x - engenhariand

Matemática I
Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.
Conteúdo da Seção

Polinômios

Monômios

Fatoração

Operações com Polinômios

Módulo

Equações e Raízes

2
1º e 2º grau, Irracionais e Modulares

Sistemas de Equações Lineares

Inequações e Inequações Modulares
Definições

Termo Algébrico é o produto de um número
(chamado coeficiente) por potências racionais de
variáveis.
4xy e
3
xy
1
Definições

Monômio é um termo algébrico em que o
coeficiente é real e os expoentes são naturais.
4 xy ,

4
x2
3
O grau de um monômio é a soma dos
expoentes de suas variáveis.
Definições

Polinômio é uma soma de monômios.
4 xy  2 x 2



5
e x3  2 x 2  7
O grau de um polinômio é o mais alto grau
dentre os seus monômios.
Se um polinômio possui apenas uma variável x,
ele é, em geral, representado por P(x).
Se um polinômio possui duas variáveis x e y, ele é,
em geral, representado por P(x,y).
Definições

O valor numérico de um polinômio é o número
obtido quando atribuímos valores às variáveis.
P( x)  x3  2 x 2  7  P(10)  (10)3  2(10) 2  7  807
P( x, y)  4 xy  2 x 2  P(1, 2)  4 1 2  2(1) 2  10
6
Fatoração

Fatorar um polinômio significa transformá-lo
num produto de polinômios de graus menores
que o do original.
2 x 4  6 x3  10 x 2  2 x 2 x 2  6 x 2 x  10 x 2  x 2  2 x 2  6 x  10 
7
Adição e Subtração
de Polinômios

As operações de adição e subtração são
efetuadas
entre
os
termos
semelhantes,
somando-se ou subtraindo-se as constantes
destes termos.
P( x, y)  xy  x  2 y e Q( x, y )  2 xy  y
2
P( x, y)  Q( x, y)  3xy  y  x  2 y
2
8
2
2
Multiplicação de Polinômios

Na operação de multiplicação, usamos a
propriedade distributiva e depois agrupamos os
termos semelhantes.
P( x, y )  xy  x 2  2 y e Q( x, y )  2 xy  y 2
P( x, y )  Q( x, y )   xy  x 2  2 y    2 xy  y 2 
 2 x 2 y 2  2 x3 y  2 xy 2  xy 3  x 2 y 2  3 y 3 
 3x 2 y 2  2 x3 y  2 xy 2  xy 3  3 y 3
9
Divisão de Polinômios

Somente se efetua a divisão entre dois polinômios quando
o grau do dividendo for maior ou igual ao grau do divisor.

Exemplo: Dividir
10 x  3 x  3 x  10 por 2 x  3 x  5
3
10
2
2
Divisão entre Polinômios
10 x3  3x 2
 3x
 10
10 x  15 x  25 x
2
12 x  22 x 10
12 x 2  18 x
 30
4 x
 20
3
2
2 x 2  3x  5
5x 6
Quociente: 5 x  6
Resto:
11
 4 x  20
Divisão entre Polinômios

Então, a seguinte igualdade pode ser escrita:
10 x3  3x 2  3x  10
4 x  20
 5x  6  2
2
2 x  3x  5
2 x  3x  5
12
Divisão entre Polinômios

Já que:


2
5
x

6
2
x
 3 x  5  4 x  20


4 x  20
5x  6  2

2 x  3x  5
2 x 2  3x  5
10 x3  15 x 2  25 x  12 x 2  18 x  30  4 x  20

2 x 2  3x  5
10 x3  3x 2  3x  10

2
2 x  3x  5
13
Divisão entre Polinômios
Exercício

Dividir
3 x  2 x  4 por x  3
2
3x  2 x  4
3 x 2  9 x
7x 4
2
x 3
3x 7
7 x  21
25
Quociente: 3 x  7
Resto:
14
 25
Identidades e Equações

Uma identidade é uma igualdade que se verifica
para quaisquer valores atribuídos às variáveis.
 x  2

2
 x  4x  4
2
Uma equação é uma igualdade que se verifica
para alguns valores atribuídos às variáveis.
x24
só é válida para x  2.
15
Raiz de uma Equação


Um número é a raiz de uma equação, se torna a
igualdade verdadeira.
Exemplo:
1 e 2 são raízes de x 2  x  2
já que
 1   1  1  1  2
2
 2   2  4  2  2
2
16
Grau de uma Equação

O grau de uma equação é dado pelo termo de
maior grau da mesma.
x 2  4 x  4  0  2º grau
4
x  4 x   0  6º grau
x
5
17
6
Princípios Gerais para
Resolução de Equações
18
1)
Numa equação, podemos transpor um termo (isto é,
mudá-lo de lado da equação), desde que o
multipliquemos por -1.
2)
Uma equação não se altera quando multiplicamos ambos
os membros (todos os termos da equação de ambos os
lados) por uma constante diferente de zero.
Equação
do Primeiro Grau


19
Toda equação que pode ser escrita na forma ax  b  0
,
em que a, b  R, a0 e x é uma variável, é denominada uma
equação do primeiro grau.
O valor
b
x
a
do primeiro grau.
é chamado de raiz da equação
Equação do Primeiro Grau
Exercícios

1)
2)
3)
20
Ache as raízes das seguintes equações:
3
x 8  4
2
2x 1
x
7 
3
2
x
5 x 3x  7
2

3
12
4
Equação do Primeiro Grau
Soluções
1)
Equação
Transpondo
Simplificando
Multiplicando por
Resposta
21
2
3
3
x 8  4
2
3
x  48
2
3
x  12
2
2
x  12 
3
x 8
Equações do Primeiro Grau
Soluções
2)
2x 1
x
7 
3
2
 2x 1 
 x
6
  6 7  6  
 3 
2
2  2 x  1  42  3 x
4 x  2  42  3 x
4 x  3 x  40
x  40
22
Equações do Primeiro Grau
Soluções
3)
x
5 x 3x  7
2

3
12
4
x
 5x 
 3x  7 
12    12  2   12    12 

3
 12 
 4 
4 x  24  5 x  9 x  21
9 x  9 x  21  24
0  45 impossível. A equação não tem solução.
23
Equação do Segundo Grau

Toda equação que pode ser escrita na forma
ax 2  bx  c  0

onde a, b e c  .
Suas raízes x1 e x2 são dadas pelas expressões:

b 
Fórmula de Bháskara
 x1 

b  b 2  4ac

x

2a

 x  b 
2


24
b 2  4ac
2a
b 2  4ac
2a
Equação do Segundo Grau

O número de raízes para cada equação do segundo
grau varia de acordo com delta (D):
D  0, a equação possui 2 raízes reais e distintas

Se D  b 2  4ac D  0, a equação possui 2 raízes reais iguais
D  0, a equação não possui raízes reais

25
Equação do Segundo Grau
Exercícios

a)
b)
c)
Encontre as raízes das equações abaixo:
x  2x 1  0
2
 x 2  4 x  60  0
2x2  2 x  3  0
d)
x2  2x  1  0
26
Equação do Segundo Grau
Soluções

Encontre as raízes das equações abaixo:
a) x 2  2 x  1  0  x  1 e
1
b)
x2  1
 x 2  4 x  60  0  x1  10 ; x2  6
c)
2 x 2  2 x  3  0  sem raízes reais
d)
x 2  2 x  1  0  x1  1 e x2  1
27
Equação do Segundo Grau
Fatoração

Seja a equação
onde a, b e c 

ax 2  bx  c  0
, com a  0.
A fatoração dessa equação é dada por:
ax 2  bx  c  a (x  x1 )(x  x2 )
onde x1 e x2 são as raízes da equação.
28
Equação do Segundo Grau
Fatoração - Exercício

Fatore a equação:x 2  x  6  0

As raízes dessa equação são x1 = 3 e x2 = –2, assim a
forma fatorada é:
( x  3)( x  2)  0
29
Sistema de Duas Equações Lineares

Um sistema de equações é um conjunto de
equações relacionadas em que o conjunto
solução deve satisfazer a todas as equações
isoladamente.

Existem dois métodos básicos para se resolver
um sistema de equações:


30
Substituição
Eliminação
Sistema de Duas Equações Lineares
Método de Substituição

Este método consiste em obter o valor de uma
variável em uma das equações e substituir este
valor na outra.
8 x  3 y  14

 5x  2 y  8
5
5x  2 y  8  y  4  x
2
5 
15

8 x  3  4  x   14  8 x  12  x  14
2 
2

1
x  2  x  4  y  6
2
31
Sistema de Duas Equações Lineares
Método de Eliminação

Este método consiste em planejar a eliminação
de uma variável por meio da soma de duas ou
mais equações.
8 x  3 y  14  16 x  6 y  28


 5x  2 y  8
15 x  6 y  24
somando ambas equações
x  4  y  6
32
 (2)
 (3)
Equações Irracionais
33

Uma equação é dita irracional quando a incógnita
aparece embaixo de uma raiz.

Para se resolver esse tipo de equação, devemos
elevar ambos os termos a uma potência
conveniente.

Sempre que elevamos uma equação a um
expoente devemos verificar os resultados, porque
raízes estranhas ao resultado original podem
aparecer.
Equações Irracionais
Exemplo
Resolva a equação 5 x  1  x  7
Solução:


5x  1

2
  x  7
2
5 x  1  x 2  14 x  49
x 2  19 x  48  0
19  13

x

 16
b  b 2  4ac 19  361  192  1
2
x


2a
2
 x  19  13  3
 2
2
se x  16  5 x  1  x  7  5  9   1  16  7  9  9 ok
se x  3  5 x  1  x  7  5  3  1  3  7  4  4
34
raiz estranha
Inequações


Uma inequação é uma desigualdade que se
verifica para alguns valores atribuídos às
variáveis.
Intuitivamente uma inequação é uma equação
em que o sinal de igualdade é substituído por um
dos seguintes operadores matemáticos:
>
<
≥
≤
35
-
Maior que
Menor que
Maior ou igual que
Menor ou igual que
x  2  4 só é válida para x  2.
x  2  4 só é válida para x  2.
x  2  4 só é válida para x  2.
x  2  4 só é válida para x  2.
Inequação
do Primeiro Grau

Toda inequação que
seguintes formas
pode ser escrita numa das
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0
ax  b  0
em que a, b  , a0 e x é uma variável, é
denominada uma inequação do primeiro grau.
36
Princípios Gerais para
Resolução de Inequações
1)
2)
3)
4)
37
Passando elemento de um lado para o outro...

O termo que troca de lado muda de sinal.

O sentido da desigualdade é mantido.
Multiplicando por um número positivo ambos os lados...

O sentido da desigualdade é mantido.
Multiplicando por um número negativo ambos os lados...

O sentido da desigualdade é invertido.
Invertendo...

Se os dois lados da desigualdade são positivos, inverter
os dois lados também inverte o sentido da
desigualdade.
Inequação do Primeiro Grau
Exercícios

1)
2)
3)
38
Ache as raízes das seguintes equações:
3
x 8  4
2
2x 1
x
7 
3
2
x
5 x 3x  7
2

3
12
4
Inequação do Primeiro Grau
Soluções
1)
Inequação
Transpondo
Simplificando
Multiplicando por
Resposta
39
2
3
3
x 8  4
2
3
x  48
2
3
x  12
2
2
x  12 
3
x 8
Inequações do Primeiro Grau
Soluções
2)
2x 1
x
7 
3
2
 2x 1 
 x
6
  6 7  6  
 3 
2
2  2 x  1  42  3 x
4 x  2  42  3 x
4 x  3 x  40
x  40
40
Inequações do Primeiro Grau
Soluções
3)
x
5 x 3x  7
2

3
12
4
x
 5x 
 3x  7 
12    12  2   12    12 

3
 12 
 4 
4 x  24  5 x  9 x  21
9 x  9 x  21  24
0  45 A inequação é válida para x  .
41
Números
Valor Absoluto ou Módulo

O Valor Absoluto ou módulo de um número real, denotado
por
é definido
por
.
a
a
a 
a
é sempre nulo ou positivo, isto é, não negativo.

a
42
se a  0
se a  0
Números
Módulo Teoremas

x  a se e somente se  a  x  a, onde a  0
Ex.:

x  a se e somente se  a  x  a, onde a  0
Ex.:
43
x  6 se e somente se  6  x  6
x  4 se e somente se  4  x  4
Números
Módulo Teoremas

x  a se e somente se x  a ou x  a , onde a  0
Ex.:

x  a se e somente se x  a ou x  a, onde a  0
Ex.:
44
x  2 se e somente se x  2 ou x  2
x  1 se e somente se x  1 ou x  1
Números
Módulo Teoremas

a b  a  b
Ex.: 3  5  15  15
3  5  3  5  15

a
a
 , com b  0
b
b
2 2
Ex.:

5 5
45
2
2
e

5 5
Números
Módulo Teoremas

ab  a  b
Ex.: 4  1  3  3
4  1  4  1  5
Daí, 3  5
46
Equações Modulares
Resolva x  2  10  2x
Solução

x  2  10  2 x
a ) hipótese x  2  0  x  2  x  2  x  2
x  2  10  2 x  3 x  12  x  4 ok
b) hipótese x  2  0  x  2  x  2    x  2 
  x  2   10  2 x  x  8 em desacordo com a hipótese,
logo não é uma resposta para a equação
47
Inequações Modulares

Resolva

Pelo Teorema
5x  9  4
5 x  9  4 ou 5 x  9  4
5 x  9  4  5 x  5  x  1
13
5 x  9  4  5 x  13  x  
5
Solução:   ,  135    1 , 
48
LCL Freios Automotivos Ltda.

49
A LCL Freios Automotivos Ltda., importante
fornecedora de freios automotivos nacionais, tem,
como matéria-prima de um de seu produtos,
pequenos discos de aço. O departamento de
produção informou ao departamento de compras
que o diâmetro dos discos necessários à produção
é de 30mm, com uma variação de 5mm para cima
ou para baixo desse valor. Descreva a desigualdade
modular que expressa o pedido feito pelo
departamento de produção.
LCL Freios Automotivos Ltda.
Solução


Uma variação de 5mm é aceitável em torno do
valor correto de 30mm.
Logo o módulo da diferença entre o diâmetro (d)
do disco recebido e o desejado (30mm) deve ser
no máximo 5mm.
d  30  0  d  30  5
d  30  5 
d  30  0  5  d  30
50
Caso LCL Discos Ltda.

51
A comissão de vendas mensal de cada vendedor das
lojas da LCL Discos é de 4% sobre as vendas do mês.
Existe um piso salarial mínimo, garantido por acordo
sindical, de R$400,00. Um levantamento feito na
contabilidade da empresa mostrou que nunca foi pago,
em único mês, mais de R$1.200,00 para um vendedor.
Sabendo-se que um vendedor que não tiver um salário
mensal acima do piso é sumariamente despedido,
descreva matematicamente quanto deve ser o volume
de vendas de cada vendedor que trabalha na empresa.
Caso LCL Discos Ltda.
Solução


O salário do vendedor é de 3% sobre as vendas se
este valor for superior a R$400,00.
Logo
400  4%.Vendas Mínimas
400  0, 04.Vendas Mínimas
400
Vendas Mínimas 
 10000
0, 04
52
Caso LCL Discos Ltda.
Solução


O maior salário já pago a um vendedor foi de
R$1.200,00.
Logo
1200  4%.Vendas Máximas
1200  0, 04.Vendas Máximas
Vendas Máximas 
53
1200
 30000
0, 04
Caso LCL Discos Ltda.
Solução

Logo, as vendas mensais de um empregado da
empresa podem ser matematicamente expressas
por:
10000  Vendas Mensais  30000
54
Exercícios Propostos

CD-ROM do Livro-texto 1 – Matemática I

55
Capítulo 3 – Polinômios, Equações, Inequações
 Exercícios
 Exercícios Conceituais