Colecc¸ ˜ao de Problemas de An´alise de Circuitos

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Colecção de Problemas
de Análise de Circuitos
Teresa Mendes de Almeida
[email protected]
IST - DEEC - Área Cientı́fica de Electrónica
RE
RB
VA
ID
RP
VB
βVB
Edição Revista e Actualizada
12 de Setembro de 2012
VC
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
c Teresa Mendes de Almeida
Copyright ⃝
Setembro de 2012
DE
C IRCUITOS
Apresentação
Introdução
Esta colectânea de problemas destina-se a ser utilizada na unidade curricular A N ÁLISE DE C IRCUI TOS , do Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica do Instituto Superior Técnico, no primeiro
semestre do ano lectivo 2012/2013. Embora alguns dos problemas possam vir a ser resolvidos nas
aulas práticas, a presente colecção de exercı́cios e problemas destina-se, fundamentalmente, ao estudo
autónomo do aluno.
A colecção de problemas está organizada em nove capı́tulos de acordo com a sequência da matéria
leccionada. É de notar que os exercı́cios e problemas apresentados em capı́tulos subsequentes incluem
conceitos correspondentes à matéria leccionada em capı́tulos anteriores. O número de exercı́cios e de
problemas em cada capı́tulo é variável, de acordo com as caracterı́sticas especı́ficas da matéria.
Os problemas da colecção estão divididos em dois grupos, que compreendem dois tipos de resoluções diferentes. Os exercı́cios de escolha múltipla são designados, em sentido estrito, E XERC ÍCIOS.
Pressupõem uma resolução breve, ou seja, a resposta apenas requer alguns cálculos de realização
rápida. O segundo tipo de problemas (agrupados nas secções designadas P ROBLEMAS) pode requerer a apresentação de cálculos justificativos da sua resolução, o dimensionamento de valores de
componentes, ou ainda a apresentação de esquemas eléctricos ou outro tipo de gráficos. No final
de cada capı́tulo são apresentadas as soluções numéricas dos problemas, a fim de que o aluno possa
validar a sua resolução (note-se que não são apresentados esquemas eléctricos, gráficos, etc.). Embora, em cada capı́tulo, os exercı́cios de escolha múltipla antecedam os problemas, isso não significa
que o aluno só deva resolver os problemas após ter resolvido todos os exercı́cios. Os exercı́cios e
os problemas devem ir sendo resolvidos a par, de acordo com a sequência da matéria ao longo do
semestre.
A resolução atempada e cuidada dos exercı́cios e problemas permite consolidar a matéria aprendida
e, simultaneamente, obter um elemento de estudo pessoal muito útil para a preparação dos testes
e dos exames. Muitos dos problemas podem ser resolvidos de várias formas, por isso, a troca de
informação com um ou dois colegas pode também resultar proveitosa na comparação das resoluções.
O esclarecimento das dúvidas que possam surgir, feito nos horários de dúvidas ao longo do semestre,
permite um melhor desempenho e uma maior eficácia no estudo autónomo do aluno.
i
ii
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Sobre os Sı́mbolos
Na figura 1 estão representados os sı́mbolos dos componentes que são utilizados nos circuitos eléctricos dos exercı́cios e problemas da colectânea.
resistência
bobine
condensador
componente
não
especificado
Fonte de
tensão
(regulável)
Gerador de
tensão
Gerador de
tensão
sinusoidal
Gerador ou
fonte de
corrente
Gerador ou
fonte de
tensão
dependente
Gerador ou
fonte de
corrente
dependente
Díodo
Amplificador
Operacional
Figura 1: Sı́mbolos dos componentes utilizados nos esquemas eléctricos.
Sobre a Notação
Existem várias possibilidades de escolha para as notações a serem consideradas na análise de circuitos
eléctricos. Por exemplo, pode considerar-se a utilização das letras i ou j para a representação da
intensidade da corrente eléctrica, ou as letras v ou u, para representar a tensão, a qual pode estar
indicada num esquema eléctrico através dos sinais ± ou através de uma seta. Diferentes livros podem,
assim, apresentar diferentes notações que não são incoerentes entre si, apenas são diferentes.
A notação considerada nesta colecção de problemas é utilizada num número significativo de livros
habitualmente recomendados como bibliografia sobre análise de circuitos e electrónica. São de seguida realçados alguns aspectos da notação usada, quer nos enunciados e esquemas eléctricos, quer
nas soluções apresentadas. Deve ser dada especial atenção à utilização da convenção passiva na
interpretação da potência posta em jogo em todos os componentes de um circuito a funcionar em
regime estacionário.
• A letra I (ou i) e uma seta representam a intensidade da corrente eléctrica e o seu sentido de
referência, enquanto a letra V (ou v) e os sinais ± são usados para a tensão.
• Para a unidade imaginária é utilizada a letra j, tal que j 2 = −1.
Apresentação
iii
• Os fasores (amplitudes complexas) correspondentes a sinais sinusoidais são representados com
um traço horizontal (por exemplo, V s ou I c ). A impedância ou a admitância, apesar de serem
números complexos, não têm traço horizontal na notação utilizada (por exemplo, Z3 = R+jωL
ou YC = jωC).
[
]
10 j22
• As matrizes são representadas a negrito, por exemplo, Z =
.
−j10 1
• Na indexação das grandezas, por vezes, são utilizados ı́ndices correspondentes à lı́ngua inglesa.
Por exemplo, ISC significa corrente de curto-circuito (short-circuit), vOU T corresponde a tensão
de saı́da (output) e Ri a uma resistência de entrada (input).
• É utilizada a convenção passiva na interpretação da potência posta em jogo em todos os componentes de um circuito, isto é, o método de cálculo e interpretação da potência baseia-se no
pressuposto de que os componentes têm um comportamento do
∑ tipo passivo. Este facto traduzse numa equação de balanço energético do circuito na forma k Pk = 0.
Assim, no caso de um qualquer componente (ver a figura 2(a)), de um circuito em regime estacionário, o sinal algébrico da potência posta em jogo no componente deve ser interpretado
como P = V I > 0 ⇔ energia recebida pelo componente e P = V I < 0 ⇔ energia fornecida
pelo componente. Tal como ilustrado na figura 2(a), o sentido da corrente e a polaridade da
tensão obedecem à convenção passiva do sinal. Note-se que a conclusão sobre o facto de um
componente estar a fornecer ou a receber energia do circuito é independente dos possı́veis sentidos/polaridades de referência que tenham sido considerados para as correntes/tensões (comparar as figuras 2(b) e 2(c) com a figura 2(a)).
IA
IB
V
VA
VB
(a) P = V I
(b) P = VA IA
(c) P = −VB IB
I
Figura 2: Utilização da convenção passiva na interpretação do sinal algébrico da potência.
Finalmente, é ainda de referir que, quer nos enunciados, quer nas soluções dos problemas, o ponto
decimal é representado por um ponto, e não por uma vı́rgula. Por exemplo, R2 = 15.2 Ω em vez de
R2 = 15,2 Ω.
Sobre a Errata
Note-se que esta terceira edição da colecção de problemas, revista e actualizada, pode eventualmente
ainda conter algumas gralhas tipográficas que não tenham sido detectadas. Todas as gralhas que forem
detectadas serão coligidas e será publicada uma E RRATA na página de A N ÁLISE DE C IRCUITOS.
Por esta razão, a página deve ser consultada com alguma regularidade ao longo do semestre para
descarregar a errata actualizada.
iv
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Conteúdo
1
2
3
4
5
6
Conceitos Básicos em Análise de Circuitos
1
1.1
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Soluções dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Análise de Circuitos Resistivos
9
2.1
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Soluções dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Métodos Expeditos de Análise de Circuitos
17
3.1
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.2
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.3
Soluções dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Métodos Sistemáticos de Análise de Circuitos
29
4.1
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3
Soluções dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Análise de Circuitos Dinâmicos no Domı́nio do Tempo
41
5.1
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.2
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
5.3
Soluções dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal
51
6.1
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.2
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
v
vi
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6.3
7
8
9
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Soluções dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Análise de Circuitos com Vários Terminais
61
7.1
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
7.2
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
7.3
Soluções dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Análise de Circuitos com Amplificadores Operacionais
69
8.1
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
8.2
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
8.3
Soluções dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Análise de Circuitos com Dı́odos
79
9.1
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
9.2
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
9.3
Soluções dos Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Capı́tulo 1
Conceitos Básicos em Análise de Circuitos
1.1
Exercı́cios
Exercı́cio 1.1
Escolha a afirmação verdadeira.
a) 5 V × 2 mS = 10 mA.
b) 3 kΩ =
c) 3.6 kJ = 1 h × 1 mW.
30 mA
.
10 V
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 1.2
Sabendo que a carga de um electrão é −1.6 × 10−19 C, escolha a afirmação correcta quando se considera uma corrente eléctrica constante com intensidade 2 mA.
a) Se o sentido da corrente for da esquerda para c) Se for contabilizado o fluxo de electrões dua direita, isso corresponde ao movimento de
rante ∆t = 8 s, pode dizer-se que há o movielectrões da esquerda para a direita.
mento de 1017 electrões.
b) Há uma carga de 2 mC posta em jogo, quando d) Nenhuma das anteriores.
se avalia o fluxo de carga durante uma hora.
Exercı́cio 1.3
Considere uma bateria de 12 V com uma capacidade 30 A h ligada a uma lâmpada de resistência R.
Escolha a afirmação verdadeira admitindo que a corrente que percorre a lâmpada é constante ao longo
do tempo (nota: 1 A h = 1 A × 1 h).
a) Se R = 3 Ω, a lâmpada apaga-se ao fim de 40 h.
b) A lâmpada permanece acesa durante 15 h se a sua resistência for R = 6 Ω.
1
2
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c) A lâmpada apaga-se ao fim de 0.5 h se a resistência for R = 12 Ω.
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 1.4
Escolha a afirmação aplicável ao circuito da figura E1.4, sabendo que R = 10 Ω e VX = 32 V.
a) IX = −320 A.
R
b) IX = 32 A.
IX
c) IX = 3.2 A.
d) Nenhuma das anteriores.
VX
Figura E1.4
Exercı́cio 1.5
Considere o circuito da figura E1.5 e escolha a afirmação verdadeira.
a) VF = +36 V.
VF
b) VF = −36 V.
2µA
18kΩ
c) VF = −9 V.
Figura E1.5
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 1.6
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E1.5.
a) A fonte de tensão recebe energia do circuito.
c) A energia dissipada na resistência é 72 kJ.
b) A resistência recebe energia do circuito.
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 1.7
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E1.7.
a) R = −3 Ω.
b) G = −1/3 S.
2A
R
c) R = 1/3 Ω.
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E1.7
6V
C AP. 1 – Conceitos Básicos em Análise de Circuitos
3
Exercı́cio 1.8
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E1.7.
a) A resistência fornece energia ao circuito.
c) A potência posta em jogo na fonte de tensão é
P = +12 W.
b) A potência posta em jogo na fonte de tensão é
d) Nenhuma das anteriores.
P = −12 W.
Exercı́cio 1.9
Considere o circuito da figura E1.9 e escolha a afirmação verdadeira sabendo que os sı́mbolos V e A
no circuito representam, respectivamente, um voltı́metro e um amperı́metro ideais.
a) V1 = 5 V e IA = 1 A.
b) V2 = −10 V e IA = 1 A.
c) V1 = −5 V e IA = 1.5 A.
d) Nenhuma das anteriores.
15V
V
V1
10Ω
5Ω
V2
A
IA
Figura E1.9
Exercı́cio 1.10
Considere uma bobine ideal caracterizada por L = 2 mH e percorrida por uma corrente iL (t) em
ampere. Escolha a afirmação verdadeira.
diL (t)
.
dt
dvL (t)
b) iL (t) = L
.
dt
a) pL (t) = L
c) A energia armazenada na bobine no instante
de tempo tk é: i2L (tk ) mW.
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 1.11
Considere os três sinais representados na figura E1.11. Admitindo que podem representar as formas
de onda da tensão ou da corrente numa resistência, bobine ou condensador, escolha a afirmação
verdadeira.
a) Numa bobine s1 (t) pode ser a corrente e s2 (t) c) Numa resistência s1 (t) pode ser a tensão e
pode ser a tensão.
s3 (t) pode ser a potência dissipada.
b) Num condensador s2 (t) pode ser a tensão e d) Nenhuma das anteriores.
s3 (t) pode ser a corrente.
4
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s1(t)
0
t0
t1
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s3(t)
s2(t)
t2
t3
t0
t1
t2
t3
t0
t1
t2
t3
Figura E1.11
Exercı́cio 1.12
Considere o circuito da figura E1.12 e escolha o valor correcto para a corrente que percorre a resistência.
a) IR = 2 mA.
IR
2mA
b) IR = −7 mA.
10V
2kΩ
c) IR = 3 mA.
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E1.12
Exercı́cio 1.13
Escolha a afirmação correcta para o circuito da figura E1.13, considerando que se utiliza o teorema
da sobreposição para calcular IF .
a) IF = −2 + 1.5 = −0.5 A.
1Ω
b) IF = −8 + 0 = −8 A.
c) IF = −4 + 3 = −1 A.
d) Nenhuma das anteriores.
1.2
3A
IF
1Ω
4V
Figura E1.13
Problemas
Problema 1.1
Considere uma corrente eléctrica constante com uma intensidade de 10 mA, que atravessa a secção
de um condutor de um circuito eléctrico durante 5 minutos.
a) Qual a quantidade de carga transferida?
b) Admitindo que a corrente tem sentido de referência da esquerda para a direita, quantos electrões
estão em movimento e qual o sentido real do seu movimento?
C AP. 1 – Conceitos Básicos em Análise de Circuitos
5
Problema 1.2
Uma lâmpada incandescente está ligada a uma bateria de 6 V que fornece energia correspondente a
uma potência de 15 W.
a) Qual a potência dissipada na lâmpada?
c) Qual a resistência da lâmpada?
b) Qual a corrente que percorre a lâmpada?
Problema 1.3
Um circuito é alimentado por uma bateria de 6 V e tem uma resistência total R = 35 Ω, de acordo
com o esquema da figura figura P1.3.
a) Arbitre um sentido de referência para a cor- d) Se a bateria estiver ligada durante meia-hora,
rente eléctrica e calcule o valor da intensidade
qual é a energia fornecida à resistência?
da corrente que percorre a resistência.
b) Qual a potência dissipada na resistência?
VB
c) Qual a potência fornecida pela bateria?
R
Figura P1.3
Problema 1.4
Sabendo que o circuito da figura P1.4 está a funcionar em regime estacionário (a fonte de tensão já
foi ligada há muito tempo), calcule a intensidade da corrente em todos os componentes, a potência
dissipada na resistência por efeito de Joule, a energia magnética armazenada na bobine e a energia
eléctrica armazenada no condensador.
1kΩ
10V
1µF
2mH
Figura P1.4
Problema 1.5
Considere os três circuitos da figura P1.5 e responda às questões seguintes.
a) Calcule as incógnitas indicadas nos circuitos.
c) Determine o balanço energético para cada circuito e identifique os componentes que forneb) Calcule a potência posta em jogo nos compocem/recebem energia.
nentes.
6
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d) Comente a afirmação (válida para qualquer
circuito): fontes de tensão fornecem energia e
fontes de corrente e resistências recebem energia.
e) Considere que as fontes de tensão são baterias
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que têm uma capacidade de 30 A h. Determine
o número máximo de dias de funcionamento
contı́nuo de cada circuito, admitindo que as
grandezas eléctricas se mantêm constantes ao
longo do tempo. (Nota: 1 A h = 1 A × 1 h.)
30mA
IR
100Ω
12V
(i)
60mA
20mA
VF
200Ω
16V
R3
(ii)
(iii )
Figura P1.5
Problema 1.6
Uma fonte de tensão, caracterizada por VG = 110 V e resistência interna RG = 6 Ω, alimenta um
receptor resistivo com uma corrente de 6 A.
a) Desenhe um esquema eléctrico do circuito.
c) Qual é a resistência do receptor?
b) Qual a resistência total do circuito (admitindo d) Qual a potência dissipada no receptor resisdesprezável a resistência dos fios)?
tivo?
Problema 1.7
Considere o circuito da figura P1.7, com VA = −5 V, R1 = 100 kΩ, R2 = 100 Ω e R3 = 5.6 kΩ.
a) Calcule V3 .
b) A fonte dependente está a fornecer energia?
VA
c) Qual a potência dissipada nas resistências?
IA
R1
R2
R3
10IA
Figura P1.7
1.3
1.1
Soluções dos Problemas
(a) 3 C
(b) 1.875 × 1019 electrões deslocam-se da direita para a esquerda
1.2
(a) 15 W
V3
C AP. 1 – Conceitos Básicos em Análise de Circuitos
7
(b) 2.5 A
(c) 2.4 Ω
1.3
(a) 0.171 A ≈ 0.17 A
(b) 1.029 W ≈ 1 W
(c) 1.029 W ≈ 1 W
(d) 1851 J ≈ 1.85 kJ
1.4
IC = 0 A
IF = IR = IL = 10 mA
1.5
(a) IR = 120 mA
VF = 6 V
PR = 0.1 W
WL = 0.1 µJ
WC = 50 µJ
R3 = 400 Ω
(b) (i) PV = −PR = −1.44 W (ii) PV = −PR = −180 mW
(iii) PV = −960 mW PR = 640 mW PI = 320 mW
∑
(c)
Fornecer: fontes de tensão. Receber: outros componentes.
k Pk = 0
(d) Falsa. As fontes de tensão e de corrente podem fornecer ou receber energia. As resistências recebem energia.
(e) (i) 10 dias
1.6 (b) 18.3 Ω
(c) 12.3 Ω
(d) 444 W
1.7
(a) 2.8 V
(b) Fornecer
(c) 1.675 mW
(ii) 41 dias
(iii) 20 dias
8
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Capı́tulo 2
Análise de Circuitos Resistivos
2.1
Exercı́cios
Exercı́cio 2.1
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E2.1, sabendo que IF = 3 A, R1 = 5 Ω e
V2 = −30 V.
a) P1 = +45 J, P2 = −90 J e R2 = 10 Ω.
IF
b) V1 = +15 V e R2 = 90 Ω.
R1
V2
c) R2 = 10 Ω, V1 = −15 V e P2 = +90 W.
V1
R2
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E2.1
Exercı́cio 2.2
Considere um circuito que corresponde a uma fonte de corrente IF = 3 mA ligada em paralelo com
duas resistências, RA e RB . Sabendo que a corrente em RA = 12 kΩ é 0.6 mA, escolha uma afirmação
verdadeira.
a) A potência total dissipada nas duas resistên- c) A tensão e a potência na fonte de corrente são:
cias vale 135 mW.
VF = 7.2 V e PF = 21.6 mW.
b) VRA = −7.2 V e IRB = 2.4 mA.
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 2.3
Considere o circuito da figura E2.3 e escolha a afirmação verdadeira.
9
10
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a) VAB = VA − VB = −15 V.
VA
b) VAB = VB − VA = +15 V.
2kΩ
IX
5V
c) IX = −5 mA.
VB
d) Nenhuma das anteriores.
5mA
Figura E2.3
Exercı́cio 2.4
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E2.3.
a) A resistência de 2 kΩ está em paralelo com a c) A fonte de 5 mA está em paralelo com a fonte
fonte de corrente.
de 5 V.
b) A resistência está em série com a fonte de cor- d) Nenhuma das anteriores.
rente.
Exercı́cio 2.5
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E2.5 sabendo que R2 = 2 Ω, R4 = 4 Ω,
I1 = 1 A e V3 = 10 V.
a) I3 = −1 A.
V2
b) V1 + V2 − V4 = 10 V.
c) V2 /R2 = V4 /R4 = 1 A.
R2
V3
I1
V1
V4
R4
I3
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E2.5
Exercı́cio 2.6
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E2.5.
a) A fonte de tensão fornece energia ao circuito.
c) A resistência R4 fornece energia ao circuito.
b) A fonte de corrente fornece energia ao cir- d) Nenhuma das anteriores.
cuito.
Exercı́cio 2.7
Considere o circuito da figura E2.7 e escolha a afirmação correcta.
C AP. 2 – Análise de Circuitos Resistivos
11
a) A fonte de corrente fornece energia ao circuito.
7A
10V
b) A resistência da esquerda fornece energia ao
circuito.
2Ω
c) A fonte de tensão fornece energia ao circuito.
Figura E2.7
2Ω
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 2.8
Considere o circuito da figura E2.8 e escolha a equação verdadeira.
a) 2I2 = R2 I2 + VB .
I2
b) V1 R1 + R2 I2 + VB = 0.
c)
V1
+ 2I2 = I2 .
R1
R2
V1
2I2
VB
R1
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E2.8
Exercı́cio 2.9
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E2.9.
a)
V2 − VF
V1
= IF −
.
RA
RB
V2 − VF
VF + V1
− IF −
= 0.
b)
RA
RB
VF
RA
V2
c) A potência total dissipada nas duas resistên[V2 − (−V1 )]2
cias é P =
.
RA + RB
RB
IF
Figura E2.9
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 2.10
Considere o circuito da figura E2.10 e escolha a equação correcta.
a) R2 IX + VA + R1 (IB + IX ) = 0.
b)
VA
= IX + IB .
R1
c) −VA + R1 (IX + IB ) = R2 IX .
d) Nenhuma das anteriores.
V1
12
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VA
R1
IB
R2
IX
Figura E2.10
Exercı́cio 2.11
Para o circuito da figura E2.11 escolha a afirmação verdadeira.
a) −V2 = (RB + RC ) I1 .
RA
RB
b) 3I2 = I1 .
c) −V2 = V3 + 4RA I1 .
V3
I2
4I2
V2
RC
I1
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E2.11
Exercı́cio 2.12
Considere o circuito da figura E2.12 e escolha a afirmação correcta.
a) VX = (R1 + R2 )I1 + VY .
b) −VY − 4I1 − 4R3 I1 = 0.
VY
c)
= 5R1 .
IY
VY
R1
IY
R2
I1
d) Nenhuma das anteriores.
4I1
R3
VX
Figura E2.12
2.2
Problemas
Problema 2.1
Considere o circuito da figura P2.1, em que a corrente marcada no circuito é I2 = 5 mA.
a) Diga quantos nós, componentes e malhas tem o circuito.
b) Calcule a potência posta em jogo na fonte V2 .
C AP. 2 – Análise de Circuitos Resistivos
13
c) Determine o valor da resistência e da corrente que a atravessa, IR .
d) Diga quais as fontes que estão a fornecer e a receber energia.
e) Admitindo que o circuito está ligado durante 2 h, calcule a energia fornecida pelas fontes.
IR
I2
V1 = 10 V
V2 = 5 V
I3 = 3 mA
R
V1
I3
V2
Figura P2.1
Problema 2.2
Considere o circuito da figura P2.2 e calcule as grandezas eléctricas V2 e IY .
V2
4Ω
IY
4Ω
1V
2A
Figura P2.2
Problema 2.3
Considere o circuito da figura P2.3 onde, por lapso, ao ser realizada a montagem foi feito um curtocircuito entre os nós A e B (como indicado na figura).
a) Calcule a intensidade das correntes eléctricas b) Quais seriam os valores correctos das correnI1 e I2 na situação em que existe o curtotes se não existisse o erro na montagem (moncircuito entre A e B.
tagem sem o c.c. entre A e B)?
A
I1
4V
4kΩ
5mA
I2
2kΩ
B
Figura P2.3
Problema 2.4
Considere o circuito da figura P2.4, em que V2 = 4V1 = 2V4 = 4 V, R3 = 50 kΩ, R5 = 7.5 kΩ e a
resistência R1 dissipa 1/2 mW.
14
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DE
a) Utilizando unicamente as variáveis eléctricas
indicadas no circuito, escreva equações KVL
simbólicas correspondentes às malhas elementares e à malha exterior. Diga se são
equações linearmente independentes.
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V2
V1
I5
R3
R1
V4
I1
b) Calcule a corrente I5 e a resistência R1 .
c) Calcule a potência posta em jogo no gerador e
na fonte de tensão.
R5
Figura P2.4
d) Calcule a potência dissipada nas resistências.
Problema 2.5
Considere o circuito da figura P2.5, com V1 = V2 = 10 V, RA = 1 kΩ e IF = 5 mA.
a) Admitindo que a fonte V2 fornece ao circuito 100 mW, calcule RB .
b) Considere agora RB = 3 kΩ e calcule a tensão nodal VF .
c) Nas condições da alı́nea b) qual é a potência posta em jogo na fonte de corrente?
VF
RA
RB
V1
IF
V2
Figura P2.5
Problema 2.6
Considere o circuito da figura com IA = 3 mA, VB = 5 V, R1 = 3 kΩ, R2 = 1 kΩ, α = 3 e β = 1 kΩ.
a) Calcule I1 e I2 .
b) As fontes dependentes fornecem ou recebem energia?
I2
VB
R2
αI 1
βI2
I1
Figura P2.6
R1
IA
C AP. 2 – Análise de Circuitos Resistivos
15
Problema 2.7
Calcule VX e VY , sabendo que RX = 3 kΩ, RY = 1 kΩ, IA = 4 mA e VB = 1 V.
VX /2
RY
VY
VX
VB
IA
RX
Figura P2.7
2.3
2.1
Soluções dos Problemas
(a) N = 3
C=4
M =3
(b) P2 = 25 mW
(c) IR = 2 mA
R = 2.5 kΩ
(d) Fornecer: V1 e I3
Receber: V2
(e) 4.2 J
2.2
2.3
IY = −9/8 A
V2 = −3.5 V
(a) I1 = 1 mA
I2 = 6 mA
(b) I1 = −1 mA
2.4
I2 = 4 mA
(a) (i) V2 − R5 I5 − V1 = 0
(ii) V2 + R3 (I5 − I1 ) + V4 − R1 I1 = 0
(iii) R5 I5 + R3 (I5 − I1 ) + V4 = 0
(podem ser escritas outras eq. mas são matematicamente equivalentes a estas)
As eq. são linearmente dependentes [(ii) − (i) = (iii)]
(b) R1 = 2 kΩ
I5 = 0.4 mA
(c) P2 = −2 mW
P4 = −0.2 mW
(d) P1 + P3 + P5 = +2.2 mW
2.5
(a) 1.5 kΩ
(b) 8.75 V
(c) −43.75 mW
2.6
(a) I1 = I2 = 1 mA
(b) βI2 fornece
2.7
VX = 6 V
αI1 recebe
VY = 2 V
16
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Capı́tulo 3
Métodos Expeditos de Análise de Circuitos
3.1
Exercı́cios
Exercı́cio 3.1
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E3.1.
a) RAB = 2 kΩ.
A
1kΩ
b) RBA = 3.5 kΩ.
1kΩ
2kΩ
c) RAB = 5 kΩ.
1kΩ
B
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E3.1
Exercı́cio 3.2
Escolha a afirmação correcta para a resistência equivalente vista dos terminais 12.
a) R12 ̸= 6 kΩ porque há uma resistência de 6 kΩ c) R12 > 12 kΩ porque as resistências de 5 kΩ e
no circuito.
7 kΩ estão ligadas em série.
b) R21 > 2 kΩ por causa da resistência 2 kΩ li- d) Nenhuma das anteriores.
gada ao terminal 2.
1
5kΩ
6kΩ
7kΩ
2kΩ
Figura E3.2
17
2
18
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Exercı́cio 3.3
Considere o circuito da figura E3.3 e escolha a afirmação correcta.
a) Vab = Vc = VA /3.
b) I =
a
VA
.
4.4R
c) I4R =
I
I
I
e I6R = .
2
3
b
VA
d) Nenhuma das anteriores.
R
4R
6R
R
c
Figura E3.3
Exercı́cio 3.4
No circuito da figura E3.4, quanto vale I1 ?
a) I1 = 1 A.
b) I1 = 2/3 A.
I1
45Ω
60V
30Ω
c) I1 = 1/2 A.
30Ω
30Ω
Figura E3.4
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 3.5
Sabendo que Vab = 230 V, R1 = 15 Ω, R2 = 30 Ω e que a potência total dissipada nas resistências da
figura E3.5 é 1.75 kW, quanto vale R3 ?
a) R3 = 10.2 Ω.
R1
R3
b) R3 = 20.2 Ω.
c) R3 = 59.8 Ω.
Vb
Va
R2
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 3.6
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E3.6.
Figura E3.5
C AP. 3 – Métodos Expeditos de Análise de Circuitos
19
a) A resistência de 1 Ω dissipa 9 W.
3A
2V
b) A corrente na resistência de 1 Ω é 1 A.
1Ω
c) Se a fonte de tensão passar para o dobro, a
potência dissipada em cada resistência passa
para o quadruplo.
2Ω
Figura E3.6
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 3.7
Considere o circuito da figura E3.7 e escolha o valor correcto para a corrente que percorre a resistência.
a) IR = 2 mA.
IR
2mA
b) IR = −7 mA.
10V
2kΩ
c) IR = 3 mA.
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E3.7
Exercı́cio 3.8
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E3.8.
a) As duas fontes fornecem energia ao circuito.
b) A fonte de tensão fornece energia e a fonte de
corrente está a receber energia.
6kΩ
5mA
c) A fonte de corrente está a fornecer energia e a
fonte de tensão está a receber energia.
4kΩ
5V
Figura E3.8
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 3.9
Escolha a afirmação correcta para o circuito da figura E3.9, considerando que se utiliza o teorema da
sobreposição para calcular IF .
a) IF = −2 + 1.5 = −0.5 A.
1Ω
b) IF = −8 + 0 = −8 A.
c) IF = −4 + 3 = −1 A.
d) Nenhuma das anteriores.
3A
IF
4V
Figura E3.9
1Ω
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Exercı́cio 3.10
Considere o circuito da figura E3.10 e escolha a afirmação correcta.
a) Vab = 0 V e I10 = −2 A.
-0.1V5 b
a
b) Va = −9.9 V e I10 = −2.99 A.
I1 0
c) Vba = 0 V e I10 = 3 A.
d) Nenhuma das anteriores.
c 10Ω
5Ω
V5
10V
Figura E3.10
Exercı́cio 3.11
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E3.10.
a) Se a fonte de tensão mudar para 20 V, I10 muda para metade.
b) Se a fonte de tensão mudar para 5 V a potência dissipada na resistência de 10 Ω muda para metade.
c) Se a fonte de tensão mudar para 30 V, I10 muda para o triplo.
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 3.12
No circuito da figura E3.12, quanto vale R12 ?
a) 66.7 Ω.
b) 125 Ω.
1 50Ω
30Ω
10Ω
25Ω
c) 135 Ω.
d) Nenhuma das anteriores.
20Ω
2
20Ω
Figura E3.12
Exercı́cio 3.13
Considere o circuito da figura E3.13 e escolha a afirmação correcta sobre a potência posta em jogo
nos diferentes componentes do circuito.
a) As três fontes estão a fornecer energia às duas c) A fonte de corrente e a resistência de 20k Ω
resistências.
estão a receber energia do circuito.
b) As fontes de tensão estão a fornecer energia.
d) Nenhuma das anteriores.
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5kΩ
21
8mA
4V
6V
2kΩ
Figura E3.13
Exercı́cio 3.14
Sabendo que a fonte de tensão fornece 6 W ao circuito, escolha a afirmação verdadeira.
a) A soma algébrica das potências associadas a
todos os componentes do circuito é 6 W.
2Ω
1A
b) A resistência do centro dissipa 4 W.
2Ω
c) A fonte de corrente fornece 6 W ao circuito.
6V
2Ω
Figura E3.14
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 3.15
Escolha a afirmação verdadeira quando se utiliza o teorema da sobreposição para calcular VO , no
circuito da figura E3.15.
(
)
4 2
8
a) VO = 4 ×
−
= V.
3 3
3
2V
(
)
VO
4 4
32
+
=
V.
b) VO = 4 ×
2mA
4kΩ
2kΩ
3 3
3
(
)
Figura E3.15
2 1
c) VO = 4 ×
+
= 4 V.
3 3
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 3.16
Escolha a afirmação correcta para o circuito da figura E3.16.
a) As duas fontes estão a receber energia.
b) O teorema da sobreposição não pode ser usado
para calcular VX .
c) O circuito tem 3 nós e 3 malhas elementares.
d) Nenhuma das anteriores.
2kΩ
VX
2mA
1kΩ
Figura E3.16
1V
22
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Exercı́cio 3.17
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E3.16.
a) Considerando um divisor de tensão, obtém-se V1kΩ = 1/3 V e V2kΩ = 2/3 V.
b) VX = −1/3 V e |I2kΩ | = 2/3 mA.
c) Considerando um divisor de corrente, obtém-se |I1kΩ | = 4/3 mA e |I2kΩ | = 2/3 mA.
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 3.18
Considere o circuito da figura E3.18 e escolha a afirmação verdadeira.
a) O circuito tem 3 malhas e 6 nós.
b) No laboratório, um voltı́metro ligado em paralelo com RA permite medir a queda de tensão
VA .
R3
IB
RB R2
αVA
βIB
RA
c) O teorema da sobreposição pode ser usado para calcular IB .
VA
d) Nenhuma das anteriores.
VF
R1
Figura E3.18
3.2
Problemas
Problema 3.1
Considere o circuito da figura P3.1, com os componentes caracterizados por V1 = 5 V, V2 = −16 V,
IF = 5 mA, RA = 5 kΩ e RB = 1 kΩ.
a) Calcule a tensão nodal VF usando o teorema
da sobreposição.
b) Calcule a potência associada à energia fornecida ao circuito.
VF
RA
V1
RB
IF
Figura P3.1
V2
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23
Problema 3.2
Considere o circuito da figura P3.2 e responda às questões colocadas.
a) Calcule a tensão VR usando o teorema da sobreposição.
2V
4kΩ
b) Calcule a potência posta em jogo nas fontes
que fornecem energia ao circuito.
VR
2mA
c) Verifique a validade do teorema de Tellegen.
2kΩ
Figura P3.2
Problema 3.3
Considere o circuito da figura P3.3, com R1 = R2 = 1 kΩ, VA = 3 V, IB = 2 mA e α = 2.
Sugestão: para simplificar os cálculos — evitando factores de potência do tipo 10P — considere as
correntes expressas em mA, as tensões em V e as resistências em kΩ, pois 1 V = 1 kΩ × 1 mA.
a) Utilize o teorema da sobreposição para calcu- c) Calcule a potência total dissipada no circuito
lar V1 e IA .
por efeito de Joule.
b) Quais são as fontes que fornecem energia?
αV2
V2
R2
V1
VA
IB
R1
IA
Figura P3.3
Problema 3.4
Considere o circuito da figura P3.4 com R1 = 196 kΩ, R2 = 82.5 kΩ, R3 = 28.7 kΩ e IA = 1.2 mA.
Sabendo que I1 = 350 µA, calcule VB .
R2
IA
R3
I1
VB
R1
Figura P3.4
24
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Problema 3.5
Calcule I1 sabendo que a fonte de tensão fornece 3.84 mW ao circuito da figura P3.5, mas o valor
da resistência R3 é desconhecido. Os restantes componentes do circuito são caracterizador por R1 =
250 Ω, R2 = 330 Ω, V4 = 3.2 V e β = 18.
R3
I1
R1
I3
βI3
R2
V4
Figura P3.5
Problema 3.6
Simplifique o circuito e determine a resistência equivalente, Rab , vista entre os nós ab.
a
a
1kΩ
400Ω
Rab
875Ω
200Ω
450Ω
b
b
Figura P3.6
Problema 3.7
Pretende-se calcular a corrente I5 no circuito da figura P3.7, sabendo que VF = 25 V, R1 = 530 Ω,
R2 = 1 kΩ, R3 = 1.5 kΩ, R4 = 310 Ω e R5 = 470 Ω.
a) Utilize a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff para
calcular I5 .
b) Calcule I5 por simplificação das resistências e
aplicação do conceito de divisor de tensão e da
lei de Ohm.
c) Calcule I5 quando R3 = 0 Ω (escolha o método de cálculo que considerar mais expedito).
R1
R2
VF
R3
R4
I5
R5
Figura P3.7
C AP. 3 – Métodos Expeditos de Análise de Circuitos
25
Problema 3.8
Considere o circuito da figura P3.8, com R1 = R2 = 1 kΩ, IA = 2 mA, VB = 4 V e β = 2.
a) Calcule V1 e V2 usando a lei de Ohm e as leis
de Kirchhoff.
R1
VB
V1
b) Utilize o teorema da sobreposição para calcular V1 e V2 .
V2
βV 1
IA
c) Determine os novos valores de V1 e V2 para
IA = 4 mA e VB = 2 V.
R2
Figura P3.8
Problema 3.9
Considere o circuito da figura P3.9 com VA = 5 V, IB = 1 mA, R1 = 1 kΩ, R2 = 250 Ω, α = 200 Ω
e β = −2/3. Calcule I1 e IA usando o teorema da sobreposição.
R2
R1
IA
I1
αI A
βI 1
IB
VA
Figura P3.9
Problema 3.10
Considere o circuito da figura P3.10 e calcule I1 e V2 .
b) Repita o cálculo para IA = −2 mA.
a) Considere IA = 5 mA e VB = 10 V.
V2
1kΩ
IA
1kΩ
2kΩ
I1
2kΩ
4kΩ
4kΩ
VB
Figura P3.10
Problema 3.11
No circuito da figura tem-se VA = 8.5 V, I2 = 4 mA, RA = 1.2 kΩ, RB = RC = 1.3 kΩ e α = 1/3.
26
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a) Calcule VCE .
VA
b) Diga se a fonte dependente está a fornecer ou
a receber energia do circuito. Justifique.
VC
RB
I1
RA
c) Diga se o valor de VCE se altera se na montagem do circuito houver um engano e as resistências RA e RB forem trocadas.
I2
RC
αI1
VE
Figura P3.11
Problema 3.12
Considere o circuito da figura P3.12 com IF = 13.5 mA, R1 = R5 = 12 kΩ, R2 = 6 kΩ, R3 = 4 kΩ
e R4 = 1.5 kΩ.
a) Quantos nós e quantas malhas elementares
tem o circuito?
R2
IF
R4
b) Desenhe o grafo do circuito.
c) Determine V1 e I5 .
R5
V1
R1
R3
I5
Figura P3.12
Problema 3.13
Considere o circuito da figura P3.13 e calcule VB . R1 = 7.5 kΩ, R2 = 4.5 kΩ, R3 = R6 = 6 kΩ,
R4 = 1.5 kΩ, R5 = 2.5 kΩ, R7 = 3 kΩ, IA = 7.5 mA, IB = 2.5 mA e VC = 22 V.
R2
R1
R5
IA
VC
VB
R3
IB
R4
R6
R7
Figura P3.13
Problema 3.14
Considere o circuito da figura P3.14 e calcule VC e VE . Os geradores e as resistências são caracterizados por VG = 150 mV e β = 250, R12 = RC = 1.2 kΩ, Rπ = 1.5 kΩ e RE = 750 Ω.
C AP. 3 – Métodos Expeditos de Análise de Circuitos
27
VE
Rπ
VG
VC
βI B
IB
R12
RE
RC
Figura P3.14
Problema 3.15
Considere os dois circuitos da figura P3.15 e calcule I1 , I2 , I3 e RC quando RA = 3 kΩ, RB = 8 kΩ,
RD = 5 kΩ, VX = 10 V, IY = 1.5 mA e VZ = 15 V. Admita que as potências postas em jogo na
fonte de corrente I3 e na resistência RC são, respectivamente, P3 = −378 mW e PC = 243 mW.
RA
VX
RB
I2
RC
I1
I3
IY
VZ
RD
Figura P3.15
Problema 3.16
Considere o circuito da figura P3.16 e calcule IB .
R2 = 2R1 = 4 kΩ
R3 = 18 kΩ
β=3
IA = 1 mA
VB = 10 V
R3
IB
R2
IA
βIB
R1
Figura P3.16
3.3
3.1
Soluções dos Problemas
(a) VF =
5
6
−
25
6
+
80
6
= 10 V
(b) −96 mW
3.2
(a) VR = − 16
−
6
8
6
= −4 V
(b) P = −8 mW
∑4
(c)
k=1 Pk = −8 + 4 + 2 + 2 = 0
VB
28
3.3
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
(a) V1 = 7 V
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
IA = 5 mA
(b) VA , IB e αV2
(c) 53 mW
3.4
8.52 V
3.5
12.97 mA
3.6
583.3 Ω
3.7 (a,b) 26.5 mA
(c) 13.9 mA
V2 = −8 V
3.8 (a,b) V1 = 2 V
V2 = −10 V
(c) V1 = 4 V
3.9
3.10
I1 = −0.158 + 3.158 = 3 mA
(a) 3 V
−0.5 mA
(b) 1.6 V
3.11
IA = −0.263 + 5.263 = 5 mA
0.9 mA
(a) −6.5 V
(b) Não se altera.
(c) Fornece energia ao circuito.
3.12
(a) N = 3
(c) 42 V
Me = 4
P = −28.6 mW
M = 12
2.5 mA
3.13
3.2 V
3.14
VC = −237.3 mV
3.15
I1 = 0.5 mA
3.16
IB = 1 mA
VE = 148.9 mV
I2 = 6 mA
I3 = 9 mA
RC = 3 kΩ
Capı́tulo 4
Métodos Sistemáticos de Análise de Circuitos
4.1
Exercı́cios
Exercı́cio 4.1
Considere os quatro circuitos da figura E4.1 e escolha a afirmação verdadeira.
a) O circuito (iii) não pode ser um equivalente de c) O circuito (ii) é um equivalente de Thévenin e
Norton mas o circuito (iv) pode.
o circuito (iv) é um equivalente de Norton.
b) O circuito (i) é um equivalente de Norton e d) Nenhuma das anteriores.
o circuito (iii) pode ser um equivalente de
Thévenin.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Figura E4.1
Exercı́cio 4.2
Considere os dois circuitos da figura E4.2 e escolha a afirmação correcta sabendo que se pretende
calcular a tensão Vxy .
a) Os dois circuitos são equivalentes apesar de c) Os dois circuitos não são equivalentes porque
não terem o mesmo número de nós e de ramos.
não têm grafos iguais.
b) Os dois circuitos não têm o mesmo número de d) Nenhuma das anteriores.
ramos e por isso não são equivalentes.
29
30
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
x
y
R1+R 2
R2
IA
R1
Rxy
Rxy
R1IA
y
x
(i)
(ii)
Figura E4.2
Exercı́cio 4.3
Escolha a afirmação correcta para o circuito da figura E4.3, sabendo que o circuito equivalente de
Thévenin visto dos terminais AB é caracterizado com os parâmetros VOC = VAB e RT h = RAB .
a) RAB = 3 kΩ
VAB = 2 V.
e
b) RBA = 3 kΩ
e
VBA = −3 V.
c) RAB = 2 kΩ
e
VAB = −3 V.
A
1kΩ
2kΩ
1mA
2V
B
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E4.3
Exercı́cio 4.4
Escolha a afirmação verdadeira para um circuito equivalente de Thévenin visto dos terminais xy.
a) Rxy = 2 kΩ
e
Vxy = 2 V.
b) Ryx = 2 kΩ
e
Vyx = 3 V.
c) Rxy = 1 kΩ
e
Vxy = 3 V.
1V
2mA
1kΩ x
1kΩ
d) Nenhuma das anteriores.
y
Figura E4.4
Exercı́cio 4.5
Considere um circuito equivalente de Norton visto dos terminais AB caracterizado pelos parâmetros
RT h e ISC e escolha a afirmação verdadeira.
a) RT h = 5 kΩ
ISC = 6 mA.
e
5kΩ
b) RT h = 6/5 kΩ
c) RT h = 6 kΩ
e
e
A
ISC = 5 mA.
ISC = 6 mA.
d) Nenhuma das anteriores.
5V
1kΩ
Figura E4.5
5mA B
C AP. 4 – Métodos Sistemáticos de Análise de Circuitos
31
Exercı́cio 4.6
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E4.6.
a) O circuito tem 5 nós.
c) A fonte dependente vê RT h = RA + RB .
b) O circuito tem 5 ligações.
d) Nenhuma das anteriores.
RA
V1
50I3
I2
I3
RB
Figura E4.6
Exercı́cio 4.7
Escolha os parâmetros que caracterizam os circuitos equivalentes de Thévenin ou de Norton vistos
dos terminais AB.
a) RT h = 4 Ω
e
VOC = VBA = −4 V.
b) ISC = 4 A
e
VOC = VAB = 4 V.
c) RT h = 1 Ω
e
VOC = VAB = 2 V.
A
2Ω
1A
2Ω
B
d) Nenhuma das anteriores.
6V
Figura E4.7
Exercı́cio 4.8
Escolha os parâmetros que caracterizam os circuitos equivalentes de Thévenin ou de Norton vistos
dos terminais xy.
a) RT h = 2 kΩ
e
VOC = −20 V.
b) VOC = 30 V
e
ISC = 10 mA.
c) RT h = 1 kΩ
e
VOC = +20 V.
x
d) Nenhuma das anteriores.
3kΩ
1kΩ
10V
y
2kΩ
4kΩ
15mA
Figura E4.8
Exercı́cio 4.9
Considere o circuito da figura E4.9 e escolha a afirmação verdadeira para um circuito equivalente de
Thévenin ou de Norton visto para a esquerda ou a direita de zw.
32
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
a) O circuito equivalente de Thévenin visto para c) O circuito equivalente de Thévenin visto para
a direita de zw tem:
a esquerda de zw tem:
VOC = Vwz = VC + (R4 + R5 + R6 //R7 ) IB .
VOC = − (R1 + R2 ) / (R1 + R2 + R3 ) IA .
b) O circuito equivalente de Norton visto para a d) Nenhuma das anteriores.
direita de zw tem:
ISC = VC / (R4 + R5 + R6 //R7 ) − IB .
z
R2
R1
IA
R3
R5
IB
w
VC
R6
R4
R7
Figura E4.9
Exercı́cio 4.10
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E4.9 quando se considera a aplicação do
método das malhas ou do método dos nós.
a) O método das malhas implica a resolução de c) O método das malhas implica a resolução de
um sistema de 5 equações a 5 incógnitas que
um sistema de 3 equações a 3 incógnitas por
são as correntes de circulação nas malhas.
causa da existência das fontes IA e IB .
b) O método dos nós implica a resolução de um d) Nenhuma das anteriores.
sistema de 6 equações a 6 incógnitas que são
as tensões nodais.
Exercı́cio 4.11
Considere o circuito da figura E4.11 e escolha a afirmação verdadeira.
a) O circuito tem 3 malhas e 5 nós.
c) O método das malhas não pode ser usado para
calcular IX .
b) VA = R1 I1 + αI1 + R2 (I1 + IB ).
d) Nenhuma das anteriores.
αI 1
R1 a
I1
VA
b
IX
IB
Figura E4.11
R2
C AP. 4 – Métodos Sistemáticos de Análise de Circuitos
33
4.2 Problemas
Problema 4.1
Considere o circuito da figura P4.1 com RA = 3 kΩ, VB = 6 V e RC = 6 kΩ. Apresente o esquema
eléctrico do circuito equivalente de Thévenin visto entre os vários pares de nós.
a) Nós 1 e 2.
1
b) Nós 2 e 3.
3
VB
RA
c) Nós 1 e 3.
RC
2
Figura P4.1
Problema 4.2
Considere o circuito da figura P4.2 e determine os parâmetros que caracterizam os circuitos equivalentes de Thévenin/Norton.
a) Equivalente de Norton visto pela fonte.
a
b
R2
b) Equivalente de Thévenin visto por R1 .
c) Equivalente de Norton visto entre os nós bc.
R3
I4
R1
c
d) Equivalente de Thévenin visto entre os nós ac.
Figura P4.2
Problema 4.3
Considere o circuito da figura P4.2 e apresente duas equações matriciais correspondentes à aplicação
de: a) método dos nós; e b) método das malhas.
Problema 4.4
Considere o circuito da figura P4.4 e determine VO por simplificação do circuito através de associações
e transformações dos componentes. Apresente os esquemas eléctricos intermédios e o esquema final.
8V
1kΩ
1kΩ
VO
3kΩ
5mA
Figura P4.4
2kΩ
34
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
Problema 4.5
Considere o circuito da figura P4.5 e calcule V4 usando os métodos indicados.
a) Calcule V4 usando o teorema da sobreposição. b) Calcule V4 por transformação de fontes.
20kΩ
3.5mA
V4
14V
10kΩ
40kΩ
Figura P4.5
Problema 4.6
Considere o circuito da figura P4.6 e determine o circuito equivalente de Norton visto dos terminais
1-2.
1
2kΩ
3kΩ
13V
7V
1kΩ
2kΩ
2
Figura P4.6
Problema 4.7
Considere o circuito da figura P4.7 e, usando apenas técnicas de simplificação de circuitos, determine
um circuito equivalente de Thévenin/Norton visto dos terminais A-B.
A 1.5kΩ
B
30mA
1kΩ
10V
2kΩ
2kΩ
15mA
Figura P4.7
Problema 4.8
Considere o circuito da figura P4.8 com I1 = 30 mA, I2 = 5 mA, RA = 600 Ω e RB = 400 Ω.
Calcule VA e VB utilizando os diferentes métodos indicados nas alı́neas. Tire conclusões sobre as
vantagens e inconvenientes de cada método utilizado, quer neste circuito simples, quer em circuitos
mais complexos que tenham, por exemplo, o dobro ou o triplo dos componentes.
C AP. 4 – Métodos Sistemáticos de Análise de Circuitos
35
a) Lei de Ohm e leis de Kirchhoff.
VA
b) Teorema da sobreposição.
RA
c) Método dos nós.
VB
I1
d) Substituição do paralelo (RB //I2 ) por um circuito equivalente de Thévenin.
RB I 2
Figura P4.8
Problema 4.9
Considere o circuito da figura P4.9 com R1 = 2 kΩ, R2 = 3 kΩ, V4 = 5 V e I5 = 4 mA.
a) Calcule I2 e R3 usando as leis de Ohm e de
Kirchhoff e sabendo que a potência dissipada
por efeito de Joule em R3 é P3 = 16 mW.
V4
I5
I2
b) Use o valor de R3 que foi determinado e calcule agora I2 usando o método das malhas
(apresente uma equação matricial simbólica).
R1
R2
R3
Figura P4.9
c) Calcule I2 através do método dos nós (apresente uma equação matricial simbólica).
Problema 4.10
Considere o circuito da figura P4.10 com I1 = 2 A, I2 = 4 A, RA = 100 Ω, RB = 50 Ω e RC = 20 Ω.
Calcule a corrente IA utilizando os diferentes métodos indicados nas alı́neas.
a) Método das malhas.
c) Conversão de circuitos equivalentes de Norton
ou de Thévenin.
RB
IA
b) Método dos nós.
I1
RA
RC
I2
Figura P4.10
Problema 4.11
Considere o circuito da figura P4.11 com I1 = 3 mA, V2 = 15 V, RA = 12 kΩ, RB = 10 kΩ e
RC = 15 kΩ.
a) Escreva uma equação matricial simbólica (não b) Com base na equação da alı́nea anterior calutilize valores numéricos) correspondente ao
cule as tensões nodais e a corrente IB .
método dos nós.
c) Calcule IB usando o teorema da sobreposição.
36
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
RC
I1
IB
RA
DE
RB
V2
Figura P4.11
Problema 4.12
Considere a análise do circuito da figura P4.12 usando os métodos das malhas e dos nós.
a) Calcule IX e IY (método das malhas).
c) Neste caso, qual dos dois métodos resultou
num cálculo mais expedito? Porquê?
b) Calcule as tensões nodais (método dos nós).
12V
IY
IX
-4V
12Ω
20Ω
10Ω
Figura P4.12
Problema 4.13
Considere o circuito da figura P4.13 e determine a tensão VC utilizando os métodos indicados.
a) Calcule VC por simplificação do circuito.
c) Aplique o método das malhas e calcule VC
(correntes de circulação com sentido antib) Quantos nós e quantas malhas elementares
horário).
tem o circuito? Para calcular VC será mais
vantajoso o método dos nós ou o das malhas?
20V
VC
2Ω
6Ω
8Ω
6Ω
10V
Figura P4.13
8Ω
C AP. 4 – Métodos Sistemáticos de Análise de Circuitos
37
Problema 4.14
Considere o circuito da figura P4.14 e calcule IA e VB usando os métodos indicados nas alı́neas.
a) Método dos nós.
5mA
b) Teorema da sobreposição.
IA
c) Método das malhas.
2kΩ
VB
500Ω
5V
3kΩ
9V
Figura P4.14
Problema 4.15
Considere o circuito da figura P4.15 e calcule IX e V21 .
900Ω
2000IX
1
2
IX
3.9kΩ
2.8mA
16.52V
Figura P4.15
Problema 4.16
Considere o circuito da figura P4.16 e determine a corrente IC . Utilize o(s) método(s) de cálculo que
considerar mais apropriados para um cálculo expedito.
2.3kΩ
1kΩ
10.5V
1.1kΩ
10
11 IC
IC
2mA
2.2kΩ
Figura P4.16
Problema 4.17
Considere o circuito da figura P4.17 e calcule IA e VB .
38
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
βVB
β = 3.5
RA = 1.2 kΩ
RB = 2.1 kΩ
VC = 5.6 V
ID = 2.8 mA
IE = −5.3 mA
ID
IE
VB
RB
IA
VC
RA
Figura P4.17
Problema 4.18
Considere o circuito da figura P4.17 e apresente equações matriciais simbólicas correspondentes à
aplicação dos métodos dos nós e das malhas, quando se pretende calcular IA e VB .
a) Método dos nós (numere os nós sequencial- b) Método das malhas (considere correntes de
mente — V1 a V4 — marcando-os no sentido
circulação nas malhas elementares com senhorário).
tido horário — I1 a I3 da esquerda para a direita).
Problema 4.19
Considere o circuito da figura P4.19 e determine as tensões aos terminais das fontes de corrente.
a) Calcule VA usando o método dos nós (considere o nó inferior como referência).
b) Calcule VB usando o método das malhas (considere correntes de circulação nas duas malhas
elementares inferiores e na malha exterior e
todas no sentido anti-horário).
10.1V
3kΩ
VA
2kΩ
7mA
VB
2.3mA
3kΩ
Figura P4.19
4.3
4.1
4.2
Soluções dos Problemas
(a) VT h = V12 = −2 V
RT h = 2 kΩ
(b) VT h = V32 = +4 V
RT h = 2 kΩ
(c) VT h = V13 = −6 V
RT h = 0 Ω
(a) ISC = 0 A
(b) VT h = R3 I4
(c) ISC = I4
RT h = (R1 + R2 )//R3 .
RT h = R2 + R3 .
RT h = (R1 + R2 )//R3 .
1.1kΩ
C AP. 4 – Métodos Sistemáticos de Análise de Circuitos
(d) VT h = (R1 R3 ) / (R1 + R2 + R3 ) I4
4.3
39
RT h = R1 //(R2 + R3 ).
(a) [
Existem várias soluções] possı́veis.
o nó c como referência:
[
] Considerando
[
]
G1 + G2
−G2
Va
0
=
.
−G2
G2 + G3
Vb
I4
(b) Existem várias soluções possı́veis. Escolhendo a malha exterior (IE ) e a malha elementar
da
[ direita (ID ) e sentido] [horário
] para
[ a circulação:
]
R1 + R2 + R3 R3
IE
0
=
.
0
1
ID
I4
4.4
VT h = VO = −4 V
4.5
16 V
4.6
ISC = 3.5 mA
4.7
VOC = VBA = −5 V
4.8
VA = −18 V
4.9
RT h = 7/3 kΩ
RT h = 2 kΩ
RT h = 2 kΩ
VB = 10 V
(a) I2 = −2.6 mA
R3 = 1 kΩ
(b) Existem várias equações possı́veis. Considerando a circulação nas duas malhas elementares
[ em sentido anti-horário
][
](IE ,[ID ): ]
0
1
IE
I5
=
I2 = IE − ID = −2.6 mA
R1 + R2 −R2
ID
−V4
Existem várias equações possı́veis.Considerando
o nó central em cima:
(c) 

  para referência

1
0
0
Vx
−V4
 G1 G3 − (G1 + G2 + G3 )   Vy  =  0 
I2 = RVz2 = −2.6 mA
0 −G3
G3
Vz
I5
4.10
4.11
−0.353 A
(a) Existem várias soluções possı́veis.
 1 Considerando o nó central
 em
 baixo
 para
 referência,
0
0
V
I
x
1
RA
pode obter-se, por exemplo:  0 R1B + R1C − R1C  ×  Vy  =  I1 
Vz
V2
0
0
1
(b) Vx = −36 V
Vy = 24 V
Vz = 15 V
IB = −2.4 mA
(c) −3/5 − 9/5 mA
4.12
(a) IX = −0.3 A
(b) VY = 6 V
IY = 0.5 A
VZ = −2 V
VX = −6 V
(c) O método das malhas. Apenas duas equações e não foi necessário considerar uma supermalha (super-nó no método dos nós).
4.13 (a,c) 10 V
(b) N = 5
4.14
−3 V
Me = 3
−8 mA
O método das malhas.
40
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
4.15
10 V
4.16
5.5 mA
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
6.8 mA
IA = −1.692 mA VB = 1.696 V


 

0
0
1
V1
VC

0
4.18 (a)  1 + β −1 −β   V2  = 
GB GA −GB
V4
ID + IE


 
1
0
0
I1
IE





0
−1
1
I2 = ID
(b)
− (1 + β) RB (1 + β) RB RA
I3
VC
4.17
4.19
(a) 9.5 V
(b) −5.5 V
VB = V4 − V1
IA = RVA2


VB = RB (I2 − I1 )
IA = I3
Capı́tulo 5
Análise de Circuitos Dinâmicos
no Domı́nio do Tempo
5.1
Exercı́cios
Exercı́cio 5.1
Considere o circuito da figura E5.1 e escolha a afirmação correcta.
ia (t)
v2 (t) dv2 (t)
=
+
.
C
RC
dt
dv2 (t)
R
=
ia (t).
b)
dt
C
c) Se o circuito estiver a funcionar durante muito
tempo, a partir de um determinado instante de
tempo tem-se ia (t) = i1 (t) e i2 (t) = 0, qualquer que seja ia (t).
a)
i1
i2
ia
R
v2
C
Figura E5.1
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 5.2
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E5.2, sabendo que o interruptor (que estava
aberto há muito tempo) fecha em t = 0 s.
a) iC (t = +∞) = 1 A.
iC
b) vC (t = +∞) = 1 V.
vC
c) vC (t = +∞) = 0.5 V.
1A
d) Nenhuma das anteriores.
1F
Figura E5.2
41
0s
1Ω
1Ω
42
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
Exercı́cio 5.3
Sabendo que o gerador de tensão é ligado no instante t = 0 s, escolha a afirmação correcta para o
circuito da figura E5.3.
a) i2 (t = +∞) = 0.5 mA.
c) wL (t = +∞) = 25 nJ.
b) vL (t = +∞) = 10 V.
d) Nenhuma das anteriores.
2kΩ
Função escalão unitário:
{
0 , t<0
u(t) =
1 , t>0
i2
10u(t) V
vL
2mH
Figura E5.3
Exercı́cio 5.4
Sabendo que i(t) = 4 u(t) mA, escolha a afirmação verdadeira.
a) iL (+∞) = 4 mA
b) iL (0− ) = 0 mA
−
c) iL (0 ) = 0 mA
e
e
e
vL (+∞) = 0 V.
1kΩ
vL (+∞) = 4 V.
−
vL (0 ) = 2 V.
vL
1kΩ
L
i(t)
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E5.4
Exercı́cio 5.5
Sabendo que o gerador de tensão é caracterizado por vG (t) = 10 u(t) V, R1 = R2 = 100 Ω e
C3 = 100 µF, qual é a energia armazenada no condensador em t = 10 s?
a) 125 mJ.
v1 (t )
b) 5 mJ.
R1
c) 1.25 mJ.
d) Nenhuma das anteriores.
vG(t)
C3
v2 (t)
R2
Figura E5.5
Exercı́cio 5.6
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E5.5 quando se considera vG (t) = 12 u(t) V,
R1 = 1 kΩ, R2 = 500 Ω e C3 = 30 µF.
C AP. 5 – Análise de Circuitos Dinâmicos no Domı́nio do Tempo
43
a) vC3 (0) = 12 V.
c) vC3 (10 ms) = 2.53 V.
b) v2 (+∞) = 8 V.
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 5.7
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E5.5 quando se tem vG (t) = −6 u(10 − t) V,
C3 = 680 µF, R1 = 12 kΩ e R2 = 680 kΩ. Admita que o gerador já foi ligado há muito tempo.
a) v2 (t) = −5.9 × e−t/8 V , t > 10 s.
c) v1 (10 s) = −0.1 V.
b) v2 (+∞) = −6 V.
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 5.8
Considere que dispõe de vários condensadores e bobines e escolha a afirmação verdadeira.
a) Três condensadores iguais ligados em série c) Quando se ligam vários condensadores em papermitem obter o triplo da capacidade.
ralelo, a capacidade equivalente resultante é
sempre maior que o maior valor das capacib) Duas bobines iguais ligadas em paralelo são
dades dos condensadores do paralelo.
equivalentes a uma bobine com o dobro da ind) Nenhuma das anteriores.
dutância.
Exercı́cio 5.9
No circuito da figura E5.9 os componentes são todos iguais. Escolha a afirmação verdadeira admitindo
que os componentes podem ser resistências de valor R, bobines com indutância L, ou condensadores
com capacidade C.
a) Rxy = 3R/5.
x
b) Lxy = 5L/2.
c) Cxy = 3C/5.
d) Nenhuma das anteriores.
y
Figura E5.9
Exercı́cio 5.10
Escolha a afirmação correcta para o circuito da figura E5.10 sabendo que o interruptor muda de A
para B em t = 0 s.
a) vX (0+ ) = 10 V e i(0+ ) = 1 mA.
c) vX (0− ) = 0 V e vY (0− ) = 5 V.
b) vY (+∞) = 5 V e i(+∞) = 0.5 mA.
d) Nenhuma das anteriores.
44
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
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10kΩ
t=0s
68nF
B
A
10V
i(t)
vX (t)
vY (t)
1mH
10kΩ
Figura E5.10
Exercı́cio 5.11
O gerador de corrente apresenta uma mudança abrupta em t0 = 10 µs, iY (t) = 10 × u(t − t0 ) A,
R1 = R2 = 100 Ω e LX = 1 mH, qual é a energia armazenada na bobine em t = 50 µs?
a) 125 mJ.
iX
b) 50 mJ.
LX
c) 12.5 mJ.
iY(t)
d) Nenhuma das anteriores.
R1
R2
Figura E5.11
Exercı́cio 5.12
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E5.11, considerando os dados do exercı́cio
anterior.
a) iX (t) = iY (t)/2.
b) iX (t0 ) = 0 A.
c) iX (t0 +) = 5 A.
d) Nenhuma das
anteriores.
Exercı́cio 5.13
Sabendo que o interruptor comuta de 1 para 2 em t = 2 s e que as fontes estão ligadas há muito tempo,
escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E5.13.
a) iL (0) = 2 mA.
b) iL (2 s) = −4 mA.
t=2s
iL
1
2V
2
1kΩ
1kΩ
c) iL (+∞) = −2 mA.
d) Nenhuma das anteriores.
1mH
Figura E5.13
2mA
C AP. 5 – Análise de Circuitos Dinâmicos no Domı́nio do Tempo
45
Exercı́cio 5.14
Considere o circuito da figura E5.14, com C = 1 mF e v(t) = 6 u(t − 1) V, e escolha a afirmação
correcta.
a) wC (0) = 0 J.
b) Entre 1 s e 3.5 s o condensador está a descarregar.
c) No instante de tempo t = 9 s a energia armazenada no condensador é 12.5 mJ.
1kΩ
v(t)
4mA
d) Nenhuma das anteriores.
5.2
vC
C
1kΩ
Figura E5.14
Problemas
Problema 5.1
{
Considere o circuito da figura P5.1 com R = 450 Ω, C = 51 µF e i1 (t) =
0A
, t < 0s
.
10 mA , t > 0 s
a) Determine a tensão v3 (t) e faça o seu gráfico.
e) Determine a corrente i2 (t) e faça o seu gráfico.
b) Verifique que, após ter decorrido um intervalo
de tempo igual a uma constante de tempo, a
tensão no condensador atingiu 63.2% da sua
variação.
f) Qual a energia armazenada no condensador
em t = 23 ms e t = 0.23 s?
c) Diga se se pode considerar que, após um intervalo de tempo de cinco constantes de tempo, o
circuito atingiu o regime final.
i3
i2
i1
C
R
d) Determine a corrente i3 (t) e faça o seu gráfico.
v3
Figura P5.1
Problema 5.2
Considere o circuito da figura P5.2 com vG (t) = 4 − 6 u(t) V, RA = RB = 20 Ω e L = 50 mH.
a) Calcule vL (t) e iB (t).
vL
b) Faça os gráficos de vG (t), vL (t) e vB (t) e verifique graficamente a lei das malhas.
RA
L
RB
vB
c) Admita que as duas resistências foram alteradas para 2 kΩ e a bobine passou a ter L =
500 mH. Como se altera o funcionamento do
circuito?
vG
iB
Figura P5.2
46
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Problema 5.3
Considere o circuito da figura P5.3 com R1 = R2 = 1 kΩ, L = 100 mH, vA (t) = 10 − 2 u(t) V e
IB = 4 mA.
a) Determine iL (t) para t < 0s.
R1
b) Determine iL (t) para −∞ < t < +∞ e faça
um gráfico marcando os pontos principais.
iL
R2
L
vA
IB
c) Qual a energia armazenada na bobine no instante de tempo t = 1 ms?
Figura P5.3
Problema 5.4
Considere o circuito da figura P5.4, com RA = RD = 1 kΩ, RB = 3 kΩ, C = 10 µF, VA = 3 V e
ID = 2 mA, em que o interruptor muda de 1 para 2 em t = 10 ms.
a) Determine o circuito equivalente de Norton
visto pelo condensador quando o interruptor
está na posição 1.
b) Qual a energia armazenada no condensador
em t = 10 ms?
10ms
2
RB
1
RD
vC
C
VA
ID
RA
c) Determine vC (t) para t > 0 s e faça um gráfico
marcando os pontos principais.
Figura P5.4
Problema 5.5
Considere o circuito da figura P5.5 com VF = 12 V, R1 = 1 kΩ, R2 = 2 kΩ, I3 = −4 mA e
C = 22 µF.
a) Calcule vC (t) e i1 (t).
i1
b) Calcule iF (t).
c) Faça os gráficos de vC (t), i1 (t) e iF (t).
R1
vC
C
0s
iF
VF
I3
R2
Figura P5.5
Problema 5.6
Considere o circuito da figura com R1 = R2 = R3 = 1 kΩ e L = 300 mH. Admita que o gerador de
tensão (que já estava ligado há muito tempo) muda o seu valor no instante de tempo t = 1 ms, como
indicado na figura.
C AP. 5 – Análise de Circuitos Dinâmicos no Domı́nio do Tempo
47
a) Calcule v3 (0 s).
12V
vG(t) 6V
b) Calcule a constante de tempo associada ao regime transitório que se inicia em t = 1 ms.
1ms
c) Determine v3 (t) para −∞ < t < +∞.
iL
L
R2
v3
R1
R3
vG
Figura P5.6
Problema 5.7
Considere o circuito da figura P5.7 com R1 = 115 Ω, L2 = 158 mH, R3 = 140 Ω e admita v1 (t) como
indicado na figura.
a) Calcule os valores das três correntes nos ins- b) Determine as expressões das correntes i1 (t),
tantes de tempo imediatamente antes e depois
i2 (t) e i3 (t) e faça o seu gráfico.
da primeira transição do sinal v1 (t).
i1
v1
5.7V
R1
R3
L2
i2
v1(t)
0V
i3
-3.2V
4ms
10ms
Figura P5.7
Problema 5.8
Considere o circuito da figura P5.8 com RA = 330 kΩ, RB = 220 kΩ, C = 2.2 nF e os geradores de
tensão e corrente v1 (t) = 6 u(t) V e i2 (t) = −10 u(t − t2 ) µA, com t2 = 12 ms.
a) Determine os sinais vB (t) e vC (t) e represente-os graficamente.
b) Em que instante de tempo é que a potência dissipada por efeito de Joule é máxima? Qual o
seu valor?
RA
RB
vB
vC
v1
i2
Figura P5.8
C
48
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5.3 Soluções dos Problemas
{
5.1
(a) v3 (t) =
0 (
) , t ≤ 0s
t
−
−3
4.5 1 − e 22.95×10
, t ≥ 0s
V
(b) v3 (23 ms) = 2.84 V ≈ 63.2% × 4.5 V
(c) Sim. v3 (115 ms) = 4.47 V ≈ 99.3% × 4.5 V
{
0
, t < 0s
t
(d) i3 (t) =
mA
−
−3
10 e 22.95×10
, t > 0s
{
0 (
) , t ≤ 0s
t
(e) i2 (t) =
−
−3
10 1 − e 22.95×10
, t ≥ 0s
5.2
(f) w3 (23 ms) = 206 µJ
w3 (230 ms) = 516 µJ
{
0.2
, t ≤ 0s
t
A
(a) iB (t) =
−
−0.1 + 0.3 e 2.5×10−3 , t ≥ 0 s
{
0
, t < 0s
t
vL (t) =
V
−
6 e 2.5×10−3 , t > 0 s
(b) vB (t) = 20 iB (t)
vG (t) + vL (t) = vB (t)
(c) RA não afecta iB (t).
A constante de tempo fica 10 vezes menor.
A corrente fica 100 vezes menor.
5.3
(a) 7 mA
{
(b) iL (t) =
7
t
−
6 + e 5×10−5
, t≤0
, t≥0
mA
(c) 1.8 µJ
5.4
(a) ISC = 2 mA
(b) 320 µJ
{
(c) vC (t) =
5.6
RT h = 4 kΩ
8
9−e
{
5.5
mA
−2
− t−10 −2
3×10
, t ≤ 10 ms
, t ≥ 10 ms
V
0
, t ≤ 0s
t
(a) vC (t) =
V
−
−3
22×10
12 − 12 e
, t ≥ 0s
{
0
, t < 0s
t
i1 (t) =
mA
−
−3
, t > 0s
12 e 22×10
{
−2
, t < 0s
t
(b) iF (t) =
mA
−
−2 − 12 e 22×10−3 , t > 0 s
(a) 2 V
(b) 0.2 ms
C AP. 5 – Análise de Circuitos Dinâmicos no Domı́nio do Tempo
{
(c) v3 (t) =
2V
−3
− t−10 −3
0.2×10
4 − 2e
49
, t ≤ 1 ms
V , t ≥ 1 ms
(a) i1 (4− ms) = i2 (4− ms) = i2 (4+ ms) = i3 (4− ms) = 0 A
i1 (4+ ms) = i3 (4+ ms) = 22.4 mA

0
, t < 4 ms


t−4×10−3
−
49.6 − 27.2 e 2.5×10−3
, 4 ms < t < 10 ms
(b) i1 (t) =

t−10−2

−
2.5×10−3
, t > 10 ms
 −27.83 + 40.03 e
0 (
, t ≤ 4 ms


)


t−4×10−3
−
, 4 ms ≤ t ≤ 10 ms
49.6 1 − e 2.5×10−3
i2 (t) =


t−10−2

 −27.83 + 72.92 e− 2.5×10
−3
, t ≥ 10 ms

0
, t < 4 ms


−3
− t−4×10−3
, 4 ms < t < 10 ms
22.4 e 2.5×10
mA
i3 (t) =

−2

− t−10 −3
−32.89 e 2.5×10
, t > 10 ms

, t≤0
 0
− 1.21t ms
6 − 6e
, 0 ≤ t ≤ 12 ms V
5.8 (a) vC (t) =

ms
− t−12
2.7 + 3.3 e 1.21 ms , t ≥ 12 ms

, t<0
 0
− 1.21t ms
2.4 e
, 0 < t < 12 ms V
vB (t) =

ms
− t−12
1.21
ms
−1.3 e
, t > 12 ms
5.7
+
(b) t = t+
2 = 12 ms
P = 92.4 µW
mA
mA
50
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
Capı́tulo 6
Análise de Circuitos em
Regime Forçado Sinusoidal
6.1
Exercı́cios
Exercı́cio 6.1
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura a funcionar em regime forçado sinusoidal.
a) V g /I a = RA − jωCA .
CA
b) V g /I a = RA + jωCA .
c) I a /V g = 1/RA − jωCA .
vg
ia
RA
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E6.1
Exercı́cio 6.2
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E6.1, sabendo que CA = 1 µF, RA = 1 kΩ e
o gerador sinusoidal, vg (t) = 10 cos(1000t + π/4) V, foi ligado há muito tempo.
a) ia (t) = 10 cos(1000t + π/2) mA .
c) ia (t) = 7.07 sin(1000t) mA .
b) ia (t) = 7.07 cos(1000t − π/4) mA .
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 6.3
Considere dois sinais, i1 (t) e i2 (t), correspondentes às correntes
em) dois componentes num circuito.
(
Escolha a afirmação verdadeira sabendo que: i1 (t) = 3 cos ωt + π6 mA e i2 (t) = −6 sin (ωt) mA.
51
52
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
a) i1 está atrasado
π
3
rad relativamente a i2 .
b) i1 e i2 estão em oposição de fase.
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
c) i2 está avançado
π
6
rad em relação a i1 .
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 6.4
√
(
)
(
)
Considere dois sinais, v1 (t) = 2 + cos ωt − π2 V e i2 (t) = 5 2 sin ωt + π4 mA, e escolha a
afirmação correcta.
a) Os valores médios de v1 (t) e i2 (t) são, respec- c) O valor eficaz de i2 (t) é 5 mA.
tivamente, 1.5 V e 0 A.
d) Nenhuma das anteriores.
√
b) O valor eficaz de v1 (t) é 1/ 2 V.
Exercı́cio 6.5
√
Considere uma resistência R = 5 kΩ com corrente iR (t) = 2 2 cos (104 t + π/6) mA e escolha a
afirmação correcta acerca da potência posta em jogo na resistência.
a) A potência média é 20 mW.
c) A potência aparente é 10 mVA.
b) A potência instantânea alterna entre valores d) Nenhuma das anteriores.
positivos e negativos.
Exercı́cio 6.6
Considere um circuito que inclui resistências, bobines e condensadores e um gerador de tensão sinusoidal e escolha a afirmação correcta.
jωL
é a impedância equivalente a c) A admitância correspondente à ligação em
1 + ω 2 LC
série de uma resistência com um condensador
um condensador ligado em paralelo com uma
e com uma bobine nunca pode ser um número
bobine.
real.
b) A admitância de um condensador ligado em
d) Nenhuma das anteriores.
paralelo com uma resistência é Y = R + jωC.
a) Z =
Exercı́cio 6.7
No circuito RLC da figura figura E6.7, qual é a impedância equivalente vista pelo gerador de tensão,
quando vin (t) = 5 cos(103 t) V, R = 200 Ω, C = 2 mF e L = 0.5 mH?
a) Zin = 200 + j0.5 Ω.
c) Zin = 200 Ω.
b) Zin = 200 + j0.55 Ω.
d) Nenhuma das anteriores.
C AP. 6 – Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal
L
53
R
vo
C
vin
Figura E6.7
Exercı́cio 6.8
Considere o circuito da figura E6.7 e, nas condições do exercı́cio anterior, escolha a opção correcta.
a) vo (t) = −2.5 cos (103 t) mV.
(
)
c) vo (t) = 12.5 cos 103 t − π2 mV.
b) V o = −j2.5 mV.
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 6.9
Escolha a equação verdadeira para o circuito da figura E6.9 sabendo que iin (t) = IIN cos (ωt) em
ampere.
R
I in .
R + ZL + ZC
(
)
b) I in + I r = V o − V c × jωL.
a) V c =
c) Yin =
1
1
1
= +
.
Zin
R ZL + ZC
d) Nenhuma das anteriores.
Ir
L
Iin
Vo
R
C
Vc
Zin
Figura E6.9
Exercı́cio 6.10
Escolha a equação verdadeira para o circuito da figura E6.10 que se encontra a funcionar em regime
forçado sinusoidal.
a) Zin = jωC +
b) I r =
jωLR
.
R + jωL
ZR //ZL V in
.
ZC + ZR //ZL R
Vc
Il
C
Vin
R
c) I r + I l = jωC × V in .
d) Nenhuma das anteriores.
Zin
Figura E6.10
Ir
L
54
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
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Exercı́cio 6.11
Escolha uma equação verdadeira para o circuito da figura figura E6.11, a funcionar em regime forçado
sinusoidal com vin (t) = VIN cos (ωt) em volt.
a) V R =
b) V R
jωRC
V in .
1 + jωRC
1
=
V in .
1 + jωRC
c) I L =
R
Vin
VR
L
C
1
1 V in .
R − j ωC
IL
Figura E6.11
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 6.12
Escolha uma equação verdadeira para o circuito da figura E6.12 que se encontra a funcionar em
regime forçado sinusoidal com iin (t) = IIN sin (ωt + θ0 ) em ampere.
(
)
1
j ωL − ωC
(
) I in .
a) I L =
1
RA + j ωL − ωC
R
(A
) I in .
b) I RA =
1
RA + j ωL − ωC
(
)
1
c) V RA = j ωL −
I in .
ωC
IL
IRA
L
VRA
Iin
RA
C
Figura E6.12
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 6.13
Escolha a equação verdadeira para o circuito da figura E6.13 a funcionar em regime forçado sinusoidal
com vg (t) = 20 cos (ωt + π/4) V.
(
a) −Vg = R2 −
)
1
I2 .
jωC
(
)
1
V1
b) V1 + R2 +
= 0.
I2 + jωL
jωC
R1
jωL
c) V1 =
Vg .
R1 + jωL
d) Nenhuma das anteriores.
L
−
V1
R1
−
Vg
Figura E6.13
C
−
I2
R2
C AP. 6 – Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal
55
6.2 Problemas
Problema 6.1
Considere o circuito da figura
kΩ, C = 10 µF e um gerador de corrente sinusoidal
√ P6.1 ◦com R√= 1jπ/4
caracterizado por I in = 4 2 cis (45 ) = 4 2 e
mA e frequência f = 50/π Hz.
a) Determine iin (t).
d) Faça o diagrama vectorial representativo das
amplitudes complexas das correntes e da tenb) Calcule os fasores correspondentes às corrensão aos terminais dos três componentes.
tes na resistência e no condensador, I r e I c .
e) Calcule ir (t), ic (t) e vo (t).
c) Calcule V o .
ir
C
vo
iin
ic
R
Figura P6.1
Problema 6.2
Considere o circuito da figura P6.2, em regime forçado sinusoidal, com is (t) = 10 sin(104 t) A, R =
10 Ω, L = 1 mH e C = 2 µF.
a) Determine a impedância equivalente vista pelo
gerador de corrente.
C
vl
b) Determine o quociente entre as amplitudes
complexas da tensão na bobine e da corrente
no gerador, V l /I s .
is
R
L
Figura P6.2
c) Calcule V l e vl (t).
Problema 6.3
Considere o circuito da figura P6.3 e determine ic (t), sabendo que RA = RB = 10 kΩ, C = 10 µF e
o gerador é sinusoidal, va (t) = 10 cos(20t) V.
va(t)
ic (t)
RA
C
Figura P6.3
RB
56
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
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Problema 6.4
Considere o circuito da figura P6.4 com um gerador sinusoidal, vg (t) = 10 sin(5000t) V, R = 100 Ω,
C = 2 µF e L = 20 mH.
a) Calcule o fasor da corrente na bobine, I l .
c) Determine o fasor I c .
b) Determine o quociente entre as amplitudes d) Calcule il (t) e ic (t).
complexas da corrente no condensador e da
e) Calcule a corrente no gerador, ig (t).
tensão do gerador, I c /V g .
ig
R
ic
il
L
vg
C
Figura P6.4
Problema 6.5
Considere o circuito RLC-série da figura P6.5 a funcionar em regime forçado sinusoidal com R =
50 Ω e L = 510 µH.
a) Determine simbolicamente a resposta em fre- d) Calcule vs (t) quando o sinal de entrada tem
quência correspondente ao ganho de tensão,
13.6 V de amplitude, fase nula em t = 0 s e
Gv (ω) = V s /V e .
frequência igual à frequência de ressonância e
uma década acima e uma década abaixo dessa
b) Escolha o valor da capacidade por forma a que
frequência.
o circuito entre em ressonância a 7780 Hz.
c) Faça um esboço de |Gv (ω)| e identifique o tipo
de filtragem realizado.
L
C
ve
R
vs
Figura P6.5
Problema 6.6
Considere o circuito da figura P6.6, a funcionar em regime forçado sinusoidal, com R = 5.6 kΩ,
L = 0.4 H e i(t) = cos (104 t) mA.
C AP. 6 – Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal
a) Calcule a tensão na resistência, vr (t), e na bobine, vl (t).
57
complexas das tensões dos elementos do circuito e verifique a validade da lei das malhas.
b) Determine o valor da capacidade do conden- e) Qual deve ser o valor da capacidade do consador sabendo que vc (t) = 3.03 sin (104 t) V.
densador para que a corrente e a tensão no gerador estejam em fase?
c) Nas condições da alı́nea anterior calcule a tensão no gerador de corrente, vi (t).
f) Nas condições da alı́nea anterior trace o novo
d) Represente no plano complexo as amplitudes
diagrama vectorial das amplitudes complexas.
vl
vr
L
R
vi
C
i
vc
Figura P6.6
Problema 6.7
Considere o circuito da figura P6.7 com um gerador de corrente sinusoidal e calcule a potência média
e a potência aparente postas em jogo na resistência, na bobine e na série dos dois componentes.
i(t) = 18 cos (ωt) mA
f = 8640 Hz
L
i(t)
R = 12 kΩ
L = 82 mH
R
Figura P6.7
Problema 6.8
Considere o circuito da figura P6.8 com um gerador de corrente sinusoidal e calcule a potência média
dissipada em R2 e a corrente i1 (t).
R1 = 10 kΩ
R2 = 7 kΩ
C = 100 nF
i1
(
)
π
i3 (t) = 12 cos ωt + 80.4◦ 180
mA
◦
f = 942 Hz
R2
vC
R1
C
Figura P6.8
i3
58
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Problema 6.9
Considere o circuito da figura P6.9 a funcionar em regime forçado sinusoidal e calcule v2 (t) e a
potência média dissipada nas resistências.
R1 = R2 = 1 kΩ
L = 300 mH
L
(
)
π
vg (t) = 6 cos ωt + 90.5◦ 180
V
◦
f = 1.5 kHz
v2
R2
R1
vg
Figura P6.9
6.3
6.1
Soluções dos Problemas
√
(a) 4 2 cos(100t + π4 ) mA
(b) I r = 4 mA
I c = j4 mA
(c) 4 V
(e) ir (t) = 4 cos(100t) mA
6.2
6.3
6.4
(a) 5 − j45 Ω
√
(b) 5 2̸ −135◦ Ω
√
(c) 50 2 cos(104 t +
ic (t) = −4 sin(100t) mA
3π
)V
4
0.707 cos(20t + π/4) mA
(a) −0.1 A
√
(b) 5 2̸ −135◦ mS
√
◦
(c) 0.05 2 ej135 A
(d) il (t) = −0.1 cos(5000t) A
√
(e) 0.05 2 cos(5000t − 3π
)A
4
6.5
vo (t) = 4 cos(100t) V
(a) Gv (ω) =
√
ic (t) = 0.05 2 cos(5000t +
3π
)A
4
R
1
R+j (ωL− ωC
)
(b) 820 nF
(c) Passa-banda.
f
( vs (t) ◦ π )
fR /10
2.7 cos 2πf t + 79 180◦ V
(d) ve (t) = 13.6 cos (2πf t) V
fR = 7780 Hz
13.6
( cos (2πf t) V
)
π
10fR
2.7 cos 2πf t − 79◦ 180
V
◦
(
)
(
)
6.6 (a) vr (t) = 5.6 cos 104 t V vl (t) = −4 sin 104 t V
(b) 33 nF
C AP. 6 – Análise de Circuitos em Regime Forçado Sinusoidal
(
)
π
(c) 5.68 cos 104 t + 9.8◦ 180
V
◦
(d) −V i + V l + V c + V r = 0
(e) 25 nF
6.7
6.8
6.9
Pmed (W)
Pap (VA)
P2 = 504 mW
R
1.94
1.94
L
0
0.72
série
1.94
2.07
i1 (t) = 2 cos (1884πt) mA
(
)
π
P1 + P2 = 20 mW v2 (t) = 2 cos 3 × 103 πt + 20◦ 180
V
◦
59
60
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Capı́tulo 7
Análise de Circuitos com Vários Terminais
7.1
Exercı́cios
Exercı́cio 7.1
Considere o diporto
[ da figura]E7.1 com R = 1 kΩ e escolha a afirmação correcta acerca da matriz de
y11 y12
admitâncias Y =
.
y21 y22
a) y11 = 1 mS e y12 = −1 kΩ.
i1
R
i2
b) y22 = 1 mS e y12 = 1 mS.
c) y12 = −1 mS e y21 = −1 mS.
v1
v2
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E7.1
Exercı́cio 7.2
Considere o diporto da figura E7.2 e escolha a afirmação verdadeira acerca das matrizes de parâmetros
que o podem caracterizar.
a) A matriz
é:
[ de impedâncias
]
R −R
Z=
.
−R R
[
]
0 −1
b) A matriz hı́brida é: H =
.
1 G
i1
i2
v1
v2
R
c) Este sub-circuito não pode ser descrito com
uma matriz de admitâncias porque v1 = v2 .
d) Nenhuma das anteriores.
61
Figura E7.2
62
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Exercı́cio 7.3
Considere o sub-circuito da figura E7.3 e escolha a afirmação verdadeira.
a) O diporto é simétrico e recı́proco.
12kΩ
b) O diporto não é recı́proco nem simétrico.
12kΩ
c) O diporto é recı́proco mas não é simétrico.
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E7.3
Exercı́cio 7.4
Considere o sub-circuito da figura E7.4 e escolha a afirmação verdadeira.
a) O diporto é simétrico mas não é recı́proco.
R
b) O diporto é simétrico e recı́proco.
2R
R
c) O diporto é recı́proco mas não é simétrico.
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E7.4
Exercı́cio 7.5
Escolha a equação correcta para a matriz de impedâncias, Z, que descreve o diporto da figura E7.5 .
a) z11 = R + j
1
ωC
b) z12 = z22 = −j
1
ωC
I1
I2
R
V1
C
c) z21 = R
d) Nenhuma das anteriores.
V2
Figura E7.5
Exercı́cio 7.6
Considere o sub-circuito da figura E7.6 e admita que é um diporto que pode corresponder a uma
ligação entre dois diportos diferentes. Identifique o tipo de ligação entre diportos que pode ser correctamente identificada.
a) Ligação série-série.
c) Ligação em cascata.
b) Ligação paralelo-paralelo.
d) Nenhuma das anteriores.
C AP. 7 – Análise de Circuitos com Vários Terminais
63
R2
iA
iB
R1
R3
vA
vB
R4
Figura E7.6
Exercı́cio 7.7
Escolha a equação verdadeira para a matriz de parâmetros hı́bridos, H, que descreve o diporto da
figura E7.7 .
R
R − jωL
I1
jωRL
=−
R + jωL
V1
a) h21 = −
b) h11
c) h12 =
I2
L
1
R + jωL
R
V2
Figura E7.7
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 7.8
Considere os dois circuitos da figura E7.8 e escolha a afirmação verdadeira acerca da equivalência
dos circuitos quando se pretende calcular IA e IX de forma expedita.
a) Os dois circuitos são equivalentes e IA = IX .
b) Os dois circuitos não são equivalentes porque VY ̸= VB , logo IA ̸= IX .
c) Os dois circuitos são equivalentes e IX = 2IA .
d) Nenhuma das anteriores.
2.5kΩ
15kΩ
2.5kΩ
IX
4V
IA
VY
5kΩ
2V Y
10kΩ
4V
VB
2.5kΩ
Figura E7.8
2VB
10kΩ
10kΩ
64
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7.2 Problemas
Problema 7.1
Considere o diporto da figura P7.1 e determine a sua matriz de admitâncias.
R1
R2
Figura P7.1
Problema 7.2
As resistências do diporto resistivo da figura P7.2 são RA = RC = 2 kΩ e RB = 1 kΩ.
a) Determine simbolicamente a matriz de im- d) Confirme os resultados obtidos nas duas
pedâncias do diporto (sugestão: utilize os
alı́neas anteriores através da conversão dos
conceitos resistência equivalente e divisor de
parâmetros das matrizes.
tensão).
b) Calcule a matriz de impedâncias do diporto.
c) Calcule a matriz de transmissão directa do diporto, T, a partir da definição dos seus parâmetros (sugestão: utilize os conceitos resistência equivalente e divisor de tensão e de
corrente).
RB
RA
RC
Figura P7.2
Problema 7.3
Para o diporto da figura P7.3 calcule as matrizes hı́brida inversa, H′ = G, e de impedâncias, Z.
Rx = 220 kΩ
Ry = 560 kΩ
Rz = 82 kΩ
Ry
Rx
Rz
Figura P7.3
Problema 7.4
Considere o diporto da figura P7.4 e determine a sua matriz de admitâncias.
C AP. 7 – Análise de Circuitos com Vários Terminais
65
i1
i2
R1
R2 v2
v1
g×v1
Figura P7.4
Problema 7.5
Considere o diporto resistivo da figura P7.5 e responda às questões colocadas.
R1E = 100 kΩ
R2E = 200 kΩ
a) Determine a matriz de transmissão directa do
diporto da figura.
b) Admita dois diportos, idênticos ao da figura,
ligados em cascata. Considerando para o diporto posicionado à esquerda e o diporto à direita os valores indicados para as resistências,
calcule a matriz de transmissão directa do conjunto.
R1D = 1 kΩ
R2D = 2 kΩ
R2
R1
Figura P7.5
Problema 7.6
Considere o circuito da figura P7.6 que pode ser visto como um diporto resistivo terminado, à esquerda
e à direita, por uma fonte de tensão VB = 25 V e uma fonte de corrente IA = 15 mA.
a) Determine a matriz hı́brida inversa, H′ = G, b) Com base no resultado da alı́nea anterior,
que caracteriza o diporto.
calcule a corrente IX , indicada no esquema,
quando R = 11 kΩ.
R
2R
IX
VB
IA
R
2R
Figura P7.6
Problema 7.7
Considere o subcircuito figura P7.7 que é composto por dois diportos com a mesma topologia (correspondente a um divisor de tensão resistivo quando se considera um efeito de transmissão da esquerda
66
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c T.M.Almeida
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DE
para a direita) que estão ligados em cadeia.
a) Determine a matriz de transmissão directa do d) Repita a alı́nea anterior quando a resistência
diporto elementar (divisor resistivo).
de carga, RC , está ligada na saı́da.
b) Calcule a matriz de transmissão directa do
conjunto dos dois diportos elementares.
vg (t) = 24 cos (ωt) V
R1a = R1b = 10 kΩ
R2a = 30 kΩ
R2b = 5 kΩ
RC = 11 kΩ
c) Considere agora um gerador sinusoidal ligado
na entrada, vg (t), e determine o sinal vc (t) com
a saı́da em vazio.
R1a
vg
R 1b
R2a
RC
R2b
vc
Figura P7.7
Problema 7.8
Considere o circuito da figura P7.8(ii) que pode ser visto como um diporto resistivo duplamente
terminado por fontes de corrente.
a) Determine a matriz de transmissão directa do b) Utilize o resultado da alı́nea anterior para dediporto da figura P7.8(i).
terminar a potência dissipada nas resistências.
R = 10 Ω
RE
IA = 3 A
RD
IB = 1.5 A
2R
R
R
IA
IB
RM
R/2
(i)
2R
(ii)
Figura P7.8
Problema 7.9
Considere o sub-circuito da figura, que faz parte de um circuito a funcionar em regime forçado sinusoidal, e determine a sua matriz de impedâncias.
C1 = 950 nF
C2 = 63 nF
C3 = 950 nF
L = 1.95mH
f = 8140 Hz
C AP. 7 – Análise de Circuitos com Vários Terminais
67
L
C2
C1
C3
Figura P7.9
Problema 7.10
Considere o circuito da figura em que se pretende calcular VX e IY . Utilize o teorema de Miller para
calcular estas grandezas de forma expedita. Depois, faça a análise do circuito sem usar o teorema de
Miller e compare o esforço de cálculo que teve de utilizar.
IY
2kΩ
4kΩ
4kΩ
1kΩ
1.7V
VX
7×IY
1.2kΩ
4×VX
Figura P7.10
7.3
Soluções dos Problemas
[
7.1
[
7.2
(a)
[
(b)
[
1
R1
− R11
− R11
]
1
R1 //R2
RA // (RB + RC )
RA RC
RA +RB +RC
1.2 kΩ 0.8 kΩ
0.8 kΩ 1.2 kΩ
]
RA RC
RA +RB +RC
]
RC // (RA + RB )
]
1.5
1 kΩ
(c,d)
1.25 mS 1.5
[
]
[
]
780 kΩ 560 kΩ
1.28 µS −0.718
′
7.3
Z=
G=H =
560 kΩ 642 kΩ
0.718 240 kΩ
]
[
G1
−G1
7.4
− (g + G1 ) G1 + G2
]
[
1
R2
7.5 (a)
1/R1 1 + R2 /R1
1.9V
68
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[
201
602 kΩ
(b)
3.01 mS 9.02
]
[ 3
− 14
4R
7.6 (a)
1
3R
4
]
4
(b) −10.91 mA
[
]
1 + R1 /R2 R1
7.7 (a)
1/R2
1
[
]
6
23.33 kΩ
(b)
0.3 mS
1.33
(c) 4 cos (ωt) V
(d) 3 cos (ωt) V
(
[
E
1 + RRM
RD + RE 1 +
7.8 (a)
1
D
1 + RRM
RM
(b) 157.5 W
]
[
−j25 j4
Ω
7.9
j4 −j25
7.10
−1.2 V
500 µA
RD
RM
) ]
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝
Capı́tulo 8
Análise de Circuitos com
Amplificadores Operacionais
8.1
Exercı́cios
Exercı́cio 8.1
Um amplificador operacional (AmpOp) real é caracterizado por ter:
a) Resistência de saı́da muito baixa e ganho de c) Resistência de entrada muito baixa e ganho de
tensão muito baixo.
tensão muito elevado.
b) Resistência de entrada muito elevada e resis- d) Nenhuma das anteriores.
tência de saı́da muito baixa.
Exercı́cio 8.2
Escolha a afirmação correcta para o circuito da figura E8.2 admitindo que o amplificador operacional
é ideal e não está saturado.
a) vS /vG = −1.
c) vS /vG = −10.
b) vS /vG = 10.
d) Nenhuma das anteriores.
150kΩ
15kΩ
vG
15kΩ
Figura E8.2
69
vS
70
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Exercı́cio 8.3
Considere o circuito da figura E8.3 e escolha a afirmação verdadeira admitindo que o AmpOp é ideal
e não está saturado.
a) vO = −
R1
vS .
R2
vS
vO
RS
(
)
R1
vS .
b) vO = 1 +
R2
(
)
R2
R1
c) vO =
1+
vS .
RS
R2
R2
R1
Figura E8.3
d) Nenhuma das anteriores.
Exercı́cio 8.4
Escolha a afirmação verdadeira admitindo que o AmpOp é ideal e não está saturado.
a) VG = 2 V ⇒ VS = −20 V.
b) VG = −3 V ⇒ VS = −15 V.
1.2kΩ
vG
c) VG = −0.5 V ⇒ VS = 2.5 V.
d) Nenhuma das anteriores.
1.6kΩ
600Ω
vS
1.2kΩ
Figura E8.4
Exercı́cio 8.5
Escolha a afirmação correcta para o circuito da figura E8.5.
a) IA = 2 mA ⇒ VB = 6 V.
+5V
b) IA = −3 mA ⇒ VB = 5 V.
c) IA = −1 mA ⇒ VB = −3 V.
d) Nenhuma das anteriores.
VB
IA
500Ω
−5V
10kΩ
2kΩ
Figura E8.5
2kΩ
C AP. 8 – Análise de Circuitos com Amplificadores Operacionais
71
Exercı́cio 8.6
Considere o circuito da figura E8.6 e escolha a equação verdadeira admitindo que o amplificador
operacional funciona sempre em modo linear.
a) V3 = V1 − V2 .
V3
V1
b) V3 = 3V1 − 2V2 .
c) V3 = 3V1 /2 − V2 /4.
V2 1kΩ
2kΩ
d) Nenhuma das anteriores.
1/2kΩ
Figura E8.6
Exercı́cio 8.7
Considere que o amplificador operacional nunca satura e escolha a equação verdadeira para o circuito
da figura E8.7.
a) VC = 2VA − VB .
R
b) VC = 2 (VB − VA ).
2R
vA
vB
c) VC = 3VB − 2VA .
vC
2R
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E8.7
Exercı́cio 8.8
Considerando os AmpOps ideais e a funcionar na zona linear, escolha a equação verdadeira.
a) vO = 4v1 − 6v2 .
2kΩ
b) vO = 4v1 − 2v2 .
c) vO = 6v1 − 4v2 .
d) Nenhuma das anteriores.
1kΩ
v1
v2
2kΩ
1kΩ
vO
2kΩ
Figura E8.8
Exercı́cio 8.9
Considere o circuito da figura E8.9 e escolha a equação verdadeira admitindo que o AmpOp é ideal e
não está saturado.
72
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
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DE
a) VB = −2RIA .
b) VB = 3RIA .
2R
6R
IA
VB
R
c) VB = −6RIA .
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E8.9
Exercı́cio 8.10
Escolha a equação verdadeira admitindo que o AmpOp é ideal e não satura.
a) V2 = 2RI1 .
V2
b) V2 = 3RI1 .
R
I1
2R
2R
c) V2 = −6RI1 .
R
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E8.10
Exercı́cio 8.11
Escolha a afirmação verdadeira admitindo que o AmpOp é ideal e está alimentado com ±5 V.
a)
V out
1
1
=−
.
2 1 + jωRC
V in
b) VIN = 3 V ⇒ VOU T = 5 V.
C
R
vIN
c) Um sinal de entrada sinusoidal com frequência
muito baixa é muito atenuado pelo circuito.
vOUT
R/2
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E8.11
Exercı́cio 8.12
Escolha a equação verdadeira para os circuitos da figura E8.12 sabendo que R = 1.5 kΩ, C = 68 nF
e que os sinais de entrada são iguais: v1 (t) = va (t) = 2 cos (ωt) V. Admita um AmpOp ideal que
está alimentado com ±VCC = ±8 V.
(
)2
V2
1
.
=
a)
1 + jωRC
V1
Vb
=
c)
Va
b) v2 (t) = vb (t).
d) Nenhuma das anteriores.
1
1 + jωRC
.
C AP. 8 – Análise de Circuitos com Amplificadores Operacionais
v1
v2
R
vA
R
C
73
vB
R
C
R
C
C
Figura E8.12
Exercı́cio 8.13
Considere o circuito da figura E8.13 a funcionar em regime forçado sinusoidal e admita que o amplificador operacional é ideal e está alimentado com ±VCC .
a) O circuito realiza um filtro passa-banda.
CB
b) O circuito realiza um filtro passa-alto.
CA
RB
vA
c) O circuito realiza um filtro passa-baixo.
vB
RA
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E8.13
8.2
Problemas
Problema 8.1
No circuito da figura P8.1 admita que os amplificadores operacionais são ideais e estão alimentados
com ±VCC = ±12 V.
a) Calcule V5 quando V1 = 6.5 V, V2 = 10 V, R1 = R2 = R3 = R4 = 5.1 kΩ e R5 = 15 kΩ.
b) Calcule V5 quando V1 = 8.5 V, V2 = 4.7 V, R1 = R2 = 5.1 kΩ, R3 = 2R4 = R5 = 15 kΩ.
v1
R1
R3
v2
R2
R5
R4
Figura P8.1
v5
74
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
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DE
Problema 8.2
Considere o circuito amplificador da figura e admita que o amplificador operacional (AmpOp) é ideal.
a) Admitindo na entrada um sinal sinusoidal, de- c) Determine qual a máxima amplitude que um
termine a relação simbólica entre as amplitusinal de entrada sinusoidal pode ter por forma
des complexas da saı́da e da entrada, V s /V e .
a garantir que o AmpOp não satura.
b) Calcule vs (t) quando ve (t) = 2 cos (ωt) V e d) Calcule vs (t) quando f = 20 kHz e
f ∈ {100 Hz, 1 kHz, 10 kHz}.
ve (t) = −3 + 3 sin (ωt) V.
C1
±VCC = ±18 V
R1 = 4.8 kΩ
R2 = 36 kΩ
C1 = 33 nF
R1
ve
R2
vs
Figura P8.2
Problema 8.3
No circuito da figura P8.3 considere que o AmpOp é ideal, está alimentado com ±5 V, RA = 2 kΩ,
RB = 1 kΩ, R = 10 kΩ e C = 100 nF.
a) Determine a razão entre as amplitudes com- b) Calcule vo (t) para vi (t) = 3 cos (1000t) V.
plexas das tensões de saı́da e de entrada, Vo /Vi
(não substitua valores numéricos), admitindo c) Desenhe as formas de onda de vi (t) e vo (t).
um sinal de entrada sinusoidal e que o AmpOp
não está saturado.
RB
vI
RA
R
vO
vB
C
Figura P8.3
Problema 8.4
Considere o circuito da figura com R1 = 39 kΩ, R2 = 2.5 kΩ e C = 15 nF. Admita que o amplificador operacional é ideal e está alimentado com ±VCC = ±15 V.
C AP. 8 – Análise de Circuitos com Amplificadores Operacionais
a) Admita em v1 (t) um sinal sinusoidal e determine a relação simbólica entre as amplitudes
complexas da saı́da e da entrada, V 2 /V 1 (não
substitua valores numéricos).
(
)
92◦ π
b) Considere v1 (t) = 1.6 sin ω1 t +
Ve
180◦
f1 = 1342 Hz e calcule v2 (t).
75
v1
v2
C
R2
R1
Figura P8.4
Problema 8.5
Considere o circuito da figura P8.5 com um AmpOp ideal e alimentado com ±VCC = ±12 V. Admita
L = 2 mH, R1 = R2 = 500 Ω, R3 = 1 kΩ e R4 = 3 kΩ.
a) Considere um sinal de entrada sinusoidal e determine a relação simbólica (em função de ω e
sem substitir valores numéricos) entre as amplitudes complexas V 2 /V 1 .
b) Calcule v2 (t) e v3 (t) para um sinal de entrada
v1 (t) = 3 cos (8 × 104 t) V.
c) Nas condições da alı́nea anterior calcule a
potência média dissipada na resistência R2 e
na bobine.
d) Considere agora que v1 (t) = 4 V há muito
tempo mas, no instante t0 = 4 µs, muda para
v1 (t) = −4 V. Calcule a equação de variação
da corrente na bobine para t > 0 s.
v1
+VCC
v2
R1
v3
L
-VCC
R2
R4
R3
Figura P8.5
Problema 8.6
Admita que o AmpOp do circuito da figura P8.6 é ideal e está alimentado com ±VCC = ±5 V.
Considere RA = RC = RD = 1 kΩ, RB = 3 kΩ e C = 10 nF.
a) Para um sinal de entrada sinusoidal determine d) Considere agora uma situação em que o am(simbolicamente) a razão entre as amplitudes
plificador operacional está saturado negativacomplexas V c /V a .
mente há muito tempo, mas em t0 = 10 µs
passa a estar saturado positivamente, devido
b) Calcule vB (t) e vC (t) para um sinal de entrada
a uma alteração em vA (t). Determine vC (t)
sinusoidal, vA (t) = 500 cos (100t) mV.
para t > 0 s e faça o gráfico dos sinais vB (t) e
vC (t).
c) Nas condições da alı́nea anterior calcule a potência média dissipada na resistência RD e no
condensador.
76
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
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RB
vA
RA
RD
vC
vB
C
RC
Figura P8.6
Problema 8.7
Considere o circuito da figura P8.7 e admita que o amplificador operacional é ideal e está alimentado
com ±VCC = ±15 V, R1 = R2 = 2.2 kΩ, R3 = R4 = 18 kΩ e C1 = C2 = 3.3 nF.
a) Determine a relação simbólica entre a ampli- b) Calcule v3 (t) quando os dois sinais de entude complexa da saı́da e( as amplitudes
comtrada são sinusoidais: v1 (t) = 13 cos (ω1 t) V
)
plexas das entradas, V 3 V 1 , V 2 , admitindo
e v2 (t) = 1.7 sin (ω2 t) V, com frequências
que o AmpOp não satura.
f1 = 103 Hz e f2 = 87 kHz.
C1
v1
v2
R1
R4
v3
C2
R2
R3
Figura P8.7
Problema 8.8
Considere o circuito da figura P8.8 e admita que o amplificador operacional é ideal e está alimentado
com ±VCC = ±5 V, R1 = 11 kΩ, R2 = 12 kΩ, R3 = 24 kΩ, C1 = 47 nF e C2 = 510 pF.
a) Considere um sinal de entrada sinusoidal e determine a razão Vs /Ve (não substitua valores
numéricos).
b) Qual o tipo de filtragem realizado pelo circuito?
c) Calcule vS (t) para:
vE (t) = −3.9 + 4.1 cos (60πt − π/4) V
ve (t) = 3.7 sin (8(× 103 πt) V
π )
V
ve (t) = 0.89 cos 1.3 × 105 πt + 86◦
180◦
vE
vS
C1
R1
R2
C2
Figura P8.8
R3
C AP. 8 – Análise de Circuitos com Amplificadores Operacionais
77
8.3 Soluções dos Problemas
8.1
(a) 10.3 V
(b) −1 V
8.2
(a) −
jωR2 C1
1 + jωR1 C1
(
)
π
(b) vs (t) = 1.5 cos( 200πt − 96◦)180
V
◦
vs (t) = 11 cos (2000πt − 3π
V
4
)
π
vs (t) = 15 cos 2 × 104 πt − 174◦ 180
V
◦
(c) 2.4 V

, ve < −2.4 V
 18 V
(
)
4
◦ π
22.5 cos 4 × 10 πt + 93 180◦ V , |ve | ≤ 2.4 V
(d) vs (t) =

−18 V
, ve > 2.4 V
8.3
8.4
8.5
RB
1
RA 1 + jωRC
1.5
3π
(b) √ cos(1000t +
)V
4
2
(a) −
1
+ jωR1 C
1+ R
V2
R2
=
1 + jωR1 C
V1
(
)
π
(b) v2 (t) = 5.5 sin 2684πt + 30◦ 180
V
◦
(a)
V2
R2
=
R1 + R2 + jωL
V1
)
(
π
V
(b) v2 (t) = 1.5 cos 8 × 104 t − 9◦ 180
◦
(a)
(c) PL = 0
(d) iL (t) =
8.6
PR2 = 2.2 mW
{
4
−6
− t−4×10
2×10−6
−4 + 8 e
(
)
π
v3 (t) = 6 cos 8 × 104 t − 9◦ 180
V
◦
, t ≤ 4 µs
, t ≥ 4 µs
mA
Vc
RB
RC
=−
Va
RA RC + RD + jωRC RD C
(b) vB (t) = −1.5 cos (100t) V
vC (t) = −0.75 cos (100t) V
(a)
(c) PC = 0
PRD = 281 µW
{
−5 , t ≤ 10 µs
(d) vB (t) =
+5 , t ≥ 10 µs
8.7
8.8
{
V
vC (t) =
−2.5
−5
− t−10 −6
5×10
2.5 − 5 e
)
jωR3 C1 (
V2 − V1
1 + jωR1 C1
(
)
π
(b) v3 (t) = 13.5 sin 1.74 × 106 πt + 14◦ 180
− 0.5 sin (206πt) V
(a) V3 =
(a)
jωR1 C1 1 + jω(R2 + R3 )C2
1 + jωR1 C1
1 + jωR2 C2
, t ≤ 10 µs
, t ≥ 10 µs
V
78
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(b) Passa-alto
)
(
◦ π
V)
(c) v3 (t) = 0.4 cos
60πt
+
40
180
(
π
v3 (t) = 4 cos 8(× 103 πt − 70◦ 180
V )
5
◦ π
v3 (t) = 2.5 cos 1.3 × 10 πt + 100 180 V
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Capı́tulo 9
Análise de Circuitos com Dı́odos
9.1
Exercı́cios
Exercı́cio 9.1
Considerando para os dı́odos o modelo do dı́odo ideal, escolha a afirmação verdadeira para o circuito
da figura E9.1.
a) Os dois dı́odos estão cortados.
1kΩ
b) Os dois dı́odos estão a conduzir.
D1
D2
6V
c) O dı́odo D1 conduz e o dı́odo D2 está cortado.
1kΩ
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E9.1
Exercı́cio 9.2
Considere os circuitos e escolha a afirmação verdadeira admitindo um modelo de dı́odo ideal.
a) Os dı́odos D1 e D2 conduzem.
c) Os dı́odos D2 e D3 conduzem.
b) Os dı́odos D1 e D4 estão cortados.
d) Nenhuma das anteriores.
1kΩ
5V
D1
D2
1V
250Ω
D3
5V
300Ω
D4
100Ω
250Ω
Figura E9.2
79
100Ω
100Ω 5V
80
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Exercı́cio 9.3
Admitindo que o dı́odo de junção da figura E9.3 é caracterizado por um modelo linear por troços com
fonte de tensão VD0 = 0.5 V, escolha a afirmação verdadeira.
a) ID = −2 mA e IR = 2 mA.
IR
4mA
ID
b) ID = 0 A e IR = −4 mA.
250Ω
c) ID = 3.8 mA e IR = −0.2 mA.
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E9.3
Exercı́cio 9.4
Escolha a afirmação correcta para o circuito da figura figura E9.4 sabendo que o dı́odo de junção é
caracterizado por um modelo linear com fonte de tensão VD0 = 0.7 V e o sinal de entrada é sinusoidal
de amplitude 7 V.
a) O dı́odo conduz para vI > 1.4 V.
1kΩ
b) O circuito é um rectificador de
meia-onda negativo.
vO
vI
c) O dı́odo conduz para vI > 0.7 V.
1kΩ
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E9.4
Exercı́cio 9.5
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura figura E9.5 quando o dı́odo de junção é
caracterizado por um modelo linear com fonte de tensão VD0 = 0.66 V.
a) O dı́odo nunca conduz.
b) O dı́odo conduz para iA < 2.2 mA.
c) iA = 3.3 mA
⇒
iD = 5.5 mA
d) Nenhuma das anteriores.
300Ω
iA
Figura E9.5
Exercı́cio 9.6
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura figura E9.6 quando o dı́odo de germânio é
caracterizado por um modelo linear por troços com fonte de tensão VD0 = 0.3 V.
C AP. 9 – Análise de Circuitos com Dı́odos
81
a) ID = 1 mA.
b) ID = 0 A.
3.7V
ID
c) ID = 3 mA.
3mA
d) Nenhuma das anteriores.
2kΩ
Figura E9.6
Exercı́cio 9.7
Considere o circuito da figura E9.7 e admita que o dı́odo é caracterizado por um modelo linear por
troços com VD0 = 0.6 V. Escolha a afirmação verdadeira correspondente ao funcionamento do circuito quando vE ∈ [−4 V, +8 V].
a) O circuito é um rectificador de 1/2–onda.
b) O circuito é um limitador simples.
1.2kΩ
vE
vS
c) A tensão máxima na saı́da é VS = +5 V.
5.6V
d) Nenhuma das anteriores.
Figura E9.7
Exercı́cio 9.8
Considere para o dı́odo da figura E9.8 um modelo de dı́odo ideal e escolha a afirmação verdadeira.
a) Para o dı́odo estar a conduzir é preciso que c) Quando o dı́odo está a conduzir obtém-se:
v1 (t) > 2 V.
v3 (t) = 2 + 12 cos (ωt) V.
b) O valor mı́nimo de v3 (t) é −10 V.
v1 (t) = 12 cos (ωt) V
V2 = 2 V
R3 = 1 kΩ
d) Nenhuma das anteriores.
V2
v1
v3
R3
Figura E9.8
Exercı́cio 9.9
Escolha a afirmação verdadeira para o circuito da figura E9.9 considerando que os dı́odos são caracterizados por um modelo com fonte de tensão VD0 = 0.5 V.
82
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a) Ambos os dı́odos estão a conduzir.
1kΩ
D1
b) O dı́odo D1 conduz e o dı́odo D2 está cortado.
5mA
c) O dı́odo D2 conduz e o dı́odo D1 não conduz.
d) Nenhuma das anteriores.
D2
1kΩ
Figura E9.9
Exercı́cio 9.10
No circuito da figura E9.10 considere os dı́odos iguais e caracterizados por um modelo com fonte de
tensão VD0 = 0.5 V. Escolha a afirmação verdadeira.
a) Se VG = 4.5 V os dı́odos conduzem e a fonte
VG recebe energia do circuito.
2kΩ
IB
IA
b) Quando VG = 0.75 V o dı́odo DA conduz e o
dı́odo DB está cortado.
VG
c) Se VG = 5 V os dois dı́odos conduzem e tem-se IA = IB = 1 mA.
DB
DA
2kΩ
Figura E9.10
d) Nenhuma das anteriores.
9.2
Problemas
Problema 9.1
Considere os circuitos da figura P9.1 com dı́odos de junção PN e determine se os dı́odos estão a
conduzir ou cortados e qual a sua corrente. Tenha em conta os modelos dos dı́odos indicados nas
várias alı́neas e rD = 65 Ω, VD0 = 0.7 V e R = 250 Ω.
a) Modelo de dı́odo ideal.
b) Modelo com fonte de tensão VD0 .
5V
c) Modelo com fonte de tensão VD0 e resistência
dinâmica rD .
+2V
5R
(i)
6V
D1
−3.6V
2R
5R
4V
+1.8V
2R
−1V
(ii)
(iii)
Figura P9.1
(iv)
D2
C AP. 9 – Análise de Circuitos com Dı́odos
83
Problema 9.2
Considere o circuito da figura P9.2 com um dı́odo de junção PN e uma fonte de tensão VA regulável.
a) Considere o modelo de dı́odo ideal e deter- c) Nas condições da alı́nea anterior e com VA ∈
mine para que valores de VA é que o dı́odo
[−5 V ≤ VA ≤ +5 V], qual é a máxima corconduz. Quanto vale VB quando o dı́odo conrente que percorre o dı́odo? E qual a máxima
tensão inversa aplicada aos seus terminais?
duz? E quando está cortado?
b) Considere agora um modelo com fonte de
tensão VD0 = 0.7 V e repita a alı́nea anterior.
2.2kΩ
2.7V
VB
VA
Figura P9.2
Problema 9.3
Considere o circuito da figura P9.3 com dois dı́odos de junção PN, uma fonte de corrente IF = 7.5 mA
e resistências R1 = R2 = 5 kΩ, R3 = 3 kΩ e R4 = 2 kΩ.
a) Calcule V4 admitindo que os dı́odos são caracterizados por um modelo de dı́odo ideal.
b) Considere agora os dı́odos representados por
um modelo com fonte de tensão VD0 = 0.65 V
e calcule V4 e a potência posta em jogo em todos os componentes do circuito.
D1
R1
D2
R3
IF
V4
R2
R4
Figura P9.3
Problema 9.4
Considere o circuito rectificador de meia-onda da figura P9.4 com um gerador de tensão sinusoidal,
vg (t) = VGM sin (ωt) e uma resistência de carga RC = 10 kΩ. Admita que o funcionamento do dı́odo
pode ser aproximado por um modelo de dı́odo ideal.
a) Determine ic (t) e faça um esboço da sua forma
de onda.
b) Determine o valor médio da corrente iC (t).
c) Determine a amplitude do sinal do gerador de
tensão, VGM , por forma a obter-se uma corrente ic (t) de valor médio 2 mA.
ic
vg
RC
Figura P9.4
84
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Problema 9.5
Os dı́odos da figura são de silı́cio e a máxima corrente que suportam é 20 mA. Admita que podem ser
representados por um modelo linear por troços com fonte de tensão VD0 = 0.7 V.
a) Qual a função do circuito?
R
b) Calcule a tensão de saı́da VB e a corrente
nos dı́odos quando vA (t) = VA = ±12 V e
R = 300 Ω.
vA
c) Se apenas fosse utilizado um dı́odo o circuito
funcionaria correctamente?
D1
D2
vB
Figura P9.5
Problema 9.6
Considere o circuito da figura P9.6 com R = 1 kΩ e VX = 3 V, −6 V < vIN < +6 V e os dı́odos de
junção PN caracterizados por um modelo com uma fonte de tensão VD0 = 0.7 V.
a) Para que valores do sinal de entrada, vIN , é que
os dı́odos conduzem?
R
VX
b) Determine a caracterı́stica de transferência do
circuito, vOU T (vIN ), trace o seu gráfico e diga
qual a função do circuito.
vIN
DX
DY
vOUT
Figura P9.6
Problema 9.7
Considere o circuito da figura P9.7 e mostre que a acção do interruptor permite comutar a corrente IB
e quadruplicar a corrente IA . Admita para os dı́odos um modelo linear por troços com fonte de tensão
VD0 .
RC
VC
DB
I B IA
RB
RA
VB
DA
RA = 2.5 kΩ
RB = 1.3 kΩ
RC = 1.1 kΩ
VB = 2 V
VC = 5 V
VD0 = 0.56 V
Figura P9.7
Problema 9.8
Considere o circuito da figura P9.8 e admita que os dı́odos de junção podem ser representados pelo
modelo ideal.
C AP. 9 – Análise de Circuitos com Dı́odos
85
a) Determine vS1 (vE1 ) e vS2 (vE2 ) e diga qual a
função de cada um dos circuitos.
b) Dimensione os componentes do circuito por
forma a que as suas funções sejam comple-
R1
vE1
D1
mentares com uma limitação feita a 3 V e a
máxima corrente nos dı́odos não exceda 5 mA,
quando os sinais de entrada são ve1 (t) =
8 sin (ωt) V e ve2 (t) = 5 cos (2ωt) V.
D2
vS1
vE2
V1
R2
vS2
V2
Figura P9.8
Problema 9.9
Considere o circuito da figura P9.9 com um sinal de entrada sinusoidal e admita que o dı́odo de junção
é caracterizado pelo modelo ideal.
a) Determine e desenhe as formas de onda dos c) Proponha um circuito de um filtro passa-baisinais de entrada, vE (t), e de saı́da, vS (t),
xo que permita diminuir significativamente a
quando o interruptor está aberto.
ondulação presente no sinal de saı́da quando o
interruptor está fechado. Desenhe o esquema
b) Repita a alı́nea anterior para o interruptor feeléctrico total do circuito.
chado (faça as aproximações que considere
necessárias).
ve (t) = VE sin (ωt)
VE = 10 V f = 1 kHz
R = 27 kΩ
C = 68 nF
R
vS
vE
C
Figura P9.9
Problema 9.10
Considere o circuito regulador da figura P9.10. Admita que o dı́odo é caracterizado por um modelo
com fonte de tensão VD0 = 0.75 V.
a) Determine qual é a variação sofrida pela b) Qual foi a variação sofrida pela corrente no
tensão entregue à carga, RC , se VA sofrer um
dı́odo?
aumento de 40%. Verifique o efeito regulador
do circuito.
86
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DE
RA = 1.8 kΩ
VA = 18 V
RB = 12 Ω
VB = 12 V
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RA
VA
RB
VC
VB
RC = 4.7 kΩ
Figura P9.10
9.3
Soluções dos Problemas
9.1
a)
b)
c)
9.2
(i)
0A
0A
0A
(ii)
4 mA
2.6 mA
2.3 mA
(iii)
2 mA
0.6 mA
0.53 mA
(iv)
I1 = 4.48 mA, I2 = 0 A
I1 = 3.92 mA, I2 = 0 A
I1 = 3.41 mA, I2 = 0.33 mA
(a) Dı́odo conduz para VA > −2.7 V
Dı́odo ON ⇒ VB = −2.7 V
Dı́odo OFF ⇒ VB = VA
(b) Dı́odo conduz para VA > −2.0 V
Dı́odo ON ⇒ VB = −2.0 V
Dı́odo OFF ⇒ VB = VA
−2.3 V
(c) 3.18 mA
9.3
(a) V4 = −9 V
(b) V4 = −9 V PR1 = 281.25 mW PR3 = 27 mW PR4 = 40.5 mW
PD1 = 4.88 mW PIF = −353.6 mW
{
0A
, 0 ≤ ωt ≤ π
ic (t) = ic (t + T )
9.4 (a) ic (t) =
−0.1VGM sin (ωt) mA , π ≤ ωt ≤ 2π
(b)
0.1VGM
π
(c) 62.8 V
9.5
(a) Limitador inferior.
(b)
VA
+12 V
−12 V
I1 = I2
0A
18.8 mA
VB
+12 V
−0.7 V
(c) Não. I1 = 37.7 mA > 20 mA
9.6
(a) DX conduz para vIN

 −0.7 V
vIN
(b) vOU T =

3.7 V
> 3.7 V. DY conduz para vIN < −0.7 V.
, vIN ≤ −0.7 V
, −0.7 V ≤ vIN ≤ 3.7 V
, vIN ≥ 3.7 V
Limitador duplo.
RC
C AP. 9 – Análise de Circuitos com Dı́odos
9.7
9.8
interruptor
IA
IB
aberto
1 mA 0.5 mA
fechado
4 mA
0A
{
V1
, vE1 (t) ≤ V1
(a) vS1 (t) =
vE1 (t) , vE1 (t) ≥ V1
(b) V1 = V2 = 3 V
9.9
87
{
vS2 (t) =
vE2 (t) , vE2 (t) ≤ V2
V2
, vE2 (t) ≥ V2
R1 = 2.2 kΩ
R2 = 1.6 kΩ
{
vE (t) , vE (t) ≥ 0V
vS (t) =
0
, vE (t) ≤ 0V
(
)
(a) vE (t) = 10 cos 2π103 t V
{
−3
10e−t/(1.836×10 ) V , 0 s ≤ t ≤ 0.8578 ms
(b) vS (t) =
10 cos 2π103 t V , 0.8578 ms ≤ t ≤ 1 ms
vS (t) = vS (t + 1 ms)
(c) Há várias possibilidades. Por exemplo, circuito isolador com AmpOp, alimentado com
±12 V, seguido de circuito RC com R = 22 kΩ e C = 68 nF.
9.10
(a) ∆VC : +0.4%
(b) ∆ID : +1962%
88
C OLECÇ ÃO DE P ROBLEMAS DE A N ÁLISE
DE
c T.M.Almeida
C IRCUITOS – 2012 – ⃝