Órbitas no Sistema Solar - Casa da Ciência

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ÓRBITAS NO SISTEMA SOLAR
Roberto Vieira Martins – [email protected]
julho de 2002
Apresentação
1. Introdução
2. Os movimento do céu
3. O movimento dos astros na Antiguidade e na Idade Média
4. O Renascimento e o aparecimento da observação astronômica moderna
5. O aparecimento da experimentação científica
5.1. A inércia do movimento
5.2. A atração gravitacional
6. Finalmente a órbita
7. O grande vazio em que vivemos
8. A força dos astros sobre nós
9. Os pequenos corpos do Sistema Solar
10. Referências
Agradecimentos
Exercícios
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Apresentação
Este texto tem como objetivo apresentar as idéias gerais sobre órbitas dos planetas. Nele,
usando uma abordagem histórica, apresentamos como a compreensão sobre os movimentos dos
astros foi evoluindo, passando de uma concepção baseada em fundamentos filosóficos para
uma visão científica. Deu-se uma particular importância a relação que foi estabelecida entre a
observação astronômica e as experiências da física do movimento, etapa na qual o físico e
astrônomo italiano Galileu Galilei teve um papel preponderante.
O texto surgiu para complementar exposições feitas pelo autor em várias ocasiões, sendo a
primeira, no curso para professores realizado durante a 25 a Reunião Anual da Sociedade
Astronômica Brasileira em Mangaratiba-RJ.
O nível do texto não é muito uniforme. Em sua maior parte ele pode ser compreendido por um
publico sem qualquer conhecimento especial em física ou matemática. No entanto existem
algumas poucas passagens, bem localizadas, em que um conhecimento geral de matemática
(noções de geometria e trigonometria além de álgebra a nível de segundo grau) se faz
necessária. No entanto, a não compreensão destas passagens não comprometem o entendimento
das partes subsequentes.
Os poucos exercícios, colocados no final, exigem, para serem feitos, um nível de conhecimento
bem maior do leitor. Eles são destinados a alunos dos primeiros anos de cursos universitários
na área de ciências exatas ou a alunos com uma boa formação de segundo grau. Seu objetivo é
apresentar ao estudante um roteiro para reflexão sobre alguns tópicos tratados no texto e,
principalmente, apresentar uma oportunidade para a análise matemática de problemas
qualitativamente bem simples.
O autor é bacharel em Física pela UFMG, mestre em Astronomia pelo ITA e doutor em
matemática pela Universidade de Paris VI. Trabalha desde 1970 em pesquisas e ensino
relacionados a dinâmica do Sistema Solar. Atualmente é pesquisador titular do Observatório
Nacional – Rio, cedido a Universidade Federal do Rio de Janeiro, atuando como pesquisador e
docente no Grupo de Estudos de Astronomia (GEA) do Observatório do Valongo – UFRJ.
Observações
- Todas as correções, sugestões e comentários sobre o texto são bem-vindos e podem ser
encaminhadas diretamente ao autor no endereço: [email protected].
- O texto pode ser reproduzido seja todo ou em parte, sem o prévio consentimento do autor,
desde que sua origem e autor sejam citados explicitamente.
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1 - Introdução
A nossa experiência diária mostra que para manter um corpo em movimento ele precisa ser
empurrado e que os corpos caem se não são sustentados de alguma forma. O nosso dia a dia
não permite saber, de forma simples, se isso é válido, em qualquer condição ou ainda para
todos os corpos. Olhando o céu, a coisa já começa a ficar confusa. Aparece imediatamente a
questão:
Por que os astros não seguem estas regras já que não existe, aparentemente, nada que os
empurre ou os sustente?
Esta questão pode ser desdobrada, de maneira mais explícita, nas duas seguintes:
Por que os astros se movem?
Por que os astros não caem?
Como eles se movem e não caem, uma tentativa de explicar os dois fatos poderia estar em que,
de alguma forma, a sua sustentação estaria associada ao seu movimento. Esta idéia não está
muito longe do que entendemos, ainda que seja de uma forma pouco clara, quando dizemos que
um satélite está em órbita.
As nossas questões preocuparam, no passado distante, a pelo menos, uma parte dos homens.
Uma hipótese admitida, para respondê-las, foi a de que os movimentos do céu nada tinham a
ver com os da Terra. Esta foi, possivelmente, uma das primeiras explicações a serem usadas.
Outras hipóteses, algumas bem sofisticadas, surgiram através da história. Todas elas e sua
discussão, fazem parte de um processo bem mais amplo de procura do conhecimento da
natureza, sintetizado nas palavras de um dos ganhadores do prêmio Nobel de Física de 1965, o
norte-americano Richard Feynman:
“Cada pedaço ou parte da natureza total é sempre uma mera aproximação da verdade
completa, ou da verdade completa até onde a conhecemos. De fato, tudo que conhecemos é
apenas algum tipo de aproximação, pois sabemos que não conhecemos todas as leis ainda.
Portanto, as coisas devem ser aprendidas apenas para serem desaprendidas de novo ou, mais
provavelmente para serem corrigidas.” (R. Feynman, Física Em Seis Lições (Six Easy
Pieces), Ediouro Publicações S.A., 3a edição, 1999, página 36).
Dentro deste espírito, e usando como referência as questões acima, vamos tentar entender, um
pouco, como elas foram respondidas, e como a procura desta resposta levou a alguns dos passos
mais importantes que deram origem à ciência e aos seus métodos, como conhecemos hoje.
Começaremos tratando do movimento dos astros.
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2 - Os movimentos do céu
Se repararmos bem os astros no céu, verificamos que todos eles se movem. Durante o dia, o Sol
cruza o céu de leste a oeste. A este movimento associa-se a duração dos dias. Este movimento
do Sol faz com que a nossa sombra ou a de uma vara vertical, fincada no solo (por exemplo, um
poste), varie de posição e de tamanho. Em particular, o tamanho da sombra é menor ao meio
dia. Podemos ainda observar que para épocas diferentes do ano, por exemplo junho e
dezembro, justamente no início do inverno e do verão, as posições do Sol, ao meio dia, são
diferentes e, consequentemente, o tamanho da sombra nesta hora também varia. A esta variação
de posição do Sol a uma certa hora do dia, e portanto independente do seu movimento diário,
associa-se a duração do ano.
À noite temos as estrelas que, se repararmos bem, apesar de não se deslocarem umas em
relação as outras, se movem em conjunto, em sua maioria, no sentido de leste para oeste, como
o Sol. Podemos adivinhar este movimento na Figura 1. Ela foi tirada numa noite sem Lua, no
Laboratório Nacional de Astrofísica (http://www.lna.br), em Brasópolis, Minas Gerais, com
uma máquina cujo obturador ficou aberto aproximadamente 2 horas, de forma que, durante
todo este tempo, a luz das estrelas ficaram impressionando o filme fotográfico. Como as
estrelas se movem no céu, vemos que as suas imagens são arcos. Todas giram em torno de um
centro (que está na direção sul). Acima desse centro, elas vão da esquerda para a direita isto é
de leste para oeste, e abaixo, da direita para esquerda.
Figura 1 - Movimento das estrelas
durante a noite. Esta foto, da região
sul do céu, foi feita numa noite sem
Lua, no Laboratório Nacional de
Astrofísica, no Sul de Minas,
próximo a cidade de Itajubá, em
2000. Corresponde a uma exposição
de aproximadamente 2 horas. As
estrelas giram no sentido dos
ponteiros do relógio, em torno de um
ponto que é o pólo sul celeste. O
prédio maior abriga o telescópio com
o espelho de 1,6 metros de diâmetro
e o menor, o telescópio Zeiss com o
espelho de 0,6 metros de diâmetro. A
claridade, ao fundo, na direção sul, é
devido a difusão na atmosfera da luz
da região da cidade de São Paulo e
das cidades do Vale do Paraíba, que
se encontram a poucas centenas de
quilômetros. Foto Carlos Erli.
A Lua, por sua vez, se move aproximadamente como as estrelas, mas se repararmos bem,
também em relação a elas. Desta forma observa-se que, para noites diferentes, ela se encontra
próxima a estrelas bem diferentes. O movimento da Lua deu origem à duração aproximada do
mês.
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Se observarmos ainda, com mais cuidado, o céu noturno, vamos ver alguns poucos objetos que
se movem em relação às estrelas. Uns relativamente rápido, são os satélites artificiais. Outros
poucos, brilhantes, se movem muito lentamente, são os planetas. Na Figura 2 aparece uma
representação dos movimentos dos planetas em relação as estrelas, como visto por um
observador da Terra. Esta figura é o equivalente da Figura 1, se mantivéssemos a objetiva
aberta de uma máquina fotográfica hipotética, que estivesse sempre apontada para as mesmas
estrelas do céu, registrando o movimento dos planetas por muitos meses.
Figura 2 - Representação do movimento
aparente dos planetas em relação às estrelas
para um observador na Terra. As várias
curvas correspondem a trajetórias de
diferentes planetas por muitos meses. Notase que as trajetórias são tais que planeta que
vêm da esquerda para a direita mudam de
sentido (o movimento antes chamado direto,
passa a ser chamado retrógrado),
desenhando laços no céu. Nenhum destes
movimentos pode ser observado numa única
noite. Na época que o planeta muda a
direção do seu movimento, ele é dito
estacionário. Figura extraída do curso
Astronomy Today.
Veremos a seguir como estes movimentos dos astros foram tratados no passado.
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3 – O movimento dos astros na Antiguidade e na Idade Média
Na base da filosofia ocidental havia a concepção de que o mundo foi feito por um Criador e que
o universo funcionava de acordo com leis divinas, bem precisas, que os homens deveriam
descobrir. Logo se impunha a necessidade de descobrir as leis que governavam o movimento
dos astros. Uma parte desta idéia, a necessidade e a maneira de conhecer a natureza através de
suas leis, está explicitada, na sua forma atual, no texto de Feynman reproduzido na Seção 1.
Observe-se que o mesmo não acontecia na filosofia chinesa. Segundo astrofísico vietnamita,
radicado nos Estados Unidos Trinh Xuan Thuan: “No universo chinês, não existia deus
personificado. O mundo foi originado pelo efeito recíproco e dinâmico de duas forças polares
opostas o yin e o yang. O céu era o yang, a força masculina, criativa e forte. A Terra era o yin, a
força feminina e maternal. O yin e o yang se sucediam num ciclo perpétuo, a luz quente e seca
do Sol, o yang, deixando lugar para a luz sombria, fria e ligeiramente úmida da Lua, o yin.” (Le
Destin de l´Univers – Le Big Bang, et Aprés - O Destino do Universo – O Big Bang e Depois).
Découvertes Gallimard. Sciences. Gallimard, pags 15-16, 1998).
Então, para nós ocidentais, que procuramos descobrir as leis que descrevem como o universo
funciona, surge naturalmente a questão: Como entender estes movimentos?
Com as observações dos movimentos dos astros, os antigos gregos acreditavam que o universo
tinha a Terra, imóvel no seu centro e o Sol, a Lua e os planetas girando em torno dela. Para
explicar este movimento, inicialmente pensou-se que o universo fosse composto da Terra no
centro de uma grande esfera que tinha preso a ela as estrelas e planetas e que girava dando uma
volta por dia. Esta era a proposta do filósofo Platão, no século 4 antes de Cristo. Explicava-se
então, que os astros, por estarem presos na esfera, se moviam e não caiam. No entanto esta
esfera girante, com os astros presos nela, não permitia que se descrevesse bem os movimentos
observados. Para melhor descrevê-los, se pensou então no universo composto por 33 esferas
sólidas e transparentes, uma contendo as estrelas e outras contendo os planetas. O sistema
complexo de esferas foi chamado de epiciclos e este modelo de universo foi proposto pelo
filósofo grego Eudóxio que viveu na mesma época de Platão. Supunha-se que as esferas dos
planetas estavam presas a outras esferas cada uma delas girando em torno de um eixo diferente.
Assim conseguia-se reproduzir os movimentos, até então observados, dos planetas. Nota-se
aqui o conhecimento se desenvolvendo por aproximações. No entanto, as coisas começaram a
ficar muito complicadas.
Figura 3 – Representação da idéia de epiciclos
para o caso de um planeta. Observa-se nesta figura
que o centro do círculo maior (deferente) não
coincide com a Terra. Esta modificação da posição
do centro se tornou necessária para melhor
descrever o movimento observado do planeta.
Com os epiciclos foi possível descrever o
movimento retrógrado dos planetas. Figura
extraída do curso multimídia “Fundamentos de
Astronomia e Astrofísica” de Kepler S. Oliveira
Filho e Maria de Fátima O. Saraiva
(http://astro.if.ufrgs.br).
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Na Figura 3 é mostrado um caso simples de epiciclos. Observe-se que dependendo da
velocidade com que o epiciclo gira sobre o deferente e de que o planeta gira sobre o epiciclo,
tem-se o movimento retrogrado. Na Figura 5 abaixo pode-se ter uma idéia de como este
movimento retrógrado aparece.
A grande síntese desta teoria do universo, chamada Teoria Geocêntrica, apareceu com o
astrônomo grego Ptolomeu, no século 2 e foi adotada, com algumas modificações motivadas
pela tradição religiosa cristã, durante toda a Idade Média. Estas modificações, introduzidas no
século 13 pelo monge dominicano francês Tomás de Aquino, adicionavam às várias esferas das
estrelas e dos planetas, uma esfera externa, em rotação constante, além da qual estava o céu
cristão com Deus, os anjos, etc. Nas esferas dos planetas e do Sol havia anjos que as
empurravam para fazê-las girar. O grau de divindade dos anjos decrescia a medida que eles
habitavam esferas mais próximas do centro, ou seja, mais distantes de Deus. Na zona abaixo da
Lua, havia o Purgatório, a Terra, e dentro da Terra o Inferno. Observe que nesta cosmologia, o
homem estava no centro do universo mas a importância das várias regiões decresce de fora para
dentro. Ela tem algum ponto em comum com a concepção chinesa do yang e do yin.
A Figura 4 dá uma idéia da concepção do universo geocêntrico na sua forma mais simples.
Figura 4 – Concepção geral do
universo geocêntrico na sua forma
mais simples. No centro temos a Terra
que é circundada por várias esferas
transparentes (de vidro). Nestas esferas
estavam presos os planetas. Podemos
distinguir a esfera do Sol. A esfera
exterior é a das estrelas, todas elas
presas nesta mesma esfera. Figura
extraída
do
curso
multimídia
“Fundamentos de Astronomia e
Astrofísica” citado acima.
No sistema geocêntrico, haviam essencialmente duas idéias básicas, advindas da filosofia
Aristotélica, que estavam por trás destas concepções de universo. A primeira era que a Terra
ocupava o centro do Universo. A segunda era que a forma perfeita era a esfera e o movimento
perfeito era o circular e este era seguido pelos astros que, por sua vez eram imutáveis. Aqui as
coisas se misturam um pouco pois estava implícito que os movimentos no céu e na Terra eram
distintos já que o movimento circular não é o natural aqui. Esta distinção entre o céu e a Terra
também não estava muito longe da idéia chinesa.
Uma visão mais elaborada do sistema solar no sistema geocêntrico pode ser visto na Figura 5.
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Figura 5 – Representação mais elaborada do
sistema geocêntrico. Para alguns planetas como
Júpiter e Vênus, a trajetória destes planetas aparece
em pontilhado. Os nomes dos astros estão escritos
em inglês: Earth (Terra), Moon (Lua), Mercury
(Mercúrio), Venus (Vênus), Sun (Sol), Mars
(Marte), Júpiter (Júpiter) e Saturn (Saturno). Os
nomes dos planetas são originários da mitologia
grega e suas traduções nas várias línguas seguem
as traduções dos personagens correspondentes da
mitologia. Figura extraída do curso Astronomy
Today, citado acima.
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4. O Renascimento e o aparecimento da observação astronômica moderna
Em meados do século 16, uma dessas idéias básicas, a de que a Terra era o centro do universo,
ou seja, o centro em torno do qual giravam os astros, começou a ser colocada em dúvida. Isto
se concretizou essencialmente no aparecimento livro sobre a teoria heliocêntrica do polonês
Nicolau Copérnico segundo a qual os planetas e a Terra giravam em torno do Sol. A proposta,
do sistema heliocêntrico, foi motivada pelas dificuldades em fazer concordar os resultados das
observações com o sistema geocêntrico que precisava se tornar cada vez mais complicado. È
interessante notar que a idéia heliocêntrica já havia surgido por mais de uma vez, inclusive na
Grécia antiga, mas nunca chegou a ser adotada por uma parcela significativa dos astrônomos da
época.
No meio do debate, o nobre dinamarquês Tycho Brahe resolveu aplicar uma idéia
revolucionária, que na época começava a se impor. Sugeriu que a questão poderia ser resolvida
medindo-se, com precisão, as posições reais dos planetas no céu. Em síntese, se propunha que
as leis da natureza fossem descobertas por meio de observações sistemáticas e específicas dos
fenômenos envolvidos nessas leis. Estas medidas deveriam mostrar como os planetas se
moviam e possivelmente em torno de quem giravam.
Partindo da idéia para a ação, ele construiu, com a ajuda do rei Frederico II da Dinamarca, o
primeiro observatório astronômico da Europa, perto de Copenhagen, e passou anos medindo as
posições dos planetas e compilando cuidadosamente estes dados em tabelas volumosas. Este
trabalho é considerado como o nascimento da observação astronômica moderna, ou seja, das
observações sistemáticas dos astros, que tinham como objetivo obter medidas precisas a serem
registradas regularmente, visando contribuir para um melhor entendimento do universo.
Na Figura 6 temos uma vista do Observatório de Tycho Brahe e de seu interior.
Figura
6
–
Observatório de
Tycho
Brahe
próximo a Compenhagen e seu
interior. O quarto de círculo
graduado permitia que as posições dos astros
fossem medidas
com
precisão.
Figura extraída
do curso multimídia “Fundamentos de Astronomia e Astrofísica” citado acim.a.
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O próprio Tycho Brahe acabou propondo um modelo de universo (uma nova aproximação) que
era um misto do modelo de Copérnico que afirmava que o Sol era o centro do Universo e o
tradicional que supunha a Terra no centro. Propunha que os planetas giravam em torno do Sol
mas, o Sol, com os planetas girando em torno dele, girava em torno da Terra (ver Figura 7). No
entanto o legado de Tycho Brahe não é este modelo de universo. Suas listas de observações
precisas, foram fundamentais para que o no início do século 17 o matemático alemão Johannes
Kepler descobrisse as leis matemáticas que descrevem o movimento dos planetas. Com estas
leis ficou claro que a Terra não poderia ser o centro do universo.
Figura 7 – Modelo de Tycho Brahe. No centro do círculo maior tem-se a Terra
que é circundada pela Lua (círculo menor em torno da Terra). O círculo maior
tem o Sol que por sua vez é circundado pelos planetas e por um cometa. Figura
extraída do curso multimídia “Fundamentos de Astronomia e Astrofísica”
citado acima.
Além de observações dos planetas, Tycho Brahe fez observações de dois eventos astronômicos
que permitiram que ele derrubasse o outro pilar proveniente da filosofia de Aristóteles.
Em 1572, ele observou o aparecimento de uma nova estrela, na constelação da Cassiopéia, que
brilhava tanto que foi visível durante o dia, por vários meses. Esta estrela, contrariamente aos
planetas, não mudava a sua posição em relação às outras estrelas. Havia pois um objeto no céu
que havia mudado e portanto a idéia da imutabilidade dos astros sobre as suas esferas ficava
comprometida. Esta estrela nova, como se sabe bem hoje, nada mais era do que uma supernova,
isto é o resultado de uma estrela que explode violentamente, e que estava na Via Láctea.
Figura 8 – Desenho de uma elipse. Fixado dois pontos (os dois
pregos, todos os pontos da elipse tem a soma de suas distâncias
aos dois focos igual a um valor constante, igual ao
comprimento do barbante. Os pontos fixos são chamados focos
e a distancia entre os dois pontos da elipse que estão sobre reta
que liga os dois focos é chamada de eixo maior. Quanto maior
a distância entre os focos em relação ao eixo maior, dizemos
que a elipse tem maior excentricidade Em particular, se os dois
focos coincidem a elipse se torna um círculo e cujo raio é igual
a metade do semi-eixo maior e sua excentricidade é igual a
zero. Se a excentricidade é grande, a elipse tem uma forma
oval mais acentuada. Figura extraída do curso Astronomy
Today, citado acima.
O outro evento foi o aparecimento de um grande cometa em 1577. Até então, os cometas eram
considerados fenômenos atmosféricos terrestres, como os arco-íris. Como Tycho Brahe mediu
cuidadosamente o movimento deste cometa em relação às estrelas, concluiu que a órbita do
cometa era não circular, mas oval, o que colocava em xeque a idéia dos movimentos circulares.
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Desta forma o segundo pilar Aristotélico ficava comprometido. Além do mais, a órbita oval
devia cruzar as esferas dos planetas que não poderiam ser como era suposto, sólidas e
transparentes. Assim, como ocorreu e vem ocorrendo muitas vezes na história da ciência, como
subproduto das observações precisas dos movimentos dos astros, deu-se origem a uma
profunda mudança nas concepções básicas do pensamento, relativo ao Universo.
Como foi mencionado anteriormente o movimento dos planetas foi descrito por Kepler, a partir
das observações de Tycho Brahe. Ele concluiu que as órbitas dos planetas eram um certo tipo
de curva fechada (elipses - ver Figura 8), com o Sol num dos focos, que eram percorridas de
uma forma bem particular (lei das áreas – ver Figura 9)) e ainda que havia um relação bem
estabelecida entre os períodos e as suas distâncias do Sol (mais precisamente os semi-eixos
maiores das elipses).
Figura 9 – Lei da áreas. Na elipse desenhada que
tem o Sol no foco a direita, os arcos que definem
as áreas assinaladas (A, B, C) são percorridos
em tempos iguais se esta áreas são iguais.
Portanto os corpos percorrem a parte da órbita
perto do Sol, mais depressa que percorrem a
parte da órbita longe do Sol. Isto é tanto mais
evidente o quanto mais alongada for a elipse, ou
seja, quanto maior for a sua excentricidade. O
ponto da órbita mais próximo do Sol é chamado
perihélio e o mais distante afélio. Figura
extraída do curso Astronomy Today, citado
acima.
Na Figura 10 temos uma imagem de Kepler com uma representação de uma órbita elíptica com
a lei das áreas e na Figura 11 temos uma imagem do sistema solar heliocêntrico.
Figura 10 Johannes Kepler e a
representação da órbita elíptica com a lei
das áreas. Figura extraída do curso
multimídia “Fundamentos de Astrono-mia
e Astrofísica” citado acima.
Assim se concluiu um passo importante devido à procura do conhecimento do movimento dos
astros, passo este que estabeleceu que a explicação dos fenômenos naturais devia ser feita a
partir de observações cuidadosas destes fenômenos. Como consequência destas observações e
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outras que decorreram delas, alguns preceitos, usados na maneira do homem analisar a
natureza, tiveram que ser abandonados, abrindo caminho para a revolução científica que foi
uma das mudanças importantes que caracterizaram o Renascimento, no século XVI.
Figura
11
–
Sistema
planetário
heliocêntrico. No centro temos o Sol,
circundado por Mercúrio, Vênus, Terra e
Marte, todos eles situados dentro da pequena
região clara no centro da figura. Depois
temos Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e
Plutão. Estes 3 últimos não eram conhecidos
na época de Kepler. O astro de órbita
alongada é o cometa de Haley. Observa-se
que apenas as órbitas de Plutão e do cometa
de Haley são elipses de excentricidades
maiores. Para os outros planetas as elipses
tem excentricidade tão pequena que as
órbitas parecem, na figura, circulares.
Figura extraída do curso multimídia
“Fundamentos de Astronomia e Astrofísica”
citado acima.
Com o sistema heliocêntrico, o problema dos movimentos dos astros ficava parcialmente
resolvido. De fato, considerando a rotação da Terra, o movimento da Terra e dos planetas em
torno do Sol, e da Lua em torno da Terra, a descrição dos movimentos foi obtida com um bom
grau de aproximação. No entanto as questões colocadas inicialmente continuam sem resposta.
Ela só seria dada com o aparecimento da ciência moderna.
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5 – O aparecimento da experimentação científica
Conhecidos os movimentos dos astros e, em particular as órbitas dos planetas, uma questão se
punha naturalmente.
O que mantinha os planetas se movendo e porque eles não caíam, agora, no Sol?
No modelo geocêntrico de esferas, a questão de queda estava resolvido pois os astros estavam
presos nas esferas e seu movimento podia ser explicado. De uma forma sobrenatural, como no
universo da Idade Média, eles seriam impulsionados por anjos invisíveis que, batendo suas
asas, os impeliam para a frente. Ou de uma forma mais natural, supunha que os movimentos de
rotação das esferas eram os naturais do céu e ocorriam portanto, independente de um empurrão.
Para esta segunda explicação admitia-se que as leis do céu e da Terra fossem diferentes. Em
particular na Terra, a condição natural de um movimento era ficar imóvel de modo que um
corpo só se movia se houvesse uma ação que o colocasse e o mantivesse em movimento.
No início do século XVII, o italiano Galileu Galilei, procurou entender o movimento dos
corpos, consolidando um novo procedimento que revolucionou o conhecimento e que ficou
conhecido como o método científico. Ele começou a procurar as leis da natureza fazendo
experiências que eram uma reprodução controlada dos fenômenos que queria entender. A
essência desse método e algumas experiências que Galileu realizou, podem ser bem entendidas
se as repetirmos. As ações a serem tomadas, para realizar estas experiências, estão destacadas
nas seções seguintes.
Para expressarmos em poucas palavras o que é o método científico, reproduzimos abaixo um
texto de Feynmam:
“O princípio da ciência, quase sua definição é: O teste de todo o conhecimento é a
juiz da “verdade” científica. Mas qual é a fonte do
conhecimento? De onde provêm as leis a serem testadas? A própria experiência ajuda a
produzir essas leis, no sentido em que nos fornece pistas. Mas também é preciso
imaginação para criar, a partir dessas pistas, as grandes generalizações – para descobrir os
padrões maravilhosos, simples mas muito estranhos por baixo delas e, depois, experimentar
para verificar de novo se fizemos a descoberta certa." (a referência é a mesma citada na
Introdução, paginas 36 e 37).
Figura
12 – DuasAdasexperiência
lunetas de Galileu.
experiência.
é o único
Um comentário final antes de iniciarmos o estudo do movimento através de experiências.
Galileu foi também o primeiro a usar a luneta, descoberta na Holanda, para observar o céu.
Com suas lunetas (Figura 12) descobriu os 4 grandes satélites de Júpiter. Esta descoberta foi
para Galileu uma evidência de que o sistema geocêntrico era uma concepção errada e deveria
ser substituído pelo heliocêntrico. Esta convicção causou um grande problema que influenciou
definitivamente o final da vida de Galileu pois, sendo julgado e condenado pelos tribunais da
Inquisição (Figura 13), teve que negar publicamente a suas convicções além de passar o
restante de sua vida em prisão domiciliar. Galileu foi condenado por contestar a “verdade
vigente” mantida pelo poder político e econômico dominante na sua época, independentemente
das evidências que tinha para comprovar suas convicções. Olhando em volta e considerando as
“verdades do momento” como por exemplo o “neoliberalismo”, a “globalização” e a “lógica do
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mercado”, e como são rechaçadas as idéias que se contrapõe a elas, pelos representantes dos
Figura 12 – Duas das lunetas de Galileu.
Figura 13 –
Galileu frente
a um tribunal
da Inquisição
poderes político e econômico, verificamos que as coisas não mudaram muito.
5.1 – A inércia do movimento
Uma primeira experiência visa determinar qual é o movimento natural dos corpos. Tentemos
formular esta questão de uma forma mais precisa. Observe-se que uma boa maneira para se
tentar resolver um problema é começar a formular adequadamente uma ou mais questões bem
definidas e claras, cujas respostas, uma vez conhecidas, nos levam à solução do problema. O
problema colocado acima pode ser resumido na seguinte questão:
Qual é o movimento de um corpo quando nele não se exerce nenhuma força?
A força aqui é entendida como uma ação exercida sobre o corpo como empurrá-lo, puxá-lo ou
fazer que outros corpos ajam sobre ele.
Experiências I (ver Esquema 1)
Inicialmente constatamos que se
(1) largamos um corpo (por exemplo, uma bola) no ar
ele cai. Mas isto não significa que esta é a resposta para a nossa questão. De fato, nesse caso
existe uma força que é exercida sobre o corpo. Ela pode ser sentida quando seguramos o corpo.
Ela é o seu peso que anulamos, usando a nossa força muscular, quando seguramos o corpo.
Portanto para realizarmos a condição de nossa bola não estar sujeito a nenhuma força temos
que anular o seu peso, o que pode ser feito colocando, por exemplo, a nossa bola sobre uma
mesa horizontal.
(2) Coloquemos agora a bola sobre a mesa horizontal, parada em relação a ela.
15
)1(
)2(
Esquema 1 – Experiências I. Os
números entre parênteses correspondem às várias experiências.
)3(
Constatamos como mostra a nossa vivência diária, que ela permanece parada (ou usando um
termo equivalente, em repouso) indefinidamente. Por outro lado se
(3) colocamos a bola sobre uma mesa não horizontal, ou seja, num plano
inclinado,
a bola começará a se mover na direção descendente. Para que isso não aconteça, temos sempre
que exercer uma força sobre a bola. Aqui temos uma resposta parcial à nossa pergunta. Ela é:
Os corpos que não estão sujeitos a nenhuma força quando são colocados em
repouso, permanecem em repouso indefinidamente.
Para responder, de forma mais geral, à nossa questão devemos responder a uma nova:
O que ocorre se os corpos são colocados em movimento sobre a mesa?
Vamos responder a isto fazendo experiências.
Experiências II (ver Esquema 2)
Inicialmente
(1) lancemos uma bola numa superfície horizontal, mas não muito lisa.
16
Esquema 2 - Primeiros dois estágios da
Experiência II
(1)
^^^^^^^^^^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
(2)
A bola rolará numa trajetória que é uma linha reta, mas parará depois de percorrer uma certa
distância.
(2) Lançando numa superfície mais lisa,
verificamos que a nossa bola lançada com a mesma velocidade irá mais longe. Podemos
observar ainda que, o quanto mais lisa é a nossa superfície horizontal, mais longe irá a nossa
bola. Por outro lado se
(3) lançamos uma bola subindo um plano inclinado liso,
a sua velocidade diminui até a bola parar e depois o sentido da sua velocidade muda e ela
aumenta. Consideremos agora um plano com inclinação menor.
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Esquema 2 (continuação) – Os cinco estágios
finais da experiência 2.
17
(4) Lançamos uma bola subindo um plano inclinado liso, menos inclinado,
como a mesma velocidade que anteriormente. O seu movimento é análogo ao anterior mas
agora a bola irá mais longe. Podemos verificar e mesmo experimentar, que a medida que
diminuímos a inclinação a bola irá mais longe antes de voltar. Se
(5) lançamos uma bola num plano horizontal liso,
verificamos que a bola irá mais longe ainda mas provavelmente pára depois de percorrer uma
grande distância no plano.
Como não podemos ter certeza o quanto o plano é horizontal e liso e o quanto estes fatores
como outros não muito bem definidos (por exemplo o atrito com o ar), não podemos concluir
que a bola vai parar depois de um certo tempo. Devemos pois continuar experimentando para
ver se a experiência sugere o que acontece no caso do movimento no plano horizontal.
Modifiquemos agora a inclinação do plano, além da horizontal então a bola passará a descer o
plano. Então,
(6) lançamos uma bola descendo o plano inclinado liso.
Observa-se que a bola aumenta a velocidade a medida que percorre o plano e que portanto
nunca deverá voltar a passar pela posição inicial.
(7) Lançamos uma bola descendo um plano liso, mais inclinado.
A bola descerá o plano com maior velocidade.
Temos então que quando a bola sobe o plano ela volta a passar pela posição inicial sendo que
ela demora mais tempo para retornar se a inclinação do plano é menor. Por outro lado se a
inclinação do plano inverte, ela não retorna e se afasta mais depressa quanto maior for a
inclinação.
Podemos imaginar, como fez Galileu, então que, quando o plano é horizontal a bola estará
justamente na posição intermediária, isto é ela se afasta indefinidamente do ponto inicial mas
sem aumentar nem diminuir a velocidade. Logo a bola se move em velocidade constante.
Observamos também que o movimento se processa em linha reta no plano horizontal.
Usando a nossa imaginação, podemos concluir que se a superfície for perfeitamente lisa e
horizontal, a nossa bola não parará nunca, e sua trajetória é uma linha reta.
Além disso, podemos medir a velocidade da bola em várias regiões de sua trajetória. Para isto
basta determinar o tempo (usando por exemplo o cronômetro de um relógio digital) com que
18
ela percorre uma mesma distância, escolhida arbitrariamente, como por exemplo um metro, em
qualquer trecho da trajetória. Somos levados a concluir que:
Para uma superfície perfeitamente lisa e horizontal, a velocidade que a bola
tinha inicialmente, se mantém indefinidamente.
Observe que esta conclusão é completamente diferente do que verificamos no nosso dia a dia,
como citado na primeira frase da Introdução. O que acontece é que, na experiência do dia a dia,
não atentamos muito para o comportamento do movimento em relação às características da
superfície. Isto mostra como o que chamamos de experiência diária difere dos experimentos ou
da experiência científica. Na experiência científica, o fenômeno que desejamos observar é
reproduzido em condições bem conhecidas de forma que estas condições possam ser
cuidadosamente controladas.
Temos então a resposta à nossa pergunta do início desta seção.
Os corpos que não estão sujeitos a nenhuma força seguem trajetória
retilíneas e sua velocidade é constante indefinidamente.
Em particular, um corpo inicialmente em repouso tem velocidade nula e portanto sua
velocidade permanecerá nula, ou seja ele permanecerá em repouso. A nossa resposta à questão
colocada é uma das leis da mecânica (parte da física que estuda os movimentos) e é conhecida
como Lei da Inércia, conhecida como a Primeira Lei de Newton.
Um dos grandes méritos de Galileu foi consolidar a idéia de que a matemática era a forma de
expressar os resultados obtidos da análise experimental da natureza. Portanto a lei da inércia
deve ser expressa de forma matemática para que possa ser útil para fornecer resultados
quantitativos gerais. Neste caso a sua forma matemática é bem simples e dado por
x  x0  v  t
onde x é a posição do
corpo no instante t e x0
é a posição do corpo no
instante inicial t0=0. A
velocidade
v
é
constante. Num gráfico
onde estão representados a posição e o
instante correspondente,
tem-se
x  x 1 x
v 2

 tan 
t 2  t1
t
Gráfico da posição com o tempo para a lei da inércia
x
x2

x1
x0
0
t1
t2
t
19
Observe-se que para v=0, tem-se x=x0 ou seja, o corpo permanece na mesma posição, isto é, em
repouso. Neste caso, a reta do gráfico é uma horizontal e tan  = 0.
5.2 – A atração gravitacional
A questão seguinte, que Galileu colocou, surge naturalmente. Ela é:
Se um corpo não modifica sua velocidade quando não está sujeito a nenhuma
força, o que ocorre com sua velocidade quando ele está sujeito a uma força?
Figura 14 – movimentos sobre uma mesa
horizontal lisa. Para (a) e (b) vale a Lei
da Inércia. Em (a) uma bola é colocada
parada e permanece imóvel. Em (b) a
bola é colocada em movimento e
permanece então em movimento retilíneo
e uniforme. Em (c) a bola colocada em
movimento, é submetida a ação de uma
força que age rapidamente e depois cessa,
como por exemplo um empurrão no
ponto assinalado. Neste caso a bola muda
de direção e depois permanece nessa
nova direção em movimento retilíneo e
uniforme.
A resposta a esta questão foi obtida por Galileu fazendo experiências com bolas em planos
inclinados e usando molas para medir as forças. Apesar destas experiências serem
extremamente interessantes e simples de realizar, não nos deteremos nelas, pois continuamos
perseguindo o objetivo inicial de tentar entender o movimento dos planetas, nos concentrando
mais nos resultados qualitativos do que nos quantitativos. De qualquer forma, conclui-se que:
As forças fazem com que a velocidade de um corpo se modifique. Portanto, a força
determina a variação da velocidade, ou seja, a sua aceleração.
O que ocorre para uma bola numa mesa lisa e plana, está esquematizado na Figura 14.
A relação matemática entre a força (F) e a variação de velocidade (v) no intervalo de tempo
(t), ou seja, a aceleração (a), é dada pela lei entre a proporcionalidade entre a força e a
aceleração, conhecida como a Segunda Lei de Newton. A constante de proporcionalidade é a
massa do corpo e ela é dada por
F  m.a  a 
F
m
onde a definição de aceleração é dada por
a
v
t
O tipo de movimento acelerado mais simples, é o de aceleração constante (a0=constante). Ele
corresponde a uma força constante aplicada ao corpo, como se pode facilmente deduzir da
expressão acima.
20
Uma idéia mais clara do movimento uniformemente acelerado é dado pela Figura 15.
Figura 15 – Movimento uniformemente acelerado. No gráfico ao
lado tem-se o crescimento da velocidade em relação ao tempo.
Gráfico da posição com o tempo para o movimento uniformemente acelerado
90
80
a0=10 m/s
2
- para a velocidade
v  v 0  a 0 .t
70
2
x(t) = 5 t
x (m)
60
As equações do movimento uniformemente acelerado são:
50
- para a posição
40
1
x  x 0  v 0 .t  a 0 .t 2
2
30
20
10
0
0
1
2
3
4
t (s)
As nossas questões iniciais sobre o movimento e a não queda dos astros continuam sem
respostas. De fato, suponhamos que todos os corpos existentes, estejam eles situados no céu ou
na Terra, estão sujeitos às mesmas leis do movimento. Pelos resultados apresentados, teríamos
duas possibilidades. Ou os astros deveriam cair no Sol, ou, admitindo que não sofressem a ação
de nenhuma força, deveriam ter trajetórias retilíneas e portanto se afastariam do Sol
indefinidamente e consequentemente também da Terra. Isto claramente não acontece. Sabemos
mesmo que Kepler, usando as observações de Tycho Brahe, havia mostrado que as órbitas dos
planetas eram curvas fechadas.
As respostas de nossas questões iniciais começam a ficar claras se realizarmos uma série de
experiências bem simples. Elas surgem da seguinte questão:
Os planetas não poderiam estar caindo no Sol sem, no entanto, nunca atingi-lo?
Para responder a esta questão precisamos entender inicialmente como se processa a queda dos
corpos.
21
Experiências III (ver Esquema 3)
(1) Soltemos um objeto pesado no ar.
Ele cai na vertical. E se medirmos o tempo de sua queda, verificamos que em 1 segundo, ele cai
de uma altura aproximadamente igual a 5 metros. Aqui deve-se se tomar cuidado pois a
velocidade do objeto vai aumentando. Por exemplo, em 2 segundos ele cai aproximadamente
20 metros. Para um objeto leve, como uma pena ou uma folha de papel, isto não ocorre. No
entanto, é fácil perceber que isto acontece por causa do ar. A descrição quantitativa deste
movimento de queda ou mais precisamente da força é que chamamos de Lei da Gravidade.
Vamos tentar entender melhor esta lei da física. A força que faz os corpos caírem é como
sabemos, a força da gravidade.
A expressão matemática para a lei da força da gravidade Fg em que um corpo de massa M1 atrai
um outro de massa M2 estando os dois a uma distância r um do outro, é dada por
M1M 2
onde G é uma constante chamada constante da gravitação universal e o sinal
r2
negativo é usado para designar forças atrativas. Da segunda lei de Newton temos que a
aceleração da gravidade g sobre o corpo de massa M2 é dada por
Fg  G
Fg  M 2 g  G
M1M 2
M
, o que implica que g  G 21 .
2
r
r
Vejamos agora o que acontece se deixamos cair objetos diferentes, que não sofram uma forte
influência do ar.
(2) Soltemos juntos, de uma mesma altura, dois objetos de pesos muito diferentes
0
t
2t
Esquema 3 – Experiência III (2). (A esperiência II (1) não será mostrada
neste esquema e a III (3) aparece continuação deste esquema.)
3t
4t
22
(por exemplo uma moeda pesada e outra leve), verificamos que os dois batem no chão
juntos. É claro que isto não vale se um dos objetos é uma pena ou uma folha de papel, mas
com já vimos, a causa é o ar. Portanto, podemos concluir que dois corpos quaisquer, num
ambiente sem ar, ou seja, no vácuo, caem na vertical e da mesma forma. Este resultado
também contraria a nossa experiência diária. A idéia comum que se tem é a de que os
corpos leves caem mais devagar que os corpos pesados. Mas sabemos agora que isso ocorre
apenas por causa do ar e não por causa do peso dos corpos.
Vejamos agora o que ocorre com um objeto que é lançado com uma velocidade horizontal
sobre a Terra.
(3) Lancemos três bolas.
A bola 1 é lançada sobre uma mesa, horizontal e lisa, no instante t1 e no instante t2
chega ao bordo da mesa e começa a cair.
A bola 2 é lançada no chão, horizontal e liso, no instante t1, sobre a mesma vertical da
bola 1 e com a mesma velocidade.
Enfim a bola três é solta da mesma altura da mesa no instante t2, quando começa a
cair.
Verifiquemos a evolução do movimento das 3 bolas.
t1
1
t2
t2
t3
t1
2
t2
t3
t3
Esquema 3 (continuação)
– Experiência III (3). As
bolas 1 e 2 chegam na
mesma posição em t4
(bola cinza). Portanto
estão superpostas. A bola
3 chega ao chão em t4.
t4
Verificamos que as bolas 1 e 3 chegam ao chão no mesmo instante (t4 na figura). Por sua vez,
as bolas 1 e 2 estão à mesma distância da mesa quando a bola 1 toca o chão (t4 na figura).
O que podemos concluir então sobre o movimento de queda?
23
Da primeira parte da experiência concluímos que:
Objetos de pesos diferentes caem com a mesma velocidade.
Este resultado é o que a fórmula acima para a aceleração da gravidade g mostra, pois ela só
depende da massa de M1 que no caso é a massa da Terra.
O resultado verificado, na segunda parte da experiência, com as bolas 1 e 3 mostra que:
O movimento de queda, na vertical, independe do movimento horizontal.
Das bolas 1 e 2 concluímos que:
O movimento na direção horizontal independe do movimento na direção da
queda.
Lembrando da pena ou da folha de papel devemos acrescentar que estas afirmações são válidas,
para quaisquer corpos, apenas na ausência total de ar, ou seja, no vácuo.
As relações matemáticas para o movimento da bola que cai da mesa no Experimento III(3) são
dadas por
x  v 0 .t
1
y   g .t 2
2
onde verifica-se o deslocamento em x com velocidade constante e o
deslocamento em y em movimento uniformemente acelerado com a aceleração g da gravidade.
A composição do movimento vertical e horizontal, pode ser notado quando uma bola é lançada.
Ela na realidade é jogada para cima e para frente (Figura 16).
Figura 16 – Quando o jogador joga a bola, ele dá a ela uma
velocidade para cima e uma velocidade para a frente.
A velocidade, na vertical, vai diminuindo até chegar a zero
(no ponto mais alto da trajetória da bola) e depois se inverte
(como no caso da bola que sobe um plano inclinado). Essas
mudanças na velocidade ocorrem porque a bola sofre
constantemente o efeito da força da gravidade (indicada por
setas na figura). A velocidade horizontal fica praticamente a
mesma por todo o tempo, a menos do que ela diminui devido
ao atrito da bola com o ar.
24
Para este movimento, o corpo tem a cada instante uma velocidade espacial que é a composição
da velocidade vx na direção horizontal e da vy na direção vertical. O vetor velocidade v é
tangente a trajetória em cada ponto e seu valor é dado, segundo o diagrama abaixo
Diagrama de composição de velocidades

j
vy


v  vx i  vy j

i
vx
por
v x  v 0x
v y  v 0 y  g y .t
x  v 0 x .t
e suas posições por
1
y  v 0 y .t  g y .t 2
2
Observe que se a velocidade vertical inicial voy do corpo é positiva, ou seja, para cima, ele sobe
até que ela se anule e posteriormente ele começa a cair.
25
6 – Finalmente a órbita
Agora usemos a nossa imaginação, respeitando a independência entre os movimento de queda e
horizontal, e lembrando, como foi mostrado pela experiência, que a velocidade horizontal se
mantém (lei da inércia). Imaginamos que jogamos uma bola com velocidade horizontal. Ela cai
aproximadamente 5 metros no primeiro segundo independentemente da velocidade horizontal
com que é lançada. Se aumentamos a velocidade horizontal ela irá cada vez mais longe antes de
tocar o solo.
Sabemos que a Terra é aproximadamente esférica. Logo, à medida que nos afastamos o chão
fica mais baixo em relação à horizontal. Isto pode ser percebido quando olhamos o horizonte no
mar. Conhecemos o raio da Terra (6 440 km) e vamos considerá-la como uma esfera, ou seja
como uma bola lisa. Usando um pouco de matemática (geometria plana – veja quadro no final
desta seção), concluímos que tomando uma linha horizontal a partir de um ponto na superfície
da Terra, a 8 quilômetros de distância, esta reta estará a 5 metros do chão. Em outras palavras,
uma pessoa de 1 metro e setenta centímetros olhando um barco no mar calmo a oito
quilômetros de distância verá apenas a ponta do mastro de 6 metros e setenta centímetros (igual
aos 5 metros da curvatura da Terra mais a altura da pessoa).
Então, se jogarmos uma bola horizontalmente com uma velocidade de 8 km/s (isto é uma
velocidade fantástica, muito acima das balas das armas de fogo) ela estará à mesma altura do
chão depois de 1 segundo considerando uma Terra na forma de uma esfera plana e sem ar.
Apesar da velocidade de queda aumentar com o tempo, a distância entre o solo e a horizontal
também aumenta quando a bola se afasta do ponto inicial (ver Figura 17).
tempo de movimento: 1s
8 km
h
órbita
superfície da Terra
5m
h
Figura 17 – Trajetória
percorrida em 1 segundo por
um corpo lançado na superfície da Terra, na direção
horizontal com a velocidade de
8 km/s. Observe-se que a
escala vertical da figura é
diferente da horizontal. Se as
escalas fossem as mesmas, a
altura da figura deveria ser 300
vezes menor e eviden-temente
não seria possível ver nada.
Felizmente somos dotados de
imaginação.
raio da Terra : 6 440 km
Alguns cálculos complexos, mostram que o aumento de velocidade da queda e o afastamento se
compensam de forma que no início do 2o segundo, a velocidade horizontal da nossa bola, agora
em relação ao novo ponto da superfície da Terra, é ainda de 8 km/s e a vertical, naquele ponto,
é nula. Assim a nossa bola vai circundando a nossa Terra ideal, sempre na mesma altura e com
a mesma velocidade horizontal, considerado o ponto onde se encontra. Depois de
aproximadamente 1 hora e 20 minutos voltará ao ponto de partida e começará uma nova volta e
26
continuará assim girando em torno da Terra indefinidamente. Na Figura 18 temos uma idéia do
que acontece nas várias partes da órbita.
Figura 18 – Trecho de uma órbita circular. Em cada ponto a
velocidade da órbita tem a direção tangente a ela, direção esta
que devia seguir pela lei da inércia. Por outro lado, a força da
gravidade faz com que ela modifique esta velocidade em direção
a Terra, isto é, ela caia. Assim ela vai circulando a Terra. Observe
que a direção da força da gravidade muda em lugares diferentes
da órbita pois esta força está sendo sempre dirigida na direção do
centro da Terra. Esta mudança de direção é importante para que a
configuração inicial mostrada na Figura 17 se reproduza em cada
passo da órbita.
Este raciocínio é ainda válido se um corpo está a grande altitude. De fato, suponha agora uma
grande esfera imaginária tendo a Terra no seu centro. Uma bola lançada com velocidade
adequada, na direção tangente à esfera, terá uma órbita fechada, não caindo nunca na Terra.
Esta situação é apresentada na Figura 18.
Temos que a velocidade horizontal não depende do corpo. De fato, as leis de queda e de
movimento linear não dependem do peso do corpo mas apenas de sua velocidade. Agora,
vamos substituir a Terra pelo Sol e a nossa bola por um planeta que, num certo momento, tinha
uma velocidade horizontal suficientemente grande. Então é de se esperar, pelas leis do
movimento, isto é, da inércia e da gravidade, que podemos deduzir de experiências simples,
que os planetas não caem porque suas órbitas são o que deve ocorrer necessariamente se
ninguém os freiar.
É esta idéia de lançar o corpo com velocidade conveniente para que entre em órbita, que é
usado para colocar um satélite em órbita. Eles são levados bem alto pelos foguetes para que
fiquem fora da atmosfera e não sejam freiados por ela. Em seguida são acelerados
horizontalmente a velocidades de alguns quilômetros por segundo, sendo necessário uma
velocidade tanto menor quanto mais alto estiver o satélite. Isto se deve ao fato de que a
velocidade de queda em 1 segundo é menor quanto maior a altitude, já que a força da gravidade
diminui quando nos afastamos da Terra..
Surge naturalmente a pergunta:
O que ocorre se a velocidade com que o satélite é lançado não tem a direção horizontal ou
ela é diferente da velocidade que dá origem a uma órbita circular?
Cálculos matemáticos, não muito simples, mostram que:
Dependendo da força de atração da gravidade, da velocidade e de sua direção, o satélite
ou entra numa órbita fechada (circular ou elíptica), ou se afasta indefinidamente, ou
ainda bate na Terra.
27
Uma idéia deste comportamento pode ser visto na Figura 19.
Como já mencionamos, esta idéia está na base da técnica de lançamento dos satélites artificiais.
O procedimento, em geral, é fazer com que o foguete coloque o satélite numa certa altura (de
algumas poucas centenas de quilômetros) e neste ponto dispara-se um novo foguete que dá ao
satélite uma velocidade tangencial suficiente para que ele entre em órbita circular ou elíptica.
Para o lançamento de uma sonda espacial que se afasta da Terra, a idéia é mais ou menos a
mesma. Neste caso, basta dar à sonda, nesta altura máxima, uma velocidade tangencial
suficientemente grande para que o satélite se afaste da Terra indefinidamente.
Figura 19 – Órbitas para
diferentes condições iniciais. Dada uma altura temos
as
diversas
situações.
Pequenas velocidades horizontais iniciais correspondem a órbitas elípticas em
torno do centro da Terra
mas que teriam distâncias
menores do que as da
superfície. Estes satélites
caem. Depois temos a
velocidade
das órbitas
circulares.
Velocidades
maiores dão origem a
órbitas elípticas e maiores
ainda a órbitas que nunca
retornam. A velocidade
limite entre as órbitas
elípticas e as que não
retornam são chamadas de
órbitas de escape.
O mesmo vale para um planeta em torno do Sol.
A Figura 20 mostra, de dentro para fora, as órbitas dos planetas Júpiter, Saturno, Urano,
Netuno e Plutão. A órbita alongada é do cometa Haley. Os planetas Mercúrio, Vênus, Terra e
Marte estão tão próximos ao Sol que os vemos apenas como um disco em torno dele.
Voltemos aos anjos que empurravam os planetas, observa-se que eles são desnecessários e sua
presença poderia mesmo atrapalhar o movimento regular que observamos. No entanto fica claro
que existe uma força que puxa os corpos para a Terra, os planetas para o Sol, etc.
Portanto, se quisermos introduzir anjos na nossa descrição da natureza, a sua função seria de
empurrar os planetas na direção do Sol para que eles tivessem as trajetórias que observamos.
Deve-se no entanto colocar um anjo empurrando cada corpo que cai, incluindo por exemplo, as
nossas bolinhas. Isto sugere que seria melhor dispensarmos os anjos dessa função.
28
Figura 20 – O Sistema Solar. As órbitas
de todos os planetas são elípticas. No
entanto,
em
geral,
as
suas
excentricidades são muito pequenas.
Assim elas aparentam círculos. O caso
da órbita de Plutão é diferente. A sua
excentricidade é bem maior do que a
média dos planetas e a sua órbita aparece
bem mais alongada. É importante
observar que esta figura dá apenas uma
idéia do Sistema Solar.
Observe-se finalmente que se não houvesse a força da gravidade, os planetas assim como
qualquer corpo lançado numa direção que não fosse a do solo, teriam movimento segundo uma
reta e se afastariam indefinidamente do Sol e certamente uns dos outros. Se déssemos um pulo,
nos afastaríamos indefinidamente da Terra. Podemos pois resumir a nossa conclusão na
seguinte forma "criptografada": Os planetas se movem e não caem porque eles seguem
simultaneamente as leis da inércia e da gravidade.
Figura 21 – Isaac Newton, físico e matemático inglês que
estabeleceu os princípios do estudo do movimento. Isto é,
as bases da mecânica. Newton baseou-se nos resultados de
Kepler e Galileu. Assim, o trabalho de Newton é uma
grande síntese que incluiu a sua grande e inestimável
contribuição pessoal. Abaixo, capa do tratado de Newton
que estabeleceu as leis da mecânica.
Foi o inglês Isaac Newton (Figura 20) que, em meados do século XVII, formulou no seu
célebre tratado “Princípios Matemáticos da Filosofia Natural”, a lei da gravidade conhecida na
física sob o nome de "Lei da Gravitação Universal" e estabeleceu os fundamentos da mecânica.
Para tanto ele usou, como fizemos acima, os resultados de Kepler e de Galileu. Para ter uma
29
descrição quantitativa coerente dos movimentos dos planetas e das quedas dos corpos (daí a
estória da queda da maçã que permitiu a Newton entender o movimento dos astros) Newton
desenvolveu métodos matemáticos apropriados e formulou esta lei. Além disso, fez uma grande
síntese dos estudos anteriores do movimento, formulando um conjunto de apenas quatro leis
que permitem, nem sempre de forma direta e em geral exigindo um esforço matemático
considerável, descrever, em princípio, os movimentos no universo. Entre estas leis estão as da
gravitação, da inércia, da proporcionalidade entre a força e a aceleração e a da ação e reação.
No caso da Astronomia, uma contribuição importante de Newton foi a construção do primeiro
telescópio (Figura 22), que substitui as lentes das lunetas por espelhos. Isto permite que uma
série de problemas relacionados à qualidade ótica das lunetas seja resolvido facilmente.
Figura 22 – Telescópio de Newton. Apesar do princípio de funcionamento
do telescópio já ser bem conhecido, Newton foi o primeiro construir,
incorporando a idéia, seu senso inventivo e a sua grande habilidade como
artesão. Esta habilidade lhe foi muito útil para realizar inúmeras experiências
de ótica que permitiram que desse contribuições decisivas para o
desenvolvimento da ótica na sua época.
A contribuição de Newton para o entendimento da natureza foi um dos trabalhos mais notáveis
já realizados pelo espírito humano, o que o coloca, sem nenhum favor, como um dos maiores
cientistas que já existiu.
No entanto, a síntese de Newton, assim como toda contribuição científica, não foi definitiva.
No início do século XX algumas leis novas corrigiram as de Newton e algumas concepções
novas permitiram conhecer melhor a natureza dos movimentos. Esta modificação foi feita pelo
alemão Albert Einstein, e se chamou Teoria da Relatividade. É fundamental ressaltar que as
correções da teoria da relatividade são importantes apenas para movimentos que se realizam
com velocidade próxima à da luz que é de 300.000 km/s. Mesmo para as nossas velocidades de
satélites (8 km/s), isto é, aproximadamente 40.000 vezes menor que a da luz, as leis de Newton
são perfeitamente adequadas. Isto vale também para a descrição de esmagadora maioria das
órbitas do Sistema Solar, com as precisões que conhecemos hoje. Uma exceção bem conhecida
é a órbita de Mercúrio. A descrição detalhada da discordância entre a órbita real e a calculada
pela mecânica newtoniana foi uma das comprovações da teoria da relatividade.
Agora, que nossas questões iniciais foram respondidas, vamos rapidamente tentar entender as
grandezas envolvidas no Sistema Solar e, principalmente, as influências exercidas pelos astros.
30
A geometria para o cálculo da velocidade necessária para que um corpo entre em órbita pode
ser entendida pela figura
X
s
S
2R-S
R
Considerando que os triângulos de catetos X e S e, 2R-S e X são semelhantes, temos que
X 2R  S 2R


S
X
X
 X 2  2RS  X  2RS
Então, para
R = raio da Terra (6.440quilômetros)
X = distância “percorridahorizontalmente” em 1 segundo
S = distância “caída” em 1segundo (4,87 metros)
tem-se
X  2  6440  0,00487  7,92 km  8 km
31
7 - O grande vazio em que vivemos
O conhecimento das leis de Newton nos permite fazer alguns cálculos interessantes. Um deles é
sobre a força que os planetas, e mesmo os outros astros, exercem sobre corpos na Terra. De
fato, pela Lei da Gravidade, a força de atração diminui rapidamente com o aumento da
distância (é inversamente proporcional ao quadrado da distância) dos corpos que se atraem. Na
Figura 23 apresentamos por um gráfico, a intensidade da força gravitacional com a variação da
distância.
Então, a Terra atrai um satélite artificial mas a Lua e o Sol também devem atraí-lo. Assim, o
satélite tende a cair ao mesmo tempo em cada um destes astros, ou seja é atraído por eles. No
Figura 23 – Lei do inverso dos quadrados das distâncias. Para uma
distância de 1 unidade a intensidade será de 1 unidade. Para 2 unidades de
distância a força é de ¼ unidades, para 3 corresponde a 1/9 e assim por
diante. As unidades foram tomadas aqui arbitrariamente. Assim se forem
consideradas unidades usuais. Como visto no texto. para uma unidade de
distância igual a 1 raio terrestre a força exercida sobre a massa de 1
quilograma é 1 newton (n). Como o raio da Terra é de 6440 km, se a
unidade de distância for de o quilômetro teremos as correspondências: 6440
km => 1 n, 2x6440 km = 12880 km => ¼ n = 0,25 n e assim por diante.
entanto, como a atração depende da distância, o quanto mais distante estiver o satélite de um
astro, menor a atração que sofrerá deste
A força da gravidade sobre os corpos depende também de outro fator. Trata-se da quantidade
de matéria existente em cada astro, ou seja, da massa de cada um deles. Isto pode ser facilmente
visto no nosso dia a dia. Segurar uma bola grande exige mais esforço do que segurar uma bola
pequena do mesmo material. Esta força, na superfície da Terra, é o peso do corpo. Erradamente
damos a mesma denominação para a massa e o peso de um corpo. Se um corpo tem a massa de
1 quilograma (ou, como se usa em linguagem corrente, de 1 quilo), o seu peso é de 1
quilograma-força e não de 1 quilograma (ou 1 quilo) como se diz normalmente. A unidade de
medida para força usual é o newton e 1 newton é aproximadamente igual a 1 quilograma-força.
A força da gravidade entre dois corpos é proporcional ao produto das massas destes corpos.
Portanto a força da gravidade, sobre um corpo na superfície da Terra, dobra se a massa do
corpo dobra, triplica se a massa é multiplicado por 3, e assim por diante. Da mesma forma, se a
Terra dobrasse a sua massa apesar dos nossos corpos continuarem com a mesma massa nosso
peso dobraria.
Então, voltando ao sistema solar, para conhecer a força exercida pelo Sol num corpo qualquer,
precisamos conhecer as suas distâncias ao Sol e as suas massas. Vamos, pois, nos deter sobre os
valores aproximados das distâncias dos planetas ao Sol e aos valores de suas massas.
O sistema solar é formado pelo Sol, que é uma esfera de massa igual a 2x1030 (2 seguido de 30
zeros) quilogramas, com 7x105 (700.000) quilômetros de raio. Se dividirmos a massa do Sol
pelo seu volume, obtemos, considerando as unidades de medida adequadas o número 1,4 g/cm3
(gramas por centímetro cúbico) que é a densidade do Sol. Se comparamos esta densidade com a
da água que é de 1 g/cm3 verificamos que em média as densidade do Sol não é muito maior do
32
que a da água. Isto ocorre porque apesar da densidade ser muito grande no seu centro, a maior
parte do volume do Sol é gasoso.
A Terra está a uma distância de 150.000.000 km do centro do Sol, sua massa é de 6x1024 kg e
seu raio, como já foi dito anteriormente, é igual a 6.400 km. Sua densidade é de 5,5 g/cm3. Esta
densidade alta da Terra é devido ao seu núcleo que é muito denso. Para se ter uma idéia, tem-se
que a densidade de uma rocha é de 3,5 g/cm3 e a do ferro é de 7,9 g/cm3.
Na Tabela 1, a apresentamos em cada linha, da esquerda para a direita, o nome do astro, sua
distância ao Sol, sua massa, seu raio e sua densidade. As unidades de medida estão entre
parênteses na primeira linha. Entre parênteses temos os tamanhos e distâncias relativos, quando
supomos o Sol como uma esfera de 7 cm (70 mm) de raio. Neste caso, olhando a tabela
verificamos que se o Sol tivesse o raio deste tamanho, a Terra teria o raio de 0,6 mm e estaria a
uma distância de 15 metros do Sol.
Vejamos agora a Tabela 1. Ela é obtida de resultados cuidadosos de observações astronômicas
e de dados de sondas espaciais que passaram próximas de todos os planetas com exceção de
Plutão.
TABELA 1 - Distâncias, massas, raios e densidades do Sistema Solar
Nome
Distância ao Sol
Massa
Raio
Densidade
(km)
(kg)
(km)
(g/cm3)
23
--20.000.000x10
700.000
1,4
Sol
(70 mm)
60x106
3x1023
2.400
5.4
Mercúrio
(6 m)
(0.2 mm)
110x106
49x1023
6.000
5.2
Vênus
(11 m)
(0.6 mm)
150x106
60x1023
6.400
5.5
Terra
(15 m)
(0.6 mm)
230x106
6x1023
3.400
4.0
Marte
(23 m)
(0.3 mm)
780x106
19.000x1023
71.000
1.3
Júpiter
(78 m)
(7 mm)
1.400x106
5.700x1023
60.000
0.7
Saturno
(140 m)
(6 mm)
2.900x106
870x1023
25.000
1.3
Urano
(290 m)
(3 mm)
4.500x106
1.030x1023
24.000
1.6
Netuno
(450 m)
(2 mm)
5.900x106
1x1022
1.400
2.0
Plutão
( 600 m)
(0.2 mm)
Distância a Terra
7x1021
1.700
3.3
Lua
5
4x10
(0.2 mm)
(4 cm)
33
Examinando as medidas relativas nas colunas das distâncias ao Sol e dos diâmetros podemos
perceber o imenso vazio que é o nosso Sistema Solar. De fato, se o Sol fosse uma esfera com 7
centímetros de raio, os maiores planetas seriam pequenas esferas de poucos milímetros situados
no interior de uma imensa região com raio de 600 metros. Alguém que olhasse de fora esse
sistema veria o Sol e com muito boa vontade, perdidos a uma grande distância dele, 2 planetas
com raios 10 vezes menores (Júpiter e Saturno). Como estes planetas apenas refletem a luz do
Sol, eles seriam muito fracos e portanto, muito difíceis de serem vistos.
Examinando a coluna das massas, na tabela, percebemos que no imenso vazio onde se situa o
Sistema Solar (Figura 24), o Sol domina largamente também em massa. É por isso que os
planetas giram em torno dele e não em torno de outro qualquer. De qualquer forma o segundo
planeta de maior massa é Júpiter. A Terra está em 5o lugar e portanto é pouco importante para
governar os movimentos dos planetas o que mostra o quanto equivocados estavam os adeptos
do sistema geocêntrico.
Figura 24 – O Sistema Solar. Temos uma visão
espacial do sistema. Os 4 planetas interiores
estão dentro do pequeno disco, próximo ao Sol e
que é onde se encontram os asteróides. Os
planetas exteriores tem suas órbitas visíveis.
Observe que todos os planetas têm suas órbitas
aproximadamente sobre um mesmo plano, com
exceção de Plutão, cuja elipse está num plano
bem distinto.
Da tabela e da Figura 24 podemos concluir outros fatos interessantes. Existem dois grupos de
planetas. Os 4 próximos ao Sol são pequenos, de menor massa e de densidade mais alta, o que
significa que são compostos de ferro e silicatos. Depois vêm os 4 externos, deixando Plutão de
lado, são grandes, de massas maiores e com densidade parecida com a do Sol o que mostra que
são predominantemente gasosos. Plutão tem uma densidade intermediária e é muito pequeno. A
nossa Lua, que é muito pequena, tem também uma densidade intermediária e é composta de
silicatos. Estas características dos dois grupos de planetas é muito importante para se entender
os mecanismos de formação do Sistema Solar e leva a processos de formação completamente
diferentes e em épocas diferentes.
Entre os dois grupos de planetas estão os asteróides. Aqui estamos nos referindo ao chamado
Cinturão Principal dos asteróides. Estes asteróides são corpos muito pequenos sendo a maioria
constituída de silicatos e em grande número. No entanto, a soma de suas massa é muito menor
do que a dos menores planetas. Apesar do seu pequeno tamanho estes corpos podem ter uma
grande importância para nós. Este aspecto será tratado na seção 9.
34
8 – A força dos astros sobre nós
Se você estiver na superfície da Terra e sua massa for de 70 kg, a força exercida pela Terra
sobre você é de 681 N (newtons). Se você sobe 10.000 metros, isto é, pouco acima do ponto de
maior altitude da Terra e altura dos aviões de maior porte, a força é de 678 N. A 300 km,
altitude dos ônibus espaciais, a força é de 621 N, e a 700 km, altura de boa parte dos satélites
que permanecem em órbita por uns poucos anos, ela é de 553 N. Observe que no entanto a sua
massa continua sendo sempre a mesma.
Aqui cabe um comentário. Um astronauta, num satélite em órbita não sente o peso. Como
explicar então a força calculada acima? A resposta fica simples depois de tudo que vimos
anteriormente. Acontece que o satélite está em órbita, e portanto caindo o tempo todo na Terra.
No entanto ele nunca chega a cair nela, por causa da sua velocidade tangencial (ou horizontal
em relação ao ponto considerado da Terra). O astronauta dentro do satélite está caindo junto e
na mesma velocidade pois, a velocidade de queda não depende da massa do corpo. Ele está em
órbita como o satélite assim como cada parte do seu corpo. Logo o astronauta não tem sensação
de peso, não cai em relação ao satélite, isto é, flutua em relação a ele, mas continua havendo a
força da gravidade agindo sobre ele.
No caso das forças acima foram desconsideradas as atrações do Sol e do planetas e da Lua. No
entanto, como veremos na Tabela 2, o efeito destas forças é muito pequeno e não altera estes
valores. No entanto, a força da Lua e com menos importância do Sol, são responsáveis por um
fenômeno facilmente observável, que são as marés.
Para entender as marés suponhamos uma barra no espaço, dirigida na direção do raio de um
planeta. A aceleração devida a força da gravidade exercida pela massa do planeta é diferente
para cada parte da barra. Na parte da barra mais próxima ao planeta, a aceleração é maior do
que no meio da barra que por sua vez é maior do que na extremidade mais afastada. Portanto se
a barra é extensível, a extremidade próxima cai mais rapidamente do que a afastada. Assim a
barra tende a se alongar durante a sua queda. Se substituirmos no raciocínio acima, a barra pela
Terra e o planeta pela Lua e se lembrarmos que a órbita é uma combinação de queda e
movimento retilíneo uniforme, concluímos que a Terra tende a se esticar na direção da Lua.
Como é a água que pode fluir o efeito de extensão se dá na distribuição de água na superfície da
Terra, tanto na direção da Lua como na direção contrária, que é o que conhecemos como efeito
da maré (Figure 25)
Figura 25 – Representação da maré
35
Na Tabela 2 estão os valores das forças que são exercidas sobre você se sua massa é de 70 kg.
Para efeito de cálculo foi usada a menor distância entre os planetas e a Terra e no caso do Sol a
menor distância entre o indivíduo e o Sol.
TABELA 2 – Forças exercidas sobre uma pessoa de massa
igual a 70 kg, sobre a superfície da Terra pelos vários corpos
do Sistema Solar. É mostrado também como estas forças podem ser substituídas pela variação da altura da pessoa em relação ao solo.
Nome
Força exercida (N) Equivalência em altura
Terra
687
--Sol
0,000.04
170 mm (17 cm)
Lua
0, 002
11.000 mm (11 m)
Mercúrio
0,000.000.2
1 mm
Vênus
0,000.01
70 mm (7 cm)
Marte
0,000.000.4
2 mm
Júpiter
0,000.02
100 mm (10 cm)
Saturno
0,000.002
10 mm (1 cm)
Urano
0,000.000.05
0,3 mm
Netuno
0,000.000.02
0.1 mm
Plutão
0,000.000.000.003
0
Verificamos na coluna correspondente a “força exercida”, que a maior é a da Terra, seguida da
Lua, depois, em ordem decrescente, e com valores muito menores vêm o Sol , Júpiter, Vênus e
Saturno. Observa-se que a influência destas forças é muito pequena em relação a exercida pela
Terra.
A coluna “equivalência em altura” mostra o deslocamento na vertical que causa um efeito
equivalente à força exercida pelos astros correspondentes. Assim, a diminuição da força da
gravidade sobre você, isto é, a diminuição do seu peso devido ao Júpiter estar sobre sua cabeça,
corresponde a sua diminuição de peso quando você sobe a um degrau de 10 centímetros.
Observa-se na tabela que a maior força, que é a da Lua, ainda é suficientemente pequena para
que subindo dois andares tenhamos sobre nós a mesma força que a que resulta da Terra e da
Lua agindo simultaneamente sobre nós.
Em conclusão, a força exercida pelos astros sobre nós é muito pequena. Na nossa
movimentação diária sofremos variações de forças gravitacionais muito maiores do que os
astros exercem sobre nós, mesmo que tivessem todos alinhados sobre a nossa cabeça.
36
9 – Os pequenos corpos do Sistema Solar.
Além dos planetas, o Sistema Solar está povoado de vários outros corpos menores. São os
satélites dos planetas como é o caso da Lua, os asteróides que são muito pequenos e em grande
número, se situando entre as órbitas de Marte e Júpiter (já mencionados anteriormente) e depois
da órbita de Netuno, os cometas e um pouco de poeira no meio interplanetário.
Figura 26 – Asteróide Ida fotografado pela sonda
Galileu. A direita, a meia altura, vê-se um pequeno
ponto que é o satélite Dactyl de Ida.
Na Figura 26 vemos o asteróide Ida com seu satélite Dactyl. Ida tem 58 quilômetros de
comprimento e seu satélite 1,5 quilômetros de diâmetro. Na superfície do asteróide pode-se
notar um grande número de crateras, originadas de colisões com pequemos asteróides. Em
particular, o pequeno satélite deste asteróide possivelmente foi gerado de uma colisão que
arrancou o satélite do corpo do asteróide.
Figura 27 – Famosa cratera do Arizona. Ela foi causada pelo choque de um meteorito a 50.000 anos. Os
meteoritos são pequenos corpos, possivelmente fragmentos de asteróides que por complexas razões gravitacionais tiveram suas órbitas alteradas de forma que
cruzassem a órbita da Terra. Devido a posições particulares destes corpos e da Terra sobre suas órbitas,
eles se chocaram com o nosso planeta num
cruzamento entre as órbitas.
Os asteróides, apesar de muito pequenos, por estarem em regiões restritas do Sistema Solar
podem se chocar entre eles. Estes choques podem fazer com se fragmentem, saiam de suas
órbitas e por interações gravitacionais com os planetas, possam ser lançados em regiões
distantes. Isto é que causa o aparecimento de pequenos corpos que passam próximos aos
planetas e seus satélites e que podem se chocar com eles. Estes choques é que deram origem às
crateras existentes nos planetas, satélites e nos próprios asteróides. Existe na Terra um grande
número de pequenos pedaços de asteróides. São os meteoritos que encontramos nos diversos
museus importantes do mundo. Na Figura 27 vemos uma cratera famosa, existente no Arizona.
Ela tem 1200 metros de diâmetro e foi causada pelo choque de um meteorito, possivelmente
um pequeno asteróide de dezenas de metros de diâmetro, há 50.000 anos.
37
Estes fragmentos de asteróides, apesar de muito pequenos em relação aos planetas e seus
satélites, são uns dos grandes responsáveis por mudanças importantes que ocorrem no nosso
aparentemente imutável Sistema Solar. Possivelmente, foi um choque de um asteróide de uns
poucos quilômetros com a Terra que foi responsável pela extinção dos dinossauros o que
mudou o rumo da evolução da vida na Terra.
38
10 – Referências
Física Em Seis Lições (Six Easy Pieces), de Richard P. Feynman, Ediouro Publicações S.A.
([email protected]), 3a edição, 1999.
Trata-se de um livro onde conceitos básicos de física são colocados de forma compreensível e
agradável, acessível mesmo para o leitor com uma formação em física e matemática a nível de
curso secundário.
Fundamentos de Astronomia e Astrofísica, curso multimídia de Kepler de Souza Oliveira
Filho e Maria de Fátima Oliveira Saraiva, 1998.
Pode ser encontrado em forma de CD e no endereço http://astro.if.ufrgs.br e
http://www.if.ufrgs.br/~kepler/fis207. Trata-se de um curso geral de astronomia muito
interessante, bem elaborado e acessível em grande parte a pessoas com pouco conhecimento de
matemática. Algumas partes do curso exigem um maior conhecimento de matemática mas não
comprometem a compreensão do texto como um todo.
Le Destin de l´Univers – Le Big Bang, et Aprés (O Destino do Universo – O Big Bang e
Depois). Découvertes Gallimard. Sciences. Gallimard, 1998.
Livro de divulgação interessante e de apresentação gráfica primorosa. Infelizmente de difícil
acesso para o leitor brasileiro inclusive por causa por estar em francês.
A Evolução da Física, de Albert Einstein e Leopod Infeld. Zhaar Editores, 1962.
Muito interessante e compreensível para o leitor sem formação em matemática e física. Dá uma
visão apaixonante da evolução dos conceitos de física através dos tempos. Infelizmente não foi
reeditado recentemente e é muito difícil de ser encontrado.
A Teoria da Relatividade Especial e Geral, de Albert Einstein, Contraponto, 1999.
Livro acessível ao leitor com formação de nível médio que dá uma excelente idéia da
Relatividade.
Fim de Milênio, de Bertília Leite e Othon Winter, Jorge Zahar Editor, 1999.
Livro interessante e de fácil leitura que fala de calendários, e catástrofes cósmicas.
Alguns endereços da Internet interessantes:
Vários “links” para outros endereços de astronomia podem também ser encontrados nos
endereços citados abaixo.
Biblioteca Virtual de Astronomia: http://www.prossiga.br/astronomia
Aqui se pode encontrar as referências para os principais endereços de Astronomia. É
certamente o endereço de partida para que quiser investigar o que existe de interessante e sério
no assunto.
Observatório Nacional do Rio de Janeiro, http://www.on.br, Observatório do Valongo UFRJ,
http://www.ov.ufrj.br
Apresentam vários textos de divulgação.
Departamento de Astronomia do Instituto de Física da UFRGS, http://astro.if.ufrgs.br
Em “Departamento de Astronomia” encontram-se o curso de Kepler e Maria de Fátima citado
acima além de vários textos interessantes a nível de divulgação de Astronomia.
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Instituto Astronômico e Geofísico da USP, http://www.astro.iag.usp.br.
Em curso Virtual de Astronomia encontra-se o curso de Kepler e Maria de Fátima citado acima.
Sociedade Astronômica Brasileira (SAB) http://www.sab-astro.org.br
Página da SAB onde se encontra a página da Comissão de Ensino da SAB (CESAB) que
contém textos de divulgação e link para a pagina da Olimpíada Brasileira de Astronomia
(OBA) onde aparecem várias respostas a questões feitas nas várias Olimpíadas.
Laboratório Nacional de Astrofísica, http://www.lna.br
É o endereço do principal observatório de observação astronômica do Brasil, onde se encontra
informação sobre os telescópios e detetores existentes e os grandes projetos nos quais a
Comunidade astronômica brasileira está engajada.
Agradecimentos
O autor agradece aos colegas Kepler e Maria de Fátima por terem gentilmente permitido que
usasse figuras do seu curso de astronomia e astrofísica.
Agradece aos colegas da Sociedade Astronômica Brasileira por cederem a figura de fundo do
cartaz da XXV reunião anual em 2000 e pela oportunidade de apresentar a palestra que
motivou a primeira versão deste texto.
Este trabalho surgiu a partir de uma aula dada no Curso para Professores organizado pela
Comissão de Ensino (CESAB) da Sociedade Astronômica Brasileira na sua 25a Reunião Anual
em 2000, em Guaratiba-RJ. Posteriormente foi aperfeiçoado visando uma apresentação de uma
palestra no Museu de Astronomia e Ciências Afins em 2001. Uma versão foi preparada para a
apresentação de 1 aula dada no Curso de Introdução à Astronomia Moderna do Observatório do
Valongo-UFRJ, em 2002 e finalmente esta última versão foi concluída para a apresentação para
o curso para professores da CESAB/SAB na 27a Runião de 2002 em Florianópolis-SC. O autor
agradece aos professores: João Batista Canalle que sugeriu várias correções e melhorias à
primeira versão deste texto, Gilson Vieira pelo convite a apresentar a conferência no MAST,
aos colegas do Grupo de Estudos de Astronomia (GEA) do Valongo, e aos colegas da CESAB
que organizaram o curso de Florianópolis o que motivou a atual revisão.
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EXERCÍCIOS
1- Suponha que se tem um círculo C de raio R de centro O e centrado num ponto O’ deste
círculo, um segundo círculo c de raio r com r<R. Suponha ainda que o ponto O’ se movimente
sobre o círculo C com uma velocidade angular  e um ponto P sobre o círculo c se movimente,
no mesmo sentido, sobre este círculo com velocidade angular . Determine a relação entre  e
 para que um observador em O observe movimento retrógrado em P.
Sugestão:
Existem pelo menos duas formas de resolver o problema. Uma é bastante simples e a outra
exige algumas manipulações de matemática. Daremos o caminho para o processo mais
matemático pois achamos que ele tem o mérito de desenvolver a capacidade do aluno para
análises matemáticas de problemas de movimento. Conhecida a resposta o aluno poderá, sem
muita dificuldade, desenvolver o raciocínio simplificado.
a- Considere a figura abaixo onde estão definidas as várias grandezas citadas no enunciado e as
suas projeções nos eixos dos xx e yy.
y
c
C
P
Py
O’y
O
O’
t
x’
t
O’x
Px
x
OO’=R, O’P=r
O’Ox=t, PO’x’=t
--------------------------OO’x=R cos t
O’xPx=r cos t
OO’y=R sen t
O’yPy=r sen t
__________________
OP=A, POx=(t)
--------------------------OPx=A cos (t)
OPy=A sen (t)
Tem-se então que
OPx = A cos (t) = R cos t + r cos t
OPy = A sen (t) = R sen t + r sen t
Observe que, diferentemente de t e t, o ângulo  varia de forma não uniforme com o tempo
e por isso é representado por (t) .
b- Observando a Figura 5 conclui-se que o movimento é retrógrado quando A tem um tamanho
mínimo.
Mostre, usando propriedades trigonométricas que
A2 = R2 + r2 - 2 R r cos ((-)t).
Portanto A será mínimo quando
(2n  1)
t
para n  0,1,2,3, .

41
c- O ângulo (t) pode ser definido pela sua tangente. Tem-se então
OPy R sen t  r sen t
tan ( t ) 

OPx R cos t  r cos t
d( t )
e a velocidade angular do ângulo (t), ou seja
, pode ser obtida a partir da derivada de
dt
tan (t) em relação a t.
d( t )
e verifique na Figura 5 que
dt
esta velocidade deve ser negativa para que o movimento seja retrógrado. Logo, para que haja
movimento retrógrado deve-se ter que a derivada de tan (t) em relação a t deve ser negativa.
Portanto derivando a expressão do item c para tan (t) em relação a t e simplificando, tem-se
uma expressão bem simples entre  e  e envolvendo R e r que fornece a condição para que o
movimento seja retrógrado.
d- Mostre que o sinal da derivada de tan (t) é o mesmo de
e- Agora que você conhece a resposta, tente ver como você poderia fazer um raciocínio
bastante simples para chegar a mesma conclusão. Para tanto basta apenas fazer uso da idéia de
velocidade tangencial.
2- O movimento retrógrado no sistema heliocêntrico, é facilmente explicado pela figura abaixo.
a- Obtenha uma relação que dê a posição do planeta superior no céu, ou seja, o ângulo entre a
reta que liga o planeta à Terra e a Terra ao Sol, em função do ângulo que fazem os dois planetas
quando vistos do Sol.
Sugestão: Use a relação do coseno do triângulo (duas vezes) para o triângulo formado pelo Sol
a Terra e o planeta e calcule o coseno do ângulo desejado. Observe que são conhecidos: a
distância da Terra ao Sol. do planeta ao Sol e o ângulo entre os dois planetas.
42
b- Observe que o ângulo Terra-Sol-planeta pode ser conhecido como função do tempo se
conhecemos os períodos orbitais da Terra e do planeta e o instante (t0) em que os três estão
alinhados (direção Sol-C-C’ na figura). Escreva pois a relação obtida acima em função do
tempo.
c- Você seria capaz de achar os instantes em que a direção, do deslocamento aparente do
planeta no céu, muda?
3- Observe que na órbita a força horizontal com que o satélite é lançado na verdade varia. De
fato, se ela permanecesse constante, o satélite se afastaria constantemente da Terra. Por que esta
força varia?