Aula06 - Evandro Bastos

Movimento Circular
Evandro Bastos dos Santos
19 de Março de 2017
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Velocidade Angular
Com certeza, você já viu alguém deitar em uma rede e balançar; se não foi também em uma
rede, brincar em um balanço da praça pública ou da escola. Dos movimentos repetitivos, o
movimento circular uniforme é o mais enfatizado. Se focarmos nossa atenção em um ponto
sobre uma roda ou qualquer objeto que gire, por exemplo, uma roda gigante, veremos que
este ponto retornará sempre ao mesmo lugar de maneira cadenciada. A partir dele, outras
situações mais específicas, como o Movimento Harmônico, são analisados em momentos
posteriores. Para avaliar este tipo de movimento é necessário se tratar de uma grandeza
chamada Velocidade Angular. Suponha que um corpo está em movimento de rotação. Em
um dado instante t1 , um móvel se encontra a um certo ângulo θ1 medido em relação à certo
ponto. Após certo tempo, no instante t2 , um móvel se encontra a um certo ângulo θ2 medido
em relação ao mesmo ponto.
Figura 1: Deslocamento angular
Denominamos velocidade angular média a taxa de variação temporal do ângulo. Matematicamente:
ω=
∆θ
∆t
(1)
em que ω é a velocidade angular média, ∆θ é o deslocamento angular e ∆t é a variação
temporal.
1
Podemos inferir, a partir da relação mostrada, que a unidade de medida da velocidade
angular (no padrão internacional) é o rad/s (radiano por segundo). Apenas para lembrar:
Radiano é a unidade de medida de ângulo que é considerada o padrão internacional. É
definida por um setor circular onde a distância percorrida na circunferência (arco) é igual ao
raio do círculo. Vale, aproximadamente, 57, 3o .
Figura 2: Definição de 1 rad
Essa definição de velocidade angular é válida para a rotação de um corpo rígido por
inteiro, assim como para todas as partículas deste corpo.
2
Movimento Circular Uniforme
O Movimento Circular Uniforme (MCU) acontece quando sua trajetória é uma circunferência e o módulo de sua velocidade permanece constante no decorrer do tempo. Em nosso
cotidiano é comum observarmos o movimento realizado por ventiladores, rodas de carros
e também pelo liquidificador. Todos esses são exemplos de aparelhos que utilizam o MCU.
Para analisarmos a parte teórica dessas utilizações precisamos relembrar os movimentos
realizados por um móvel em trajetória retilínea.
A equação da posição para o MRU é:
S = S0 + vt
(2)
De modo análogo a equação do MCU será:
θ = θ0 + ωt
(3)
em que θ é a posição angular e ω a velocidade angular.
2.1
Frequência e Período
No MCU percebemos que o objeto tem um movimento que parte de um determinado ponto
e depois de um certo tempo volta ao mesmo ponto. Esse tempo de 1 volta completa definiremos como período(T), sua unidade no SI será o segundo(s).
Sabendo a definição de período podemos responder a seguinte pergunta: Se a partícula
dá uma volta em um determinado tempo, em segundos no SI, quantas voltas dará em 1 segundo? Essa grandeza é conhecida por frequência, sua unidade no SI será 1/s ou Hertz(Hz),
e calculamos como o inverso do período.
2
f=
1
t
(4)
Frequência e velocidade angular estão intimamente relacionados, podemos ver isso ao
perceber que a definição das duas está ligado a quantidade de voltas em um determinado
intervalo de tempo. A relação entre as duas grandezas é:
ω = 2πf
2.2
(5)
Velocidade Escalar e Velocidade Angular
Podemos medir a velocidade escalar de um corpo que se move em um movimento circular?
A resposta é sim e a relação entre v e ω pode ser retirada da definição geométrica do ângulo.
Para medir um ângulo em radianos (rad) basta dividir o arco compreendido entre os
lados do ângulo pela medida do raio, obtendo:
∆θ =
∆S
R
(6)
Dividindo os dois membros por ∆t, obtemos:
∆S
∆S
=
R
R∆t
Como ω =
∆θ
∆t
ev=
∆s
,
∆t
(7)
substituindo, obtemos:
v
R
(8)
v = ωR
(9)
ω=
ou
3
Aceleração e Força Centrípeta
Para que o corpo permaneça em MCU, deve haver alguma força que o mantém nesse movimento, isso ocorre por o corpo está sofrendo variação em seu movimento a cada instante.
Dessa forma, podemos concluir que esse corpo sofre uma aceleração, que é denominada aceleração centrípeta. Como já vimos na aula anterior uma aceleração é causada pela aplicação
de um força e que é denominada de força centrípeta.
É possível mostrar que o módulo da aceleração centrípeta é dado por:
ac =
v2
R
Pela segunda lei de Newton:
3
(10)
F~c = m~ac
(11)
v2
R
(12)
Substituindo
Fc = m
Em que v é a velocidade escalar, R o raio de curvatura da trajetória circular e m a massa
do corpo.
Exercícios
1) Dois objetos se movem sobre a mesma trajetória circular, um com velocidade angular
de 2π rad/s e o outro com 3π rad/s. Calcule a frequência e o período de cada um desses
movimentos.
2) Qual o valor do módulo da força que mantém um satélite de 200kg sobrevoando um
planeta a 300km/h, numa altura de 2.000m? Se a altura aumentar, a força deverá ser maior
ou menor?
3) Calcule a frequência do ponteiro das horas de um relógio.
4) Um navio sai do Rio de Janeiro com destino a costa africana, sabendo que a distância
é aproximadamente 5.000Km e que o navio possui velocidade constante de 50km/h. Dado:
raio da terra = 6,4mil quilômetros. Determine:
a) O deslocamento angular do navio;
b) O tempo gasto pelo navio para percorrer essa distância;
c) A velocidade angular média durante a viagem;
d) A força e aceleração centrípeta dessa movimento;
e) A frequência do movimento;
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