posicao-de-rectas-e

Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
1. Rectas Paralelas
r  x, y, z    x0 , y0 , zo     v1 , v2 , v3  ,  
s  x, y, z    x1 , y1 , z1   k u1, u2 , u3  , k 
v  v1 , v2 , v3 
r
s
u  u1 , u2 , u3 
Se as rectas são paralelas
os vectores directores são
colineares
v  ku
ou seja:
v1 v2 v3


u1 u2 u3
Exemplo 1
r  x, y, z    1,0, 2   3, 2, 1 ,  
s  x, y, z   1,0,0  k  6, 4, 2 , k 
• São paralelas porque os vectores
v  3, 2, 1 e u  6, 4, 2 
são colineares
3
2 1
u  2v 


6 4 2
Exemplo 2
r  x, y, z    1,0, 2   3, 2, 1 ,  
x3 y  2 z 3
s 


6
4
2
• São paralelas porque os vectores
v  3, 2, 1 e u  6, 4, 2 
são colineares
3
2 1
u  2v 


6 4 2
Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
2. Rectas Perpendiculares
r  x, y, z    x0 , y0 , zo     v1 , v2 , v3  ,  
s  x, y, z    x1 , y1 , z1   k u1, u2 , u3  , k 
v  v1 , v2 , v3 
Se as rectas são perpendiculares
os vectores directores são
perpendiculares
u  u1 , u2 , u3 
v u  0
ou seja:
r
s
v1u1  v2u2  v3u3  0
Exemplo 1
r  x, y, z    1,0, 2   3, 2, 1 ,  
s  x, y, z   1,0,0  k 1,0,3 , k 
• São perpendiculares porque os vectores
v  3, 2, 1 e u 1,0,3
são perpendiculares
u  v  0  31  2  0   1  3  0
Exemplo 2
r  x, y, z    1,0, 2   3, 2, 1 ,  
x 3 z 3


s  2
6

 y  3
• São perpendiculares porque os vectores
v  3, 2, 1 e u  2,0, 6 
são perpendiculares
u  v  0  3 2  2  0   1  6  0
Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
1. Planos Paralelos
  ax  by  cz  d  0
  ax  by  cz  d   0

v (a, b, c)
Se os planos são paralelos
os vectores perpendiculares
aos planos são colineares



u (a, b, c)
v  ku
ou seja:
a b c
 
a  b c 
Exemplo
  x  3y  2z  7  0
  2 x  6 y  4 z  5  0
• São paralelos porque os vectores
v 1, 3, 2 e u  2,6, 4
são colineares
1 3 2
u  2v 


2 6 4
Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
2. Planos Perpendiculares
  ax  by  cz  d  0
  ax  by  cz  d   0

u (a, b, c)
Se os planos são perpendiculares
os vectores perpendiculares aos
planos são perpendiculares entre si

v (a, b, c)
v.u  0


ou seja:
aa  bb  cc  0
Exemplo
  x  3y  2z  7  0
  2 x  2 y  z  5  0
• Os planos são perpendiculares porque os vectores
v 1, 3, 2 e u  2, 2, 1
são perpendiculares
u  v  0  2   2   3   2  2   1  0 
u  v  0  4  6  2  0
Perpendicularidade de Rectas e Planos
  ax  by  cz  d  0
x  x1 y  y1 z  z1
r 


v1
v2
v3
v (v1 , v2 , v3 )
Se a recta é perpendicular ao
plano, é paralela ao vector
perpendicular ao plano
u (a, b, c)
v // u ou v  ku
ou seja:

r
v1 v2 v3
 
a b c
Exemplo
  x  3y  2z  7  0
r   x, y, z    1,0, 2    2, 6, 4 ,  
• A recta é perpendicular ao plano porque os vectores
v 1, 3, 2 e u  2, 6, 4 
são colineares (ou paralelos)
1 3 2
u  2v  

2 6 4
Paralelismo de Rectas e Planos
  ax  by  cz  d  0
x  x1 y  y1 z  z1
r 


v1
v2
v3
Se a recta é paralela ao plano,
é perpendicular ao vector
perpendicular ao plano
v (v1 , v2 , v3 )
u (a, b, c)
v  u ou v  u  0
ou seja:

Escola Secundária Alberto Sampaio
Jorge Manuel Carneiro de Freitas
Março 2006
aa  bb  cc  0
Exemplo
  x  3y  2z  7  0
r  x, y, z    1,0, 2    2, 2, 2 ,  
• A recta é paralela ao plano porque os vectores
v 1, 3, 2 e u  2, 2, 2 
são perpendiculares
u  v  0  1 2   3  2  2  2  0 
u v  0 2  6  4  0
Intersecção de planos
Posição relativa de 3 planos
  ax  by  cz  d  0
  ax  by  cz  d   0
  ax  by  cz  d   0
w (a , b , c )


v (a, b, c)

u (a, b, c)

A intersecção de três planos obtém-se
resolvendo o sistema:
ax  by  cz  d  0

ax  by  cz  d   0
ax  by  cz  d   0

  
v, u e w
não são colineares
Sistema possível
e determinado.

w ( a  , b , c  )

A
A solução é
(x0,y0,z0)
(coordenadas
do ponto A)

v (a, b, c)

u (a, b, c)


Os 3 planos intersectam-se
num ponto. O sistema
é possível e determinado.
A solução é
(x0,y0,z0)
(coordenadas
do ponto A)

w ( a  , b , c  )

A

v (a, b, c)


u (a, b, c)

  
v, u e w
não são colineares
Exemplo
x  2 y  z  6  0

3x  y  z  4
x  3 y  2z  1

• Os três planos intersectam-se num ponto.
• O sistema tem solução
x  1

 y  2
z  3

Resolver o sistema:
• na calculadora
• método da substituição
• método da redução
  
v, u e w
não são colineares
Os três planos
intersectam-se segundo
r
uma recta.
O sistema


é possível e
u (a, b, c)

indeterminado.
v (a, b, c)

w (a , b , c )
As soluções são
todos os pontos da recta r


Exemplo
 x  2 y  3 z  6

2 x  y  z  3
 x  y  2 z  3

• Os três planos intersectam-se numa recta.
• O sistema é indeterminado
z  x
x0 y3 z 0
 x  y3 z 



1
1
1
z  y  3
Dois dos planos são
coincidentes.
O sistema
é possível e
indeterminado.

w ( a  , b , c  )
 
u // w

r
As soluções
são as coordenadas
v ( a , b, c )
de cada um dos
pontos da recta r


u (a, b, c)

Exemplo
 x  2 y  3z  6

2 x  4 y  6 z  12
 x  y  2 z  3

• Dois dos planos são coincidentes
• Os três planos intersectam-se numa recta.
• O sistema é indeterminado
z  x
x0 y3 z 0
 x  y3 z 



1
1
1
z  y  3
  
v // u // w
Os 3 planos são
coincidentes
O sistema é
indeterminado
Qualquer ponto destes
planos é solução 
v (a, b, c)
do sistema.


u (a, b, c)


w ( a  , b , c  )

Exemplo
 x  2 y  3z  6

2 x  4 y  6 z  12
 x  2 y  3z  6

• Os três planos são coincidentes
• Qualquer ponto de um dos planos pertence também
aos outros planos
• O sistema é indeterminado
  
v // u // w  u , v e w são colineares
Os 3 planos são
estritamente
paralelos

w ( a  , b , c  )

Os planos
não se intersectam
O sistema é
impossível


v (a, b, c)


u (a, b, c)
Exemplo
 x  2 y  3 z  6

 x  2 y  3z  0
 x  2 y  3z  5

• Os três planos estritamente paralelos
• Os três planos nunca se interceptam
• O sistema é impossível
 
v // u
Dois dos planos são

estritamente

w ( a  , b , c  )
paralelos

u (a, b, c)

Os 3 planos
não se
intersectam
O sistema é
impossível

v (a, b, c)

Exemplo
 x  2 y  3 z  6

 x  2 y  3z  0
2 x  y  3z  2

• Dois dos planos são estritamente paralelos
• O terceiro plano intersecta-os segundo rectas
paralelas entre si
 x  y  8
y  x 8


x  y  2
y  x  2
• O sistema é impossível
  
v, u e w
Os 3 planos
intersectam-se
2 a 2 segundo
rectas
estritamente
paralelas
O sistema é
impossível
não são colineares

w ( a  , b , c  )


u (a, b, c)

v (a, b, c)


Exemplo
x  y  z  6

 2 x  y  1
3 x  z  2

• Os três planos não são paralelos
• Os planos interceptam-se dois a dois segundo
rectas paralelas
3 y  2 z  11

3 y  2 z  16
3 y  2 z  7

• O sistema é impossível
F i m