O que é um problema - Sandra de Amo

Análise de Algoritmos
Informações Gerais da Disciplina
AULA 1
Profa. Sandra de Amo
Disciplina: Análise de Algoritmos
Pós-graduação em CC - UFU
Apresentação Geral do Curso
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Página web
Bibliografia
Material de Suporte
Conteúdo
Avaliação
Aula 1: Qual o objetivo desta disciplina ?
TODAS AS INFORMAÇÕES:
www.deamo.prof.ufu.br/CursoAA-POSGRAD-2015-1.html
Bibliografia Básica
1.
S. Dasgupta, C. H. Papadimitriou, and U. V. Vazirani. Algorithms. McGraw-Hill
Science/Engineering/Math; 1 edition (September 13, 2006). PDF Disponível
online
2.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein.
Introduction to Algorithms, MIT Press, 3ª Edição, 2009.
(Edição em portugues : “Algoritmos-Teoria e Prática”, Editora Campus 2003)
PDF disponível online.
3.
Donald E. Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 4A:
Combinatorial Algorithms,Part 1. (Series in Computer Science & Information
Processing) Addison-Wesley Professional, 2011.
4.
Vijay V. Vazirani. Approximation Algorithms. Addison-Wesley 2001
Bibliografia Complementar
1.
David Harel and Yishai Feldman. Algorithmics: The Spirit of
Computing, 3a Edição, Addison Wesley, 2004.
2. Steven S. Skiena: The Algorithm Design Manual. Springer,
2a Edição., 2008.
3. Bernhard Korte, Jens Vygen. Combinatorial Optimization:
Theory and Algorithms (Algorithms
and Combinatorics), 4a Edição, 2010.
Material de Suporte
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Livro Texto
Slides
Artigos
Conteúdo do Curso
Parte I : Conceitos Básicos

Problemas e Algoritmos

Notação Assintótica

Complexidade de Algoritmos - Complexidade de Problemas

Projeto e Análise de um Algoritmo

Algoritmos Recursivos

Algoritmo Randômicos (Probabilísticos) - uma introdução

Algoritmos para as Operações Aritméticas
Parte II: Algoritmos de Ordenação:
 Tempo não linear: ocupação otimal de espaço
 Tempo linear : ocupação não otimal de espaço
Conteúdo do Curso (cont.)
Parte IV: Algoritmos de Grafos




Algoritmos elementares de busca em largura e em profundidade
Caminhos mais curtos - Algoritmo de Dijkstra
Técnica Gulosa para projeto de algoritmos
Árvores Espalhadas - Algoritmos de Kruskal e Prim
Parte V: Técnicas Avançadas de Projeto e Análise



Programação Dinâmica (PD)
Recursão versus PD
Memoization
Parte VI : Tópicos Avançados



Problemas NP-completos
Algoritmos Aproximativos
Algoritmos Probabilisticos
Critério de Avaliação

Prova 1 : 15 de Abril
25 pontos

Prova 2:
13 de Maio
25 pontos

Prova 3:
17 de Julho
25 pontos
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Seminários : A partir do dia 23 de Junho
17 pontos

Exercicios :
8 pontos
Sobre o que é esta disciplina ?
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Problemas e Algoritmos.
Algoritmo = solução de um problema
Antes de projetar um algoritmo para um problema:
 Analisar se o problema em questão tem solução
 Determinar a classe de complexidade do problema
Projetar um algoritmo
Analisar o algoritmo projetado
Propor outras soluções mais eficientes
Implementar a solução mais eficiente
= disciplina “Teoria da Computação”
Panorama Geral
Problema P
Projetar soluções
mais eficientes
Implementar a
solução mais
eficiente
= disciplina “Análise de Algoritmos”
= disciplinas de programação
Analisar se P tem
solução
(algorítmica)
Analisar
complexidade
de A
Sim
Determinar a
dificuldade inerente do
problema P
(classe de complexidade
de P)
Projetar um
Algoritmo A para
resolver P
(A compativel
com a classe de
complexidade
de P)
“Problemas” e “Algoritmos”


O que é um problema ?
Iϵ
 Função P: Input  Output
 Instância do Problema = I ϵ Input
Tipos de Problemas



Input
P(I)
P
Decisão, Otimização, ...

Decisão: Output = Sim ou Não,

Otimização: existe uma função objetivo a otimizar (minimizar ou
maximizar).
Output = valor que otimiza a função objetivo.
Solúveis e Insolúveis ...
Tratáveis e Intratáveis ...
Exemplos de Problemas

Busca de um elemento x em uma lista L ordenada
Busca: (Listas X elementos)  {Sim, Não}
Busca(L,x) = Sim se x está em L; Não, caso contrário.
Exemplo de instância do problema: L = [1, 3, 5, 10, 17], x = 12

Problema dos Primos
Primos: N  {Sim, Não}
Exemplo de instância = 5
Primos(n) = Sim, se n é primo; Não, caso contrário
Exemplos de Problemas

Problema do Circuito Hamiltoniano
Hamilton: Grafos Dirigidos  {Sim, Não}
Instância = grafo dirigido G
Hamilton(G) = Sim, se G possui um caminho passando por todos os vértices
uma única vez;
= Não, caso contrário

Problema da parada em um número determinado de passos
Parada : (Programas, Inputs)  {Sim, Não}
Instância: (P,w) onde P = código de um programa , w =
input de P
Parada (P,w) = sim se P executado em w pára após 2^n
passos, onde n = comprimento de w
Parada (P,w) = não, em caso contrário.
Problema de Correspondência de Post
(PCP)
Post: Dominós  {Sim,Não}
Instância= um conjunto de tipos de peças
de dominós
Post(D) = Sim, se existe um pareamento de
peças de tipos em D
= Não, caso contrário.
O problema PCP
Input = um conjunto finito de tipos de peças de dominós
g
abc
bcd
bcd
fg
eg
b
ef
1
2
3
…
4
ef
cde
n
Pergunta : É possivel encontrar um pareamento, isto é,
uma sequência de peças de tipos dados no input, tal que o string formado
na parte de cima e idêntico ao string formado na parte de baixo ?
bcdefg
bcdefg
Sequência : 3 n 1
Exemplos
b
a
ca
abc
ca
ab
a
c
1
2
3
4
abcaaabc
abcaaabc
Sequência de peças= 2 1 3 2 4
Exemplo
Input
abc
ca
acc
ab
a
ba
1
2
3
Resposta ??
Não
Justificativa : a parte de cima das peças é sempre
maior que a parte de baixo !
Formalização do Problema
Input genérico do Problema PCP
C={
t1
b1
,
t2
b2
,
t3
b3
, …
,
tn
bn
}
t1, t2, …, tn são strings sobre um alfabeto S
b1, b2, …, bn são strings sobre um alfabeto S
Um pareamento (match) = uma sequência <i1, i2, …, ik> de números em {1,…,n}
tal que
ti1 ti2 … tik = bi1 bi2 … bik
= string do pareamento
Pergunta : Existe um pareamento para o input C ?
Hierarquia dos problemas dos exemplos
(ordenados dos mais fáceis para mais difíceis)
Problema
Solúvel ?
Complexidade
do problema ?
Busca
Sim
Polinomial
Primos
Sim
Até 2003: Sabia-se que
não era NP-completo
Em 2003: Polinomial
Parada
Sim
Exponencial
Hamilton
Sim
NP-completo
Post
Não
“Problemas” e “Algoritmos”

Solução de um Problema

Conjunto finito de instruções cuja execução sobre o input termina
depois de um tempo finito, produzindo no final o output.
Algoritmo que resolve o problema



Solução de um problema = algoritmo
Algoritmo : conjunto finito de instruções que transformam uma entrada
em uma saída depois de um tempo finito.
Todo Algoritmo está associado a um Problema
Perguntas
Função injetora ??
Conjunto dos Algoritmos
Conjunto dos Problemas
???
Não é função injetora: podem existir diferentes algoritmos para resolver um
mesmo problema
Não é função sobrejetora: Existem problemas que não têm solução
= disciplina “Teoria da Computação”
Panorama Geral
Problema P
Projetar soluções
mais eficientes
Implementar a
solução mais
eficiente
= disciplina “Análise de Algoritmos”
= disciplinas de programação
Analisar se P tem
solução
(algoritmica)
Analisar
complexidade
de A
Sim
Determinar a
dificuldade inerente do
problema P
(classe de complexidade
de P)
Projetar um
Algoritmo A para
resolver P
(A compativel
com a classe de
complexidade
de P)
Solução quando existe, não é única
Problema da Ordenação
Ordena : SeqNat  SeqNat
Ordena(<a1,...,an>) = <b1,...,bn>
Onde: <b1,...,bn> é uma permutação de <a1,...,an>
b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn
Algoritmos que o resolvem:
Insertion-Sort
Selection-Sort
Bubble-Sort
Eficiência em
Heap-Sort
Tempo cresce
Merge-Sort
Quick-Sort
Radix-Sort
Bucket-Sort
Insertion-Sort
Selection-Sort
Bubble-Sort
Heap-Sort
Merge-Sort
Quick-Sort
Radix-Sort
Bucket-Sort
Eficiência em
Espaço cresce
O que é um bom algoritmo ?

Correto ?


Eficiente em tempo ?


Para cada input I, o resultado produzido pelo algoritmo
A(I) é exatamente o que se espera (A(I) = P(I))
O número de passos executado pelo algoritmo para
produzir o resultado A(I) é uma função polinomial do
tamanho do input I
Eficiente em espaço ?

O número de células de memória utilizadas pelo algoritmo
para produzir o resultado A(I) é uma função polinomial do
tamanho do input I
O que é um bom algoritmo ?
Correto
Eficiente em
tempo
Critérios são “ortogonais” !
Eficiente em
espaço
Soluções Aproximadas às vezes são
mais interessantes do que as exatas ...
Problema do Vertex Cover (problema de otimização)
Achar o menor subconjunto de vértices S tal que
cada aresta tem pelo menos uma de suas extremidades
no conjunto S ?
Problema de Minimização de recursos
• Encontrar a solução ótima é difícil
• Problema NP-hard
• Encontrar solução aproximada é factível
Existem algoritmos que encontram soluções aproximadas em tempo polinomial
Para cada input G, o algoritmo dá uma solução com custo C(G) tal que:
C(G) ≥ α Opt(G)
Soluções Aproximadas nem sempre são
facilmente encontráveis
d3
Problema do Caixeiro Viajante (problema de otimização) d1
Achar o circuito hamiltoniano mais curto (passando por todas
as cidades uma única vez) ?
Problema de Minimização de recursos
• Encontrar a solução ótima é difícil
• Problema NP-hard
• Encontrar solução aproximada não é factível !
d2
d4
d6
d5