1 e 2 - Instituto de Física / UFRJ
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Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ Workshop MNPEF UFABC, julho de 2015 Sumário 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Fenômenos quânticos Princípios da mecânica quântica Sistemas quânticos simples: aplicações Como seguir em frente Comentários finais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 2 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 3 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica • Dificuldades conceituais – – – – – – Superposição quântica Probabilidade subjetiva x objetiva Complementaridade O problema da medida Realismo vs. localidade ... • Dificuldades matemáticas – – – – – – Vetores Números complexos Espaços vetoriais complexos Operadores, autovalores, autovetores Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais ... C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 4 Ensino e aprendizagem de mecânica quântica • Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações. • Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais. • Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 5 Fenômenos Quânticos Charles Addams, New Yorker, 1940 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 6 Um experimento com a luz detectores de luz D1 espelho D2 feixe luminoso pouco intenso espelho semiespelho (50-50%) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 7 Resultado do experimento • Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez. D1 D1 D2 D2 ou 50% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 probabilidade 50% 8 Se a luz fosse uma onda D1 D2 ... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 9 Se a luz é composta por partículas D1 D1 D2 D2 ou ... ou D1 dispara, ou D2 dispara. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 10 Conclusão • A luz é composta por partículas: os fótons. • O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou. D1 D2 caminho 2 caminho 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 11 Sobre o ensino do conceito de fóton • Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz. • Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico. • Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton. – G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) – E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 12 Outro experimento com a luz D1 D2 segundo semiespelho feixe luminoso “fóton a fóton” interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 13 Preliminares: um feixe bloqueado 25% 50% 25% 2 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 14 O outro feixe bloqueado 25% 25% 2 50% 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 15 Resultado fácil de entender com partículas 25% 50% 25% 2 1 = caminho do fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 16 De volta ao interferômetro D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 17 Resultado do experimento: 100% D1 0% D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 18 Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos caminho 2 caminho 1 25% 25% 25% 25% 2 1 Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 19 Proposição* Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2 consequência: PDn PD(1n) PD( 2n ) probabilidade do detector Dn disparar apenas o caminho 1 aberto apenas o caminho 2 aberto * The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 20 Teste da Proposição Experimentalmente: (1) D1 P 25% (1) D2 25% ( 2) D2 25% P PD( 21 ) 25% P PD1 100% PD2 0% PDn PD(1n) PD( 2n ) a proposição é falsa! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 21 Repetindo: A afirmativa “o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2” é falsa. “… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.” R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 22 Por onde vai o fóton? • Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa. • Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável. • Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 23 Uma resposta melhor • Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2. • A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. - W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 24 Fácil de entender num modelo ondulatório interferência construtiva D1 D2 interferência destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 25 Comprimentos variáveis PD1 PD2 L2 L1 L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 26 Resultado experimental: PD1 PD2 1 1 0 0 L1 – L 2 L1 – L2 (linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD(2)) • Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda. • Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”. • Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 27 Interferência de nêutrons interferômetro de nêutrons S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 28 Interferência de elétrons A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 29 E se os caminhos forem distinguíveis? interferência desaparece ! diferença de “caminhos” (ajustável) P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 30 E se os caminhos forem distinguíveis? • “Massa” 0 • caminho identificado • não há padrão de interferência • “Massa” ∞ • caminho não identificado • padrão de interferência N “Massa” P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 31 E se a informação sobre o caminho for apagada? impossível determinar o caminho interferência P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 32 Quando há interferência? Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente interferência (“1 e 2”) Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente (“ou 1 ou 2”) não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 33 Princípios da Mecânica Quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 34 Princípios da Mecânica Quântica • Vetores de estado e o princípio da superposição • A regra de Born • Complementaridade e o princípio da incerteza • Redução do vetor de estado • Evolução unitária • Sistemas de N estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 35 Vetores de Estado eo Princípio da Superposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 36 Sistemas de dois estados • esquerda / direita • horizontal / vertical • para cima / para baixo • sim / não • 0/1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 37 Sistemas de dois estados fóton refletido cara coroa C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 fóton transmitido 38 Sistemas de dois estados a1 grandeza física observável: A a 2 a1 A=? a1 a2 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 a2 ou a1 a2 39 Sistemas clássicos • Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2. • Representação dos estados: pontos no “eixo A” sistema tem A = a2 sistema tem A = a1 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 a2 A 40 Sistemas quânticos: vetores de estado • Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2. • Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões a2 sistema tem A = a2 a1 sistema tem A = a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 41 A notação de Dirac vetor ↔ identificação a1 exemplos: a2 0 1 esquerda C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 direita 42 O que muda? Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados. ? a1 a2 a2 A a1 O que muda é o seguinte: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 43 O Princípio da Superposição Qualquer combinação linear dos vetores |a1 e |a2 representa um estado físico do sistema. c1 a1 c 2 a2 a2 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 44 Significado de | a2 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 • • • • • A = a 1 e A = a2 ? esquerda e direita? horizontal e vertical? sim e não? 0 e 1? 45 O espaço de estados é grande • Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados. • Os estados |a1 e |a2 formam uma “base” do espaço de estados. a2 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 46 Princípio da Superposição: formulação geral Se | e | são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 47 Um ‘detalhe técnico’ • As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo). • Deve-se ter cuidado com figuras como esta: c2 a2 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 c1 48 Outro ‘detalhe técnico’ • Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo? • Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço? a2 ? a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 49 A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 50 A Regra de Born c2 c1 a1 c 2 a2 a2 a1 c1 A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é P(an ) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 cn c1 c 2 2 (n = 1, 2) 2 2 51 A Regra de Born c1 a1 c 2 a2 a1 | a1 a2 P(a1) c1 2 c1 c 2 2 2 a2 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 a1 a2 P(a 2 ) c2 2 c1 c 2 2 2 52 Probabilidade total P(a1) P(a 2 ) c1 2 c1 c 2 2 2 c2 2 c1 c 2 2 2 1 Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2. A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 53 Normalização do vetor de estado c2 a2 Norma de | : c1 c 2 2 2 (tamanho do vetor | ) a1 c1 Com essa definição: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 a1 a 2 1 54 Normalização do vetor de estado c1 a1 c 2 a2 c1 a1 c 2 a2 P (an ) c n 2 c 1 c 2 2 2 cn 2 c1 c 2 2 2 P (an ) | e | têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 55 Normalização do vetor de estado Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”: 1 ou seja, c1 a1 c 2 a 2 , C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 2 2 c1 c 2 1 56 Vetores normalizados: a Regra de Born c1 a1 c 2 a 2 (normalizado) | a1 P(an ) cn 2 a1 a2 P(a1) c1 2 a1 a2 P(a 2 ) c 2 2 a2 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 57 Amplitude de probabilidade cn amplitude de probabilidade probabilidade = |amplitude de probabilidade|2 c1 x 1 c 2 x 2 “função de onda” (x n ) cn P(x n ) (x n ) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 2 58 Frequência dos resultados de medidas a1 a2 a1 a2 a1 N medidas de A (N ) N1 a1 N2 a2 c1 a1 c 2 a2 N1 2 P(a1) c1 N a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 podemos prever a frequência dos N2 2 resultados: P(a 2 ) c 2 N 59 Valor médio dos resultados a1 a2 a1 a2 c1 a1 c 2 a2 valor médio de A: N a N2a 2 A 1 1 N A c1 a1 c 2 a2 2 a1 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 2 60 Incerteza a2 c1 a1 c 2 a2 c2 c1, c2 0 a1 impossível prever o resultado de uma medida c1 a1 c1 1, c 2 0 Se ou a2 c1 0, c 2 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 possível prever o resultado (probabilidade = 100%): valor de A “bem definido” 61 Incerteza c1 a1 c 2 a2 A = incerteza de A no estado | ( A) A A 2 2 A 2 A 2 a1 A = 0 ou a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 62 Complementaridade eo Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 63 Complementaridade a2 a1 a2 a1 duas grandezas físicas: A e B A b2 b1 b2 b1 B C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 64 Grandezas compatíveis e incompatíveis b2 a2 A e B compatíveis b1 a1 b2 A e B incompatíveis a2 b1 a1 A e B complementares: incompatibilidade “máxima” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 65 O Princípio da Incerteza A bem definido, B incerto ( A = 0, B 0) a2 b2 A e B incertos ( A 0, B 0) B bem definido, A incerto ( B = 0, A 0) b1 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 66 O Princípio da Incerteza A e B incompatíveis nenhum estado | com A = 0 e B = 0 a2 b2 b1 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 67 Exemplo: posição e momentum x2 x1 X duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”) dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”) x2 p2 p1 impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos x1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 68 Resumo da “cinemática” quântica estado físico grandeza física C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 vetor no espaço de estados sistema de eixos (uma “base”) no espaço de estados 69 Resumo da “cinemática” quântica projeção do vetor de estado no eixo |an a2 probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1 ou A = a2 a1 grandezas físicas incompatíveis (complementares) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 probabilidade da medida resultar em A = an diferentes sistemas de eixos no espaço de estados 70 Como o vetor de estado muda com o tempo? • “Redução” durante uma medida • Evolução unitária (equação de Schroedinger) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 71 Redução do Vetor de Estado Redução do vetor de estado a1 a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 antes da medida a2 a2 a2 depois da medida 73 Redução do vetor de estado a2 resultado A = a2 resultado A = a1 a1 medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 74 Redução do vetor de estado • A redução garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade. • O estado | an é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade. • | |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”. • A redução aplica-se a medidas “ideais” (medidas projetivas ou de von Neuman, ). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em redução a | an . Por exemplo, um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a primeira medida. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 75 Evolução Unitária A equação de Schroedinger • Evolução temporal do vetor de estado: |(0) |(t) • Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 77 A (solução da) equação de Schroedinger E2 Sistema de dois estados Dois níveis de energia: E1, E2 E1 (t 0) c1 E1 c 2 E2 (t) c1e iE1 t / E1 c 2e iE2 t / E2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 78 A (solução da) equação de Schroedinger • ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js • Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas: cn (t) cne iEn t / • A evolução |(0) |(t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 79 Propriedades da equação de Schroedinger • Linearidade: a (0) a ( t) b (0) b ( t) t=0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 (0) a (0) b (0) (t) a (t) b (t) t0 80 Propriedades da equação de Schroedinger • Conserva a norma do vetor de estado: (t) ( t) (0) (0) tamanho não muda • Conserva o ortogonalidade entre vetores: (t) (0) (t) dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 (0) 81 Demonstração da linearidade a (0) c1 E1 c 2 E2 b (0) d1 E1 d2 E2 (0) a (0) b (0) (c1 d1) E1 (c 2 d2 ) E2 ( t) (c1 d1)e i E1 t / E1 (c 2 d2 )e i E 2 t / E2 c1e i E1 t / E1 c 2e i E 2 t / E2 c1e i E1 t / E1 c 2e i E 2 t / E2 a ( t) b ( t) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 82 Demonstração da conservação da norma (0) c1 E1 c 2 E 2 ( t) c1 e i E1 t / E1 c 2 e i E2 t / E 2 ( t ) 2 c1 e i E1 t / 2 2 c1 c 2 (0) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 c2 e i E2 t / 2 2 2 83 Demonstração da conservação da ortogonalidade (0) (t) (0) (t) (t) (0) |(0) e |(0) ortogonais (0) (0) (0) 2 (t) (t) (t) 2 |(t) e |(t) ortogonais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 84 Propriedades da equação de Schroedinger • • • • • Determinismo Continuidade Linearidade Conservação da norma Conservação da ortogonalidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 “evolução unitária” 85 Estados estacionários • Estado de energia bem definida En: (0) En (t) e iEn t / En mesma “direção” que |En • |(t) e |(0) representam o mesmo estado físico. • Estados de energia bem definida são “estacionários”. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 86 Conservação da energia (t) c1e iE1 t / E1 c 2e iE2 t / E2 P(En , t) cne i En t / 2 cn 2 P(En, t) P(En, t 0) E C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 ( t ) E (0) 87 Eq. de Schroedinger x Processos de medida • Equação de Schroedinger: – contínua – determinista – válida enquanto não se faz uma medida • Redução do vetor de estado: – descontínua – probabilística – ocorre durante a medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 88 Eq. de Schroedinger x Processos de medida Dois tipos de evolução temporal? • Equação de Schroedinger: – interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos. – A = a1 e A = a2 • Redução do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o “observador”). – A = a1 ou A = a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 89 O “problema da medida” Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger? Descrição quântica do aparelho de medida: a1 a2 | aparelho de medida: a1 a1 a2 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 a1 a2 | a1 a2 | equação de Schroedinger: c1 a1 c 2 a2 c1 a1 c 2 a2 o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo ! 90 O “problema da medida” • Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico? – Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo. – Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto. • Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos? Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 91 Física quântica x física clássica • Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos… L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics • … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica. N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935 • …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica. J. Bell, Against measurement C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 92 Física quântica x física clássica física clássica física quântica …a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação... - L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 93 Os gatos de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 94 Sistemas de N Estados Você está em todo lugar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 95 Sistemas de 3 estados Três valores possíveis para a grandeza A: a2 a1 a 1 a2 a 3 a3 c1 a1 c 2 a2 c3 a3 P(an ) | c n |2 , n 1, 2, 3 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 96 Sistemas de N estados a2 N valores possíveis para a grandeza A: a1 a3 ... a a1 a2 ... aN N (impossível desenhar N eixos perpendiculares) N c n an n 1 P(an ) | c n |2 , n 1, 2, N C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 97 Sistemas de infinitos estados • N pode ser infinito: c n an n1 • N pode ser infinito, e a ter valores contínuos: da c(a) a densidade de probabilidade: p(a) | c(a) |2 probabilidade: P(a, a) a 2 da | c ( a ) | a C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 98 Sistemas de infinitos estados Exemplo: a = x = posição de uma partícula dx (x ) x função de onda: (x) densidade de probabilidade: p( x ) | ( x ) |2 x2 probabilidade: P( x1, x 2 ) 2 dx | ( x ) | x1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 99 Sistemas de infinitos estados • A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos: c n an da c(a) a n Exemplo: a = E = energia de uma partícula cn En dE c(E) E n C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 100 Aplicações a sistemas simples C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 101 Interferômetro de Mach-Zehnder • Interferência de uma partícula • Descrição quântica do interferômetro • Interferência e indistinguibilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 102 O interferômetro de Mach-Zehnder 100% interferência construtiva “ondas” D1 0% interferência destrutiva D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 103 O interferômetro de Mach-Zehnder D1 25% 50% D2 25% D1 e D2 nunca disparam em coincidência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 “partículas” 104 Descrição quântica do interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 1 (caminho 1) 2 (caminho 2) 105 Espaço de estados 2 c1 1 c 2 2 1 P1 c1 2 probabilidades: 2 P2 c 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 106 Semiespelho 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 evolução unitária 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 107 Semiespelho 2 1 1 1 2 2 2 1 sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade 1 1 1 2 2 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 108 Interferômetro D1 D2 2 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 1 109 Interferômetro Estado inicial: 1 1 1 1 2 Primeiro semiespelho: 1 2 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 110 Interferômetro Segundo semiespelho: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ou seja, o estado final é 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 interferência construtiva interferência destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 P1 = 100% P2 = 0% 111 O que interfere? 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 (1-1-1) (1-1-2) (1-2-1) (1-2-2) 1 2 2 1 1 1 2 1 amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 112 Caminho bloqueado D1 D2 2 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 113 Caminho bloqueado Estado inicial: 1 1 1 1 2 Primeiro semiespelho: 1 2 2 Bloqueio: 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 fóton bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 114 Caminho bloqueado Segundo semiespelho: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ou seja, o estado final é 1 1 1 1 2 2 2 2 P1 = 25% P2 = 25% P = 50% não há caminhos alternativos, logo não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 115 Por que não há interferência? 1 1 1 1 2 2 2 2 (1-1-1) (1-2-) (1-1-2) 1 2 1 1 1 1 2 1 não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 116 Caminhos alternativos distinguíveis D1 50% D2 50% mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 117 Caminhos alternativos distinguíveis 1R , 2 R , 1M , 2 M Estado inicial: • 1, 2: caminho do fóton • R: espelho em repouso • M: espelho em movimento 1R Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 1R 1 1 1R 2M 2 2 118 Caminhos alternativos distinguíveis Segundo semiespelho: 1 1 1 1 1 1R 2M 1R 2R 2 2 2 2 2 1 1 1 1M 2M 2 2 2 ou seja, o estado final é 1 1 1 1 1R 1M 2 R 2 M 2 2 2 2 P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50% P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 soma de probabilidades, não de amplitudes 119 Apagando a informação sobre o caminho D1 100% mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 D2 0% 120 Apagando a informação sobre o caminho Segundo semiespelho: 1 1 1 1 1 1R 2M 1R 2M 2 2 2 2 2 1 1 1 1R 2M 2 2 2 ou seja, o estado final é 1 1 1 1 1 R 2M 1 R 2 2 2 2 dois caminhos para o mesmo estado final interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 121 O palito de fósforo quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 122 O palito de fósforo quântico • fósforo “bom” fóton • fósforo “ruim” fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 123 O palito de fósforo quântico palitos bons e ruins misturados Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 124 Teste clássico palito bom queimado palito ruim C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 125 Teste quântico D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 126 Palito ruim D1 100% transparente D2 0% palito ruim D1 dispara sempre C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 127 Palito bom D1 25% 50% D2 25% palito bom D2 dispara 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 128 Teste quântico • D2 fósforo bom intacto • D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim • Fósforo acende fósforo bom queimado Dos fósforos bons: • 25% estão identificados e intactos • 50% foram queimados • 25% em dúvida Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 129 Mais aplicações a sistemas simples • • • • • • • • O problema de Deutsch Molécula de H2+ Molécula de benzeno Oscilação de neutrinos Polarização do fóton Spin ½ Informação quântica Paradoxo de Hardy; teorema de Bell C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 130 Como chegar aos operadores, autovalores e autovetores C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 131 Conexão com os operadores • Produto escalar: | • Projetores: | | • Operador associado à grandeza A: A a1 a1 a1 a 2 a 2 a 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 132 Conexão com os operadores • Autovalores e autovetores de A: a1 , a1 A ou a2 , a2 É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os vetores |an e valores an. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 133 Comentários finais • É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio. • Essa abordagem permite descrever apropriadamente a mecânica quântica de sistemas simples. • Aspectos conceituais da mecânica quântica podem ser discutidos sem as dificuldades criadas por um formalismo matemático pouco familiar. • “Experimento didático” em desenvolvimento. Críticas e sugestões são bem-vindas. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 134 Funciona? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 135 Curtiu? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UFABC 2015 136
