Aula 1

Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Francisco Beltrão
Cálculo Diferencial Integral 1
Profª Sheila Regina Oro
AULA 1
1 NÚMEROS E OPERAÇÕES
1.1 Linguagem Matemática
1
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Cálculo Diferencial Integral 1
Profª Sheila Regina Oro
1.2 Conjuntos Numéricos
Chama-se conjunto o grupamento num todo de objetos, bem definidos e
discerníveis, de nossa percepção ou de nosso entendimento, chamados os
elementos do conjunto. (GEORG CANTOR)
Na Matemática definem-se e estudam-se conjuntos de números, de
pontos, de retas, de curvas, de funções, etc.
1.2.1 Números Racionais
a
Os números racionais são da forma b , sendo a e b inteiros e b ≠ 0.
Q=
{ ab ∣a,b∈ Z ,b≠ 0 }
Sendo Z o conjunto dos números inteiros:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Considerando N o conjunto dos números naturais:
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Observamos que N é subconjunto de Z, que, por sua vez, é subconjunto
de Q. Ou seja, todo número natural é também número inteiro, e todo inteiro é
também número racional.
Sejam
a
b
c
e d
operações:
a
dois racionais quaisquer. Definem-se as seguintes
c
i) igualdade: b = d ⇔ ad= bc
a
c
ad+bc
bd
a c ac
iii) multiplicação: b ⋅ d = bd
a
Na fração b , a é o numerador e b o denominador. Se a e b são primos
a
entre si, dizemos que b é uma fração irredutível.
2 13 6
Exemplo: São frações irredutíveis: 3 , 18 , 49 .
5 18 21
Mas 10 , 54 , 49 são redutíveis. Por quê?
ii) adição: b  d =
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a
Notemos que todo número racional b pode ser representado por um
número decimal. Na passagem da notação de fração para a decimal podem
ocorrer dois casos:
1º) o número decimal obtido tem uma quantidade finita de algarismos, isto
é, é uma decimal exata;
2º) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se
repetem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica.
3
Exemplo: São decimais exatos: 1 = 3 ;
1
São dízimas periódicas: 3 = 0,333 .. .;
1
= 0,5 ;
2
27
= 0,027
1000
2
= 0,285714285714 . . .
7
1.2.1.1 Propriedades
Sejam x, y, z números racionais quaisquer. A quádrupla (Q, +, . , ≤)
satisfaz as seguintes propriedades:
Associativa
(A1)  x+ y  + z= x+  y+ z 
(M1)  xy  z= x  yz 
Comutativa
(A2) x+y=y+x
(M2) xy= yx
Existência de elemento neutro
(A3) x+ 0 = x
(M3) x⋅1 = x
Existência de oposto
(A4) Para todo racional x existe um único y tal que x+y= 0 . Tal y
denomina-se oposto de x e indica-se por –x. Assim, x+ − x = 0 .
Existência de inverso
(M4) Para todo racional x ≠ 0 existe um único racional y tal que x⋅y= 1 .
1
Tal y denomina-se inverso de x e indica-se por x-1 ou x . Assim, x⋅x−1 =1 .
Distributiva da multiplicação em relação à adição
(D) x  y+ z  = xy+ xz
Reflexiva
(O1) x ≤ x
Anti-simétrica
(O2) x ≤ y e
y≤ x
⇒
x= y
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Transitiva
(O3) x ≤ y
e y≤ z ⇒ x≤ z
Quaisquer que sejam os racionais x e y
(O4) x ≤ y ou y ≤ x
Compatibilidade da ordem com a adição
(OA) x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y+ z
Isto é, somando-se a ambos os membros de uma desigualdade um
mesmo número, o sentido da desigualdade se mantém.
Compatibilidade da ordem com a multiplicação
(OM) x ≤ y e 0≤ z ⇒ xz ≤ yz
Ou seja, multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por
um mesmo número positivo, o sentido da desigualdade se mantém.
1.2.2 Números Irracionais
O conjunto I dos números Irracionais é formado por números que não
a
podem ser escritos em forma de fração b .
Exemplo:  2 , o número pi (π = 3,1415927...), o número de Euler (e =
2,7182818...).
1.2.3 Números Reais
O conjunto R dos números reais é a união do conjunto Q (dos números
racionais) com o conjunto I (dos números irracionais).
1.2.3.1 Propriedades
Os números reais possuem todas as propriedades já descritas dos
números racionais e também:
(P1) Somando-se membro a membro desigualdades de mesmo sentido,
obtém-se outra de mesmo sentido.
x≤ y
⇒ x+z≤ y+w
z≤w
 
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(P2) Lei do cancelamento
x+ z= y+ z ⇒ x= y
(P3) Multiplicando-se membro a membro desigualdades de mesmo
sentido e de números positivos, obtém-se desigualdade de mesmo sentido.
0≤x≤ y
⇒ xz≤ yw
0≤z≤w


(P4) Multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um
número negativo, o sentido da desigualdade muda.
z<0
⇒ xz>yz
x<y
 
(P5) Anulamento do produto
xy= 0 ⇔ x= 0 ou
y= 0
ATIVIDADE
1) Determine se o número real é racional ou irracional:
(a) 0,7
(b) –3678
(c) 3
(d) 3 64
(e) 0,81777...
1.2.3.2 Reta Real
Uma maneira prática de representar os números reais é através da reta
real.
Observe que essa representação começa com a escolha de um ponto
arbitrário, denominado origem ou ponto zero, e um outro ponto arbitrário a sua
direita, o ponto 1. A distância entre esses pontos (distância unitária) serve como
escala por meio da qual é possível associar pontos da reta a números inteiros
positivos ou negativos, como ilustrado na figura a seguir, e também a números
racionais. Todos os números positivos estão à direta do zero, no “sentido
positivo”, e todos os números negativos estão à sua esquerda.
Porém, não a preenchem completamente, isto é, há pontos da reta que
não representam racional algum. Por exemplo, entre 1,41 e 1,42 fica um ponto
que representa  2=1,414215 . .. que é irracional.
Quando representamos numa reta os números racionais e os irracionais,
cada ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional
ou irracional, portanto real, isto é, os reais preenchem completamente a reta.
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Esta reta, que representa R, é chamada reta real ou reta numérica.
Na reta real os números estão ordenados. Um número a é menor que
qualquer número x colocado à sua direita e maior que qualquer número x à sua
esquerda.
1.2.3.3 Intervalos
Um conjunto de números reais pode ser representado em notação de
intervalo.
Intervalo aberto de a até b , denotado por  a,b  , é o conjunto de
todos os números reais x , tais que a< x< b . Os pontos extremos não
pertencem ao intervalo.
(
      
)
a
b
Intervalo fechado de a até b , representado por [ a,b ] é o conjunto de
números reais x , tais que a ≤ x ≤ b . Os extremos a e b pertencem ao
intervalo.
[
      
a
]
b
Intervalo aberto à direita, de a até b , representado por [ a, b  é o
conjunto de números reais x , tal que a ≤ x< b . Neste caso a pertence ao
intervalo, mas b não pertence.
[
      
a
)
b
Intervalo aberto à esquerda  a, b ] , b pertence ao intervalo, mas a
não pertence ao intervalo.
(
a
      
]
b
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Existem também os intervalos não limitados representados pelos
símbolos ∞ e −∞ (infinito). No extremo em que é utilizado ∞ ou −∞ , o
intervalo é sempre aberto. São eles:
a) Aberto de a até ∞ , representado por  a ,+ ∞  é o conjunto de todos os
números reais x tal que x>a .
(
+
a
a  ao intervalo
b) Aberto de −∞ até a , representado por  −∞ ,a  é o conjunto dos números
reais x tal que x<a .
)
-
a  ao intervalo
a
c) Fechado de a até ∞ , representado por [ a ,+ ∞ 
os números reais x , tais que x ≥ a .
é o conjunto de todos
a  ao intervalo
[
a
+
d) Fechado de −∞ até a , − ∞ ,a ] , x ≤ a .
]
a  ao intervalo
a
-
O intervalo −∞ , ∞  é o conjunto dos números reais R.
1.2.3.4 Desigualdade
Desigualdade é uma expressão que estabelece uma relação de ordem
entre dois elementos.
Nos números reais, esta relação é representada pelos símbolos <, ≤, >, ≥,
significando, menor, menor ou igual, maior, maior ou igual, respectivamente. De
forma mais geral, também podem ser incluídas nas desigualdades expressões
contendo a relação de diferença (≠).
Exemplo: Resolva a inequação 5x  3 2x 7
5x  3 2x 7
{
3x  4
⇔
4
Assim, x∈ R∣x< 3
⇔
x<
4
3
} é o conjunto das soluções da inequação dada.
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x+ 3
Exemplo: Estude o sinal de x−2 .
Para x + 3, temos:
- - - - - 0 + + + + + + +
-3
- - - - - - - - - 0 + + +
Para x – 2, temos:
2
Assim, temos:
x+ 3
Para x < -3, x + 3 < 0 e x – 2 < 0, logo x− 2 0 .
x+ 3
Para -3 < x < 2, x + 3 > 0 e x – 2 < 0, logo x −2  0 .
x+ 3
Para x > 2, x + 3 > 0 e x -2 > 0, logo x− 2 0 .
x+ 3
Para x = -3, x − 2 = 0 .
x+ 3
Para x = 2, x −2 não está definida (não existe).
+++++++ 0 -------------- ∄ +++++++++++
-3
2
Conclusão:
x+ 3
0 para x < -3 ou x > 2
x −2
x+ 3
0 para -3 < x < 2
x −2
x+ 3
= 0 para x = -3
x−2
ATIVIDADES
2) Determine qual o valor de x que verifica a desigualdade: 5x – 12 > 0
(a) x = 3
(b) x = -3
(c) x = 2,2
(d) x = 1,5
(e) 0
3) Resolva as desigualdades e esboce o gráfico da solução na reta real:
(a) x – 5 ≤ 7
(b) 0 ≤ x + 3 < 5
x
x
(c) 2 − 3  5
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4) A receita da venda de x unidades de um produto é R = 115,95x, e o custo da
produção de x unidades é C = 95x + 750. Para que haja lucro, a receita de
vendas há de ser maior do que o custo. Para que valores de x este produto
dará lucro?
1.2.3.5 Módulo
Seja x um número real, definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por:
x ⇒ x≥0
∣x∣=
−x ⇒ x< 0
De acordo com a definição, o módulo de um número real é sempre
positivo.
Geometricamente, o módulo de um número representa a distância deste
número até zero.
{
Exemplo: |0| = 0
}
|-7| = |7|=7
Propriedades: Para todo x real:
i) |x2| = x2
ii)
 x 2=∣x ∣
iii) Suponha a > 0. |x| = a ⇔
x = a ou x = -a.
iv) Suponha r > 0. |x| < r
-r < x < r.
⇔
v) Suponha r > 0. |x – p| < r ⇔ p – r < x < p + r
Isto é, a distância de x a p é estritamente menor que r se, e somente se, x
estiver estritamente compreendido entre p – r e p + r.
vi) Suponha y real. |xy| = |x||y|.
Isto é, o módulo de um produto é igual ao produto dos módulos dos
fatores.
Exemplo: Resolva a inequação |x| < 3.
|x| < 3 ⇔ -3 < x < 3
Atenção: Em geral:
|a+b| ≠ |a|+|b|
|a-b| ≠ |a|-|b|
|a+b|² ≠ |a|²+|b|²+2|a||b|
Desigualdades Importantes: Para quaisquer números reais a e b, tem-se que:
|a+b|<|a|+|b|
|a-b|<|a|+|b|
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|a|-|b|<|a-b|
||a|-|b||<|a-b|
ATIVIDADES
5) Resolva a desigualdade e esboce o gráfico da solução na reta real.
x−3
b) ∣ 2 ∣≥ 5
a) |x| < 5
c) |9 - 2x| < 1
6) Represente na reta real os intervalos:
a) [-2, 2]
c) (-3, 3)
c) [4, ∞)
7) Para testar se uma moeda é equilibrada, um pesquisador lança-a 100 vezes
e anota o número x de caras. A teoria estatística afirma que a moeda deve ser
x −50
considerada não equilibrada se ∣ 5 ∣≥1,645 . A partir de qual número de
caras a moeda é considerada não equilibrada?
1.2.3.6 Potenciação
Sejam a e b números reais e m, n números naturais, então são válidas as
seguintes propriedades:
Propriedades
a m a n =am+n
am m−n
=a
, sempre que
an
Exemplo
15 −1
3 3 =3
15−1
=3
14
5−3 −32 −1 1 1
=5
=5 = 1 =
5−2
5 5
a≠0
n
n
 ab  =a b

n
n
n
a
a
= n
b
b
 a m n =a m .n
a−n =
1
n
a
2
2 2
3x  =3 x =9x
2
3
5
53
= 3
2
2

 4 2 −1 =4 2−1 = 4−2 =
2−1=
1
1
=
2 16
4
1
1
2
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n
a
m
=a

a =
b
m
n
 2=2
 36 =
4
a
b

1
2
36
= 9=±3
4
 4 16= 64=±8
 a  b= ab
2
  a m =   a m 
  4  3 =   4 3 =  6 4 = ± 8
Se a m =an então m= n
73 =7 x então x=3
n
n
2
Observação: a 0=1 , para todo a ≠ 0 .
ATIVIDADES
8) Reduza a uma só potência:
a) 6.6 9
b) 7.7 0
c)7 2 .7 3 .7 5
d) 12 4 12 3
e) 8 9 (8.8 6 )
f) (3 4 ) 2
2
3
  
21
21
h) −  ¸ − 
4
4
5
i) [  ]
4
13
g) −
21
´ −
−2
13
21
−5
−2 −3
j) [(0,03)5 ] -2
2 3 2
3 2 3
9) Simplifique as equações supondo ab ≠ 0 :a)  a b   a b 
4 2 3
a b 
b)
 ab 2 2
3 2 2
c) [  a b  ]
2 3 4
3 4 2
a b  a b 
d)
 a 3 b 2 3
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e)
2  ab +a  b +b  a
 ab
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. 5 ed. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos Científicos, 2001.
LEITHOLD, L. Cálculo com Geometria Analítica. 3 ed. Vol. I. São Paulo:
Harbra, 1994.
Lista de Sites
Matemática Essencial: Disponível em
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/superior.htm (acesso em
fevereiro/2016).
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