Apostila de Matemática Ester parte I

Ciências Contábeis
Disciplina : Matemática Básica para Contadores
Professora Maria Ester Domingues de Oliveira
Matemática para Contadores
Maria Ester Domingues de Oliveira
Parte I
2009/1
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Matemática para Contadores
Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 1 - Números Reais: representações
O principal motivo para que a maioria dos cursos de Cálculo comecem por um
breve estudo dos números reais é o fato de no Cálculo e na Análise, estuda-se
o comportamento de funções e o comportamento de uma função depende dos
três elementos importantes que a compõem: números Reais, números
Racionais e números irracionais.
Representação do conjunto dos números reais
Para entendermos os números Reais, deveremos primeiro estudar os números,
racionais e os números irracionais, uma vez que o mesmo é composto por
estes dois conjuntos numéricos.
R=QUI
Os números reais são números usados para representar uma quantidade
contínua (incluindo o zero e os negativos).
Números Naturais (N)
O conjunto de números naturais é representado pela letra N e é compostos por
números inteiros e positivos, além do zero. É indicado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais, sem o zero:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, é o conjunto dos
números naturais acrescido dos seus opostos negativos. Pode-se dizer que os
números inteiros expressam quantidades (inteiros positivos) e a "falta" de
quantidades (inteiros negativos).
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Matemática para Contadores
Maria Ester Domingues de Oliveira
O Conjunto dos Números Inteiros é indicado por Z:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero,
ou seja:
Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N
é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z:
N Z
Alguns números inteiros apresentam uma série de características que os
diferenciam de outros inteiros e que torna possível agrupá-los em
subconjuntos. Veja alguns exemplos:
Números Primos
São chamados de primos os inteiros diferentes 1 que só são divisíveis por 1 e
por ele mesmo
ex: 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, etc.
Números Racionais (Q)
Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos
um número racional. Todo número racional sempre é representado por uma
parte inteira e por uma parte fracionária, a / b, Por exemplo:
Se a=6 e b=2, obtemos o número racional 3,0.
Se a=1 e b=2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de
casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata.
Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por
exemplo, a=1 e b=8 nos dá o número racional 0,666666... É a chamada dízima
periódica.
Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números
inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.
Q = {a/b | a Z e b Z*}, ou seja, o denominador deve sempre ser diferente de
zero.
O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem o
zero:
Q* = Q - {0}
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Como todos os números inteiros também são números racionais, dizemos que
Z é um subconjunto de Q ou que Z está contido em Q:
ZQ
E, como já foi visto acima, todos os números naturais também são números
inteiros. Então,
N ZQ
Números Irracionais (I)
Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com
infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente, obtemos
um número chamado de irracional. Não é possível situar um número irracional
como um ponto numa reta.
O número irracional mais famoso é o pi (), inicial da palavra grega que
significa periferia, circunferência. Nos dias de hoje, já são conhecidos mais de
1 bilhão de casas após a vírgula para este número graças aos computadores e
matemáticos de nossa época ( = 3.1415926535897932384626433832795...)
Números Reais (R)
Como já foi dito anteriormente, o conjunto formado por todos os números
racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R.
Como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro é racional e
como todo número racional é real, temos:
N ZQR
Indicamos por R* o conjunto de números reais sem o zero, ou seja,
R* = R - {0}
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Unidade 2 - Expressões Literais
Expressões Literais, também chamadas de expressões algébricas, são
expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. Por
exemplo:
A = 5a+3b
B = (8c+4)-2
C = 15c+4a
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor
de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão Literal
Observações quanto à prioridade:
1º Deve-se sempre realizar a operação que estiver dentro dos
parênteses, colchetes ou chaves.
2º A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes
sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por
valores negativos
Também devem ser obedecidas algumas propriedades em uma expressão
Literal, onde devemos obedecer a seguinte ordem das operações:
1º Resolver primeiro Potenciação ou Radiciação;
2º a seguir, as Multiplicações ou Divisões;
3º então será a vez das Adições ou Subtrações.
Exemplo 1
Consideremos :
T=2B+15
e tomemos B=5. Assim,
T = 2.5+15 = 10+15 = 25
Aqui B é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 25
é o valor numérico da expressão indicada por T. Observe que ao mudar
o valor de B para 15, teremos:
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T = 2.15 + 15 = 30 + 15 = 45
Se B=15, o valor numérico de T=2B+15 é igual a 45.
Exemplo 2
Seja P = 3C-5+B+7 e tomemos C=5 e B=2. Assim:
P = 3.5- 5+2+7 = 15-5+2+7 = 19
Se C=5 e B=2, o valor numérico de P = 3C-5+B+7, muda para 19.
Exemplo 3
Seja Y=20-W+10+Q+8W, onde W = -2 e Q=1. Então:
Y = 20-(-2)+10+1+8(-2) = 20+2+10+1-16 = 33-16 = 17
Se W = -2 e Q=1, o valor numérico de Y=20-W+10+Q+8W é 17
Exemplo 4
Consideremos Q=2T+10 e tomemos T=5. Assim
Q = 2(5) + 10
Q = 10 + 10
Q = 20
Aqui T é a variável da expressão, sendo 5 é o valor numérico da variável
e 20 é o valor numérico da expressão indicada por Q. Observe que ao
mudar o valor de Q para 9, teremos:
Q = 2(9) + 10
Q = 18 + 10
Q = 28
Quando T=9, o valor numérico de Q=2T+10 é igual a 28.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na
expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
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Unidade 3 - Função do 1º Grau
Definição
Chama-se função do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em
IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados
e a  0.
Também podemos representar a função de 1º grau da seguinte forma:
y = f(x) , portanto
y = ax + b
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular ou
coeficiente de x e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear.
Veja alguns exemplos de funções do 1º grau:
f(x) = 8x - 2, onde a = 8 e b = - 2
f(x) = -5x - 4, onde a = -5 e b = - 4
f(x) = 9x, onde a = 9 e b = 0
Exemplo 1
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é
dada pela equação: Q = 100 – 4p. Determinar a quantidade de produtos
vendidos para p = R$ 15,00.
Solução:
Q = 100 – 4p para p=R$15,00
Q = 100 – 4(15)
Q = 40
ou seja, quando o preço estabelecido pelo produto do modelo for de R$15,00, a
quantidade de produtos vendidos será de 40 unidades.
E
Exemplo 2
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é
dada pela equação: Q = 80 – 2p. Determinar a quantidade de produtos
vendidos para p = R$ 10,00.
Solução:
Q = 80 – 2p para p = R$ 10,00
Q = 80 – 2(10)
Q = 60
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ou seja, quando o preço estabelecido pelo produto do modelo for de R$10,00, a
quantidade de produtos vendidos será de 60 unidades.
Exemplo 3
O custo total de produção de um determinado bem consiste em um custo fixo
de R$ 300,00 somado a um custo variável de R$ 120,00 a unidade produzida.
A “lei”, “fórmula” ou “modelo” que representa a relação existente entre o custo
total de produção (C) e a quantidade de bens produzidos (q) desta produção:
C = 300 + 120.q
Qual o Custo Total de produção deste bem se forem produzidos 80 bens?
Solução:
C = 300 + 120q
C = 300 + 120(80)
C = 300 + 9600
C = R$ 9900,00
Gráficos de uma função de 1º grau crescente e decrescente
Função Crescente
Quando na função y = ax+ b o coeficiente angular a > 0, ou seja, for positivo,
teremos um gráfico chamado crescente, onde quando x aumenta de valor, y
também aumenta de valor
.y = x+1 ( a> 0 ) ;
A função é considerada crescente, pois conforme os valores de x crescem, os
valores de y crescem também.
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Função Decrescente
Porém, quando na função y = ax+ b o coeficiente angular a < 0, ou seja, for
negativo, teremos um gráfico chamado decrescente, onde quando x aumenta
de valor, y diminui de valor.
y = -x+1 ( a<0)
A função é considerada decrescente, pois a medida que os valores de x
crescem, os valores de y decrescem.
Observações para uma função do 1º grau:
a)
b)
c)
d)
e)
O gráfico de uma função do 1º grau uma reta
para traçar a reta, precisamos de, no mínimo, 2 pontos
a reta cruza uma vez em cada eixo (horizontal e vertical)
para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y), consideramos x = 0
para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x), consideramos y = 0
Exemplo 1
y = 2x + 6
x
D = Reais
y = 2x + 6
0
0
Para x = 0 , temos y = 2 . (0) + 6 = 0 + 6 = 6
Para y = 0 , temos 0 = 2x + 6 , ou seja, –6 = 2x. Portanto, x = –6 : 2 = –3
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Matemática para Contadores
x
y = 2x + 6
0
6
-3
0
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6
-3
x
Exemplo 2
Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
Solução: atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores
correspondentes para y. Uma reta já pode ser traçada a partir de apenas dois
pontos. Então, escolhemos dois ou mais valores quaisquer para substituirmos
no x da equação, obtendo-se para cada valor de x, um valor de y
correspondente à equação. Teremos , a partir daí, um conjunto de pares
ordenados (x;y).
x
y=f(x)=x+1
-1
0
1
2
Resolução:
y=f(x)=x+1 com x=-1
y=x+1
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y=(-1)+1
Y= 0
y=f(x)=x+1 com x=1
y=x+1
y=(1)+1
Y= 2
Portanto, O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-1,0),(1,2)}
Para não restar dúvidas de que você mesmo pode determinar qualquer valor
de x para substituir em uma função para a determinação de uma reta, vamos
escolher dois outros valores quaisquer: que tal x=-2 e x=0? Vamos então fazer
os cálculos e traçar a reta desta próxima função de 1º grau:
Exemplo 3
Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
solução: atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes
para y.
x
y=f(x)=-x+1
-2
0
3
1
Resolução:
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y=f(x)=-x+1 com x=-2
y=-x+1
y=-(-2)+1
Y= 2 + 1 =3
y=f(x)=-x+1 com x=0
y=-x+1
y=-(0)+1
Y= 1
Portanto,
O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(0,1)}
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Parte II
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Unidade 4 – Razão e Proporção
RAZÃO
Denomina-se razão de dois números, diferentes de zero, o quociente formado
por eles. Sendo assim, suponhamos que em um evento haja 35 pessoas,
sendo 28 destes homens. Observe o cálculo da razão entre número de
estudantes homens e o total de estudantes da sala:
Total de pessoas: 35
Número de homens no evento: 28
Número de mulheres: 7
Razão: 28 = 4 (lê-se: 4 para 5)
35
5
Se quisermos saber a razão entre o número de mulheres e o total de pessoas
no evento, temos:
Razão: 7 = 1 (lê-se: 1 para 5)
35 5
Da mesma forma, podemos determinar a razão entre duas grandezas. Veja as
questões:
a) Paulo possui 1,80 m de altura e seu cachorro 40 cm. Qual a razão entre a
altura do cachorro e a de Paulo?
Altura do cachorro: 40 cm
Altura de Paulo: 1,80 m = 180 centímetros (medida equivalente)
Razão: 40 = 2
180
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b) Sabendo que a velocidade média é a razão entre o trajeto percorrido e o
tempo do percurso, calcule a velocidade média de um automóvel que percorre
100 km num tempo de 2 horas.
Velocidade média (Vm) = espaço percorrido = 100 km = 50 km/h
tempo
2h
Dica: Perceba que quando duas grandezas diferentes (no caso acima, espaço
e tempo) estabelecem uma razão, esta vem acompanhada de uma unidade de
medida (no caso acima, km/h).
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PROPORÇÃO
Denomina-se proporção a igualdade entre duas razões. Considerando a, b, c
e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente
uma proporção se a/b = c/d. Os termos a, b, c e d são chamados de termos da
proporção: a e d são os extremos e b e c os meios. Nas proporções, é valida
a seguinte propriedade:

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios
Exemplo:
a) Calcular o valor de x na proporção abaixo:
6x + 4
3x – 2
= 2
3
(6x + 4) . 3 = (3x – 2) . 2
18x + 12 = 6x – 4
18x – 6x = -12 - 4
12 x = - 16
x = -16 = -4
12
3
b) Uma tradutora recebe R$ 300,00 pela construção de 22 traduções. Se ela
construiu no fim do mês 40 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?
Há duas maneiras de solucionar essa questão: a primeira consiste em, de
forma proporcional, organizar os dados:
300 = x .
22
40
12000 = 22x
x = 12000 = 545,50 (reais)
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Unidade 5 - Regra de Três Simples
Regra de três
A regra de três é um processo matemático de resolução de problemas de
quatro valores, sendo três destes valores conhecidos e devemos determinar o
quarto valor.
Para resolução deste tipo de problema, montamos uma tabela (em proporção)
e resolvemos a equação, multiplicando em cruz. É importante para cada coluna
da tabela, respeitarmos a unidade de cada uma das delas, ou seja, por
exemplo, valores dados em porcentagem ficam na mesma coluna e valores
dados em outra unidade, como podemos exemplificar, em metros, também
devem respeitar sua coluna.
Vamos à resolução de problemas:
1) Um trem percorre um 200km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto
tempo ele percorrerá 400km?
Montemos uma tabela:
Percurso (km)
200
400
Tempo (h)
2
x
Note que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se
aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo trem também aumenta.
Multiplicamos em cruz:
200x = 400. 2
200x = 800
x = 4 hs
Portanto, o trem percorrerá 400km em 4h.
2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo,
dois trabalhadores constroem uma casa?
Nº de trabalhadores
4
2
Tempo (dias)
8
x
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Note que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores
constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para
construir, ou seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o
tempo para a construção. Logo, devemos inverter a proporção.
Multiplicando em cruz:
2x = 32
x = 16
Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias.
3) Para fazer uma viagem de 300km, um determinados automóvel gasta
21,9litros de gasolina. Quantos litros de gasolina são necessários para
percorrer 1600km?
Resolução:
O número de Km percorridos e a gasolina consumida são grandezas
diretamente proporcionais.
Podemos utilizar a regra de três simples para resolver o problema.
Km
300
1600
litros
21,9
x
Multiplicamos em cruz:
300x = 21,9 x 1600
300x = 35040
x = 116,8 litros
Passos a seguir na regra de três:
1º Observamos se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
2º Se a grandeza for diretamente proporcional, mantemos a proporção; se a
grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporção.
3º Feito isso, basta resolver a equação, multiplicando em cruz.
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Unidade 6 – Porcentagem
A porcentagem é um cálculo muito utilizado e útil em nosso dia a dia. È
muito comum ouvirmos em nosso cotidiano situações com:








A carne teve um aumento de 5,4%;
A Bolsa de valores teve forte alta de 7,5%;
Promoção: Tudo com 40% de desconto;
Venda de automóveis com taxa de 1,9%
Os juros baixaram 0,5%;
O candidato x obteve 34% dos votos.
O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de
24%.
A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de
25% nas compras à vista.
Vamos começar a entender o que é Porcentagem: Toda fração de
denominador 100, representa uma porcentagem. Porcentagem é o valor
obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.
Razão centesimal:
Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.
Exemplos:
(lê-se 10 por cento)
(lê-se 150 por cento)
Exemplo 1: Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos.
Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?
O desconto será de 10% do valor de R$120,00.
Logo:
Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
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Exemplo 2: Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas.
Qual a quantidade de meninas e de meninos?
A quantidade de meninas será:
E a de meninos será: 100 - 40 = 60.
Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um
determinado valor.
Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que
em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser
obtido como o produto de 10% por 80, isto é:
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em
preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.
Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 5%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$5,00

O cliente recebeu um desconto de 7% em uma compra de uma calça
Jeans.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$ 7,00.

Em um bar, 60% dos clientes são não fumantes.
Significa que em cada 100 clientes que estão no bar, 60 são não
fumantes.
Razão centesimal
Toda a razão que tem como denominador o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
Considere o seguinte problema:
Paulo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos Paulo vendeu?
Na solução deste problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o
total de cavalos.
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Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a
um determinado valor.
Exemplos:

Calcular 10% de 300.

Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Como calcular porcentagem em uma calculadora?
Vamos a um exemplo: Quanto é 30% de 700?
Digite: 700
Aperte a tecla de multiplicação: X
Digitem: 30
Aperte a tecla de porcentagem: %
O resultado, como pode ser visto, é 210.
Fator multiplicante
Para facilitar o cálculo, quando temos um acréscimo de certa porcentagem
sobre um determinado valor, um acréscimo de, por exemplo, 10%, podemos
calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de
multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por
diante. Veja a tabela a seguir:
Acréscimo ou
Lucro
10%
15%
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Fator
Multiplicante
1,10
1,15
20
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20%
47%
67%
1,20
1,47
1,67
Exemplo: aumentar 30% no valor de R$10,00. Devemos realizar:
10 * 1,30 = R$ 13,00
No caso de haver um decréscimo ou desconto, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto
10%
25%
34%
60%
90%
Fator
Multiplicante
0,90
0,75
0,66
0,40
0,10
Exemplo: Descontando 20% no valor de R$10,00 teremos:
1 – 0,2 = 0,8
10 * 0,80 = R$ 8,00
Exemplo 1
Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com
esta um lucro de 17%?
Solução:
100%
17 %
555
X
X = 555x17 /100 = 9435/100
X = 94,35
Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35
Preço Final: R$ 649,35
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Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador:
R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35
Exemplo 2
Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação
financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um
cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto?
100%
0,7%
15.250
X
Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador.
O capital principal que é o valor do cheque é :
1 – 0,02 = 0,98 (fator multiplicante)
R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00
Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de
R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$
305,00.
Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00
Exemplo 3
(FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um
determinado tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$
126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :
a) 19,5 %
b) 20%
c) 20,5%
d) 21% e) 21,5%
Resolução:
Cenário 1:
1m -------> R$ 5,52
X --------> R$ 126,96
5,52x = 126,96
X = 126,96 / 5,52
X = 23 m
Cenário 2:
1m --------> R$ 4,60
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X ---------> R$ 126,96
4,60x = 126,96
X = 126,96 / 4,60
X = 27,60
Temos então:
23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior)
27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor)
23x = 100 x 27,6
23x = 2760
X = 2760 / 23
X = 120%
Desta forma: 120% - 100% = 20%
Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”.
Exemplo 4
Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador
fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
Exemplo 5
Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00,
qual a taxa percentual de lucro obtida?
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Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a
porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos
R$300,00.
Unidade 7 – Progressão Geométrica
Definição:
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Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência
de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual
ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão
É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu
antecessor multiplicado por um número constante q (razão).
Uma progressão Geométrica pode ser chamada também pelo apelido de P.G.
Veja a sucessão de números abaixo. Dica: esta sucessão é uma Progressão
Geométrica. Vejamos o que é um P.G:
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ...,2621440
Observe o seguinte: Cada número é o dobro do número que vem antes. Veja:
10 é o dobro de 5
20 é o dobro de 10
40 é o dobro de 20
80 é o dobro de 40
160 é o dobro de 80
e assim por diante.
A divisão de qualquer um dos número da Sucessão pelo número que vem
antes (que se chama antecessor), dá como resultado o mesmo número que
neste nosso caso é o número 2.
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ..., 2.621440
Quando temos uma sucessão onde ocorre esta propriedade, dizemos que esta
sucessão é uma Progressão Geométrica ou, como já vimos, simplesmente uma
P.G
Obs: O resultado da divisão de qualquer um dos termos pelo seu antecessor (o
que vem antes) é a razão da P.G
Exemplos:
(2, 4, 8, 16)
4 = 2.2
8 = 4.2
16 = 8.2
(3, 9, 27, 81)
9 = 3.3
27 = 9.3
→a razão é 2.
→a razão é 3.
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81 = 27.3
(1, 2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de razão 2
(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de razão 1
(100, 50, 25,...) é uma PG de razão 1/2
(2, -6, 18, -54, 162, ...) é uma PG de razão -3
Fórmula do Termo Geral:
A fórmula do termo geral da P.G. assim como da P.A. permite-nos determinar
um termo qualquer da P.G., sem precisar escrevê-la completamente,
conhecendo apenas o primeiro termo e a razão da progressão geométrica.
an = a1 . qn - 1
Na fórmula:
an = termo geral;
a1 = primeiro termo;
q = razão;
n = número de termos.
a1
10
20
40
80
160
320
...
2.621440
a2
a3
a3
a4
a5
a6
...
an
Observe que cada termo da sucessão tem um uma posição. Assim, o 5 é o
primeiro elemento que chamamos de a1.
O 10 é o segundo elemento, que chamamos de a2
O 20 é o terceiro elemento, que chamamos de a3 e assim por diante.
O último elemento é o 2.621440 que chamamos sempre de an
Propriedades Principais
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente
anterior e posterior.
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Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.
P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2
Exemplo 1
Achar o sexto termo da PG (1, 4...).
Solução:
a1 = 1, q = 4 e n = 6
an = a1 . qn-1
a6 = 1 . 4 6 - 1
a6 = 1 024
Exemplo 2
Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2,
q = 4/2 = 8/4 = ... = 2.
Para calcular o décimo termo, ou seja, a10, utilizamos a fórmula Geral:
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Da mesma forma que em P.A., inserir k meios geométricos entre dois termos
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extremos a e b de uma P.G. significa obter uma P.G. com k + 2 termos.
Exemplo 3
Interpole quatro meios geométricos entre 4 e 128.
Exemplo 4
Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo
é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320.
Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 .
Daí, vem: 320 = 20.q4
Então q4 =16
portanto q = 2.
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA
A soma dos termos de uma progressão geométrica de n termos é dada por:
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Observação – Para uma P. G. constante (q = 1), a soma dos n termos é dada
por: Sn = n . a1
Exemplo 5
Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (1, 3, 9, 27, 81...).
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA
Neste tópico, observaremos que para um número infinito de termos, o último
termo tenderá a se anular.
A soma dos infinitos termos dessa P. G. é dada por:
Exemplo 6
Calcule a soma dos termos da P. G. (2, 1, 1/2, 1/4...).
Solução:
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Temos: a1 = 2 , q = 1/2
A soma dos termos dessa P. G. infinita é:
Referências bibliográficas:
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