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NEEJA: NÚCLEO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
“CONSTRUINDO UM NOVO MUNDO’’
MÓDULO – 4 (SEXTA SÉRIE)
PROFESSOR Ardelino R Puhl
NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Observe que, no conjunto dos números naturais, a operação de subtração nem sempre é possível
Exemplos:
a) 5 - 3 = 2 (possível: 2 é um número natural)
b) 9 - 9 = 0 ( possível: 0 é um número natural)
c) 3 - 5 = ? ( impossível nos números naturais)
Para tonar sempre possível a subtração, foi criado o conjunto dos números inteiros relativos,
-1, -2, -3,.........lê-se: menos um ou 1 negativo lê-se: menos dois ou dois negativo lê-se: menos três
ou três negativo
Reunindo os números negativos, o zero e os números positivos, formamos o conjunto dos números
inteiros relativos, que será representado por Z.
Z = { .....-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,......}
5) As temperaturas acima de 0°C (zero grau) são representadas por números positivos e as
temperaturas abaixo de 0°C, por números negativos. Represente a seguinte situação com números
inteiros relativos:
a) 5° acima de zero = (R: +5 ) b) 3° abaixo de zero = (Resposta -3)
c) 9°C abaixo de zero= (R: -9)
d) 15° acima de zero = ( +15)
REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS NA RETA
Vamos traçar uma reta e marcar o ponto 0. À direta do ponto 0, com uma certa unidade de medida,
assinalemos os pontos que correspondem aos números positivos e à esquerda de 0, com a mesma
unidade, assinalaremos os pontos que correspondem aos números negativos.
_I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6
1) Escreva os números inteiros:
a) compreendidos entre 1 e 7 (R: 2,3,4,5,6)
b) compreendidos entre -2 e 4 (R: -1, 0, 1, 2, 3 )
c) compreendidos entre -3 e 3 (R: -2,-1,0,1,2)
d) compreendidos entre -5 e -1 ( R: -4, -3, -2)
e) compreendidos entre -4 e 2 ( R: -3, -2, -1, 0, 1)
f) compreendidos entre -6 e 0 (R: -5, -4, -3, -2, -1)
COMPARAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Observe a representação gráfica dos números inteiros na reta.
-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5...-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6
Dados dois números quaisquer, o que está à direita é o maior deles, e o que está à esquerda, o menor
deles.
a) -1 maior; -4, porque -1 está à direita de -4.
b) -4 menor -2 , porque -4 está à esquerda de -2.
c) +2 maior; -4, porque +2 está a direita de -4
d) -2 menor +1, porque -2 está à esquerda de +1.
Exercícios
1) coloque os números em ordem crescente.
a) -9,-3,-7,+1,0 (Resposta -9,-7,-3,0,1)
b) 25,-3,-18,+15,+8,-9 (R: -18,-9,-3,+8,+15,+25)
c) -2, -6, -5, -3, -8 (R: -8, -6,-5, -3,-2)
d) +60,-21,-34,-105,-90( R: -105,-90,-34,-21, +60)
e) 5,-3,1,0,-1,20 (R: -3,-1,0,1,5,20)
f) -400,+620,- 840,+1000,-100 ( R: -840,-400,-100,+620,+1000)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS
ADIÇÃO
1) Adição de números positivos
A soma de dois números positivos é um número positivo.
EXEMPLOS
a) (+2) + (+5) = +7
b) (+1) + (+4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9
Simplificando a maneira de escrever
a) +2 +5 = +7
b) +1 + 4 = +5
c) +6 + 3 = +9
2) Adição de números negativos
A soma de dois números negativos é um número negativo
Exemplos:
a) (-2) + (-3) = -5
b) (-1) + (-1) = -2
c) (-7) + (-2) = -9
Simplificando a maneira de escrever
a) -2 - 3 = -5
b) -1 -1 = -2
c) -7 - 2 = -9
3) Adição de números com sinais diferentes
a) (+6) + ( -1) = +5
b) (+2) + (-5) = -3
c) (-10) + ( +3) = -7
EXERCÍCIOS
1) Dados os números x= 6, y = 5 e z= - 6, calcule:
a) x + y = (Resposta: +11)
b) y + z = (R: -4)
2) Calcule
a) 4 + 10 + 8 = (Resposta: 22)
b) -14 - 3 - 6 - 1 = (R: -24)
c) 5 - 9 + 1 = (R: -3)
d) -4 + 5 + 6 + 3 - 9 = (R: + 1)
e) -8 - 2 + 3 = (R: -7)
f) -1 + 2 - 4 - 6 - 3 - 8 = (R: -20)
g) -15 + 8 - 7 = (R: -14)
h) 6 - 8 - 3 - 7 - 5 - 1 + 0 - 2 = (R: -20
i) 24 + 6 - 12 = (R:+18)
j) 2 - 10 - 6 + 14 - 1 + 20 = (R: +19)
3) Calcule
a) (-5) + (+2) - (-1) + (-7) = (Resposta: -9)
b) (+2) - (-3) + (-5) -(-9) = (R: 9)
c) (-2) + (-1) -(-7) + (-4) = (R: 0)
d) (-5) + (-6) -(-2) + (-3) = (R: -12)
e) (+9) -(-2) + (-1) - (-3) = (R: 13)
f) 9 - (-7) -11 = (R: 5 )
c) x + z = (R: -3)
g) -2 + (-1) -6 = (R: -9)
h) -(+7) -4 -12 = (R: -23)
i) 15 -(+9) -(-2) = (R: 8 )
j) -25 - ( -5) -30 = (R: -50)
l) - 50 - (+7) - 43 = (Resposta -100)
m) 10 -2 -5 -(+2) - (-3) = (R: 4)
n) 18 - (-3) - 13 -1 -(-4) = (R: 11)
o) 5 -(-5) + 3 - (-3) + 0 - 6 = (R: 10)
p) -28 + 7 + (-12) + (-1) -4 -2 = (R: -40)
q) -21 -7 -6 -(-15) -2 -(-10) = (R: -11)
r) 10 -(-8) + (-9) -(-12)-6 + 5 = (R: 20
EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS
Lembrem-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem:
10 parênteses ()
20 colchetes [ ]
EXERCICIOS
1°) exemplo
8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5)=
8+7-1+3-1+5=
23 - 2 = 21
2°) exemplo
10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6)]=
10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =
10 - 3 + 1 + 2 - 6 =
13 - 9 = 4
3°) exemplo
-17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]}
-17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} =
-17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } =
-17 +5 - 2 - 6 + 9 =
-25 + 14 = - 11
30 chaves { }
Calcule o valor das seguintes expressões:
1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (Resposta: 17)
2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 )
3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15)
4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17)
5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 )
6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5)
7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4)
8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21)
9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26)
10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2)
11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18)
12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20)
13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29)
14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 )
15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33)
16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1)
17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 )
18) -{ -2 - [ -3 - (- 5 + 1) ]} - 18 = (R: -13)
19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)
20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS.
MULTIPLICAÇÃO
1) Efetue:
a) (+8). (+5) = (Resposta: 40)
b) (-8) . (-5) = (R: 40)
c) (+8) .(-5) = (R: -40)
d) (-8) . (+5) = (R: -40)
e) (-3). (+9) = (R: -27)
f) (+3) . (-9) = (R: -27)
g) (-3) . (-9) = (R: 27)
h) (+3). (+9) = (R: 27)
i) (+7) . (-10) = (R: -70)
j) (+7) . (+10) = (R: 70)
l) (-7) . (+10) = (R: -70)
m) (-7). (-10) = (R: 70
2) Efetue os produto
a) (-3). (+2). (-4). (+1). (- 5) = (Resposta -120)
b) (-1) . (-2). (-3). (-4). (-5) = (R: -120)
c) (-2) . (-2). (-2). (-2). (-2). (-2) = (R: 64)
d) (+1) . (+3). (-6). (-2). (-1). (+2)= (R: -72)
e) (+3). (-2). (+4). (-1). (-5). (-6) = (R: 720)
f) 5 . (-3). (-4) = (R: +60
DIVISÃO
Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação
Observe:
a) (+12) : (+4) = (+3)
b) (-12) : (-4) = 3 , c) (+12) : (-4) = (-3)
1)Calcule o quocientes
a) (-48): (+12) = (Resposta: -4)
b) (-32): (-16) = (R: 2)
c) (+60): (-12) = (R: -5)
d) (-64): (+16) = (R: -4)
e) (-28): (-14) = (R: 2)
f) (0): (+5) = (R: 0)
2)Resolver as expressões
a) 20: 2 -7 = (Resposta: 3 )
b) -8 + 12: 3 = (R: -4)
c) 6 : (-2) +1 = (R: -2)
d) 8 : (-4) - (-7) = (R: 5)
e) (-15) : (-3) + 7 = (R: 12)
f) 40 - (-25) : (-5) = (R: 35)
g) (-16) : (+4) + 12 = (R: 8)
h) 18 : 6 + (-28) : (-4) = ( R: 10)
d) (-12) : (+4) = (-3),
i) -14 + 42 : 3 = (R: 0)
j) 40 : (-2) + 9 = (R: -11
l) (-12) 3 + 6 = (R: 2)
m) (-54): (-9) + 2 = (R: 8)
n) 20 + (-10). (-5) = (R: 70)
o) (-1) . (-8) + 20 = (R: 28 )
p) 4 + 6 . (-2) = (R: -8)
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
POTENCIAÇÃO
Essa representação é conhecida como potenciação, portanto, sempre que tivermos fatores iguais,
podemos montar uma potência. Representamos uma potência da seguinte forma:
. A base sempre será o valor do fator
O expoente é a quantidade de vezes que o fator repete.
A potência é o resultado do produto.
• Base positiva
Quando a base é positiva resolvemos a potência normalmente.
(+2)5 = +2. (+2). (+2). (+2). (+2) = 32
• Base negativa
Quando a base for negativa devemos fazer o jogo de sinais utilizados na multiplicação.
(-5)3 = (-5). (-5). (-5) = - 125
Base fracionária
RADICIAÇÃO
• 1º caso: Expoente inteiro maior que 1.
Potência de expoente inteiro maior que 1 é o produto de tantos fatores iguais à base quantas forem
as unidades do expoente.
Assim:
Exemplos:
a) 43 = 4 · 4 · 4 = 64
b) 15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1
c) (–2)4= (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
d)
• 2º caso: Expoente 1
Toda potência de expoente 1 é igual à base.
Assim:
Exemplos
a) 51 = 5
b)
• 3º caso: Expoente zero
Toda potência de expoente zero é igual a 1.
Assim:
Exemplos
a) 50 = 1
b)
=1
• 4º caso: Expoente inteiro negativo
Toda potência de expoente inteiro negativo e base não-nula é igual à potência de base
igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.
Assim:
Exemplos:
a)
b)
c)
Veja alguns exemplos de expressões numéricas com potência em sua estrutura.
1) 3 . {43 – [5 . 60 + 7 . (92 – 80)]}
3. {64 – [5 . 1 + 7 . (81 – 80)]}
3 . {64 – [5 + 7.1 ]}
3. {64 – [5 + 7]}
3. {64 – 12}
3. 52= 156
2) (33 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (32 . 2 + 10)2]}
(27 + 3 . 7)2 : {4 . [800 – (9 . 2 + 10)2]}
(27 + 21)2 : {4 . [800 – (18 + 10)2]}
2304 : {4 . [800 -784]}
2304 : {4 . 16}
2304: 64 = 3
FRAÇÕES
O símbolo a/b significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.
Chamamos de fração.
a de numerador;
b de denominador.
Se a é múltiplo de b, então a/b é um número natural.
Veja um exemplo:A fração 8/2 é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o
denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, 8/2 é um
número natural e 8 é múltiplo de 2.
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados
pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas
com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário
Classificação das frações
Fração própria: o numerador é menor que o denominador:
Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.
Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.
Frações equivalentes
Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.
Exemplo:
são equivalentes
Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o
denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Exemplo: obter frações equivalentes à fração
Portanto as frações
.
são algumas das frações equivalentes a
.
Simplificação de frações
Uma fração equivalente a
, com termos menores, é
dividindo-se ambos os termos da fração
é uma fração simplificada de
A fração
fração
. A fração
foi obtida
pelo fator comum 3. Dizemos que a fração
.
não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A
não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum
Adição e subtração de números fracionários
Temos que analisar dois casos:
1º) denominadores iguais
Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e
conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e
conservar o denominador.
Observe os exemplos:
2º) denominadores diferentes
Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações
equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações.
Exemplo: somar as frações
.
Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.
(10:5).4 = 8
(10:2).5 = 25
Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois
somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja,
utilizamos o 10caso
Multiplicação e divisão de números fracionários
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por
numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos
abaixo:
Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo
inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:
3) Calcule o valor da expressão:
) 5/6 – (1/3 + 1/5 ) = ( Resposta: 9/30) ou (3/10)
b) 2/5 x ( 3/4 + 5/8) = ( R: 22/40) ou (11/20)
c) 1/2: ( 2/3 + 3/4 ) = ( R: 12/34) ou ( 6/17)
d) ( 1/3 + 1/2 ) : 5/6 = (R: 30/30) ou (1)
e) 1/2 . ( 2/3 + 3/4 ) = ( R: 17/24)
f) ( 5/7 x 2/3 ) : 1/6 = (R: 60/21) ou ( 20/7)
g) (3/2 - 2/5 ) + ( 5/4 - 2/3) = (R: 101/60)
h) 1 + (1/2 - 1/5) - (7/4 - 5/4) = (R: 16/20) ou ( 4/5)
i) ( 7/8 - 5/6) + ( 8/9 - 7/9) = (R: 11/72)
Problemas fracionários
1)Adílson comprou um rolo com 480 metros de arame e usou 3/5 para fazer uma cerca.
a)Quantos metros de arame ele usou?
b)Quantos metros restaram?
2)Jonas comprou uma moto usada em 12 prestações de R$ 400,00. Cada prestação
equivale a 2/9 de seu salário.
a) Qual é o salário de Jonas?
b)Considerando o salário de Jonas como o todo(a unidade), qual é a fração do salário
que representa o valor total da moto? Essa fração é maior que 1?
3)Do salário de R$ 864,00 recebido no mês de suas férias, Mário gastou 1/4 na compra
de uma bicicleta e 3/8 em uma viagem.
a)Quanto custou a bicicleta?
b)Quanto Mário, gastou no total?
c)Quanto restou do salário dele?
4)Em 100 litros de ar comprimido, há aproximadamente: 78 litros de nitrogênio; 21
litros de oxigênio; 1 litro de uma mistura de vapor d"água, gás carbônico, gases raros e
impurezas.
a)Que fração representa a parte de nitrogênio contida em 100 litros de ar comprimido?
b)O que significa a fração 21/100 nessa informação
6) Determine 2/3 de R$ 1200,00 (Resposta: 800)
7) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. (Resposta: 32)
8) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto mede 3/7 dessa peça?
(Resposta: 18 m)
9) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros o
automóvel percorreu? (R: 360 km)
10) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos 3/4. Quantos quilômetros já foram
percorridos? (R :54 km)
11) Um livro tem 240 páginas.Você estudou 5/6 do livro. Quantas páginas Você
estudou?
(R: 200)
12) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número? (R: 200)
13) Os 3/4 do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo? (R: 1200)
14) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do
campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato? (R: 75)
15) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a
capacidade desse reservatório? (R: 600 litros)
16) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada?
(R: 270 km)
17) Para revestir 3/4 de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos
são necessários para revestir toda a parede? (R: 200)
18) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de
futebol? (R: 210)
19) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o
restante de ônibus. Que distância eu percorri de ônibus? (R: 400 km)
20) Numa prova de 40 questões um aluno errou 1/4 da prova. Quantas questões ele
acertou?
(R: 30 )
21) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe? (R:
18)
22) Um brinquedo custou R$ 152,10,. Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto estou
devendo? (R: 126,75)
Razões - Introdução
Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de
comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividirem o comprimento
de um deles pelo outro. Assim:
(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).
Podemos afirmar também que o kart tem a metade
do comprimento do carro
de corrida.
A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se
razão.
A razão 1/2 pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do
kart corresponde a 2m do carro de corrida.
Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de
zero)
o quociente
ou a:b.
A palavra razão vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior,
são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:
 Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos.
Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:
(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres.
Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:
(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).
Observações:
1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas.
Exemplo:
Razão entre 1 e 4:
1:4 ou
ou 0,25.
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles
formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º.
Assim:
ou a:b=c:d
(lê-se "a está para b assim como c está para d")
Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:


b e c os meios da proporção.
a e d os extremos da proporção.
Exemplo:
Dada a proporção
, temos:
Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36.
Meios: 4 e 27
Extremos: 3 e 36
Aplicações da propriedade fundamental
Determinação do termo desconhecido de uma proporção
Exemplos:

Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . x = 8 . 15
5 . x = 120
(aplicando a propriedade fundamental)
x = 24
Logo, o valor de x é 24.

Determine o valor de x na proporção:
Solução:
5 . (x-3) = 4 . (2x+1)
5x - 15 = 8x + 4
5x - 8x = 4 + 15
-3x = 19
(aplicando a propriedade fundamental)
3x = -19
x=
Logo, o valor de x é
.
Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.
Solução:
(aplicando a propriedade fundamental)
5 . x = 8 . 35
5x = 280
x = 56
Logo, o valor de x é 56.
EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Equações de primeiro grau
(com uma variável)
Introdução
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A
palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3 (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)
A equação geral do primeiro grau:
ax+b = 0
Onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b
dos dois lados, obtemos:
ax = -b
dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Considera a equação2x - 8 = 3x -10
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denominase 1º membro, e o que sucede 2º membro
Qualquer parcela, do 1º o u do 2º membro, é um termo da equação.
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na
forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
Exercícios de Equações de 1º Grau
1-Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são
esses?
X + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.
2- Determine o valor do X:
4x – 12 = 8
4x = 8 + 12
4x = 20
X = 20/4
X=5
3- Resolva as equações a seguir:
a)18x – 43 = 65
b) 23x – 16 = 14 –17x
c) 10y – 5 (1 + y) = 3 (2y – 2) – 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x – 5)/10 + (1 – 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) – x2 = 5x2
Problemas do primeiro grau
1. O dobro da quantia que Marcos possui e mais R$ 15,00 dá para comprar exatamente
um objeto que custa R$ 60,00. Quanto Marcos possui?
A) R$ 20,00
B) R$ 20,50
C) R$ 22,00
D) R$ 22,50
2. Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número?
A) 15
B) 30
C) 45
D) 90
3.José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais.
Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir,
percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar.
Quantos quilômetros ele percorreu após o café?
A) 87,5
B) 125,6
C) 262,5
D) 267,5
E) 272,0
4-Num estacionmento há carros e motos,totalizando 85 veículos.O número de carros é
igual a 4 vezes o de moto.Qual é o número de carros e de motos presentes no
estacionamento?
5-César tem 15 lápis a mais que Osmar,e José tem 12 lápis a menos que Osmar.O total
de lápis é 63.Quantos lápis tem cada um?
6-A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles,
sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
7-Uma peça de tecido teve de ser dividida em duas partes, sendo uma delas sete vezes
maior do que a outra. Sabendo que a peça de tecido tinha inicialmente 48 metros,
quantos metros tem a peça menor?
8- A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270.
Qual é a idade de cada um?
9- A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é 35. Qual é o número?
10- Qual é o número que, adicionado ao triplo do seu quadrado, vale 14?
11- A metade do quadrado de um número menos o dobro desse número é igual a 30.
Determine esse número.
PORCENTAGEM
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços,
números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
 A gasolina teve um aumento de 5%
Significa que em cada R$ 100 houve um acréscimo de R$ 5,00
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$ 100 foi dado um desconto de R$ 10,00
 Dos jogadores que jogam no Inter, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Razão centesimal
Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas
percentuais.
Considere o seguinte problema:
João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total
de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos à seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado
valor.
Exemplos:
 Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
EXERCÍCIOS:
1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de faltas esse jogador fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$ 250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual
a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que
aumentou em relação a esses R$250,00, resulte em R$300,00.
Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.
Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos
calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de
multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante.
Veja a tabela abaixo:
Acréscimo ou
Fator de
Lucro
Multiplicação
10%
1,10
15%
1,15
20%
1,20
47%
1,47
67%
1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00
Desconto
10%
25%
34%
60%
90%
Fator de
Multiplicação
0,90
0,75
0,66
0,40
0,10
1-João recebe R$ 250,00 de salário mensal. Reconhecendo a qualidade de seu
trabalho, seu patrão resolveu dar-lhe uma gratificação igual a 100% do salário.
João recebeu de gratificação
(A) R$ 100,00 (B)R$ 125,00 (C) R$ 250,00 (D) R$ 350,00
Uma bolsa era vendida em duas lojas, sendo que na loja A o
preço era R$ 30,00 mais caro que na loja B. A loja A resolveu
fazer um desconto de 15%, e a bolsa passou a custar o mesmo
que na loja B.Qual o preço da bolsa na loja B?
Resolução:
0,15 A = 30,00A = 200,00
B = 200,00 – 30,00 = R$ 170,00
Exercícios:
1) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada.
a) Um apartamento foi vendido por R$ 162.400,00. Determine a comissão recebida pelo
corretor.
b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a
comissão
do corretor. Determine o valor da comissão.
2) Em um ano, o preço de uma mercadoria triplicou. Qual a porcentagem de aumento?
3-João comprou uma TV e resolveu pagar à prazo, pois não podia pagar à vista.
Sabendo que o valor à vista é de R$ 1500,00 e que o valor total à prazo é 15% maior
que o valor à vista, responda: Quanto João vai pagar no total?
a)R$ 1575,00 b)R$ 1650,00 c)R$ 1725,00 d)R$ 1800,00 e)R$ 1875,00
4-Maria comprou um vestido à vista para ganhar um desconto de 5% no valor original
dele. Se o vestido custa R$ 60,00, quanto Maria pagou?
a)R$ 59,50
b)R$ 58,80 c) R$ 58,20 d)R$ 57,60
d)R$ 57,00 e)Nenhuma
5-No dia 1 deste mês, um produto estava sendo vendido por R$ 400,00. No dia 10, esse
produto sofreu uma redução de 50% no seu preço. No dia 20, ele foi reajustado com um
aumento de 50%. Escolha a alternativa correta.
( ) O produto estava mais barato no dia 1 do que no dia 20.
( )No dia 20 o produto estava com o mesmo preço que ele estava no dia 1.
( )O produto estava mais barato no dia 20 do que no dia 1
6-Ana tem 20 anos e morou durante 5 anos nos Estados Unidos, 4 anos na Austrália e o
resto no Brasil. Em porcentagem, quantos anos ela morou no hemisfério sul?
a)20%
b)25%
c)50%
d)60%
e)75%
7- Em um programa social desenvolvido pela prefeitura de um município, inscreveramse 900 famílias carentes. A prefeitura começou programar esse programa atendendo, no
1º mês 15% dessas famílias e, em cada mês seguinte, até o 3º mês, 30 famílias a mais
que o mês imediatamente anterior. Após esses três meses, o programa já havia atendido
do total de famílias.
a) 21%b) 40%c) 45%d) 52%e) 55%
8- Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto
equivale a quantos por cento do meu salário?
9- Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da
minha?
10- Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge
até 200 km/h. A velocidade máxima do carro do meu pai é quantos por cento da
velocidade máxima do meu carro?
11- Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso.
Quantos por cento eu perdi desta quantia?
12- Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40
garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das garrafas sem quebrar. Quantas
garrafas sobraram e quantas eu quebrei?
13- Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de
teres corrido toda a água, o frango passou a pesar apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos
por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango?
14-Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel,
passou a possuir apenas 30 metros. Como o preço do rolo não sofreu alteração, tal
artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do
papel?
15- Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo.
Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preço de etiqueta. Se a compra
tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria
sido o desconto obtido?
16- Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%.
Qual foi o valor pago em reais?
17- Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12%
sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?
18-Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período de um
mês, ela, apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o
preço de compra?
19- Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço de tabela.
Após certo período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi
aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual
corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)?
20-De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se
que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.
21-Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão
etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par?
Quantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?
22-Uma caneta que custava R$ 60,00 sofreu um desconto de 5%.Quanto você pagará
por essa caneta?
23-Por quanto deverei vender uma mercadoria que me custou R$ 720,80 para lucrar
30%?
24- Qual a taxa porcentual de:
a) 3 sobre 5?
A taxa é de 60%
b) 10 sobre 20?
25- Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00,
qual a taxa percentual de lucro?
26- Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um
lucro de 17%?
27-Ao ser paga com atraso, uma prestação de R$ 130,40 sofreu um acréscimo de 2,5%.
Qual é o novo valor dessa prestação?
28-Numa classe de 40 alunos, 6 foram reprovados.Qual a taxa de porcentagem dos
alunos aprovados e reprovados?
29- Um produto foi comprado por R$ 280,00 e revendido posteriormente por R$
440,00, qual a taxa percentual de lucro?
30-Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a taxa de lucro?
31-Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas.Qual a taxa de
porcentagem das frutas estragadas?
32- Calcular as porcentagens:
a) 2,3% de R$ 128,00
b) 0,9% de R$ 680,00
c) 10% de R$ 688,90
d) 0,5% de R$ 1234,00
e) 12% de 980,00
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÀFICAS
•
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•
•
•
•
•
Corti, Ana Paula, Aprender, Interdisciplinar, 1ªEdição, Editora Global, são Paulo
2013.
Santo André Luis Pereira
Mendes, Denise
Carrochano, Maria Clara.
Fernandes, Maria Lídia Bueno.
Catelli, Roberto Júnior.
Giansanti, Roberto
Paiva, Manoel. Vol. Único. Matemática. São Paulo: Moderna.
Giovanni, José Ruy e Bonjorno, José Roberto, Editora FTD.
Praticando Matemática- Álvaro Andrini (50, 60, 70 e 80 série) Editora do Brasil.
S/A.
OBSERVAÇÃO: Para entender melhor e se preparar bem para a prova é
importante que estude o módulo ou os módulos anteriores ao que vai cursar.