Lista de Exerc´ıcios 4

Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matemática
MTM122 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Lista de Exercı́cios 41
1. Seja f (x) = x3 + 6x + 1.
Z
(a) Encontre a primitiva de f (x), F (x) =
f (x)dx.
(b) Determine a constante de integração, sabendo que F (2) = 16.
Respostas: (a) F (x) =
x4
+ 3x2 + x + C; (b) C = −2
4
2. Justifique as afirmativas:
Z
a
Z
a
f (x) dx = 2
(a) Se f (x) é par então
−a
f (x) dx.
0
Z
a
(b) Se f (x) é ı́mpar então
f (x) dx = 0.
−a
Z
(c) Se f (x) é uma constante e
π
f (x) dx = 0 então f (x) = 0.
0
3. Calcule a derivadas das funções:
Zx
(a) f (x) =
Z
3/2
t
dt
cos(x)
(c) h (x) =
Z
t2
e dt
Z
arctg(t)dt
−2x
0
2
(b) g (x) =
3x+2
(e) g(x) =
2
sen
Z (x)
x2
t3 dt
1
Z
(f) f (x) =
2
(d) h (x) =
ln(t)dt
− cos2 (x)
x
Respostas: (a) f 0 (x) = x3/2 ; (b) g 0 (x) = 2x7 ; (c) h0 (x) = − sen(x)ecos
(e) g 0 (x) = 2 arctg(−2x) + 3 arctg(3x + 2); (f) f 0 (x) = 0
ln | cos(π ln(e−1 ))|dt
2
(x)
; (d) h0 (x) = − ln(x);
4. Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área:
(a) y = x2 − 6x, y = 0, x = 0 e x = 4.
(d) y = cos(x), y = sen(x), x = 0 e x =
(b) y = x2 e y = −x2 + 4x.
(e) y = 1/x, y = 2 e x = 1.
2
(c) y = 2x − 2 e y = x − 5
π
.
2
(f) x = 1 − y 2 , x = 5 − 5y 2 .
√
16
80
8
; (b) ; (c) 18; (d) 2( 2 − 1); (e) 1 − ln(2); (f)
3
3
3
Z a
Z a
1
1
5. Se a > 0 calcule o a integral
dx.
Encontre
o
limite
lim
dx
. Interprete geometricamente o
n
n
n→+∞
1 x
0 x
resultado que você obteve.
a1−n − 1
Respostas: ln(a), se n = 1 e
, se n 6= 1; 0 se a > 1 e +∞ se 0 < a < 1
1−n
Respostas: (a)
1
Esta lista foi elaborada em parceria com a professora Monique Rafaella Anunciação de Oliveira - DEMAT/UFOP
6. Fixe b > 0 e para cada b considere a função fb (x) = b−2 e−b b2 − x2 . Esboce o gráfico de f (x) para diferentes
valores de b. Para quais valores de b a área da região delimitada pelo gráfico fb (x) e o eixo x é máxima?
Resposta: b = 1
Z xx
7. Se
f (t) dt = e2x encontre f (ee ).
1
Resposta: f (ee ) = ee
8. Resolva as seguintes integrais e diga qual a diferença entre elas:
Z
Z
2
2
(a)
v(v + 2) dv.
(b)
v(v 2 + 2)2 dx.
9. Calcule as integrais a seguir:
Z
(a)
(2x2 + 2x − 3)10 (2x + 1)dx.
Z
1
(b)
(x3 − 2) 7 x2 dx.
Z p
(c)
x x2 + a2 dx, a ∈ R.
Z
(d)
1
ex − 2
dx.
x2
Z
(e)
(sen(4x) + cos(5x))dx.
Z
(f)
e
Z
(g)
cos(x)
sen(x)dx.
arcsen(x)
√
dx.
2 1 − x2
Z
Z
2
dx.
x ln2 (2x)
Z
√
(i)
x2 1 + xdx.
Z
dv
√
√ .
(j)
v(1 + v)5
Z
(k)
cotg(x)dx.
Z
arctg(x)
(l)
dx.
1 + x2
√
Z
cos( x)
√
(m)
dx.
x
Z
(n)
x2 [sen(3x3 ) − x2 ]dx.
(o)
(h)
Z
√
ex 1 − ex dx.
Z
[ln(x)]2
dx.
x
(p)
(q)
Z
(r)
Z
(s)
Z
(t)
8
[1 + tg(θ)]5 sec2 (θ)dθ.
ey
p
(2 + ey )3 dy.
√
x2
dx.
1−x
(x2 − x−2 )dx.
1
(2x2 + 2x − 3)11
7(x3 − 2) 7
(x2 + a2 )3/2
2
+ C; (b)
+ C; (c)
+ C; (d) − e x + C;
22
24
3
x
arcsen2 (x)
−2
sen(5x) cos(4x)
−
+ C; (f) −ecos(x) + C; (g)
+ C; (h)
+ C;
(e)
5
4
4
ln(2x)
2
4
2
−1
arctg2 (x)
√ 4 + C; (k) ln | sen(x)| + C; (l)
(i) (1 + x)7/2 − (1 + x)5/2 + (1 + x)3/2 + C; (j)
+ C;
7
5
3
2
2(1 + v)
√
cos(3x3 ) x5
(1 + tg(θ))6
2(1 − ex )3/2
(ln(x))3
(m) 2 sen( x) + C; (n) −
−
+ C; (o)
+ C; (p) −
+ C; (q)
+ C;
9
5
6
3
3
y 5/2
3
√
2(1 + e )
4
2
x
1
(r)
+ C; (s) (1 − x)3/2 − 2 1 − x − (1 − x)5/2 + C; (t)
+ +C
5
3
5
3
x
Respostas: (a)
10. Seja g(θ) =
sen(θ)
.
(5 − cos(θ))4
Z
(a) Encontre a primitiva de g(θ), G(θ) =
g(θ)dθ.
(b) Determine a constante de integração, sabendo que G
Respostas: (a) G(θ) =
π
3
=
727
.
729
1
2189
+ C; (b) C =
3(cos(θ) − 5)3
2187
3
11. Seja h(t) = (1 + e−2t ) 2 e−2t .
Z
(a) Encontre a primitiva de h(t), H(t) =
h(t)dt.
(b) Determine a constante de integração, sabendo que H
Respostas: (a) H(t) = −
12. Calcule as integrais:
(1 + e−2t )5/2
3
+ C; (b) C = −
5
5
ln
√ !!
3
= −7.
3
Z
Z
π/2
(a)
sen (x) cos(x)dx.
π/4
Z
sec2 (t)dt.
(b)
(e)
|x − 2| dx
(c)
0
Z
x2 ex dx
1
x
dx
x+1
π/4
(h)
(cos2 t + sec2 t)dt
0
(2x − 1)
(f)
(g)
3
−1
Z 2
−π/4
Z 6
Z
cos (2x) dx
−π
1
0
Z
π
(d)
3
p
x2 − x + πdx
−1
−4
1
e2 − 1
π + 10
; (b) 2; (c) 26; (d) 0; (e)
; (f) 0; (g) 1 − ln(2); (h)
4
3e
8
Z
Z
13. Mostre que
f (x)dx = xf (x) − xf 0 (x)dx.
Respostas: (a)
14. Calcule as integrais:
Z
(a)
Z
2
x ln(x)dx.
(e)
θ sen(θ)dθ.
(f)
Z
(b)
(c)
xe
Z
(d)
ln(5x − 3)dx.
Z
Z
−x
Z
x
Z
dx.
(l)
(x2 + 1)e−x dx.
Z
(m)
2
2[ln(x)] dx.
Z
re dr.
e
(j)
(g)
2r
(i)
y 2 ln(6y 3 − 2)dy.
Z
dx.
√
Z
Z
x
(h)
x2 dx.
(k)
ln(x)
dx.
x2
Z
(n)
√
r3
dr.
4 + r2
1
dx.
1 + x2
x ln[(7 + x)2 ]dx.
x3
1
e2r
1
[ln(x) − ] + C; (b) sen(θ) − θ cos(θ) + C; (c) −e−x (x + 1) + C; (d)
(r − ) + C;
3
3
2
2
5x − 3
3y 3 − 1
(e)
[ln(5x − 3) − 1] + C; (f)
[ln(6y 3 − 2) − 1] + C; (g) 2x [ln(x)]2 + 2[ln(x) − 1] + C;
5
9
√ √
1
1
2x
x
[x −
] + C; (i) 2e ( x − 1) + C; (j) −e−x (x2 + 2x + 3) + C; (k) − [ln(x) + 1] + C;
(h)
ln(2)
ln(2)
x
√
4 + r2 2
7+x
(l)
(r − 8) + C; (m) arctg(x) + C; (n) (x2 − 7) ln(7 + x) −
(x − 21) + C
3
2
Respostas: (a)
15. Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área:
(a) y = ln(x), x = 1, x = e e o eixo x.
1
√ , x = 0, x = 1 e o eixo x.
1+ 3x
(c) y =
(b) y = ex , y = e−x , x = 0 e x = 3 ln(2).
Respostas: (a) 1; (b)
1
49
; (c) 3 ln(2) −
8
2
16. Se f (0) = g(0) = 0 e f 00 e g 00 são contı́nuas em [0, a], mostre que
Z a
Z
00
0
0
f (x)g (x)dx = f (a)g (a) − f (a)g(a) +
0
a
f 00 (x)g(x)dx
0
17. Se f é contı́nua em [a, b], mostre que
b
Z
Z
f (x)dx = bf (b) − af (a) −
a
18. Se f (2) = 6, f (5) = 1, f 0 (2) = −3 e f 0 (5) = −1, calcule
b
xf 0 (x)dx
a
Z
5
xf 00 (x)dx.
2
Resposta: 6
19. Seja f uma função cuja derivada segunda é contı́nua em [−1, 1]. Mostre que
Z
1
−1
20. Calcule as integrais:
xf 00 (x)dx = f 0 (1) + f 0 (−1) − f (1) + f (−1)
Z
π/8
5
(a)
7
tg (2x) sec (2x)dx.
Z
sec (t) tg(t)dt.
π/4
tg5 (x) sec6 (x)dx.
0
p
sen (x) cos(x)dx.
(i)
Z
dt
.
cos(2t) − 1
(j)
(f)
π
cos3 (2τ )dτ .
(c)
Z
(g)
tg (5y) dy.
Z
Z
(e)
π/3
(b)
Z
(h)
4
(d)
0
Z
Z
π/3
3
Z
sec2 (4θ)dθ.
sec3 (θ)dθ.
cos3 (x) sen (2x) dx.
−π
√
4(43 2 − 1)
981
2
2
cotg(t)
Respostas: (a)
; (b)
; (c) 0; (d) 3; (e) − [cos(x)]3/2 + [cos(x)]7/2 + C; (f)
+ C;
693
20
3
7
2
5
2 cos (x)
ln | cos(5y)|
tg(4θ)
1
+ C; (h) −
+ C; (i)
+ C; (j) [sec(θ) tg(θ) + ln | sec(θ) + tg(θ)|] + C
(g) −
5
5
4
2
21. Faça o esboço da região delimitada pelas curvas e calcule a sua área:
(a) y = cos(x), y = cos3 (x), x = 0 e x = π/2.
(b) y = cos(x), y = 2 cos2 (x), x = 0 e x = π/2.
√
π
3
1
Respostas: (a) A = ; (b) A = 1 − −
3
6
2
22. Calcule as integrais:
Z √
√
Z
3
2
(a)
x3
(e)
dx.
3/2
(4x2 + 9)
√
x2 − 9
dx.
(b)
x4
3
Z 2
1
√
(c) √
dt.
3
t2 − 1
2 t
Z 1 p
(d)
x 1 − x4 dx.
0
Z
1 + x2
dx.
x
Z 2x
1
√
(f)
+ √
2
2
3 − 2x − x
x x2 + 16
Z √
16 − x2
(g)
dx.
x2
Z
cos(t)
p
(h)
dt.
1 + sen2 (t)
5
−1
dx.
√
√
p
p
7 3 − 12
64
3 3−6+π
Respostas: (a)
; (b)
; (c)
; (d) 0; (e) 1 + x2 − ln( 1 + x2 + 1) + ln |x| + C;
32
3375
√ 24
√
p
x+1
x2 + 16
16 − x2 + x arcsen(x/4)
2
(f) −2( 3 − 2x − x + arcsen(
)) −
; (g) −
+ C;
2
16x
x
p
(h) ln | 1 + sen2 (t) + sen(t)| + C
y2
x2
+
= 1 e pelas retas y = 0 e x = 0, onde x ≥ 0 e y ≥ 0, e
23. Faça o esboço da região delimitada pela elipse
16
4
calcule a sua área.
Respostas: A = 2π
24. Usando substituição trigonométrica, vefique que:
Z
p
dx
√
= ln x + x2 + 16 + C
2
x + 16
25. (a) Encontre a área da região limitada pela hipérbole 9x2 − 4y 2 = 36 e a reta x = 3.
(b) Encontre a área da região limitada pela hipérbole 9x2 − 4y 2 = 36 e a reta x = −3, e compare com o valor
obtido no item anterior.
" √
" √
√ !#
√ !#
3+ 5
3 5
−3 + 5
3 5
− ln
; (b) 6
+ ln
Respostas: (a) 6
4
2
4
2
26. Calcule as integrais:
Z
(a)
x−1
dx.
x3 + x
Z
(b)
x4
dx.
4
x −1
Z
(c)
(t2
t4 + t2 + 1
dt.
+ 1)(t2 + 4)2
Z
dr
.
r4 − r2
Z
5η − 5
(e)
dη.
2
3η − 8η − 3
(d)
Z
dx
√ .
x− 3x
Z
e2t
(g)
dt.
2t
e + 3et + 2
(f)
√
Z
(h)
1
2
8x3
x
dx.
− 12x2 + 6x − 1
ln(x2 + 1)
1
− ln |x| + arctg(x) + C; (b) [4x + ln |1 − x| − ln |x + 1| − 2 arctg(x)] + C;
2
4
1
78t
t
1 ln |1 − r| ln |r + 1|
2 ln |3η + 1|
(c)
[−
+25 arctg( )+16 arctg(t)]+C; (d) +
−
+C; (e) ln |3−η|+
+C;
144 t2 + 4
2
r
2
2
3
√
√
√
√
5
(f) 2 x + 3 3 x + 6 6 x + 6 ln |1 − 6 x| + C; (g) 2 ln(et + 2) − ln(et + 1) + C; (h)
18
Z
dx
27. Encontre
.
x2 − a2
1
Resposta:
[ln |x − a| − ln |x + a|] + C
2a
Respostas: 1. (a)
28. Calcule a área da região indicada abaixo:
−1
, y = 0, x = 1 e x = 4.
x2 (x − 5)
1
, x = −2, x = 2 e o eixo x.
(b) Região limitada por y = 2
(x + 3)2
!
√
√
3
3 2π
2 ln(4)
3
Respostas: (a) A =
+ ; (b) A =
−
25
20
18
2
3
(a) Região limitada por y =