III Equacoes basicas na forma integral para um volume de controle

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Campus Cornélio Procópio
FENÔMENOS DE TRANSPORTES I
Prof. ME RUBENS GALLO
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II - EQUAÇÕES BÁSICAS NA
FORMA INTEGRAL PARA UM
VOLUME DE CONTROLE
Professor, Rubens Gallo:
Engenharia Mecânica
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2.1 - TÓPICOS
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• Leis básicas para um sistema.
• Relação entre as derivadas e a formulação para um volume de controle.
• Equação da conservação da massa.
• Equação da quantidade de movimento para um volume de controle inercial.
• Equação da quantidade de movimento para um volume de controle com
aceleração retilínea.
• Equação da quantidade de movimento para um volume de controle com
aceleração arbitrária.
• Equação da conservação da energia – Primeira lei da termodinâmica.
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3.2 – SISTEMA E VOLUME DE
CONTROLE
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• Sistema
– É uma quantidade de matéria de massa e
identidade fixa, que escolhemos como objeto
de estudo;
– Esta quantidade de matéria está contida por
uma fronteira através da qual não há fluxo de
massa.
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• Volume de controle
É uma determinada região delimitada por uma
fronteira onde uma determinada quantidade de
matéria é observada.
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3.3 – DESCRIÇÃO DO
PROBLEMA
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•
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Lagrangeana (sistema): consiste em identificar
certas partículas do fluido e a partir daí observar
variações de propriedades ao longo do tempo;
• Euleriana (volume de controle): consiste em fixar
o tempo e observar as propriedades do fluido em
vários pontos pré-estabelecidos podendo-se assim
obter uma “visão” do comportamento do escoamento
naquele instante.
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3.4 – TIPOS DE BALANÇO
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• Globais (abordagem euleriana);
• Diferenciais (abordagem lagrangeana)
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Abortagem euleriana
• o volume de controle delimita uma caixa
preta;
• as equações de balanço são aplicadas através
da envoltória do volume de controle;
• o volume de controle pode incluir paredes
sólidas, e
• não fornece informações sobre o
comportamento ponto a ponto do sistema,
apenas valores
• globais (ou seja, entradas e saídas).
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Abordagem lagrangiana
• o elemento de volume é infinitesimal; está dentro
da caixa preta;
• permite ao observador “observar” variações das
grandezas no interior do volume de controle;
• o balanço é aplicado geralmente sobre uma única
fase, e
• o balanço é integrado até os limites da fase com
o auxílio de condições de contorno para
• encontrar a solução particular do problema.
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3.5 – LEIS BÁSICAS DA
DINÂMICA DOS FLUIDOS
PARA SISTEMAS
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As
leis
básicas
são
expressas
usando
a
descrição
lagrangiana em termos de um sistema, um conjunto fixo de
partículas materiais. Por exemplo, se considerarmos um
escoamento
através
de
uma
tubulação,
poderíamos
indentificar uma quantidade fixa de fluido em um tempo t,
esse sistema, então se moveria devido a uma velocidade para
uma localização a jusante no tempo t + t. Qualquer uma das
leis básicas poderia ser aplicada a esse sistema.
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CONSERVAÇÃO DA MASSA
Como um sistema é, por definição, uma porção arbitrária
de matéria de identidade fixa, ele é constituído da mesma
quantidade de matéria em todos os instantes. A
conservação da massa exige que a massa, M, do sistema
seja constante.
dM
dt
0
sistema
M
sistema


M ( sistema )
dm 

d
V ( volume )
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Segunda lei de Newton
Para um corpo movendo-se em relação a um
referencial
fixo,
a
segunda
lei
de
Newton
estabelece que a soma de todas as forças
externas agindo sobre o sistema é igual à taxa de
variação da quantidade de movimento linear.
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dV dP
F  ma  m

dt
dt sistema
Psistema 

M ( sistema )
Vdm 

V d
V ( sistema )
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Princípio da quantidade de movimento angular.
O princípio da quantidade de movimento angular (ou do
momento da quantidade de movimento) para um sistema
estabelece que a taxa de variação da quantidade de
movimento angular é igual à soma de todos os torques
atuando sobre o sistema.
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dH
T
dt
H sistema 

M ( sistema )
sistema
r  Vdm 

r V  d 
V ( sistema )
Torque devido as
forças de superfícies.
Torque devido a um
trabalho realizado
por um eixo.
T  r  Fs   r  gdm  Teixo
Torque devido as forças de campo.
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Primeira lei da termodinâmica – Equação da Conservação da
Energia.
A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da
conservação da energia para um sistema, ela pode ser
escrita na forma de taxa como:
𝒒𝒕𝒐𝒕 = 𝒒𝒆𝒏𝒕 − 𝒒𝒔𝒂𝒊
𝝏𝒒𝒕𝒐𝒕 𝝏𝑾𝒕𝒐𝒕 𝒅𝑬
−
=
𝝏𝒕
𝝏𝒕
𝒅𝒕
Esistema 

M ( sistema )
𝒒𝒕𝒐𝒕 − 𝑾𝒕𝒐𝒕 =
𝒔𝒊𝒔𝒕
edm 
𝒅𝑬
𝒅𝒕 𝒔𝒊𝒔𝒕
𝒘𝒕𝒐𝒕 = 𝒘𝒆𝒏𝒕 − 𝒘𝒔𝒂𝒊

V ( sistema )
e d 
V2
eu
 gz
2
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E para um volume de controle?
Como ficam essas equações?
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3.6 – TEOREMA DE
TRANSPORTE DE REYNOLDS
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Este teorema tem como premissa transformar as
equações válidas para um sistema em equações
válidas para um volume de controle. (i.e. converte do
sistema Lagrangeano para o Euleriano)
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Porque a formulação em volume de controle?
• É extremamente difícil identificar e seguir a mesma
massa de fluido em todos os instantes, como deve ser
feito para aplicar a formulação do sistema;
• O que nos interessa, geralmente, não é o movimento
de uma dada massa de fluido, mas sim o efeito do
movimento global de fluido sobre algum dispositivo ou
estrutura.
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Propriedades extensivas
Uma propriedade extensiva depende da massa do
sistema, exemplo: quantidade de movimento, energia, etc.
Propriedades intensivas
Uma propriedade intensiva independe da massa do
sistema, exemplo: temperatura, pressão, etc.
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Toda a grandeza extensiva tem uma intensiva a ela associada, denominada
grandeza específica, seja B uma propriedade extensiva qualquer, a sua
propriedade intensiva b pode ser representada por:
dB
b
dm
(3.1)
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A figura abaixo mostra o escoamento de um fluido através de
um bocal convergente, os pontos (1) e (2) indicam,
respectivamente, a entrada e saída do volume de controle, no
instante t, o sistema e o volume de controle coincidem
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A figura abaixo mostra o sistema no instante i + dt.
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Algumas observações:
• O volume de controle é estacionário e coincidente com a
tubulação entre as seções (1) e (2).
• O sistema considerado é o fluido que ocupa o volume de
controle no instante t (instante inicial).
• Em t + dt o fluido deslocou-se um pouco para a direita,
ou seja, o sistema considerado já não coincida mais com o
volume de controle.
• O fluido que coincide com a seção (2) da superfície de
controle no instante t se moverá a uma distância
x2=V2*t.
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• O fluido que se encontrava na seção (1) se deslocara de
uma distância x1  V1  t
• As direções dos escoamentos nas seções (1) e (2) são
normais a estas superfícies e os valores de V1 e V2 são
constantes.
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No instante t , podemos escrever:
B(t ) VC  B(t ) sist
(3.2)
No instante t + dt:
B(t  dt ) VC  B (t  dt ) sist  b1 A1 1x1  b2 A2  2 x2
(3.3)
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Estamos interessados na variação da quantidade B no
intervalo de tempo t, dado por:
𝜹𝑩
𝜹𝒕
=
𝑩(𝒕 + 𝒅𝒕)
𝒔𝒊𝒔𝒕
− 𝑩(𝒕)
𝒔𝒊𝒔𝒕
𝜹𝒕
𝒔𝒊𝒔𝒕
(3.4)
Substituindo a Eq. (3.3) na (3.4), temos:
𝜹𝑩
𝜹𝒕
=
𝒔𝒊𝒔𝒕
𝑩(𝒕 + 𝒅𝒕)
𝑽𝑪
+ 𝒃𝟐 𝑨𝟐 𝝆𝟐 ∆𝒙𝟐 − 𝒃𝟏 𝑨𝟏 𝝆𝟏 ∆𝒙𝟏
𝜹𝒕
(3.5)
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Substituindo a Eq. (3.2) na (3.5) e rearranjado, tem-se:
𝜹𝑩
𝜹𝒕
=
𝑩(𝒕 + 𝒅𝒕)
𝑽𝑪
− 𝑩(𝒕)
𝒔𝒊𝒔𝒕
𝑽𝑪
+ 𝒃𝟐 𝑨𝟐 𝝆𝟐 ∆𝒙𝟐 − 𝒃𝟏 𝑨𝟏 𝝆𝟏 ∆𝒙𝟏
𝜹𝒕
(3.5)
Aplicando a definição de limite para t  0.
𝐥𝐢𝐦
𝜹𝒕→𝟎
𝜹𝑩
𝜹𝒕
= 𝐥𝐢𝐦
𝜹𝒕→𝟎
𝒔𝒊𝒔𝒊
𝑩(𝒕 + 𝒅𝒕)
𝑽𝑪
𝜹𝒕
− 𝑩(𝒕)
𝑽𝑪
+ 𝐥𝐢𝐦
𝜹𝒕→𝟎
𝒃𝑨𝝆∆𝒙
𝜹𝒕
𝟐
− 𝒍𝒊𝒎
𝜹𝒕→𝟎
𝒃𝑨𝝆∆𝒙
𝜹𝒕
𝟏
(3.6)
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Lembrando que:
x1  V1 t e x2  V2 t
(3.7)
Substituindo a Eq. (3.7) na (3.6):
𝐥𝐢𝐦
𝜹𝒕→𝟎
𝜹𝑩
𝜹𝒕
= 𝐥𝐢𝐦
𝜹𝒕→𝟎
𝒔𝒊𝒔𝒊
𝑩(𝒕 + 𝒅𝒕)
𝑽𝑪
𝜹𝒕
− 𝑩(𝒕)
𝑽𝑪
+ 𝐥𝐢𝐦
𝜹𝒕→𝟎
𝒃𝑨𝝆𝑽𝜹𝒕
𝜹𝒕
𝟐
− 𝒍𝒊𝒎
𝜹𝒕→𝟎
𝒃𝑨𝝆𝑽𝜹𝒕
𝜹𝒕
𝟏
(3.8)
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Supondo que a velocidade e as propriedades do fluido
permaneçam constantes ao longo do escoamento e aplicando
a definição de derivada, a Eq. (3.9) pode ser escrita como:
dB
dt

sist
dB
 b2 A2  2V2  b1 A1 1V1
dt VC
(3.10)
Da Eq. (3.1) podemos escrever:
B

M ( sistema )
bdm 
 b d 
(3.11)
VC
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A Eq. (3.10) pode ser reescrita da seguinte maneira:
dB
dt

sist
d
 b d   b2 A2 2 x2  b1 A11x1
dt VC
(3.12)
A equação acima foi deduzida para uma situação particular,
onde eu tenho o fluxo entrando e saindo em apenas um
ponto do volume de controle e as velocidades de entrada e
saída é normal a superfície de controle.
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Para generalizar a equação, precisamos achar uma maneira
de relacionar o vetor velocidade com a superfície de controle,
isso pode ser feito usando-se o produto vetorial entre dois
vetores.
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Da definição de integral podemos escrever.
2
 b  V dA  b  V A
2
1
2 2
2
 b1 1V1 A1 
 b  V dA
(3.13)
SC
O Teorema de Transporte de Reynolds, pode ser escrito da
seguinte maneira:
dB
dt

sist
d
 b d   SC b  V dA
dt VC
(3.14)
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Interpretação dos termos do Teorema de Transportes de
Reynolds - TTR
Representa a taxa de variação de qualquer
dB
dt
propriedades extensiva do sistema, por exemplo:
sist
massa, energia, etc.
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É a taxa de variação com o tempo da
d
bd

dt VC
propriedade extensiva B dentro do volume de
controle.
b – é a propriedade intensiva correspondente
aB
42
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d
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É o elemento de massa contido no volume
de controle.
 bd
VC
É a quantidade total da propriedade extensiva
N contida dentro do volume de controle.
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3.7 – EQUAÇÃO DA
CONSERVAÇÃO DA MASSA
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Um sistema é uma determinada coleção de partículas do
fluído, portanto, sua massa permanece constante.
Definindo a propriedade extensiva B = m e a sua propriedade
intensiva correspondente b = 1, do Teorema de Transporte
de Reynolds, podemos escrever:
dm
d

 d     V  n  dA

dt sistema dt VC
SC
(3.15)
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Como uma das características de um sistema é que massa
não pode cruzar a sua fronteira, portanto, a quantidade de
massa
é
sempre
constante
e
consequentemente
ela
permanece constante ao longo do tempo, portanto:
dm
0
dt sistema
(3.16)
d
0
 d     V  n  dA

dt VC
SC
(3.17)
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Para escoamentos permanente:
0
  V  n  dA
(3.18)
SC
Para escoamentos uniformes e permanentes:
0   VA  s   VA e
(3.19)
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3.8 – EQUAÇÃO DA
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
PRIMEIRA LEI DA
TERMODINÂMICA
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Energia Mecânica e Eficiência
A energia mecânica pode ser definida como a forma de
energia que pode ser convertida direta e completamente
em trabalho mecânico por um dispositivo mecânico ideal
como, por exemplo, uma turbina ideal.
Energia cinética e potencial são consideradas energias
mecânicas.
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A energia térmica não uma energia mecânica uma vez que
ela não pode ser convertida em trabalho direta e
completamente.
Bomba
Transfere energia para o fluido.
Turbina
Retira energia do fluido.
Pressão aumenta.
Pressão diminui
Portanto, a pressão em um escoamento também é uma forma de
energia mecânica
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A energia mecânica de um fluido em escoamento por unidade
de massa pode ser expresso por:
P V2
e 
 gz
 2
(3.20)
Energia de escoamento
Energia potencial
Energia cinética
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Variação de energia
P2  P1 V22  V12
e 

 g  z2  z1 

2
(3.21)
emec  0  trabalho mecânico fornecido ao fluido
emec  0  trabalho mecânico extraído do fluido
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A transferência de energia mecânica, em geral, é realizada
por um eixo rotativo e, então, o trabalho mecânico quase
sempre é chamado de trabalho de eixo.
Uma bomba ou um ventilador recebem o trabalho de eixo
(em geral, de um motor elétrico) e o transferem para o fluido
como energia mecânica (menos as perdas por atrito).
Uma turbina, por outro lado, convertem a energia mecânica de
um fluido em trabalho de eixo.
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Na ausência de irreversibilidades como o atrito, a energia
mecânica pode ser totalmente convertida de uma forma
mecânica para outra, e a eficiência mecânica de um
dispositivo ou processo pode ser definida como:
mec 
Emec , perda
E
Energia mecânica saindo
 mec ,e  1 
Energia mecânica entrando Emec , s
Emec ,e
(3.22)
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Bomba
bomba
Aumento da energia mecânica do fluido Emec, fluido Wbomba ,u



Energia mecânica entrando
Weixo,e
Wbomba
(3.23)
Weixo , s
W
Energia mecânica saindo

 turbina
Diminuição de energia mecânica do fluido Emec , fluido Wturbina ,e
(3.24)
Turbina
turbina 
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Eficiência do motor ou gerador
Motor
motor
Potência mecânica saindo Weixo,s


Potência elétrica entrando Welétrica ,e
(3.25)
Welétrica ,s
Potência elétrica saindo


Potência mecânica entrando Wmecânica ,e
(3.26)
Turbina
 gerador
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Eficiência Combinada
Motor - Bomba
bomba motor  bombamotor 
Wbomba ,u
Welétrica ,e

Emec , fluido
Welétrica ,e
(3.27)
Gerador - Turbina
turbina  gerador  turbina gerador 
Welétrica ,s
Wturbina ,e

Welétrica ,s
Emec , fluido
(3.28)
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Transferência de Energia por Trabalho – W
• Um sistema pode envolver inúmeras formas de trabalho,
e o trabalho total pode ser expresso como:
𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐 + 𝑾𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 + 𝑾𝒗𝒊𝒔𝒄𝒐𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 + 𝑾𝒐𝒖𝒕𝒓𝒐𝒔
(2.29)
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Weixo - é o trabalho transmitido por um eixo giratório.
Wpressão -
é o trabalho realizado pelas forças de pressão
sobre a superfície de controle.
Wviscosidade
-
é o trabalho realizado pelas compónentes
normais e de cisalhamento das forças viscosas na superfície
de controle.
Woutros - é o trabalho realizado por outras forças, tais como:
elétricas, magnéticas e outras.
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Trabalho de Eixo
• Muitos sistemas de escoamento envolvem uma máquina como uma bomba,
uma turbina, um ventilador ou um compressor, cujo eixo atravessa a
superfície de controle, e a transferência de trabalho associada a todos
esses dispositivos é chamada apenas de trabalho de eixo Weixo.
𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐 = 𝝎 ∙ 𝑻𝒆𝒊𝒙𝒐 = 𝟐 ∙ 𝝅 ∙ 𝒏 ∙ 𝑻𝒆𝒊𝒙𝒐
(2.30)
60
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Trabalho realizado por forças de pressão.
• Considere um gás que esteja sendo comprimido em um
cilindro por um pistão como mostra a figura, podemos
escrever:
𝜹𝑾𝒇𝒐𝒓𝒏𝒕𝒆𝒊𝒓𝒂 = 𝑷 ∙ 𝑨 ∙ 𝒅𝒔
(2.31)
61
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Dividindo ambos os lados da equação por dt, temos a taxa de
variação no tempo do trabalho de fronteira, ou seja, potência.
𝜹𝑾𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 = 𝜹𝑾𝒇𝒓𝒐𝒏𝒕𝒆𝒊𝒓𝒂
𝜹𝑾𝒇𝒓𝒐𝒏𝒕𝒆𝒊𝒓𝒂
𝒅𝒔
=
=𝑷∙𝑨∙
= 𝑷 ∙ 𝑨 ∙ 𝑽𝒑𝒊𝒔𝒕ã𝒐
𝜹𝒕
𝒅𝒕
(2.32)
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Considere uma quantidade material de fluido (um sistema)
com forma arbitrária, que se move com o escoamento e pode
deformar-se sob a influência da pressão
𝜹𝑾𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 = −𝑷 ∙ 𝒅𝑨 ∙ 𝑽𝒏 = −𝑷 ∙ 𝒅𝑨 ∙ 𝑽 ∙ 𝒏
(2.33)
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O sinal negativo na equação garante que o trabalho realizado
pelas forças de pressão é positivo quando seja realizado no
sistema, e negativo quando realizado pelo sistema. A taxa
total de trabalho realizado pelas forças de pressão é obtida
pela integração da equação ao longo de toda a superfície.
𝑾𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 = −
𝑷 𝑽 ∙ 𝒏 𝒅𝑨 = −
𝑨
𝑨
𝑷
𝝆 𝑽 ∙ 𝒏 𝒅𝑨
𝝆
(2.34)
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Transferência de energia na forma de potência.
𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐 + 𝑾𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 = 𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐 −
𝑷 𝑽 ∙ 𝒏 𝒅𝑨
(2.35)
𝑨
Equação da primeira lei da Termodinâmica para um sistema:
𝒅𝑬
𝒅𝒕
= 𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 + 𝑾𝒆𝒊𝒙𝒐 −
𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
𝑷 𝑽 ∙ 𝒏 𝒅𝑨
(2.36)
𝑨
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Definindo a propriedade extensiva B = E e a sua propriedade
intensiva correspondente b = e, do Teorema de Transporte
de Reynolds, podemos escrever:
𝒅𝑬
𝒅𝒕
𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂
𝒅
=
𝒅𝒕
𝒆𝝆𝒅∀ +
𝑽𝑪
𝒆𝝆 𝑽 ∙ 𝜼 𝒅𝑨
(2.38)
𝑺𝑪
Onde:
𝑽𝟐
𝒆=𝒖+
+ 𝒈𝒛
𝟐
(2.38)
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Forma geral da Equação da Conservação da Energia, para
volumes de controle fixos, móveis ou deformáveis
𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 + 𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 −
𝑺𝑪
𝑷
𝒅
𝝆 𝑽 ∙ 𝜼 𝒅𝑨 =
𝝆
𝒅𝒕
𝒆𝝆𝒅∀ +
𝑽𝑪
𝑺𝑪
𝑽𝟐
𝝆 𝒖+
+ 𝒈𝒛
𝟐
𝑽 ∙ 𝜼 𝒅𝑨 (2.39)
´Taxa líquida de energia
 Taxa de variação  Fluxo líquido de energia 
 transferid a para o sistema  de energia dentro  que cruza a superfície de 




para o volume de controle  do volume de
 controle com o fluxo de 

 
 

na forma de trabalho e calor.  controle.
 massa.

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A Eq. (3.37) pode ser reescrita da seguinte maneira:
𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 + 𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝒅
==
𝒅𝒕
𝒆𝝆𝒅∀ +
𝑽𝑪
𝑺𝑪
𝑷
𝑽𝟐
𝝆
+𝒖+
+ 𝒈𝒛
𝝆
𝟐
 
 
m    V  n dA
Lembrando que:
𝑽 ∙ 𝜼 𝒅𝑨
(2.40)
(2.41)
SC
Da convenção de sinais adotada, podemos escrever a
equação da energia da seguinte maneira:
𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 + 𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝒅
𝒅𝒕
𝒆𝝆 𝑽 ∙ 𝜼 𝒅𝑨 =
𝑽𝑪
𝒎
𝑷
𝑽²
+𝒖+
+ 𝒈𝒛
𝝆
𝟐
−
𝒔
𝒎
𝑷
𝑽²
+𝒖+
+ 𝒈𝒛
𝝆
𝟐
(2.42)
68
𝒆
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Da definição de entalpia, podemos escrever.
𝑷
𝒉=𝒖+
𝝆
𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 + 𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝒅
𝒅𝒕
𝒆𝝆 𝑽 ∙ 𝜼 𝒅𝑨 +
𝑽𝑪
(2.43)
𝒎 𝒉+
𝑽²
+ 𝒈𝒛
𝟐
−
𝒔
𝒎 𝒉+
𝑽²
+ 𝒈𝒛
𝟐
(2.44)
69
𝒆
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Equação da energia em regime estacionário
𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 + 𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 =
𝒎 𝒉+
𝑽²
+ 𝒈𝒛
𝟐
−
𝒔
𝒎 𝒉+
𝑽²
+ 𝒈𝒛
𝟐
(2.45)
𝒆
Para apenas uma entrada e saída do volume de controle.
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 + 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑚 𝑢𝑠 − 𝑢𝑒
𝑃𝑠 − 𝑃𝑒 𝑉𝑠2 − 𝑉𝑒2
+
+
+ 𝑔 𝑧𝑠 − 𝑧𝑒
𝜌
2
(2.46)
70
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Dividindo a Eq. (3.44) pela vazão mássica, tem-se:
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 + 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑢𝑠 − 𝑢𝑒
Onde:
𝑃𝑠 − 𝑃𝑒 𝑉𝑠2 − 𝑉𝑒2
+
+
+ 𝑔 𝑧𝑠 − 𝑧𝑒
𝜌
2
𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
=
𝒎
𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
=
𝒎
(2.48)
(2.47)
Calor transferido por
unidade de massa.
(2.49)
Trabalho transferido por
unidade de massa.
71
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Rearranjando a Eq. (2.35):
Energia mecânica
saindo do volume de
controle
𝑷𝒆 𝑽𝟐𝒆
𝑷𝒔 𝑽𝟐𝒔
𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 +
+
+ 𝒈𝒛𝒆 =
+
+ 𝒈𝒛𝒔 + 𝒖𝒔 − 𝒖𝒆 − 𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝝆
𝟐
𝝆
𝟐
Energia mecânica
entrando no volume
de controle
(2.50)
Para uma situação de
fluxo ideal, sem
irreversibilidade
devido ao atrito, esse
termo tem que ser
igual a zero
72
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𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒖𝒔 − 𝒖𝒆
(2.51)
A equação acima diz que todo o calor entrando no volume de
controle tem que ser igual a variação da energia interna do
fluido ao atravessar o volume de controle.
Qualquer aumento no calor transferido em relação a variação
da energia interna deve-se a transformação irreversível de
energia mecânica em energia térmica, denominada energia
mecânica perdida.
73
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Portanto, a energia mecânica perdida pode ser calculada pela equação:
𝒆𝒎𝒆𝒄,𝒑𝒆𝒓𝒅 = 𝒖𝒔 − 𝒖𝒆 − 𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
(2.52)
O balanço de energia mecânica pode ser escrito da seguinte
maneira:
𝒆𝒎𝒆𝒄,𝒆 = 𝒆𝒎𝒆𝒄,𝒔 + 𝒆𝒎𝒆𝒄,𝒑𝒆𝒓𝒅
(2.53)
Ou:
𝑷 𝑽²
𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 +
+ + 𝒈𝒛
𝝆 𝟐
𝒆
𝑷 𝑽²
=
+ + 𝒈𝒛
𝝆 𝟐
+ 𝒆𝒎𝒆𝒄,𝒑𝒆𝒓𝒅
(2.54)
𝒔
74
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Lembrando que:
𝑾𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑾𝒆 − 𝑾𝒔 = 𝑾𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂 − 𝑾𝒕𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂
𝑷 𝑽²
+ + 𝒈𝒛
𝝆 𝟐
+ 𝑾𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂
𝒆
𝑷 𝑽²
=
+ + 𝒈𝒛
𝝆 𝟐
(2.55)
+ 𝑾𝒕𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂 + 𝒆𝒎𝒆𝒄,𝒑𝒆𝒓𝒅
(2.56)
𝒔
75
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Multiplicando a Eq. (2.56) pela vazão mássica, tem-se:
𝒎
𝑷 𝑽²
+
+ 𝒈𝒛
𝝆 𝟐
+ 𝑾𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂 = 𝒎
𝒆
𝑷 𝑽²
+
+ 𝒈𝒛
𝝆 𝟐
+ 𝑾𝒕𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂 + 𝑬𝒎𝒆𝒄,𝒑𝒆𝒓𝒅
(2.57)
𝒔
𝑬𝒎𝒆𝒄,𝒑𝒆𝒓𝒅 = 𝑬𝒎𝒆𝒄 𝒑𝒆𝒓𝒅,𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂 + 𝑬𝒎𝒆𝒄 𝒑𝒆𝒓𝒅,𝒕𝒖𝒓𝒃𝒊𝒏𝒂 + 𝑬𝒎𝒆𝒄 𝒑𝒆𝒓𝒅,𝒆𝒏𝒄𝒂𝒏
(2,58)
76
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Dividindo a Eq. (2.57) pela vazão mássica e aceleração da
gravidade, obtém-se:
𝑷
𝑽²
+
+𝒛
𝝆𝒈 𝟐𝒈
+ 𝒉𝒃,𝒖
𝒆
𝑷
𝑽²
=
+
+𝒛
𝝆𝒈 𝟐𝒈
+ 𝒉𝒕,𝒖 + 𝒉𝑳
(2.59)
𝒔
Das definições de rendimento:
ℎ𝑏,𝑢 =
𝑊𝑏,𝑢 𝑊𝑏,𝑢 𝜂𝑏 𝑊𝑏
=
=
𝑔
𝑚𝑔
𝑚𝑔
(2.60)
ℎ𝑡,𝑢 =
𝑊𝑡,𝑢 𝑊𝑡,𝑢
𝑊𝑡
=
=
𝑔
𝑚𝑔 𝜂𝑡 𝑚𝑔
𝒆𝒎𝒆𝒄 𝒑𝒆𝒓𝒅,𝒆𝒏𝒄𝒂𝒏 𝑬𝒎𝒆𝒄 𝒑𝒆𝒓𝒅,𝒆𝒏𝒄𝒂𝒏
𝒉𝑳 =
=
𝒈
𝒎𝒈
(2.61)
(2.62)
77
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Caso especial:
Fluido incompressível, sem trabalho mecânico e sem
irreversibilidades.
𝑷
𝑽²
+
+𝒛
𝝆𝒈 𝟐𝒈
=
𝒆
𝑷
𝑽²
+
+𝒛
𝝆𝒈 𝟐𝒈
(2.63)
𝒔
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
78
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Limitações do uso da Equação de Bernoulli
• Escoamento em regime estacionário ou permanente.
• Escoamento sem atrito.
• Nenhum trabalho de eixo
• Fluido incompressível.
• Nenhuma transferência de calor.
79
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Linhas Piezométrica (HGL – Hidraulic Grade Line) e Linha
de Energia (EGL – Energy Grade Line )
Normalmente é conveniente representar o nível de
energia mecânica graficamente usando alturas para
facilitar a visualização dos diversos termos da Equação
de Bernoulli.
80
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Energia por unidade de massa.
Altura de carga devido
a pressão estática.
Altura de elevação.
Carga de pressão
Carga de elevação
𝑷
𝑽²
+
+ 𝒛 = 𝑯 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝝆𝒈 𝟐𝒈
Carga de velocidade
Carga total
Altura de carga devido
a pressão dinâmica.
Altura de carga total do
Escoamento.
(2.64)
81
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Se um piezômetro (mede a pressão estática) é
colocado em um tubo, como mostra a figura, o
líquido sobe a uma altura de P/g acima do centro
do tubo. A linha piezométrica (HGL) é obtida fazendo
isso em diversos locais ao longo do tubo e
desenhando uma linha através dos níveis de líquido
dos piezômetros.
82
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Se um tubo de Pitot (que mede a pressão estática e dinâmica)
for colocado em um tubo, o líquido sobe a uma altura de
P/g+V2/2g acima do centro do tubo ou a uma distância V2/2g
acima do HGL.
A linha de energia (EGL) é obtida fazendo isso em vários
locais ao longo do tubo e desenhando uma linha através dos
níveis de líquido nos tubos de Pitot.
83
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Para o caso de escoamento
sem atrito.
84
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85
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Observando que o fluido também tem carga de elevação z (a
menos que o nível de referência seja tomado como a linha
central do tubo), a HGL e a EGL podem ser definidas da
seguinte maneira: a linha que representa a soma da pressão
estática e as cargas de elevação, 𝑷 𝝆𝒈 + 𝒛, é chamada de
linha piesométrica. A linha que representa a carga total do
fluido, 𝑷 𝝆𝒈 + 𝑽𝟐
𝟐𝒈 + 𝒛 , é chamada de linha de
energia. A diferença entre as alturas EGL e HGL é igual à
carga dinâmica.
86
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Para um fluido ideal:
87
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Pressões Estática, Dinâmica e de Estagnação
Pressão
Pressão estática
ou pressão
termodinâmica
hidrostática,
representa os efeitos
da coluna de fluido.
𝑽²
𝑷 + 𝝆 + 𝒈𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝟐
(2.65)
Pressão dinâmica, representa o
aumento de pressão quando o
fluido em movimento é parado
isoentropicamente.
88
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Pressão total é a soma das pressões estática, dinâmica e
hidrostática.
Pressão de estagnação é a soma das pressões estática e
dinâmica.
𝑷𝒆𝒔𝒕𝒂𝒈
𝑽²
= 𝑷+𝝆
𝟐
(2.66)
A pressão de estagnação representa a pressão em um ponto
no qual do fluido é parado totalmente de forma isoentrópica.
89
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90
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3.9 – EQUAÇÃO DA
QUANTIDADE DE
MOVIMENTO PARA UM
VOLUME DE CONTROLE COM
ACELERAÇÃO ARBITRÁRIA
91
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Segunda lei de Newton para um sistema com movimento
relativo a um sistema inercial de coordenadas.
F
dPXYZ
dt
(2.67)
sistema
XYZ – representa o sistema referencial inercial.
PXYZ
sistema


M ( sistema )
VXYZ dm
(2.68)
F

a XYZ dm
(2.69)
M ( sistema )
92
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O problema básico é relacionar aXYZ com a aceleração axyz
medida em relação a um sistema de coordenadas nãoinercial. Para esse fim, considere o referêncial não-inercial,
xyz, mostrado na figura abaixo.
93
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Da figura acima, podemos observar:
• 𝑅 - posiciona o sistema de referência não inercial xyz
em relação ao sistema de referência fixo XYZ.
• O sistema não inercial gira com velocidade angular 𝜔.
• 𝑟 - posiciona a partícula em relação ao referencial
móvel.
• 𝑋 - posiciona a partícula em relação ao referencial fixo.
94
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Da geometria da figura, podemos escrever:
X  Rr
(2.70)
r  xiˆ  yjˆ  zkˆ
(2.71)
Derivando a Eq. (3.70) em relação ao tempo, temos:
VXYZ 
dX dR dr
dr


 Vref 
dt
dt dt
dt
(2.72)
95
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dr d ˆ ˆ
dx
dy ˆ dz ˆ
diˆ
djˆ
dkˆ

xi  yj  zkˆ  iˆ 
j kx  y z
dt dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt


Vxyz 
dx ˆ dy ˆ dz ˆ
i
j  k  uiˆ  vjˆ  wkˆ
dt
dt
dt
diˆ
djˆ
dkˆ
r  x  y  z
dt
dt
dt
(2.73)
(2.74)
(2.75)
Combinando as Eqs. (2.73), (2.74) e (2.75), temos:
dr
 Vxyz    r
dt
(2.76)
96
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Substituindo a Eq. (2.76) na (2.72), encontramos:
VXYZ  Vref  Vxyz    r
(2.77)
Derivando a Eq. (2.76) em relação ao tempo, tem-se:
a XYZ 
dVXYZ dVref dVxyz d


   r 
dt
dt
dt
dt
(2.78)
97
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Da Eq. (2.76), tem-se:
dVxyz
dt
 axyz    Vxyz
(2.78)
d
d
dr
  r    r       r    Vxyz    r 
dt
dt
dt
d
  r     r    Vxyz      r 
dt
(2.79)
(2.80)
98
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Substituindo as Eqs. (2.78) e (2.80) na (2.78), vem:
a XYZ  aref  axyz  2  Vxyz      r     r
(2.81)
Significado físico de cada termo da Eq. (2.81)
a XYZ
Aceleração retilínea absoluta de uma partícula em relação ao
sistema de referência fixo XYZ.
99
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aref
Aceleração retilínea absoluta da origem do sistema de
referência móvel, xyz, em relação ao referencial fixo, XYZ.
axyz
Aceleração retilínea de uma partícula em relação ao sistema
de referência móvel xyz (essa aceleração seria aquela vista
por um observador colocado sobre a referência móvel xyz)
100
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2 Vxyz
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http://www.geomundo.com.br/meio-ambiente-40137.htm
Aceleração de Coriolis decorrente do momento da partícula
dentro do sistema de referência móvel xyz.
    r 
Aceleração centrípeta devida a rotação do sistema de
referência móvel xyz.
 r
Aceleração tangencial devida à aceleração angular do
sistema de referência móvel xyz.
101
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Substituindo a Eq. (2.81) na (2.69), temos:
 aref  axyz  2  Vxyz      r     r  dm

Fsistema 
(2.82)
M ( sistema )
Ou:
Fsistema 

 aref  2  Vxyz      r     r  dm 
M ( sistema )
Lembrando que:

axyz dm
(2.83)
M ( sistema

M ( sistema )
axyz dm 

M ( sistema )
dVxyz
dt
dm 
dPxyz
d
V
dm

 ) xyz
dt M ( sistema
dt
(2.84)
sistema
102
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Combinando as Eqs. (2.83) e (2.84), obtemos:
Fsistema 
dPxyz


a

2


V





r



r
dm



xyz

 ref

dt
M ( sistema )
FB  FS 
(2.85)
sistema
dPxyz


a

2


V





r



r
dm



xyz

 ref

dt
M ( sistema )
(2.86)
sistema
103
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B  Pxyz
e a sua propriedade
b  Vxyz  Vrel
do Teorema de
Definindo a propriedade extensiva
intensiva correspondente
Transporte de Reynolds, podemos escrever:
dPxyz
dt
FB  FS 
Onde:

sistema
d
 Vrel  d   SC Vrel   n Vrel  dA
dt VC
(2.87)
d


a

2


V





r



r

d




rel
VC  ref
 Vrel  d   SC Vrel   n Vrel  dA

dt VC
(2.88)
Vref  V  VVC
104
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Equação da quantidade de movimento para um volume de
controle inercial.
FB  FS 
d
 V  d   SC V   n V  dA
dt VC
(2.89)
Equação da quantidade de movimento para um volume de
controle movendo-se com velocidade constante.
FB  FS 
d
Vrel  d    Vrel   n  Vrel  dA

dt VC
SC
(2.90)
105
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Equação da quantidade de movimento para um volume de
controle com aceleração retilínea.
FB  FS 

VC
aref  d  
d
Vrel  d    Vrel   n Vrel  dA

dt VC
SC
(2.92)
106