Relações métricas no triângulo retângulo

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS Matemática
Ensino Médio, 1ª Série
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
São estas Relações que
Olá, pessoal ! Eu sou
nos levam
ao mais
Apertem osVamos fazer
um viagem
o famoso
filósofo
e
Mas antes, deem uma
ao passado
em Teorema
que as da
famoso
olhadinhaPitágoras
na história de cintos ... descobertas
matemático
levavam
história da
matemática...
como tudo isso
começou...
séculos para acontecer...
Vamos estudar juntos,
nesta aula, as Relações
Métricas no Triângulo
Retângulo
O incrível Teorema de
Pitágoras que, claro, leva
meu nome porque fui eu
quem o descobriu...
2
Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
É quase uma unanimidade entre os historiadores que Pitágoras viveu no
séc. VI a.C., na Grécia, entre os anos 583 e 507. Acredita-se que ele nasceu
numa ilha chamada Samos, daí ele se chamar Pitágoras de Samos.
Fixou residência numa cidade no sul da Itália chamada Crotona. Lá fundou
a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Filosofia, Matemática,
Música dentre outras Ciências.
Grandes descobertas são atribuídas aos pitagóricos, entre elas o sistema
de numeração decimal e o mais conhecido e aplicado teorema que leva o
seu nome, o Teorema de Pitágoras.
Os pitagóricos tinham várias superstições. Uma delas
relacionada à Matemática, cujo símbolo, o pentagrama,
segundo eles, os protegia do mal.
Existem inúmeras demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Um
matemático americano chamado Elisha Scott Loomis conseguiu organizar
um total de 367 demonstrações diferentes, todas reunidas em um livro
chamado The Pythagorean Proposition.
3
MATEMÁTICA- 1º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Chegou a hora de
estudar todas as
Boa viagem
relações métricas das
e bom estudo!
quais falamos...
Vocês vão ver que todas estão
interligadas e que, com elas,
conseguimos encontrar todas as
medidas de qualquer segmento
em um triângulo retângulo.
Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
Começa aqui, então,
outra viagem. Agora
vamos aos triângulos
retângulos...
4
Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Ângulo de 90º
Observe o triângulo ABC ao lado:
A
Note que ele é retângulo em Â,
isto é, a medida de  é 90º.
Conforme vocês já sabem,
a soma dos ângulos
internos
de
qualquer
triângulo é 180º. Logo, se
 = 90º, a soma dos
outros dois ângulos (B e
C) é igual a 90º.
b
c
h
B
m
C
n
H
a
Logo, os ângulos B e C são ditos complementares.
ˆ
5
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Se dividirmos o triângulo
ABC pela altura relativa a
sua hipotenusa a, surgem
dois triângulos ABH e
ACH, retângulos em Ĥ.
Sendo assim, dividimos o
ângulo  nos dois ângulos
já conhecidos do triângulo
ABC, que são C e B.
A
A
b
c
h
B
h
m
n
H
Triângulo ABH
C
H
Triângulo ACH
Observe que, entre os triângulos ABH e ABC, existem
em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice B
(amarelo), além do lado AB = c. Entre ACH e ABC,
existem em comum o ângulo reto e o ângulo no vértice
C (vermelho), além do lado AC = b. Por semelhança do
tipo A.L.A. nos dois casos, podemos concluir que
ˆ ~  ACH ~  ABC
 ABH
6
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Vamos destacar a semelhança da tela anterior:
A
A
b
c
h
B
h
m
n
H
C
H
Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Vamos destacar a semelhança da tela anterior:
A
b
B
m
H
h
c
n
A
h
C
H
Semelhança entre ∆ABH e ∆ACH
8
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Vamos fazer algumas observações sobre os lados do  ABC:
Ângulo de 90º
A
Lado AC
Lado AB
c
b
O lado AB vai do ângulo de 90º
até o ângulo amarelo.
B
C
H
O lado BC vai do ângulo pintado
de amarelo até o ângulo pintado
de vermelho.
a
Lado BC
O lado AC vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho.
9
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
 ABH ~  ACH ~  ABC
Como já vimos, é verdade que
Vamos analisar a semelhança entre ABC e ABH.
B
B
a
c
A
c
m
b
C
H
h
A
Essa semelhança garante também a proporcionalidade entre seus lados.
Sendo assim, observem as relações que podemos estabelecer entre eles.
10
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
B
B
a
c
A
c
m
b
a=b=c
c h m
C
A
H
h
Lados do Δ ABC
Lados do Δ ABH
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
a= b= c
c h m
Da proporção que obtivemos, e
trabalhando com as razões duas a
duas, temos:
a=b
c h
a . h = b. c
b=c
h m
b . m = c. h
a=c
c m
c² = a . m
12
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Vamos analisar a semelhança entre ABC e ACH.
B
B
a
c
A
m
b
C
H
c
A
Também pela semelhança, a proporcionalidade entre os lados desses dois
triângulos determinam as seguintes relações:
13
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
B
A
a
b
h
c
n
C
H
A
b
a= b= c
b n h
C
Lados do Δ ABC
Lados do Δ ACH
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
a =b = c
b n h
a=b
b n
Dessa nova proporção, a partir das
razões duas a duas, teremos:
b² = a . n
b=c
n h
b . h = c. n
a=c
c m
a.h=b.c
15
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Por último, vamos analisar a semelhança entre ABH e ACH.
B
A
b
c
m
h
H
H
h
n
C
A
A semelhança está mantida e dela vêm as seguintes relações:
16
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
B
A
b
c
h
m
H
H
h
c= h= m
b n h
A
C
n
Lados do Δ ABH
Lados do Δ ACH
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
c =h =m
b n h
Dessa última proporção e comparação
das razões duas a duas, vem:
c=h
b n
c.n=b.h
h=m
n h
h² = m. n
c=m
b h
c.h=b.m
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Agora, um relação muito importante é a da hipotenusa com as projeções do
catetos sobre ela. Observe o  ABC inicial que trabalhamos:
A
Veja que, sobre a hipotenusa a, estão
determinados dois segmentos:
b
BH = m
CH = n
c
h
B
m
n
C
Esses segmentos recebem
o nome de projeções.
Seria como se o
surgisse
sobre
catetos...
sol
os
... e produzisse “sombra”
sobre a hipotenusa. Essas
sombras são então as
projeções.
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras
Chegou a hora
dele... o meu
teorema...
Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
Vamos começar com sua
definição e, em seguida,
demonstraremos o mais
famoso Teorema da
história da Matemática
20
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. São eles:
B
a
O lado oposto ao ângulo
reto é denominado de
hipotenusa.
c
A
Os outros dois, opostos aos
ângulos agudos do triângulo,
são chamados de catetos.
b
C
Aqui vale a pena destacar uma
propriedade: a hipotenusa sempre
será o lado de maior medida de um
triângulo retângulo.
21
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
O enunciado do Teorema
Pitágoras é o seguinte:
B
O
quadrado
da
medida
da
hipotenusa é igual a soma dos
quadrados da medida dos catetos.
a
c
A
b
de
C
Nesse caso, com as denominações
de a, b e c, respectivamente para a
hipotenusa e os catetos, teremos:
a2 = b2 + c2
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Apenas para verificar essa relação, observem os seguinte triângulos
retângulos:
x
6
Quanto
deve
medir
designada por x?
a
hipotenusa
É bem simples: basta lançar os valores na
expressão do Teorema. Ou seja:
.
8
x 2 = 62 + 8 2
x2 = 36 + 64
x2 = 100
x = 10
23
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
E agora? Quanto deve medir o cateto y?
15
12
É tão simples quanto o anterior: lançando
também os valores na expressão do
teorema. Ou seja:
152 = y2 + 122
y
225 = y2 + 144
y2 = 225 – 144
y2 = 81
y = 9
24
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para
analisá-las a partir da observação do triângulo.
A
b
a . h = b. c
(1)
b.h=c.n
(2)
c.h=b.m
(3)
b² = a . n
(4)
c² = a . m
(5)
h² = m. n
(6)
c
h
B
m
n
H
A relação (1) pode ser definida como:
“A hipotenusa multiplicada pela altura
relativa a ela é igual ao produto dos
catetos”.
As relações (2) e (3) podem ser definidas como:
“Cada cateto multiplicado pela altura
relativa à hipotenusa é igual ao produto do
outro cateto pela projeção do primeiro”.
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Chegou a hora de reunir todas as relações que descobrimos juntos para
analisá-las a partir da observação do triângulo.
A
b
a . h = b. c
(1)
b.h=c.n
(2)
c.h=b.m
(3)
b² = a . n
(4)
c² = a . m
(5)
h² = m. n
(6)
c
h
B
m
n
H
As relações (4) e (5) podem ser definidas como:
“Cada cateto é a média geométrica entre a
hipotenusa e a sua projeção sobre ela”.
A relação (6) pode ser definida como:
“A altura relativa à hipotenusa é a média
geométrica entre as projeções dos
catetos”.
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Como vocês podem ver, as relações simplesmente permitem que sejam
encontradas todas as medidas de um triângulo retângulo.
Todas são importantes, como já dissemos, mas o Teorema de Pitágoras é
o mais aplicado deles, pois há muito mais relação com situações práticas,
como poderemos observar daqui a pouco.
Vamos fazer uma demonstração que vocês
poderão fazer em sala de aula, junto com o
professor. Peguem o material e mãos à obra !
Vocês vão ver como será divertido provar que
Pitágoras e seus seguidores estavam certos.
Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
A sugestão dada é que este triângulo a ser
usado seja o de medidas 3, 4 e 5. É mais
simples e fácil de construir.
Sigam os passos um
a um e vocês verão
como é legal a
demonstração !!
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
• Construam 4 triângulos retângulos de hipotenusa a e catetos b e c.
b
a
c
b
a
b
c
a
b
c
a
c
• Construam também 1 quadrado cujo lado tenha medida b + c.
b+c
b+c
28
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
• No quadrado e a partir de cada um de seus vértices, coloquem cada
um dos 4 triângulos iniciais que vocês construíram.
a
a
a
a
Como os 4 triângulos são idênticos e sua hipotenusa mede a, temos
então um quadrado menor de área a2 dentro do quadrado maior de área
(b + c)2.
29
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Desenvolvendo a expressão da área do quadrado maior, que é um produto
notável, temos:
(b + c)2 = b2 + 2 . b . c + c2
(1)
Mas a área do quadrado maior pode ser vista também como a soma das
áreas dos 4 triângulos iniciais que construímos somada com a área do
quadrado menor. Podemos então definir essa mesma área da seguinte
forma:
Área do quadrado menor + 4 . Área do triângulo
a2 + 4 . b.c
2
a2 + 2 . b . c
Simplificando 4 com 2, temos:
(2)
Como as expressões são iguais, pois representam a mesma figura,
teremos:
30
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
(1) = (2)
b2 + 2 . b . c + c2 = a2 + 2 . b . c
Ao simplificar 2 . b . c dos dois lados, a expressão restante é:
b2 + c2 = a2
As medidas a, b e c que aparecem nessa expressão final são exatamente a
medida dos lados do triângulo inicial, exatamente como queríamos
mostrar.
Logo, a relação descoberta pelos pitagóricos vale, então, para qualquer
triângulo retângulo.
Que tal, agora, nós vermos uma outra demonstração desse Teorema ???
Vamos assistir a um vídeo bem legal que traz esta outra demonstração. É
só visitar o link abaixo...
http://www.youtube.com/watch?v=GMy5z3nhVeQ
31
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Agora que vocês são
especialistas em
Relações Métricas,
especialmente no meu
Teorema ...
... vamos meter bronca nos
exercícios, inclusive
aplicações do Teorema na
Geometria. Vamos lá ?!?
Imagem: Vatican Museum / Public Domain.
...depois é com vocês. Se
houver alguma dificuldade,
o professor vai dar uma
ajudinha. Sucesso !!
Pitágoras está certo... Agora
é exercitar. Primeiro, vamos
resolver alguns para vocês
observarem como é...
Imagem: Clip-art do Power Point.
32
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
EXERCÍCIOS
1ª Questão
Qual é a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 5 cm?
Resolução:
Seja um quadrado de lado 5 cm.
A diagonal de um quadrado nada mais é do que a hipotenusa
de um triângulo retângulo, em que seus catetos são dois dos
lados do quadrado. Isso faz os catetos serem medidas iguais.
x
5 cm
Observe:
Chamando a diagonal (hipotenusa) de x, e usando o Teorema
de Pitágoras, teremos:
5 cm
x2 = 52 + 52  x2= 25 + 25  x2 = 50  x = 5
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da diagonal de
qualquer quadrado:
d=l 2
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
2ª Questão
Determine a altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm.
Resolução:
Seja um triângulo equilátero de lado 10cm.
A altura desse triângulo é um dos catetos do triângulo em
destaque. Observe:
Chamando a altura (que é um dos catetos do triângulo
10cm destacado) de x e usando o Teorema de Pitágoras, teremos:
10cm
102 = x2 + 52
O outro cateto mede 5cm, pois a altura divide a base ao meio
e um destes novos segmentos será o outro cateto. Logo:
10cm
100 = x2 + 25  x2 = 100 – 25  x = 75  x = 5
Logo, fica clara a generalização para o cálculo da altura de
qualquer triângulo equilátero:
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
C
3ª Questão
(UFRS) Uma torre vertical é presa por cabos de aço
fixos no chão, em um terreno plano horizontal,
conforme mostra a figura. Se A está a 15m da base B
da torre e C está a 20m de altura, determine o
comprimento do cabo AC.
A
B
Resolução:
Observando a figura, notamos que a fixação faz a torre estar perpendicular ao chão.
Isso quer dizer que os pontos A da fixação de um dos cabos e B e C da torre formam
entre si um triângulo retângulo.
A distância entre o ponto A de fixação do cabo e B da fixação da torre ao chão,
formam o cateto menor, que mede 15m, conforme mostra a figura.
A distância entre B e C na torre mede 20m, sendo este o outro cateto.
O comprimento do cabo AC, portanto, é a hipotenusa (que chamaremos de x).
Por essas informações e usando o Teorema de Pitágoras, temos:
x2 = 152 + 202
x2 = 225 + 400
x2 = 625
x = 25
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MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
A
4ª Questão
Os catetos do triângulo retângulo ao lado
medem: AB = c = 6cm e AC = b = 8cm.
Determine a medida da projeção dos catetos
sobre a hipotenusa e a altura (h) relativa a
ela.
b
c
h
B
m
C
n
H
Resolução:
A hipotenusa na figura é o lado BC, que chamaremos de a.
Como vimos nas relações, cada um dos catetos será a média geométrica entre sua
projeção e a hipotenusa. Logo, vamos determinar inicialmente a hipotenusa.
Por Pitágoras, vem :
a2 = 82 + 62  a2 = 64 + 36  a2 = 100  a = 10
Agora que temos a hipotenusa, podemos usar a relação acima para cada cateto e sua
projeção. Assim, teremos:
c2 = a . m  62 = 10 . m  36 = 10 . m  m = 36/10  m = 3,6cm
b2 = a . n  82 = 10 . n  64 = 10 . n  n = 64/10  m = 6,4cm
36
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
5ª Questão
(UFPE) Em um triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a
hipotenusa medem 16cm e 9cm. Calcule o perímetro desse triângulo.
Resolução:
A
h
B
9 cm
16 cm
H
Com a medida das projeções, imediatamente
determinamos a medida da hipotenusa, pois
sua medida é a soma das medidas das
projeções. Logo:
a = m + n  a = 9 + 16  a = 25cm
Para o perímetro, nos falta a medida dos
C catetos.
Usando a relação da questão anterior, teremos:
b2 = a . n  b2 = 25 . 16  b2 = 400  b = 20 cm
c2 = a . m  c2 = 25 . 9  c2 = 225  c = 15 cm
Agora, basta somarmos a medida dos lados que acabamos de encontrar.
a + b + c = 25 + 20 + 15 = 60cm
37
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Chegou a hora de vocês
assimilarem de vez as
relações. Não deixem
nenhum exercício para trás,
ok?!?
EXERCÍCIOS
Imagem: Clip-art do Power Point.
1. Determine a medida x em cada um dos triângulos retângulos a seguir:
12
a)
b)
c)
4
x
6
x
8
x
2
38
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
2. (MOJI-SP) Uma escada mede 4m e tem uma
de suas extremidades apoiada no topo de
um muro, e a outra extremidade dista 2,4m
da base do muro, conforme figura a seguir.
Determine a altura do muro.
4m
2,4m
3. (Fuvest – SP) Qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujo
perímetro é igual a 2?
4. Na figura ao lado, determine as medidas a, h, m e n .
A
4
3
h
B
m
C
n
H
39
MATEMÁTICA, 1 º Ano
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
20cm
25cm
1. Um marceneiro cortou uma tábua retangular de 75cm de
comprimento por 20cm de largura, separando-a em dois
trapézios congruentes. Sabendo que o comprimento do corte
foi de 25cm, calcule a medida da base menor de um dos
trapézios.
75cm
2. O lampião representado na figura ao lado está suspenso por
duas cordas perpendiculares entre si presas ao teto. Sabendo
que essas cordas medem 1/6 e 2/5, determine a distância do
lampião ao teto.
3. Em um terreno plano e horizontal, um topógrafo marcou
um ponto M a 9m do centro H da base de uma torre
vertical. A seguir, marcou um ponto N na semirreta oposta
de HM, a 16m de H, observando que os pontos M, N e o
pico da torre determinavam um triângulo retângulo. Qual
a altura da torre?
M 9m
H
16m
N
40
Tabela de Imagens
Slide
Autoria / Licença
2, 3 e Vatican Museum / Public Domain.
20
27 Vatican Museum / Public Domain.
32b e Clip-art do Power Point
38
32a Vatican Museum / Public Domain.
Link da Fonte
Data do
Acesso
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag 18/04/2012
oras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag 18/04/2012
oras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg
18/04/2012
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pythag 18/04/2012
oras_Bust_Vatican_Museum_(cropped).jpg
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