1. Aceleração Média

Disciplina de Física Aplicada A – 2012/2
Curso de Tecnólogo em Gestão Ambiental
Professora Ms. Valéria Espíndola Lessa
1. Aceleração Média
Já vimos que quando estamos andando de carro em muitos momentos é necessário reduzir a velocidade,
quando precisamos parar num cruzamento, por exemplo, e em seguida precisamos aumentar a velocidade. Esta
variação da velocidade é o que chamamos de aceleração.
Portanto, a aceleração é a grandeza física que indica a taxa da variação da velocidade com o tempo.
Evidentemente se a velocidade não varia a aceleração é igual a zero. No MRU a velocidade é constante, assim a
aceleração é nula. Utilizaremos a letra a para indicar aceleração.
Por definição, temos que aceleração escalar média é:
a
v v
v
a 2 1
t
t 2  t1
Unidade de Medida: Como a aceleração é dada pela razão entre velocidade e tempo, dividi-se também suas
unidades de medida.
km / h km 1 km
m/ s m 1 m
Ex.
e

 
 km / h 2
   2  m / s 2 ( SI )
s
s s s
h
h h h2
Exemplo 1: Um automóvel parte do repouso e atinge a velocidade de 108 km/h após um tempo de 5 s.
Calcule a aceleração escalar média do automóvel, nesse intervalo de tempo, em m/s².
108 km/h -> :3,6 -> 30 m/s
a
v2  v1 30  0 30


 6m / s 2
t 2  t1
50
5
1.1 Classificação dos Movimentos



De uma forma geral podemos classificar os movimentos retilíneos da seguinte forma:
Movimento Retilíneo Uniforme (MRU);
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV);
Movimento Retilíneo Variado (MRV). (não iremos estudar)
De uma forma mais específica, podemos classificar os movimentos:
(a) Quanto a variação do espaço (posição)

Movimento Progressivo:
Os espaços aumentam a medida que o tempo
passa. (movimento no sentido positivo da trajetória)
1

Movimento Retrógrado:
Os espaços diminuem a medida que o tempo
passa. (movimento no sentido negativo da trajetória)
(b) Quanto a variação da velocidade

Movimento Acelerado:
O módulo da velocidade aumenta com o tempo.
Ou seja, a velocidade e a aceleração possuem o
mesmo sentido.

Movimento Retardado (Desaceleração):
O módulo da velocidade diminui com o tempo.
Ou seja, a velocidade e a aceleração possuem
sentidos opostos.
1.2 Formas de MRUV

Movimento acelerado progressivo:
s  0  progressivo
v aumenta  acelerado

Movimento acelerado retrógrado:
s  0  retrógrado
v aumenta  acelerado

Movimento retardado progressivo:
s  0  progressivo
v dim inui  retardado

Movimento retardado retrógrado:
s  0  retrógrado
v dim inui  retardado
Exemplo 2: Um carro em movimento no sentido de sua trajetória tem os valores de sua velocidade
crescentes com o tempo. Entre os instantes t1 = 1s e t2 = 3s sua velocidade escalar mudou de V1 = 10m/s
para V2 = 18m/s.
(a) Determine a aceleração escalar média nesse intervalo de tempo.
(b) Classifique esse movimento.
2
(a) a 
v2  v1 18  10 8

  4m / s 2
t2  t1
3 1
2
(b) Movimento acelerado progressivo.
Exemplo 3: Um veículo anda na direção oposta de sua trajetória. A trajetória está orientada de B para A, mas o
veículo vai de A para B. Sua velocidade em módulo é crescente. Temos |VA| = 2,0 m/s e |VB| = 5,0 m/s. Sendo ∆t =
6,0 s o intervalo de tempo para percorrer o trecho AB:
(a) Determine a aceleração escalar média no trecho AB.
(b) Classifique o movimento nesse trecho.
(a) Devido à orientação, a velocidade é negativa:
a
v2  v1  5  (2)  3


 0,5m / s 2
t2  t1
6
6
(b) Como o deslocamento é no sentido contrário da trajetória, o movimento é retrógrado. E como a velocidade é
crescente em módulo, é acelerado. Movimento Acelerado Retrógrado.
2. Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
Agora estudaremos um tipo de movimento em que a velocidade não é mais constante. No MRUV passa a
existir a aceleração constante, isso significa que a velocidade varia de uma forma uniforme. Poderíamos citar como
exemplo desse tipo de movimento uma pedra caindo de uma certa altura ou um carro freando ao ver os sinal
vermelho.
Então, o MRUV é aquele em que o móvel sofre variações de velocidades iguais em intervalos de tempo
iguais.
Tipos de movimento:
Movimento Retardado
Movimento Acelerado
2.1 Equação Horária da Velocidade
Veremos, agora, a expressão que relaciona velocidade e tempo no MRUV. Para isso faremos algumas
considerações iniciais.
Observe o esquema abaixo:
 Um móvel parte com velocidade inicial V0 no instante t0 = 0;
 Num instante t qualquer ele estará com velocidade V.
A dedução da equação horária da velocidade parte da fórmula da aceleração média:
3
a
v
v  v0
v  v0
v  v0
a
a
a
 at  v  v0  v  v0  at
t
t  t0
t 0
t
v  v0  a  t
Exemplo 4: Um móvel partiu do repouso e acelera uniformemente à razão de 3,0m/s em cada segundo. Escreva a
equação horário da velocidade e ilustre o movimento para os três primeiros segundos.
Se partiu do repouso, temos V0 = 0, e que a 
v  v0  a  t
3,0m / s
 3,0m / s ² .
1s
Então: v  0  3t
v  3t
Esquema:
 Gráfico da Velocidade em função do Tempo (v x t)
O gráfico é construído a partir da equação horária da velocidade v  v0  a  t .
Exemplo 5: Construa o gráfico para a equação horária v  4  2  t (unidades do SI).
Uma tabela pode auxiliar:
t
0
1
2
3
4
Gráfico:
V
4
6
8
10
12
Modelo de gráficos v x t para Aceleração Crescente e Decrescente
4
Modelo de gráficos a x t
Você lembra da aula anterior:
Vamos precisar desta informação para o próximo item.
2.2 Equação Horária do Deslocamento (Espaço) no MRUV
E se o movimento for acelerado, com variação na velocidade, como iremos definir a área da região, ou seja,
o deslocamento?
A
( B  b)
h 
2
A
(V  V0 )
t
2
Como v  v0  a  t e A  s  s  s0 substituindo
temo:
(v0  at  v0 )
2v t  at 2
t  A 0
2
2
2
2v t  at
at ²
s  s0  0
 s  s0  v0t 
2
2
A
s  s0  v0t 
at ²
2
Exemplo 6: No instante t0 = 0 um móvel possuía velocidade escalar 3,0 m/s e passava pela abscissa -4,0m. Tendo
aceleração escalar igual a +2,0 m/s², o seu movimento é dito uniformemente variado.
(a ) Estabeleça as suas equações horárias.
5
(b) Determine a abscissa para t1 = 2s
(c) Determine a velocidade para t1 = 2s e classifique o movimento.
Resolução:
(a) Valores que temos:
s0 = -4m v0 = 3m/s a = 2m/s²
Equação horária da velocidade: v  v0  a  t
Equação horária do deslocamento:
(b) s1  4  3t1  t1 ²
(c) v  3  2t
 v  3  2t
s  s 0  v0 t 
at ²
2
 s1  4  3  2  22
2t ²
2
s  4  3t  t ²
 s  4  3t 
 s1  6m
 v  3  2.2  v  7m / s
Como a velocidade e a aceleração são positivas, o movimento é progressivo e acelerado.
Exemplo 7: O gráfico abaixo mostra a variação de velocidade escalar de um movimento uniformemente variado.
(a) Leia no gráfico a velocidade escalar inicial.
(b) Determine a aceleração escalar.
(c) Classifique o movimento.
Resolução:
(a) v0 = 8m/s
(b) a 
v 14  8 6

  2m / s ²
t 3  0 3
(c) Movimento progressivo acelerado
 Gráfico do Espaço em função do Tempo (s x t)
No caso do MRUV a função horária é: s  s0  v0t 
at ²
2
Como a função horária é do 2º grau podemos ter os seguintes gráficos para o MRUV:
6
2.3 Propriedades dos gráficos do MRUV

Gráfico v x t
Usando a definição de tangente:
cat .oposto
tg 
cat .adjacente
tg 
v
t
tg  a
Então

Gráfico a x t
Área de um retângulo:
A  bh
A  a  t  v
A  v
2.4 Equação de Torricelli no MRUV
Até agora estudamos sempre equações que relacionavam grandezas físicas com o tempo. A equação de
Torricelli é uma relação de extrema importância pois ela independe do tempo e será fundamental em problemas que
não trabalhem com o mesmo. Para obtermos a Equação de Torricelli teremos que eliminar a grandeza tempo e
faremos isso combinando a função horária da velocidade com a função horária do deslocamento.
s  s0  v0t 
at ²
2
e
v  v0  a  t
v²  v0 ²  2  a  s

Exemplo 8: Um móvel em MRUV parte do repouso e atinge a velocidade de 20 m/s. Se a aceleração do
móvel é 2 m/s², determine a distância percorrida por esse móvel.
7
O que temos?
v = 20m/s
v0 = 0
a = 2m/s²
v²  v0 ²  2  a  s  20²  0²  2.2.s  400  4s  s  100m
3. Exercícios de MRUV
1. Em cada caso, classifique o movimento em progressivo ou retrógrado, e acelerado ou retardado.
2. As tabelas abaixo fornecem as velocidades de duas bicicletas em função do tempo:
Em cada caso, classifique o movimento em progressivo ou retrógrado, acelerado ou retardado.
3. (VUNESP-SP) Um automóvel de competição é acelerado de forma tal que sua velocidade (v) em função do tempo
(t) é dado pela tabela abaixo. A aceleração média em m/s² no intervalo de 5 a 15 s é:
(a) 4,5;
(b) 4,33;
(c) 5,0;
(d) 4,73;
(e) 4,0.
4. Um móvel realiza um MRUV e sua velocidade varia com o tempo de acordo com a função: v = −20 + 4t (SI)
Determine:
(a) a velocidade inicial e a aceleração escalar;
(b) sua velocidade no instante t = 4 s;
(c) o instante em que atingirá a velocidade de 20 m/s;
(d) o instante em que ocorrerá a inversão no sentido do movimento.
5. Um ponto material parte do repouso com aceleração constante e 4 s depois tem velocidade de 108 km/h.
Determine sua velocidade 10 s após a partida.
6. Um móvel realiza um MRUV regido pela função horária: s = 3 + 2t − t² (SI)
Determine:
8
(a) o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração;
(b) a função velocidade;
(c) o espaço e a velocidade do móvel no instante 2 s;
(d) o instante em que o móvel inverte o sentido do movimento;
(e) o instante em que o móvel passa pela origem dos espaços.
7. (FUVEST-SP)Um veículo parte do repouso em movimento retilíneo e acelera a 2 m/s². Pode-se
dizer que sua velocidade e a distância percorrida, após 3 segundos, valem, respectivamente:
(a) 6 m/s e 9 m; (b) 6 m/s e 18 m; (c) 3 m/s e 12 m; (d)12m/s e 36m; (e) 2 m/s e 12 m.
8. O gráfico abaixo fornece a velocidade de um corpo no decorrer do tempo.
(a) Qual a aceleração do corpo ?
(b) Qual a função horária da velocidade ?
(c) Qual a velocidade do corpo no instante 20 s ?
9. A posição inicial para o móvel que descreve o movimento retilíneo, cujo gráfico v x t é o representado abaixo, vale
5 m. Quais são as equações horárias para o movimento considerado (velocidade e deslocamento) ?
10. O gráfico s x t do movimento de um móvel é mostrado abaixo. Calcule a velocidade desse móvel no instante t = 6
s.
11. Um móvel descreve um movimento em que sua velocidade escalar varia com o tempo de acordo com o gráfico
abaixo.
Calcule:
(a) a aceleração escalar desse móvel no instante t = 3 s;
(b) seu deslocamento entre os instantes t = 2 s e t = 12 s.
12. (FUVEST-SP) Um trem parte de uma estação com aceleração uniforme até atingir, após 10 s, a velocidade 90
km/h, que é mantida durante 30 s, para então desacelerar uniformemente durante 10 s até parar na estação
seguinte.
(a) Represente graficamente a velocidade em função do tempo.
(b) Calcule a distância entre as duas estações.
9
(c) Calcule a velocidade média do trem nesse percurso.
13. Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando 0,50 m/s². Nesse instante passa por ele um outro
ciclista B, com velocidade constante de 5,0 m/s e no mesmo sentido de A.
(a) Depois de quanto tempo, após a largada, o ciclista A alcança o ciclista B ?
(b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B ?
14. Um carro em alta velocidade (120 km/h) observa o semáforo indicar vermelho. Ao mesmo tempo uma pessoa
atravessa sobre a faixa de segurança. Sabendo que a distância entre o carro e faixa de segurança é de 50 m,
pergunta-se qual deve ser a aceleração mínima para que o carro pare a tempo de evitar uma catástrofe.
15. (UNITAU-SP) A equação horária do movimento de um ponto material P é: s = 400 – 20t – 4t², onde o espaço s é
dado em metros e o tempo t em segundos. A velocidade média de P no intervalo de 0 a 5s é, em m/s:
(a) – 40;
(b) – 25;
(c) 120;
(d) 60;
(e) – 30.
16. (ITA-SP) De uma estação parte um trem A com velocidade constante VA = 80 km/h. Depois de certo tempo, parte
dessa mesma estação um outro trem B, com velocidade constante VB = 100 km/h. Depois de um tempo de percurso,
o maquinista de B verifica que o seu trem se encontra a 3 km de A; a partir desse instante ele aciona os freios
indefinidamente, comunicando ao trem uma aceleração a = - 50 km/h². O trem A continua no seu movimento
anterior. Nessas condições:
(a) não houve encontro dos trens.
(b) depois de duas horas o trem B para e a distância que o separa de A é de 64 km.
(c) houve encontro dos trens depois de 12 min.
(d) Houve encontro dos trens depois de 36 min.
(e) Não houve encontro dos trens; continuam caminhando e a distância que os separa agora é de 2
km.
17. É dado o gráfico da velocidade em função do tempo para um móvel que realiza um movimento em trajetória
retilínea. Classifique o movimento (MRU ou MRUV, progressivo ou retrógrado, acelerado ou retardado) para cada
um dos trechos da curva dada.
18. Um ponto material movimenta-se segundo: s = 12 – 4t (SI). Faça os gráficos das funções: s = f(t), v = f(t) e a = f(t)
desse movimento.
19. O espaço de um ponto material varia no decurso de tempo de acordo com o gráfico. Determine:
(a) o espaço inicial do movimento;
(b) o que acontece com o ponto material no intervalo de tempo de 2 s a 5 s;
(c) em que instantes o móvel passa pela origem;
10
(d) a velocidade escalar no instante 1,5 s.
20. (FUVEST-SP) A tabela indica as posições s e os correspondentes instantes t de um móvel deslocando-se numa
trajetória retilínea.
(a) Esboce o gráfico s x t desse movimento.
(b) Calcule a velocidade média do móvel entre os instantes t = 1 s e t = 3 s.
21. (FEI-SP) O gráfico da aceleração escalar de um móvel, em movimento retilíneo, em função do tempo é dado na
figura. Sabe-se que a velocidade inicial é nula.Determine:
(a) a aceleração escalar média no intervalo de 0 a 40 s;
(b) o gráfico da velocidade escalar em função do tempo.
Respostas:
1. (a) progressivo retardado; (b) retrógrado retardado;
(c) retrógrado acelerado; (d) progressivo acelerado.
2. (a) progressivo retardado; (b) retrógrado retardado.
3. letra e
4. (a) -20m/s e 4m/s²; (b) -4m/s; (c) 10s; (d) 5s
5. 75m/s
6. (a) 3m, 2m/s, 2m/s²; (b) v = 2 - 2t; (c) 3m e -2m/s;
(d) 1s; (e) 3s
7. letra a
8. (a) 3,5m/s²; (b) v = 6+3,5t; (c) 76m/s
9. s = 5 + 10t + 2,5t² e v = 10 + 5t
10. 2m/s
11. (a) 5m/s²; (b) 160m
12.
13.
14. aproximadamente -11,09m/s²
15. letra a
16. letra c
17. AB - MRU, progressivo; BC - MRUV, progressivo
retardado; CD - MRUV, retrógrado acelerado; DE MRU retrógrado; EF - MRUV, retrógrado, retardado;
FG - Parado.
18.
19. (a) 5m; (b) repouso; (c) 7s, 13s; (d) 2,5m/s
20. (a)
(b) 1,6m/s
21. (a) -0,75m/s²;
(b)
11