1. Calcule os limites abaixo

Cálculo 1
Segunda Avaliação (A)
10/04/2017
/
Nome / Matrícula:
Turma: BB
Nota:
(de 3,50 pontos)
1. Calcule os limites abaixo.
2y 2 + 3y + 1
y→−1 y 2 − 2y − 3
(a) (0,75 ponto) lim
x + 9x4
x→∞ 2x4 + 5x2 − x + 6
(b) (0,75 ponto) lim
2. (1,00 ponto) Mostre, usando o teorema do sanduíche, que
√
2π
lim+ x 1 + sin2
= 0.
x
x→0
3. (1,00 ponto) Determine a equação da reta tangente a função f (x) =
1
1
no ponto
2
2x + 1
1,
1
.
3
Cálculo 1
Segunda Avaliação (B)
10/04/2017
Nome / Matrícula:
/
Turma: BB
Nota:
(de 3,50 pontos)
1. Calcule os limites abaixo.
2y 2 + 3y + 1
y→−1 y 2 − 2y − 3
(a) (0,75 ponto) lim
2x3 + 7
x→−∞ x2 − x3 + x + 7
(b) (0,75 ponto) lim
2. (1,00 ponto) Mostre, usando o teorema do sanduíche, que
h
π i
p
lim+ x(x + 1) 1 + cos2
= 0.
x2
x→0
3. (1,00 ponto) Determine a equação da reta tangente a função f (x) =
2
2
no ponto
2
3x + 2
1,
2
.
5
Gabarito
2y 2 + 3y + 1
0
1. (a) Como lim 2
= , então significa que y = −1 é raiz de ambos os polinômios. Assim, podemos
y→−1 y − 2y − 3
0
ver que
1
2
2y + 3y + 1 = 2(y + 1) y +
2
e
y 2 − 2y − 3 = (y + 1)(y − 3).
Logo,
2y 2 + 3y + 1
lim 2
y→−1 y − 2y − 3
=
=
=
2(y + 1) y + 21
lim
y→−1 (y + 1)(y − 3)
2y + 1
lim
y→−1 y − 3
1
− .
4
(b) (Prova A) Temos
x + 9x4
4
x→∞ 2x + 5x2 − x + 6
lim
x4 1/x3 + 9
x→∞ x4 (2 + 5/x2 − 1/x3 + 6/x4 )
1/x3 + 9
lim
x→∞ 2 + 5/x2 − 1/x3 + 6/x4
9
.
2
=
lim
=
=
(Prova B) Temos
2x3 + 7
lim
2
x→−∞ x − x3 + x + 7
x3 2 + 7/x3
=
lim
x→−∞ x3 (1/x − 1 + 1/x2 + 7/x3 )
2 + 7/x3
=
lim
x→−∞ 1/x − 1 + 1/x2 + 7/x3
= −2.
√ 2. (Prova A) Para usarmos o teorema do sanduíche para mostrar que limx→0+ x 1 + sin2 2π
= 0, basta
x
notar que o número
√
2π
2
x 1 + sin
≥ 0.
x
≤ 1. Portanto,
Além disso, temos que sin2 2π
x
√
√
2π
2
≤ 2 x.
0 ≤ x 1 + sin
x
√
√ Como limx→0+ 2 x = 0, pelo teorema do sanduíche temos que limx→0+ x 1 + sin2 2π
x = 0.
p
(Prova B) Para usarmos o teorema do sanduíche para mostrar que limx→0+ x(x + 1) 1 + cos2 xπ2 = 0,
basta notar que o número
h
π i
p
x(x + 1) 1 + cos2
≥ 0.
x2
≤ 1. Portanto,
Além disso, temos que cos2 2π
x
h
π i
p
p
0 ≤ x(x + 1) 1 + cos2
≤
2
x(x + 1).
x2
p
p
Como limx→0+ 2 x(x + 1) = 0, pelo teorema do sanduíche temos que limx→0+ x(x + 1) 1 + cos2 xπ2 = 0.
3
3. (Prova A) O primeiro passo é determinar a derivada da função no ponto x = 1. Desta forma, precisamos
calcular o limite
f 0 (1)
=
=
=
lim
h→0
lim
f (1 + h) − f (1)
h
1
1
2(1+h)2 +1 − 2·12 +1
h
−
h→0
lim
1
3+4h+2h2
1
3
h
−4h − 2h2
= lim
h→0 3h(3 + 4h + 2h2 )
−4 − 2h
= lim
h→0 3(3 + 4h + 2h2 )
4
= − .
9
h→0
Para encontrarmos a reta tangente basta notar que
4
r(x) = − x + b
9
e que r(1) = 31 . Assim, temos que a reta tangente é dada por
7
4
r(x) = − x + .
9
9
(Prova B) O primeiro passo é determinar a derivada da função no ponto x = 1. Desta forma, precisamos
calcular o limite
f 0 (1)
=
=
=
lim
h→0
lim
f (1 + h) − f (1)
h
2
2
3(1+h)2 +2 − 3·12 +2
h
−
h→0
lim
2
5+6h+3h2
2
5
h
−12h − 6h2
= lim
h→0 5h(5 + 6h + 3h2 )
−12 − 6h
= lim
h→0 5(5 + 6h + 3h2 )
12
= − .
25
h→0
Para encontrarmos a reta tangente basta notar que
r(x) = −
12
x+b
25
e que r(1) = 52 . Assim, temos que a reta tangente é dada por
r(x) = −
4
12
22
x+ .
25
25