Questões teóricas

Transferência de Calor
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2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
1ª AULA TEÓRICA
18 de Setembro de 2006
Apresentação
Justificação do Programa
Mecanismos e Modos de Transferência de Calor
Noção de Resistência Térmica
Conhece-se da Termodinâmica o principio da conservação de energia. A energia não se consome,
apenas se converte. A conversão dá-se no sentido da degradação da qualidade energética, ou seja,
no sentido do crescimento da entropia. No caso da energia-calor, o balanço da
conversão/transferência é positivo no sentido das temperaturas decrescentes. O segundo princípio,
põe restrições ao processo da conversão energética no caso particular da conversão de energia-calor
em energia mecânica.
A Termodinâmica quantifica a energia-calor envolvida num sistema que evolui entre dois estados
de equilíbrio. Não permite saber quanto tempo o processo demora.
Em engenharia é necessário saber esse tempo, ou seja, qual a taxa de transferência de calor. A
Transferência de Calor é uma disciplina que aborda esse problema, tratando ainda de identificar
os processos físicos responsáveis pelo transporte de energia-calor. Estuda também processos de
“controlar” o transporte de energia-calor, intensificando-o ou atenuando-o conforme os objectivos
de cada problema específíco de engenharia.
Sendo a energia um recurso natural com forte impacto económico e ambiental, e estando a
utilização da energia-calor sujeita às restrições da 2ª Lei da Termodinâmica, a importância da
Transferência de Calor advém do contributo que pode dar para a racionalidade dos usos
energéticos, nas várias fases da conversão e utilização da energia-calor presentes na maioria das
actividades industriais e do quotidiano das sociedades.
Os mecanismos de Transferência de Calor são os processos básicos de transporte da energia-calor:
a) a condução é o mecanismo cujo suporte é de natureza molecular e,
b) a radiação é o mecanismo de natureza electromagnética que encontra as melhores
condições na ausência de meios físicos (vazio).
O mecanismo da condução pode, por sua vez, dividir-se em dois modos. O modo da condução, a
que está associada a propriedade condutibilidade térmica, corresponde ao transporte molecular.
Esse efeito pode pode ser significativamente ampliado quando o meio físico em que ocorre se
encontra em movimento. Tem-se então, o modo da convecção, típico dos escoamentos.
Perante a situação de "controlo" da Transferência de Calor importa poder quantificar o efeito de
resistência que o meio oferece à transferência: a resistência térmica. No caso extremo dos
isolamentos térmicos o objectivo é contrariar a transferência de calor. No outro extremo, diversos
casos há em que o objectivo é intensificar a transferência de calor. As diversas possibilidades serão
genericamente tratadas ao longo deste curso.
As resistências térmicas, análogas às resistencias eléctricas, podem adicionar-se se em série, ou
associar-se se em paralelo.
Transferência de Calor
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2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
Noção de Resistência Térmica
Condução
Convecção
fluido em movimento
T1
Tsup
T2
R
T

Q
R

Q
x
  q  A
Q
(1.1)
    A  T
Q
x
(1.2)
    A  T
Q
T
x


Q
A
(1.4)
R
R
Unidades:
T
1


Q
A
(1.3)
(1.5)
  = W; R = ºC/W
Q
Resistência equivalente de uma associação de n resistências em:
n
Série:
Req   Ri
i 1
(1.6)
Paralelo:
n
1
1

R e q i 1 R i
(1.7)
Questões teóricas
T1.1 - A temperatura no interior do corpo humano mantém-se sensivelmente a 37oC, enquanto a
temperatura ambiente varia ao longo do tempo. Quais os modos de transferência de calor entre
o interior do corpo e o ambiente exterior? Discuta o papel do vestuário como isolamento térmico
e o seu interesse numa situação típica de Inverno e de Verão.
T1.2 - Como explica que a chapa do “capot” de um automóvel parado ao sol aqueça até uma
temperatura muito acima da temperatura ambiente? Que mecanismos de transferência de calor
intervêm? Como pode sentir o efeito daquela temperatura? Que mecanismos intervêm nesse caso?
Questões práticas
P1.1; P1.2 e P1.3.
Transferência de Calor
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2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
2ª AULA TEÓRICA
20 de Setembro de 2006
Condução
Equação de Fourier
Condutibilidade Térmica
Equação Geral da Condução
Equação de Fourier
Seja uma parede de área A com a superfície de coordenada x à temperatura T1 e a de coordenada
x + dx à temperatura T2 (T2 < T1).
q 

A T1  T2 
Q

A
A x
ou
q =  
dT
dx
(1.8)
O fluxo de calor tem lugar no sentido da temperatura mais baixa, o que justifica o sinal -, e é tanto
maior quanto maior for T = T1 – T2 e quanto menor for x.
A constante de proporcionalidade é uma característica do material: a condutibilidade térmica ().
 =  (T, p, x, y, z)
ou, no caso monodimensional e para a pressão normal:
 =  (T, x)
É grande a variedade de valores de , em geral maiores para os sólidos e sucessivamente menores
para líquidos e gases. No entanto, esta não é uma regra absoluta.
A condutibilidade térmica pode variar com a pressão (caso dos gases ou vapores) e com a direcção
(anisotropia) como acontece, por exemplo, com a madeira.
Uma hipótese simplificativa corrente é a da isotropia do meio quanto à condutibilidade:
 =  (T)
Transferência de Calor
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2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
Equação geral da condução
Em coordenadas cartesianas (tridimensional):
 cp
T   T    T    T 

+

  
  q f
=
 t  x   x  y   y  z   z 
(1.9)
com  constante, obtém-se a
Equação da difusão do calor:
onde a é difusibilidade térmica:
1 T
q
= 2 T  f
a t

a

 cp
m / s
2
(1.10)
(1.11)
DIFUSIBILIDADE TÉRMICA (m2 /s)
AÇO
COBRE
CORTIÇA
12,9
103,0
0,16
Em regime permanente e sem fontes de calor:
Equação de Laplace:
2 T = 0
(1.12)
Questões teóricas
T2.1 - Identifique um caso prático de condução monodimensional (ainda que com alguma aproximação);
condução bidimensional; condução em regime permanente; condução em regime instacionário.
T2.2 - Num automóvel, um cilindro do motor é uma peça sujeita a temperaturas consideráveis. Diga se
é legítimo considerar condução em regime permanente nessa peça e em que condições.
T2.3 - Pode admitir-se que o “capot” do automóvel ao sol atinge a certa altura o regime permanente?
Justifique.
Questões práticas
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Transferência de Calor
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2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
3ª AULA TEÓRICA
25 de Setembro de 2006
Condução:
Condições fronteira
Condução monodimensional estacionária: placa plana, cilindro, esfera
Raio crítico de isolamento
Condições fronteira:
 1ª espécie - temperatura imposta (conhecida):
x  x0
 T  T0
(1.13)
 2ª espécie - fluxo de calor imposto (conhecido):
x  x0
 q = q 0 = - 
dT
dx x x0
(1.14)
 3ª espécie - convecção na fronteira (conhecidos  e a temperatura do fluido que “molha” a parede T):
x  x0
 q = q 0   T - Txx0  = - 
dT
dx xx0
(1.15)
Condução monodimensional estacionária - placa plana
2 T 
q f
=0

(1.16)
c/fontes de calor:
s/fontes de calor:
q f
d 2T
=

d x2
(1.17)
d 2T
=0
d x2
(1.19)
T  C1 x + C 2 
T
q f 2
x  C1 x + C 2
2
(1.18)
T2  T1
x  T1
L
(1.20)
Transferência de Calor
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2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
Condução radial estacionária - cilindro
1 d  dT  q f
= 0
r
+
r dr  dr  
c/fontes de calor:
q f r 2
T+ C1 ln r + C2
4
(1.22)
1 d  dT 
r
=0
r dr  dr 
s/fontes de calor, cilindro oco (r1  0):
T  C1 ln r + C 2 = T1 +
resistência térmica:
(1.21)
T1  T2
r
ln
r
r1
ln 1
r2
(1.23)
(1.24)
raio crítico de isolamento
r2
r1
T
R con d =
=

Q
2L
ln
rcrit =
(1.25)
 is
e
(1.26)
Condução radial estacionária - esfera
1 d  2 dT 
r
 =0
r 2 dr  dr 
s/fontes, esfera oca (r10):
T=-
C1
T  T2
+ C 2 = T1 + 1
1 1
r

r1 r2
resistência térmica:
1 1

r1 r2
R cond =
4
1 1 
  
 r r1 
(1.27)
(1.28)
raio crítico de isolamento
(1.29)
rcrit =
2 is
e
(1.30)
Questões teóricas
T3.1 - Na condição de o “capot” do automóvel ao sol atingir a certa altura o regime permanente
escreva as condições fronteira aplicáveis na superfície interior e exterior.
T3.2 - A superfície de contacto de um cubo de gelo sobre o tampo da banca de cozinha está liquefeita.
Comente o facto de se considerar a temperatura constante. Escreva a condição fronteira que se
aplica.
Questões práticas
P1.4; P1.5; P1.6; P1.7 e P1.8.
Transferência de Calor
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2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
4ª AULA TEÓRICA
27 de Setembro de 2006
Condução:
Alhetas
A quantificação da transferência de calor envolve, em geral, o conhecimento do fluxo do calor
associado a uma diferença de temperaturas T:
  K A ΔT
Q
em que
K
(1.31)
1
(1.32)
R TÉRMIC A
sendo a RTÉRMICA uma resistência simples ou resultado de associações (em série ou paralelo).
Se o objectivo é evitar a transferência de calor, temos toda a problemática dos isolamentos térmicos
que se traduz no aumento da resistência térmica ou na diminuição de K; se o objectivo é
intensificar a transferência de calor, colocam-se em geral duas alternativas: ou melhorar o
coeficiente de transferência K (através da escolha de materiais de maior  e da intensificação do
escoamento que conduza a um maior ) ou, então, aumenta-se a área de troca de calor, A.
As alhetas são extensões da superfície de transferência com características de boa condutibilidade
com o objectivo de aumento de A.
É estabelecido o modelo geral da Transferência de Calor para a alheta para condições
simplificativas correntes: regime permanente, monodimensional (T = T(x)), coeficiente de
convecção exterior constante.
S – Secção transversal da alheta;
P
To – Temperatura na base da alheta;

Q
alh - Fluxo de calor dissipado na alheta
Parâmetro da alheta:
m
αP
λS
m-1
– Perímetro da secçao transversal da alheta
(1.33)
Transferência de Calor
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2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
Soluções para alhetas de secção constante:
É discutida a aplicação do modelo a alhetas de secção constante para três pares de condiçõesfronteira:
x=0
T = T0
e
x=L=
T = T
(1.34)
ou
ou
com
dT
dx
x=L
x=L

0
(1.35)
xL
dT
   xL
dx xL
 xL  T xL  T
(1.36)
(1.37)
 Alhetas com convecção no topo
Distribuição de temperaturas na alheta:
 x Tx  T


 0 T0  T

Sen h mL  x 
m

Cos h mL  
Sen h mL 
m
Cos h mL  x  
(1.38)
Fluxo de calor dissipado na alheta:

Q
al h  T0  T 

Cos h mL 

m
PS

Cos h mL  
Sen h mL 
m
Sen h mL  
(1.39)
 Alhetas com perdas desprezáveis no topo
Distribuição de temperaturas na alheta:
 x Tx  T Cos h mL  x 


 0 T0  T
Cos h mL 
(1.40)
Fluxo de calor dissipado na alheta:

Q
al h  T0  T   P  S tg h mL 
(1.41)
 Alhetas compridas (L>>e)
Distribuição de temperaturas na alheta:
 x Tx  T

 e m x
 0 T0  T
(1.42)
Transferência de Calor
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2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
Fluxo de calor dissipado na alheta:

Q
al h  T0  T   P  S
(1.43)
Rendimento de uma alheta:
É um parâmetro prático definido pela relação entre o fluxo de calor realmente dissipado na alheta e
o fluxo de calor que a alheta dissipava se toda a sua superfície estivesse à temperatura da sua base
(fluxo de calor máximo):
alh 


Q
Q
alh
alh


Qmáx  A alh(T0  T )
O rendimento de alguns tipos de alhetas pode ser lido nos gráficos das figuras 4.1 e 4.2:
Fig. 4.1 - Rendimento de alhetas planas com perfis rectangulares, triangulares e parabólicos
(1.44)
Transferência de Calor
10
2006/2007 – 1º Semestre
FEUP/DEMEGI
Fig. 4.2 - Rendimento de alhetas anelares com perfis rectangulares
Discutem-se algumas formas de avaliar o interesse em aplicar alhetas. Justifica-se o uso de alhetas
se:
P
 1
S
(1.45)
Questões teóricas
T4.1 - Aprecie o papel das alhetas num radiador automóvel ou num motor de motorizada.
T4.2 - Identifique um ou dois casos em que um problema de alhetas pode ser reconhecido muito embora
os objectivos não sejam de criar alhetas.
T4.3 - A varanda de uma casa pode ser encarada como uma alheta. Como? Discuta o caso.
Questões práticas
P1.9 e P1.10.