Economia - Novos Olhos

Economia
Caderno 2
Curso de Engenharia
10º semestre
Juros e Viabilidade Econômica
2011
Prof Fabio Uchôas de Lima
Este material foi produzido com o intuito de fornecer melhores subsídios aos alunos
de diversos cursos que participam da Disciplina de Economia, tomando como base
informações contidas em diversos livros, periódicos e sites da Internet, preferencialmente
àqueles indicados no programa do curso, bem como reúne várias pesquisas e
conhecimentos adquiridos ao longo da vida acadêmica.
Particularmente, desejo esclarecer que este material não possui nenhum vínculo
com as Instituições de Ensino onde atuo, nem nenhuma forma de comércio autorizada.
Peço apenas a gentileza de não fazer nenhum uso comercial ou inserção em livros,
periódicos, ou quaisquer outras mídias sem minha expressa autorização, conforme a Lei
9.610/92.
Quaisquer críticas ou sugestões são muito bem recebidas e podem ser enviadas
para o e-mail: [email protected]
Periodicamente faço uma revisão do material de modo à aprimorá-lo ainda mais, e
agradeço as colaborações recebidas com muito carinho.
“Jamais considere seus estudos como uma
obrigação, mas como uma oportunidade invejável
para aprender a conhecer a influência libertadora
da beleza do reino do espírito, para seu próprio
prazer pessoal e para proveito da comunidade à
qual seu futuro trabalho pertencer."
Albert Einstein
Prof. Fabio Uchôas de Lima
Economia - Caderno 2 – Juros e Viabilidade Econômica
Conceitos Básicos de Matemática Financeira
Toda área de estudo pressupõe uma série de conhecimentos básicos que
incluem a nomenclatura específica da área. A Matemática Financeira segue esse
esquema, necessitando dos conceitos a seguir.
Natureza da Disciplina: todo valor está vinculado a uma data determinada, cuja
alteração implicará em recálculo desse valor, através de instrumentos como o juros
simples e os juros compostos. A Matemática Financeira tem como essência o
estudo das relações entre os valores e suas datas.
Principal (P): capital inicial de uma aplicação.
Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) pelo uso de um
capital.
Taxa de juros (r ou i): é o índice referente a uma unidade de tempo, que indica o
juro por unidade de capital vinculado à aplicação ou dívida; será denominada r
quando for percentual (base 100) ou i quando for de base unitária. De maneira
geral, a unidade de tempo da taxa de juros é indicada de forma abreviada, podendo
haver alguma confusão.
Exemplos:
·
a.a. = ao ano
·
a.m. = ao mês
·
a.t. = ao trimestre
·
a.b. = ao bimestre
Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma aplicação expressa na
unidade de tempo da taxa de juros. Repare que o mesmo prazo poderá se expresso
por números diferentes, dependendo da unidade de medida.
Exemplo: 1 ano = 2 semestres; quatro trimestres; seis bimestres etc.
Taxas Proporcionais: duas taxas de juros diferentes referentes a unidades de
tempo diferentes são proporcionais quando seus valores estiverem na mesma razão
que seus prazos. Explicando melhor, podemos dizer que o dividindo-se as taxas e
os prazos na mesma ordem, chegamos ao mesmo número.
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A expressão que relaciona duas taxas proporcionais pode ser escrita da seguinte
forma:
Exemplos de taxas proporcionais:
·
2% ao mês e 24% ao ano
·
1% ao bimestre e 3% ao semestre
·
5% ao trimestre e 20% ao ano
·
2% ao dia e 60% ao mês
Montante (M): é a soma do principal de uma aplicação com o juro que o capital
rendeu durante essa aplicação.
Custo (C): quanto se paga por uma determinada mercadoria ou se gasta para
prestar um determinado serviço. Esse conceito será usado nesse texto de uma
forma simples e direta, sem referência à complexa estrutura da contabilidade.
Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou serviço para se calcular seu
preço de venda.
Preço de venda (V): resultado da soma do custo com o lucro - V = C + L.
Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia, perfazendo um ano de
365 dias. Esse critério é muito usado para calcular prazos muito curtos, que
geralmente estão em dias.
Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em meses de 30 dias,
totalizando um ano de 360 dias. Essa forma de cálculo é usada quando os prazos
são fornecidos em blocos de meses, sem a localização no ano.
Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da movimentação de valores em um caixa. A
marcação desses valores é feita em suas respectivas datas, sobre um eixo de
tempo horizontal, de acordo com uma convenção de setas ou cores, que demonstra
se são entradas ou saídas. Com setas poderíamos ter as entradas orientadas para
cima e as saídas para baixo e com cores, azul para entradas e vermelho para
saídas, por exemplo.
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Exercício:
Calcule a taxa diária proporcional a 1000%aa, segundo o critério exato de
contagem de dias.
Solução através da fórmula/conceito de taxas de juros proporcionais:
ou x = 1000/365 = 2,739726027% ao dia.
Obs.: podemos arredondar esse número para duas casas depois da vírgula,
chegando ao valor 2,74% ao dia. Procure arredondar apenas os resultados finais,
para não propagar erros de arredondamento.
Lucro sobre o preço de venda ou de custo
De uma forma simplista, podemos considerar o preço de venda de um bem
como a soma do preço de custo com o lucro. Esse conceito atende bem aos nossos
objetivos, mas não é suficiente para cálculos mais complexos nos quais seja exigida
a análise de uma quantidade maior de fatores. O lucro por sua vez será sempre
adicionado ao custo para compor o preço de venda, mas poderá ser calculado como
um percentual do custo ou do preço de venda. O cálculo do lucro, tendo por base o
preço de venda, é importante por ser a base conceitual de remuneração de
vendedores comissionados e também de tributos embutidos no preço de venda das
mercadorias e dos serviços. O cálculo sobre o preço de custo é necessário quando
precisamos saber qual a remuneração (retorno) do capital aplicado no negócio.
É muito importante em nossas análises levarmos em consideração quando
falamos em vendas, lucro e custo, que tanto podemos vender um bem de consumo
como um serviço. A tendência de levarmos em consideração a prestação de
serviços cresceu devido ao grande aumento da sua presença na sociedade de
consumo.
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Utilizando a fórmula apresentada no texto anterior V = C + L, o conceito de
porcentagem e seus cálculos, podemos resolver todos os problemas envolvendo
questões de venda, custo e lucro.
Uma análise mais profunda revela que existem custos indiretos na formação
dos preços de vendas, como os custos financeiros, de estocagem, de transporte e
muitos outros.
Devemos lembrar também que podemos usar a taxa de porcentagem na
forma fracionária ou decimal, de acordo com as necessidades de cada caso. Para
exemplificar podemos pensar em uma taxa de 10% como 10/100 ou 0,10. Em casos
de operações algébricas será melhor a forma decimal e nas simplificações de
fórmulas, melhor usar a fracionária.
Exercício:
Por quanto devo vender um bem que custou R$ 100,00 se quiser ter um lucro de
15% do preço de custo?
A solução desse exercício deve ser montada a partir do conceito/fórmula simples do
preço de venda: preço de venda=preço de custo + lucro. Sabendo que o lucro é
15% do preço de custo, explicite esse cálculo na fórmula:
V=C+L
V = 100 + 0,15 x 100 = R$ 115,00
Repare que a taxa de 15% está na forma decimal: 0,15
Sugestão dos cálculos:
Calculadora Algébrica:
15÷100 x 100 + 100 =
Calculadora RPN (HP12C):
15 ENTER 100 ÷ 100 x 100 +
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Conceitos e Fórmulas de Juros Simples
A modalidade de cálculo de juros denominada simples tem sua aplicação no
cálculo de dívidas de empresas e de países, tendo uma aplicação restrita no caso
das dívidas tributárias de pessoas físicas.
Conceito: segundo o critério de cálculo de juros denominado simples, o juro
de todos os períodos da aplicação somente é adicionado ao principal para constituir
o montante, ao final da aplicação. Em todos os períodos, o juro é calculado
aplicando-se a taxa sobre o principal (capital inicial).
Como em todos os períodos aplicamos a taxa de juros sobre o principal, que
não muda, todos eles rendem o mesmo valor de juros, caracterizando uma variação
linear.
O juro total é diretamente proporcional à taxa de juros e ao número de
períodos da aplicação. Essa característica do juro simples facilita os cálculos,
reduzindo-os a aplicações de proporções e regras de três imediatas, possibilitando o
uso de calculadoras simples.
Fórmulas:
• juro: como cada período renderá juro igual ao principal vezes a taxa de juros, em
uma aplicação de n períodos, teremos o juro total igual ao produto do principal, da
taxa e do número de períodos. Isso significa que se dobrarmos a taxa, dobraremos
os juros; se triplicarmos o prazo triplicaremos os juros e assim por diante.
J = P.i.n
Não podemos esquecer que a taxa i e o prazo n deverão
estar na mesma unidade de tempo.
• montante: será a soma do principal da aplicação com o seu juro:
M=P+J
M = P + P.i.n
Colocando o fator comum P em evidência, teremos:
M = P.(1 + i.n)
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Valor atual (A): definimos o atual como um valor da dívida em uma data antes
da data de vencimento.
Valor nominal(N): definimos o nominal como o valor da dívida na própria data
de vencimento. O nominal está associado a uma idéia de valor futuro, de montante
do valor atual correspondente, no prazo de antecipação do pagamento da dívida.
Operacionalmente, podemos escrever:
N = A.(1 + i.n)
ou
A = N/(1 + i.n)
Percebe-se que a fórmula do valor nominal é análoga à do montante. Essa
comparação faz sentido, pois como o montante, valor nominal compreende o
principal mais os juros. Não podemos esquecer também que n é o prazo de
antecipação do pagamento da dívida.
Aplicação: Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros simples de
5% ao mês? Dê a resposta em anos e meses.
Para a solução de um problema aplicado a um capital qualquer, você poderá arbitrar
um valor para o capital, pois se a condição do problema vale para qualquer capital,
valerá também para o seu escolhido. Na maioria das vezes a escolha de um capital
igual a R$100,00 facilita bastante o seu cálculo. Não esqueça que a solução
também poderá ser encontrada representando o principal por P e o seu dobro por
2P.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
i = 5/100 e o montante é o dobro do principal
A resposta deverá ser calculada substituindo os dados do problema na fórmula:
Solução literal: principal = P e montante = 2.P
M = P.(1 + in)
2P = P.(1 + 5÷100.n)
Simplificando o fator P temos:
2 = 1 + 0,05.n
2-1 = 0,05.n
n = 1÷0,05
n = 20 meses-um ano e oito meses
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Solução através do valor arbitrário: você estabelece um valor qualquer para o
principal; R$100,00, por exemplo.
P = 100
2.P = 200
Substituindo na fórmula do montante você tem:
200 = 100.(1 + 5÷100 . n)
simplificando: 2 = 1+0,05.n
n = (2-1)/0,05
n = 20 meses-um ano e oito meses
2-Juro exato e comercial - Equivalência de Taxas
De acordo com a contagem do prazo em anos, teremos dois tipos de juros:
a- juro exato, para anos contados dia-a-dia, totalizando 365 dias; esse critério de
contagem dos dias é aplicado em operações de curto prazo, como descontos de
duplicadas e de cheques.
b- juro comercial, para meses de trinta dias, perfazendo um ano de 360 dias;
aplicado em situações que envolvem o consumidor final, como a caderneta de
poupança.
Equivalência de taxas
Conceito: duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo
diferentes, são equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo,
produzirem o mesmo montante. Veja que, nesse caso, a equivalência é
caracterizada por resultados finais iguais.
Fórmula: vamos escolher uma aplicação para desenvolver a fórmula de
cálculo das taxas equivalentes. Focalizando
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um
caso
prático,
calculemos
a
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equivalência entre uma taxa anual e outra mensal. A questão prática tem a seguinte
estrutura:
“determine as taxas de juros anual e mensal equivalentes, segundo o critério de
cálculo do juro simples”.
Para o desenvolvimento dessa fórmula vamos trabalhar com a seguinte
nomenclatura:
·
ia = taxa de juros unitária anual
·
im = taxa de juros unitária mensal
·
número de períodos: um ano, para a taxa anual, ou doze meses, para a taxa
mensal.
M = P.(1+ ia)
e
M = P.(1 + im.12)
Como os montantes e os principais são iguais, teremos:
1 + ia = 1 + im.12
, portanto:
ia = 12.im
Chegamos, portanto, à conclusão de que, como no juro simples, as taxas são
proporcionais aos períodos, os cálculos das taxas equivalentes são efetuados por
meio de simples proporcionalidades (“regras de três”). Em linguagem simples
podemos dizer que se o ano tem doze meses, a taxa anual é doze vezes sua
mensal equivalente.
Aplicação: Uma aplicação calculada segundo o critério do juro exato (ano de 365
dias) rendeu R$500,00 de juros simples. Calcule quanto renderia de juros a mesma
aplicação, através do critério do juro comercial (ano de 360 dias).
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
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J = 500 em ano de 365 dias
J = ? em ano de 360 dias
Monte as fórmulas para cálculo do juro simples nos dois casos:
Je = P.i.n/365 = 500 ( juro exato)
Jc = P.i.n/360 ( juro comercial)
Isolando o valor de P.i.n, que é o mesmo, nas duas equações, temos:
P.i.n = Je . 365 substituindo Je = 500 temos P.i.n = 500.365 = 182500
P.i.n = Jc . 360
Substituindo na segunda equação o valor encontrado para P.i.n, na primeira, você
terá:
182500 = Jc . 360
Portanto:
Jc = 182500/360 = R$506,94
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Desconto Simples Racional ou por dentro
A importância dessa operação reside em sua aplicação no dia-a-dia da
maioria das empresas, nas quais a operação de desconto é responsável pelo capital
de giro, sem o qual a empresa não conseguiria subsistir. A aplicação desse
conceito, denominada operação de desconto, tem posição de destaque na estrutura
das empresas modernas que, na maioria das vezes, possuem um departamento
dedicado apenas a essa área, onde essa aplicação passou a ser denominada
operação de desconto.
Não podemos esquecer que o desconto é denominado simples porque é
calculado segundo o critério de juros simples.
Apesar de ser calculado a juros simples, a operação de desconto apresenta
alguns conceitos básicos próprios.
• Desconto (D): é o abatimento dado no valor nominal de uma dívida como
consequência da antecipação da sua data de pagamento. Pagando a dívida antes
da data de vencimento ganha-se um abatimento no valor a ser pago. Muitas escolas
estão usando esse critério para o pagamento das mensalidades.
• Prazo de antecipação (n): é a medida do tempo que vai da data de pagamento
efetivo até a data de vencimento. Ao contrário da aplicação em que a contagem do
prazo está focada na origem, aqui o prazo está focado na data de vencimento. Fique
atento, o prazo do desconto é “quanto tempo falta para vencer, a partir da data de
pagamento antecipado”.
• Valor descontado ou líquido (VD): é o valor efetivamente pago ou recebido após
o abatimento do desconto. Não confunda o valor descontado com o valor do
desconto, que é o abatimento. É importante também diferenciar esse desconto
daquele que pedimos toda vez que compramos alguma coisa à vista. O desconto
financeiro tem fundamentação teórica e critérios de cálculo.
• Taxa de desconto: é a taxa de juros comum das aplicações, agora utilizada nas
operações de desconto.
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Os descontos podem ser calculados de acordo com dois critérios distintos:
um deles é o cálculo tomando-se por base o valor atual da dívida na data do seu
pagamento antecipado e o outro baseado em seu valor nominal.
Qualquer que seja seu critério de cálculo, o desconto sempre será
subtraído do valor nominal da dívida.
Definição: segundo o critério racional ou por dentro, o desconto simples é
calculado como o juro simples do valor atual da dívida na data da antecipação, pelo
prazo de antecipação da data de pagamento. Ou seja, o desconto é o juro que seria
obtido na aplicação do valor atual da dívida da data de pagamento antecipado até a
data do vencimento original, à taxa de desconto.
Fórmulas
·
Desconto
De acordo com a definição, teremos: D = A.i.n, onde A é o valor atual da dívida na
data do seu pagamento antecipado, i é a taxa unitária de desconto e n é o tempo
que falta para o vencimento, contado a partir da data de pagamento.
Substituindo o valor atual (A) da dívida por sua fórmula, teremos:
D= N.i.n/(1+i.n)
•
Valor descontado racional ou valor líquido racional
Por sua definição, o valor descontado racional será a diferença entre o valor nominal
e o desconto racional. Portanto,
VD = N – D
Substituindo suas fórmulas, teremos:
VD = N – N.i.n/(1 + i.n), que, por simplificação, transformar-se-á em:
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VD = N/(1+i.n)
Não se esqueça que o valor descontado é o valor efetivamente pago ou
recebido pela dívida, depois de abatido o desconto; é o valor líquido.
Aplicação: calcule o desconto simples racional de um título de valor nominal
R$ 1.000,00, em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao
mês.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 1000
n = 3 meses
i = 4/100
Podemos começar essa solução pela fórmula do desconto simples racional:
Substituindo os valores:
D = R$ 107,14
Sugestão de cálculos:
Algébrica:
1000 x 4 x 3 ÷ 100 ÷ (4 x 3 ÷ 100 + 1) =
RPN (HP12C)
1000 ENTER 4 x 3 x 100 ÷ 4 ENTER 3 x 100 ÷ 1 + ÷
Você também poderá fazer separadamente as contas do numerador e denominador
e depois dividi-los
2-Desconto Simples Comercial ou por fora
Definição: segundo o critério comercial ou por fora, o desconto simples é
calculado como o juro simples do valor nominal da dívida, pelo prazo de antecipação
da data de pagamento.
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A denominação “por fora” se deve ao fato do desconto ser calculado com
base no valor nominal, que é o valor mais externo do fluxo de caixa da dívida.
Esse é o critério de desconto simples de maior aplicação prática, devido à
facilidade de cálculo e da aplicação do juro sobre o valor nominal da dívida.
Fórmulas:
•
Desconto simples comercial ou por fora Se o desconto comercial é o juro
simples do valor nominal pelo prazo de antecipação, sua fórmula será:
d = N.i.n
Onde d é o desconto comercial, N é o valor nominal da dívida, i é a taxa
de desconto comercial e n é o prazo de antecipação.
• Valor descontado ou líquido comercial ou por fora
De acordo com o conceito de valor descontado, temos:
Vd = N – d.
Substituindo d por sua fórmula, teremos:
Vd = N – N.i.n
ou
Vd = N.(1-i.n)
Acompanhe sempre o significado das letras presentes nas fórmulas. Qualquer
dúvida volte e releia a definição correspondente.
Aplicação: Um título de valor nominal R$ 245,00 foi descontado em uma
antecipação de quatro meses, sendo beneficiado com um desconto simples
comercial de R$ 35,00. Determine a taxa de desconto utilizada nessa operação.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 245
n=4
d = 35
Podemos iniciar com a fórmula do desconto comercial: d = N.i.n
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Substituindo os valores, temos:
35 = 245.i.4
35 = 980.i
Isolando a taxa como incógnita a ser calculada, teremos:
i = 35/980 = 0,0357
i x 100 = 3,57% ao mês .
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Desconto Simples Bancário
Ao final deste módulo, você deverá ser capaz de identificar as operações de
desconto simples bancário e, conhecendo a nomenclatura das suas grandezas,
fazer os cálculos através das fórmulas montadas a partir das definições.
O sistema bancário, por ser uma aplicação prática da teoria financeira, leva
em consideração parâmetros próprios que, na maioria das vezes, não são
destacados com co a devida ênfase pela teoria. Podemos citar o caso específico da
taxa administrativa, que os bancos cobram no desconto bancário, para remunerar
sua estrutura colocada à disposição desse tipo de operação.
Definição: o desconto bancário é calculado como o desconto simples
comercial, acrescido de um percentual do valor nominal, como taxa administrativa.
Essa taxa representa para as instituições que praticam esse tipo de desconto uma
remuneração ou um custeio da estrutura colocada a serviço das operações de
desconto. Essa cobrança aparece sob as mais diversas roupagens, sendo uma
delas atualmente denominada, por algumas instituições, Taxa de Abertura de
Crédito (TAC).
A taxa administrativa é um percentual bruto, e não uma taxa de juros; ao
montarmos a fórmula de cálculo, na qual ela será representada por h, devemos
dividi-la por 100, para trabalharmos com sua forma unitária. Esse procedimento
facilita os cálculos.
Fórmulas
• Desconto simples bancário
De acordo com o conceito, teremos: db = d + h.N
db = N.i.n + h.N,portanto: db = N.(i.n+h)
• Valor descontado bancário (valor líquido bancário)
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De acordo com o conceito, temos: Vdb = N – db,e portanto:
Vdb = N – N.(i.n + h) ou Vdb = N.[1 - (i.n+h)]
Em síntese, você viu que o desconto bancário surge da adição da taxa
administrativa, como percentual do valor nominal, ao desconto comercial. O
valor da taxa administrativa pode variar de uma instituição financeira para outra e,
mesmo dentro da mesma instituição, variar de um cliente para outro. Essa taxa
possui uma estrutura técnica apoiada em uma política de relacionamento dos
bancos e financeiras. Seu valor é estabelecido de acordo com a reciprocidade
praticada pelos clientes ou seja, o cliente que tem mais negócios com o banco paga
menor taxa administrativa.
Não se esqueça de dividir a taxa administrativa por 100, antes de
substituí-la na fórmula.
Aplicação:Um título de valor nominal R$ 245,00 foi descontado em uma
antecipação de quatro meses, sendo beneficiado com um desconto simples
bancário de R$ 35,00. Determine a taxa de desconto utilizada nessa operação,
sabendo que a financeira cobrou uma taxa administrativa de 2%.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 245
n=4
db = 35
h = 2/100
Podemos iniciar com a fórmula do desconto simples bancário:
db = N.(i.n + h)
Substituindo os valores, temos:
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35 = 245.(i.4 + 0,02)
35 = 980.i + 4,9
Isolando a taxa como incógnita a ser calculada, teremos:
i = (35-4,9)/980 = 0,0307
100 x i = 3,07% ao mês .
2-Taxa Efetiva na Operação de Desconto
As empresas em geral dão prazos a seus clientes para o pagamento de suas
compras. Para não se descapitalizarem e arcarem com os custos financeiros das
suas operações, essas empresas vendem seus títulos de cobrança aos bancos,
através de operações de desconto.
As operações de desconto de títulos utilizadas por essas empresas para
financiar seu capital de giro representam investimentos para os bancos. Como as
instituições envolvidas, empresas e bancos, investem valores diferentes em datas
diferentes, surge a figura da taxa efetiva remunerando o dinheiro aplicado pelo
banco, que é diferente da taxa de desconto paga pela empresa. O reconhecimento
dessa diferença é um fator importante para fundamentar sua análise das operações
financeiras envolvendo instituições de crédito.
Ao final deste capítulo, você terá condições de identificar e calcular as taxas
de juros às quais os capitais estão efetivamente aplicados, nas operações de
desconto comercial ou bancário.
É muito importante lembrar que não existe a figura da taxa efetiva nos
descontos efetuados segundo o critério racional.
Definição: denomina-se efetiva a taxa de juros à qual devemos aplicar os
valores descontados (líquidos) comercial ou bancário, para obtermos, de montante,
o valor nominal da dívida, no prazo de antecipação.
Essa taxa indica a remuneração do valor aplicado efetivamente na operação
de desconto por bancos e financeiras. É a taxa que o banco ou a financeira ganha
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na
operação
de
desconto
que
praticam
junto
às
empresas
em
geral.
Representaremos essa taxa por if.
Fórmulas:
A fórmula dessa taxa efetiva pode ser construída a partir da própria definição:
N = Vd . (1 + if . n)
Veja nessa fórmula que o valor nominal é o montante de uma aplicação em que o
valor descontado ou líquido é o principal, o prazo é o que falta para o vencimento e
a taxa de juros é a efetiva.
A partir dessa definição, podemos concluir as seguintes fórmulas:
if = [(N/Vd) - 1]/n
ou
if = d/(Vd.n)
As fórmulas correspondentes para o desconto bancário poderão ser obtidas pela
troca dos parâmetros das duas fórmulas anteriores:
if = [(N/Vdb) - 1]/n
ou
if = db/(Vdb.n)
Observação: Substituindo na fórmula da taxa efetiva comercial cada parâmetro por
sua fórmula, conseguimos chegar a uma fórmula para a taxa efetiva baseada
apenas na taxa de desconto e no prazo de antecipação, e simplificando os fatores
comuns, chegamos à fórmula final:
if = i/(1- i.n)
Fazendo o mesmo para o desconto bancário, teremos que transformar a taxa
administrativa em uma taxa de juros correspondente, na mesma unidade de tempo
que a taxa de desconto, e adicionar as duas, dando origem a uma nova taxa de
desconto bancário que engloba a taxa administrativa e a taxa de desconto,
representada por I.
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Dessa forma, a fórmula da taxa efetiva para o desconto bancário, baseada
apenas na taxa de desconto, na administrativa e no prazo, será:
if = I/(1- I.n)
É importante você notar que a taxa administrativa é apenas um percentual
aplicado sobre o valor nominal. Nesse caso da taxa efetiva a administrativa é
“disfarçada” de taxa de juros, “maquiando” a taxa total aplicada na operação de
desconto bancário. Não se esqueça também que somente poderemos adicionar as
duas taxas se elas estiverem referidas à mesma unidade de tempo.
Aplicação: Um título de valor nominal R$ 245,00 foi descontado em uma
antecipação de quatro meses, sendo beneficiado com um desconto simples
comercial de R$ 35,00. Determine a taxa de desconto utilizada nessa operação e a
taxa efetiva.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
N = 245
n=4
d = 35
Começaremos pela fórmula do desconto comercial:
d = N.i.n
35 = 245.i.4
i = = 0,03571 ao mês ou em percentagem 3,57% ao mês
Aplicamos em seguida a fórmula da taxa efetiva:
if = i / (1 – in)
Substituindo os valores, temos:
if = 3,57 / (1 – . 4) = 4,16% ao mês
Sugestão de cálculos:
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Calculadora Algébrica:
3,57 ÷ (3,57 x 4 ÷ 100 -1) =
Novamente esqueça o sinal negativo, ocasionado pela inversão do -1.
Calculadora RPN (HP12C)
3,57 ENTER 3,57 ENTER 4 x 100 ÷ 1 – ÷
O sinal negativo foi provocado pela inversão da operação. Desconsidere-o.
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Conceitos Básicos-Fórmulas
Apesar das controvérsias e até de uma antiga proibição do seu uso, o juro
composto é o critério de cálculo do juro mais aplicado em todo o território nacional
há muito tempo.
Conceito: segundo o critério de cálculo denominado composto, ao final de
cada período, o juro do período é adicionado ao principal do período, e o montante
assim formado é reaplicado como principal no período seguinte.
Analisando essa definição você percebe que a diferença entre os critérios
simples e composto é a capitalização período a período no juro composto. Esse tipo
de cálculo provoca um aumento do juro calculado, pois apesar da taxa de juros
permanecer a mesma, o montante vai crescendo com a adição do juro.
Consequências da definição do critério composto
As denominações desse critério seguem as idéias passadas pela definição:
·
juro sobre juro;
·
juro capitalizado;
·
juro exponencial.
Nesse caso, o juro não é diretamente proporcional à taxa e ao número de
períodos, mas exponencial. Na prática isso significa que o juro composto de dois
períodos consecutivos é maior que o dobro do juro do primeiro período. Com essa
característica desaparecem os números proporcionais usados como divisores da
taxa de juros simples. Os cálculos a juros compostos serão feitos utilizando o divisor
100 para a taxa de juros, referente à sua característica percentual.
Você verá também que os cálculos das taxas efetivas compostas terão um
grau de complexidade maior que no juro simples.
Fórmula do Montante Composto
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Relembrando o conceito de montante, faremos sua aplicação período a
período, construindo a fórmula. Vamos indexar o montante, ao final de cada
período, com o número do período.
Primeiro período: M1 = P + P.i = P.(1 + i)
Segundo período: M2 = M1 + M1.i = P.(1 + i) + P.(1 + i).i = P.(1 + i)
Terceiro período: M3 = M2 + M2.i = P.(1 + i) + P.(1 + i) .i = P.(1 + i)
Seguindo essa linha de raciocínio, concluímos que, para n períodos, teremos:
M = P.(1 + i)n
Fórmula do Juro Composto
Para o cálculo do juro composto, podemos aplicar a própria definição de
montante:
M=P+J
J = M – P = P.(1 + i)n – P
Colocando o fator comum P em evidência, teremos:
J = P .[(1 + i)n– 1]
A maioria das aplicações a juros compostos será calculada através da fórmula do
montante, ficando a fórmula do juro em segundo plano.
Aplicação: Calcule o montante de um principal de R$ 1.000,00, aplicado a juros
compostos de 5% ao mês, durante dez meses.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
P = 1000
i = 5/100
n = 10
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Repare que podemos aplicar diretamente a fórmula do montante composto, pois a
taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade de medida de tempo:
M = P.(1 + i) n
Substituindo os valores temos:
M = 1000 . (1 + 5/100 )10
M = R$ 1.628,89
Sugestão de cálculo:
Calculadora algébrica:
5÷100+1= yx 10 = x 1000 =
Calculadora RPN (HP12C):
5 ENTER 100 ÷ 1+ 10 yx 1000 x
Repare que a calculadora RPN está estruturada para calcular e dar a resposta
assim que a tecla de operação é acionada. Ela não possui a tecla =.
Não coloque também o ponto separador do milhar, pois a calculadora fará isso.
Para ela esse ponto do teclado é vírgula.
Observe que o recurso de cálculo usado nesse caso foi a tecla exponencial da sua
calculadora: yx .
2-Valor atual (A) e Valor nominal (N)
Em cada área financeira específica a nomenclatura tem suas características
próprias.
No caso do cálculo de dívidas, as denominações “principal” e “montante” são
substituídas por “atual” e “nominal”.
Definimos o valor atual como o valor da dívida em uma data anterior à sua
data de vencimento e o valor nominal como seu valor na própria data de
vencimento.
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O nominal é um valor associado à idéia de valor futuro, de montante, pois
agrega o principal e o juro da dívida.
Cada dívida tem uma única data de vencimento e, portanto, um único valor
nominal. Em correspondência, como existe, normalmente, um prazo para o
vencimento da dívida, esta pode apresentar muitos valores atuais.
Conceitualmente podemos dizer que todos os valores atuais de uma dívida
terão como montante o mesmo valor nominal, no prazo de antecipação (tempo que
vai da data de pagamento antecipado até a data do vencimento).
Nem sempre a taxa do cálculo original da dívida é a mesma para todos os
valores atuais. A taxa de juros pode mudar de acordo com as características do
mercado ou da legislação.
Operacionalmente, substituindo na fórmula do montante M por N e P por A,
podemos escrever:
N = A.(1 + i)n
ou
A = N/(1 + i)n
Aplicação: Calcule o valor nominal de uma dívida cujo valor atual, cinco meses
antes do vencimento, é de R$5.000,00, sabendo que esse cálculo foi feito a juros
compostos de 3% ao mês.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
A = 5000
i = 3/100
n=5
Repare que podemos aplicar diretamente a fórmula do valor nominal composto, pois
a taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade de medida de tempo:
N = A.(1 + i)n
Substituindo os valores temos:
N = 5000 . (1 + 3/100 )5
M = R$ 5.796,37
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Sugestão de cálculo:
Calculadora algébrica:
3÷100+1= yx 5 = x 5000 =
Calculadora RPN (HP12C):
3 ENTER 100 ÷ 1+ 5 yx 5000 x
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Conceito
Historicamente o cálculo dos juros foi caracterizado por forte presença de
taxas compostas anuais. Atualmente, com as grandes variações de taxas e prazos e
a marcante presença da inflação, abriu-se espaço para as aplicações de taxas em
períodos menores, com recálculos mais freqüentes.
As operações de recálculo das taxas de juros são importantes nas economias
inflacionadas para garantir o valor dos ativos financeiros e nas economias estáveis
para garantir a confiabilidade da margem de lucro, de difícil recuperação nesse perfil
econômico.
Por terem que levar junto suas capitalizações, os cálculos da taxa efetiva no
critério composto são mais complexos do que no simples, onde as taxas
equivalentes são proporcionais. Atualmente essas dificuldades estão minimizadas
pela eficiência das calculadoras modernas que, a um custo baixo, incorporaram
grande eficiência e precisão de cálculos.
Os bancos e financeiras desenvolveram esquemas práticos para cálculos em
situações corriqueiras, que não atendem a situações de exceção cada vez mais
freqüentes, cujos cálculos devem ser específicos. A conseqüência importante dessa
situação é uma exigência maior da competência do administrador que gerencia o
dia-a-dia das empresas. Quando não se consegue esse desenvolvimento nas
escolas as empresas acabam arcando com os custos dessa formação dos seus
gerentes financeiros.
Para facilitar nosso trabalho, vamos estabelecer um conceito operacional
que será traduzido em uma fórmula aberta que, com pequenas alterações poderão
ser aplicadas a todas as situações.
Duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo
diferentes, serão equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo
prazo, produzirem o mesmo montante.
Aplicação: Qual a importância do conceito de equivalência de taxas compostas?
R.: esse conceito é muito importante porque nos permite calcular valores em prazos
cujas taxas de juros não conhecemos. Existem situações como as de pagamentos
parcelados, cujos prazos não podem ser alterados para se adequar à unidade de
tempo da taxa de juros.
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2-Fórmulas de Equivalência
Para construirmos uma fórmula que relacione duas taxas equivalentes de acordo
com o critério do juro composto, vamos fixar as taxas anual e mensal.
·
ia = taxa unitária anual
·
im = taxa unitária mensal
Número de períodos: um ano para a taxa anual e doze meses para a taxa mensal.
Aplicando a fórmula do montante composto, teremos:
M = P.(1 + im )12 , para a taxa mensal
M = P.(1 + ia) , para a taxa anual
Repare que para o mesmo prazo de um ano a taxa anual vê um período e a taxa
mensal vê doze.
Como, de acordo com o conceito, os montantes e os principais são iguais, teremos:
(1 + im )12 = 1 + ia
Essa fórmula indica que a taxa anual possui doze capitalizações da taxa
mensal equivalente.
Equivalências em outros períodos poderão ser calculadas alterando-se, na
fórmula, os números de capitalizações correspondentes.
Repare que o número de capitalizações dessa fórmula é obtido através
da relação entre os prazos das duas taxas de juros consideradas.
Aplicações: Calcule a taxa composta anual equivalente a 2% a.m.
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Solução por aplicação direta da fórmula:
(1 + 2÷100) = (1 + ia)
1 + ia = 1,26824
ia = 0,26824 ao ano ou 26,82%a.a..
Na calculadora temos:
Algébrica:
2÷100+1= yx 12 = -1 =
RPN (HP12C):
2 ENTER 100÷1+12 yx 1-
Observe o conceito em que se baseia essa solução: a taxa anual tem doze
capitalizações da mensal equivalente.
Esse formato do cálculo se deve ao fato da capitalização ser efetuada através da
fórmula do montante composto.
Esses cálculos de taxas equivalentes também poderão ser feitos através das
funções da calculadora financeira. A definição da taxa de juros unitária como a
variação do juro por unidade de capital, dá suporte a esse cálculo.
No caso do exercício anterior temos:
1
CHS
PV
-1,00
12
n
12,00
2
i
2,00
FV
1,2682
Calculando 1,2682 – 1 temos taxa = 0,2682 ao ano.
Como a taxa é a variação por unidade de capital, aplicamos 1,00 e, ao final,
subtraímos 1,00 para ficar apenas com a variação no período, que é a taxa pedida.
Alterando os parâmetros podemos calcular todas as variações das taxas, a juros
compostos.
A taxa percentual será 26,82% a.a..
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Séries de Pagamentos
Não se esqueça que os valores financeiros vinculados a datas diferentes não
podem ser comparados nem adicionados ou subtraídos. Esse critério é levado em
consideração sempre que se desenvolve uma fórmula de cálculo financeiro,
principalmente para as séries de capitais.
O leque de aplicações das séries é muito grande! Qualquer conjunto de
valores que guardam entre si alguma relação é uma série. Podemos citar como
exemplos as anuidades escolares, os aluguéis, seguros, condomínios, poupança
programada, poupança imobiliária vinculada, previdência pública e privada.
Conceito de série: qualquer sequência de capitais reunidos sob uma
determinada característica pode ser considerada uma série, também denominada,
históricamente, anuidade. Esses capitais podem ser valores que caracterizam uma
série de pagamentos, que tem como objetivo a quitação de uma dívida.
Uma série de pagamentos tem como principal característica seu valor atual
na data zero, também denominado valor à vista, que é igual à soma de todos os
valores (termos) da série na data zero, valor esse que depende do número e do
valor dos pagamentos, bem como da taxa de juros utilizada no cálculo do
financiamento.
São
exemplos de séries de pagamentos: aluguéis, condomínios,
mensalidades escolares, seguros, financiamentos em geral.
De acordo com suas características, as séries podem ser classificadas em
dois grandes grupos, as certas ou determinísticas e as probabilísticas ou aleatórias.
Uma série é denominada certa quando as datas e os valores dos seus termos
são
conhecidos.
Como
exemplo,
temos
os
financiamentos
com
taxas
predeterminadas como mensalidades escolares, aluguel, prêmio de seguro.
A série aleatória não tem datas nem valores determinados. Como exemplo,
podemos citar os fluxos de caixa das seguradoras. Nenhuma companhia de seguros
sabe quando vai ter que indenizar um sinistro, e a quanto monta essa saída de
caixa. Tanto terá que desembolsar valores pequenos com o pagamento de sinistros
corriqueiros do dia-a-dia como enfrentar indenizações milionárias de grandes
desastres. Um exemplo disso foi visto em uma propaganda de seguradora cujo texto
dizia “se você é mulher e tem por volta de trinta anos, faça seguro conosco com
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20% de desconto”. Esse procedimento foi, provavelmente, conseqüência de
levantamento estatístico do perfil das pessoas que mais se envolvem em acidentes,
junto aos registros de sinistros. Com certeza “mulher de trinta” não é o perfil do
maior envolvido em sinistros. Os cálculos das séries aleatórias são feitos pela
estatística, com modelos probabilísticos complexos, em uma área da matemática
denominada atuária.
Devido
à
complexidade
dos
cálculos
matemáticos
exigidos,
não
estudaremos as séries probabilísticas.
O estudo completo de todos os modelos de séries envolveria um prazo muito
longo e se revelaria ineficaz, pois perderíamos os conceitos de vista por não usálos.O objetivo do nosso curso é aprender a aplicação operacional dos conceitos
para produzirmos resultados úteis a nós e à coletividade em que vivemos. Para
atendermos aos nossos objetivos, escolheremos um modelo de série mais restrito,
elegendo algumas de suas características:
·
série periódica: seus termos ocorrem a períodos de tempo iguais;
·
temporária: a série tem uma duração determinada;
·
constante: todos os termos da série têm o mesmo valor;
·
imediata: o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo;
·
postecipada: cada termo localiza-se no final do período de vencimento.
Os nossos conhecimentos sobre séries poderão, no futuro, se estender a outros
modelos através de pequenos ajustes adicionais, uma vez que conheçamos seus
conceitos básicos.
Fórmula do valor presente ou à vista (A): como a definição de valor à vista
da série o configura como a soma de todos os pagamentos trazidos para a data zero
(sem juros), teoricamente, o valor à vista da série de pagamentos poderia ser
calculado por meio da sua definição, termo a termo. Na prática, isso seria
complicado, pois podemos ter séries com um grande número de termos. Para evitar
esse transtorno, estabeleceremos uma fórmula que fará isso por nós.
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Adotando R para representar o valor das prestações, n para o número de
prestações, i para a taxa de financiamento, e aplicando a definição de valor atual na
data zero a cada um dos termos da série, teremos:
A = R/(1 + i) + R/(1 + i) 2 + R/(1 + i)3 + ... + R/(1 + i)n
Fatorando e agrupando os termos da expressão acima, teremos:
A = R . [(1 + i )n - 1]/ [ i.(1+i)n ]
Note que ficou bem mais simples aplicar essa fórmula que trazer para a data
zero todos os termos de uma série.
Aplicação: Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze
pagamentos mensais iguais a R$ 250,00, sem entrada, sabendo que a operação foi
calculada a juros compostos de 3% ao mês.
Solução por aplicação direta da fórmula:
A= R .
Substituindo os valores numéricos temos:
A = 250 . [ (1+0,03)13 - 1] / 0,03.(1+0,03)13 = R$ 2.658,74
Sugestão de cálculo:
Calculadora algébrica:
Numerador: 3 ÷ 100 + 1 = yx 13 = - 1 = x 250 = 117,13343
Denominador: 3 ÷ 100 + 1 = yx 13 = x 3 ÷ 100 = 0,04406
Resultado: 117,13343/0,04406 = 2.658,74
Calculadora RPN (HP12C)
3 ENTER 100 ÷ 1 + 13 yx 1– 250x3 ENTER 100 ÷ 1 + 13 yx 3 x 100 ÷ ÷
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De uma forma mais rápida e precisa você poderá efetuar esses cálculos
através de funções programadas da calculadora financeira. Isso se aplica
principalmente a cálculos cujos objetivos sejam apenas os resultados. Essa situação
acontece em “mesas de aplicações” de ativos dos bancos e financeiras. Os
operadores dessas mesas usam telefones, calculadoras, terminais de computadores
e boletins com informações sobre o mercado financeiro. A dinâmica de
desenvolvimento desse tipo de atividade não deixa tempo para o trabalho através de
fórmulas!
A correspondência entre os parâmetros da fórmula teórica e as teclas da
calculadora são:
Valor à vista (P)
PV
Taxa de financiamento (i)
i
Número de pagamentos (n)
n
Valor dos Pagamentos(R)
PMT
Devemos lembrar que valores financeiros de entrada ou saída no fluxo de
caixa deverão figurar com sinais diferentes (+ ou –).
Não existe nenhuma sequência fixa para a entrada dos dados nas funções de
cálculo, a não ser que a incógnita deve ser digitada no final da sequência.
No caso da aplicação anterior, o cálculo seria:
Cálculo através da calculadora HP12C:
250
CHS
PMT -250,00
13
n
13,00
3
i
3,00
PV
2.658,74
A sequência de operação é padrão: dado, tecla, visor da calculadora. Lembre-se
que a incógnita a ser calculada deverá ficar por último.
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Referências Bibliográficas:
JORGE, Fauzi Tímaco & MOREIRA, José O de Campos – Economia: Notas Introdutórias –
Ed. Atlas – 1995, São Paulo – Brasil
NUSDEO, F. Curso de Economia: Introdução ao Direito Econômico
PINDICK, Robert S. & RUBINFELD, Daniel. L. Microeconomia. 4ª ed. Makron Books, 1999.
São Paulo Brasil
ROSSETTI, J. P. Introdução à Economia
SILVA, Fabio Gomes da & JORGE, Fauzi Timaco. Economia Aplicada à Administração. Ed.
Futura, São Paulo - 2001
TROSTER, Roberto L. & MOCHÓN, Francisco. Introdução à Economia. Makron Books,
1999. São Paulo – Brasil
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