Intensivo UFU 2016_ MATEMÁTICA 1,2 MB

INTENSIVO
ABRIL /2016
MATEMÁTICA
1
REVISÃO UFU ABRIL 2016
3- O lado de um triângulo eqüilátero é igual à altura de
um segundo triângulo eqüilátero.
MATEMÁTICA – PROFESSORA PATRÍCIA
AULA 1 – GEOMETRIA PLANA
a
a
1 - O comandante de um navio fez, pela primeira vez, uma
rota retilínea AC orientado por um farol F, localizado numa
ilha. Ele pretendia determinar as distâncias do farol F à rota
AC e do ponto inicial A ao farol F. No início da viagem, o
comandante obteve a medida FAC=30° e, após percorrer 6
milhas marítimas, localizando-se em B, ele fez a medição do
ângulo FBC, obtendo 60°. Observe a figura a seguir que
ilustra esta situação.
De acordo com as informações, as distâncias, em
milhas, do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao
farol F, obtidas pelo comandante foram,
respectivamente,
a) 2
3
e 3 3.
b) 2
2
3
e
4 3
3 3
e
6 3.
d) 3
3
e
3
b
a
A razão entre a área do primeiro e a do segundo triângulo
é:
3
2
a)
b)
2
c)
1/2
d)
3/4
e)
2
2
4- Considere o triângulo ABC, abaixo, e D um ponto no lado
AC , tal que AD = BD = BC = 1cm. Nesse caso, a relação
existente entre os ângulos  e  indicados é
C
.
.

A
a)
C
b)  = 2
D
B
 + 2 = 
2- Considere o triângulo retângulo abaixo.
c)
 = 3
d)
   
4
5- No terreno ABC da figura abaixo, pretende-se construir
um escritório na área hachurada.

A
b
a

c)
b
h
B
Sabendo-se que  = 120º, AB = AC = 1cm, então AD é igual
a
a)
2 cm
3
b)
2
cm
3
c)
2 cm
3
d)
3 cm
2
Sendo BC  40 m ; AC 60 m e MN  20 m então a área
livre que poderá ser usada como estacionamento tem área
igual a
a ) 600 m2
b) 150 m2
c) 400 m2
d) 450 m2
2
6- Em um retângulo ABCD em que AB = 5cm e BC = 3cm, a
diagonal AC é dividida em três segmentos de mesmo
comprimento por pontos E e F. A área do triângulo BEF é
igual a
a) 34 cm 2
2
b) 34 cm2
3
c) 5 cm 2
2
d)5cm
3 - Considere um polígono regular de n lados, circunscrito
em um círculo de raio 1 cm. O valor de n, par que o lado
desse polígono tenha medida 2cm, é igual a
a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
d) 5 cm 2
3
AULA 2 – GEOMETRIA PLANA
1 – O conceito de desenvolvimento sustentável prevê a
adoção de ações e práticas que auxiliem a sobrevivência
do planeta Terra para futuras gerações. É de fundamental
importância a adoção de projetos que estimulem e insiram
crianças nessa batalha em defesa do meio ambiente. Um
exemplo de ação educacional motivadora e direcionada a
esse fim é a inserção de atividades com dobraduras,
reproduzindo elementos da natureza. Suponha que, no
início de tal atividade, tenha-se uma folha de cartolina
cortada na forma de um triângulo equilátero ABC, com
lado x cm. A cartolina é dobrada de modo que C coincida
com o ponto médio M de AB, onde AB e DE são paralelos.
Sabendo que o perímetro do trapézio ABED é igual a 10
cm, então a área (em cm2) do triângulo DEM é igual a
a) 3
b) 3 3
c) 2 3
d) 4 3
2 - Na figura abaixo, a área do triângulo ADE corresponde a
20% da área do quadrado ABCD
Para que a área do triângulo EBC seja igual a 30cm2, o lado
do quadrado ABCD deve ser igual a
a)10cm.
4 - Uma indústria de embalagens fabrica, em sua linha de
produção, discos de papelão circulares conforme indicado
na figura abaixo. Os discos são produzidos a partir de uma
folha quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste
indireto produzido na natureza pelo desperdício de papel, a
indústria estima que a área do papelão não aproveitado,
em cada folha utilizada, é de (100 - 25)cm2.
Com base nas informações acima, é correto afirmar que o
valor de L é:
a) primo
b) divisível por 3
c) ímpar
d) divisível por 5
5 - O número áureo aparece com frequência em
proporções ligadas a fenômenos da natureza e em
magníficos projetos arquitetônicos. Neste contexto, alguns
objetos matemáticos estão associados à elaboração
estrutural de tais projetos. Este é o caso do retângulo
áureo, cuja razão entre o maior e o menor lado é o
número áureo. Uma maneira simples de construir um
retângulo áureo é dada pelo seguinte roteiro:
1º Construa um retângulo ABCD de lados medindo 1 metro
e um segmento de reta ligando o ponto médio O do lado
AD ao ponto médio do lado BC, oposto ao lado AD.
2º Considere a reta r contendo o segmento AD. Com centro
em O e raio OC, trace um arco de circunferência do vértice
C até intersectar a reta r no ponto F.
b) 10 2cm .
c) 5 3cm .
3
AULA 3 – GEOMETRIA ESPACIAL
3º Prolongue BC e trace a perpendicular à r por F, obtendo
o ponto E. O retângulo ABEF é áureo.
No retângulo áureo ABEF, se o ângulo  é dado em radiano,
então, dentre as expressões que seguem, aquela que
corresponde ao valor da área sombreada, em m 2, é
a)
5  2
8
b)
8  5
8
c)
3
4
d)
2 5  1
4
6- Seja o trapézio ABCD com ângulos retos em A e D.
Suponha que o ângulo em B coincida com o ângulo ,
conforme ilustra a figura. Então, o menor valor possível
AB
para a razão
é igual a
AD
1 - Considere uma cruz formada por 6 cubos idênticos e
justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a área
total da cruz é de 416cm2, pode-se afirmar que o volume de
cada cubo é igual a
a)
b)
c)
d)
16cm3
64cm3
69cm3
26cm3
2 - Um suco de frutas, cujo volume é 150 cm3, quando
congelado aumenta de volume em 5%. Deseja-se
acondicionar o suco congelado num recipiente em forma de
paralelepípedo, cujas arestas da base medem 5cm e 3cm.
Admitindo-se que as dimensões do recipiente não sofram
alteração com a variação da temperatura, a altura mínima
do recipiente é:
a)
15,0 cm
b)
10,0 cm
c)
10,5 cm
d)
12,5 cm
3 - Na figura abaixo, representando um cubo H, destaca-se
o quadrilátero sombreado ABCD.
1
a) 2
b)1
c)2
1
d) 4
Sabendo-se que o volume de H é igual a 8 cm3, então o
perímetro de ABCD é igual a


a) 8 1  2 cm .


b) 1 2 cm .
 
d) 41  2 cm .
c) 2 1  2 cm .
4
4 - Sejam ABCD a base de um cubo de aresta a e X um
ponto da aresta AE. Qual deve ser o comprimento do
segmento AX para que o volume da pirâmide de vértice X e
base ABCD seja 1/9 do volume do cubo?
F
G
H
E
a
X
C
B
a
A
a)
a
D
b) a/6
c)
a/9
d) a/2
5 - Considere uma pirâmide regular de base quadrada, cujo
comprimento da aresta da base é igual a 2cm. Efetuando-se
um corte, na pirâmide, paralelo a essa base na altura de
1cm, o tronco dessa pirâmide, assim obtido, tem valor igual
a
5 cm 3
3
a)
40  6!
b)4  5!  5!
c)
8  5!
d)
a/3
. Dessa forma, a altura da pirâmide é igual a
3 - (UFU)O câncer de mama é o segundo tipo de câncer
mais comum e o que mais mata mulheres no mundo.
Pesquisadores da Universidade de Brasília (UnB) investigam
propriedades antitumorais de extratos vegetais produzidos
a partir de plantas da Amazônia, como a Cassia Ocidentalis.
Suponha que no laboratório de farmacologia da UnB
trabalhem 10 homens e 4 mulheres. Necessita-se formar
uma equipe composta por 4 pessoas para dar continuidade
às pesquisas e nela pretende-se que haja pelo menos uma
mulher.Nessas condições, o número total de maneiras de
se compor a equipe de pesquisadores é igual a:
a)
4 2 2
cm
5
b)
2 2 1
cm
7
a)
641
c)
4 2
cm
7
b)
826
d)
4 2 5
cm
3
c)
791
e)
2 2 6
cm
7
d)
936
MATEMÁTICA – PROFESSOR PIMENTA
AULA 01 ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE
1 - (UFU) Um programa de computador, utilizando apenas
os algarismos 1, 2, 3 e 4, gera aleatoriamente senhas de
exatamente dez dígitos. Dentre todas as senhas possíveis
geradas por esse programa, a quantidade daquelas em que
o algarismo 4 aparece exatamente uma vez é igual a
a)410 – 39
b)410 – 310
d)10.49
c)10.39
5!6!
4!
4 - (UFU)Um projeto piloto desenvolvido em um curso de
Engenharia Mecânica prevê a construção do robô "Eddie",
cujos movimentos estão limitados apenas a andar para
frente (F) e para a direita (D). Suponha que Eddie está na
posição A e deseja-se que ele se desloque até chegar à
posição B, valendo-se dos movimentos que lhe são
permitidos. Admita que cada movimento feito por Eddie o
leve a uma posição consecutiva, conforme ilustra um
esquema a seguir, em que foram realizados 10 movimentos
(as posições possíveis estão marcadas por pontos e o
percurso executado de A até B, é representado pela
sequência ordenada de movimentos D F D D F F D F F D).
2 - (UFU) Uma equipe de natação, composta por 8 atletas
(6 homens e 2 mulheres), ficará hospedada no sexto andar
de um hotel durante a realização de um torneio de natação.
Este andar possui oito quartos numerados e dispostos de
forma circular, conforme a figura abaixo. Sabendo que os
atletas ficarão em quartos individuais e que as mulheres
não ficarão em quartos adjacentes, então o número de
maneiras distintas de alocar estes atletas nestes oito
quartos é igual a:
5
Com base nas informações acima, o número de maneiras
possíveis de Eddie se deslocar de A até B, sem passar pelo
ponto C, é igual a
a)192
b)60
c)15
d)252
e)
(4,3) e (2,1)
03 - (UFU)Inúmeras pinturas e desenhos em tela fazem uso
de sobreposição de formas circulares, conforme ilustra a
figura abaixo.
5 - (UFU)Se no conjunto dos divisores positivos de 1440
escolhermos aleatoriamente um número, a probabilidade
do número escolhido ser múltiplo de 16 é igual a
a)
1
.
3
b)
16
9
. c) .
1440
10
d)
2
.
3
6 - (UFU) Lança-se um dado não viciado e se observa o
número correspondente à face que caiu voltada para cima.
Sejam a, b e c, respectivamente, os valores observados em
três lançamentos sucessivos. Se x  a.10 2  b.10  c , então a
probabilidade desse número x de três algarismos ser
divisível por 2 ou por 5 é igual a
a)
8
7
9
10
.b)
.c)
.d)
.
12
12
12
12
7 - (UFU) Numa classe com 50 alunos, 8 serão escolhidos,
aleatoriamente, para formar uma comissão eleitoral. A
probabilidade de Lourenço, Paulo e Larissa, alunos da
classe, fazerem parte desta comissão é igual a
a)
3
50
1
b)
175
c)
3
8
d)
1
350
AULA 02 – GEOMETRIA ANALÍTICA
1 - (UFU)Em relação a um sistema de coordenadas xOy (x e
y em metros), o triângulo PQR tem ângulo reto no vértice R
= (3,5), base PQ paralela ao eixo x e está inscrito no círculo
de centro C = (1, 1). A área desse triângulo, em metros
quadrados, é igual a
a)
40.
b)
8 20
.
c)
4 20
.
d)
80.
Disponível
em:
<http://www.google.com.br>.
Pinturas Circulares. Robert Delaunay. Acesso em: 1º jul.
2012.Para a representação gráfica desses trabalhos
artísticos, faz-se necessária a determinação de elemento
geométricos associados. Suponha que, relativamente a um
sistema de coordenadas cartesianas xOy, duas
circunferências, presentes no desenho, sejam dadas pelas
equações x2 + y2 – 6y + 5 = 0 e x2 + y2 – 6x – 2y = –6.
Assim sendo, a reta que passa pelos centros dessas
circunferências pode ser representada pela equação
a)
2x + 3y = 9
b)
2x + 3y = –9
c)
x + 2y = 4
d)
x + 2y = –4
04 - (UFU) No sistema de coordenadas cartesianas xOy,
descrito na figura a seguir, estão representadas as cidades
A, B, C e O e as estradas, supostas retilíneas, que ligam
estas cidades, sendo a unidade de medida dos eixos de 10
Km.
Usando as informações contidas nesse mapa, determine a
distância, em Km, entre as cidades C e O.
02 - (UFU) Seja r a reta determinada pelos pontos (5,4) e
(3,2). Os pontos de r que são equidistantes do ponto (3,1) e
do eixo das abscissas são:
a)
(6,4) e (2,5)
b) (6,5) e (2,1)
c)
a)
120
b)
120/3
c)
190/3
d)
190
(4,3) e (5,4)
d) (6,5) e (2,3)
6
05 - (UFU) Considere as retas r1 e r2 , descritas pelas
equações
cartesianas
y1  a  x  d
e
y2  b  x  c,
respectivamente, em que a, b, c e d são números reais.
Sabe-se que a, b, c e d formam, nessa ordem, uma
progressão geométrica de razão 2 e que a soma desses
números é igual a 5. Com base nessas informações, é
correto afirmar que a área do triângulo limitado pelas retas
r1, r2 e a reta de equação y  0 é igual a
AULA 04 : POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
01 - (UFU) O polinômio de variável real y = p(x) = x3 –
a.x2 – 9x + a.r2 é representado graficamente
conforme ilustra a figura a seguir, em que –r, r e a, e
são constantes reais e encontram-se, nessa ordem,
em progressão aritmética (P.A.).
a) 24
b) 16
c) 12
d) 32
AULA 03 NÚMEROS COMPLEXOS
01 - (UFU) Qual o módulo do número complexo z que
satisfaz a condição |z – 10i|  5 e tem o menor argumento
possível?
a)
3 5
b)
5 5
c)
5
Nessas condições, o valor de a é um número
a)
primo.
b)
ímpar.
c)
múltiplo de 5.
d)
divisível por 7.
02 - (UFU) Considere o polinômio p(x) = x 4 + 5x3 – x2 + (3a +
b – 1)x + (a-2b). Sabendo-se que zero é raiz de
multiplicidade dois deste polinômio, então
d) 10
a 2 e b 1
02 - (UFU) A representação geométrica do conjugado do
a)
número complexo
b) a= -1 e b  1
2i  22
3i  2
em que i é a unidade
7
7
7
imaginária, encontra-se no
a)
b) segundo quadrante.
c)
c)
C=0eE=0
d)
a  2 e b1
primeiro quadrante.
terceiro quadrante.
d) quarto quadrante.
a)
Sabe-se que outro triângulo de vértices correspondentes a
w1  iz1, w 2  iz 2 e w 3  ihz3 , sendo h um número real
c)
a)
10
b) 6
c)
8
d) 4
7
03 - (UFU) Se q(x) é um polinômio do terceiro grau com
q(2) = q(3) = q(4) = 2 e q(5) = 0, então o valor de q(0) é igual
a
Questão 03 - (UFU MG/2008)Considere o triângulo cujos
vértices correspondem aos números complexos
z1  3, z 2  6 e z3  8  3i , em que i é a unidade imaginária.
positivo, possui área igual a 18. Então, o valor de h é igual a
7
–8
b) –10
8
d) 10
04 - (UFU) Considere o polinômio p(x) = 3x3 – x2 + ax + 9, em
que a é uma constante real. Se p(x) é divisível por x + 3,
então ele também é divisível por
a)
x2 + 9
b) x2 – 9
c)
3x2 + 10x – 3
d) 3x2 + 10x + 3
7
Questão 05 - (UFU) Sabendo-se que as três raízes de f(x) =
x3 + Ax2 + Bx + 8 formam uma PG de razão 2, então A é igual
a
a)
gráfica, não foi registrado o número H de refrigeradores
vendidos em maio.
–4
b) 7
c)
5
d) –3
MATEMÁTICA – PROFESSOR KLEBER
AULA 01 – ESTATÍSTICA E CONJUNTOS
1 - (UFU MG) Para estimar a intensidade luminosa de uma
fonte, os estudantes de uma turma obtiveram 50 valores
experimentais, cuja média aritmética resultou em 9 lux. O
professor observou que entre estes 50 resultados apenas
dois eram discrepantes, a saber, um deles igual a 13 lux e o
outro igual a 17 lux. Sendo assim, a média aritmética dos 48
valores não discrepantes é igual a
a)
8,4 lux
b)9,375 lux
c)
8,25 lux
d)8,75 lux
2 - (UFU MG) Uma pesquisa com 27 crianças, realizada por
psicólogos em um ambiente hospitalar, avalia a redução
dos custos hospitalares mensais individuais em função do
bem-estar emocional promovido pela vivência de
atividades artísticas.
Redução do Custo Mensal
(por criança) em reais.
700,00
Número de crianças
8
900,00
5
1400,00
1
2000,00
7
2400,00
5
3000,00
1
Com base nos dados descritos na tabela, a soma da média
aritmética e da mediana correspondente à distribuição de
redução dos custos mencionada é igual a
a)
2900.
b)3400.
c)
3200.
d)3700.
3 - (UFU MG) Durante o mês de julho de 2012, foram
vendidos 75 refrigeradores em uma loja, quantidade essa
correspondente a um aumento de 150% a mais em relação
à média mensal de refrigeradores vendidos no primeiro
semestre de 2012. Para avaliar o desempenho das vendas
mensalmente, o gerente solicita ao controle de vendas da
loja um demonstrativo do número de refrigeradores
vendidos por mês no primeiro semestre. O gerente recebe
o gráfico a seguir, em que, por um erro na impressão
Entretanto, com base nas informações fornecidas pelo
gráfico, o gerente concluiu que H, necessariamente,
pertence ao intervalo
a)[35, 45)
b)[15, 25)
c)[25, 35)
d)[0, 15)
4 - (UFU) De uma escola de Uberlândia, partiu uma
excursão para Caldas Novas com 40 alunos. Ao chegar em
Caldas Novas, 2 alunos adoeceram e não frequentaram as
piscinas. Todos os demais alunos frequentaram as piscinas,
sendo 20 pela manhã e à tarde, 12 somente pela manhã, 3
somente à noite e 8 pela manhã, à tarde e à noite. Se
ninguém frequentou as piscinas somente no período da
tarde, quantos alunos frequentaram as piscinas à noite?
a) 16 b) 12 c) 14 d) 18
5 - (UFU MG) Num grupo de estudantes, 80% estudam
Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma
dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos
que estudam ambas as línguas é:
a)
25%
b)50% c)15%
d)33%
Questão 6 - (UFU MG) Os alunos do curso de Educação
Física de uma instituição responderam a uma pesquisa que
avaliou qual o seu esporte coletivo predileto: basquete,
futebol ou vôlei. Todos responderam selecionando apenas
uma opção. Os dados coletados foram parcialmente
divulgados conforme indica o quadro a seguir.
Sabe-se que 194 é a média aritmética entre os totais das
respostas das 3 opções, e que o número de mulheres
optantes por vôlei é 20% superior ao de mulheres optantes
por basquete. Segundo essas informações, o número de
maneiras de selecionar dois optantes por vôlei, sendo um
homem e uma mulher, é igual a
a)14016. b)222. c)12312. d)380.
8
AULA 02 - MATRIZES – DETERMINANTES E SISTEMAS
 2 1 

1 
1 - (UFU MG) Considere a matriz A  
1
e as
x = quantidade ingerida do alimento 1, em gramas.
afirmações a seguir.
I.
 x  1
O sistema linear A     possui uma única solução,
 y   2
onde x e y são valores reais.
II.
III.
Existe um número real a tal que sen(a) = det (A).
100
A matriz A
De acordo com sua dieta, João deve ingerir em cada
refeição 13.000 unidades de vitamina A e 13.500 unidades
de vitamina B.Considere nesta dieta:
é invertível.
IV. Se B é uma matriz tal que o produto A3. B = 1, então
1
det(B)  , onde I é matriz identidade de ordem 2.
9
Com relação a essas afirmações, assinale a alternativa
correta.
a)
Apenas I e IV são falsas.
b)
Apenas II e IV são verdadeiras.
c)
Apenas II e III são falsas.
d)
Apenas I e III são verdadeiras.
y = quantidade ingerida do alimento 2, em gramas.
x
13.000 
 , é igual a
A matriz M, tal que M   
 y  13.500 
 30 45 

 20 50 
a) 
c)
 20 30 

 50 45 
b) 
 20 50 


 30 45 
 30 20 

 45 50 
d) 
5 - (UFU MG) Seja A uma matriz quadrada tal que
( 2A  3I) 2  0 onde I é a matriz identidade com a mesma
ordem de A.
Assim, pode-se afirmar que
a)
x
2 - (UFU MG) Dada a matriz A  
z
A é inversível e A 1  I
2
3
b) A é inversível e A 1   A  I
y
 qual a afirmativa
t 
certa?
4
9
c)
4
3
A é anti-simétrica e não inversível
d) A é simétrica e não inversível
 x -y 

a) A t  
- z - t
 x2
b) A 2   2
z

y 2 
t 2 
c) A = -A
1 0
  A
d) A .
0 1
3 - (UFU MG)Seja A uma matriz de terceira ordem com
 1   1 
elementos reais. Sabendo-se que A. 0    4  , concluiu 0   2 
6 - (UFU MG) Um supermercado vende três diferentes
marcas de macarrão −A, B e C −, em pacotes de 1 kg. O
preço da marca B é igual à média aritmética dos preços das
marcas A e C.Sabendo que na compra de um pacote de
macarrão da marca A, dois pacotes da marca B e um pacote
da marca C, um cliente pagou R$ 10,00, o preço que ele
pagaria por três pacotes de macarrão da marca B seria
a)
R$ 8,40
b) R$ 2,50
se que –1, 4 e 2 são elementos da
c)
a)
R$ 9,00
diagonal da transposta de A
d) R$ 7,50
b) primeira coluna da transposta de A
c)
primeira linha da transposta de A
d) última linha da transposta de A
4 - (UFU MG) Por recomendação médica, João está
cumprindo uma dieta rigorosa com duas refeições diárias.
Estas refeições são compostas por dois tipos de alimentos,
os quais contêm vitaminas dos tipos A e B nas quantidades
fornecidas na seguinte tabela:
9
AULA 03 - FUNÇÕES
1 - (UFU MG) Considere as funções polinomiais p(x) = x2 –
3x e q(x) = ax + b, onde a e b são números reais não nulos.
Sabendo que 0 e -1 são raízes do polinômio h(x) = (pq)(x),
sendo que pq indica a composição das funções p e q,
pode-se afirmar que a diferença b - a é igual a
a)
6
b)
0
c)
-6
d)
-3
3 - (UFU MG) Sejam f : IR  IR e g : IR  IR duas funções
cujos gráficos estão esboçados abaixo:
Definindo
h : IR  IR por h(x)  f(x) - g(x) , é correto afirmar que:
a)
(f  h) (4)  g -1 (4) .
b) A função h nunca se anula.
2 - (UFU MG) Seja f a função real de variável real cujo
gráfico está representado na figura abaixo.
c)
(f  h) (0)  (g  h) (0) .
d) h é crescente no intervalo - , 2 
4 - (UFU MG) Seja f : [0, 4]  R a função cujo gráfico está
ilustrado abaixo.
Sejam g a função inversa de f e h a função definida por h(x)
= –g(–x). Assinale a alternativa que corresponde ao gráfico
da função h.
Sobre as afirmações seguintes
a)
b)
I.
o domínio da função f ( x  2) é o intervalo [-2,2]
II.
a imagem da função f ( x  2) é o intervalo [1,5]
III. a equação f ( x  2 )  2  0 não tem solução
c)
IV. a função f ( x  2) , em seu domínio de definição, é
injetora
é correto afirmar que
a)
II e III são verdadeiras.
b) I, II e III são verdadeiras.
c)
I e IV são verdadeiras.
d)
d) I e III são verdadeiras.
5 - (UFU MG) Considere as funções f:IR – {2}  IR e g: IR 
IR dadas por f(x)=
x2
e g(x) = |x–3|.O valor numérico da
x2
área da região delimitada pelas retas x = –1, x = 1, y = 5 e
pelo gráfico da função composta gf é igual a:
a)1
b)6
c)2
d)3
10
AULA 04 – FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA
1 - (UFU MG) Suponha que, para realizar traduções de
textos egípcios para um museu brasileiro, um tradutor X
cobre um valor fixo de R$ 440,00, acrescidos de R$ 3,20 por
linha traduzida. Por outro lado, um tradutor Y, para
executar o mesmo trabalho, cobra um fixo de R$ 800,00,
mais R$ 2,30 por linha traduzida.Nessas condições, o
número que corresponde à quantidade mínima de linha a
serem traduzidas de modo que o custo seja menor se for
realizado pelo tradutor Y é
a)um quadrado perfeito.
b)divisível por 5.
c)um número ímpar.
d)divisível por 3.
2 - (UFU MG) Suponha que R(q) e C(q) sejam funções afins,
representando, respectivamente, a receita e o custo
mensais, em reais, da fabricação e comercialização de um
dado produto por uma empresa, quando q varia no
conjunto dos números naturais e corresponde à quantidade
mensal produzida e vendida desse produto, conforme
indica a figura.
4 - (UFU MG) O gráfico da função de variável real y= f(x) =
ax2 + bx + c, em que a, b e c são constantes reais, é uma
parábola. Sabe-se que a função y = g(x) = 2.f(x + 1)
apresenta o gráfico que segue:
Nessas condições, o produto entre os valores da abscissa e
da ordenada do vértice da parábola representando f(x) é
igual a
a)
18.
b)
6,5.
c)
9.
d)
4,5.
AULA 05 – FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
1 - (UFU MG) Admitindo-se que a “luminosidade” L(x) da
luz solar a x metros abaixo do nível do oceano seja dada,
Se M é a menor quantidade desse produto a ser produzida
e vendida, de forma a assegurar um lucro mensal maior do
que ou igual a R$ 30.000,00, então M pertence ao intervalo
a)
(5200, 6200]
b)(4200, 5200]
c)
(6200, 7200]
d) (3200, 4200]
3 - (UFU MG) Se o gráfico abaixo representa a parábola y =
ax2 + bx + c, podemos afirmar que
y
em luxes, pela função L( x )  1000  e  x / 10 e que um
mergulhador não consiga trabalhar sem luz artificial
quando essa luminosidade fica inferior a 10% de seu valor
na superfície, então a maior profundidade, em metros, que
o mergulhador pode atingir sem ter de usar luz artificial é
igual a
a)
2 In10 .
b) In100 .
c)
In20 .
d) 10  In10 .
2 - (UFU MG) Existem alguns esportes em que a sensação
de liberdade e perigo convivem lado a lado. Este é o caso
do esqui na neve. Suponha que um esquiador, ao descer
uma montanha, seja surpreendido por uma avalanche que
o soterra totalmente. A partir do instante em que ocorreu o
soterramento, a temperatura de seu corpo decresce ao
longo do tempo t (em horas), segundo a função T(t) dada
por Tt   3t 
x
a)
a > 0, b < 0 e c < 0
b)a < 0, b > 0 e c > 0
c)
a < 0, b > 0 e c < 0
d)a < 0, b < 0 e c < 0
36
3t
(T em graus Celsius), com t  0.Quando a
equipe de salvamento o encontra, já sem vida, a
temperatura de seu corpo é de 12 graus Celsius. De acordo
com as condições dadas, pode-se afirmar que ele ficou
soterrado por, aproximadamente,(Utilize a aproximação
log3 2 = 0,6 )
a)
2h e 36 minutos
b) 36 minutos
c)
1h e 36 minutos
d) 3h e 36 minutos
11
3 - (UFU MG) Sendo f : R  R * e g : R *  R funções
definidas por
f (x)  2
x
e
g(x)  log2 x ,
assinale a
alternativa INCORRETA.
a)
6 - (UFU MG) Assuma que a função exponencial de variável
real T = f(t) = r.ek.t, em que r e k são constantes reais não
nulas, representa a variação da temperatura T ao longo do
tempo t (em horas) com 0  t  4 .
f (mx )  (f (x)) m para todos x  R e m  N .
b) O gráfico da função composta g  f é uma reta.
c)
 1 
f ( 2)  g   .
 16 
d)
g( x  y)  g( x )  g( y) para todos x , y  R * .
4 - (UFU MG) A função y  P(t )  k 
34 t  1
, em que k é
100
uma constante real fixa representada graficamente abaixo
é o modelo que descreve a evolução populacional de uma
cultura de bactérias durante 1 hora.
Sabendo que os valores f(1), f(2), f(3) e f(4) formam, nessa
ordem, uma progressão geométrica de razão
igual a
1
4
e soma
255
, então o valor de r é um número múltiplo de
128
a)
9.
b)
5.
c)
3.
d)
7.
Se t0 é o tempo, em minutos, tal que P(t0) = 3,13, então t0 é
aproximadamente igual a
AULA 06 – PROGRESSÕES ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA
(Sugestão: Utilize a aproximação log32 = 0,63.)
1 - (UFU MG) Sejam x, y e z números reais positivos. Se os
números log10 x, log10 y e log10 z formam, nessa ordem, uma
progressão aritmética, então
a)
34.
b)
42.
a)
c)
15.
b) y2 = x + z
d)
27.
c)
5 - (UFU MG)Uma indústria produziu 5 000 toneladas do
produto ZW68 no ano de 2000. Segundo projeções e
estudos realizados na época, para atender a demanda dos
20 anos seguintes, ficou definido que a produção desse
produto iria aumentar em 5% ao ano, até o ano de 2020.
No início do processo produtivo, a capacidade de
armazenagem desse produto na indústria era de 2 000
toneladas anuais. A logística da indústria prevê que,
anualmente, essa armazenagem fique limitada ao máximo
de 20% da produção do ano em andamento.
Segundo as condições apresentadas, em que ano a
indústria necessitará reestruturar seu gerenciamento,
ampliando sua capacidade de armazenagem?
Sugestão: Utilize log2(1 + 0,05) = 0,070
2y = xy
2y = x + z
d) y2 = xz
2 - (UFU MG) Se log10x = 3, qual é o valor do natural n para
que se tenha a soma dos n primeiros termos da seqüência
(log10x, log10x2, log10x3, …) igual a 15150?
a)
100
b) 101
c)
110
d) 111
3 - (UFU MG) Três terrenos quadrados de lados, medindo x
– 4, x e x + 3 metros, respectivamente, são tais que suas
áreas estão em progressão aritmética.Determine a soma
dos perímetros, em metros, desses três terrenos.
a)
2014.
a)
142
b)
2016.
b)
106
c)
2017.
c)
146
d)
2015.
d)
102
12
4 - (UFU MG) Cubos são colocados uns sobre os outros, do
maior para o menor, para formar uma coluna, como mostra
a figura abaixo.
O volume do cubo maior é 1m3 e o volume de cada um dos
cubos seguintes é igual a
1
do volume do cubo sobre o
27
seguindo esse processo indefinidamente obtemos o
chamado Triângulo de Sierpinski.
Considerando um triângulo preto em cada iteração, de
iteração 1 até a iteração N, e sabendo que o produto dos
valores numéricos das áreas desses triângulos é igual a
1
, então N é
2 240
qual ele está apoiado. Se fosse possível colocar uma
infinidade de cubos, a altura da coluna seria igual a
a)
27
m b)2m c)1,5m
26
•
ciclista 1: iniciar o treinamento com 4 km de
percurso e aumentar, a cada dia, 3 km a mais para
serem percorridos;
ciclista 2: iniciar o treinamento com 25 km de
percurso e aumentar, a cada dia, 2 km a mais para
serem percorridos.
Sabendo-se que esses ciclistas iniciam o treinamento no
mesmo dia e que o término desse treinamento se dá
quando os atletas percorrem a mesma distância em um
mesmo dia, pode-se afirmar que ao final do treinamento o
ciclista 1 percorre uma distância total, em km, de
a)
781
b)714
c)848
é um número primo.
b)
é múltiplo de 2.
c)
é um quadrado perfeito.
d)
é divisível por 3.
d) 4,5m
5 - (UFU MG) Dois ciclistas estão em fases distintas de
preparação. O técnico desses atletas elabora um
planejamento de treinamento para ambos, estabelecendo
o seguinte esquema:
•
a)
MATEMÁTICA – PROFESSOR OTÁVIO
AULA 01 – TRIGONOMETRIA
1 - (UFU MG/2010) Considere as duas afirmações a seguir:
I.
A soma das soluções da equação sen(x) = cos(x), com x
e [0,3]é igual a
II.
9
.
4
Se  e  são ângulos tais que 180º <  < 270º e –90º <
 < 90º , então sen ()  tg()  cos()  0.
Com base nestas afirmações, assinale a alternativa correta.
a)
I e II estão incorretas
b)
Somente I está correta
c)
I e II estão corretas
d)
Somente II está correta
d)915
6 - (UFU MG) Os "fractais" são criados a partir de funções
matemáticas cujos cálculos são transformados em imagens.
Geometricamente, criam-se fractais fazendo-se divisões
sucessivas de uma figura em partes semelhantes à figura
inicial. Abaixo destacamos o Triângulo de Sirpinski, obtido
através do seguinte processo recursivo:
- Considere um triângulo equilátero de 1 cm2 de área,
conforme a Figura Inicial. Na primeira iteração, dividao em quatro triângulos equiláteros idênticos e retire o
triângulo central, conforme figura da Iteração 1 (note
que os três triângulos restantes em preto na Iteração
1 são semelhantes ao triângulo inicial).
- Na segunda iteração, repita o processo em cada um
dos três triângulos pretos restantes da primeira
iteração. E assim por diante para as demais iterações.
a 
2 - (UFU MG) Na equação 1  sen 2 x  sen x , em que a é
um número real não nulo e 0  x  , o maior valor positivo
de a para que essa equação admita solução é igual a
1
4
a)
b) 1
2
c)
1
d)2
13
3 - (UFU MG) Considerando que na figura abaixo BC = 2cm,
a área do triângulo eqüilátero ABD é igual a
H
D
30º
15º
1
2
0
d
6
0
A
B
C
a)
3
cm2
3
b) 3 3cm
c)
3cm2
d) 3 cm2
4 - (UFU MG) Determine todos os valores de  para os
quais a função f(x) = x + (cos )x +
1
8
não se anulará, para
quaisquer que sejam os valores de x real, sabendo que 0 


2
.
a)
c)
b) d
2
2
2
3
d
2
a)
3
0
c)
2d
d
2
d)
8 - (UFU MG) Os lados de um triângulo retângulo estão em
progressão geométrica. O cosseno do maior ângulo agudo
é:
3
2
a)
0<<

6

4
<<

4
b)

4
<

2
d)

6
<

2
5 - (UFU MG) Na figura abaixo, o ângulo  é tal que
0    90º .
c) 3 1
b) 1
d) 2
5 1
2
2
AULA 02 – GEOMETRIA ESPACIAL
1 - (UFU) Uma fábrica de sucos estima que necessita de 27
laranjas de 8cm de diâmetro cada, para produzir um litro de
suco concentrado. Para efeito dessa estimativa, a empresa
assume que as laranjas são esferas. Contudo, devido às
entressafra, as únicas laranjas disponíveis no mercado
apresentam diâmetro de 6cm. Nessas condições, o número
mínimo de laranjas necessárias para a produção de um litro
de suco concentrado sra igual a:
a)48
b)54
c)64
d)70
2 - (UFU) Em um cubo de aresta a considere um ponto P
b
Então,
é igual a
a
a)
2cos(α)
b) 2
c)
a
2 cos 
2
d) sen ( 2  )
6 - (UFU MG) O valor de
tg1 0º (sec 5º  cossec 5º ) (cos 5º - sen 5º ) é igual a
a)
b)
c)
a
4
situado em um das arestas, e que dista
2.
1
.
2
1.
de um dos
vértices do cubo. Chame de O o centro da esfera inscrita no
cubo e de Q o ponto da esfera situado sobre o segmento
OP. A distância de P e Q é igual a
a)
a
8
b) a
4
c) a ( 5  2)
4
d) a ( 2  1)
2
3 - (UFU) Um refresco é obtido misturando-se 7 partes de
água com uma parte de suco concentrado. Um recipiente
cônico de altura h deve ser completamente cheio de tal
refresco. A que altura deverá ficar o nível do suco
concentrado, caso este seja despejado primeiramente no
cone?
a) 1 h
2
b) 1 h
3
c) 1 h
4
d) 1 h
7
e)
1h
8
d) 2 .
7 - (UFU MG) Um observador em uma planície vê o topo de
uma montanha segundo um ângulo de 15º. Após caminhar
uma distância d em direção à montanha, ele passa a vê-lo
segundo um ângulo de 30º. Qual é a altura H da montanha?
14
4 - (UFU) Bóias de sinalização marítima são construídas de
acordo com a figura abaixo, em que um cone de raio da
base e altura r é sobreposto a um hemisfério de raio r.
Aumentando-se r em 50%, o volume da bóia é multiplicado
por
a)8
b)
27
8
c)
9
4
d)4
5- (UFU) Dispõe-se de um cilindro maciço circular reto, feito
de alumínio, cujo raio da base mede 4 cm e a altura 10 cm.
Esse cilindro será derretido e com o material fundido serão
fabricadas esferas de aço de raio 2 cm. Supondo que nesse
processo não ocorra perda de material, então o número de
esferas a ser fabricadas, a partir do cilindro dado, é igual a
a)13
b)15
c)14
7 - (UFU) Durante uma feira de exposição de animais, um
tratador de cavalos é encarregado de levar água a alguns
animais em uma baia. É colocado um tanque vazio na baia
na forma de um paralelepípedo retangular com a=80 cm,
b=2 m e c=50 cm, conforme ilustra a figura. O tratador
transporta água de um reservatório para o tanque, em um
balde de formato cilíndrico com base de 40 cm de diâmetro
e 50 cm de altura. Estima-se que a cada vez que vai ao
reservatório, ele enche o balde e, no caminho, derrame 5%
de seu conteúdo. Para que o nível de água no tanque atinja
a metade de sua capacidade, o número mínimo de vezes
que o tratador deverá buscar água no reservatório é igual a
:
d)16
6 - (UFU) Uma agência de viagens decidiu presentear cada
pessoa que comprou uma passagem, no mês de março,
para assistir aos jogos da Copa do Mundo de 2010. O brinde
oferecido consistia de uma minibola de futebol, pintada
com as cores da bandeira da África do Sul e embalada em
uma caixa de presente. Assuma que a caixa (com tampa)
tenha o formato de um cubo, a minibola tenha o formato
de uma esfera e que esteja perfeitamente inscrita na caixa.
Sabe-se que:
1.
A agência vendeu 50 passagens em março,
destinadas a pessoas que fossem assistir aos
jogos;
2.
A fábrica que produziu a minibola e a caixa
estimou seus custos na produção de cada
unidade. Desta forma, cobrou de cada caixa o
valor equivalente a R$ 0,01 por cm2 de sua área
e, de cada minibola, o valor equivalente a R$ 0,02
por cm2 de sua área.
Se a diagonal da caixa mede
(Utilize  = 3,1).
a)6
b)5 c)7 d)8
8 - (UFU) Atualmente, ocorre um crescimento mundial no
uso de gás natural. Segundo técnicos da área, entre os
tanques utilizados para o armazenamento de gás, o de
formato esférico é o mais recomendado (ver figura abaixo).
Como qualquer tanque, esse também necessita ser
inspecionado periodicamente para a prevenção de
acidentes. Em geral, os tanques de armazenamento são
pintados externamente com tinta primária que inibe a
corrosão. Sabe-se que 1 litro de tinta rende 6 m2. Se cada
tanque de uma refinaria for considerado como uma esfera
de raio 2 m (desprezando as hastes de suporte vistas na
figura), é correto afirmar que a quantidade máxima de
tanques que podem ser pintados completamente,
utilizando-se 200 litros de tinta, está entre:
300 cm, utilizando a
aproximação  = 3,1, pode-se afirmar que o gasto
aproximado da agência com todos os brindes ofertados em
março foi de:
a)R$ 310,00
b)R$ 610,00
c)R$ 720,00
d)R$ 915,00
Sugestão: Utilize a aproximação  = 3,1.
a)18 e 21
b)13 e 17
c)22 e 26
d)27 e 30
15
AULA 03 – TRIGONOMETRIA – GEOMETRIA ESPACIAL
 12  12 
2
1 - (UFU MG) O valor de sen    cos 
é:
a)
2 3
2
b) 2 3
c)
2
3
d) 1
massa, em relação à posição de equilíbrio, no instante (em
segundos) t  0.
2
2
e) 1 3
2
2 - (UFU MG) Sabendo-se que cos x  3 , cos y 
5
y estão entre 0 e
a)
b)
c)
d)
e)

2

2

2
<x+y<e0<x–y<

2
<x+y<

2

2
3
2
e0<x–y<

2
e

2

2
<x–y<0

2
<x–y<0
<x+y<e 
0<x+y<
e que x e
, a afirmação correta é
e0<x–y<
0<x+y<
1
2
3 - (UFU MG)Se f e g são funções definidas por f ( x )  cos x
e g( x )  sen (3x ) , para todo x real, então a soma dos
números reais x  [0, ] tais que [g( x )] 2  2[f (3x )] 2  1 é
igual a
a)
3
2
b) 
c)
2
d)
9
2
4 - (UFU MG) A cada valor atribuído ao número real α,
considere a parábola obtida por meio da equação
cartesiana y  x 2  2x cos( )  sen 2 () . Dessa forma, podese afirmar que, à medida que α varia, os vértices das
parábolas assim obtidas descrevem um arco de parábola de
equação
a)
y  2 x 2  2
b)
y  2x 2  1
c)
y  x 2  1
d)
y  x 2  2
5 - (UFU MG)Um engenheiro, ao resolver um problema do
movimento ondulatório (periódico) do sistema mola-massa,
representado na figura a seguir, obteve a função p(t) =
2sen(3t), t  0, em que p denota a posição (em metros) da
Considerando o movimento de subida e descida do sistema
massa-mola, quantos metros, no total, a massa percorreu
em
7
segundos, após ter iniciado o movimento em t = 0?
3
a)
28.
b)
14.
c)
18.
d)
12
6 - (UFU) Sabendo-se que a intersecção entre um plano e
uma esfera S de raio 10cm é uma circunferência de raio
6cm, então, a distância do centro da esfera S até o plano é
igual a
a)8 cm.
b)4 cm.
c)5 cm.
d) 7 cm.
7 - (UFU) Um buffet, especializado em festas de crianças,
trabalha usualmente com guloseimas embaladas em cones
circulares de altura igual a 10 cm e raio da base de 5 cm.
Para atender uma encomenda especial, o buffet necessita
comprar novas embalagens de cones de guloseimas, com o
dobro do volume usual. O fornecedor desse material possui
embalagens com as seguintes medidas
Sabe-se que o custo de uma embalagem é determinado
pela quantidade de papel gasto com a lateral do cone, e o
buffet pretende minimizar esse custo. Supondo que a
compra das embalagens tenha atendido os quesitos de
volume e custo, qual embalagem o buffet adquiriu?
a)Embalagem I.
c)Embalagem IV.
b)Embalagem III.
d)Embalagem II.
16
8 - (UFU) Os ingaricós são indígenas que vivem no extremo
norte do Brasil. Admita que o cone da figura II representa,
na escala 1:5, a cobertura de uma moradia ingaricó (figura
I), feita de palha.
RESPOSTAS PROFESSOR OTÁVIO
AULA 01: 1D - 2B - 3C - 4B - 5C - 6A - 7D - 8E
AULA 02: 1C - 2 B - 3A - 4B – 5B - 6B - 7C - 8C
AULA 03: 1D - 2D - 3A - 4B - 5A - 6D - 7D - 8B
Usando informações contidas no texto e na figura, a área,
em metros quadrados, da cobertura de uma moradia
ingaricó é igual a
a)5 2
b)25 2
c)252 2
d)52 2
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
INTENSIVO UFU ABRIL 2016
RESPOSTA: EXERCÍCIOS DE SALA PROF(a) PATRÍCIA:
AULA 01 : 1C – 2A – 3D – 4C – 5D – 6C
AULA 02: 1A – 2A – 3D – 4D – 5A – 6C
AULA 03:1B – 2C– 3D – 4A – 5E
RESPOSTAS PROFESSOR PIMENTA
AULA 01 : 1C – 2D – 3C – 4A – 5A – 6A – 7D
AULA 02: 1C – 2B – 3A – 4C – 5C
AULA 03: 1E – 2A – 3D
AULA 04: 1B – 2A – 3D – 4B – 5B
RESPOSTAS PROFESSOR KLEBER
AULA 01 : 1D – 2A – 3A – 4C – 5E – 6C
AULA 02: 1D – 2D – 3C – 4C – 5B – 6D
AULA 03: 1B – 2D – 3C – 4D – 5C
AULA 04: 1C – 2A – 3C – 4D
AULA 05 : 1D – 2C – 3C – 4A – 5D – 6C
AULA 06 : 1D – 2A – 3C – 4C – 5A – 6D
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