo o caminho traçado por um
pequeno elemento de fluido. Durante seu movimento, a velocidade pode variar em módulo e direção. Duas
linhas de corrente nunca se cruzam.
Também precisamos definir o que seja um tubo de corrente, ou seja, um conjunto de linhas
de corrente. Essas linhas podem se afastar ou se aproximar, aumentando ou diminuindo, respectivamente, o
diâmetro do tubo. Um tubo de corrente é representado na figura abaixo.
O volume de fluido que passa através desse tubo de corrente é:
V 1 = A 1 v1  t
onde: A1 é a área de seção transversal na entrada do tubo e v1∆t é o deslocamento ao longo do tubo, efetuado a
uma velocidade v1 durante um tempo ∆t. Analogamente,
V 2 =A2 v 2  t .
Como o fluido é incompressível e não altera sua quantidade, na saída do tubo deve passar o
mesmo volume de fluido. Contudo, sua área de seção transversal agora é A 2, e o deslocamento é dado por v2∆t.
Assim, podemos dizer que:
V 1= A1 v1  t =V 2 =A2 v 2  t ou A1 v 1= A2 v 2 ou R= A v=constante
24
Ou seja, ao longo da linha de corrente, a taxa volumétrica de escoamento ou vazão (R) é
constante. Essa é a expressão da equação da continuidade.
Partindo do princípio da conservação da energia mecânica, podemos deduzir outra equação
importante para compreender o deslocamento de fluidos ideais.
Utilizando o teorema trabalho-energia:
1
1
W =K −K 0=  mv 2 –   mv20
2
2
Se o fluido escoa movido por seu próprio peso e considerando um sistema de forças
conservativas, o trabalho realizado pode ser expresso por:
W =− mgh – mgh0 
Devemos levar em conta também que o quociente entre energia e volume do líquido é dimensionalmente
equivalente à pressão.O resultado final de nossa dedução será a Equação de Bernoulli para o deslocamento de
1
2
2
1
2
2
fluidos ideais. Igualando os trabalhos realizados, temos:   mv –  mv 0=−mgh – mgh0  .
Como m= V , temos:
1
1
   V v 2 –    V v 20=−  V gh –  V gh 0 
2
2
que após as devidas simplificações fica:
1
1
   v 2 –    v 20=−  g h –  g h 0 , ou então:
2
2
1
1
   v 2 –    v 20=− g h g h0
2
2
Juntando no mesmo membro os termos referentes ao mesmo ponto do tubo de escoamento, a equação assume a
seguinte forma:
1
1
   v 2 g h=   v 20 g h0
2
2
Esta é a equação de Bernoulli, que descreve o escoamento estacionário de um fluido ideal.
Problema da mangueira: utilizando a equação da continuidade, explique por que quando estrangulamos a
saída de uma mangueira a água tem maior alcance.
Problema do avião: explique como um avião consegue voar utilizando a Equação de Bernoulli.
Problema do barco a vela: um barco de vela triangular consegue navegar praticamente contra o vento. Como
isso é possível? Isso tem a ver com a Equação de Bernoulli.
Problema da semana sobre flutuação do balão e do helicóptero: explique em que difere a flutuação de um
balão e a de um helicóptero.