Page 1 Interbits – SuperPro ® Web Página 1 de 13 1. (Ita 2017

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1. (Ita 2017) Sejam A  {1, 2, 3, 4, 5} e B  {1,  2,  3,  4,  5}. Se C  {xy : x  A e y  B},
então o número de elementos de C é
a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.
2. (Ita 2017) Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X  Y e X  Y. Considere as seguintes
afirmações:
I. Existe uma bijeção f : X  Y.
II. Existe uma função injetora g : Y  X.
III. O número de funções injetoras f : X  Y é igual ao número de funções sobrejetoras
g : Y  X.
É (são) verdadeira(s)
a) nenhuma delas.
b) apenas I.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) todas.
3. (Ita 2013) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:
I. A \ (B  C)  (A \ B)  (A \ C);
II. (A  C) \ B  A  BC  C;
III. (A \ B)  (B \ C)  (A \ B) \ C,
é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas I e II.
d) apenas I e III.
e) todas.
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 4 QUESTÕES:
Notações
: Conjunto dos números naturais;
: Conjunto dos números reais;

: Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2  1;
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A) : número de elementos do conjunto finito A;
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z : argumento do número complexo z;
a,b  x  : a  x  b
A \ B  x : x  A e x  B
Ac : complementar do conjunto A;
n
 ak xk  a0  a1x a2x2  ...  anxn,n 
.
k 0
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Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
4. (Ita 2012) Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações:
I. (A \ Bc ) \ CC  A  (B  C);
II. (A \ Bc ) \ C  A  (B  CC )C ;
III. Bc  CC  (B  C)C ,
é (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.
5. (Ita 2012) Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das três matérias:
Matemática, Física e Química. Sabe-se que 48% dos alunos estudam Matemática, 32%
estudam Química e 36% estudam Física. Sabe-se, ainda, que 8% dos alunos estudam apenas
Física e Matemática, enquanto 4% estudam todas as três matérias. Os alunos que estudam
apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática e Química totalizam
63 estudantes. Determine n.
6. (Ita 2012) Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que
n (P(A)  P(B))  1  n (P(A  B)) . Então, a diferença n(A) − n(B) pode assumir
a) um único valor.
b) apenas dois valores distintos.
c) apenas três valores distintos.
d) apenas quatro valores distintos.
e) mais do que quatro valores distintos.
7. (Ita 2012) Sejam r1 , r2 e r3 números reais tais que r1  r2 e r1  r2  r3 são racionais. Das
afirmações:
I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional;
II. Se r3 é racional, então r1  r2 é racional;
III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais, é (são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) I, II e III.
8. (Ita 2011) Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A\B)  (B\A)
= A.
9. (Ita 2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que
A  B e n  {C : C  B \ A}   128.
Então, das afirmações abaixo:
I) n(B) – n(A) é único;
II) n(B) + n(A) ≤ 128;
III) a dupla ordenada (n(A), n( B)) é única;
É(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
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b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) nenhuma.
10. (Ita 2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que C  B, n(B\C) = 3n(B C) = 6n(A
n(A B) = 22 e (n(C), n(A), n(B)) e uma progressão geométrica de razão r > 0.
B),
a) Determine n(C).
b) Determine n(P(B\C)).
11. (Ita 2010) Considere as afirmações a seguir relativas a conjuntos A, B e C quaisquer:
I. A negação de x  A  B é: x  A ou x  B.
II. A  (B  C) = (A  B)  (A  C).
III. (A\B)  (B\A) = (A  B)\(A  B).
Destas, é (são) falsa(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e III.
e) nenhuma.
12. (Ita 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X - Y) ⋂ Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6},
Z ⋂ Y = ∅, W ⋂ (X - Z) = {7, 8}, X ⋂ W ⋂ Z = {2, 4}. Então o conjunto [X ⋂ (Z ⋃ W)] - [W ⋂ (Y ⋃
Z)] é igual a
a) {1, 2, 3, 4, 5}
b) {1, 2, 3, 4, 7}
c) {1, 3, 7, 8}
d) {1, 3}
e) {7, 8}
13. (Ita 2007) Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que
2
A ⋃ B ⋃ C = {x ∈ IR: x + x ≥ 2},
- x
- x
2 - x
A ⋃ B = {x ∈ IR: 8 - 3 . 4 - 2
> 0},
A ⋂ C = {x ∈ IR: log (x + 4) ≤ 0} e
B ⋂ C = {x ∈ IR: 0 ≤ 2x + 7 < 2}.
14. (Ita 2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B - A),
n(A - B) e n(A ⋂ B) formam, nesta ordem, uma progressăo aritmética de razăo r > 0. Sabendo
que n(B - A) = 4 e n(A ⋃ B) + r = 64, entăo, n(A - B) é igual a
a) 12
b) 17
c) 20
d) 22
e) 24
15. (Ita 2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n ≥ 1. Seja S um subconjunto
de P(U) com a seguinte propriedade:
Se A, B ∈ S, então A ⊂ B ou B ⊂ A.
Então, o número máximo de elementos que S pode ter é
n-1
a) 2
b) n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for ímpar
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c) n + 1
n
d) 2 - 1
n-1
e) 2 + 1
16. (Ita 2006) Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos.
Dizemos que
F = {A1, ..., Am} ⊂ P(A)
é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas:
I. Ai ≠ ∅, i = 1, ..., m
II. Ai ⋂ Aj = ∅, se i ≠ j, para i, j = 1, ..., m
III. A = A1 ⋃ A2 ⋃ ... ⋃ Am
Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(Ai) = k, i = 1,..., m.
Supondo que n(A) = 8, determine:
a) As ordens possíveis para uma partição de A.
b) O número de partições de A que têm ordem 2.
17. (Ita 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0,1} e as afirmações:
I - {0} ∈ S e S ⋂ U ≠ ∅.
II - {2} ⊂ (S - U) e S ⋂ T ⋂ U = {0, 1}.
III - Existe uma função f: S  T injetiva.
IV - Nenhuma função g: T  S é sobrejetiva.
Então, é(são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas IV.
c) apenas I e IV.
d) apenas II e III.
e) apenas III e IV.
18. (Ita 2004) Seja A um conjunto não-vazio.
a) Se n(A) = x, calcule n(P(A)) em termos de x.
1
t+1
t
b) Denotando P (A) = P(A) e P (A) = P(P (A)), para todo número natural t ≥ 1, determine o
t
menor t, tal que n(P (A)) ≥ 65000, sabendo que n(A) = 2.
19. (Ita 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}:
I. ∅ ∈ U e n(U) = 10.
II. ∅ ⊂ U e n(U) = 10.
III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U.
IV. {0,1,2,5} ⋂ {5} = 5.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s)
a) apenas I e III.
b) apenas II e IV.
c) apenas II e III.
d) apenas IV.
e) todas as afirmações.
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2
20. (Ita 2004) Seja o conjunto S = {r ∈ Q: r ≥ 0 e r ≤ 2}, sobre o qual são feitas as seguintes
afirmações:
I.
7
5
∈ S e ∈ S.
5
4
II. {x ∈ IR: 0 ≤ x ≤
III.
2 } ⋂ S = ∅.
2 ∈ S.
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas
a) I e II
b) I e III
c) II e III
d) I
e) II
21. (Ita 2003) Sejam U um conjunto não-vazio e A ⊂ U, B ⊂ U.
Usando apenas as definições de igualdade, reunião, intersecção e complementar, prove que:
I. Se A ⋂ B = ∅, então B ⊂ Ac.
II. B / Ac = B ⋂ A.
22. (Ita 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A ⋃ B contenha
12 elementos. Então, o número de elementos de P(B - A) ⋃ P(∅) é igual a
a) 8.
b) 16.
c) 20.
d) 17.
e) 9.
23. (Ita 2002) Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos:
2
I. Se x > 4 e y < 2, então x - 2y > 12.
2
II. Se x > 4 ou y < 2, então x - 2y > 12.
2
2
2
III. Se x < 1 e y > 2, então x - 2y < 0.
Então, destas é (são) verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas I e II.
c) apenas II e III.
d) apenas I e III.
e) todas.
24. (Ita 2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B
e C conjuntos tais que n(A ⋃ B) = 8, n(A ⋃ C) = 9, n(B ⋃ C) = 10, n(A ⋃ B ⋃ C) = 11 e n(A ⋂ B
⋂ C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a
a) 11.
b) 14.
c) 15.
d) 18.
e) 25.
25. (Ita 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de IR. Considere as afirmações:
I - Se (E×G)⊂(F×H), então E⊂F e G⊂H.
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II - Se (E×G)⊂(F×H), então (E×G)⋃(F×H)=F×H.
III - Se (E×G)⊂(F×H)=F×H, então (E×G)⊂(F×H).
Então:
a) Apenas a afirmação (I) é verdadeira.
b) Apenas a afirmação (II) é verdadeira.
c) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são verdadeiras.
26. (Ita 1996) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes
afirmações:
x
x x
(I) (A - B) ⋂ (B ⋃ A ) = ∅
x x
x
(II) (A - B ) = B - A
x
x
(III) [(A - B) ⋂ (B - A)] = A
Sobre essas afirmações podemos garantir que:
a) apenas a afirmação (I) é verdadeira.
b) apenas a afirmação (II) é verdadeira.
c) apenas a afirmação (III) é verdadeira.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.
x
Nota: C denota o complementar de C em R.
n
27. (Ita 1995) Seja A = {(-1) / n! + sen(n! ð/6); n ∈ N}.
Qual conjunto a seguir é tal que sua intersecção com A dá o próprio A?
a) (-∞, -2] ⋃ [2, ∞)
b) (-∞,-2]
c) [-2, 2]
d) [-2, 0]
e) [0, 2)
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
Fazendo as multiplicações pertinentes entre x e y e desconsiderando os elementos repetidos,
conclui-se que o número de elementos em C é 14.
Resposta da questão 2:
[A]
Considerando os conjuntos X  1 e Y  1, 2 que satisfazem as condições do enunciado
(conjuntos finitos com X  Y e X  Y), pode-se analisar as afirmações:
[I] FALSO. Não existe bijeção f : X  Y.
[II] FALSO. Não existe função injetora g : Y  X.
[III] FALSO. O número de funções injetoras f : X  Y não é igual ao número de funções
sobrejetoras g : Y  X.
Resposta da questão 3:
[C]
I. Verdadeira. De fato, seja x um elemento de A  (B  C), isto é,
x  A  (B  C)  x  A  x  (B  C)
 x  A  (x  B  x  C)
 (x  A  x  B)  (x  A  x  C)
 x  (A  B)  (A  C).
Portanto,
A  (B  C)  (A  B)  (A  C).
II. Verdadeira. Seja x um elemento de (A  C)  B, ou seja,
x  (A  C)  B  (x  A  x  C)  x  B
 x  A  x B  x C
 x  A  BC  C.
Por conseguinte,
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(A  C)  B  A  BC  C.
III. Falsa. Sejam A  {k},B   e C  . Logo, (A  B)  (B  C)  , (A  B)  C  {k} e,
portanto, (A  B)  (B  C)  (A  B)  C.
Resposta da questão 4:
[C]
c
c
c
A afirmação I é falsa, pois (A\B )\C  (A  B)\C  (A  B)  C
c
A afirmação II é falsa, pois (A\B )\C  (A  B)  C
c
A afirmação III é verdadeira, pois é uma das leis de Morgan.
Resposta
da
A questão não possui solução. Observe a seguir:
questão
n é o número de alunos do colégio.
Porcentagem dos alunos que estudam Matemática:
Porcentagem dos alunos que estudam Química:
Porcentagem dos alunos que estudam Física:
Porcentagem dos alunos que estudam as 3 disciplinas:
Porcentagem dos alunos que estudam apenas Matemática e Química:
Porcentagem dos alunos que estudam apenas Física e Química:
5:
48%
32%
36%
4%
x%
y%
De acordo com as informações acima podemos construir os seguintes diagramas:
Como cada aluno estuda pelo menos uma das três matérias, temos:
36  28  24  x  y  x  y   x  y   8  4  100
  x  y   100  100
xy 0
Ou seja, 0% de n = 63 (a questão proposta não possui solução).
Resposta da questão 6:
[A]
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2n(A)  2n(B)  1  1  2n(A)n(B)  2n(A)  2n(B)  2n(A)n(B)  n(A)  n(B)  1
Portanto, n(A) - n(B) = 0
Resposta da questão 7:
[E]
Afirmação I (Verdadeira)
r1  Q e r1  r2  Q , concluímos r2  Q , sabendo também que r1  r2  r3  Q concluímos
que r3  Q .
r2  Q e r1  r2  Q , concluímos que r1  Q , sabendo também que r1  r2  r3  Q
concluímos que r3  Q .
Afirmação II (Verdadeira)
r3  Q e r1  r2  r3  Q , concluímos que r1  r2  Q .
Afirmação III (Verdadeira)
r3  Q e r1  r2  r3  Q , concluímos que r1  r2  Q , sabendo que r1  r2  Q temos 2r1  Q ,
ou seja, r1  Q e r2  Q .
Resposta da questão 8:
Não existem conjuntos A e B satisfazendo as condições dadas.
a) (A\B)  (B\A) = (AUB) – (AB) (Falsa)
b) (A\B)  (B\A) = A U B (Falsa)
c) (A\B)  (B\A) = A – B (Falsa)
d) (A\B)  (B\A) = B – A (Falsa)
Resposta da questão 9:
[A]
n(B\A)
2
= 128  n(B\A) = 7 e como A  B n(B\A) = n(B) – n (A) = 7.
I) verdadeiro, a diferença será sempre 7.
II) Falsa, pois n(B) = 87 e n (A) = 80 contrariam a afirmação
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III) Falsa, temos infinitas possibilidades para n(A) e n(B), basta que n(B) – n (A) = 7.
Resposta da questão 10:
a) n(C) = x
e
n(B) = 4x
6.n(A∩B) = 3x  n(A∩B) =
x
2
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
= n(A) + 4x – x/2
7x
=n(A)
2
-
Considerando a progressão geométrica, temos:
2
2
7x 

  4 x.x  33x  154x  484  0  x = 4 ou x = 44/3(não
n(A) = n(B). n(C)   22 
2 
4

2
convém)
logo n( C )= 4
b) n(B) = 4.4 = 16
n(C) = 4
n(B\C) = 16 – 4 = 12
12
n(P(B\C)) = 2 = 4096
3x
B
C
A
B
x
x
2
Resposta da questão 11:
[E]
I
(V)
III (V)
II
(V)
Resposta da questão 12:
[C]
Resposta da questão 13:
C = {x ∈ R │ -4 < x < -5/2 ou x = -2 ou x ≥ 1}
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Resposta da questão 14:
[B]
Resposta da questão 15:
[C]
Resposta da questão 16:
a) 1, 2, 4 e 8
b) 105
Resposta da questão 17:
[B]
Resposta da questão 18:
x
a) n(P(A)) = 2
b) t = 3
Resposta da questão 19:
[C]
Resposta da questão 20:
[D]
Resposta da questão 21:
1) Para A ⋂ B = ∅:
(∀x, x ∈ B  x ∉ A)  (∀x, x ∈ B  x ∈ A )  B ⊂ A
2) ∀x, x ∈ B / A ⇔ (x ∈ B e x ∉ A ) ⇔ (x ∈ B e x ∈ A) ⇔ (x ∈ A ⋂ B) ⇔ B / A = A ⋂ B
Resposta da questão 22:
[B]
Resposta da questão 23:
[D]
Resposta da questão 24:
[D]
Resposta da questão 25:
[E]
Resposta da questão 26:
[A]
Resposta da questão 27:
[C]
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
01/03/2017 às 21:20
ita conjunto
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB
Grau/Dif.
Matéria
Fonte
Tipo
1 ............. 166668 ..... Baixa ............. Matemática ... Ita/2017 ................................ Múltipla escolha
2 ............. 166661 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2017 ................................ Múltipla escolha
3 ............. 123561 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2013 ................................ Múltipla escolha
4 ............. 110937 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2012 ................................ Múltipla escolha
5 ............. 110951 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2012 ................................ Analítica
6 ............. 110938 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2012 ................................ Múltipla escolha
7 ............. 110924 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2012 ................................ Múltipla escolha
8 ............. 101540 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2011 ................................ Analítica
9 ............. 101524 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2011 ................................ Múltipla escolha
10 ........... 91448 ....... Média ............ Matemática ... Ita/2010 ................................ Analítica
11 ........... 91428 ....... Média ............ Matemática ... Ita/2010 ................................ Múltipla escolha
12 ........... 79932 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2008 ................................ Múltipla escolha
13 ........... 73623 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2007 ................................ Analítica
14 ........... 62842 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2006 ................................ Múltipla escolha
15 ........... 62841 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2006 ................................ Múltipla escolha
16 ........... 62860 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2006 ................................ Analítica
17 ........... 56782 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2005 ................................ Múltipla escolha
18 ........... 56779 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2004 ................................ Analítica
19 ........... 56778 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2004 ................................ Múltipla escolha
20 ........... 57175 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2004 ................................ Múltipla escolha
21 ........... 47762 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2003 ................................ Analítica
22 ........... 40080 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2002 ................................ Múltipla escolha
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23 ........... 40076 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2002 ................................ Múltipla escolha
24 ........... 33563 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2000 ................................ Múltipla escolha
25 ........... 30084 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1999 ................................ Múltipla escolha
26 ........... 7110 ......... Não definida .. Matemática ... Ita/1996 ................................ Múltipla escolha
27 ........... 835 ........... Não definida .. Matemática ... Ita/1995 ................................ Múltipla escolha
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