Parte 5 de 8

Apostila: Matemática Básica – por
Prof. Emerson F. A. Couto
Apostila de Matemática Básica
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 5/8
Autor:
Prof. Emerson F. A. Couto
83
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Prof. Emerson F. A. Couto
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z1  z2  z1 z1*  [ z1 z2*  ( z1 z 2* )* ]  z 2 z 2*  z1  [ z1 z 2*  ( z1 z 2* )* ]  z2
2
2
2
porém
 
 
*
z1 z2*  z1 z2*  2 Re z1 z2*  2 z1 z*2  2 z1 z2
de modo que
z1  z2  z1  2 z1 z 2  z 2
2
2
2
ou
z1  z 2   z1  z 2 
2
2
Uma conseqüência imediata da desigualdade do triângulo é que
z1  z 2  z1  z 2
(89)
que pode ser demonstrada a partir de
z1  z1  z2    z2   z1  z2   z2 ,
o que nos leva a
z1  z2  z1  z2
(90)
que é a desigualdade (89) quando z1  z2 . Se tivermos z1  z2 , basta trocar z1 e z2 na
desigualdade (90) para obter
z1  z2   z1  z2 
que é o resultado desejado.
A desigualdade (89) traduz o fato de que o comprimento de um todo de um triângulo
não pode ser menor que a diferença dos comprimentos dos outros dois lados.
Podemos também obter formas alternativas úteis para as desigualdades (88) e (89)
trocando z2 por  z2 :
z1  z2  z1  z2
(91)
z1  z 2  z1  z 2
(92)
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Exemplo 1.28
Verificar a desigualdade do triângulo para z1  2  j3 e z2  4  j .
Solução:
Temos que:
z1  z 2  2  4  j 3  1  2  j 2  z1  z 2 
 22   22
2 2
 2,82
z1  2  j 3  z1  2 2   3  13  3,61
2
z 2  4  j  z 2 
 42  12
 17  4,12
z1  z 2  2,82  z1  z 2  7,73
e está verificada a desigualdade.
1.14.6 Curvas e Regiões no Plano Complexo
Vamos considerar agora alguns tipos importantes de curvas e regiões no plano complexo e suas
representações por meio de equações e desigualdades.
a) Circunferência
Conforme já visto em 1.14.4.b, a distância entre os pontos do plano definidos pelos complexos z1 e
z 2 é z1  z2 . Segue-se então que uma circunferência C de raio  com centro em um ponto a (fig.
1.31) pode ser representada sob a forma
za 
(93)
y

z
a
0
x
Fig. 1.31
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Onde z é um ponto qualquer da circunferência.
Exemplo 1.29
Identificar o lugar geométrico representado por (a) z  j  3 ; (b) z  2  j3  4 .
a  0  j  a0,1
a) 
  3
y
a 0, 1
3
x
0
Fig. 1.32
Trata-se pois de uma circunferência centrada em a0,1 e raio 3.
a  2  j3  a 2,3
b) 
  4
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y
4
a 2,3
3
2
1
2
1 0
x
Fig. 1.33
Temos então uma circunferência centrada em a 2,3 e raio 4.
b) Disco Fechado
Em conseqüência do que foi visto em (a), para um disco fechado de raio  e centro em a temos:
za 
(94)

y
a
z
0
x
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Fig. 1.34
Exemplo 1.30
Identificar o lugar geométrico representado por z  3  j  2 .
a  3  j  a 3,1

  2
y
3
a
2
1
0
2
Fig. 1.35
c) Disco Aberto
Para o disco aberto temos:
za 
x
1
(95)
88
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y

a
z
0
x
Fig. 1.36
d) Exterior da Circunferência
Semelhantemente a desigualdade
za 
(96)
Representa o exterior da circunferência de raio  centrada em a.
y

a
z
0
x
Fig. 1.37
e) Coroa Fechada
89
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A região entre duas circunferências concêntricas de raios 1 e   , sendo 2   , pode ser
representada por:
1  z  a  
(97)
y
2
1
a
z
0
x
Fig. 1.38
f) Coroa Aberta
Temos então:
  z  a  
(98)
y
2
a
1
z
0
x
Fig. 1.39
g) Circunferência Unitária
A equação
90
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z 1
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(99)
representa a chamada circunferência unitária, ou seja, a circunferência de raio 1 e centro na origem,
que representa papel importante na seqüência do estudo de variáveis complexas.
y
1
x
0
Fig. 1.40
h) Reta que une dois pontos
y
P1
P1 P2  z 2  z1
P1 P
P
z1
P2
z
z2
x
0
Fig. 1.41
Sejam z1  x1  jy1 e z2  x2  jy2 os complexos representando dois pontos quaisquer P1 e P2 do
plano, conforme aparece na figura 1.41, e z o complexo representando um ponto P qualquer da reta
que passa pelos dois pontos inicialmente mencionados.
91
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Da figura em questão percebe-se que:
z  z1  AP
Sendo AP e AB segmentos orientados paralelos temos:
AP = kAB
o que nos permite escrever:
z  z1 + kAB
No entanto,
AB  z 2  z1
o que nos conduz a:
z  z1  k z2  z1 
(100a)
z  1  k z1  kz2
(100a)
Se queremos representar qualquer ponto da reta devemos ter    k   mas, se queremos
representar apenas os pontos do segmento que une os pontos P1 e P2 devemos ter 0  k  1 .
1.15. Exercícios Propostos sobre Números Complexos
1. Determine x  R para que o número complexo 3x  2  j x 1 seja real.
2. Determine os valores reais de a para os quais a  j  é um número real.
4
3. Efetuar as seguintes potências:
a)
j 12
b)
 j 76
c)
j 77

d) j 2 n n  N *
e)


j 4 n 3 n  N *

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f)

j 2n1 n  N *
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
4. Calcular j 0 . j1. j 2 . j 3  j 30 .
5. Calcule o módulo e o argumento dos seguintes números complexos:
a) z1 1  j
b) z 2  j 2
c) z3  3
d) z4  1  j 3
e) z 5   j3
f) z6  3  j
6. Exprimir cada um dos seguintes números complexos na forma polar:
a) 15e j
b) 5e j
c) 10e


2
3
 j 5
6
7. Passar os seguintes números complexos da forma polar para a forma retangular:
a) 12,3 30
b) 25
 45
c) 86
115 
8. Escrever na forma trigonométrica os seguintes números complexos e representá-los no plano de
Argand-Gauss:
a) 1  j
b)  5
c)  2  j 2
9. Determinar x e y  R de modo que 2x  j 4 y   x  jy   7  j10 .
10. Determine x e y  R tais que j 250  j104  2 j 37  x  jy .
93
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11. Calcule o valor de n sabendo-se que 2 j   1  j   16 j .
n
2n
12. Calcular
a)
1  j32   1  j . 2  j 4
b)
2  j3  5  j3
1
 2

c)   j     j 3   j 3  j 2
2
 3

d) 1  j 
3
e)
 4
f)


3  j4
2 j 3

3 j

2 j 3

g) j3  j5
h)
7  j81  j 
13. Se z1  5e
j
e z2  2e  j 4 calcular z1.z2 .

2
14. Calcular os seguintes produtos:
a)
3
 2
b)
23,5  j8,554,53  j 2,11
20
 45
15. Sendo z  2,5e  j



calcular z.z * .
16. Sendo z  10  40 calcular z.z * .
17. Expressar na forma polar os seguintes complexos:
a)  4e j
5

b) 18e j
3
2
18. Calcular:
a)
1 j
j

j
1 j
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b)
2
1 j
c)
1 j
1 j
d)
4 j 2
2 j 2
e)
8 j
3  j5
f)
1 j
j

j
1 j
g)
3  j 26  j 4
 1  j3 j 2
h)
3  j 3  j2

2 j 3 j
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19. Determinar o número real x tal que o produto z1.z2 , onde z1  4  j3 e z2  x  j 6 , seja também
um número real.
20. Determine o número complexo z tal que z 2  2 zj .
21. Determine a  R para que
 9  ja
seja imaginário puro.
2  j3
22. Determinar o resultado da expressão z 
z1.z 2
sendo z1  10  j3,95 e z2  5  j15,7 .
z1  z 2
z  z  4  j
23. Sendo z1 e z2 dois números complexos, resolver o sistema  1 2
.
2 z1  z2  5  j
24. Calcule o argumento do complexo 1  j   1  j  .






25. Sendo z1  2 cos  j sen  e z2  3 cos  j sen  calcular z1.z2 apresentando o resultado


2
2


na forma trigonométrica.
26. Dados z1 
1
3
j
e z2 1  j determine:
2
2
a) z1.z2
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b) z1.z2*
c) z1* .z 2
d)
z1.z2 *
e) z12
f)
z 22
g) z1.z1*  z2*
27. Dados z1  1  j 2 , z2  2  j e z3  3  j 4 , calcular:
a)
z1  z2
b)
z1  z2
c)
z1*  z2*
z3*
d)
z1  z2 z1  z3 
e)
z1.z 2*  z 2 .z1*
28. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são  e . Calcule o valor do produto
cos   j sen cos   j sen  .
29. Calcular 1  j  .
8
30. Dado o número complexo z  1  j calcular z 20 .
7
1
3
 .
31. Calcular   j

2
2


32. Calcular
1
.
1  j 20
33. Achar o conjugado do complexo z 2 onde z  acos   j sen  , com a  2 e  
96

rad .

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
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34. Calcular o menor valor natural n para o qual  3  j
35. Calcule o valor da expressão
1
36. Calcule o resultado de 
1
37. Dados os complexos u 

n
é um imaginário puro.
1  j 101.1  j 50 .
 1  j 100. 1  j 49
15
j
 .
j 
5  j12
e v  1  j calcule o valor de u  v 8 .
5  j12
38. Calcular as seguintes raízes e representá-las no plano complexo:
8  j6
a)
b)
3
j
c)
4
1
 25
d)
e)
4
1
f)
7
 128
g)
6
1
1 j 3
h)
i)
3
1 j
39. Determinar o conjunto-solução em C para cada uma das seguintes equações:
a) w2  1  0
b) w3  1  0
c) w4  1  0
d) w2  j  0
e) w2  w  1  0
f)
w2  4w  53  0
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g) w2   j  2w  3  j   0
h) w4  3w2  2  0
i)
w4  3w2  4  0
j)
w4  16  0
40. Demonstre, por indução matemática, a desigualdade seguinte, e interprete o resultado
graficamente.
z1  z2    zn  z1  z2    zn
n  2, 3,
41. Estabelecer as equações cartesianas, identificar e traçar os gráficos dos lugares geométricos
representados por:
a)
z 3 3
b)
z  j4  2
c) 2  z  2  4
d) z  z*  2
e) z  z 2  z
f)
2
z  z*  j
g) Imz   2
 
h) Im z 2  2
 
i)
Re z 2  1
j)
arg z  45º
k)  5  Rez   1
l)
1
1
z
m) z  2  z  j 2
98
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n)
z 1
2
z 1
o)
z  j2
3
z  j2
p)
z j
1
z j
q)
z 1
1
z 1
r)
z  j6
1
z2
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s) Re z  3  0
t)
Im jz  j   0
1
u) Re    1
z
v) z  1  z  1  3
1
w) 0  Im   1
z
x) z  j 4  z  j 4  10
 
2
y) z 2  z *  2
z) z  z1  z2 , sendo z1 e z2 números complexos quaisquer,  e  reais e não negativos e
    .
1.16. Resposta dos Exercícios Propostos sobre Números Complexos:
1. x  1
2. 0; 1 e  1
3. a) 1; b) 1; c) j; d) 1 para n par e  1 para n ímpar; e)  j ; f) j par n par e  j para n ímpar.
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4. j
5. a) 1,414 e 45º; b) 2 e 90º; c) 3 e 0; d) 2 e 60º; e) 3 e – 90º; f) 2 e – 30º.
6. a) 15 45 ; b) 5
120  ; c) 10
150 
7. a) 10,65  j 6,15 ; b) 17,7  j17,7 ; c)  36,3  j 77,9



8. a) z  2  cos  j sen 
4
4

y
1
0
1 j
 4 rad
1
x
b) z  5cos   j sen 
y
rad
0
5
c) z  2  j 2
100
x
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y
 2  j2
2
1
3 4 rad
2
1
0
x
9. x = 7, y = 2
10. x = 0, y = 2
11. n = 3
12. a)  6  j12 ; b) 7; c) 2,167  j 3 ; d)  2  j 2 ; e) – 16; f) 5; g) – 5 + j3; h) 15 – j
13. 10e j

4
14. a) 6
 25 ; b) 124,5  j10,86  125
5
15. 6,25
16. 100
17. a) 4
 30 ; b) 18
18. a) 1,5 – j0,5;
 90
b) 1– j;
e) – 1,176 – j0,117; f) 1,5 – j1,5;
c) j;
d) 1 + j1,414;
g) – 3,9 + j1,3 ; h) 2,5 – j0,5.
19. x = 8
20. 0 e j2
21. a = 6
22. 7,17
41,3  5,39  j 4,73
23. z1  3 e z2  1  j
24.   rad

3
3 

25. 6 cos  j sen 

 

101