apostila completa de matemática atualizada em
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APOSTILA DE MATEMATICA
1
Sumário
Problemas Matemáticos ................................................................................................................................... 1
Números Naturais .............................................................................................................................................. 2
CONJUNTOS ....................................................................................................................................................... 3
Cálculos Algébricos ........................................................................................................................................ 26
Digite o título do capítulo (nível 2) ................................................................................................................ 5
Digite o título do capítulo (nível 3) ............................................................................................................ 6
2
Problemas Matemáticos
Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros recursos matemáticos,
destacando, entre todos, os princípios algébricos, os quais são divididos de acordo com o
nível de dificuldade e abordagem dos conteúdos.
Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, posteriormente as
multiplicações e divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização dos
fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas com valores
desconhecidos (letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com
utilização da álgebra.
- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4;
- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1);
- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10;
- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x + 2x;
𝑥
- A metade da soma de um número mais 15: 2 + 15;
𝑥
- A quarta parte de um número: 4.
Exemplo 1
A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. Determine-os.
1º número: x
2º número: x + 2
3º número: x + 4
(x) + (x + 2) + (x + 4) = 96
Resolução:
x + x + 2 + x + 4 = 96
3x = 96 – 4 – 2
3x = 96 – 6
3x = 90
90
x= 3
x = 30
1º número: x = 30
2º número: x + 2 = 30 + 2 = 32
3º número: x + 4 = 30 + 4 = 34
Os números são 30, 32 e 34.
Exemplo 2
O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado de 5. Calcule-o:
Resolução:
3x + 4 = 52
3
3x = 25 – 4
3x = 21
21
x= 3
x=7
O número procurado é igual a 7.
Exemplo 3
A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui a cinco anos, a idade do
pai será o triplo da idade do filho. Qual é a idade atual de cada um?
Resolução:
Atualmente
Filho: x
Pai: 4x
Futuramente
Filho: x + 5
Pai: 4x + 5
4x + 5 = 3 . (x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
4x – 3x = 15 – 5
X = 10
Pai: 4x = 4 . 10 = 40
O filho tem 10 anos e o pai tem 40.
Exemplo 4
O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde a 20. Qual é o número?
Resolução
2x + 3x = 20
5x = 20
20
x= 5
x=4
O número corresponde a 4.
Exemplo 5
Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 animais, os quais somam
juntos 100 pés. Determine o número de galinhas e coelhos existentes nessa chácara.
4
Galinhas: G
Coelhos: C
G + C = 35
Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:
2G + 4C = 100
Sistema de equações
Isolando C na 1ª equação:
G + C = 35
C = 35 – G
Substituindo C na 2ª equação:
2G + 4C = 100
2G + 4 . (35 – G) = 100
2G + 140 – 4G = 100
2G – 4G = 100 – 140
- 2G = - 40
40
G= 2
G = 20
Calculando C
C = 35 – G
C = 35 – 20
C = 15
Exercícios
1. A soma das idades de Arthur e Baltazar é de 42 anos. Qual a idade de cada um,
2
se a idade de Arthur é
da idade de Baltazar?
5
2. A diferença entre as idades de José e Maria é de 20 anos. Qual a idade de cada
9
um, sabendo-se que a idade de José é
da idade de Maria?
5
5
2
dos feirantes são de origem japonesa e
do
9
5
resto são de origem portuguesa. O total de feirantes japoneses e portugueses é de
99. Qual o total de feirantes dessa feira?
3. Verificou-se que numa feira
4. Certa quantidade de cards é repartida entre três meninos. O primeiro menino
3
recebe
da quantidade e o segundo, metade do resto. Dessa maneira, os dois
7
receberam 250 cards. Quantos cards havia para serem repartidos e quantos cards
recebeu o terceiro menino?
5
3
3
de um livro. No dia seguinte, lê os
do resto e
5
4
no terceiro dia, lê as 20 páginas finais. Quantas páginas têm o livro?
5. Num dia, uma pessoa lê os
6. Uma caixa contém medalhas de ouro, de prata e de bronze. As medalhas de
3
ouro totalizam
das medalhas da caixa. O número de medalhas de prata é 30. O
5
1
total de medalhas de bronze é
do total de medalhas. Quantas são as medalhas de
4
ouro e de bronze contidas na caixa?
7. Uma viagem é feita em quatro etapas. Na primeira etapa, percorrem-se os
2
da
7
3
do resto. Na terceira, a metade do novo resto.
5
Dessa maneira foram percorridos 60 quilômetros.
Qual a distância total a ser percorrida e quanto se percorreu na quarta etapa?
distância total. Na segunda, os
8. A soma das idades de Lúcia e Gabriela é de 49 anos. Qual a idade de cada
3
uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é
da idade de Gabriela?
4
2
de um muro. No dia seguinte, pinta mais 51 metros
5
7
do muro. Desse modo, pintou do muro todo. Quantos metros têm o muro?
9
9. Num dia, um pintor pinta
3
do total de páginas de seu caderno com tinta azul e 58
8
7
páginas com tinta vermelha. Escreveu, dessa maneira,
do total de páginas do
9
caderno. Quantas páginas possuem o caderno?
10. Um aluno escreve
Respostas
1) Resposta “Arthur 30; Baltazar 12”.
Solução:
A + B = 42 anos
2
A = 5 .𝐵
2
(substituindo a letra “A” pelo valor 5 . 𝐵 )
2
. 𝐵 + B = 42 (mmc: 5)
2B + 5B = 210
7B = 210
210
B= 7
B = 30 A = 12
5
2) Resposta “Maria 25; José 45”.
6
Solução:
J – M = 20
9
9
9
J=5 𝑀
5
(substituindo a letra “J” por 5 𝑀)
𝑀 – M = 20 (mmc:1;5)
9M – 5M = 100
4M = 100
100
M= 4
M = 25 e J = 45
3) Resposta “135”.
Solução:
F = feirantes
J = 5/9.F
2
(substituindo a letra “J” por 5/9.F)
5
2
5
𝐹 + 5 . (𝐹 − 9 𝐹) = 99
9
5
5
P = 5 . (𝐹. 9 𝐹)
5
J + P = 99
2
9𝐹−5𝐹
𝐹 + 5.(
9
2 4𝐹
𝐹 +5.
9
5
9
25
8𝐹
9
9
) = 99
= 99
𝐹 + 45 = 99 (mmc:9;45)
8𝐹
𝐹 + 45 =
33F = 4455
4455
F = 33
F = 135
45
4455
45
4) Resposta “350 cards; 3˚ menino recebeu 100”.
Solução:
X = cards
(substituindo o “1°” e “2º” pelos valores respectivos)
3
3
2𝑥
1º = 7 . 𝑥
𝑥 + 7 = 250 (mmc: 1;7)
7
𝑥−
3𝑥
7
7𝑥−3𝑥
7
2º = 2 = 2
1º + 2º = 250
=
4𝑥
=
2𝑥
3x + 2x = 1750
5x = 1750
1750
X= 5
X = 350 cards.
------------------------------------------------------------------------------------------3
1º = 7 . 350 = 150
14
7
2
2º = 7 . 350 = 100
3º = 350 – 250 = 100
5) Resposta “200”.
Solução:
X = livro
3
1 dia = 5 𝑥
3
2 dia = ¾ (x – 5 𝑥)
3 dia = 20 páginas
1 dia + 2 dia + 3 dia = x
3
5
3
𝑥 + ¾ (x – 5 𝑥) + 20 = x
3
5𝑥−3𝑥
3
2𝑥
𝑥+¾(
5
5
3
5
𝑥+¾.
6𝑥
5
5
) + 20 = x
+ 20 = x
𝑥 + 20 + 20 = x (mmc:5;20)
7
12x + 6x + 400 = 20x
20x – 18x = 400
2x = 400
400
X = 2 = 200 páginas
6) Resposta “Ouro = 120; Bronze = 50”.
Solução:
O+P+B=T
3
1
T = total
+ 30 + 4𝑇 = T (mmc:5;4)
5𝑇
3
12𝑡
O = 5𝑇
P = 30
1
B = 4𝑇
5𝑡
600
20𝑡
+ 20 + 20 = 20
20
17T + 600 = 20T
20T – 17T = 600
3T = 600
600
T = 3 = 200 medalhas
---------------------------------------------------------------------3
3
O = 5𝑇 = 5 . 200 = 120
1
B = 4𝑇 = ¼ . 200 = 50
7) Resposta “Distancia total: 70 km; Quarta etapa: 10 km”.
Solução:
T = total
2
1ª = 7𝑇
3
2
2ª = 5 (𝑇 − 7 𝑇) =
3ª =
𝑇−
2𝑇 3𝑇
−
7
7
2
=
3
5
7𝑇−2𝑇
.(
7𝑇−2𝑇−3𝑇
7
2
1ª + 2ª + 3ª = 60
2𝑇
3𝑇
2𝑇
+ 7 + 14 = 60
7
4T + 6T + 2T = 840
12T = 840
840
T = 12
T = 70
7
=
)=
2𝑇
7
2
=
3
5
.
5𝑇
7
=
3𝑇
7
2𝑇
14
(mmc:7;14)
4ª = 70 – 60 = 10
8) Resposta “Gabriela: 28 anos; Lúcia: 21 anos”.
Solução:
3
L + G = 49 anos
L=
3
4𝐺
3
(substitui a letra “L” por 4𝐺)
+ G = 49
3G + 4G = 196
7G = 196
196
G = 7 = 28 anos
4𝐺
(mmc:1;4)
8
L = 49 – 28 = 21 anos
9) Resposta “135 metros”.
Solução:
M = muro
2
1 dia = 5 𝑀
2 dia = 51 metros
2
7
𝑀 + 51 = 9 𝑀
5
18𝑀
2295
(mmc:5;9)
35𝑀
+ 45 = 45
18M + 2295 = 35M
35M – 18M = 2295
17M = 2295
2295
M = 17
M = 135 metros.
45
10) Resposta “144 páginas”.
Solução:
P = total
3
Azul = 8 𝑃
Vermelha = 58
3
8
7
𝑃 + 58 = 9 𝑃
(mmc:8;9)
27P + 4176 = 56P
56P – 27P = 4176
29P = 4176
4176
P = 29 = 144 páginas
9
Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes
números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são
conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia,
difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que
ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero
foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a
deficiência de algo nulo.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e
escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três
pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número
dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
a) O sucessor de m é m+1.
b) O sucessor de 0 é 1.
c) O sucessor de 1 é 2.
d) O sucessor de 19 é 20.
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são
chamados números consecutivos.
Exemplos:
a) 1 e 2 são números consecutivos.
b) 5 e 6 são números consecutivos.
c) 50 e 51 são números consecutivos.
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo
é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro
e assim sucessivamente.
Exemplos:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem
antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
10
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora
uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes
utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o
conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às
vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A
está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição
acima for satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita
denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de
conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do
conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A = B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão
distintos.
Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no
conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não
podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso,
afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos
números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas
operações: adição e multiplicação.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só
número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indoarábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio
de pedras ou por meio de ábacos.
Propriedades da Adição
- Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de
dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é
fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de
composição interna no conjunto N.
11
- Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição
de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas
de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o
segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é
igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)
- Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o
zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro
(zero), o resultado será o próprio número natural.
- Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem
das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda
parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira
parcela.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado
multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número
denominadas multiplicador.
Exemplo
4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram
o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a
multiplicação.
Propriedades da multiplicação
- Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois
realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato
que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto
como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos
diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos
por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo
produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n . p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60
- Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para
a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1
=n→1.7=7.1=7
- Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos
fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo
elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo
primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que
multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.
m . (p + q) = m . p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
12
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo
está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o
outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se
multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é
possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a
divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o
dividendo. 35 : 7 = 5
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo
quociente. 35 = 5 x 7
- A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que
o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q
= 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita
impossível.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão m n é um produto de n fatores iguais ao
número m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m → m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número
de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é
denominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:
23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 43 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação
- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será
sempre igual a 1.
Exemplos:
a- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
b- 13 = 1×1×1 = 1
c- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
- Se n é um número natural não nulo, então temos que n o=1. Por exemplo:
- (a) nº = 1
- (b) 5º = 1
- (c) 49º = 1
- A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do
Ensino Fundamental.
- Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é
igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:
13
- (a) n¹ = n
- (b) 5¹ = 5
- (c) 64¹ = 64
- Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
Exemplos:
a- 103 = 1000
b- 108 = 100.000.000
c- 10o = 1
Exercícios
1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente:
2. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de
n será?
3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos
de 1cm² cabem no quadrado?
3cm
4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²?
5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico,
precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e
3cm de altura?
6. Faça a potenciação dos seguintes números:
a) 2³
b) 5³
c) 2²
d) 64
7. Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b × b × b?
8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os
números?
9. Realize a divisão nos seguintes números naturais:
a) 125 : 5
b) 36 : 6
c) 49 : 7
10. Calcule:
a) -8 + 5
b) -5 – 7
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17)
14
d) –(-5) + (-10) - 14
Respostas
1) Solução: O antecedente de um número n será n – 1, pois é aquele que antecede o n.
Já o consecutivo é n + 1.
2) Solução: Sendo n par, o seu consecutivo será n + 2, e sendo impar o consecutivo
sendo impar o n será n + 1.
3) Resposta “9 quadradinhos”.
Solução: Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos:
9 x 1 = 9 quadradinhos
4) Resposta “9”.
Solução: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes:
3 x 3 = 9.
5) Resposta “27”.
Solução: Para construirmos um cubo, basta apenas multiplicarmos os lados:
3 x 3 x 3 = 27 cubinhos.
6) Solução:
a) 2 x 2 x 2 =
=8
b) 5 x 5 x 5 =
= 125
c) 2 x 2 =
=4
d) 6 x 6 x 6 x 6 =
= 1296
7) Resposta “4”.
Solução: R³[64] = 4, pois 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b³. Esta é uma propriedade de
potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o
resultado 64 é o número b = 4.
8) Resposta “1”.
Solução: O número 1, pois se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o
próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1
estudante.
9) Solução:
a) 125 : 5 =
= 25
15
b) 36 : 6 =
=6
c) 49 : 7 =
=7
10) Solução:
a) -8 + 5 =
= -3
b) -5 – 7 =
= -12
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) =
= 10 + 8 – 12 + 17 =
= 25 – 12 =
= 13
d) –(-5) + (-10) – 14 =
= 5 – 10 – 14 =
= 5 – 24 =
= -19
16
CONJUNTOS
Conjunto dos Números Inteiros – Z
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números
naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero.
Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode
ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis:
- O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...};
Z* = Z – {0}
- O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N
- O conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}
- O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- O conjunto dos números inteiros negativos:
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse
número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando
apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da
origem.
Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente
o oposto de zero é o próprio zero.
Adição de Números Inteiros
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros
positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
17
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do
número negativo nunca pode ser dispensado.
Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição,
isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + (b + c) = (a + b) + c
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a+b=b+a
3+7=7+3
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio
z, isto é:
z+0=z
7+0=7
Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (–z) = 0
9 + (–9) = 0
Subtração de Números Inteiros
A subtração é empregada quando:
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a
outra;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a
outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4
4+5=9
diferença
subtraendo
minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus.
Qual foi a variação da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite,
a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3
18
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5)
+ (–3).
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o
primeiro com o oposto do segundo.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os
números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos
ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30
vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um
x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 =
60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2)
= –60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são
repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou
ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra
de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números
Iguais
Diferentes
Resultado
produto
Positivo
Negativo
do
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a
multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
axb=bxa
19
3x7=7x3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o
próprio z, isto é:
zx1=z
7x1=7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z–1=1/z em
Z, tal que
z x z–1 = z x (1/z) = 1
9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
Divisão de Números Inteiros
Dividendo divisor dividendo:
Divisor = quociente 0
Quociente . divisor = dividendo
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros.
Veja o cálculo:
(–20) : (+5) = q (+5) . q = (–20) q = (–4)
Logo: (–20) : (+5) = +4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um
número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do
dividendo pelo módulo do divisor. Daí:
- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro
positivo.
- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro
negativo.
- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou
(–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um
número inteiro.
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade
da existência do elemento neutro.
20
1- Não existe divisão por zero.
Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto
por zero seja igual a –15.
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto
de qualquer número inteiro por zero é igual a zero.
Exemplos: a) 0 : (–10) = 0
b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O
número a é denominado a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
33 = (3) x (3) x (3) = 27
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125
(-7)² = (-7) x (-7) = 49
(+9)² = (+9) x (+9) = 81
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo.
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo.
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo.
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
Propriedades da Potenciação:
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os
expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9
Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os
expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2
Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 =
(+4)5 . 2 = (+4)10
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9
(–13)1 = –13
Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 =
1
(–35)0 = 1
Radiação de Números Inteiros
21
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro
número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n
é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical).
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em
outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto
dos números inteiros.
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em
algumas aulas aparecimento de:
9 = ±3
mas isto está errado. O certo é:
9 = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele
mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro
número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os
nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos
(a)
(b)
3
8 = 2, pois 2³ = 8.
8 = –2, pois (–2)³ = -8.
(c) 27 = 3, pois 3³ = 27.
(d) 3 27 = –3, pois (–3)³ = -27.
3
3
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros,
concluímos que:
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
Exercícios
1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos?
2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual
é esse número inteiro?
3. Calcule:
a) (+12) + (–40)
b) (+12) – (–40)
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)
22
4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras:
a) x + (–12) = –5
b) x + (+9) = 0
c) x – (–2) = 6
d) x + (–9) = –12
e) –32 + x = –50
f) 0 – x = 8
5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do
Sul, num determinado dia, segundo as informações?
Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.
Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.
Máxima prevista 37° no Piauí.
6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles
é –10?
7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o
produto desses três números.
8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas
se mantenham:
a) (–140) : x = –20
b) 144 : x = –4
c) (–147) : x = +21
d) x : (+13) = +12
e) x : (–93) = +45
f) x : (–12) = –36
9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtémse +324. Que número é esse?
10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e
subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?
Respostas
1) Resposta “9²”.
Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.
Os números quadrados perfeitos são:
1² = 1 (menor que dois algarismos)
2² = 4
3² = 9
4² = 16 (dois algarismos)
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
23
10² = 100 (mais que dois algarismos)
Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81
2) Resposta “270”.
Solução:
(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101
55 – 51 + 165 + 101 = 270
Portanto, o número inteiro é 270.
3) Solução:
a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28
b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 6 – 24 = -18
4) Solução:
a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7
b) x + (+9) = 0 → x = -9
c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4
d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3
e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18
f) 0 – x = 8 → x = -8
5) Resposta “40˚”.
Solução:
A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º,
7º... será +40º.
6) Resposta “-1320”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x+2 = -10
x= -10 -2
x = -12
(-12) . (-12+1) . (-12+2) =
-12 . -11 . -10 = - 1320
7) Resposta “999900”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x= 99
(99) . (99+1) . (99+2) =
99 . 100 . 101 = 999900
24
8) Solução:
a) (–140) : x = –20
x = -20 . -140
x = 2800
b) 144 : x = –4
x = -4 . 144
x = -576
c) (–147) : x = +21
x = 21 . -147
x = -3087
d) x : (+13) = +12
x = 12 . 13
x = 156
e) x : (–93) = +45
x = 45 . -93
x = -4185
f) x : (–12) = –36
x = -36 . -12
x = 432
9) Resposta “738”.
Solução:
x + (-846) . -3 = 324
x – 846 . -3 = 324
-3 (x – 846) = 324
-3x + 2538 = 324
3x = 2538 – 324
3x = 2214
2214
x= 3
x = 738
10) Resposta “3”.
Solução: Seja t o total da adição inicial.
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 8 unidades: t + 8
Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido de 5 unidades: Temos:
t+8-5=t+3
Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.
25
Cálculos Algébricos
Expressões Algébricas: São aquelas que contêm números e letras.
Ex: 2ax² + bx
Variáveis: São as letras das expressões algébricas que representam um número real e
que de princípio não possuem um valor definido.
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que obtemos substituindo as
variáveis por números e efetuamos suas operações.
Ex: Sendo x = 1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da expressão:
x² + y » 1² + 2 = 3 Portando o valor numérico da expressão é 3.
Monômio: Os números e letras estão ligados apenas por produtos.
Ex: 4x
Polinômio: É a soma ou subtração de monômios.
Ex: 4x + 2y
Termos semelhantes: São aqueles que possuem partes literais iguais (variáveis)
Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z são termos semelhantes pois possuem a mesma parte
literal.
Adição e Subtração de expressões algébricas
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou
subtrair os termos semelhantes.
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou
2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z
Convém lembrar-se dos jogos de sinais.
Na espressão (x³ + 2 y² + 1) – (y ² - 2) = x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3
Multiplicação e Divisão de expressões algébricas
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos usar a propriedade
distributiva.
Exemplos:
1) a (x + y) = ax + ay
2) (a + b).(x + y) = ax + ay + bx + by
3) x (x² + y) = x³ + xy
Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os
expoentes.
Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes
Exemplos:
1) 4x² ÷ 2x = 2x
2) (6x³ - 8x) ÷ 2x = 3x² - 4
26
3)
Resolução:
=
Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos semelhantes.
Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas partes literais são idênticas.
Veja:
5x2 e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2 e x, as letras são iguais, mas o
expoente não, então esses termos não são semelhantes.
7ab2 e 20ab2 são dois termos, suas partes literais são ab2 e ab2, observamos que elas
são idênticas, então podemos dizer que são semelhantes.
Adição e subtração de monômios
Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre termos semelhantes. E
quando os termos envolvidos na operação de adição ou subtração não forem
semelhantes, deixamos apenas a operação indicada.
Veja:
Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a
adição e a subtração deles.
5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
25 xy2
5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
- 15 xy2
Veja alguns exemplos:
- x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar o mmc de 6 e 9.
3x2 - 4 x2 + 18 x2
18
17x2
18
- 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos semelhantes: 12y3 – 7y3 + 4x2
– 5x2 agora efetuamos a soma e a subtração.
5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas
indicado à operação dos monômios.
27
Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x + 2x2. Depois calcule o seu
valor numérico da expressão. 4x2 – 5x - 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes. 4x2 +
2x2 – 5x - 3x
6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa
expressão.
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua
incógnita, que no caso do exercício é a letra x.
Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos:
6x2 - 8x
6 . (-2)2 – 8 . (-2) =
6 . 4 + 16 =
24 + 16
40
Multiplicação de monômios
Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta
multiplicarmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que
quando multiplicamos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz:
am . an = am + n (bases iguais na multiplicação repetimos a base e somamos os expoentes).
(3a2b).(- 5ab3) na multiplicação dos dois monômios, devemos multiplicar os coeficientes
3 . (-5) e na parte literal multiplicamos as que têm mesma base para que possamos usar a
propriedade am . an = am + n.
3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3
-15 a2 +1 b1 + 3
-15 a3b4
Divisão de monômios
Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam semelhantes, basta
dividirmos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Sendo que quando
dividirmos as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am ÷ an =
am - n (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os expoentes), sendo que a
≠ 0.
(-20x2y3) ÷ (- 4xy3) na divisão dos dois monômios, devemos dividir os coeficientes -20
e -4 e na parte literal dividirmos as que têm mesma base para que possamos usar a
propriedade am ÷ an = am – n.
-20 ÷ (– 4) . x2 ÷ x . y3 ÷ y3
5 x2 – 1 y3 – 3
5x1y0
5x
Potenciação de monômios
28
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar uma propriedade da
potenciação:
I - (a . b)m = am . bm
II - (am)n = am . n
Veja alguns exemplos:
(-5x2b6)2 aplicando a propriedade
I - (-5)2 . (x2)2 . (b6)2 aplicando a propriedade
II - 25 . x4 . b12 25x4b12
Binômio
Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b) n, sendo n um
número natural.
Exemplo:
B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton:
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Nota:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de
formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do
binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra
prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem
do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter
o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5 × 4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do
segundo termo) 20 ÷ 2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0 e os expoentes de b
crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2 (observe que o expoente de a
decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a 2b5)?
29
Pela regra: Coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de a
que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.
Então, 35 × 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105 ÷ 5 = 21, que
é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
Observações:
1) O desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) O desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) Os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos , no desenvolvimento de (a +
n
b) são iguais .
4) A soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a + b)n, sendo p um número natural, é
dado por:
Tp+1 = (𝑛𝑝) . an – p . bp, onde:
𝑛!
(𝑛𝑝) = Cn.p = 𝑝!(𝑛−𝑝)!
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n
elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos
de taxa p.
Este número é também conhecido como Número Combinatório.
Exercícios
1. Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9, desenvolvido segundo as potências
decrescentes de x.
2. Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8?
3. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n, obtemos um polinômio de 16
termos. Qual o valor de n?
𝟏
4. Determine o termo independente de x no desenvolvimento de (x + 𝒙 )6.
5. Calcule: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2).
6. Efetue e simplifique o seguinte calculo algébrico: (2x+3).(4x+1).
30
7. Efetue e simplifique os seguintes cálculos algébricos:
a) (x - y).(x² - xy + y²)
b) (3x - y).(3x + y).(2x - y)
8. Dada a expressão algébrica bc – b2, determine o seu valor numérico quando b
= 2,2 e c = 1,8.
9. Calcule o valor numérico da expressão 2x3 – 10y, quando x = -3 e y = -4.
10. Um caderno curta y reais. Gláucia comprou 4 cadernos, Cristina comprou 6
cadernos, e Karina comprou 3. Qual é o monômio que expressa a quantia que as
três gastaram juntas?
Respostas
1) Resposta “672x3”.
Solução: Primeiro temos que aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n, onde:
a = 2x
b=1
n=9
Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e efetuamos
os cálculos indicados.
Temos então:
9!
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 × (1)6 = [(9−6)! ×6!] × (2𝑥)3 × 1 =
Portanto o sétimo termo procurado é
9 .8 .7 .6!
3 .2.1 .6!
× 8𝑥³ = 672𝑥³
672x3.
2) Resposta “90720x4y4”.
Solução: Temos:
a = 2x
b = 3y
n=8
Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos, porque n = 8. Ora sendo T1
T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo
médio) será o T5 (quinto termo).
Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5. Para isto, basta fazer p = 4 na
fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos:
8!
8 .7 .6 .5 .4!
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 = [(8−4)! .4!] . (2x)4 . (3y)4 = (4! .4 .3 .2 .1 . 16x4 . 81y4
Fazendo as contas vem:
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.
3) Resposta “5”.
Solução: Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do
binômio é igual a 15.
Logo,
31
3n = 15 de onde se conclui que n = 5.
4) Resposta “20”.
Solução: Sabemos que o termo independente de x é aquele que não depende de x, ou
seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado:
a=x
1
b=𝑥
n = 6.
Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:
1
Tp+1 = C6,p . x6-p . (𝑥)p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p .
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser
zero, pois x0 = 1.
Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p = 3. Substituindo então p por 6, teremos o termo
procurado. Temos então:
6!
6 .5 .4 .3!
T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 = [(6−3)! .3!] = 3! .2 .1 = 20
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é igual a 20.
5) Solução:
(3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2)
3x² + 2x – 1 – 2x² + 4x + 2 =
x² + 6x + 1
6) Solução:
(2x+3).(4x+1)
8x² + 2x + 12x + 3 =
8x² + 14x + 3
7) a - Solução:
(x - y).(x² - xy + y²)
x³ - x²y + xy² - x²y + xy² - y³ =
x³ - 2x²y + 2xy² - y³ =
b - Solução:
(3x - y).(3x + y).(2x - y)
(3x - y).(6x² - 3xy + 2xy - y²) =
(3x - y).(6x² - xy - y²) =
18x³ - 3x²y - 3xy² - 6x²y + xy² + y³ =
18x³ - 9x²y - 2xy² + y³
8) Resposta “-0,88”.
Solução:
bc – b2 =
2,2 . 1,8 – 2,22 = (Substituímos as letras pelos valores passados no enunciado)
3,96 – 4,84 =
-0,88.
Portanto, o valor procurado é 0,88.
32
9) Resposta “-14”.
Solução:
2x3 – 10y =
2.(-3)² - 10.(-4) = (Substituímos as letras pelos valores do enunciado da questão)
2.(27) – 10.(-4) =
(-54) – (-40) =
-54 + 40 = -14.
Portanto -14 é o valor procurado na questão.
10) Resposta “13y reais”.
Solução: Como Gláucia gastou 4y reais, Cristina 6y reais e Karina 3y reais, podemos
expressar essas quantias juntas por:
4y + 6y + 3y =
(4 + 6 + 3)y =
13y
Importante: Numa expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são
semelhantes, podemos tornar mais simples a expressão somando algebricamente os
coeficientes numéricos e mantendo a parte literal.
33
Conjunto dos Números Racionais – Q
m
, onde m e n são números
n
inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para
significar a divisão de m por n.
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre
dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é
denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Um número racional é o que pode ser escrito na forma
Q={
m
: m e n em Z, n diferente de zero}
n
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
p
, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na
q
forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
Tomemos um número racional
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos.
Decimais Exatos:
2
= 0,4
5
1
= 0,25
4
35
= 8,75
4
153
= 3,06
50
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos
nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1
= 0,333...
3
34
1
= 0,04545...
22
167
= 2,53030...
66
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal,
procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem
a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais do número decimal dado:
9
10
57
5,7 =
10
76
0,76 =
100
348
3,48 =
100
5
1
0,005 =
=
1000 200
0,9 =
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o
procedimento através de alguns exemplos:
Exemplo 1
Seja a dízima 0, 333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333...
9x = 3 x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
3
.
9
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717... .
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512 x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração
512
.
99
35
Exemplo 3
Seja a dízima 1, 23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34...
990x = 1222
x = 1222/990
Simplificando, obtemos x =
611
, a fração geratriz da dízima 1, 23434...
495
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao
ponto de abscissa zero.
3
3
3
3
Exemplo: Módulo de –
é . Indica-se =
2
2
2
2
Módulo de +
3
3
3
3
é . Indica-se =
2
2
2
2
3
3
e
são números racionais opostos ou
2
2
3
3
simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos –
e
ao
2
2
ponto zero da reta são iguais.
Números Opostos: Dizemos que –
Soma (Adição) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração,
a c
definimos a adição entre os números racionais e , da mesma forma que a soma de
b d
frações, através de:
a
c
ad bc
+
=
b
bd
d
Propriedades da Adição de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números
racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio
q, isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
Subtração de Números Racionais
36
A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do
número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração,
a c
definimos o produto de dois números racionais e , da mesma forma que o produto de
b d
frações, através de:
a
c
ac
x
=
b
bd
d
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b
ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra
de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo,
mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números
racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o
próprio q, isto é: q × 1 = q
a
b
- Elemento inverso: Para todo q =
em Q, q diferente de zero, existe q-1 = em Q: q ×
b
a
a
b
q-1 = 1
x
=1
b a
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do
número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1
37
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é
denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
2 2 2
8
2
a) = . . =
5 5 5 125
5
3
1 1 1
1
1
b) = . . =
8
2 2 2
2
3
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.
0
2
= 1
5
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
1
9
9
=
4
4
- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é
igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual
ao oposto do expoente anterior.
2
2
25
3
5
= =
9
5
3
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.
3
2 2 2
8
2
= . . =
27
3 3 3
3
- Toda potência com expoente par é um número positivo.
2
1 1
1
1
= . =
25
5 5
5
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de
mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.
23
5
2
3
2 2
2 2 2 2 2 2
2
.
=
.
.
.
.
5 5 5 5 5 5
5
5 5
38
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de
mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
3 3 3 3 3
5
2
5 2
3
. . . .
3
3
3
3
2
2
2
2
2
:
3 3
2 2
2
2
.
2 2
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um
só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
3
2
2
2
2 2 2
3 2
6
1 2
1 1 1
1
1
1
. .
2 2 2
2
2
2
2
Radiciação de Números Racionais
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator
é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1
4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se
4 = 2.
Exemplo 2
2
1
1 1
1
1
1
Representa o produto . ou .Logo, é a raiz quadrada de .Indica-se
9
3 3
3
9
3
1
=
9
1
3
Exemplo 3
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6) 3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216.
Indica-se 3 0,216 = 0,6.
Assim, podemos construir o diagrama:
N
Z
Q
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número
racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
100
10
10
O número
não tem raiz quadrada em Q, pois tanto
como
, quando
9
3
3
100
elevados ao quadrado, dão
.
9
39
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais
se ele for um quadrado perfeito.
2
O número
não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que
3
2
elevado ao quadrado dê .
3
Exercícios
1. Calcule o valor das expressões numéricas:
5 1 7 3
7
a)
–
24 12 8 6 4
3 1 5 9 7
b) : –
16 12 2 4 2
2. Escreva o produto
3
7
2 2
. como uma só potência.
3 3
12
4
16 16
3. Escreva o quociente : como uma só potência.
25 25
3
13 1 3
4. Qual é o valor da expressão
: ?
24 2 4
5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com
𝟑
𝟏
𝟔
das figurinhas,
enquanto Cristina contribuiu com 𝟒 das figurinhas. Com que fração das figurinhas
as duas juntas contribuíram?
𝟏
𝟏
6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 𝟒 do livro e no dia seguinte leu 𝟔 do
livro. Então calcule:
a) A fração do livro que ela já leu.
b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
𝟒
𝟏
7. Em um pacote há 𝟓 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 𝟑. Quantos quilos de
açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?
8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os
Que fração da rua ainda resta asfaltar?
𝟓
𝟗
da rua já foram asfaltados.
𝟏
9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 𝟑 desses apartamentos
𝟏
foi vendido e 𝟔 foi reservado. Assim:
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?
40
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou
reservados?
10. Transforme em fração:
a) 2,08
b) 1,4
c) 0,017
d) 32,17
Respostas
1) Solução:
5 1 7 3
7
a)
–
24 12 8 6 4
3 1 5 9 7
b) : –
16 12 2 4 2
3
5
9−4
36 5
5
9 5 5 −9 + 10 + 5
6
3
[ 16 + ] − (
) = (− + ) − (− ) = − + + =
=− =−
1
4
16 2
4
4 2 4
4
4
2
− 12 2
mmc:(4;2)=4
2) Solução:
10
2
3
3) Solução:
8
16
25
4) Solução:
3
13 1 3
:
24 2 4
−
13 1 3
13 4
−13 + 4
9
3
− : =− +
=
=−
=−
24 8 4
24 24
24
24
8
11
5) Resposta “12 ".
Solução:
1
3
2
9
11
+
=
+
=
6
4
12
12
12
6) Solução:
1
1
3
2
5
a) 4 + 6 = 12 + 12 = 12
41
b) 1 −
5
12
=
12
12
−
5
12
=
7
12
7
7) Respostas “15 ".
Solução:
4
1
12
5
7
− 3 = 15 − 15 = 15
5
4
8) Resposta “9 ".
Solução:
5
9
5
4
1− 9=9−9 =9
9) Solução:
1
1
2
1
3
1
a) 3 + 6 = 6 + 6 = 6 = 2
b) 1 −
1
2
2
1
1
=2−2=2
10) Solução:
208
52
a) 2,08 → 100 = 25
14
7
b) 1,4 → 10 = 5
17
c) 0,017 → 1000
d) 32,17 →
3217
100
Números irracionais
42
Os números racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma
fração a/b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente
de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero.
Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número
decimal periódico, também conhecido como dízima periódica.
Vejam os exemplos de números racionais a seguir:
3 / 4 = 0,75 = 0, 750000...
- 2 / 3 = - 0, 666666...
1 / 3 = 0, 333333...
2 / 1 = 2 = 2, 0000...
4 / 3 = 1, 333333...
- 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000...
0 = 0, 000...
Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de
fração a/b, conhecidos como números irracionais.
Exemplo
O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica: x
= 0,10100100010000100000...
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem
infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito
importantes, são:
e = 2,718281828459045...,
Pi (𝜋) = 3,141592653589793238462643...
Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas,
volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc.
Classificação dos Números Irracionais
Existem dois tipos de números irracionais:
- Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes
inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de
somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números
inteiros é um número algébrico, por exemplo,
.
A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser
expressos através de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini.
- Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes
inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de
Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais números transcendentes do que números
algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos).
43
A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usandose números complexos.
Identificação de números irracionais
Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que:
- Todas as dízimas periódicas são números racionais.
- Todos os números inteiros são racionais.
- Todas as frações ordinárias são números racionais.
- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
- Todas as raízes inexatas são números irracionais.
- A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número
irracional.
- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: √5 - √5 = 0 e 0 é um número racional.
- O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional.
- O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional.
Exemplo: √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional.
- A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais,
resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais.
- A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números
irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( ∅ ).
Simbolicamente, teremos:
Q∪I=R
Q∩I=∅
Números Fracionários
44
Adição e Subtração
Frações com denominadores iguais:
Exemplo
3
2
de um tablete de chocolate e Miguel desse mesmo tablete. Qual a
8
8
fração do tablete de chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos?
A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela também estão representadas
as frações do tablete que Jorge e Miguel comeram:
Jorge comeu
3/8
2/8
5/8
3 2
5
Observe que +
=
8 8
8
5
do tablete de chocolate.
8
Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm denominadores iguais,
conservamos o denominador comum e somamos ou subtraímos os numeradores.
Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos
Outro Exemplo:
3 5 7 357 1
2 2 2
2
2
Frações com denominadores diferentes:
Calcular o valor de
3 5
. Inicialmente, devemos reduzir as frações ao mesmo
8 6
denominador comum:
mmc (8,6) = 24
3 5
9 20
=
8 6 24 24
24 : 8 . 3 = 9
24 : 6 . 5 = 20
Devemos proceder, agora, como no primeiro caso, simplificando o resultado, quando
possível:
9 20 9 20 29
=
24 24
24
24
Portanto:
3 5
9 20 9 20 29
=
=
8 6 24 24
24
24
45
Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm os denominadores diferentes,
reduzimos inicialmente as frações ao menor denominador comum, após o que
procedemos como no primeiro caso.
Multiplicação
Exemplo
4
2
são bananas. Do total de bananas,
estão estragadas.
5
3
Qual é a fração de frutas da caixa que estão estragadas?
De uma caixa de frutas,
Representa 4/5 do conteúdo da caixa
Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa.
2
4
de que, de
3
5
8
2
acordo com a figura, equivale a
do total de frutas. De acordo com a tabela acima, de
15
3
4
2 4
equivale a . . Assim sendo:
5
3 5
Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor de
2 4
8
. =
3 5 15
Ou seja:
2
4 2 4 2 .4
8
de = . =
=
3
5 3 5 3.5 15
O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo numerador é o produto dos
numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das frações dadas.
Outro exemplo:
2 4 7 2.4.7 56
. .
3 5 9 3.5.9 135
Observação: Sempre que possível, antes de efetuar a multiplicação, podemos
simplificar as frações entre si, dividindo os numeradores e os denominadores por um fator
comum. Esse processo de simplificação recebe o nome de cancelamento.
46
21 4 9 3
12
. . 5
1
25
3 5 10
Divisão
Duas frações são inversas ou recíprocas quando o numerador de uma é o
denominador da outra e vice-versa.
Exemplo
2
3
é a fração inversa de
3
2
5 ou
5
1
é a fração inversa de
1
5
Considere a seguinte situação:
4
dos chocolates contidos em uma caixa. Do total de
5
chocolates recebidos, Lúcia deu a terça parte para o seu namorado. Que fração dos
chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lúcia?
Lúcia recebeu de seu pai os
A solução do problema consiste em dividir o total de chocolates que Lúcia recebeu de
4
seu pai por 3, ou seja, : 3.
5
1
Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular desse algo.
3
4
4
1
Portanto: : 3 = de
5
5
3
Como
1
4 1 4 4 1
4
4 3 4 1
de = . = . , resulta que : 3 = : = .
3
5 3 5 5 3
5
5 1 5 3
São frações inversas
3
1
e
são frações inversas, podemos afirmar que:
1
3
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda.
Observando que as frações
Portanto
4
4 3
4 1
4
:3= :
= . =
5
5 1
5 3 15
Ou seja, o namorado de Lúcia recebeu
Outro exemplo:
4
do total de chocolates contidos na caixa.
15
4 8 41 5 5
: .
3 5 3 82 6
47
Observação:
3
3 1
Note a expressão: 2 . Ela é equivalente à expressão : .
1
2 5
5
3
3 1
3 5 15
: = . =
Portanto 2 =
1
2 5
2 1 2
5
Números Decimais
Adição e Subtração
Vamos calcular o valor da seguinte soma:
5,32 + 12,5 + 0, 034
Transformaremos, inicialmente, os números decimais em frações decimais:
5,32 + 12,5 + 0, 034 =
352 125
34
100 10 1000
5320 12500
34
17854
= 17, 854
1000 1000 1000 1000
Portanto: 5,32 + 12,5 + 0, 034 = 17, 854
Na prática, a adição e a subtração de números decimais são obtidas de acordo com a
seguinte regra:
- Igualamos o número de casas decimais, acrescentando zeros.
- Colocamos os números um abaixo do outro, deixando vírgula embaixo de vírgula.
- Somamos ou subtraímos os números decimais como se eles fossem números
naturais.
- Na resposta colocamos a vírgula alinhada com a vírgula dos números dados.
Exemplo
2,35 + 14,3 + 0, 0075 + 5
Disposição prática:
2,3500
14,3000
48
0,0075
5,0000
21,6575
Multiplicação
Vamos calcular o valor do seguinte produto: 2,58 x 3,4.
Transformaremos, inicialmente, os números decimais em frações decimais:
2,58 x 3,4 =
258 34 8772
.
8,772
100 10 1000
Portanto 2,58 x 3,4 = 8,772
Na prática, a multiplicação de números decimais é obtida de acordo com as seguintes
regras:
- Multiplicamos os números decimais como se eles fossem números naturais.
- No resultado, colocamos tantas casas decimais quantas forem as do primeiro fator
somadas às do segundo fator.
Exemplo: 652,2 x 2,03
Disposição prática:
652,2
X 2,03
19 566
1 304 4
1 323,966
1 casa decimal
2 casas decimais
1 + 2 = 3 casas decimais
DIVISÃO
Numa divisão em que:
D é o dividendo
d é o divisor
temos:
q é o quociente
r é o resto
D
r
d
q
D=q.d+r
Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor
Vamos, por exemplo, efetuar a seguinte divisão: 24 : 0,5.
Inicialmente, multiplicaremos o dividendo e o divisor da divisão dada por 10.
24 : 0,5 = (24 . 10) : (0,5 . 10) = 240 : 5
49
A vantagem de tal procedimento foi a de transformarmos em número natural o número
decimal que aparecia na divisão. Com isso, a divisão entre números decimais se
transforma numa equivalente com números naturais.
Portanto:
24 : 0,5 = 240 : 5 = 48
Na prática, a divisão entre números decimais é obtida de acordo com as seguintes
regras:
- Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do divisor.
- Cortamos as vírgulas e efetuamos a divisão como se os números fossem naturais.
Exemplo 1
24 : 0,5
Disposição prática:
24,0 0,5
40 48
0
Nesse caso, o resto da divisão é igual à zero. Assim sendo, a divisão é chamada de
divisão exata e o quociente é exato.
Exemplo 2
9,775 : 4,25
Disposição prática:
9,775
1 275
4,250
2
Nesse caso, o resto da divisão é diferente de zero. Assim sendo, a divisão é chamada
de divisão aproximada e o quociente é aproximado.
Se quisermos continuar uma divisão aproximada, devemos acrescentar zeros aos
restos e prosseguir dividindo cada número obtido pelo divisor. Ao mesmo tempo em que
colocamos o primeiro zero no primeiro resto, colocamos uma vírgula no quociente.
9,775
1 2750
4,250
2,
Acrescentamos um zero ao primeiro resto.
quociente.
.
9,775
1 2750
0000
4,250
2,3
Colocamos uma vírgula no
Exemplo 3
0,14 : 28
50
0,14000
0000
28,00
0,005
Exemplo 4
2 : 16
20
16
40 0,125
80
0
Exercícios
1. Indique as divisões em forma de fração:
a) 14 : 7
b) 18 : 8
c) 5 : 1
d) 15 : 5
e) 18 : 9
f) 64 : 8
2. Efetue as adições:
a) 3/6 + 2/6
b) 13/7 + 1/7
c) 2/7+ 1/7 + 5/7
d) 4/10 + 1/10 + 3/10
3. Efetue as subtrações:
a) 7/9 – 5/9
b) 9/5 – 2/5
c) 2/3 – 1/3
d) 8/3 – 2/3
Respostas
1) Solução:
14
a)
7
b)
18
8
5
c) 1
d)
e)
15
5
18
9
51
f)
64
8
2) Solução:
3
2
3+2
5
a) 6 + 6 = 6 = 6.
b)
13
7
2
1
13+1
+7=
1
7
5
c) 7 + 7 + 7 =
4
1
14
=
7
2+1+5
7
3
d) 10 + 10 + 10 =
.
8
= 7.
4+1+3
120
8
= 10.
3) Solução
7
5
7−5
2
a) 9 − 9 = 9 = 9.
9
2
b) 5 − 5 =
2
1
c) 3 − 3 =
8
2
d) 3 − 3 =
9−2
5
2−1
3
7
= 5.
8−2
3
1
= 3.
6
= 3.
52
Números Primos
Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o
número um e ele mesmo.
Nos inteiros,
é um primo se ele tem exatamente quatro divisores:
e
.
Uma definição um pouco mais técnica, que permite generalizar este conceito para outros
conjuntos, é dizer que o conjunto dos divisores de p que não são inversíveis não é vazio,
e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis.
Por definição, 0, 1 e − 1 não são números primos.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300
a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também
são utilizadas como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o
termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.
Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto.
Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos
resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma
que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única
(desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores
primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Os 100 primeiros números primos positivos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181,
191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281,
283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397,
401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503,
509, 521, 523, 541
Exemplos
1 não é primo pois D(1)={1}
2 é primo pois D(2)={1,2}
3 é primo pois D(3)={1,3}
5 é primo pois D(5)={1,5}
7 é primo pois D(7)={1,7}
14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}
Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser
escrito como o produto de números primos, de forma única.
Múltiplos e Divisores
Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número
natural k tal que:
a=k.b
Exemplo 1
15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5.
53
Quando a = k x b, segue que a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é
o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois: 35 = 7 x 5.
Quando a = k x b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos
os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis.
Por exemplo, para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a = k x 2, k
seria substituído por todos os números naturais possíveis.
Observação: Um número b é sempre múltiplo dele mesmo.
a = 1 x b ↔ a = b.
Exemplo 2
Basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio: 3
=1x3
A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo.
Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.
Exemplo 3
3 é divisor de 15, pois 15 = 3 x 5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.
Um número natural tem uma quantidade finita de divisores.
Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no
conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.
Os divisores naturais de 6 são os números 1, 2, 3, 6, o que significa que o número 6 tem 4
divisores.
Exercícios
1. Para encontrar os divisores de um número natural a, basta saber quais os
elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número a. Com base
nessa afirmação, encontre o conjunto de divisores de cada um dos seguintes
números: 25, 32, 13, 18 e 60.
2. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre ele e 3 amigos de
modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse
com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?
3. Seja b um número natural. Sabendo-se que 64 = b × b × b obtenha o valor de b.
4. Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos são os números
2 e 3.
5. Quantos elementos possuem e como é escrito o conjunto dos múltiplos do
elemento “o”?
54
6. De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de
um número natural n?
7. Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada
tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?
8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os
números?
9. O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta.
10. Qual é o menor número primo com dois algarismos?
Respostas
1) Solução:
D(25) = {1, 5, 25}
D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
D(13) = {1, 13}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Encontramos apenas alguns números naturais que, multiplicados entre si, têm por
resultado 32:
1 x 32 = 32; 2 x 16 = 32; 4 x 8 = 32
8 x 4 = 32; 16 x 2 = 32; 32 x 1 = 32
2) Solução:
Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 bolinhas para os outros 3
meninos. Se o segundo receber 4, sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O
terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.
3) Resposta “b = 4”.
Solução:
R3[64] = 4.
Temos que 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b3. Esta é uma propriedade de potenciação. A
base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o
número b = 4.
4) Resposta “12, 18, 108”.
Solução: A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos estão na justificativa
abaixo.
Para chegarmos a alguns números que possuem por fatores apenas os números 2 e 3
não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um
número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é "criá-lo" multiplicando 2 e 3
quantas vezes quisermos.
Exemplos:
2 x 2 x 3 = 12
3 x 3 x 2 = 18
55
2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108.
5) Solução:
Possui apenas um elemento e o conjunto de múltiplos de “o” é escrito da forma: M(o) =
{o}
O conjunto de múltiplos de “o” é chamado de conjunto unitário, por que:
M(o) = {ox0, ox1, ox2, ox3, ox4, ox5,...}
M(o) = {o, o, o, o, o,...} = {o}
6) Solução:
M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, 5n, ...}
Seja N o conjunto dos números naturais: N = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}
Se n é um número do qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de n por
cada elemento de N é da forma:
M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, ...}
7) Resposta “6 presentes”.
Solução:
2 x 3 = 6.
Logo, no total, Maria ganhou 6 presentes.
8) Resposta “número 1”.
Solução:
O número 1.
Se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio n.
Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante.
9) Resposta “Errado”.
Solução:
Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.
10) Resposta “número 11”.
56
Número de Elementos da União e da Intersecção de
Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma
relação entre os respectivos números de elementos.
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam
contados duas vezes.
Observações:
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no
outro, ainda assim a relação dada será verdadeira.
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos
com a mesma eficiência.
Observe o diagrama e comprove.
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) −
−𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
Conjuntos
Conjuntos Primitivos
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primitivos, ou seja, não são
definidos.
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos
exemplos de conjuntos.
57
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um
conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto
pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto.
Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto onde
cada elemento (reta) é também conjunto (de pontos).
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os
elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa
obrigatoriedade.
Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por letras maiúsculas e as retas
(que são conjuntos de pontos) por letras minúsculas.
Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que nos dá um
relacionamento entre um elemento e um conjunto.
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x A
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x A
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.
Como representar um conjunto
Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves,
separando os por vírgula.
Exemplos
- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8.
{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m.
{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 3} e {3}.
Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os
elementos de um conjunto A, este fica bem determinado.
P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que,
dado um elemento x qualquer temos:
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por:
{x, tal que x tem a propriedade P}
Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o
mesmo conjunto por:
{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,
{x : x tem a propriedade P}
Exemplos
- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}
- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que {0, 1, 2, 3}
- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}
58
Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o
conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam
no “círculo”.
Exemplos
- Se A = {a, e, i, o, u} então
- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então
Conjunto Vazio
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do
alfabeto norueguês 0 ou, simplesmente { }.
Simbolicamente: x, x 0
Exemplos
- 0 = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}
- 0 = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}
- 0 = {x | x ≠ x}
Subconjunto
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos
que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e
indicamos por A B.
Simbolicamente: A B ( x)(x x B)
Portanto, A B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou,
ainda, A não está contido em B.
Por outro lado, A B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que
não é elemento de B.
Simbolicamente: A B ( x)(x A e x B)
Exemplos
- {2 . 4} {2, 3, 4}, pois 2 {2, 3, 4} e 4 {2, 3, 4}
- {2, 3, 4} {2, 4}, pois 3 {2, 4}
- {5, 6} {5, 6}, pois 5 {5, 6} e 6 {5, 6}
Inclusão e pertinência
A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e
recebe o nome de relação de inclusão ( ).
59
A relação de pertinência ( ) estabelece um relacionamento entre um elemento e um
conjunto e, portanto, é diferente da relação de inclusão.
Simbolicamente
x A {x} A
x A {x} A
Igualdade
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e
somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.
Simbolicamente: A = B A B e B A
Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a
demonstrar que A B e B A.
Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os
mesmos elementos.
Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B se, e somente se, A não
é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. Simbolicamente: A ≠ B A B ou B
A
Exemplos
- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} {4,2} e {4,2} {2,4}. Isto nos mostra que a ordem dos
elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um
conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em
que esses elementos são descritos.
- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} {2,4} e {2,4} {2,2,2,4}. Isto nos mostra que a
repetição de elementos é desnecessária.
- {a,a} = {a}
- {a,b = {a} a= b
- {1,2} = {x,y} (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)
Conjunto das partes
Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os
subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou
das partes) de A e é indicado por P(A).
Simbolicamente: P(A)={X | X A} ou X P(A) X A
Exemplos
a) = {2, 4, 6}
P(A) = { 0 , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}
b) = {3,5}
P(B) = { 0 , {3}, {5}, B}
c) = {8}
P(C) = { 0 , C}
60
d) = 0
P(D) = { 0 }
Propriedades
Seja A um conjunto qualquer e 0 o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades
0 ≠( 0 )
0 0
0 A 0 P(A)
0 0
0 { 0
}
A A A P(A)
Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2n
elementos.
União de conjuntos
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos
que pertencem a A ou a B. Representa-se por A B.
Simbolicamente: A B = {X | X A ou X B}
Exemplos
- {2,3} {4,5,6}={2,3,4,5,6}
- {2,3,4} {3,4,5}={2,3,4,5}
- {2,3} {1,2,3,4}={1,2,3,4}
- {a,b} {a,b}
Intersecção de conjuntos
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que
pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A B. Simbolicamente: A B
= {X | X A ou X B}
Exemplos
- {2,3,4} {3,5}={3}
- {1,2,3} {2,3,4}={2,3}
- {2,3} {1,2,3,5}={2,3}
- {2,4} {3,5,7}=
61
Observação: Se A B= , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.
Subtração
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que
pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B =
{X | X A e X B}
O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A,
representado por CAB.
Simbolicamente: CAB = A - B{X | X A e X B}
Exemplos
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}
CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}
CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5}
CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}
Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em
relação a A somente nos casos em que B A.
- Se B A representa-se por B o conjunto complementar de B em relação a A.
Simbolicamente: B A B = A – B = CAB`
Exemplos
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:
a) A = {2, 3, 4} A = {0, 1, 5, 6}
b) B = {3, 4, 5, 6 } B = {0, 1, 2}
c) C = C = S
62
Número de elementos de um conjunto
Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o
número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número
finito de elementos temos:
n(A B)=n(A)+n(B)-n(A B)
A B= n(A B)=n(A)+n(B)
n(A -B)=n(A)-n(A B)
B A n(A-B)=n(A)-n(B)
Exercícios
1. Assinale a alternativa a Falsa:
{3}
a)
b) (3) {3}
{3}
c)
d) 3 {3}
e) 3 = {3}
2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmações em
verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) 2 A
b) (2) A
c) 3 A
d) (3) A
e) 4 A
3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos (partes) possuem
o conjunto A?
4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos
possui o conjunto A?
5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8 } pedese:
a) A B
b) A B
c) A C
d) A C
6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Determine o conjunto X de tal
forma que: X A= e X A = S.
7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A X e A X={2,3,4}, determine o
conjunto X.
8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elementos de A
(B C), sabendo-se:
a) A B tem 29 elementos
63
b) A C tem 10 elementos
c) A B tem 7 elementos.
9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não
ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se
a) quantas crianças existem na escola?
b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?
10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
- Quando chove de manhã não chove à tarde;
- Houve 5 tardes sem chuva;
- Houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7
b)8
c)9
d)10
e)11
Respostas
1) Resposta “E”.
Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida pela relação de
pertinência ( ) e não pela relação de igualdade (=). Assim sendo, 3 {3} e 3≠{3}. De um
modo geral, x ≠ {x}, x.
2) Solução:
a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.
b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.
c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.
d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.
e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.
3) Resposta “32”.
Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então A possui 2k subconjuntos”,
concluímos que o conjunto A, de 5 elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.
4) Resposta “10”.
Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 2 k é o número de
subconjuntos de A.
Assim sendo: 2k=1024 2k=210 k=10.
5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do diagrama de Venn-Euler,
temos:
a)
64
A B={1,3,4,5,6,7}
b)
A B={3,4}
c)
A C={1,3,4,5,6,8}
d)
A C={4,6}
6) Resposta “X={1;3;5}”.
Solução: Como X A= e X A=S, então X= A =S-A=CsA X={1;3;5}
7) Resposta “X = {2;3;4}
Solução: Como A X, então A X = X = {2;3;4}.
8) Resposta “A”.
Solução: De acordo com o enunciado, temos:
n(A B C) = 7
n(A B) = a + 7 = 26 a = 19
n(A C) = b + 7 = 10 b = 3
Assim sendo:
e portanto n[A (B C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3
Logo: n[A (B C)] = 29.
65
9) Solução:
Sejam:
A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = x
B o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9
C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13
D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = y
De acordo com o enunciado temos:
n( B D) n( B) n( D) 9 y 42 y 33
n( A D) n( A) n( B) x 9 24 x 15
Assim sendo
a) O número total de crianças da escola é:
n( A B C D) n( A) n( B) n(C ) n( D) 15 9 13 33 70
b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é:
n[( A B) ( B D)] n( A) n( B) n( D) 15 9 33 57
10) Resposta “C”.
Solução:
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o conjunto dos dias que
choveu à tarde. Chamando de M' e T' os conjuntos complementares de M e T
respectivamente, temos:
n(T') = 5 (cinco tardes sem chuva)
n(M') = 6 (seis manhãs sem chuva)
n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à tarde)
Daí:
n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)
7 = n(M) + n(T) – 0
Podemos escrever também:
n(M') + n(T') = 5 + 6 = 11
Temos então o seguinte sistema:
n(M') + n(T') = 11
66
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades, vem:
n(M) + n(M') + n(T) + n(T') = 11 + 7 = 18
Observe que n(M) + n(M') = total dos dias de férias = n
Analogamente, n(T) + n(T') = total dos dias de férias = n
Portanto, substituindo vem:
n + n = 18
2n = 18
n=9
Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias.
67
Progressão Aritmética (PA)
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a
sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou
a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola.
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja,
adotando a1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos
que o termo an é também chamado termo geral das sequências, em que n é um número
natural diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das sequências
numéricas.
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas,
quando não apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por
reticências no final.
Exemplos:
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que
esta é uma sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é
uma sequência infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9). Notemos que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 =
5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9.
1. Igualdade
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de
forma ordenada. Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente
serão consideradas sucessões diferentes.
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem
os mesmos termos, na mesma ordem.
Exemplo
A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e
somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17.
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) são diferentes, pois,
embora apresentem os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente.
2. Formula Termo Geral
Podemos apresentar uma sequência através de uma determina o valor de cada termo
an em função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta formula que
determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão.
Exemplos
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a:
an = n – 2n,com n € N*⇒
68
Teremos:
A1 = 1 2 – 2 . 1 ⇒ a 1 = 1
A2 = 2 2 – 2 . 2 ⇒ a 2 = 0
A3 = 3 2 – 2 . 3 ⇒ a 3 = 3
A4 = 4 2 – 4 . 2 ⇒ a 4 = 8
A5 = 55 – 5 . 2 ⇒ a5 = 15
- Determinar os cinco primeiros termos da seqüência cujo termo geral é igual a:
an = 3 . n + 2, com n € N*.
a1 = 3 . 1 + 2 ⇒ a1 = 5
a2 = 3 . 2 + 2 ⇒ a2 = 8
a3 = 3 . 3 + 2 ⇒ a3 = 11
a4 = 3 . 4 + 2 ⇒ a4 = 14
a5 = 3 . 5 + 2 ⇒ a5 = 17
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a:
an = 45 – 4 + n, com n € N*.
Teremos:
a12 = 45 – 4 . 12 ⇒ a12 = -3
a23 = 45 – 4 . 23 ⇒ a23 = -47
3. Lei de Recorrências
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um
“caminho” (uma formula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o
seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.
Exemplos
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que:
a1 = 3 e an+1 = 2 . an - 4, em que n € N*.
Teremos:
a1 = 3
a2 = 2 . a 1 – 4 ⇒ a2 = 2 . 3 – 4 ⇒ a2 = 2
a3 = 2 . a 2 – 4 ⇒ a3 = 2 . 2 - 4 ⇒ a3 = 0
a4 = 2 . a3 – 4 ⇒ a4 = 2 . 0 - 4 ⇒ a4 = -4
a5 = 2 . a4 – 4 ⇒ a5 = 2 .(-4) – 4 ⇒ a5 = -12
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que:
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n € N*.
a2 = a1 – 2 → a2 = 12 – 2 → a2=10
a3 = a2 – 2 → a3 = 10 – 2 → a3 = 8
a4 = a 3 – 2 → a 4 = 8 – 2 → a 4 = 6
a5 = a 4 – 2 → a5 = 6 – 2 → a 5 = 4
69
Observação 1
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é
mais pratica, visto que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a
necessidade de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação
da sequência através da lei de recorrências.
Observação 2
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem,
ser definidas nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um
exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já
“destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos.
4. Artifícios de Resolução
Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA, é
possível, através de artifícios de resolução, tornar o procedimento mais simples:
PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r.
PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r), razão igual a 2r.
PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r), razão igual a r.
Exemplo
- Determinar os números a, b e c cuja soma é, igual a 15, o produto é igual a 105 e
formam uma PA crescente.
Teremos:
Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos:
(b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5.
Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido.
Dessa forma a sequência passa a ser:
(5 – r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto é igual a 105, ou seja:
(5 – r) .5 . (5 + r) = 105 → 52 – r2 = 21
r2 = 4 → 2 ou r = -2.
Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r= 2.
Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7.
5. Propriedades
P1: para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a media aritmética dos
outros dois termos.
Exemplo
70
Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: a n-1, an e an+1. Podemos
afirmar que:
I - an = an-1 + r
II - an = an+ 1 –r
Fazendo I + II, obteremos:
2an = an-1 + r + an +1 - r
2an = an -1+ an + 1
Logo: an = an-1 + an+1
2
Portanto, para três termos consecutivos de uma PA o termo médio é a media aritmética
dos outros dois termos.
6. Termos Equidistantes dos Extremos
Numa sequência finita, dizemos que dois termos são equidistantes dos extremos se a
quantidade de termos que precederem o primeiro deles for igual à quantidade de termos
que sucederem ao outro termo. Assim, na sucessão:
(a1, a2, a3, a4,..., ap,..., ak,..., an-3, an-2, an-1, an), temos:
a2 e an-1 são termos equidistantes dos extremos;
a3 e an-2 são termos equidistantes dos extremos;
a4 an-3 são termos equidistantes dos extremos.
Notemos que sempre que dois termos são eqüudistantes dos extremos, a soma dos
seus índices é igual ao valor de n + 1. Assim sendo, podemos generalizar que, se os
termos ap e ak são equidistantes dos extremos, então: p + k = n+1.
Propriedade
Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à
soma destes extremos.
Exemplo
Sejam, numa PA de n termos, ap e ak termos equidistantes dos extremos.
Teremos, então:
I - ap = a1 + (p – 1) . r ⇒ ap = a1 + p . r – r
II - ak = a1 + (k – 1) . r ⇒ ak = a1 + k . r – r
Fazendo I + II, teremos:
Ap + a k = a 1 + p . r – r + a 1 + k . r – r
Ap + ak = a1 + a1 + (p + k – 1 – 1) . r
Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:
ap + ak = a1 + a1 + (n + 1 – 1) . r
ap + ak = a1 + a1 + (n – 1) . r
71
ap + a k = a 1 + a n
Portanto numa PA com n termos, em que n é um numero ímpar, o termo médios (am) é
a media aritmética dos extremos. Am = a1 + an
2
7. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA
Vamos considerar a PA (a1, a2, a3,…,an-2, an-1,an ) e representar por Sn a soma dos
seus n termos, ou seja:
Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an
(igualdade I)
Podemos escrever também:
Sn = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1
(igualdade II)
Somando-se I e II, temos:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …+ (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1)
Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre parênteses, são formadas por
termos equidistantes dos extremos e que a soma destes termos é igual à soma dos
extremos, temos:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) +
+… + (a1 + an) → 2Sn = ( a1 + an) . n
E, assim, finalmente:
Sn = (a1 + an) . n
2
Exemplo
- Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 , 5, 8,...).
Dados: a1 = 2
r=5–2=3
Calculo de a60:
A60 = a1 + 59r → a60 = 2 + 59 . 3
a60 = 2 + 177
a60 = 179
Calculo da soma:
Sn = (a1 + an) n → S60 = (a1 + a60) . 60
2
2
S60 = (2 + 179) . 60
2
72
S60 = 5430
Resposta: 5430
Progressão Geométrica (PG)
PG é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é o anterior
multiplicado por uma constante q chamada razão da PG.
an+1 = an . q
Com a1 conhecido e n € N*
Exemplos
- (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a 1 = 3 e razão q = 2.
−9 −9
1
- (-36, -18, -9, 2 , 4 ,...) é uma PG de primeiro termo a1= -36 e razão q = 2.
5 5
1
- (15, 5, 3, 9,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 3.
- (-2, -6, -18, -54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = -2 e razão q = 3.
- (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = -3.
- (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1.
- (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0.
- (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q qualquer.
Observação: Para determinar a razão de uma PG, basta efetuar o quociente entre dois
termos consecutivos: o posterior dividido pelo anterior.
q = an+1
an
(an 0)
Classificação
As classificações geométricas são classificadas assim:
- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a 1 > 0 e q >
1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.
- Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a 1 > 0 e
0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.
- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrario ao do anterior. Isto ocorre
quando q < 0.
- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG
constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG
estacionaria.
- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.
Formula do Termo Geral
A definição de PG está sendo apresentada por meio de uma lei de recorrências, e nos
já aprendemos nos módulos anteriores que a formula do termo geral é mais pratica. Por
isso, estaremos, neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrências, a
fórmula do termo geral da progressão geométrica.
73
Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razão q. Assim, teremos:
a2 = a 1 . q
a3 = a2 . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = a1 . q3
a5 = a4 . q = a1 . q4
. .
. .
. .
an= a1 . qn-1
Exemplos
- Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3, temos o termo geral na igual a:
an = a1 . qn-1 → an = 2 . 3n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a5 desta PG, faremos:
A5 = 2 . 34 → a5 = 162
1
- Numa PG de termo a1 = 15 e razão q = 3, temos o termo geral na igual a:
1
an = a1 . qn-1 → an = 15 . 3n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a6 desta PG, faremos:
(1) . 5
5
A6 = 15 .
→ a6 =
2
81
- Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razão = -3 temos o termo geral na igual a:
an = a1 . qn-1 → an = 1 . (-3)n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a4 desta PG, faremos:
A4 = 1 . (-3)3 → a4 = -27
Artifícios de Resolução
Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PG, é
possível através de alguns elementos de resolução, tornar o procedimento mais simples.
PG com três termos:
𝑎
a; aq
𝑞
PG com quatro termos:
𝑎 𝑎
; ; aq; aq3
𝑞³ 𝑞
PG com cinco termos:
𝑎 𝑎
; ; a; aq; aq2
𝑞² 𝑞
74
Exemplo
Considere uma PG crescente formada de três números. Determine esta PG sabendo
que a soma destes números é 13 e o produto é 27.
Vamos considerar a PG em questão formada pelos termos a, b e c, onde a =
𝑏
𝑞
ec=b.
q.
Assim,
𝑏
. b . bq = 27 → b3 = 27 → b = 3.
𝑞
Temos:
3
+ 3 +3q = 13 → 3q2 – 10q + 3 = 0⇒
𝑞
1
q = 3 ou q = 3
Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a nossa PG é dada
pelos números: 1, 3 e 9.
Propriedades
P1: Para três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do termo médio é igual ao
produto dos outros dois.
Exemplo
Vamos considerar três termos consecutivos de uma PG: an-1, an e an+1. Podemos
afirmar que:
I – an = an-1 . q
II – an = an+1
q
e
Fazendo I . II, obteremos:
(an)2 = (an-1 . q). ( an+1 ) ⇒ (an )2 = an-1 . an+1
q
Logo: (an)2 = an-1 . an+1
Observação: Se a PG for positive, o termo médio será a media geométrica dos outros
dois:
an = √an-1 . an+1
P2: Numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é
igual ao produto destes extremos.
Exemplo
75
Sejam, numa PG de n termos, ap e ak dois termos equidistantes dos extremos.
Teremos, então:
I – ap = a1 . qp-1
II – ak = a1 . qk-1
Multiplicando I por II, ficaremos com:
ap . ak = a1 . qp-1 . a1 . qk-1
ap . ak = a1 . a1 . qp-1+k-1
Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:
ap . ak = a1 . an
Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos
extremos é igual ao produto destes extremos.
Observação: Numa PG positiva, com n termos, onde n é um numero impar, o termo
médio (am) é a media geométrica dos extremos ou de 2 termos equidistantes dos
extremos.
am = √a1 . an
Soma dos termos de uma PG
Soma dos n Primeiros Termos de uma PG
Vamos considerar a PG (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an), com q diferente de 1 e representar
por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:
Sn = a1 + a2 + a3 + ...+an-2 + an-1 + an
( igualdade I)
Podemos escrever, multiplicando-se, membro a membro, a igualdade ( I ) por q:
q . Sn = q . a1 + q . a2 + q . a3 + ...+ q . an-2 +
+ q . an-1 + q . an
Utilizando a formula do termo geral da PG, ou seja, an = a1 . qn-1, teremos:
q . Sn = a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an + a1 . qn
(igualdade II)
Subtraindo-se a equação I da equação II, teremos:
q . Sn – Sn = a1 . qn – a1 → sn . (q – 1) =
= a1 . (qn – 1)
E assim: Sn= a1 . (qn – 1)
q–1
76
Se tivéssemos efetuado a subtração das equações em ordem inversa, a fórmula da
soma dos termos da PG ficaria:
Sn = a1 . (1 – qn)
1–q
Evidentemente que por qualquer um dos “caminhos” o resultado final é o mesmo. É
somente uma questão de forma de apresentação.
Observação: Para q = 1, teremos sn = n . a1
Série Convergente – PG Convergente
Dada a sequência ( a1, a2, a3, a4, a5,..., an-2, an-1, an), chamamos de serie a sequência
S1, S2, S3, S4, S5,..., Sn-2, sn-1, sn,tal que:
S1 = a 1
S2 = a 1 + a 2
S3 = a 1 + a 2 + a 3
S4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4
S5 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5
.
.
.
Sn-2 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2
Sn-1 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1 + an
1
Vamos observar como exemplo, numa PG com primeiro termo a 1 = 4 e razão q = 2, à
série que ela vai gerar.
1
Os termos que vão determinar a progressão geométrica são: (4, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 2,
1
1
1
4, 8, 16, 32, 64, 128 , 256, 512, ...)
E, portanto, a série correspondente será:
S1 = 4
S2 = 4 + 2 = 6
S3 = 4 + 2 + 1 = 7
1
15
S4 = 4 + 2 + 1 + 2 = 2 = 7, 5
1
1
S5 = 4 + 2 + 1 + 2 + 4 =
1
1
31
4
1
= 7, 75
S6 = 4 + 2 + 1 + 2 +4 + 8 =
1
1
1
63
8
1
= 7, 875
S7 = 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 =
1
1
1
1
127
16
1
= 7, 9375
S8 = 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 =
255
32
= 7, 96875
77
1
1
1
1
1
1
S9 = 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 =
1
1
1
1
1
1
511
64
1
= 7, 984375
S10 = 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 =
1023
128
= 7, 9921875
Devemos notar que a cada novo termo calculado, na PG, o seu valor numérico cada
vez mais se aproxima de zero. Dizemos que esta é uma progressão geométrica
convergente.
Por outro lado, na serie, é cada vez menor a parcela que se acrescenta. Desta forma, o
ultimo termos da serie vai tendendo a um valor que parece ser o limite para a série em
estudo. No exemplo numérico, estudado anteriormente, nota-se claramente que este valor
limite é o numero 8.
Bem, vamos dar a esta discussão um caráter matemático.
É claro que, para a PG ser convergente, é necessário que cada termo seja, um valor
absoluto, inferior ao anterior a ele. Assim, temos que:
PG convergente → 〡q〡 < 1
ou
PG convergente → -1 < 1
Resta estabelecermos o limite da serie, que é o S n para quando n tende ao infinito, ou
seja, estabelecermos a soma dos infinitos termos da PG convergente.
Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG:
Sn = a1 . (1 – qn)
1–q
Estando q entre os números -1e 1 e, sendo n um expoente que tende a um valor muito
grande, pois estamos somando os infinitos termos desta PG, é fácil deduzir que q n vai
apresentando um valor cada vez mais próximo de zero. Para valores extremamente
grandes de n não constitui erro considerar que qn é igual a zero. E, assim, teremos:
S = a1
1–q
Observação: Quando a PG é não singular (sequência com termos não nulos) e a razão
q é de tal forma que q 〡 ≥ 1, a serie é divergente. Séries divergentes não apresentam
soma finita.
Exemplos
- A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de
seus lados, obtém-se o segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos
lados deste novo triangulo equilátero, obtém-se um terceiro, e assim por diante,
indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos.
78
Solução:
Temos: perímetro do 1º triangulo = 30
perímetro do 2º triangulo = 15
15
perímetro do 3º triangulo = 2
Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 30, 15,
1
15
2
,... na qual a1 = 30
e q =2.
30
S = a1 → s = 1−𝑞 =
30
1−
1
2
= 60.
Exercícios
1. (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm,
ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são
estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da
progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2.
Então, o terceiro termo das progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
2. (ITA/2000) O valor de n que torna a sequência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma
progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
3. (PUC-SP/2003) Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem
a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa
sequência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
79
c) 60
d) 61
e) 62
4. (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09;
0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3, 999
e) 4
5. (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética
é -15. A soma do sexto termo dessa PA., com o décimo quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
6. UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em
progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
d) 48°
e) 50°
7. Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém
n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:
a) 1
b) 10
c) 100
d) -1
e) -10
8. Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu
produto é 729, então sendo a, b e c os tres primeiros termos, pede-se calcular o
valor de a2 + b2 + c2.
9. O limite da expressão
onde x é positivo, quando o número de
radicais aumenta indefinidamente é igual a:
a) 1/x
b) x
c) 2x
d) n.x
e) 1978x
80
10. (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são
divisíveis nem por 5 nem por 7 ?
Respostas
1) Resposta “D”.
Solução:
Sejam (a1, a2, a3,…) a PA de r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como
condições iniciais:
1 - a1 = g1 = 4
2 - a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
3 - a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma
PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:
4 - a3 = a1 + 2r e g3 = g1 . q2 → 4 + 2r = 4q2
5 - a2 = a1 + r e g2 = g1 . q → 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em
(4) vem:
5 - r = 4q + 2 – 4 → r = 4q – 2
4 - 4 + 2(4q – 2) = 4q2 → 4 + 8q – 4 = 4q2 → 4q2 – 8q = 0
→ q(4q – 8) = 0 → q = 0 ou 4q – 8 = 0 → q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na
equação (5):
r = 4q – 2 → r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r → a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q2 → g3 = 4.4 = 16
2) Resposta “B”.
Solução: Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três
termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) → r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) → 1 – 4n = -5n – 8n – 2 → 1 – 4n = -13n – 2
→ 13n – 4n = -2 – 1 → 9n = -3 → n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b.
81
3) Resposta “B”.
Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1
e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de
razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …).
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da
sequência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
- Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37
E, portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59.
4) Resposta “E”.
Solução: Sejam S as somas dos elementos da sequência e S 1 a soma da PG infinita
(0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q = 10 - 1 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4
5) Resposta “D”.
Solução: Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:
S20 = 20(a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos,
uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 → 10(a6 + a15) = -15 → a6 + a15 = -15/10 = -1,5.
6) Resposta “D”.
Solução: Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos
estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
(x, 2x, 4x, 8x).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º.
82
Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.
7) Resposta “B”.
Solução: Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)
Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, resultando
em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n, que é uma PG de primeiro
termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n.
Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10.
8) Resposta “819”.
Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x,
xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 – 30q = 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo
grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.
83
Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.
O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819.
9) Resposta “B”.
Solução: Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...
O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a 1 = 1 /2 e
razão q = 1 /2.
Logo, a soma valerá:
S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x
10) Resposta “6171”.
Solução: Dados:
M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000.
M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.
M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.
M(1) = 1, 2, ..., 10000.
Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r → 10000 = 1000 + (n - 1). 5 → n = 9005/5
→ n = 1801.
Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r → 9996 = 1001 + (n - 1). 7 → n = 9002/7 →
n = 1286.
Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r → 9975 = 1015 + (n - 1).35 → n =
8995/35 → n = 257.
Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r → 10000 = 1000 + (n - 1).1 → n = 9001.
Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem
no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma
vez tal conjunto de múltiplos).
Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).
Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171
84
Médias
Noção Geral de Média
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação
com todos os elementos de A.
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de
modo que o resultado da operação citada seja o mesmo diz-se, por definição, que x será
a média dos elementos de A relativa a essa operação.
Média Aritmética
Definição
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média
aritmética.
Cálculo da média aritmética
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x 1; x2; x3; ...; xn},
então, por definição:
x + x + x + ... + x = x1; x2; x3; ...; xn ↔ n . x = x1; x2; x3; ...; xn e, portanto,
n parcelas
𝑥=
𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ; … ; 𝑥𝑛
𝑛
Conclusão
A média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus
elementos, dividida por n.
Exemplo
Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13.
Resolução
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a
soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim:
𝑥=
A média aritmética é 7.
3 + 4 + 6 + 9 + 13
35
↔𝑥=
↔𝑥=7
5
5
Média Aritmética Ponderada
85
Definição
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada
elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada.
Cálculo da média aritmética ponderada
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2;
x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição:
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn ↔
↔ (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto,
𝑥=
𝑃1 . 𝑥1 ; 𝑃2 𝑥2 ; 𝑃3 𝑥3 ; … ; 𝑃𝑛 𝑥𝑛
𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + … + 𝑃𝑛
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então: 𝑥 =
aritmética simples.
𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ; …; 𝑥𝑛
𝑛
que é a média
Conclusão
A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos
produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos
pesos.
Exemplo
Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5,
respectivamente.
Resolução
Se x for a média aritmética ponderada, então:
𝑥=
2 .35 + 3 .20 + 5 .10
70 + 60 + 50
180
↔𝑥=
↔𝑥=
↔ 𝑥 = 18
2+3+5
10
10
A média aritmética ponderada é 18.
Observação: A palavra média, sem especificar se é aritmética, deve ser entendida
como média aritmética.
Exercícios
1. Determine a média aritmética entre 2 e 8.
2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10.
86
3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9?
4. A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertences ao
conjunto dos números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um
desses números pode ter?
5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos:
a) 15; 48; 36
b) 80; 71; 95; 100
c) 59; 84; 37; 62; 10
d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se
que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?
7. Calcular a média ponderada entre 3, 6 e 8 para os respectivos pesos 5 , 3 e 2.
8. Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 alunos possuem 15
anos e oito deles 16 anos de idade. Qual será a idade média dessa turma?
9. Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim
discriminada:
Profissionais
Serventes
Técnicos
Engenheiros
→
→
→
→
Quantidade
20 profissionais
10 profissionais
5 profissionais
→
Salário
→ R$ 320,00
→ R$ 840,00
→ R$ 1.600,00
10. Calcule a média ponderada entre 5, 10 e 15 para os respectivos pesos 10, 5 e
20.
Respostas
1) Resposta “5”.
Solução:
M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5.
2) Resposta “6”.
Solução:
M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 6.
3) Resposta “10”.
Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos números e dividi-los por
quatro, que é a quantidade de números, portanto:
𝟏𝟏+𝟕+𝟏𝟑+𝟗
𝟒𝟎
𝑴. 𝑨 =
=
= 𝟏𝟎
𝟒
𝟒
Logo, a média aritmética é 10.
87
4) Resposta “164”.
Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao diminuirmos um dos valores
que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la
entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a
mesma média.
Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o
quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual
a 44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir.
Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pares, distintos e não nulos
são: 2, 4 e 6. Identificando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação:
Solucionando-a temos:
2+4+6+x
=
= 44 → 2 + 4 + 6 + x = 44 .4 → 12 + x = 176 → x = 176 − 12 = 164.
Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164.
5) Solução:
a) (15 + 48 + 36)/3 =
99/3 = 33
b) (80 + 71 + 95 + 100)/4=
346/4 = 86,5
c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5=
= 252/5
= 50,4
d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9=
45/9 =
=5
6) Resposta “22”.
Solução: Neste caso a solução consiste em multiplicarmos cada número pelo seu
respectivo peso e somarmos todos estes produtos. Este total deve ser então dividido pela
soma total dos pesos:
Logo, a média aritmética ponderada é 22.
7) Resposta “4,9”.
Solução:
𝟑 .𝟓+𝟔 .𝟑+𝟖 .𝟐
𝑴𝑷 = 𝟓+𝟑+𝟐 =
𝟏𝟓+𝟏𝟖+𝟏𝟔
𝟏𝟎
𝟒𝟗
= 𝟏𝟎 = 𝟒, 𝟗.
8) Resposta “± 𝟏𝟒, 𝟗𝟑".
Solução:
88
𝑴𝑷 =
𝟏𝟒 .𝟏𝟎 +𝟏𝟓 .𝟏𝟐 +𝟏𝟔 .𝟖
𝟏𝟎+𝟏𝟐+𝟖
=
𝟏𝟒𝟎 + 𝟏𝟖𝟎 + 𝟏𝟐𝟖
𝟑𝟎
=
𝟒𝟒𝟖
𝟑𝟎
= ± 𝟏𝟒, 𝟗𝟑.
9) Resposta “≅ 𝟔𝟓𝟏, 𝟒𝟑".
Solução: Estamos diante de um problema de média aritmética ponderada, onde as
quantidades de profissionais serão os pesos. E com isso calcularemos a média
ponderada entre R$ 320,00 , R$ 840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos pesos 20 , 10 e
5. Portanto:
10) Resposta “10”.
Solução:
𝟓 .𝟏𝟎+𝟏𝟎 .𝟓+𝟏𝟓 .𝟐𝟎
𝑴𝑷 =
=
𝟏𝟎+𝟓+𝟐𝟎
𝟓𝟎+𝟓𝟎+𝟑𝟎𝟎
𝟒𝟎
𝟒𝟎𝟎
= 𝟒𝟎 = 𝟏𝟎.
Média Geométrica
Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a raiz
de índice n deste produto.
Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio aritmético
deste conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216.
Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor
médio 6.
Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se
fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.
Neste exemplo teríamos a seguinte solução:
Utilidades da Média Geométrica
Progressão Geométrica
Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão geométrica
que diz que em toda PG., qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o
seu consequente:
Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma PG.: 7, 21 e 63.
Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63.
Vejamos:
89
Variações Percentuais em Sequência
Outra utilização para este tipo de média é quando estamos trabalhando com variações
percentuais em sequência.
Exemplo
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um
mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de
aumento desta categoria?
Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um
salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores
correspondentes a tais percentuais.
A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores:
Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 8741% de aumento.
Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos
três vezes consecutivas o percentual 12, 8741%, no final teremos o mesmo resultado que
se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%.
Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se
os sucessivos aumentos temos:
Salário Inicial
R$ 1.000,00
R$ 1.200,00
R$ 1.334,00
+%
Informado
20%
12%
7%
Salário final
R$ 1.200,00
R$ 1.334,00
R$ 1.438,00
Salário
inicial
R$ 1.000,00
R$ 1.287,74
R$ 1.274,06
+%
médio
12, 8417
12, 8417
12, 8417
Salário final
R$ 1.128,74
R$ 1.274,06
R$ 1.438,08
Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se
tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da média geométrica, os valores finais
seriam distintos, pois a média aritmética de 13% resultaria em um salário final
de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual
de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média geométrica.
Cálculo da Média Geométrica
Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é
A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média
aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se
todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética
geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor intermediário às duas.
90
A média geométrica é também a média aritmética harmônica no sentido que, se
duas sequências (an) e (hn) são definidas:
E
então an e hn convergem para a média geométrica
de x e y.
Cálculo da Media Geométrica Triangular
Bom primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos quadrados catetos e
dividimos pela hipotenusa e no final pegamos a soma dos ângulos subtraindo o que esta
entre os catetos e dividimos por PI(3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos
triângulos.
Exemplo
A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:
G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013
Aplicação Prática
Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo
perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de
questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura
b, uma vez que a.b = 64.
A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.
G = R[a × b] = R[64] = 8
Resposta
É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm,
logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra
situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos
perímetros maiores do que 32 cm.
Interpretação gráfica
A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de
uma forma bastante simples.
91
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção
dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a
mesma reta.
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste
segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferência
começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B
encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à
média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.
Exercícios
1. Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8.
2. Determine a média geométrica entre 1, 2 e 4.
3. Determine a média geométrica entre dois números sabendo que a média
aritmética e a média harmônica entre eles são, respectivamente, iguais a 4 e 9.
4. A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo multiplicar um desses
números para que a média aumente 2 unidades ?
5. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?
6. Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples e a média
geométrica deles são respectivamente 20 e 20,5. Quais são estes dois números?
7. A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles juntarmos o
número 48, qual será a média geométrica entre estes três números?
8. Calcule a média geométrica entre 4 e 9.
9. Calcule a média geométrica entre 3, 3, 9 e 81
10. Calcule a média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 234.
Respostas
1) Resposta “4”.
Solução:
92
2) Resposta “2”.
Solução:
Observação: O termo média proporcional deve ser, apenas, utilizado para a média
geométrica entre dois números.
3) Resposta “6”.
Solução: Aplicando a relação: g2 = a.h, teremos:
g2 = 4.9 → g2 = 36 → g = 6 → MG. (4, 9) = 6.
𝟐𝟕
4) Resposta” 𝟖 ”.
Solução: Se a média geométrica entre 3 números é 4, podemos escrever:
Se multiplicarmos um deles por m, a nova média será:
e como x . y . z = 64 → 64 . m = 216 → 𝒎 =
𝟐𝟏𝟔
𝟔𝟒
=
𝟐𝟕
𝟖
5) Resposta “8”.
Solução: Se dispusermos de uma calculadora científica, este exercício pode ser
solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de
índice cinco, pois se tratam de cinco números:
Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução ficaria meio inviável,
pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na dificuldade em realizarmos as
multiplicações?
Repare que todos os números são potência de 2, podemos então escrever:
Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base, somando-se
os expoentes temos:
Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resolvendo a potência resultante:
Logo, a média geométrica deste conjunto é 8.
93
6) Resposta “16, 25”.
Solução: Chamemos de a e b estes dois números. A média aritmética deles pode ser
expressa como:
Já média geométrica pode ser expressa como:
Vamos isolar a na primeira equação:
Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é necessário que fiquemos
com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir a por 41 b:
Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau:
Solucionando a mesma temos:
O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25. É de se esperar, portanto que
quando b for igual a 16, que a seja igual a 25 e quando b for igual a 25, que a seja igual
a 16. Vamos conferir.
94
Sabemos que
, portanto atribuindo a b um de seus possíveis valores,
iremos encontrar o valor de a.
Para b = 16 temos:
Para b = 25 temos:
Logo, os dois números são 16, 25.
7) Resposta “12”.
Solução: Se chamarmos de P o produto destes dois números, a partir do que foi dito no
enunciado podemos montar a seguinte equação:
Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, iremos obter o valor
numérico do produto destes dois números:
Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual 36, resta-nos
multiplicá-lo por 48 e extraímos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a
média desejada:
Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos a decomposição dos
números 36 e 48 em fatores primos. Acesse a página decomposição de um número
natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto.
Logo, ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica
passará a ser 12.
8) Resposta “6”.
Solução:
2
𝐺 = √4 .9 = 6
9) Resposta “9”.
Solução:
4
𝐺 = √3 .3 .9 .81 = 9
10) Resposta “6”.
Solução:
5
A 𝐺 = √1 .1 .1 .32 .243 = 6
95
MDC e MMC de Números
MDC – O máximo divisor comum de dois ou mais números é o maior número que é divisor comum de todos
os números dados. Consideremos:
- o número 18 e os seus divisores naturais:
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
- o número 24 e os seus divisores naturais:
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24:
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}.
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior divisor comum dos números 18 e 24, ou
seja: MDC (18,24) = 6.
Outra técnica para o cálculo do MDC:
Decomposição em fatores primos
Para obtermos o mdc de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O mdc é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um deles elevado ao seu menor expoente.
Exemplo
96
Achar o mdc entre 300 e 504.
300 2
504 2
300 = 22 . 3 . 52
150 2
252 2
504 = 23 . 32 . 7
75 3
126 2
25 5
63 3
5 5
21 3
1
mdc (300, 504) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12
7 7
1
MMC
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o menor número positivo que é múltiplo comum de
todos os números dados. Consideremos:
- O número 6 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...}
- O número 8 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...}
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns:
M*+ (6)
M*+ (8) = {24, 48, 72, ...}
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou
seja: MMC (6,8) = 24
97
Outra técnica para o cálculo do MMC:
Decomposição isolada em fatores primos
Para obter o mmc de dois ou mais números por esse processo, procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O mmc é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada um deles elevado ao seu maior expoente.
Exemplo
Achar o mmc entre 18 e 120.
18 2
120 2
18 = 2 . 32
9 3
60 2
120 = 23 . 3 . 5
3 3
30 2
1
15 3
mmc (18, 120) = 23 . 32 . 5 = 8 . 9 . 5 = 360
5 5
1
98
Fatoração
Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para
produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que:
- Seja equivalente à expressão dada;
- Esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um
produto notável.
Há diversas técnicas de fatoração, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis.
Fator Comum
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida
colocamos em evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em
parênteses a soma algébrica. Observe os exemplos abaixo:
ax + ay = a (x + y)
12x2y + 4 xy3 = 4xy (3x + y2)
Agrupamento
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos
entre os quais haja um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência.
Observe:
ax + ay + bx + by =
= a (x + y) +b (x + y) =
= (a + b) (x + y) =
Diferença de Quadrados
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados sempre que
dispusermos da diferença entre dois monômios cujas literais tenham expoentes pares. A
fatoração algébrica de tais expressões é obtida com os seguintes passos:
- Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio;
- Dividimos por dois os expoentes das literais;
- Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios
assim obtidos.
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada da seguinte forma:
a2 – b2 = (a = b) (a – b)
Trinômio Quadrado Perfeito
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito
sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios.
99
Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a
+ 2)2.
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a 2 ± 2ab +
2
b , fatoráveis nas formas seguintes:
(x2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + c
Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio, ax2 + bx + c (a ≠ 0), dizemos que:
ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2)
Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas
através da fórmula de Bhaskara: ( 𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
, onde ∆ = b2 – 4ac)
Soma e Diferença de Cubos
Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a² – ab + b², obtemos o
seguinte desenvolvimento:
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3
Analogamente, se calcularmos o produto de a – b por a2 + ab + b2, obtemos a3 – b3.
O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir
que, para fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo
anteriormente demonstrado.
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
Exercícios
1. Fatore o seguinte polinômio: 10ax + 15bx
2. Fatore o polinômio y5 – 2y4 + y³
3. Qual é a forma fatorada do polinômio 8a4b² - 20a³b5?
4. Fatorar o polinômio x(m + n) – y(m + n)
5. Resolva a equação x² – 6x = 0, no conjunto R.
6. Verifique se o trinômio 9x² – 12xy + 4y² é quadrado perfeito.
7. Verifique se 16b² – 24b + 25 é quadrado perfeito.
8. Qual é a forma fatorada do polinômio a4b + ab4?
100
9. Fatorar x3 – 4x² + 4x
10. Considere o polinômio a3 – ax². Procure fatorá-lo de maneira completa, ou
seja, efetuando todas as fatorações possíveis.
Respostas
1) Solução: Podemos notar que o fator comum é 5x.
10ax + 15bx =
= 5x(2a + 3b)
(10ax : 5x)
(15bx : 5x)
Logo, a forma fatorada do polinômio dado é 5x(2a + 3b).
2) Solução: Podemos notar que o fator comum é y3.
y5 – 2y4 + y³ =
= y3(y² – 2y + 1)
(y3 : y3)
(y5 : y3)
(2y4 : y3)
Logo, a forma fatorada do polinômio dado é y3(y² – 2y + 1).
3) Solução: O fator comum é: 4a3b².
8a4b² - 20a³b5 =
= 4a3b² (2a – 5b3)
(20a³b5 : 4a3b²)
(8a4b² : 4a3b²)
Logo, a forma do polinômio dado é 4a3b²(2a – 5b³).
4) Solução: O fator comum é: (m + n).
x(m + n) – y(m + n) =
= (m + n)(x – y)
[y(m + n)] : (m + n)
[x (m + n)] : (m + n)
Logo, a forma fatorada do polinômio dado é (m + n)(x – y).
5) Solução:
x² – 6x = 0
x(x – 6) = 0 → colocando o fator x em evidência
Lembre-se: se a . b = 0, então a = 0 e b = 0. Portanto, na forma fatorada temos:
x = 0 (1ª raiz) ou
101
x – 6 = 0 → x = 6 (2ª raiz)
Logo, S = {0, 6}.
6) Solução: Existem dois termos quadrados 9x² e 4y²
√9𝑥² = 3𝑥 e
√2𝑦² = 2𝑦
2 . 3x . 2y = 12xy → termo restante do trinômio dado.
Logo, 9x² – 12xy + 4y² é quadrado perfeito.
Fatorando o polinômio temos:
9x² – 12xy + 4y² = (3x – 2y)(3x – 2y) = (3x – 2y)²
7) Solução: Existem dois termos quadrados: 16b² e 25.
√16𝑏² = 4𝑏 e
√25 = 5
2 . 4b . 5 = 40b → Não corresponde ao termo restante do trinômio.
Logo, 16b² – 24b + 25 não é um trinômio de quadrado perfeito.
8) Solução:
a4b + ab4 =
= ab(a3 + b3) =
= ab(a + b)(a² – ab + b²).
9) Solução:
x3 – 4x² + 4x =
= x(x² – 4x + 4) =
= x(x – 2)².
10) Solução: Primeiro, como existe um fator comum, colocamos em evidência:
a3 – ax² = a(a² – x²)
Porém, a fatoração não está completa, pois o fator (a² – x²) representa uma diferença
de dois quadrados e, portanto, pode ser fatorado novamente:
a3 – ax² = a(a² – x²) = a(a + x)(a – x).
102
Regra de Três Simples
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente
proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de
três simples.
Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse
carro gastaria para percorrer 210 km?
Solução:
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas
de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha:
Distância (km)
180
210
Litros de álcool
15
x
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha:
Distância (km)
180
210
Litros de álcool
15
x
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então,
as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema
que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância”
no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”:
Distância (km)
180
210
Litros de álcool
15
x
mesmo sentido
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
105
180 6 15
x = 17,5
6x = 7 . 15 6x = 105 x =
7
6
x
210
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.
Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 h para
fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse
percurso?
103
Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma
espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se
correspondem em uma mesma linha, temos:
Velocidade (km/h)
60
80
Tempo (h)
4
x
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha:
Velocidade (km/h)
60
80
Tempo (h)
4
x
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso
significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No
nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em
sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:
Velocidade (km/h)
60
80
Tempo (h)
4
x
sentidos contrários
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos:
12
4 80 4
x=3
3 4x = 4 . 3 4x = 12 x =
4
x 60
Resposta: Farei esse percurso em 3 h.
Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo
velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse
de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (200 km/h e 240 km/h) com
dois valores da grandeza tempo (18 s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.
Velocidade Tempo gasto
para fazer o
percurso
200 km/h
18 s
x
240 km/h
104
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá
para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números
200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.
Daí temos:
200 . 18 = 240 . x
3 600 = 240x
240x = 3 600
3600
x=
240
x = 15
O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.
Regra de Três Composta
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas,
diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta.
Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6
máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças?
Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma
espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem
em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma
flecha:
Máquinas
8
6
Peças
160
300
Dias
4
x
Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso
será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha
da coluna “dias”:
Máquinas
8
6
Peças
160
300
Dias
4
x
Mesmo sentido
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número
de máquinas, o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será
indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha
da coluna “dias”:
Máquinas
8
Peças
160
Dias
4
105
6
300
x
Sentidos contrários
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é
4
, com o
x
6 160
produto das outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas .
:
8 300
1
4 6 2 160 8
.
5
x 81 30015
4 2
x 5
2x = 4 . 5
4 2.5
x= 1
2
x = 10
Resposta: Em 10 dias.
Exercícios
1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos
minutos 5 torneiras completamente abertas encheriam esse mesmo tanque?
2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade média de 42
km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o trem fazer o mesmo percurso
em 5 h 15 min?
3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e a largura de uma mesa
retangular. Encontrou 12 palmos de comprimento e 5 palmos na largura. Depois,
usando palitos de fósforo, mediu novamente o comprimento do tampo da mesa e
encontrou 48 palitos. Qual estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da
mesa em palitos de fósforo?
4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a
velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade
fosse de 200 km/h, que tempo teria gasto no percurso?
5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. Quantos pacotes
de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 sanduíches?
6. (F.F.C.L. Belo Horizonte-MG) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para
pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 75
km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para
que a obra seja concluída no tempo previsto?
a) 315
b) 2 2520
c) 840
d) 105
106
e) 1 260
7. (UFSE) Numa gráfica, 7 máquinas de mesmo rendimento imprimem 50 000
cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas dessas máquinas não
estiverem funcionando, as 5 máquinas restantes farão o mesmo serviço em:
a) 3 horas e 10 minutos
b) 3 horas
c) 2 horas e 55 minutos
d) 2 horas e 50 minutos
e) 2 horas e 48 minutos
8. Funcionando 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria.
Quantas peças dessa mesma mercadoria são produzidas por 7 máquinas iguais às
primeiras, se funcionarem 9 dias?
9. Um motociclista rodando 4 horas por dia, percorre em média 200 km em 2 dias.
Em quantos dias esse motociclista vai percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia?
10. Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de
ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários
para alimentá-los durante 12 dias.
Respostas
1) Resposta “30min”.
Solução:
Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra de três é inversa:
5 tor. ------ 75min
2 tor. ------ x
5x = 2 . 75 =
5x = 150 =
150
x = 5 = 30 𝑚𝑖𝑛.
2) Resposta “52 km”.
Solução:
Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a regra de três é inversa:
6h30min = 390min
5h15min = 315min
315min ------ 42km/h
390min ------ x
315x = 390 . 42 =
315x = 16380 =
16380
X = 315 = 52 km/h.
107
3) Resposta “20 palitos de fósforo”.
Solução: Levando os dados dado no enunciado temos:
Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura.
Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de largura.
Portanto temos:
Comprime
nto
12 palmos
48 palitos
Largu
ra
5
palmos
X
palitos
Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes quando passamos de “palmo”
para “palito”. O que ocorre da mesma forma na largura.
As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos fazer:
12
48
5
= 𝑥 → 12𝑥 = 48 .5 → 12𝑥 = 240 → 𝑥 =
240
12
→ 𝑥 = 20.
Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de fósforo de largura.
4) Resposta “18 segundos”.
Solução: Levando em consideração os dados:
Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20s
Velocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ?
Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos relacionando dois valores
de grandeza “velocidade” (180 km/h e 200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” (
20s e xs).
Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um quarto valor. Para isso,
organizamos os dados na tabela:
Velocidade km/h
180
200
Tempo (s)
20
x
Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o
percurso vai cair para a metade. Logo, as grandezas são “inversamente proporcionais”.
Então temos:
180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 → 𝑥 =
3600
200
→ 𝑥 = 18.
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 200 km/h, teria gasto 18
segundos para realizar o percurso.
5) Resposta “5 pacotes”.
108
Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos:
Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63.
Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105.
Pacotes de
Pães
3
x
Sanduíches
63
105
Basta fazermos apenas isso:
63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 → 𝑥 =
315
→ 𝑥 = 5.
63
Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma.
6) Resposta “D”.
1
1
Solução: Em de ano foi pavimentada de estrada
3
Pessoas
210
X
𝑥
210
𝑥
210
𝑥
210
=
225
75
900
4
estrada
75
225
tempo
4
8
4
.8
= 600
3
=2
630
x= 2
x = 315 pessoas para o término
315 − 210 que já trabalham = 105 pessoas.
7) Resposta “E”.
Solução: Primeiro descobrimos quanto cada máquina produz por minuto. Para isso
temos que dividir:
50000
(7 .120)
= 59, 542 𝑚𝑖𝑛.
Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 máquinas juntas produzem (min)
5 . 59,524 = 297, 62.
Portanto temos:
1 min --------------------- 297,62
x min --------------------- 50000
Fazendo a regra de 3 teremos:
109
50000
297,62 . x = 50000 . 1 → 297,62x = 50000 → 𝑥 = 297.62 ≅ 168 𝑚𝑖𝑛.
168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos.
8) Resposta “840 peças”.
Solução: Dados:
5 máquinas em 6 dias produzem 400 peças
7 máquinas em 9 dias produzem x peças.
Organizando os dados no quadro temos:
N˚ de Máquinas (A)
5
7
N˚ de Máquinas (B)
6
9
Número de Peças (C)
400
x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o
número de dias, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas B e C são
“diretamente proporcionais”.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o
número de máquinas, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas A e C são
“diretamente proporcionais”.
Quando uma grandeza é “diretamente proporcional” a duas outras, a variação da
primeira é diferentemente proporcional ao produto da variação das outras duas.
De acordo com o quadro, temos:
5
7
6
.9 =
400
𝑥
30
→ 63 =
400
𝑥
Resolvendo a proporção:
30 . x = 63 . 400 → 30x = 25200 → 𝑥 =
25200
30
= 840.
Logo, se as máquinas funcionarem 9 dias, serão produzidas 840 peças.
9) Resposta “4 dias”.
Solução: Dados:
4 horas por dia, 200 km em 2 dias
5 horas por dia, 500 km em x dias
Organizando um quadro temos:
N˚ km (A)
200
500
N˚ horas/dias (B)
4
5
Número de dias (C)
2
x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o
número de horas que o motociclista roda por dia, o número de dias que ele leva para
percorrer a mesma distância cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são
“inversamente proporcionais”.
110
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o
número de quilômetros percorridos, o número de dias dobrará, considerando que o
motociclista rode o mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são
“diretamente proporcionais”.
Assim a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente
proporcional à grandeza B. Para que a variação da grandeza C seja diretamente
proporcional ao produto da variação das duas outras, escrevemos a razão inversa dos
valores que expressam a grandeza B.
4 5
A razão inversa de 5 é 4
Daí, temos:
200
500
5
2
1000
2
. 4 = 𝑥 → 2000 = 𝑥
1000 . x = 2000 . 2 → 1000x = 4000 → 𝑥 =
4000
1000
= 4.
10) Resposta “7260 kgs”.
Solução:
Ração
2420
x
2420
𝑥
=
8 .2
=
12 .4
Dias
8
12
2420 .12 .4
8 .2
Bois
2
4
= 7260.
111
Razão
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão entre a e b (nessa ordem)
𝑎
o quociente a ÷ b, ou 𝑏.
A razão é representada por um número racional, mas é lida de modo diferente.
Exemplos
3
lê-se: “três quintos”.
5
3
b) A razão
lê-se: “3 para 5”.
5
a) A fração
Os termos da razão recebem nomes especiais.
O número 3 é numerador
a) Na fração
3
5
O número 5 é denominador
O número 3 é antecedente
a) Na razão
3
5
O número 5 é consequente
Exemplo 1
A razão entre 20 e 50 é
20 2
50 5
; já a razão entre 50 e 20 é
.
50 5
20 2
Exemplo 2
Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão entre o número de
18 3
rapazes e o número de moças é
, o que significa que para “cada 3 rapazes há 4
24 4
moças”. Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por
18 3
, o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 são rapazes”.
42 7
Razão entre grandezas de mesma espécie
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que
expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
112
Exemplo
Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa sala mede 384 dm 2. Vamos
calcular a razão entre a área do tapete e a área da sala.
Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma mesma unidade:
Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2
Área do tapete: 384 dm2
Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever a razão:
384dm 2
384 16
2
1800 75
1800dm
Razão entre grandezas de espécies diferentes
Exemplo 1
Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 de uma estrada e, às 11
horas, pelo quilômetro 170.
Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km
Tempo gasto: 11h – 9h = 2h
Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para isso:
140km
70km / h
2h
A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.
Observe que:
- as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes;
- a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve acompanhar a razão.
Exemplo 2
A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma
área aproximada de 927 286 km2 e uma população de 66 288 000 habitantes,
aproximadamente, segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE) para o ano de 1995.
Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o número de habitantes por
km2 (hab./km2):
66288000
71,5hab. / km2
927286
A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.
113
A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro quadrado”) deve acompanhar a
razão.
Exemplo 3
Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. Dividindo-se o número
de quilômetros percorridos pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o
número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:
83,76km
10,47 km / l
8l
A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.
A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve acompanhar a razão.
Exemplo 4
Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é representado num desenho
por 20 cm. Qual é a escala do desenho?
Escala =
comprimentonodesenho 20cm 20cm
1
ou1 : 40
comprimentoreal
8m
800cm 40
A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente comprimento real,
chama-se Escala.
Proporção
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.
3 6
(lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está para 10”), os números 3
5 10
e 10 são chamados extremos, e os números 5 e 6 são chamados meios.
Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 = 30, o que caracteriza
a propriedade fundamental das proporções:
Na proporção
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
Exemplo 1
Na proporção
e em
2 6
, temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;
3 9
1
4
, temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.
4 16
Exemplo 2
114
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para
cada 2 kg do “peso” da criança.
Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:
5 gotas
x
2kg
12kg
→
x = 30 gotas
Por outro lado, se soubermos que foram corretamente ministradas 20 gotas a uma
criança, podemos concluir que seu “peso” é 8 kg, pois:
5 gotas
20 gotas / p
2kg
→
p = 8kg
(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente chamado de regra de três
simples.)
Propriedades da Proporção
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa propriedade possibilita
reconhecer quando duas razões formam ou não uma proporção.
4 12
formam uma proporção, pois
e
3 9
Produto dos extremos
4
.9 = 3
.12
36
Produto dos meios
36
A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo)
assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
5 10
7 14
5 2 10 4
2 4
10
5 10
5
ou
5 10
7 14
5 2 10 4
2 4
4
2 4
2
A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo
termo) assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto
termo).
4 8
1 2
4 3 8 6
3 6
8
4 8
4
ou
115
4 8
1 2
4 3 8 6
3 6
6
3 6
3
A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada
antecedente está para o seu consequente.
12 3
15 12
12 3 12
8 2
8
10 8
82
ou
12 3
15 3
12 3 3
8 2
8 2 2 10 2
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como
cada antecedente está para o seu consequente.
3 1
3
2
3
3 1
15 5
15 5 15 10 15
ou
3 1
2 1
3 1 1
15 5
15 5 5 10 5
Exercícios
1. (ESPM-SP) Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duas cidades
estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada
ligando as três cidades, qual seria o mínimo de extensão que ela teria?
2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e Palmas, no Tocantins é
de 10 cm. Sabendo que a distância real entre as duas cidades é de 700 km, qual a
escala utilizada na confecção do mapa?
3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm³. Qual é
a sua densidade?
4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade média do trem nesse
percurso?
5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 278 500 km². De
acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma população de aproximadamente 1
156 000 habitantes. Qual é a densidade demográfica do estado de Tocantins?
116
6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 anos. Sabendo-se
5
que suas idades estão uma para a outra assim como , determine a idade de cada
2
uma.
7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas partes na razão de
. Determine o comprimento de cada uma das partes.
𝟗
𝟒
8. (UFGO) Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de largura
seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do braço de um violão tem 4
cm de largura e a segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.
9. (Ulbra–RS) Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-se que
há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é de:
a) 45
b) 81
c) 85
d) 181
e) 126
10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o primeiro está para 9
assim como o segundo está para 4. Calcule esses números.
Respostas
1) Resposta “1320 km”.
Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)
*SP ---------------------- cidade A -------------------------- cidade B
4cm
6cm
O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm)
22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.
Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.
2) Resposta “1: 7 000 000”.
Solução: Dados:
Comprimento do desenho: 10 cm
Comprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000 000 cm
𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 =
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛ℎ𝑜
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙
=
10
=
70 000 000
1
7 000 000
𝑜𝑢 1: 7 000 000
A escala de 1: 7 000 000 significa que:
- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.
117
3) Resposta “8,75 kg/dm³”.
Solução: De acordo com os dados do problema, temos:
140 𝑘𝑔
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 16 𝑑𝑚³ = 8,75 kg/dm³
Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos como: 8,75 quilogramas por
decímetro cúbico.
4) Resposta “75,5 km/h”.
Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑚é𝑑𝑖𝑎 =
453 𝑘𝑚
6ℎ
= 75,5 km/h
Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 km/h, que lemos: 75,5
quilômetros por hora.
5) Resposta “4,15 hab./km²
Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:
A 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 =
1 156 000 ℎ𝑎𝑏.
278 500 𝑘𝑚²
= 4,15 hab./km²
6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.
Solução:
A – V = 12 anos
A = 12 + V
𝐴 5
12 + 𝑉 5
= →
=
𝑉 2
𝑉
2
2 (12+V) = 5V
24 + 2V = 5V
5V – 2V = 24
3V = 24
24
V= 3
V (Vera) = 8
A – 8 = 12
A = 12 + 8
A (Ângela) = 20
7) Resposta “24 cm; 54 cm”.
Solução:
x + y = 78 cm
x = 78 - y
118
𝑥 4
78 − 𝑦 4
= →
=
𝑦 9
𝑦
9
9 (78 - y) = 4y
702 – 9y = 4y
702 = 4y + 9y
13y = 702
702
y = 13
y = 54cm
x + 54 = 78
x = 78 - 54
x = 24 cm
27
8) Resposta “16 𝑐𝑚”.
Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha constante nas demais,
3
é só determinar qual é esta proporção existente entre elas: no caso, 4 = 0,75, ou seja, a
largura da 2ª casa é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 2,25
cm.
Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm.
9 27
Portanto a sequência seria: (4...3... 4... 16 ...) e assim por diante.
3
Onde a razão de proporção é 4... e pode ser representada pela expressão:
Ti . P elevado à (n - 1)
Onde:
Ti = termo inicial, neste caso: 4
3
P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso: 4
n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4
Teremos:
3
(Ti = 4; P = 4; n – 1 = 3)
4.
3³
4
=
27
16
9) Resposta “E”.
Solução:
A = 81 litros
𝐴 9
81 9
= →
=
𝑇 5
𝑇
5
9T = 405
405
T= 9
T = 45
119
A+T=?
81 + 45 = 126 litros
10) Resposta “117 e 52”.
Solução:
x – y = 65
x = 65 + y
𝑥 9 65 + 𝑦 9
= →
=
𝑦 4
𝑦
4
9y = 4 (65 + y)
9y = 260 + 4y
9y – 4y = 260
5y = 260
260
y= 5
y = 52
x – 52 = 65
x = 65 + 52
x = 117
120
Radiciação
Considere o quadrado ao lado.
Podemos dizer que a área desse quadrado é 42 = 16
4
4
Sabendo que a área é 16 podemos calcular a medida de seu lado fazendo
pois 42 = 16.
16 = 4,
Observe o cubo ao lado.
Podemos dizer que o volume do cubo é 53 = 125
5
5
5
Sabendo que o volume é 125, podemos calcular a medida de sua aresta fazendo
= 5, pois 53 = 125.
3
125
Da mesma forma:
3
64 = 4, porque 43 = 64; 4 81 = 3, porque 34 = 81; 5 32 = 2, porque 25 = 32.
Ou, de modo geral, indicando a raiz enésima de a por b, podemos escrever:
n
a b b n a (n N e n ≥1)
Na raiz n a , o número n é chamado índice e o número a, radicando.
Veja os exemplos:
- Na raiz 25 , o radicando é 25 e o índice é 2.
- Na raiz 3 27 , o radicando é 27 e o índice é 3.
Observação: Podemos omitir o índice 2 na indicação da raiz quadrada. Assim:
25 .
2
25 =
Raiz de um Número Real
1º Caso: n = 1
Se n = 1, então
1
a=a
Exemplos:
- 1 10 = 10, porque 101 = 10
- 1 8 = –8, porque (–8)1 = –8
A raiz de índice 1 é igual ao próprio radicando.
2º Caso: n é par e a > 0
Considere como exemplo a raiz
2 é par.
25 . Nele o radicando a = 25 é positivo e o índice n =
121
Temos:
(–5)2 = 25 e (+5)2 = 25
Deveríamos então dizer que a raiz quadrada de 25 é 5 ou –5, porém o resultado de
uma operação deve ser único e, para que não haja dúvida quanto ao sinal da raiz,
convencionaremos que:
25 = 5
A raiz de índice par de um número positivo é um número positivo.
3º Caso: n é ímpar
Considere como exemplos as raízes:
-
3
3
64 = 4, porque 43 = 64
-
3
3
64 = -4, porque (-4)3 = -64
64 , na qual a = 64 (positivo) e n = 3 (ímpar). Temos:
64 , na qual a = -64 (negativo) e n = 3 (ímpar). Temos:
A raiz de índice ímpar tem o mesmo sinal do radicando.
Observação: A raiz de índice n do número zero é zero, ou seja:
n
0 = 0, para todo n N*
4º Caso: n é par e a < 0
Considere como exemplo a raiz quadrada de -36, onde a = -36 (negativo) e n = 2 (par).
Não existe raiz quadrada real de -36, porque não existe número real que, elevado ao
quadrado, dê -36.
Não existe a raiz real de índice par de um número real negativo.
Potência com Expoente Fracionário
Observe as equivalências em que as bases das potências são positivas:
7
3 2
7 7 7 ou 7 7
2
6
3
6
6
2
6- Expoente do radicando
2- Índice da raiz
122
Essas equivalências nos sugerem que todo radical de radicando positivo pode ser
escrito em forma de potência com expoente fracionário. Assim:
n
a
m
a
m
n
( a R* , m Z e n N * )
Exemplos:
3
-
5
23 2 5
-
4
3 34
1
Propriedade dos Radicais
1ª Propriedade:
Considere o radical
3
3
3
5 5 51 5
3
De modo geral, se a R , n N * , então:
n
an a
O radical de índice n de uma potência com expoente também igual a n dá como
resultado a base daquela potência.
2ª Propriedade:
1
1
3.5 3.5 2 3 2 .5 2 3. 5
1
Observe:
De modo geral, se a R , b R , n N * , então:
a.b n a .n b
Radical de um produto
n
Produto dos radicais
O radical de índice inteiro e positivo de um produto indicado é igual ao produto
dos radicais de mesmo índice dos fatores do radicando.
3ª Propriedade:
1
Observe:
1
2 2 2 22
1
3 3
32
2
3
De modo geral, se a R , b R* , n N * , então:
123
a na
b nb
Radical de um quociente
n
Quociente dos radicais
O radical de índice inteiro e positivo de um quociente indicado é igual ao
quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do radicando.
4ª Propriedade:
12
Observe:
3 3
8
8
12
2
3
3 3 32
12 8
Então:
3 3 32 e3 32 12 38
De modo geral, para a R , m N , n N * , se p N * , temos:
n
am
n. p
a m. p
Se p é divisor de m e n, temos:
n
am
n: p
a m: p
Multiplicando-se ou dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um
mesmo número natural maior que zero, o valor do radical não se altera.
Simplificação de Radicais
1º Caso
O índice do radical e o expoente do radicando têm fator comum. De acordo com a 4ª
propriedade dos radicais podemos dividir o índice e o expoente pelo fator comum.
Exemplo
Dividindo o índice 9 e o expoente 3 e 6 por 3, temos:
9
23.a 6 9:3 23:3.a 6:3 3 2a 2
2º Caso
Os expoentes dos fatores do radicando são múltiplos do índice. Considere o radical
n
a n. p , com a R , n N * e p Z . Temos:
n
a n. p a
n. p
n
ap
Assim, podemos dizer que, num radical, os fatores do radicando cujos expoentes são
múltiplos do índice podem ser colocados fora do radical, tendo como novo expoente o
quociente entre o expoente e o índice.
Exemplo
124
81a 2 b8 34.a 2 .b8 34 . a 2 . b8 32.a.b 4 9ab 4
3º Caso
Os expoentes dos fatores do radicando são maiores que o índice, mas não múltiplos
deste. Transforma-se o radicando num produto de potências de mesma base, sendo um
dos expoentes múltiplos do índice;
Exemplo
a 5 .b 3 a 4 .a.b 2 .b a 4 .b 2 . a.b a 2b ab
Exercícios
1. Calcule 4-2.
2. Calcule menos seis elevado à quarta potência.
3. Calcule 85 - (-5)2 + 31 + 40 + 2-1.
4. Calcule 432 e (43)2.
5. Quais os resultados de 713 : 711 e de 2-4 . 25?
6. Calcule
.
7. Calcule
.
8. Calcule
.
9. Extraia a raiz cúbica de 3375 pelo método da fatoração.
10. Simplifique o radical
.
Respostas
1
1) Resposta “16”.
Solução: Na parte teórica estudamos que:
Então:
125
Logo:
4-2 = 1/16.
2) Resposta “1296”.
Solução: Temos uma potência de base -6 e expoente 4, logo:
Embora bastante simples, este exercício possui um ponto que deve ser bem
observado. Note que a potência foi escrita como (-6)4 e não como -64. Isto porque se não
tivéssemos este cuidado, apenas o 6 seria elevado à quarta potência. Veja como ficaria:
Portanto:
Menos seis elevado à quarta potência é igual a 1296.
3) Resposta “32747,5”.
Solução: Apenas para facilitar a visualização da resolução das potências, vamos
calculá-las separadamente da expressão:
Agora montamos novamente a expressão com os resultados obtidos:
Então:
85 - (-5)2 + 31 + 40 + 2-1 = 32747,5.
4) Resposta “262144; 4096”.
Solução: No primeiro caso elevamos o 3 ao quadrado, que dá 9 e depois elevamos 4 à
nona potência:
Já no segundo caso elevamos o 4 ao cubo, que dá 64 e depois elevamos 64 à segunda
potência:
126
Os cálculos são diferentes porque os parênteses mudam a ordem normal na qual as
operações devem ser realizadas.
Logo:
432 = 262144 e (43)2 = 4096.
5) Resposta “49; 2”.
Solução: Tanto no primeiro caso quanto no segundo, temos bases idênticas. Nestas
condições normalmente é melhor trabalharmos na forma de potência e só no final resolvêla. Na primeira situação temos:
Repare que foi muito mais simples do que se tivéssemos calculado primeiro 713 e
depois 711 e em seguida dividido um valor pelo outro.
Vamos ao segundo caso:
Assim como no primeiro caso, realizamos as operações de forma mais simples do que
se tivéssemos resolvido as potências no início dos cálculos, isto sem dizer que
normalmente trabalhando desta forma as operações são realizadas mentalmente quando
é possível.
Portanto:
713 : 711 = 49 e 2-4 . 25 = 2.
6) Resposta “25”.
Solução: Vamos resolver este exercício de duas maneiras distintas. Na primeira vamos
passar o expoente 8 para dentro do radical e na segunda vamos transformar o radical em
uma potência com expoente fracionário.
Passando o expoente 8 para dentro do radical temos:
Agora vamos utilizar a propriedade da mudança de índice pela sua divisão e do
expoente do radicando por 4:
A raiz de índice 1 de um número é igual ao próprio número:
127
Pela outra forma temos:
Agora multiplicamos os expoentes e resolvemos a potência:
Então:
.
7) Resposta “49”.
Solução: Podemos resolver este exercício multiplicando índice e expoente, ambos
por 3. Isto eliminará as frações e de quebra o radicando:
Outra forma de resolução é transformarmos o radicando em uma potência de expoente
fracionário:
Logo:
.
8) Resposta “ –5”.
Solução: Primeiro vamos fatorar 8, 147 e 81:
Após realizarmos as substituições temos:
128
Agora segundo a propriedade da raiz de uma potência, em
vamos transformar a
raiz de uma potência, na potência de uma raiz, tirando o expoente do radicando para fora
do radical:
Em
o radical:
vamos dividir por 3, tanto o índice quanto os expoentes, para eliminarmos
Em
vamos fazer algo semelhante, dividindo por 2, tanto o índice quanto o
expoente de 72, para também retirarmos o 7 do radical:
Observe que na realidade tomamos um atalho, pois a operação completa para
retirarmos o 7 do radicando seria:
Repare que primeiro separamos a multiplicação no radicando em dois radicais e depois
realizamos a divisão por 2.
Continuando, vamos simplificar agora o índice e o expoente de
Como
e
, dividindo-os por 4:
possuem o mesmo radical, podemos subtrair um do outro:
Agora vamos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
:
Portanto:
.
9) Resposta “15”.
Solução: Fatorando 3375 temos:
129
Como 3375 = 33 . 53 temos:
Como ambos os expoentes são divisíveis pelo índice 3 do radicando, pois são iguais
a 3, podemos retirar ambos os fatores do radical, dividindo os expoentes pelo índice 3 e
repetindo as bases das potências, agora sem o radical:
Então:
.
10) Resposta “10”.
Solução: Para facilitar a explicação vamos iniciar separando os fatores em um radical à
parte, todos com o mesmo índice:
No primeiro radical a divisão de 14 por 3 terá como quociente 4 e como resto 2, então o
radical simplificado será a base 5 elevada ao quociente 4 multiplicada pela raiz cúbica
de 5 elevado ao resto 2:
O segundo radical não iremos simplificar, pois o expoente do radicando é menor que o
índice do radical, além de serem primos entre si. Se houvesse um divisor comum maior
que 1, iríamos dividi-los por este divisor:
Por fim no último radical, como o expoente é igual ao próprio índice, teremos como
fator apenas a base 10:
Substituindo os radicais por suas simplificações temos:
.
130
Porcentagem
É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100.
Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.
50
Deste modo, a fração
é uma porcentagem que podemos representar por 50%.
100
Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por
exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.
75% =
75
= 0,75
100
Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta
p
multiplicarmos a fração
por V.
100
P% de V =
p
.V
100
Exemplo 1
23% de 240 =
23
. 240 = 55,2
100
Exemplo 2
Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um
certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem
ao tal programa?
Resolução: 67% de 56 000 =
67
.56000 37520
100
Resposta: 37 520 pessoas.
Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação
ao preço de venda
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre
o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda
Preço de custo – prejuízos = preço de venda
131
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100%
Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100%
Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.
Exemplo
Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00.
Pede-se:
- o lucro obtido na transação;
- a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;
- a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
Resposta:
Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00
300
Lc =
= 0,60 = 60%
500
300
Lv =
= 0,375 = 37,5%
800
Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento
de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento.
p
Então, A = p% de V =
.V
100
p
VA = V + A = V +
.V
100
p
VA = ( 1 +
).V
100
p
Em que (1 +
) é o fator de aumento.
100
Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto
de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto.
p
Então, D = p% de V =
.V
100
p
VD = V – D = V –
.V
100
p
VD = (1 –
).V
100
p
Em que (1 –
) é o fator de desconto.
100
Exemplo
132
Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele
terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de
março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?
Resolução: VA = 1,4 . V
3 500 = 1,4 . V
3500
V=
2500
1,4
Resposta: R$ 2 500,00
Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos
considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p 1% e p2%. Sendo V1 o valor
após o primeiro aumento, temos:
p
V1 = V . (1 + 1 )
100
Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:
p
V2 = V1 . (1 + 2 )
100
p
p
V2 = V . (1 + 1 ) . (1 + 2 )
100
100
Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos
sucessivos de p1% e p2%.
Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:
p
V1 = V. (1 – 1 )
100
Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:
p
V2 = V1 . (1 – 2 )
100
p
p
V2 = V . (1 – 1 ) . (1 – 2 )
100
100
Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p 1% e,
sucessivamente, um desconto de p2%.
Sendo V1 o valor após o aumento, temos:
p
V1 = V . (1+ 1 )
100
Sendo V2 o valor após o desconto, temos:
p
V2 = V1 . (1 – 2 )
100
133
V2 = V . (1 +
p1
p
) . (1 – 2 )
100
100
Exemplo
(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para
depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco
deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá
em reais, relativo a esse depósito, são:
n
Resolução:
VA
p
= 1
.v
100
n
15
= 1.
.1000
100
VA = 1 000 . (1,15)n
VA = 1 000 . 1,15n
VA = 1 150,00n
VA
Exercícios
1. (Fuvest-SP) (10%)2 =
a) 100%
b) 20%
c) 5%
d) 1%
e) 0,01%
2. Quatro é quantos por cento de cinco?
3. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O
comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do
preço de custo é:
a) R$ 25,00
b) R$ 70,50
c) R$ 75,00
d) R$ 80,00
e) R$ 125,00
4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um
produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao
fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de
20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de
promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:
a) Prejuízo de 10%.
b) Prejuízo de 5%.
c) Lucro de 20%.
d) Lucro de 25%.
e) Lucro de 30%.
134
5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de
2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de:
a) 38%
b) 40%
c) 42%
d) 44%
e) 46%
6. (FUVEST-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento
de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:
a) 2,56 x
b) 1,6x
c) x + 160
d) 2,6x
e)3,24x
7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único
desconto de:
a) 25%
b) 26%
c) 44%
d) 45%
e)50%
8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em
relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o
seu valor no oitavo ano será:
a) (0,7)7 V
b) (0,3)7 V
c) (0,7)8 V
d) (0,3)8 V
e) (0,3)9 V
9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma população
economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de
desempregados nessa cidade?
10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual
o total de bolinhas que está na piscina?
Respostas
1) Resposta “D”.
Solução:
10 10
1
.
=
= 1%
100 100 100
2) Resposta “80%”.
Solução:
135
05 ----------- 100%
04 ----------- x
5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → 𝑥 =
400
5
= 80%
3) Resposta “D”.
Solução:
Pcusto = 100,00
O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00
Pc + 0,25Pc = 100,00
1,25Pc = 100,00
100
Pc = 1,25 → 𝑃𝑐 = 80,00
4) Resposta “C”.
Solução:
X reais (preço de custo)
Lucro de 50%: x + 50% = x +
dividimos por 5).
50
100
=
100𝑥+50
100
=
10𝑥+5
10
=
2𝑥+1
2
(dividimos por 10 e depois
Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o
preço de venda com 50% de lucro seria 1,50.
Se 1,50 é 100%
X
20%
fazemos esta regra de três para achar os 20%: 20.1,50 ÷ 100 = 0,30
Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de lucro em cima do valor
de custo. Alternativa C.
5) Resposta “B”.
Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada na matéria será:
p
p
V2 = V.(1 + 1 ).(1 – 2 ).
100
100
Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois aumentos esse valor será de
1,61=V2.
p
15
).(1 – 2 )
100
100
p
15
1,61 = (1 +
).(1 – 2 ) (mmc de 100)
100
100
p
115
1,61 = (
).(1 – 2 )
100
100
115(100 P 2)
1,61 = 10000
1,61 = 1.(1 +
136
16100 = -11.500 + 115P2
115P2 = -11.500 + 16100
P2 = 4600/115
P2 = 40%
6) Resposta “E”.
Solução:
𝑆𝐴 = (1 +
80
80
) . (1 +
) . 𝑥 = 1,8 .1,8. 𝑥 = 3,24𝑥
100
100
7) Resposta “C”.
Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada na matéria será:
p
p
V2 = V.(1 - 1 ).(1 – 2 )
100
100
Substituindo V por um valor: 1, ficará:
20
30
).(1 –
)
100
100
100 20 100 30
V2 = (
).(
)
100
100
80
70
V2 = (
).(
)
100 100
5600
V2 =
10000
56
V2 =
100 que é igual a 56%
V2 = 1.(1 -
100% - 56% = 44%
8) Resposta “A”.
Solução:
1º ano = 1
2º ano = 0,70 – 30% (0,21)
3º ano = 0,49 – 30% (0,147)
4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029)
5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203)
6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421)
7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947)
8º ano = 0,0823543
0,0823543 = (0,7)7V
9) Resposta “5%”.
Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados
Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados
137
Em 100 habitantes → 5 desempregados
5
25000
5
= 5% 𝑜𝑢 500000 = 100 = 5%
100
Portanto, 5% da população da cidade é desempregada.
10) Resposta “500 unidades”.
Solução: 4% → 20 bolinhas. Então:
20% → 100 bolinhas
100% → 500 bolinhas
Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20.
4
Como 4% = 100 = 0,004, podemos escrever:
0,04 . x = 20 → 𝑥 =
20
0,04
→ 𝑥 = 500.
Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades.
138
Produtos Notáveis
Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são
efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em
grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.
Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer,
apresentamos a seguir os produtos notáveis.
Quadrado da Soma de Dois Termos
(a + b)2 = (a + b) (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Quadrado da Diferença de Dois Termos
(a - b)2 = (a - b) (a - b) = a2 - 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos
(a + b) (a – b) = a2 – ab + ab - b2
(a + b)(a – b) = a2
Cubo da Soma de Dois Termos
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2 + 2ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo da Diferença de Dois Termos
(a - b)3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2)
(a - b)3 = a3 + 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Exercícios
1. Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
a) (3x+y)²
𝟏
b) ((𝟐)+x²)²
2. Desenvolva:
𝟐𝒙
a) (( 𝟑 )+4y³)²
b) (2x+3y)3
3. Resolva os seguintes termos:
a) (x4 + (1/x2))3
b) ((2x/3) + (4y/5)) . ((2x/3) - (4y/5)
139
4. Efetue as multiplicações:
a) (x-2) (x-3)
b) (x+5) (x-4)
5. Simplifique as expressões:
a) (x + y)2 – x2 – y2
b) (x + 2) (x - 7) + (x – 5) (x + 3)
6. Resolva tal expressão:
a) (a – 3)²
b) (x – 3y)²
c) (2ª – 5)²
7. Desenvolva:
a) (x + 2) (x – 2)
b) (2x – 5y) (2x + 5y)
8. Resolva a expressão: (x/2 + y/3) (x/2 – y/3).
9. Calcule os seguintes termos:
a) (3 + 4)²
b) (5 + 4)²
10. Utilize a regra do produto notável para resolver os seguintes cálculos:
a) (x + 2)²
b) (4x + 4)²
c) (a + 4b)²
Respostas
1) Solução:
a → (3x + y)2 =
(3x)2 + 2 . 3x . y + y2 =
9x2 + 6xy + y2
1
b → ((2)+x2)2 =
1
1
(2)2 + 2.( 2).x2 + (x2)2 =
1
(4) + x2 + x4
2) Solução:
2x
a → (( 3 ) + 4y3)2 =
2x
( 3 )2 – 2 .(
4
16
2x
3
).4y3 + (4y3)2 =
(9)x2 – ( 3 )xy3 + 16y6
b → (2x+3y)3 =
(2x)3 + 3 .(2x)2. 3y + 3 . 2x .(3y)2 + (3y)3 =
8x 3+ 36x2y + 54xy2 + 27y3
140
3) Solução:
a → (x4 + (1/x2))3 =
(x4)3 + 3 . (x4)2 . (1/x2) + 3 . x4 . (1/x2)2 + (1/x2)3 =
x12 + 3x6 + 3 + (1/x6)
b → (2x/3) + (4y/5)) . ((2x/3) - (4y/5)) =
(2x/3)2 - (4y/5)2 =
(4/9)x2 - (16/25)y2
4) Solução:
a → (x-2) (x-3) =
x2 + ((-2) + (-3)) x + (-2) . (-3) =
x2 – 5x + 6
b → (x+5) (x-4) =
x2 + (5 + (-4)) x + 5 . (-4) =
x2 + x – 20
5) Solução:
a → (x + y)2 – x2 – y2 =
x2 + 2xy + y2 – x2 – y2 =
2xy
b → (x + 2) (x – 7) + (x – 5) (x + 3) =
x2 + (2 + (-7)) x + 2 . (-7) + x2 + (-5 + 3) x + 3 . (-5) =
x2 – 5x – 14 + x2 – 2x – 15 =
2x2 – 7x – 29
6) Solução:
a → a² - 2 . a . 3 + 3²
a² - 6ª + 9
b → (x)² - 2 . x . 3y + (3y)²
x² - 6xy + 9y²
c → (2ª) ² - 2 . 2ª . 5² - 5²
4ª ² - 4ª . 50 – 25
7) Solução:
a → (x + 2) (x – 2)
x² - 2² =
x² – 4
b → (2x – 5y) (2x + 5y)
(2x) ² - (5y) ² =
4x² - 25y²
8) Solução:
(x/2 + y/3) (x/2 – y/3)
141
(x/2)² - (y/3)²
x²/4 - y²/9
9) Solução: Nesse caso, podemos resolver de duas maneiras:
a → (3 + 4)² = 7² = 49
(3 + 4)² = 3² + 2 . 3 . 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49
b → Podemos também resolver de duas maneiras:
(5 + 4)² = 9² = 81
(5 + 4)² = 5² + 2 . 5 . 4 + 4² = 25 + 40 + 16 = 81
10) Solução:
a → x² + 2 . x . 2 + 2²
x² + 4x + 4
b → (4x)² + 2 . 4x . 4 + 4²
16x² + 32x + 16
c → (a)² + 2 . a . 4b + 4b²
a² + 2 . a . 8b + 16b²
142
Múltiplos e Divisores
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30.
Podemos dizer então que:
“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que multiplicado por 6 dá
como resultado 30.”
Um numero natural a é divisível por um numero natural b, não-nulo, se existir um
número natural c, tal que c . b = a.
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30.
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido multiplicando-se esse
número pela sucessão dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, multiplicamos por 7 cada
um dos números da sucessão dos naturais:
7x0=0
7x1=7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o conjunto dos múltiplos de 7:
M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}.
Observações:
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, e a fórmula geral desses
números é 2 k (k N). Os demais são chamados de números ímpares, e a fórmula geral
desses números é 2 k + 1 (k N).
Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos possibilitam dizer se um
número é ou não divisível por outro, sem efetuarmos a divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8,
ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores
absolutos de seus algarismos é divisível por 3.
143
Exemplos:
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é divisível por 3.
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando seus dois algarismos são 00
ou formam um número divisível por 4.
Exemplos:
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é divisível por 4.
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplos:
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0.
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 0 + 5 + 3 + 0 = 16).
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando seus três últimos algarismos
forem 000 ou formarem um número divisível por 8.
Exemplos:
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos são 000.
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 24, que
é divisível por 8.
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos formam o número 125,
que não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores
absolutos de seus algarismos formam um número divisível por 9.
Exemplos:
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 27 é divisível por 9.
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 14 não é divisível por 9.
144
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplos:
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre a soma
dos algarismos de posição ímpar e a soma dos algarismos de posição par resulta em um
número divisível por 11.
Exemplos:
a) 1º
3º
5º Algarismos de posição ímpar.(Soma dos algarismos de posição
impar: 4 + 8 + 3 = 15.)
4 3 8 1 3
2º
4º Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos de posição par:3 +
1 = 4)
15 – 4 = 11 diferença divisível por 11. Logo 43813 é divisível por 11.
b) 1º 3º 5º 7º (Soma dos algarismos de posição ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)
8 3 4 1 5 7 2 1
2º 4º 6º 8º (Soma dos algarismos de posição par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)
19 – 12 = 7 diferença que não é divisível por 11. Logo 83415721 não é divisível por
11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 2 + 4 = 24) e por 4
(termina em 24).
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 (termina em 11).
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 + 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 + 4 + 3 + 0 =18) e por 5
(termina em 0).
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 (termina em 2).
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 + 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).
Exercícios
1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 menores que 30.
145
2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 compreendidos entre
30 e 50.
3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter um múltiplo de 7?
4. Como são chamados os múltiplos de 2?
5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.
a) 23418
b) 65000
c) 38036
d) 24004
e) 58617
6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 maiores que 10 e
menores que 20.
7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você contar as rodas dos
automóveis, o resultado pode ser 42? Pode ser 72? Por quê?
8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9.
9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12.
10. Responda sim ou não:
a) 24 é múltiplo de 2?
b) 52 é múltiplo de 4?
c) 50 é múltiplo de 8?
d) 1995 é múltiplo de 133?
Respostas
1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”.
Solução:
5x0=0
5x1=5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
2) Resposta “32, 40, 48”.
Solução:
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
8 x 6 = 48
146
3) Resposta “6”.
Solução: 36 + 6 = 40. Pois, o número 40 é divisível por 7.
4) Resposta “Pares”.
Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (k N)
5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”.
Solução:
a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4.
b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4.
c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4.
d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4.
e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4.
6) Resposta “14”.
Solução:
7 x 2 = 14.
7) Resposta “72”.
Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o número que contarmos
deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já
o 72 pode ser.
8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”.
Solução:
9x0=0
9x1=9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”.
Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12.
10) Solução:
a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par
b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.
c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número inteiro.
d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número inteiro.
147
Equação e Problemas do 1º Grau
Veja estas equações, nas quais há apenas uma incógnita:
3x – 2 = 16 (equação de 1º grau)
2y3 – 5y = 11 (equação de 3º grau)
1 – 3x +
2
1
=x+
(equação de 1º grau)
5
2
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto
é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. Para conseguir isso, há dois
recursos:
- inverter operações;
- efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade.
Exemplo1
Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações.
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18
(invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6
(invertemos a multiplicação por 3).
Registro
3x – 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
18
x=
3
x=6
Exemplo 2
Resolução da equação 1 – 3x +
2
1
= x + , efetuando a mesma operação nos dois
5
2
lados da igualdade.
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação por mmc (2;5) =
10. Dessa forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os
cálculos necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados
da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas
com as setas curvas verticais.
Registro
1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2
10 – 10 3x + 2/ 5 = 10 x + ½
148
10 – 2 (3x + 2) = 5 (x + 1)
10 – 6x – 4 = 5x + 5
6 = 11x + 5
1 = 11x
1/11 = x
ou
x = 1/11
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas idéias e na
percepção de um padrão visual.
- Se a + b = c, conclui-se que a = c + b.
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a
parcela b aparece subtraindo no lado direito da igualdade.
- Se a . b = c, conclui-se que a = c + b, desde que b ≠ 0.
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na
segunda, ele aparece dividindo no lado direito da igualdade.
O processo prático pode ser formulado assim:
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da
igualdade e os demais termos do outro lado.
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação.
Exemplo
. x 3 x 2
5 x 2 x 2
Resolução da equação
=
, usando o processo prático.
2
3
3
Procedimento e justificativa: Iniciamos da forma habitual, multiplicando os dois lados
pelo mmc (2;3) = 6. A seguir, passamos a efetuar os cálculos indicados. Neste ponto,
passamos a usar o processo prático, colocando termos com a incógnita à esquerda e
números à direita, invertendo operações.
Registro
5x 2 x 2
. x 3
x2
2
3
3
x 2. x 3 6. x 2
5x 2
6.
6.
2
3
3
15(x + 2) – 2(x + 2)(x – 3) = – 2x2
15x + 30 – 2(x2 – 3x + 2x – 6) = – 2x2
15x + 30 – 2(x2 – x – 6) = – 2x2
15x + 30 – 2x2 + 2x + 12 = – 2x2
17x – 2x2 + 42 = – 2x2
17x – 2x2 + 2x2 = – 42
17x = – 42
42
x=
17
149
Note que, de início, essa última equação aparentava ser de 2º grau por causa do termo
x2
no seu lado direito. Entretanto, depois das simplificações, vimos que foi reduzida a
3
uma equação de 1º grau (17x = – 42).
Exercícios
1. Resolva a seguinte equação:
2. Resolva:
𝒙−𝟑
𝟓
−
𝟐𝒙− 𝟑
𝟐
− 𝟓=
𝒙−𝟏
𝟑𝒙−𝟏
𝟐
𝟐
−
−
𝒙+𝟑
𝟒
= 𝟐𝒙 −
𝒙−𝟒
𝟑
𝟒𝒙+𝟐
𝟓
3. Calcule:
a) -3x – 5 = 25
𝟏
b) 2x - 𝟐 = 𝟑
c) 3x + 24 = -5x
4. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que
números são esses?
5. Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6
sejam iguais.
6. Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
7. Verifique se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6.
8. Verifique se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6.
9. Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0 vale 3, qual será
o valor de K?
10. Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
Respostas
1) Resposta “𝑥 =
Solução:
𝑥−1
𝑥+3
−
= 2𝑥 −
−31
17
".
𝑥−4
2
4
3
6 (𝑥−1)− 3 (𝑥+3)=24𝑥−4 (𝑥−4)
12
6x – 6 – 3x – 9 = 24x – 4x + 16
6x – 3x – 24x + 4x = 16 + 9 + 6
150
10 x – 27x = 31
(-1) -17x = 31
−31
𝑥 = 17
−32
2) Resposta “𝑥 = 15 ".
Solução:
x−3
2x− 3
3x−1
− 2 − 5= 2 −
5
4x+2
5
2 (𝑥−3)− 5 (2𝑥 − 3)− 50 =5 (3𝑥 – 1)− 2 (4𝑥+2)
10
2x – 6 – 10x + 15 – 50 = 15x – 5 – 8x – 4
2x – 10x – 15x + 8x = -5 – 4 + 50 – 15 + 6
10x – 25x = 56 – 24
(-1) -15x = 32
−32
𝑥 = 15
3) Solução:
a) -3x – 5 = 25
-3x = 25 + 5
(-1) -3x = 30
3x = -30
−30
𝑥 = 3 = −10.
1
b) 2x -2 = 3
2 (2𝑥)− 1=6
2
4x – 1 = 6
4x = 6 + 1
4x = 7
7
𝑥=4
c) 3x + 24 = -5x
3x + 5x = -24
8x = -24
−24
𝑥 = 8 = −3.
4) Resposta “130; 131 e 132”.
Solução:
x + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.
5) Resposta “22”.
Solução:
151
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)
18a + 36 = 16a + 80
2a = 44
a = 44/2 = 22
6) Solução:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 » V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 » V= {0}
7) Resposta “Verdadeira”.
Solução:
8) Resposta “Errada”.
Solução:
29
9) Resposta “𝑘 = 15 ".
Solução:
( k – 3 ).3 + ( 2k – 5 ).4 + 4k = 0
3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0
3k + 8k + 4k = 9 + 20
15k = 29
10) Resposta
a) 18x = 65 + 43
18x = 108
x = 108/18
x=6
152
b) 23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = ¾
c) 10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20
5y - 6y = -26 + 5
-y = -21
y = 21
153
Equação e Problemas do 2º Grau
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x toda equação da forma ax2 + bx + c =
0, em que a, b, c são números reais e a ≠ 0.
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c
são chamados coeficientes da equação:
- a é sempre o coeficiente do termo em x2.
- b é sempre o coeficiente do termo em x.
- c é sempre o coeficiente ou termo independente.
Equação completa e incompleta:
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa.
Exemplos
5x2 – 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = – 8, c = 3).
y2 + 12y + 20 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 12, c = 20).
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta.
Exemplos
x2 – 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = – 81).
10t2 +2t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = 2 e c = 0).
5y2 = 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0).
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada
forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita.
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c
= 0; por meio de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o
multiplicativo, podemos reduzi-las a essa forma.
Exemplo: Pelo princípio aditivo.
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0
3x2 – 7x + 3 = 0
Exemplo: Pelo princípio multiplicativo.
2 1
x
x 2 x4
4.x 4 xx 4
2x 2
2 x x 4
2 x x 4
4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2
4x – 16 – x2 + 4x = 2x2
– x2 + 8x – 16 = 2x2
– x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0
– 3x2 + 8x – 16 = 0
154
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita.
- A equação é da forma ax2 + bx = 0.
x2 + 9 = 0 colocamos x em evidência
x . (x – 9) = 0
x=0
ou
x–9=0
x=9
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação.
- A equação é da forma ax2 + c = 0.
x2 – 16 = 0 Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados.
(x + 4) . (x – 4) = 0
x+4=0
x=–4
x–4=0
x=4
Logo, S = {–4, 4}.
Fórmula de Bhaskara
Usando o processo de Bhaskara e partindo da equação escrita na sua forma normal,
foi possível chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de
qualquer equação do 2º grau de maneira mais simples.
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bhaskara.
x
b
2.a
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante ;
temos então, três casos a estudar.
1º caso: é um número real positivo ( > 0).
Neste caso, é um número real, e existem dois valores reais diferentes para a
incógnita x, sendo costume representar esses valores por x’ e x”, que constituem as
raízes da equação.
x
b
2.a
b
2.a
b
x ''
2.a
x'
2º caso: é zero ( = 0).
Neste caso, é igual a zero e ocorre:
155
x
b
b 0 b0 b
= x
=
=
2.a
2.a
2.a
2a
Observamos, então, a existência de um único valor real para a incógnita x, embora seja
costume dizer que a equação tem duas raízes reais e iguais, ou seja:
x’ = x” =
b
2a
3º caso: é um número real negativo ( < 0).
Neste caso, não é um número real, pois não há no conjunto dos números reais a
raiz quadrada de um número negativo.
Dizemos então, que não há valores reais para a incógnita x, ou seja, a equação não
tem raízes reais.
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única
dependem, exclusivamente, do discriminante = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa
expressão.
Na equação ax2 + bx + c = 0
- = b2 – 4.a.c
- Quando ≥ 0, a equação tem raízes reais.
- Quando < 0, a equação não tem raízes reais.
- > 0 (duas raízes diferentes).
- = 0 (uma única raiz).
Exemplo: Resolver a equação x2 + 2x – 8 = 0 no conjunto R.
temos: a = 1, b = 2 e c = – 8
= b2 – 4.a.c = (2)2 – 4 . (1) . (–8) = 4 + 32 = 36 > 0
Como > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por:
x
x’ =
b 2 36 2 6
=
2.a
2.1
2
26 4
2
2
2
x” =
26 8
4
2
2
Então: S = {-4, 2}.
Exercícios
1. Se x2 = – 4x, então:
a) x = 2 ou x = 1
b) x = 3 ou x = – 1
c) x = 0 ou x = 2
d) x = 0 ou x = – 4
e) x = 4 ou x = – 1
2. As raízes reais da equação 1,5x2 + 0,1x = 0,6 são:
156
2
e1
5
3 2
b) e
5 3
3
2
c) e
5
5
2 2
d) e
5 3
3
2
e) e
5
3
a)
3. As raízes da equação x3 – 2x2 – 3x = 0 são:
a) –2, 0 e 1
b) –1, 2 e 3
c) – 3, 0 e 1
d) – 1, 0 e 3
e) – 3, 0 e 2
4. Verifique se o número 5 é raiz da equação x2 + 6x = 0.
5. Determine o valor de m na equação x2 + (m + 1)x – 12 = 0 para que as raízes
sejam simétricas.
6. Determine o valor de p na equação x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 para que as raízes
sejam simétricas.
7. (U. Caxias do Sul-RS) Se uma das raízes da equação 2x2 – 3px + 40 = 0 é 8,
então o valor de p é:
a) 5
13
b)
3
c) 7
d) – 5
e) – 7
8. O número de soluções reais da equação:
6x 2 4x3
3
4 , com x ≠ 0 e x ≠ é:
2
2
2 x 3x
a) 0
b) 1
c) -2
d) 3
e) 4
9. O(s) valor(es) de B na equação x2 – Bx + 4 = 0 para que o discriminante seja
igual a 65 é(são):
a) 0
b) 9
c) –9
d) –9 ou 9
157
e) 16
10. Um valor de b, para que a equação 2x2 + bx + 2 = 0 tenha duas raízes reais e
iguais é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Respostas
1. Resposta “D”.
Solução:
x2 = – 4x
x2 + 4x = 0
x (x + 4) = 0
x=0
x+4=0
x = -4
2) Resposta “E”.
Solução:
1,5x2 + 0,1x = 0,6
1,5x2 + 0,1x - 0,6 = 0 (x10)
15x2 +1x - 6 = 0
= b2 – 4.a.c
= 12 – 4 . 15 . – 6
= 1 + 360
= 361
x
1 361 1 19 18 3 20
2
ou
=
2.15
30
30 5
30
3
3) Resposta “D”.
Solução:
x3 – 2x2 – 3x = 0
x (x2 – 2x – 3) = 0
x=0
x2 – 2x – 3 = 0
= b2 – 4.a.c
= -22 – 4 . 1 . – 3
= 4 + 12
= 16
x
(2) 16 2 4
=
2.1
2
6
2
3ou
1
2
2
4) Resposta “Não”.
158
Solução:
b 6
6
S=
a
1
P=
c 0
0
a 1
Raízes: {-6,0}
Ou x2 + 6x = 0
x (x + 6) = 0
x=0 ou x+6=0
x=-6
5) Resposta “-1”.
Solução:
b (m 1)
m 1
S=
a
1
P=
c 12
12
a
1
-m-1=0
m=-1
6) Resposta “ -5/2”.
Solução:
x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 (-1)
-x2 +(2p + 5)x + 1 = 0
b (2 p 5)
2p 5
a
1
2p + 5 = 0
2p = -5
p = - 5/2
S=
P=
c
1
1
a 1
7) Resposta “C”.
Solução:
2x2 – 3px + 40 = 0
282 – 3p8 + 40 = 0
2.64 – 24p + 40 = 0
128 – 24p + 40 = 0
-24p = - 168 (-1)
p = 168/24
p=7
8) Resposta “C”.
Solução:
6 x 2 4 x 3 x(6 x 4 x 2 )
4
x(2 x 3)
2 x 2 3x
-8x + 12 = -6x + 4x2
4x2 + 2x - 12 = 0
= b2 – 4.a.c
= 22 – 4 . 4 . -12
= 4 + 192
159
= 196
2 196 2 14 12 3 16
x
ou
2
=
2.4
8
8 2
8
9) Resposta “D”.
Solução:
x2 – Bx + 4 = 0
b2 – 4.a.c
b2 – 4 . 1 . 4
b2 – 16 = 65
b2= 65 + 16
b =√81
b=9
b = -B
B = ±9
10) Resposta “C”.
Solução:
2x2 + bx + 2 = 0
b2 – 4.a.c
b2 – 4 . 2 . 2
b2 - 16
b2 = 16
b =√16
b=4
160
Inequação do 1˚ Grau
Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade.
As inequações x + 5 > 12 e 2x – 4 x + 2 são do 1º grau, isto é, aquelas em que a
variável x aparece com expoente 1.
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da
inequação. A expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da
inequação.
Na inequação x + 5 > 12, por exemplo, observamos que:
A variável é x;
O primeiro membro é x + 5;
O segundo membro é 12.
Na inequação 2x – 4 x + 2:
A variável é x;
O primeiro membro é 2x – 4;
O segundo membro é x + 2.
Propriedades da desigualdade
Propriedade Aditiva:
Mesmo sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 + 2 > 3 + 2, isto é: 10 > 5.
Somamos +2 aos dois membros da desigualdade
Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um
mesmo número aos seus dois membros.
Propriedade Multiplicativa:
Mesmo sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . 2 > 3 . 2, isto é: 16 > 6.
Multiplicamos os dois membros por 2
Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois
membros por um mesmo número positivo.
Mudou de sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . (–2) < 3 . (–2), isto é: –16 < –6
Multiplicamos os dois membros por –2
Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois
membros por um mesmo número negativo.
161
Resolver uma inequação é determinar o seu conjunto verdade a partir de um conjunto
universo dado.
Vejamos, através do exemplo, a resolução de inequações do 1º grau.
a) x < 5, sendo U = N
Os números naturais que tornam a desigualdade verdadeira são: 0, 1, 2, 3 ou 4. Então
V = {0, 1, 2, 3, 4}.
b) x < 5, sendo U = Z
Todo número inteiro menor que 5 satisfaz a desigualdade. Logo, V = {..., –2, –1, 0, 1, 2,
3, 4}.
c) x < 5, sendo U = Q
Todo número racional menor que 5 é solução da inequação dada. Como não é possível
representar os infinitos números racionais menores que 5 nomeando seus elementos, nós
o faremos por meio da propriedade que caracteriza seus elementos. Assim:
V = {x Q / x <5}
Resolução prática de inequações do 1º grau:
A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo de maneira semelhante à
resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra inequação
equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade.
Exemplo
Resolver a inequação 4(x – 2) 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q.
4(x – 2) 2 (3x + 1) + 5
4x – 8 6x + 2 + 5
4x – 6x 2 + 5 + 8
–2x 15
aplicamos a propriedade distributiva
aplicamos a propriedade aditiva
reduzimos os termos semelhantes
Multiplicando os dois membros por –1, devemos mudar o sentido da desigualdade.
2x –15
162
Dividindo os dois membros por 2, obtemos:
2x
15
15
x
2
2
2
15
Logo, V = x Q | x .
2
Vamos determinar o conjunto verdade caso tivéssemos U = Z.
Sendo
15
7,5 , vamos indicá-lo na reta numerada:
2
Logo, V = {–7, –6, –5, –4, ...} ou V = {x Z| x –7}.
Exercícios
1. Resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7, sendo U = Q.
𝐱
𝟏
2. Resolver a inequação 𝟐 ≤ 𝟒 −
𝟐𝐱−𝟑𝐱
𝟓
, sendo U = Q.
3. Verificar se os números racionais −9 e 6 fazem parte do conjunto solução da
inequação 5x − 3 ⋅ (x + 6) > x – 14.
4. Resolva as seguintes inequações, em R.
a) 2x + 1
x+6
b) 2 - 3x
x + 14
5. Calcule as seguintes inequações, em R.
a) 2(x + 3) > 3 (1 - x)
b) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7
c) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4
6. Resolva as seguintes inequações, em R.
a) (x + 3) > (-x-1)
b) [1 - 2*(x-1)] < 2
c) 6x + 3 < 3x + 18
7. Calcule as seguintes inequações, em R.
a) 8(x + 3) > 12 (1 - x)
b) (x + 10) > (-x +6)
8. Resolva a inequação: 2 – 4x ≥ x + 17
163
9. Calcule a inequação 3(x + 4) < 4(2 –x).
10. Quais os valores de X que tornam a inequação -2x +4 > 0 verdadeira?
Respostas
1
1) Resposta “𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑄/ 𝑥 > 3}”.
Solução:
7x + 6 > 4x + 7
7x – 4x > 7 – 6
3x > 1
1
X>3
1
Da inequação X > , podemos dizer que todos os números racionais maiores que
3
formam o conjunto solução de inequação dada, que é representada por:
1
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑄/ 𝑥 > 3}
1
3
3
2) Resposta “𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑄/ 𝑥 > 2}”.
Solução:
x
1
2x−3x
10𝑥
5−4.(2−3𝑥)
≤ 4 − 5 → 20 ≤
=
2
20
10x ≤ 5 – 4 .(2 – 3x)
10x ≤ 5 – 8 + 12x
10x – 12 x ≤ -3
-2x ≤ -3
(-1)
2x ≥ 3
3
x ≥ 2.
3
Todo número racional maior ou igual a 2 faz parte do conjunto solução da inequação
dada, ou seja:
3
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑄/ 𝑥 > 2}
3) Resposta “6 faz parte; -9 não faz parte”.
Solução:
5x − 3 ⋅ (x + 6) > x – 14
5x – 3x – 18 > x – 14
2x – x > -18 + 14
x>4
Fazendo agora a verificação:
- Para o número −9, temos: x > 4 → − 9 > 4 (sentença falsa)
- Para o número 6, temos: x > 4 → 6 > 4 (sentença verdadeira)
Então, o número 6 faz parte do conjunto solução da inequação, enquanto o número −9
não faz parte desse conjunto.
4) Solução:
164
a) 2x - x + 1
x+1
6
x
5
x-x+6
b) 2 - 3x - x
2 - 4x
14
-4x
12
-x
3
x -3
x - x + 14
5) Solução:
a) 2x + 6 > 3 - 3x
2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x
6 - 3 > -5x
3 > - 5x
-x < 3/5
x > -3/5
b) 3 - 6x < 2x + 2 + x - 7
-6x - 3x < -8
-9x < -8
9x > 8
x > 8/9
c) Primeiro devemos achar um mesmo denominador.
-2x - 6 < 3 - 3x
x<9
6) Solução:
a) x + 3 > -x - 1
2x > -4
x > -4/2
x > -2
b) 1 - 2x + 2 < 2
- 2x < 2 - 1 - 2
- 2x < -1
2x > 1
x > 1/2
c) 6x - 3x < 18 - 3
3x < 15
x < 15/3
x<5
7) Solução:
a) 8x + 24 > 12 - 12x
165
20x > 12 - 24
20x > -12
x > -12/20
x > -3/5
b) x + x > 6 - 10
2x > -4
x > -4/2
x > -2
8) Resposta “x ≤ -3”.
Solução:
9) Resposta “x > -7/4”.
Solução:
10) Solução:
O número 2 não é a solução da inequação dada, mais sim qualquer valor menor que 2.
Verifique a solução:
Para x = 1
-2x +4 > 0
-2.(1) +4 > 0
-2 + 4 > 0
2 > 0 ( verdadeiro )
Observe, então, que o valor de x menor que 2 é a solução para inequação.
166
Inequações do 2˚ Grau
Chamamos inequação do 2º grau às sentenças:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c 0
Onde a, b, c são números reais conhecidos, a ≠ 0, e x é a incógnita.
Estudo da variação de sinal da função do 2º grau:
- Não é necessário que tenhamos a posição exata do vértice, basta que ele esteja do
lado certo do eixo x;
- Não é preciso estabelecer o ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo y e,
considerando que a imagens acima do eixo x são positivas e abaixo do eixo negativas,
podemos dispensar a colocação do eixo y.
Para estabelecermos a variação de sinal de uma função do 2º grau, basta conhecer a
posição da concavidade da parábola, voltada para cima ou para baixo, e a existência e
quantidade de raízes que ela apresenta.
Consideremos a função f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0.
167
Finalmente, tomamos como solução para inequação as regiões do eixo x que
atenderem às exigências da desigualdade.
Exemplo
Resolver a inequação x2 – 6x + 8 0.
- Fazemos y = x2 – 6x + 8.
- Estudamos a variação de sinal da função y.
- Tomamos, como solução da inequação, os valores de x para os quais y > 0:
S = {x R| x < 2 ou x > 4}
Observação: Quando o universo para as soluções não é fornecido, fazemos com que
ele seja o conjunto R dos reais.
Exercícios
1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
b) 3x2 + 55 = 0
2. Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0?
3. O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o
valor do coeficiente c:
4. Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
5. Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.
6. Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.
7. Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.
8. Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.
9. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) x2 - 6x = 0
b) x2 - 10x + 25 = 0
10. Para que os valores de x a expressão x² – 2x é maior que –15?
168
Respostas
1) Solução:
a) a = 5; b = -3; c = -2
Equação completa
b) a = 3; b = 0; c = 55
Equação incompleta
2) Solução: Sabemos que são duas as raízes, agora basta testarmos.
(-2)2 - 2*(-2) - 8 = 0
(-2)2 + 4 - 8
4 + 4 - 8 = 0 (achamos uma das raízes)
2
0 - 2*0 - 8 = 0
0-0-8 0
12 - 2*1 - 8 = 0
1-2-8
0
2
4 - 2*4 - 8 = 0
16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raíz)
3) Solução:
(-3)² - 7*(-3) - 2c = 0
9 +21 - 2c = 0
30 = 2c
c = 15
4) Resposta “S = {x Є R / –7/3 < x < –1}”.
Solução:
S = {x Є R / –7/3 < x < –1}
5) Resposta “S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2} ”.
Solução:
169
S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2}
6) Resposta “S = {x Є R / x < 3 e x > 3}”.
Solução:
S = {x Є R / x < 3 e x > 3}
7) Resposta “S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}”.
Solução:
S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}
8) Resposta “S = {x ∈ R/ -2 ≤ x ≤ 2”.
Solução:
170
-x² + 4 = 0.
x² – 4 = 0.
x1 = 2
x2 = -2
S = {x ∈ R/ -2 ≤ x ≤ 2.
9) Solução:
a) a = 1; b = -6; c = 0
Equação incompleta
b) a = 1; b = -10; c = 25
Equação completa
10) Solução:
x² – 2x > 15
x² – 2x – 15 > 0
Calculamos o Zero:
x² – 2x – 15 = 0
x = -3 ou x = +5
-3
+5
𝑆 = {𝑥 ∈ R/ x < −3 𝑜𝑢 𝑥 > +5}
171
Sistemas Métricos Decimal e Não Decimal
Sistema de Medidas
Decimais
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas
relações entre si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo
todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema
métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais.
km
quilômetro
1000m
hm
hectômetro
100m
Unidades de Comprimento
dam
m
dm
decâmetro
metro
decímetro
10m
1m
0,1m
cm
centímetro
0,01m
mm
milímetro
0,001m
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para
que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor
seguinte.
Por isso, o sistema é chamado decimal.
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico
é muito usado com o nome popular de litro.
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento
da tabela anterior.
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas,
na prática, são o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este
muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm 2 = 1 ha.
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor
seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o
sistema continua decimal, porque 100 = 102.
km2
quilômetro
quadrado
10000m
hm2
hectômetro
quadrado
1000m
Unidades de Área
dam2
m2
dm2
decâmetro
metro
decímetro
quadrado
quadrado
quadrado
100m
1m
0,01m
cm2
centímetro
quadrado
0,001m
mm2
milímetro
quadrado
0,0001m
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico
(km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico e o
centímetro cúbico.
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade
menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal.
km3
quilômetro
cúbico
100000m
hm3
hectômetro
cúbico
10000m
Unidades de Volume
dam3
m3
dm3
decâmetro
metro
decímetro
cúbico
cúbico
cúbico
1000m
1m
0,001m
cm3
centímetro
cúbico
0,0001m
mm3
milímetro
cúbico
0,00001m
172
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que
enche um tanque é de 7 000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A
unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.
kl
quilolitro
hl
hectolitro
1000l
100l
Unidades de Capacidade
dal
l
dl
decalitro
litro
decilitro
10l
1l
cl
centímetro
ml
mililitro
0,01l
0,001l
0,1l
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade
fundamental é o grama.
Unidades de Massa
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
quilograma
hectograma
decagrama
grama
decigrama
centigrama
miligrama
1000m
100m
10m
1m
0,1m
0,01m
0,001m
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-adia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg.
Não Decimais
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o
mais conhecido.
2h = 2 . 60min = 120 min = 120 . 60s = 7 200s
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60.
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de hora corresponde a 6
minutos, conclui-se que 0,3h = 18min.
Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade
básica é o grau. Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas
inferiores a 1º. Temos, então:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema hora –
minuto – segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam
são diferentes:
1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto – segundo são similares a
cálculos no sistema grau – minuto – segundo, embora esses sistemas correspondam a
grandezas distintas.
173
Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas décadas, que vem se tornando
conhecido. Ele é usado para medir a informação armazenada em memória de
computadores, disquetes, discos compacto, etc. As unidades de medida são bytes (b),
kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os prefixos “kilo” e “mega”,
essas unidades não formam um sistema decimal.
Um kilobyte equivale a 210 bytes e 1 megabyte equivale a 210 kilobytes.
Área das Principais Figuras Planas
→ Área de um retângulo: medida da base x medida da altura ou A = b.h
→ Área de um quadrado: medida do lado x medida do lado ou
A=l.l
→ Área de um triângulo: medida da base x medida da altura, dividido por 2 A =
b.h
2
→ Área de um losango: medida da diagonal maior x a medida da diagonal menor,
d .d
dividido por 2
A= M m
2
→ Área de um trapézio: medida da base maior + medida da base menor x a medida da
b bm .h
altura, dividido por 2.
A= M
2
Exercícios
1. Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o curso de inglês que fica a
15 minutos de sua casa, e chegou na hora da aula cuja duração é de uma hora e
meia. A que horas terminará a aula de inglês?
a) 14h
b) 14h 30min
c) 15h 15min
d) 15h 30min
e) 15h 45min
2. 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?
3. Quantos decalitros equivalem a 1 m3?
4. Passe 50 dm2 para hectômetros quadrados.
5. Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?
6. Quantos centilitros equivalem a 15 hl?
7. Passe 5.200 gramas para quilogramas.
174
8. Converta 2,5 metros em centímetros.
9. Quantos minutos equivalem a 5h05min?
10. Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 10h35min?
Respostas
1) Resposta “D”.
Solução: Basta somarmos todos os valores mencionados no enunciado do teste, ou
seja:
13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min
Logo, a questão correta é a letra D.
2) Resposta “0, 00348 dl”.
Solução: Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para
obtermos o seu equivalente em centímetros cúbicos: 0,348 cm3.
Logo 348 mm3 equivalem a 0, 348 ml, já que cm3 e ml se equivalem.
Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade
de medida de capacidade.
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis
à esquerda. Dividiremos então por 10 duas vezes:
Logo, 348 mm³ equivalem a 0, 00348 dl.
3) Resposta “100 dal”.
Solução: Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para convertermos
de litros a decalitros, passaremos um nível à esquerda.
Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:
Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando
então passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:
Logo, 100 dal equivalem a 1 m³.
4) Resposta “0, 00005 hm²”.
Solução: Para passarmos de decímetros quadrados para hectômetros quadrados,
passaremos três níveis à esquerda.
175
Dividiremos então por 100 três vezes:
Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto, 50 dm² é igual a 0, 00005 hm².
5) Resposta “0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3”.
Solução: Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos
seis níveis à esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes:
Portanto, 0, 000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação
científica equivalem a 14 mm3.
6) Resposta “150.000 cl”.
Solução: Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita.
Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.
Logo, 150.000 cl equivalem a 15 hl.
7) Resposta “5,2 kg”.
Solução: Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na
tabela grama está à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos
de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda.
Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma
e finalmente de hectograma para quilograma:
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto, 5.200 g são iguais a 5,2 kg.
8) Resposta “250 cm”.
Solução: Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque
na tabela metro está à esquerda de centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para
passarmos de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita.
Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para
centímetros:
176
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.
Logo, 2,5 m é igual a 250 cm.
9) Resposta “305min”.
Solução:
(5 . 60) + 5 = 305 min.
10) Resposta “45 min”.
Solução: 45 min
177
Matrizes e Determinantes
A tabela seguinte mostra a situação das equipes no Campeonato Paulista de Basquete
masculino.
Campeonato Paulista – Classificação
Time
Pontos
1º
Tilibra/Copimax/Bauru
20
2º
COC/Ribeirão Preto
20
3º
Unimed/Franca
19
4º
Hebraica/Blue Life
17
5º
Uniara/Fundesport
16
6º
Pinheiros
16
7º
São Caetano
16
8º
Rio Pardo/Sadia
15
9º
Valtra/UBC
14
10º
Unisanta
14
11º
Leitor/Casa Branca
14
12º
Palmeiras
13
13º
Santo André
13
14º
Corinthians
12
15º
São José
12
Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete)
Folha de S. Paulo – 23/10/01
Observando a tabela, podemos tirar conclusões por meio de comparações das
informações apresentadas, por exemplo:
COC/Ribeirão lidera a classificação com 20 pontos juntamente com Tilibra/Bauru
Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna.
Definições
Chamamos de matriz m x n (m Є N* e n Є N*) qualquer tabela formada por m
elementos (informações) dispostos em m linhas e n colunas
.
n
Exemplos
1º) 1 0 -2 3
1 1 3 2
2º)
1 0 1
2 3 3
1 4 2
3º) 1 0 3
4º)
0
2
é uma matriz 2 x 4
é uma matriz 3 x 3
é uma matriz 1 x 3
é uma matriz 2 x 1
178
O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiúsculas do alfabeto latino, A, por
exemplo, enquanto os elementos da matriz são indicados por letras latinas minúsculas, a
mesma do nome de matriz, afetadas por dois índices, que indicam a linha e a coluna que
o elemento ocupa na matriz.
Assim, um elemento genérico da matriz A é representado por aij.
O primeiro índice, i, indica a linha que esse elemento ocupa na matriz, e o segundo
índice, j, a coluna desse comando.
A=
i-ésima linha
aij
j-ésima
coluna
Exemplo
Na matriz B de ordem 2 x 3 temos:
B=
1 0 3
2 -1 4
b11 = 1; b12 = 0; b13 = 3;
b21 = 2; b22 = -1; b23 = 4
Observação: O elemento b23, por exemplo, lemos assim: “b dois três”
De uma forma geral, a matriz A, de ordem m x n, é representada por:
A=
a11
a21
a31
...
am1
a12
a22
a32
...
am2
a13
a23
a33
...
am3
...
...
...
...
...
a1n
a2n
a3n
...
amn
Ou com a notação abreviada: A = (aij)m x n
Matrizes Especiais
Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matrizes especiais:
1ª. Matriz Linha
É a matriz que possui uma única linha.
Exemplos
- A = [-1, 0]
- B = [1 0 0 2]
179
2ª. Matriz Coluna
É a matriz que possui uma única coluna.
Exemplos
-A=
2
1
0
- B = -1
3
3ª. Matriz Nula
É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.
Exemplos
1º) A =
2º) B =
4ª. Matriz Quadrada
É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de linhas igual ao número de
colunas.
Exemplos
1º) A =
É a matriz quadrada de ordem 2.
Observações: Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular.
Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao
conjunto dos elementos que possuem índices iguais.
Exemplo
{a11, a22, a33, a44} é a diagonal principal da matriz A.
3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz
ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1.
Exemplo
{a14, a23, a32, a41} é a diagonal secundária da matriz A.
5ª. Matriz Diagonal
É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não pertencentes à diagonal
principal, iguais a zero.
180
Exemplos
1º) A =
6ª) Matriz Identidade
É a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.
Representamos a matriz identidade de ordem n por In.
Exemplos
1º) I2 =
2º) I3 =
Observação: Para uma matriz identidade In = (aij)n x n
7ª. Matriz Transposta
Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A
trocando-se “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de
A por At.
Exemplo
A=
, então
At =
Observação: Se uma matriz A é de ordem m x n, a matriz A t, transposta de A, é de
ordem n x m.
Igualdade de Matrizes
Sendo A e B duas matriz de mesma ordem, dizemos que um elemento de matriz A é
correspondente a um elemento de B quando eles ocupam a mesma posição nas
respectivas matrizes.
Exemplo
Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2,
181
A=
e
B=
São elementos correspondentes de A e B, os pares:
a11 e b11; a12 e b12; a21 e b21; a22 e b22.
Definição
Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma ordem e os elementos
correspondentes são iguais.
Indica-se:
A=B
Então:
A = (aij)n x n e B = (bij)p x q
Observações: Dada uma matriz A = (aij)m x n , dizemos que uma matriz B = (bij)m x n é
oposta de A quando bij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n.
Indicamos que B = -A.
Exemplo
A=
B=
- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é simétrica quando aij = aji para todo i,
Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A = At.
- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é anti-simétrica quando aij = -aij para
todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A é anti-simétrica quando At = -A.
Adição e Subtração de Matrizes
Definição
Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n, denominamos soma da matriz A
com a matriz B à matriz C, de ordem m x n, cujos elementos são obtidos quando
somamos os elementos correspondentes das matrizes A e B. Indicamos:
C=A+B
Assim:
182
+
=
Propriedades da Adição
Sendo A, B e C matrizes m x n e O a matriz nula m s n, valem as seguintes
propriedades.
- A + B = B + A (comutativa)
- (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
- A + O = O + A = A (elemento neutro)
- A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto)
- (A + B)t = At + Bt
Definição
Consideremos duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem m x n. Chamamos de
diferença entre A e B (indicamos com A – B) a soma de A com a oposta de B.
A – B = A + (B)
Exemplo
Sendo A
e
B=
A-B=
-
A-B=
+
, então:
A-B=
A-B=
Observação: Na prática, para obtermos a subtração de matrizes de mesma ordem,
basta subtrairmos os elementos correspondentes.
Multiplicação de Matrizes por um Número Real
Definição
183
Consideremos uma matriz A, de ordem m x n, e um número real. O produto de por A é
uma matriz B, de ordem m x n, obtida quando multiplicamos cada elemento de A por.
Indicamos:
B=
.
A
Exemplo
Sendo A
2 A
, temos
=
Matrizes – Produtos
Multiplicação de Matrizes
O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por uma matriz B = (bij)p x n é
uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se
ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e
somando-se os produtos assim obtidos. Indicamos:
B=
.
A
Da definição, decorre que:
- Só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o número de colunas de A é
igual ao número de linhas de B.
- A matriz C, produto de Am x p por BP x n, é do tipo m x n.
Propriedades
Sendo A uma matriz de ordem m x n, B e C matrizes convenientes e, são válidas as
seguintes propriedades.
- ( A . B) . C = A . (B . C) (associativa)
- C . (A + B) = C . A + C . B (distributiva pela esquerda)
- (A + B) . C = A . C + B (distributiva pela direita)
- A . In = Im . A = A (elemento neutro)
- ( . A) . B = A . ( . B ) = . (A . B)
- A . On x p = O m x p e O p x m . A = O p x n
- (A . B)t = Bt . At
184
Observação: Para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa (A . B
≠ B . A). Esta propriedade só é verdadeira em situações especiais, quando dizemos que
as matrizes são comutáveis.
Devemos levar em consideração os fatos seguintes:
1º) (A + B) ≠ A2 + 2AB + B2, pois (A + B)2 = (A + B)(A+B) + A2 + AB + BA + B2
2º) (A . B)t ≠ At . Bt, pois, pela 7ª propriedade, devemos ter (A . B)t = Bt . At
Matriz Inversa
No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado
inverso de a, satisfazendo a condição:
a.b=b.a=1
1
ou a-1.
a
Analogamente para as matrizes temos o seguinte:
Normalmente indicamos o inverso de a por
Definição
Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se inversível se, e somente se, existir uma
matriz B, quadrada de ordem n, tal que:
A . B = B . A = In
A matriz B é denominada inversa de A e indicada por A-1.
Exemplos
4 3
1 3
- Verifique que a matriz B=
é a inversa da matriz A=
1 1
1 4
Resolução
1 3 4 3 1 0
A.B=
.
=
1 4 1 1 0 1
4 3 1 3 1 0
B.A=
.
=
1 1 1 4 0 1
Como A . B = B . A = 12, a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A-1.
Observação: É bom obser4varmos que, de acordo com a definição, a matriz A também
é a inversa de B, isto é, A=B-1, ou seja, A=(A-1)-1.
185
3 1
- Encontre a matriz inversa da matriz A=
, se existir.
2 1
Resolução
a b
Supondo que B=
é a matriz inversa de A, temos:
c d
3 1 a b 1 0
A.B=
=
.
2 1 c d 0 1
3a c 3b d 1 0
2a c 2b d = 0 1
Assim:
3a c 1
2a c 0
e
3b d 0
2b d 1
Resolvendo os sistemas, encontramos:
A = 1,b = -1,c = -2 e d = 3
1 1
Assim, B=
2 3
Por outro lado:
1 1 3 1 1 0
B.A=
.
=
2 3 2 1 0 1
Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz:
1 1
B=A-1=
2 3
Observação: Quando uma matriz é inversível, dizemos que ela é uma matriz nãosingular; caso a matriz não seja inversível, dizemos que ela é uma matriz singular.
Propriedades
Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, temos as seguintes
propriedades:
- (A-1)-1 = A
- (A-1)t = At)-1
- (A.B)-1=B-1..A-1
- Dada A, se existir A-1, então A-1 é única.
186
Exemplo
Sendo A, B e X matrizes inversíveis de ordem n, isolar X em (X.A)-1-=B.
Resolução
(X.A)-1=B A-1.X-1=B
Multiplicando os dois membros à esquerda por A, encontramos:
A.A-1.X-1=A.B
Como A.A-1=In, então:
In.X-1=A.B
Como In é elemento neutro na multiplicação de matrizes, temos:
X-1=A.B
Elevando os dois membros da igualdade, ao expoente -1, temos:
(X-1)-1=(A.B)-1
Assim, X=(A.B)-1, ou então X=B-1.A-1
O sistema obtido está escalonado e é do 2º
Determinantes
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e
XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar
as soluções de um “Sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir.
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que
denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos
da matriz A entre duas barras verticais, como no exemplo abaixo:
12
1 2
A=
→ det A=
45
4 5
Definições
Determinante de uma Matriz de Ordem 1
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A=[a11]
Chamamos determinante dessa matriz o número:
det A=[ a11]= a11
Exemplos
- A=[-2] → det A=-2
- B=[5] → det B=5
- C=[0] → det C=0
187
Determinante de uma Matriz de ordem 2
Seja a matriz quadrada de ordem 2:
a a
A= 11 12
a 21 a 22
Chamamos de determinante dessa matriz o número:
a a
det A= 11 12 =a11.a22-a21.a12
a 21 a 22
Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a
diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos
da diagonal secundária. Esquematicamente:
det A=
a11 a12
a 21 a 22
= a11.a22-a21.a12
Exemplos
1 2
- A=
5 3
det A=1.3-5.2=-7
2 1
- B=
2 3
det B=2.3-2.(-1)=8
Determinante de uma Matriz de Ordem 3
Seja a matriz quadrada de ordem 3:
a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
a31 a32 a33
Chamamos determinante dessa matriz o numero:
detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 - a31 a22 a13 +
188
-a12 a21 a33 - a32 a23 a11
Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática
denominada Regra de Sarrus:
- Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
- Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal
indicado dos produtos, temos:
detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a13 a21 a32-a13 a22 a31+
-a11 a23 a32-a12 a21 a33
Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas, ao
invés de repetirmos a 1º e 2º colunas.
Determinantes – Propriedades - I
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos
determinantes:
Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At.
Exemplo
a b
a c
A= At=
c d
b d
det A ad bc
t
det A det A
t
det A ad bc
Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando
trocamos entre si a posição de duas filas paralelas, então:
detB = -detA
Exemplo
189
a b
c d
A= e B=
c d
a b
B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A.
detA = ad-bc
debt = BC-ad = -(ad-bc) = -detA
Assim,
detB = -detA
Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas
“iguais”tem determinante igual a zero.
Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha
ou coluna “iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que
detA = -detA
Assim: detA = 0
Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando
multiplicamos uma de sua filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA
Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar
em evidência”um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna).
Exemplo
a b
= k.
c d
c d
ka kb
- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos
os elementos de A por k, então:
det(k.A)=kn.detA
Exemplo
ka kb kc
a b c
A= d e f k.A= kd ke kf
kg kh ki
g h i
ka kb kc
abc
det(k.A)= kd ke kf =k.k.k. d e f
kg kh ki
g hi
Assim:
det(k.A)=k3.detA
190
Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os
elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que
os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B,
então.
detC = detA + detB
Exemplos:
ab x
abr
a b xr
c d y +c d s =c d ys
e f z e f t e f z t
Propriedades dos Determinantes
Propriedades 5 (Teorema de Jacobi)
O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila qualquer com outra fila
paralela multiplicada por um número.
Exemplo
abc
Considere o determinante detA= d e f
g hi
Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos:
a b c ma
abc
a b ma
d e f md (P 4) d e f d e md
g h i mg
g h mg
g hi
a b c ma
aba
d e f md det A m d e d
g h i mg
g hg
Igual a zero
a b c ma
d e f md = detA
g h i mg
Exemplo
Vamos calcular o determinante D abaixo.
191
1 0
3
1 0
3
1
0
D= 2 4 1 = 2 4 1 2 4
5 0 2
5 0 2 5 0
D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52
Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular:
1 0
5
1 0
5
1
0
D1= 2 4 5 = 2 4 5 2 4
5 0 12
5 0 12 5 0
D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52
Observe que D1=D, de acordo com a propriedade.
Consequência
Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos de filas paralelas
(combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero.
Exemplo
Seja D=
1
2
8
3
2
12
4 1 05
Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada
com a 2ª coluna multiplicada por 3.
8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6
12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6
5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3
Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0
Use a regra de Sarrus e verifique.
Propriedade 6 (Teorema de Binet)
Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então:
det(A.B) = detA . detB
Exemplo
1 2
A= detA=3
0 3
192
4 3
B= detB=-2
2 1
8 5
A.B= det(A.B)=-6
6 3
Logo, det(AB)=detA. detB
Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e n N*, temos:
det(An) = (detA)n
Sendo A uma matriz inversível, temos:
1
detA-1=
det A
Justificativa: Seja A matriz inversível.
A-1.A=I
det(A-1.A) = det I
detA-1.detA = det I
1
detA-1=
det A
Uma vez que det I=1, onde i é a matriz identidade.
Determinantes – Teorema de Laplace
Menor complementar e Co-fator
Dada uma matriz quadrada A=(aij)nxn (n 2), chamamos menor complementar do
elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se
obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.
Exemplo
1
Sendo A= 4
2
M11=
M12=
M13=
1 0
1 2
4 0
2 2
4 1
2 1
2 3
1 0 , temos:
1 2
=2
=8
=2
Chamamos co-fatorn do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que
Mij é o menor complementar de aij.
193
Exemplo
3 1 4
Sendo A 2 1 3 , temos:
1 3 0
13
A11=(-1)1+1.M11=(-1)2.
=-9
3 0
2 3
A12=(-1)1+2.M12=(-1)3.
=-3
1 0
3 1
A33=(-1)3+3.M33=(-1)6.
=5
2 1
Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n 2, chamamos matriz co-fatora de A a matriz cujos
elementos são os co-fatores dos elementos de A; indicamos a matriz co-fatora por cof A.
A transposta da matriz co-fatora de A é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos
por adj. A.
Exemplo
1 3 2
Sendo A= 1 0 1 , temos:
4 2 1
0 1
A11=(-1)1+1.
=2
2 1
1 1
A12=(-1)1+2.
=-5
4 1
1 0
A13=(-1)1+3.
=2
4 2
3 2
A21=(-1)2+1.
=1
2 1
1 2
A22=(-1)2+2.
=-7
4 1
1 3
A23=(-1)2+3.
=10
4 2
3 2
A31=(-1)3+1.
=-3
0 1
1 2
A32=(-1)3+2.
=3
1 1
1 3
A33=(-1)3+3.
=-3
1 0
194
Assim:
1 3
2
2
2 5
cof A= 1 7 10 e adj A= 5 7
3
2 10 3
3 3 3
Determinante de uma Matriz de Ordem n
Definição.
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Então:
- Para n = 1
A=[a11] det A=a11
- Para n 2:
a11 a12 .... a1n
a
n
a 22 ... a 2 n
21
A=
det A a1 j . A1 j
.......................
j 1
a n1 a n 2 ... a nn
ou seja:
detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n 2 é a soma dos
produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos co-fatores.
Exemplos
a a
Sendo A= 11 12 , temos:
a21 a22
detA = a11.A11 + a12.A12, onde:
A11 = (-1)1+1.|a22| = a22
A12 = (-1)1+2.|a21| = a21
Assim:
detA = a11.a22 + a12.(-a21)
detA = a11.a22 - a21.a12
Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente.
195
0
0 0
3
1
2 3 2
- Sendo A=
, temos:
23
5
4 3
0 2
9 3
detA = 3.A11 + 0. A12 0. A13 0. A14
zero
2 3 2
A11 = (-1)1+1. 1 4 3 =-11
3 0 2
Assim:
detA = 3.(-11) det A=-33
Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o
cálculo é facilitado.
Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n 2, seu determinante é a soma dos
produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.
Exemplo
5 0
3 2
Sendo A=
4 1
3 2
1
1
0
2
2
0
0
0
Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste
caso, teremos que calcular apenas um co-fator.
Assim:
detA = 2.A14 + 0.A24 + 0.A34 + 0.A44
3 2 1
=+21
1 0
3 2 2
detA = 2 . 21 = 42
A14=(-1)1+4 4
Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n,
recaímos em determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em
determinantes de ordem n-2, e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes
de matrizes de ordem 3, que calculamos com a regra de Sarrus, por exemplo.
- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a
maior quantidade de zeros.
196
- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do
determinante pelo teorema de Laplace.
Exemplo
1 2 3
0 1 2
Calcule det A sendo A=
2 3 1
3 4 6
1
1
2
3
A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se
aplicarmos o teorema de Laplace, calcularemos ainda três co-fatores.
Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero”em A31=-2 e A41=3 multiplicando a 1ª linha
por 2 e somando com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha;
fazendo isso, teremos:
A=
1
0 1 2 1
0 7 7 4
0 2 3 0
1 2
3
Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna:
1 2
detA=1.(-1)1+1. 7
7
2 3
1 1 2
4 = 7
7
0 2 3
1
4
0
Aplicamos a regra de Sarrus,
1
2
1 1
2
7
7
4 7
7
2 3
0 2 3
+ +
+
det A = (0 – 16 – 21) - ( - 14 + 12 + 0)
detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14
detA = -35
Uma aplicação do Teorema de Laplace
Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da
diagonal principal; podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da
1ª coluna, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular superior,
e através da 1ª linha, se ela for triangular inferior.
Assim:
197
1ª. A é triangular superior
a11
0
A= 0
...
0
a12
a22
0
...
0
a13 .... a1n
a23 ... a2 n
a33 ... a3n
... ... ...
0 ... ann
detA=a11.a22.a33. … .ann
2ª. A é triangular inferior
a11
a21
A= a31
...
a
n1
a12
a22
a32
...
an 2
a13 .... a1n
0 ... a2 n
a33 ... a3n
... ... ...
an 3 ... ann
detA=a11.a22.a33. … .ann
1 0 0
0 1 0
In= 0 0 1
0 0 0
0
0
0
1
detIn=1
Determinante de Vandermonde e Regra de Chió
Uma determinante de ordem n 2 é chamada determinante de Vandermonde ou
determinante das potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem
todos iguais a 1; na 2ª, números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus
cubos e assim sucessivamente.
Exemplos
- Determinante de Vandermonde de ordem 3
1 1 1
a b c
a2 b2 c2
198
- Determinante de Vandermonde de ordem 4
1
1 1 1
a
b c d
a2 b2 c2 d 2
a3 b3 c3 d 3
Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos.
Propriedade
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se
obtêm subtraindo-se de cada um dos elementos característicos os elementos
precedentes, independente da ordem do determinante.
Exemplo
Calcule o determinante:
1
2
4
detA= 1 4 16
1 7 49
Sabemos que detA=detAt, então:
1
1
1
detAt= 2 4 7
1 16 49
Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então:
detA = (4 – 2).(7 – 2).(7 – 4)=2 . 5 . 3 = 30
Exercícios
1. Escreva a matriz A = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i + j.
2. Obtenha o valor de x e y sabendo que a matriz A = [
𝒙+𝟏
𝟎
𝟎
] é nula.
𝒚+𝟐
3. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da
𝟏 𝟐 𝟑
diagonal secundária da matriz 𝟒 𝟓 𝟔 .
𝟕 𝟖 𝟗
199
𝟏 𝒂+𝟒
𝟏 𝟓
)=(
)
𝟐
𝒃²
𝟐 𝟒
4. Calcule o valor a e b, sabendo que (
𝒙
5. Sabendo que a matriz A = 𝒙 + 𝟐
𝒛−𝟒
𝒙−𝒚
6. Sabendo que I2 = (
𝒙+𝒚
𝟎
𝟎
𝟐𝒚 𝒚 − 𝟏 é matriz diagonal, calcule x, y e z.
𝟎
𝟑𝒛
𝟎
) calcule x e y.
𝟏
7. Escreva a matriz oposta de A = (aij) 2x 2 sabendo que aij = i + j.
8. Escreva a matriz transposta A = (aij)3 x 3 dada por aij = i – 2j.
𝟏
𝒂²
9. Dada a matriz A = (
𝟒
) calcule o valor de a para que A seja simétrica.
𝟑
𝟏
10. Calcule A + B sabendo que A = [
−𝟐
−𝟏
𝟎 𝟑
]eB=[
𝟑
𝟒 𝟐
𝟏
−𝟐
𝟐
]
𝟓
Respostas
1) Solução: Sendo a matriz A do tipo 2 x 3, temos:
A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a11 = 2 . 1 + 1 = 3
a12 = 2 . 1 + 2 = 4
a13 = 2 . 1 + 3 = 5
a21 = 2 . 2 + 1 = 5
a22 = 2 . 2 + 2 = 6
a23 = 2 . 2 + 3 = 7
3 4 5
Portanto, A = [
]
5 6 7
2) Solução: Como a matriz A é nula, então todos os seus elementos são nulos. Logo:
x + 1 = 0 → x = -1
y – 2 = 0 → y = -2
3) Solução: Os elementos da diagonal principal são 1, 5 e 9; logo, 1 + 5 + 9 = 15.
Os elementos da diagonal secundária são 3, 5 e 7; logo, 3 + 5 + 7 = 15.
Portanto, a soma procurada é 15 + 15, ou seja, 30.
4) Solução: Como as matrizes são iguais, devemos ter:
a+4=5→a=1
b² = 4 → b = 2 ou b = -2
200
5) Solução: Como a matriz A é matriz diagonal, devemos ter:
x + 2 = 0 → x = -2
y–1=0→y=1
z – 4 = 0 → z = 4.
Portanto, x = -2, y = 1 e z = 4.
6) Solução:
1 0
), devemos ter x – y = 1 e x + y = 0.
0 1
Como I2 = (
Resolvendo o sistema {
𝑥−𝑦 =1
1
1
encontramos x = 2 𝑒 𝑦 = − 2.
𝑥+𝑦 =0
7) Solução:
A = a11 a12
a21 a22
Logo, A = [
→ a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 + 2 = 3, a21 = 2 + 1 = 3, a22 = 2 + 2 = 4.
2 3
−2 −3
] e –A = [
].
3 4
−3 −4
8) Solução:
A = a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 = 1 – 2 . 1 = -1
a12 = 1 – 2 . 2 = -3
a13 = 1 – 2 . 3 = -5
a21 = 2 – 2 . 1 = 0
a22 = 2 – 2 . 2 = -2
a23 = 2 – 2 . 3 = -4
a31 = 3 – 2 . 1 = 1
a32 = 3 – 2 . 2 = -1
a33 = 3 – 2 . 3 = -3
−1
0
1
−1 − 3 − 5
Portanto, A = [ 0 −2 − 4] e At = [ −3 −2 − 1].
−5 −4 − 3
1 −1 − 3
9) Solução: A matriz A será simétrica se At = A.
At = (1 𝑎²).
4 3
Então devemos ter (1
4
𝑎²) = ( 1 4) → a² = 4
𝑎² 3
3
Portanto, a = 2 ou a = -2.
201
10) Solução:
−1
1 0 3
A+B=[
]+[
3
−2 4 2
1
−2
1 + (−1)
0+ 1 3+ 2
2
0
]=[
]=[
−2 + 3 4 + (−2) 2 + 5
5
1
1
2
5
]
7
202
Sistemas Lineares
O estudo dos sistemas de equações lineares é de fundamental importância em Matemática e nas ciências
em geral. Você provavelmente já resolveu sistemas do primeiro grau, mais precisamente aqueles com duas
equações e duas incógnitas.
Vamos ampliar esse conhecimento desenvolvendo métodos que permitam resolver, quando possível,
sistemas de equações do primeiro grau com qualquer número de equações e incógnitas. Esses métodos nos
permitirão não só resolver sistemas, mas também classificá-los quanto ao número de soluções.
Equações Lineares
Equação linear é toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn = b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números
reais e x1, x2, x3,.., xn são as incógnitas.
Os números reais a1, a2, a3,.., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente.
Exemplos
- São equações lineares:
x1 - 5x2 + 3x3 = 3
2x – y 2z = 1
0x + 0y + 0z = 2
0x + 0y + 0z = 0
- Não são equações lineares:
x3-2y+z = 3
(x3 é o impedimento)
2x1 – 3x1x2 + x3 = -1
(-3x1x2 é o impedimento)
203
2x1 – 3
(
3
+ x3 = 0
x2
3
é o impedimento)
x2
Observação: Uma equação é linear quando os expoentes das incógnitas forem iguais a l e em cada termo
da equação existir uma única incógnita.
Solução de ama Equação Linear
Uma solução de uma equação linear a1xl +a2x2 +a3x3+...anxn = b, é um conjunto ordenado de números reais
α1, α2, α3,..., αn para o qual a sentença a1{α1) + a2{αa2) + a3(α3) +... + an(αn) = b é verdadeira.
Exemplos
- A terna (2, 3, 1) é solução da equação:
x1 – 2x2 + 3x3 = -1 pois:
(2) – 2.((3) + 3.(1) = -1
- A quadra (5, 2, 7, 4) é solução da equação:
0x1 - 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0 pois:
0.(5) + 0.(2) + 0.(7) + 0.(4) = 0
Conjunto Solução
Chamamos de conjunto solução de uma equação linear o conjunto formado por todas as suas soluções.
204
Observação: Em uma equação linear com 2 incógnitas, o conjunto solução pode ser representado
graficamente pelos pontos de uma reta do plano cartesiano.
Assim, por exemplo, na equação
2x + y = 2
Algumas soluções são (1, 0), (2, -2), (3, -4), (4, -6), (0, 2), (-1,4), etc.
Representando todos os pares ordenados que são soluções da equação dada, temos:
Equação Linear Homogênea
Uma equação linear é chamada homogênea quando o seu termo independente for nulo.
Exemplo
2x1 + 3x2 - 4x3 + 5x4 - x5 = 0
Observação: Toda equação homogênea admite como solução o conjunto ordenado de "zeros" que
chamamos solução nula ou solução trivial.
Exemplo
205
(0, 0, 0) é solução de 3x + y - z – 0
Equações Lineares Especiais
Dada a equação:
a1x1 + a2x2 +a3x3+...anxn = b, temos:
- Se a1 = a2 = a3 =...= na = b = 0, ficamos com:
0x1 + 0x2 +0x3 +...+0xn, e, neste caso, qualquer seqüências (α1, α2, α3,..., αn) será solução da equação dada.
- Se a1 = a2 = a3 =... = an = 0 e b ≠ 0, ficamos com:
0x1 +0x2 + 0x3 +...+0xn= b ≠0, e, neste caso, não existe seqüências de reais (α1, α2, α3,...,αn) que seja solução
da equação dada.
Sistema Linear 2 x 2
Chamamos de sistema linear 2 x 2 o conjunto de equações lineares a duas incógnitas, consideradas
simultaneamente.
Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo:
a1 x b1 y c1
a2 b2 y c2
Um par (α1, α2) é solução do sistema linear 2 x 2 se, e somente se, for solução das duas equações do
sistema.
Exemplo
(3, 4) é solução do sistema
206
x y 1
2 x y 10
pois é solução de suas 2 equações:
(3) - (4) = -1 e 2.(3) + (4) = 10
Resolução de um Sistema 2 x 2
Resolver um sistema linear 2 x 2 significa obter o conjunto solução do sistema.
Os dois métodos mais utilizados para a resolução de um sistema linear 2x2 são o método da substituição e
o método da adição.
Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2 x 2 abaixo usando os dois métodos citados.
2x + 3y = 8
x - y = - 1
1. Método da Substituição:
2x + 3y = 8
x - y = - 1
(I)
(II)
Da equação (II), obtemos x = y -1, que substituímos na equação (I)
2(y- 1) +3y = 8 → 5y = 10 → y = 2
Fazendo y = 2 na equação (I), por exemplo, obtemos:
Assim: S = {(1,2)}
2. Método da Adição:
207
2x + 3y = 8
x - y = - 1
(I)
(II)
Multiplicamos a equação II por 3 e a adicionamos, membro a membro, com a equação I.
2x 3y 8
3 x 3 y 3
5x 5 x 5 1
5
Fazendo x = 1 na equação (I), por exemplo, obtemos:
Assim: S = {(1,2)}
Sistema Linear 2 x 2 com infinitas soluções
Quando uma equação de um sistema linear 2 x 2 puder ser obtida multiplicando-se a outra por um número
real, ao tentarmos resolver esse sistema, chegamos numa igualdade que é sempre verdadeira, independente das incógnitas. Nesse caso, existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema.
Exemplo
2 x 3 y 8( I )
4 x 6 y 16( II )
Note que se multiplicando a equação (I) por (-2) obtemos a equação (II).
Resolvendo o sistema pelo método da substituição temos:
Da equação (I), obtemos y =
8 2x
, que substituímos na equação (II).
3
208
8 2x
=-16→ -4x-2(8-2x)=-16
3
- 4 x - 6 .
-4x-16+4x=-16→-16=-16
- 16= -16 é uma igualdade verdadeira e existem infinitos pares ordenados que sejam soluções do sistema.
5 8
2 3
Entre outros, (1, 2), (4, 0), ,1 e 0, são soluções do sistema.
Sendo 𝛼, um número real qualquer, dizemos que ,
(Obtemos
8 2
é solução do sistema.
3
8 2
substituindo x =α na equação (I)).
3
Sistema Linear 2 x 2 com nenhuma solução
Quando duas equações lineares têm os mesmos coeficientes, porém os termos independentes são
diferentes, dizemos que não existe solução comum para as duas equações, pois substituindo uma na outra,
obtemos uma igualdade sempre falsa.
Exemplo
2x + 3y = 6 (I) e 2x + 3y = 5 (II)
Substituindo 2x + 3y da equação (I) na equação (II) obtemos:
6 = 5 que é uma igualdade falsa. Se num sistema 2 x 2 existir um número real que, multiplicado por uma
das equações, resulta uma equação com os mesmos coeficientes da outra equação do sistema, porém
com termos independentes diferentes, dizemos que não existe par ordenado que seja solução do sistema.
Exemplo
x 2 y 5( I )
2 x 4 y 7( II )
Multiplicando-se equação (I) por 2 obtemos:
209
2x + 4y = 10
Que tem os mesmo coeficientes da equação (II), porém os termos independentes são diferentes.
Se tentarmos resolver o sistema dado pelo método de substituição, obtemos uma igualdade que é sempre
falsa, independente das incógnitas.
x 2 y 5( I )
2 x 4 y 7( II )
Da equação (I), obtemos y
5 x
, que substituímos na equação (II)
2
5 x
= 7 → 2x + 2(5 – x) = 7
2
2x - 4 .
2x + 10 – 2x = 7 → 10 = 7
10 = 7 é uma igualdade falsa e não existe par ordenado que seja solução do sistema.
Classificação
De acordo com o número de soluções, um sistema linear 2 x 2 pode ser classificado em:
- Sistemas Impossíveis ou Incompatíveis: são os sistemas que não possuem solução alguma.
- Sistemas Possíveis ou compatíveis: são os sistemas que apresentam pelo menos uma solução.
- Sistemas Possíveis Determinados: se possuem uma única solução.
- Sistemas Possíveis Indeterminados: se possuem infinitas soluções.
Sistema Linear m x n
Chamamos de sistema linear M x n ao conjunto de m equações a n incógnitas, consideradas
simultaneamente, que podem ser escrito na forma:
210
a11 x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a x a x a x ... a x b
23 3
2n n
2
21 1 22 2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 ... a3n xn b3
.........................................................
am1 x1 am 2 x2 am 3 x3 ... amn xn bm
Onde:
X1, x2, x3,…, xn são as incógnitas;
aij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ n, são os coeficientes das incógnitas; bi, com 1 ≤ i ≤ m, são os termos independentes.
Exemplos
x 2 y 3z 5
x y z 2
1.
(sistema 2 x 3)
x1 3x2 2 x3 x4 0
2. x1 2 x2 3x3 x4 2
x x x x 5
3
4
1 2
(sistema 3 x 4)
x 2 y 1
3. x y 4
2 x 3 y 0
(sistema 3 x 2)
Matriz Incompleta
Chamamos de matriz incompleta do sistema linear a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.
211
a
a12 a13 a1n
11
a21 a 22 a 23 a2 n
A a31 a32 a33 a3n
.....................................
am1 a m 2 am 3 amn
Exemplo
No sistema:
x y 2z 1
z0
x
x y 5
A matriz incompleta é:
1 1 2
A 1 0 1
1 1 0
Forma Matricial
Consideremos o sistema linear M x n:
212
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a23 x3 a2 n xn b2
a31 x1 a32 x2 a33 x3 a3n xn b3
........................................................
am1 x1 am 2 x2 am3 x3 amn xn bm
Sendo A a Matriz incompleta do sistema chamamos, respectivamente, as matrizes:
x1
x2
X x3
xn
e
b1
b2
B b3
bm
de matriz incógnita e matriz termos independentes.
E dizemos que a forma matricial do sistema é A . X = B, ou seja:
a11 a12 a13 a1n
a
a22 a23 a 2 n
21
a31 a32 a33 a3n
...................................
a m1 a m 2 a m 3 a mn
x1
x2
x3
xn
b1
b2
b3
bm
Sistemas Lineares – Escalonamento (I)
Resolução de um Sistema por Substituição
213
Resolvemos um sistema linear m x n por substituição, do mesmo modo que fazemos num sistema linear 2 x
2. Assim, observemos os exemplos a seguir.
Exemplos
- Resolver o sistema pelo método da substituição.
x 2 y z 1 ( I )
2 x y z 5 ( II )
x 3 y 2 z 4( III )
Resolução
Isolando a incógnita x na equação (I) e substituindo nas equações (II) e (III), temos:
x + 2y – z - 1→ x = -2y + z - 1
Na equação (II)
2(-2y + z - 1) – y + z = 5 → -5y + 3z = 7 (IV)
Na equação (III)
(-2y + z - 1) + 3y - 2z = -4 → y – z = -3 (V)
Tomando agora o sistema formado pelas equações (IV) e (V):
214
5 y 3z 7 ( IV )
y z 3 (V )
Isolando a incógnita y na equação (V) e substituindo na equação (IV), temos:
y – z = -3 → y = z - 3
-5 (z - 3) + 3z = 7→ z = 4
Substituindo z = 4 na equação (V)
y – 4 = -3 → y = 1
Substituindo y = 1 e z = 4 na equação (I)
x + 2 (1) - (4) = -1 →x = 1
Assim:
S={(1, 1, 4)}
- Resolver o sistema pelo método da substituição:
x 3 y z 1 (I )
y 2 z 10 ( II )
3 z 12 ( III )
215
Resolução
Isolando a incógnita x na equação (I) e substituindo nas equações (II) e (III), temos:
x + 2y – z = -1 → x = -2y + z - 1
Na equação (II)
2(-2y + z - 1) – y + z = 5 →5y + 3z = 7 (IV)
Na equação (III)
(-2y + z - 1) + 3y - 2z = -4 → y – z = -3 (V)
Tomando agora o sistema formado pelas equações (IV) e (V):
5 y 3z 7 ( IV )
y z 3 (V )
Isolando a incógnita y na equação (V) e substituindo na equação (IV), temos:
y – z = -3 → y = z - 3
-5(z - 3) + 3z = 7 → z = 4
Substituindo z = 4 na equação (V)
216
y – 4 = -3 → y = 1
Substituindo y = 1 e z = 4 na equação (I)
x + 2(1) - (4) = -1 → x = 1
Assim:
S={(1, 1, 4)}
2º) Resolver o sistema pelo método da substituição:
x 3 y z 1 (I )
y 2 z 10 ( II )
3 z 12 ( III )
Resolução
Na equação (III), obtemos:
3z = 12 → z = 4
Substituindo z = 4 na equação (II), obtemos:
y + 2 . 4 = 10 → y = 2
Substituindo z = 4 e y = 2 na equação (I), obtemos:
217
x + 3 . 2 – 4 = 1 → x = -1
Assim:
S{(-1, 2, 4)}
Observação: Podemos observar que a resolução de sistemas pelo método da substituição pode ser
demasiadamente longa e trabalhosa, quando os sistemas não apresentam alguma forma simplificada como
no primeiro exemplo. No entanto, quando o sistema apresenta a forma simples do segundo exemplo, que
denominamos “forma escalonada”, a resolução pelo método da substituição é rápida e fácil.
Veremos, a seguir, como transformar um sistema linear m x n qualquer em um sistema equivalente
na “forma escalonada”.
Sistemas Lineares Escalonados
Dizemos que um sistema linear é um sistema escalonado quando:
- Em cada equação existe pelo menos um coeficiente não-nulo;
- O número de coeficiente nulos, antes do primeiro coeficiente não-nulo, cresce “da esquerda para a
direita, de equação para equação”.
Exemplos
2 x y z 3
2 y 3z 2
1.
218
x 2 y 3z 4
2.
y 2z 3
z 1
x y z t 5
y t 2
3.
2 x1 3x2 x3 x4 1
4.
x 2 x3 x 4 0
3 x4 5
Existem dois tipos de sistemas escalonados:
Tipo: Número de equações igual ao número de incógnitas.
a11 x1 a12 x2 a13 x 3 a1n xn b1
a 22 x2 a 23 x3 a 2 n xn b2
a33 x33 a3n xn b3
...................................................
ann xn bn
Notamos que os sistemas deste tipo podem ser analisados pelo método de Cramer, pois são sistemas n x n.
Assim, sendo D o determinante da matriz dos coeficientes (incompleta), temos:
219
a11a12 a13 a1n
0 a22 a23 a2 n
D 0 0 a33 a3n D a11.a22 .a33 ..ann 0
.................
0
0
0 ann
Como D ≠ 0, os sistemas deste tipo são possíveis e determinados e, para obtermos a solução única,
partimos da n-ésima equação que nos dá o valor de xn; por substituição nas equações anteriores, obtemos
sucessivamente os valores de xn-1, xn-2,…, x3, x2 e x1.
Exemplo
Resolver o sistema:
2 x y z t 5( I )
y z 3t 9( II )
2 z t 0( III )
3t 6( IV )
Resolução
Na equação (IV), temos:
3t = 6 → t = 2
Substituindo t = 2 na equação (III), temos:
220
2z – 2 = 0 → z = 1
Substituindo t = 2 e z = 1 na equação (II), temos:
y + 1 +3 . 2 = 9 → y = 2
Substituindo t = 2, z = 1 e y = 2, na equação (I), temos:
2x + 2 – 1 + 2 = 5 → x = 1
Assim:
S {(1, 2, 1, 2)}
Tipo: Número de equações menor que o número de incógnitas.
Para resolvermos os sistemas lineares deste tipo, devemos transformá-los em sistemas do 1º tipo, do
seguinte modo:
- As incógnitas que não aparecem no inicio de nenhuma das equações do sistema, chamadas variáveis
livres, devem ser “passadas” para os segundos membros das equações. Obtemos, assim, um sistema em
que consideramos incógnitas apenas as equações que “sobraram” nos primeiros membros.
- Atribuímos às variáveis livres valores literais, na verdade “valores variáveis”, e resolvemos o sistema por
substituição.
Exemplo
Resolver o sistema:
x y 2z 1
2y z 2
221
Resolução
A variável z é uma “variável livre” no sistema.
Então:
x y 1 2z
2y 2 z
Fazendo z = α, temos:
x y 1 2
2y 2
2y = 2 + α → y =
2
2
Substituindo y =
2
na 1ª equação, temos:
2
x
2
1 2
2
Agora para continuar fazemos o mmc de 2, e teremos:
2𝑥 + 2𝛼 = 2(1 − 2𝛼)
2𝑥 + 2𝛼 = 2 − 4𝛼
4𝛼 + 2𝑥 + 2 + 𝛼 − 2 = 0
222
5𝛼 + 2𝑥 = 0
2𝑥 = −5𝛼)
𝑥=
− 5𝛼
2
Assim:
5 2
S ,
, , R
2
2
Observações: Para cada valor real atribuído a α, encontramos uma solução do sistema, o que permite
concluir que o sistema é possível e indeterminado.
- A quantidade de variáveis livres que um sistema apresenta é chamada de grau de liberdade ou grau de
indeterminação do sistema.
Sistemas Lineares – Escalonamento (II)
Escalonamento de um Sistema
Todo sistema linear possível pode ser transformado num sistema linear escalonado equivalente, através
das transformações elementares a seguir:
- Trocar a ordem em que as equações aparecem no sistema.
Exemplo
x 3 y 2
2 x y 5
(S )
~ ( S1 )
2 x y 5
x 3 y 2
223
- Inverter a ordem em que as incógnitas aparecem nas equações.
Exemplo
x 2 y z 5
2 y z x 5
(S )
x 2 z 1 ~ ( S1 )
2z x 1
3x 5
3x 5
- Multiplicar (ou dividir) uma equação por um número real não-nulo.
Exemplo
x 2 y 3
( S )
3x y 1
x 2y 3
~ ( S1 )
6 x 2 y 3
Multiplicamos a 2ª equação de S por 2, para obtermos S1.
- Adicionar a uma equação outra equação do sistema, previamente multiplicada por um número real nãonulo.
Exemplo
x 3 y 5
(S )
2 x y 3
x 3 y 5
~ ( S1 )
5 y 7
Multiplicamos a 1ª equação do S por -2 e a adicionamos à 2ª equação para obtermos s1.
224
Para transformarmos um sistema linear (S) em outro, equivalente e escalonado (S1), seguimos os seguintes
passos:
- Usando os recursos das três primeiras transformações elementares, devemos obter um sistema em que a
1ª equação tem a 1ª incógnita com o coeficiente igual a 1.
- Usando a quarta transformação elementar, devemos “zerar” todos os coeficientes da 1ª incógnita em
todas as equações restantes.
- “Abandonamos”a 1ª equação e repetimos os dois primeiros passos com as equações restantes, e assim
por diante, até a penúltima equação do sistema.
Exemplos
- Escalonar e classificar o sistema:
2 x y z 5
3 x y 2 z 2
x 2 y z 1
Resolução
x 2 y z 1
3 x y 2 z 2
2 x y z 5
x 2 y z 1
~ 7 y z 5
y z 1
x 2y z 1
~ 3 x y 2 z 2
2x y z 5
x 2 y z 1
~ y z 1
7 y z 5
x 2 y z 1
3 ~ 7 y z 5
3 y 3 z 3 :
2
7
3
x 2 y z 1
~ y z 1
6 z 12
O sistema obtido está escalonado e é do 1º tipo (nº de equações igual ao nº de incógnitas), portanto, é um
sistema possível e determinado.
225
- Escalonar e classificar o sistema:
3 x y z 3
2 x y 3 z 5
8 x y z 11
Resolução
3 x y z 3
2 x y 3 z 5
8 x y z 11
y 3x z 3
~ y 2 x 3 z 5
y 8 x z 11
y 3x z 3
y 3x z 3
1 ~ 5x 2z 8 ~
5x 2 z 8
5 x 2 z 8(*)
1
O sistema obtido está escalonado e é do 2º tipo (nº de equações menor que o nº de incógnitas), portanto, é
um sistema possível e indeterminado.
(*) A terceira equação foi eliminada do sistema, visto que ela é equivalente à segunda equação. Se nós não
tivéssemos percebido essa equivalência, no passo seguinte obteríamos na terceira equação: 0x + 0z = 0,
que é uma equação satisfeita para todos os valores reais de x e z.
- Escalonar e classificar o sistema:
2 x 5 y z 5
x 2y z 3
4 x 9 y z 8
Resolução
226
2 x 5 y z 5
x 2y z 3
4 x 9 y z 8
x 2 y z 3
~ y 3 z 1
0 y 0 z 3
x 2y z 3
~ 2 x 5 y z 5
4 x 9 y z 8
2
4
x 2 y z 3
y 3 z 1
~
y 3 z 4
1
1
O sistema obtido é impossível, pois a terceira equação nunca será verificada para valores reais de y e z.
Observação: Dado um sistema linear, sempre podemos “tentar” o seu escalonamento. Caso ele seja
impossível, isto ficará evidente pela presença de uma equação que não é satisfeita por valores reais
(exemplo: 0x + 0y = 3). No entanto, se o sistema é possível, nós sempre conseguimos um sistema
escalonado equivalente, que terá nº de equações igual ao nº de incógnitas (possível e determinado), ou
então o nº de equações será menor que o nº de incógnitas (possível e indeterminado).
Este tratamento dado a um sistema linear para a sua resolução é chamado de método de eliminação de
Gauss.
Sistemas Lineares – Discussão (I)
Discutir um sistema linear é determinar; quando ele é:
- Possível e determinado (solução única);
- Possível e indeterminado (infinitas soluções);
- Impossível (nenhuma solução), em função de um ou mais parâmetros presentes no sistema.
Estudaremos as técnicas de discussão de sistemas com o auxilio de exemplos.
Sistemas com Número de Equações Igual ao Número de Incógnitas
227
Quando o sistema linear apresenta nº de equações igual ao nº de incógnitas, para discutirmos o sistema,
inicialmente calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes (incompleta), e:
- Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
- Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado ou impossível.
Para identificarmos se o sistema é possível, indeterminado ou impossível, devemos conseguir um sistema
escalonado equivalente pelo método de eliminação de Gauss.
Exemplos
- Discutir, em função de a, o sistema:
x 3 y 5
2 x ay 1
Resolução
D
1
3
2
a
a6
D 0 a6 0 a 6
Assim, para a ≠ 6, o sistema é possível e determinado.
Para a ≠ 6, temos:
x 3 y 5
2 x 6 y 1
2
x 3 y 5
~
0 x 0 y 9
Que é um sistema impossível.
228
Assim, temos:
a ≠ 6 → SPD (Sistema possível e determinado)
a = 6 → SI (Sistema impossível)
- Discutir, em função de a, o sistema:
x y z 1
2 x 3 y az 3
x ay 3z 2
Resolução
1
11
D2
3
1 9 a 2a 3 6 a 2
1
a
3
D = 0 → -a2 – a + 6 = 0 → a = -3 ou a = 2
Assim, para a ≠ -3 e a ≠ 2, o sistema é possível e determinado.
Para a = -3, temos:
x y z 1
2 x 3 y 3 z 3
x 3 y 3z 2
2
1
x y z 1
~ y z 1
4 y 4 z 1
4
x y z 1
~ y z 1
y z 5 sistema impossível
Para a = 2, temos:
229
x y z 1
2 x 3 y 2 z 3 2
x 2 y 3 z 2 1
x y z 1
~ y 4z 1
y 4z 1
x y z 1
~
y 4z 1
sistema possível in det er min ado
Assim, temos:
a ≠ -3 e a ≠ 2 → SPD
a = -3 → SI
a = 2 → SPI
- Discutir, em função de m e k, o sistema:
mx y k
2
x my k
Resolução
D
m
1
1
m
m2 1
D = 0 → m2 – 1 = 0 → m = +1 ou m = -1
Assim, para m ≠ +1 e m ≠ -1, o sistema é possível e determinado.
Para m = 1, temos:
x y K
x y K 2
1
x y K
~
2
0 x 0 y K K
Se –k + k2 = 0, ou seja, k = 0 ou k = 1, o sistema é possível e indeterminado.
Se –K + k2 ≠ 0, ou seja, k ≠ 0 ou k ≠ 1, o sistema é impossível.
230
Para m = -1, temos:
x y K
x y k2
2
x y K
~
x y K
x y k 2
~
2
1
Ox Oy k k
Se k2 + k = 0, ou seja, k = 0 k = -1, o sistema é possível e indeterminado.
Se k2 + k ≠ 0, ou seja, k ≠ 0 k ≠ -1, o sistema é indeterminado.
Assim, temos:
m 1 e m 1, k R SPD
m 1 e k 0 ou k 1
ou
SPI
m 1 e k 0 ou k 1
m 1 e k 0 ou k 1
ou
SI
m 1 e k 0 ou k 1
Sistemas com Número de Equações Diferente do Número de Incógnitas
Quando o sistema linear apresenta número de equações diferente do número de incógnitas, para discutilo, devemos obter um sistema escalonado equivalente pelo método de eliminar de Gauss.
Exemplos
- Discutir, em função de m, o sistema:
x y 3
2 x 3 y 8
x my 3
231
Resolução
x y 3
2 z 3 y 8
x my 3
2
~
1
x y 3
~
y2
(1 m) y 0
1 m
x y 3
~ y 2
0 y 2 2m
2 + 2m = 0 → m = -1
Assim, temos:
m ≠ -1 → SI
m = -1 → SPD
- Discutir, em função de k, o sistema:
x 2y z 5
2 x 5 y 3 z 12
3 x 7 y 2 z 17
5 x 12 y kz 29
Resolução
232
x 2y z 5
2 x 5 y 3 z 12 2
3 x 7 y 2 z 17 3
5 x 12 y kz 29 5
x 2 y z 5
yz2
~
z 0 3 K
(3 K ) z 0
x 2 y z 5
yz 2
~
y 5 z 2 1
2 y (5 K ) z 4 2
x 2 y z 5
yz 2
~
z0
0z 0
x 2 y z 5
yz 2
~
4z 0
(3 K ) z 0
4
x 2 y z 5
~
yz2
z0
Assim, para k R , o sistema é possível e determinado.
Sistemas Lineares – Discussão (II)
Sistema Linear Homogêneo
Já sabemos que sistema linear homogêneo é todo sistema cujas equações têm todos os termos
independentes iguais a zero.
São homogêneos os sistemas:
3x 4 y 0
x 2 y 0
1.
x 2 y 2z 0
2. 3x y z 0
5 x 3 y 7 z 0
233
Observe que a dupla (0, 0) é solução do sistema 01 e a terna (0, 0, 0) é solução do sistema 02.
Todo sistema linear homogêneo admite como solução uma sequência de zero, chamada solução nula ou
solução trivial. Observamos também que todo sistema homogênea é sempre possível, podendo,
eventualmente, apresentar outra solução além da solução trivial, que é chamada solução própria.
Discussão e Resolução
Lembre-se que: Todo sistema linear homogêneo tem ao menos a solução trivial, portanto será sempre
possível.
Vejamos alguns exemplos:
- Classifique e resolva o sistema:
3x y z 0
x 5 y z 0
x 2 y z 0
Resolução
3 1 1
D 1 5 1 12
1 2 1
Como D ≠ 0, o sistema é possível e determinado admitindo só a solução trivial, logo:
234
S 0,0,0
- Classifique e resolva o sistema:
a b 2c 0
a 3b 2c 0
2 a b c 0
Resolução
1 1
2
D 1 3 2 0
2 1 1
Como D = 0, o sistema homogêneo é indeterminado.
Fazendo o escalonamento temos:
a b 2c 0
a 3b 2c 0
2a b c 0
a b 2c 0
~ 0 4b 4c 0
0 3b 3c 0
a b 2c 0
~ 0 b 4c 0
0 0 0 0
Teremos, então:
a b 2c 0
bc 0
Fazendo c = t, teremos:
b = -c → b = -t
235
a – t + 2t = 0 → a = -t
Portanto:
S t ,t , t , t R
Note que variando t obteremos várias soluções, inclusive a trivial para t = 0.
- Determine K de modo que o sistema abaixo tenha solução diferente da trivial.
x y z 0
x ky z 0
kx y z 0
Resolução
O sistema é homogêneo e, para apresentar soluções diferentes da trivial, devemos ter D = 0
1 1 1
D 1 k
1 k 2 2k 1 (k 1) 2 0 k 1
k 11
k = -1.
Exercícios
2 x 3 y 8
3x 2 y 1
1. Resolver e classificar o sistema:
236
2. Determinar m real, para que o sistema seja possível e determinado:
3. Resolver e classificar o sistema:
2 x 3 y 5
x my 2
3x y z 5
x 3 y 7
2 x y 2 z 4
x 2 y z 5
4. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado. 2 x y 2 z 5
3x y mz 0
5. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o
valor de p?
6. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o
terno ordenado (𝜶, 𝜷, 𝜸) é solução.
7. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,
2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.
8. Se os sistemas:
S1: x + y = 1
X – 2y = -5
e
S2: ax – by = 5
ay – bx = -1
São equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:
a) 1
b) 4
c) 5
237
d) 9
e) 10
9. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6
2 x y 7
10. Resolver o sistema
.
x 5 y 2
Respostas
1) Resposta “S= {(1, 2)}”.
Solução: Calculemos inicialmente D, Dx e Dy:
D
2
3
3
2
8
Dx
Dy
4 9 13
3
1
2
2
8
3
1
16 3 13
2 24 26
Como D =-13 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e:
238
x
D
Dx 13
26
1 e y y
2
D 13
D 13
Assim: S= {(1, 2)} e o sistema são possíveis e determinados.
2) Resposta “ m R / m
3
”.
2
Solução: Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que:
D
2
3
1
m
2m 3
Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠
3
2
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos elementos
do conjunto:
3
m R / m
2
3) Resposta “ S = {(1, 2, 4)}”.
Solução: Calculemos inicialmente D, Dx, Dy e Dz
239
3 1 1
D1
0 18 0 1 6 0 2 25
3
2
1 2
5 1 1
Dx 7
3
0 30 0 7 12 0 14 25
2
1 2
3
5 1
Dy 1
7
0 42 0 4 14 0 10 50
242
3 1
Dz 1
2
3
5
7 36 14 5 30 21 4 100
1 4
Como D= -25 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e:
x
D
Dx 25
D
100
50
1; y y
4
2; z z
D 25
D 25
D 25
Assim: S = {(1, 2, 4)} e o sistema são possíveis e determinados.
4) Resposta “ m R / m 3”.
Solução: Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0.
Assim:
240
1
2
D 2 1
3 1
1
2 m 12 2 3 2 4m
m
D = -5m + 15
Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos elementos do
conjunto:
m R / m 3
5) Resposta “14”.
Solução:
Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6 . 2 – 7 . 5 + 2 . p
= 5.
Logo, 12 - 35 + 2p = 5.
Daí vem imediatamente que 2p = 28 e, portanto, p = 14.
6) Solução:
-
+
-
= 14. Daí, tiramos:
).
Observe que se arbitrando os valores para
valores.
Por exemplo, fazendo-se
= 14 -
= 1,
= 14 -
+
e
= 3, teremos:
= 14 – 5 . 1 + 2 . 3 = 15,
ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente.
241
Verificamos, pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado
14 -
7) Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o
denominador igual a zero, já que , como sabemos, não existe divisão por zero.
Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não
possua solução.
8) Resposta “E”.
Solução: Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema:
S1: x + y = 1
x - 2y = -5
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5).
Logo, 3y = 6 \ y = 2.
242
Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.
O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}.
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2.
Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem:
a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5
a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fica:
-2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fica:
-3b = 9 \ b = - 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra
equação em azul), teremos:
2 a + (-3) = -1 \ a = 1.
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.
9) Resposta “S = {(5, 2, 4)}”.
Solução: Teremos:
243
Portanto, pela regra de Cramer, teremos:
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}.
10) Solução:
2 1
A
det A 11
1 5
7 1
A1
det A1 33
2 5
2 7
A2
det A2 11
1 2
x
det A1 33
3
det A 11
y
det A2 11
1
det A
11
Resposta: S 3,1
244
Polinômios
Para polinômios podemos encontrar várias definições diferentes como:
Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos.
Polinômio é um ou mais monômios separados por operações.
As duas podem ser aceitas, pois se pegarmos um polinômio encontraremos nele uma
expressão algébrica e monômios separados por operações.
- 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os
polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio
(três monômios).
- 3x + 5 é um polinômio e uma expressão algébrica.
Como os monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são
separados. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse
será o grau do polinômio.
Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão,
multiplicação, potenciação.
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de
redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e
sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:
Adição
Exemplo 1
Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.
(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de
sinal.
+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6
x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.
x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6
–2x2 + 5x – 7
Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7
Exemplo 2
Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:
(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.
4x2 – 10x + 6x – 5 + 12
4x2 – 4x + 7
Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7
Subtração
245
Exemplo 1
Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.
(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.
– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6
5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.
5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6
8x2 – 19x – 2
Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2
Exemplo 2
Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5 teremos:
(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de
sinais.
2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.
2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5
0x³ – 6x² + x + 16
– 6x² + x + 16
Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16
Exemplo 3
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ +
7x² + 9x + 20. Calcule:
a) A + B + C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45
A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45
b) A – B – C
(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15
A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três
formas:
Multiplicação de monômio com polinômio.
Multiplicação de número natural com polinômio.
Multiplicação de polinômio com polinômio.
246
As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
- Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m
- Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte
literal e coeficiente com coeficiente.
Multiplicação de monômio com polinômio
- Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . (5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)
15x3 + 9x2 – 3x
Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x
- Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:
-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.
-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)
- 10x3 + 2x2
Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2
Multiplicação de número natural
- Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:
3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.
3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5
6x2 + 3x + 15.
Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15.
Multiplicação de polinômio com polinômio
- Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2)
(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2
15x3 + 6x – 5x2 – 2
Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2
- Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:
(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.
2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2
10x3+ x2 + 3x – 2
Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2
Divisão
A compreensão de como funciona a divisão de polinômio por monômio irá depender de
algumas definições e conhecimentos. Será preciso saber o que é um monômio, um
247
polinômio e como resolver a divisão de monômio por monômio. Dessa forma, veja a
seguir uma breve explicação sobre esses assuntos.
- Polinômio é uma expressão algébrica racional e inteira, por exemplo:
x2y
3x – 2y
x + y5 + ab
- Monômio é um tipo de polinômio que possui apenas um termo, ou seja, que possui
apenas coeficiente e parte literal. Por exemplo:
a2 → 1 é o coeficiente e a2 parte literal.
3x2y → 3 é o coeficiente e x2y parte literal.
-5xy6 → -5 é o coeficiente e xy6 parte literal.
- Divisão de monômio por monômio
Ao resolvermos uma divisão onde o dividendo e o divisor são monômios devemos
seguir a regra: dividimos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal.
Exemplos: 6x3 ÷ 3x = 6 . x3 = 2x2 3x2
Observação: ao dividirmos as partes literais temos que estar atentos à propriedade que
diz que base igual na divisão, repete a base e subtrai os expoentes.
Depois de relembrar essas definições veja alguns exemplos de como resolver divisões
de polinômio por monômio.
Exemplo: (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2)
O dividendo 10a3b3 + 8ab2 é formado por dois monômios. Dessa forma, o divisor 2ab 2,
que é um monômio, irá dividir cada um deles, veja:
(10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2)
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em duas divisões de
monômio por monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente
por coeficiente e parte literal por parte literal.
ou
248
Portanto, (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) = 5a2b + 4
Exemplo: (9x2y3 – 6x3y2 – xy) ÷ (3x2y)
O dividendo 9x2y3 – 6x3y2 – xy é formado por três monômios. Dessa forma, o divisor
3x2y, que é um monômio irá dividir cada um deles, veja:
Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em três divisões de
monômio por monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente
por coeficiente e parte literal por parte literal.
Portanto,
Exercícios
1. Um Caderno custa y reais. Gláucia comprou 4 cadernos, Cristina comprou 6, e
Karina comprou 3. Qual é o monômio que expressa a quantia que as três gastaram
juntas?
2. Suponha que a medida do lado de um quadrado seja expressa por 6x², em que
x representa um número real positivo. Qual o monômio que vai expressar a área
desse quadrado?
3. Um caderno de 200 folhas custa x reais, e um caderno de 100 folhas custa y
reais. Se Noêmia comprar 7 cadernos de 200 folhas e 3 cadernos de 100 folhas, qual
é a expressão algébrica que irá expressar a quantia que ela irá gastar?
4. Escreve de forma reduzida o polinômio: 0,3x – 5xy + 1,8y + 2x – y + 3,4xy.
5. Calcule de dois modos (7x – 2xy – 5y) + (-2x + 4xy + y)
6. Determine P1 + P2 – P3, dados os Polinômios:
P1 = 3x² + x²y² P2 = 2x² + 8x²y² + 3y²
7y²
P3 = 5x² + 7x²y² - 9y²
249
7. Qual é o polinômio P que, adicionado ao polinômio 2y5 – 3y4 + y² – 5y + 3, dá
como resultado o polinômio 3y5 – 2y4 – 2y3 + 2y² – 4y + 1?
8. Qual é a forma mais simples de se escrever o polinômio expresso por: 2x(3a –
2x) + a(2x – a) – 3x(a + x)?
9. Qual a maneira para se calcular a multiplicação do seguinte polinômio: (2x +
y)(3x – 2y)?
10. Calcule: (12a5b² – 20a4b³ + 48a³b4) ÷ (4ab).
Respostas
1) Resposta “13y reais”.
Solução: 4y + 6y + 3y =
= (4 + 6 + 3)y =
= 13y
Logo, as três juntas gastaram 13y reais.
2) Resposta “36x4”.
Solução:
Área: (6x²)² = (6)² . (x)² = 36x4
Logo, a área é expressa por 36x4.
3) Resposta “7x + 3y”.
Solução:
7 cadernos a x reais cada um: 7x reais
3 cadernos a y reais cada um: 3y reais.
Portanto, a quantia que Noêmia gastará na compra dos cadernos é expressa por:
7x + 3y → uma expressão algébrica que indica a adição de monômios.
4) Resposta “2,3x – 1,65xy + 0,8y”.
Solução:
0,3x – 5xy + 1,8y + 2x – y + 3,4xy =
= 0,3x + 2x – 5xy + 3,4xy + 1,8y – y = → propriedade comutativa
= 2,3x – 1,65xy + 0,8y → reduzindo os termos semelhantes
Então: 2,3x – 1,65xy + 0,8y é a forma reduzida do polinômio dado.
5) Resposta “5x + 2xy – 4y”.
Solução: 1˚ Modo:
(7x – 2xy – 5y) + (–2x + 4xy + y) =
= 7x – 2xy – 5y – 2x + 4xy + y =
= 7x – 2x – 2xy + 4xy – 5y + y =
= 5x + 2xy – 4y
2˚ Modo:
7x – 2xy – 5y
250
– 2x + 4xy + y
------------------------5x + 2xy – 4y
6) Resposta “–3x² + 2x²y² + 5y²”.
Solução:
(3x² + x²y² - 7y²) + (x² + 8x²y² + 3y²) – (5x² + 7x²y² - 9y²) =
= 3x² + x²y² – 7y² – x² + 8x²y² + 3y² – 5x² – 7x²y² + 9y² =
= 3x² – x² – 5x² + x²y² + 8x²y² – 7x²y² – 7y² + 3y² + 9y² =
= –3x² + 2x²y² + 5y²
Logo, P1 + P2 – P3 = –3x² + 2x²y² + 5y².
7) Resposta “y5 + y4 – 2y3 + y² + y – 2”.
Solução:
P + (2y5 – 3y4 + y² – 5y + 3) = (3y5 – 2y4 – 2y3 + 2y² – 4y + 1). Daí:
P = (3y5 – 2y4 – 2y3 + 2y² – 4y + 1) – (2y5 – 3y4 + y² – 5y + 3) =
= 3y5 – 2y4 – 2y3 + 2y² – 4y + 1 – 2y5 + 3y4 – y² + 5y – 3 =
= 3y5 – 2y5 – 2y4 + 3y4 – 2y3 + 2y² – y² – 4y + 5y + 1 – 3 =
= y5 + y4 – 2y3 + y² + y – 2.
Logo, o polinômio P procurado é y5 + y4 – 2y3 + y² + y – 2.
8)Resposta “5ax – 7x² – a²”.
Solução:
2x(3a – 2x) + a(2x – a) – 3x(a + x) =
= 6ax – 4x² + 2ax – a² – 3ax – 3x² =
= 6ax + 2ax – 3ax – 4x² – 3x² – a² =
= 5ax – 7x² – a²
9) Resposta “6x² – xy – 2y²”.
Solução: Nesse caso podemos resolve de duas maneiras:
1˚ Maneira: (2x + y)(3x – 2y) =
= 2x . 3x – 2x . 2y + y . 3x – y . 2y =
= 6x² – 4xy + 3xy – 2y² =
= 6x² – xy – 2y²
2˚ Maneira:
3x – 2y
x 2x + y
------------------6x² – 4xy
+ 3xy – 2y²
--------------------6x² – xy – 2y²
10) Resposta “3a4b – 5a³b² + 12a²b³”.
Solução:
(12a5b² – 20a4b³ + 48a³b4) ÷ (4ab) =
= (12a5b² ÷ 4ab) – (20a4b³ ÷ 4ab) + (48a³b4 ÷ 4ab) =
= 3a4b – 5a³b² + 12a²b³
251
Função Polinomial
Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função
matemática f: R
R definida por: p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn, onde ao, a1, a2,
..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente a o é o
termo constante.
Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro
em x.
Uma das funções polinomiais mais importantes é f: R
R definida por:
f(x) = a x² + b x + c
O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas
características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis
de carros.
O valor numérico de um polinômio p = p(x) em x = a é obtido pela substituição de x pelo
número a, para obter p(a).
Exemplo
O valor numérico de p(x) = 2x² + 7x - 12 para x = 3 é dado por:
p(3) = 2 × (3)² + 7 × 3 - 12 = 2 × 9 + 21 - 12 = 18 + 9 = 27
Grau de um polinômio
Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é
chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo
dominante. O grau de um polinômio p = p(x) não nulo, é o expoente de seu termo
dominante, que aqui será denotado por gr(p).
Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:
- Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em
estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo, mas não o faremos aqui.
- Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será
chamado Mônico.
- Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou
decrescente.
- Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.
- Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será
menor do que n + 1.
- Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o
grau mais alto até o termo constante.
- Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será
exatamente n + 1.
- É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p = p(x) e
P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.
Igualdade de polinômios
Os polinômios p e q em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
252
São iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n:
ak = b k
Teorema
Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente
nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.
Assim, um polinômio: p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn será nulo se, e somente se,
para todo k = 0,1,2,3,...,n: ak= 0
O polinômio nulo é denotado por po= 0 em P[x].
O polinômio unidade (identidade para o produto) p1 = 1 em P[x], é o polinômio:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn
tal que ao = 1 e ak = 0, para todo k = 1, 2, 3,..., n.
Soma de polinômio
Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn
Definimos a soma de p e q, por:
(p + q)(x) = (ao + bo) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x² +... + (an + bn)xn
A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a
soma definida acima, possui algumas propriedades:
Associativa
Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p + q) + r = p + (q + r)
Comutativa
Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p+q=q+p
Elemento neutro
Existe um polinômio po (x) = 0 tal que:
po + p = p, qualquer que seja p em P[x].
Elemento oposto
Para cada p em P[x], existe outro polinômio q = -p em P[x] tal que
p+q=0
253
Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.
Produto de polinômios
Sejam p, q em P[x], dados por:
p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn
q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn
Definimos o produto de p e q, como outro polinômio r em P[x]:
r(x) = p(x) · q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn
Tal que:
ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo
Para cada ck (k = 1, 2, 3,..., m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera
ck, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.
A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o
produto definido acima, possui várias propriedades:
Associativa
Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
(p · q) · r = p · (q · r)
Comutativa
Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p·q=q·p
Elemento nulo
Existe um polinômio po(x) = 0 tal que
po · p = po, qualquer que seja p em P[x].
Elemento Identidade
Existe um polinômio p1(x) = 1 tal que
po · p = po, qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada
por p1 = 1.
Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios:
Distributiva
Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:
p · (q + r) = p · q + p · r
Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática
(P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.
254
Exercícios
1. Considerando os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Efetue a adição e a
subtração entre eles.
2. Transforme o seguinte polinômio em monômio: (3x2) x (5x3 + 8x2 – x).
3. Efetue a multiplicação de polinômio (x – 1) x (x2 + 2x - 6) por polinômio.
4. Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x3 - 5x + 2 para x = -1?
5. Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1)4?
6. Sendo P(x) = Q(x) + x2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x) ,
calcule o valor de P(1) - Q(2).
7. Qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes
são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i.
8. Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:
9. Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:
10. Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:
Respostas
1) Solução: Adição
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses fazendo o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
–3x³ – 2x² + 7x – 3.
Subtração
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
3x³ – 2x² + 3x – 1
2) Resposta “15x5 + 24x4 – 3x3”.
Solução:
(3x2) x (5x3 + 8x2 – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
15x5 + 24x4 – 3x3.
3) Resposta “x³ + x² – 8x + 6”.
Solução:
(x – 1) . (x2 + 2x - 6)
x2 . (x – 1) + 2x . (x – 1) – 6 . (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
255
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6.
4) Resposta “6”.
Solução: Teremos, substituindo a variável x por x = -1 → p(-1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 +
5+2=6
∴ p(-1) = 6.
5) Resposta “1296”.
Solução: Teremos:
Para x = 1:
S = T(1) = (5.1 + 1)4 = 64 = 6 . 6 . 6 . 6 = 1296.
6) Resposta “10”.
Solução: Se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então
Q(1) = 0.
Temos então substituindo x por 1 na expressão dada:
P(1) = Q(1) + 12 + 1 + 1 ∴
P(1) = 0 + 1 + 1+ 1 = 3. Então P(1) = 3. Analogamente, poderemos escrever:
P(2) = Q(2) + 22 + 2 + 1 ∴ 0 = Q(2) + 7,
Logo Q(2) = -7.
Conclui-se que P(1) - Q(2) = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10.
7) Resposta “5”.
Solução: Pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também
raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x)
possui no mínimo 5 raízes.
8) Resposta “10x3 + x2 + 3x – 2 “.
Solução:
(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.
2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2
10x3 + x2 + 3x – 2.
9) Resposta “6x2 + 3x + 15”.
Solução:
3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.
3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5
6x2 + 3x + 15.
10) Resposta “- 10x3 + 2x2”.
Solução:
-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.
-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)
- 10x3 + 2x2
256
Função do 1˚ Grau
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, função é uma relação binária de A em B de tal
maneira que todo elemento x, pertencente ao conjunto A, tem para si um único
correspondente y, pertencente ao conjunto B, que é chamado de imagem de x.
Notemos que, para uma relação binária dos conjuntos A e B, nesta ordem,
representarem uma função é preciso que:
- Todo elemento do conjunto A tenha algum correspondente (imagem) no conjunto B;
- Para cada elemento do conjunto A exista um único correspondente (imagem) no
conjunto B.
Assim como em relação, usamos para as funções, que são relações especiais, a
seguinte linguagem:
Domínio: Conjunto dos elementos que possuem imagem. Portanto, todo o conjunto A,
ou seja, D = A.
Contradomínio: Conjunto dos elementos que se colocam à disposição para serem ou
não imagem dos elementos de A. Portanto, todo conjunto B, ou seja, CD = B.
Conjunto Imagem: Subconjunto do conjunto B formado por todos os elementos que
são imagens dos elementos do conjunto A, ou seja, no exemplo anterior: Im = {a, b, c}.
Exemplo
Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Vamos definir a função f de A em B com f(x) = x + 1.
Tomamos um elemento do conjunto A, representado por x, substituímos este elemento
na sentença f(x), efetuamos as operações indicadas e o resultado será a imagem do
elemento x, representada por y.
257
f: A B
y = f(x) = x + 1
Tipos de Função
Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio apresentam imagens
também distintas no contradomínio.
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal,
qualquer que seja interceptar o gráfico da função, uma única vez.
f(x) é injetora
g(x) não é injetora
(interceptou o gráfico mais de uma vez)
Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo
menos um elemento do domínio.
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a
reta horizontal que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos
uma vez o gráfico da função.
258
f(x) é sobrejetora
g(x) não é sobrejetora
(não interceptou o gráfico)
Bijetora: Quando apresentar as características de função injetora e ao mesmo tempo,
de sobrejetora, ou seja, elementos distintos têm sempre imagens distintas e todos os
elementos do contradomínio são imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Função crescente: A função f(x), num determinado intervalo, é crescente se, para
quaisquer x1 e x2 pertencentes a este intervalo, com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2).
x1<x2 → f(x1)<f(x2)
Função decrescente: Função f(x), num determinado intervalo, é decrescente se, para
quaisquer x1 e x2 pertencente a este intervalo, com x1 < x2, tivermos f(x1)>f(x2).
259
x1<x2 → f(x1)>f(x2)
Função constante: A função f(x), num determinado intervalo, é constante se, para
quaisquer x1 < x2, tivermos f(x1) = f(x2).
Gráficos de uma Função
A apresentação de uma função por meio de seu gráfico é muito importante, não só na
Matemática como nos diversos ramos dos estudos científicos.
Exemplo
Consideremos a função real f(x) = 2x – 1. Vamos construir uma tabela fornecendo
valores para x e, por meio da sentença f(x), obteremos as imagens y correspondentes.
x
–2
–1
0
1
2
3
y = 2x
–1
–5
–3
–1
1
3
5
Transportados os pares ordenados para o plano cartesiano, vamos obter o gráfico
correspondente à função f(x).
260
Exemplo para a > 0
Consideremos f(x) = 2x – 1.
Exemplo para a < 0
Consideremos f(x) = –x + 1.
Consideremos a função f(x) = ax + b com a ≠ 0, em que x0 é a raiz da função f(x).
Conclusão: O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta crescente para a > 0 e uma
reta decrescente para a < 0.
Zeros da Função do 1º grau:
261
Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b o valor de x que anula a função,
isto é, o valor de x para que y seja igual à zero.
Assim, para achar o zero da função y = ax + b, basta resolver a equação ax + b = 0.
Exemplo
Determinar o zero da função:
y = 2x – 4.
2x – 4 = 0
2x = 4
4
x=
2
x=2
O zero da função y = 2x – 4 é 2.
No plano cartesiano, o zero da função do 1º grau é representado pela abscissa do
ponto onde a reta corta o eixo x.
x
y
1
3
–2
2
(x,y)
(1, –2)
(3,2)
Observe que a reta y = 2x – 4 intercepta o eixo x no ponto (2,0), ou seja, no ponto de
abscissa 2, que é o zero da função.
Conhecido o zero de uma função do 1º grau e lembrando a inclinação que a reta pode
ter, podemos esboçar o gráfico da função.
Estudo do sinal da função do 1º grau:
Estudar o sinal da função do 1º grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para
que:
- A função se anule (y = 0);
- A função seja positiva (y > 0);
- A função seja negativa (y < 0).
Exemplo
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0).
a) Qual o valor de x que anula a função?
262
y=0
2x – 4 = 0
2x = 4
4
x=
2
x=2
A função se anula para x = 2.
b) Quais valores de x tornam positiva a função?
y>0
2x – 4 > 0
2x > 4
4
x>
2
x>2
A função é positiva para todo x real maior que 2.
c) Quais valores de x tornam negativa a função?
y<0
2x – 4 < 0
2x < 4
4
x<
2
x<2
A função é negativa para todo x real menor que 2.
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico:
- Para x = 2 temos y = 0;
- Para x > 2 temos y > 0;
- Para x < 2 temos y < 0.
Relação Binária
263
Par Ordenado
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando
o mesmo conjunto. Porém, em alguns casos, é conveniente distinguir a ordem dos
elementos.
Para isso, usamos a idéia de par ordenado. A princípio, trataremos o par ordenado
como um conceito primitivo e vamos utilizar um exemplo para melhor entendê-lo.
Consideremos um campeonato de futebol e que desejamos apresentar, de cada equipe, o
total de pontos ganhos e o saldo de gols. Assim, para uma equipe com 12 pontos ganhos
e saldo de gols igual a 18, podemos fazer a indicação (12, 18), já tendo combinado,
previamente, que o primeiro número se refere ao número de pontos ganhos, e o segundo
número, ao saldo de gols.
Portanto, quando tivermos para outra equipe a informação de que a sua situação é (2, 8) entenderemos, que esta equipe apresenta 2 pontos ganhos e saldo de gols -8. Note
que é importante a ordem em que se apresenta este par de números, pois a situação (3,
5) é totalmente diferente da situação (5,3). Fica, assim, estabelecida a idéia de par
ordenado: um par de valores cuja ordem de apresentação é importante.
Observações: (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d
(a, b) = (b, a) se, o somente se, a = b
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de
todos os possíveis pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º
conjunto (A) e o 2º elemento pertença ao 2º conjunto (B).
A x B= x, y / x A e y B
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos
representar A x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de
apresentação do produto cartesiano.
Exemplo
Sejam A = {1, 4, 9} e B = {2, 3}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também
chamado A cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas.
a) Listagem dos elementos
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos
os pares ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos:
A e B = {(1, 2),(1, 3),(4, 2),(4, 3),(9, 2),(9, 3)}
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano
A): B x A = {(2, 1),(2, 4),(2, 9),(3, 1),(3, 4),(3, 9)}.
264
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o
privilégio da propriedade comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a
igualdade A x B = B x A quando A e B forem conjuntos iguais.
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares
ordenados obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n(A x B) =
n(A) x n(B).
b) Diagrama de flechas
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando
representamos cada um dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados
por “flechas” que partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º
elemento do par ordenado (no 2º conjunto).
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica
assim representado no diagrama de flechas:
c) Plano cartesiano
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º
conjunto num eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por
meio de pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que
representam os elementos passamos retas (horizontais ou verticais). Nos cruzamentos
dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no plano cartesiano, cada um
dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A).
Domínio de uma Função Real
Para uma função de R em R, ou seja, com elementos no conjunto dos números reais e
imagens também no conjunto dos números reais, será necessária, apenas, a
apresentação da sentença que faz a “ligação” entre o elemento e a sua imagem.
Porém, para algumas sentenças, alguns valores reais não apresentam imagem real.
265
Por exemplo, na função f(x) = ( x 1) , o número real 0 não apresenta imagem real e,
portanto, f(x) características de função, precisamos limitar o conjunto de partida,
eliminando do conjunto dos números reais os elementos que, para essa sentença, não
apresentam imagem. Nesse caso, bastaria estabelecermos como domínio da função f(x) o
conjunto D = {x R/x ≥ 1}.
Para determinarmos o domínio de uma função, portanto, basta garantirmos que as
operações indicadas na sentença são possíveis de serem executadas. Dessa forma,
apenas algumas situações nos causam preocupação e elas serão estudadas a seguir.
1ª y= 2 n f ( x)
f(x)≥(n N*)
1
f(x)≠0
f ( x(
Vejamos alguns exemplos de determinação de domínio de uma função real.
2ª y=
Exemplos
Determine o domínio das seguintes funções reais.
- f(x)=3x2 + 7x – 8
D=R
- f(x)= x 7
x – 7 ≥ 0→ x ≥ 7
D = {x R/x ≥ 7}
- f(x)=
D=R
3
x 1
Observação: Devemos notar que, para raiz de índice impar, o radicando pode assumir
qualquer valor real, inclusive o valor negativo.
3
x 8
x + 8 > 0 → x > -8
D = {x R/x > -8}
- f(x)=
x5
x 8
x–5≥0→x≥5
x–8≥0→x≠8
D = {x R/x ≥ 5 e x ≠ 8}
- f(x)=
Exercícios
1. Determine o domínio das funções reais apresentadas abaixo.
a) f(x) = 3x2 + 7x – 8
266
3
3x 6
c) f(x)= x 2
d) f(x)= 3 2 x 1
4x
e) f(x)=
7x 5
b) f(x)=
2. Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?
3.
Considere
por
e
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
4. Sejam
e
de
é:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
a
função
,
. O valor de
funções definidas em
de
domínio
,
definida
é:
por
e
. O valor
5. Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele
recebe de comissão 50 reais por produto vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em
função do número x de produto vendido.
b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
6. Considere a função dada pela equação y = x + 1, determine a raiz desta função.
7. Determine a raiz da função y = - x + 1 e esboce o gráfico.
8. Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x) > 0 e f(x) < 0.
a) y = f(x) = x + 1
b) y = f(x) = -x + 1
9. Determine o conjunto imagem da função:
D(f) = {1, 2, 3}
y = f(x) = x + 1
10. Determine o conjunto imagem da função:
D(f) = {1, 3, 5}
y = f(x) = x²
267
Respostas
1) Solução:
a) D = R
b) 3x – 6 ≠ 0
x≠2
D = R –{2}
c) x + 2 ≥ 0
x ≥ -2
D = {x Є R/ x ≥ -2}
d) D = R
Devemos observar que o radicando deve ser maior ou igual a zero para raízes de
índice par.
e) Temos uma raiz de índice par no denominado, assim:
7x + 5 > 0
x > - 7/5
D = {x Є R/ x > -5/7}.
2) Resposta “100”.
Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100.
3. Resposta “C”.
Solução: Com a função dada f(x + 1) = 3f(x) – 2 substituímos o valor de x por x = 0:
f(0 + 1) = 3f (0) – 2
f(1) = 3f(0) - 2
É dito que f(1) = 4, portanto:
4 = 3f(0) - 2
Isolando f(0):
4+2 = 3f(0)
6 = 3f(0)
f(0) = 6/3 = 2.
4) Resposta “E”.
268
Solução: Começamos encontrando f(3):
f(3) = 2.(3) + 1, ou seja, f(3) = 7
Se está pedindo g[f(3)] então está pedindo g(7):
g(7) = 7 - 3 = 4
Logo, a resposta certa, letra "E".
5) Solução
a) y = salário fixo + comissão
y = 500 + 50x
b) y = 500 + 50x , onde x = 4
y = 500 + 50 . 4 = 500 + 200 = 700
c) y = 500 + 50x , onde y = 1000
1000 = 500 + 50x
50x = 1000 – 500
50x = 500
x = 10.
6) Solução: Basta determinar o valor de x para termos y = 0
x+1=0
x = -1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da função y = x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a
raiz da função.
7) Solução: Fazendo y = 0, temos:
0 = -x + 1
x=1
Gráfico:
269
Note que o gráfico da função y = -x + 1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a
raiz da função.
8) Solução:
a) y = f(x) = x + 1
x+1>0
x > -1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1
x+1<0
x < -1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1
b) y = f(x) = -x + 1
* -x + 1 > 0
-x > -1
x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1
-x + 1 < 0
-x < -1
x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade).
9) Solução:
f(1) = 1 + 1 = 2
f(2) = 2 + 1 = 3
f(3) = 3 + 1 = 4
Logo: Im(f) = {2, 3, 4}.
10) Solução:
f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im(f) = {1, 9, 25}
270
Função do 2º Grau
Chama-se função do 2º grau ou função quadrática toda função f de R em R definida
por um polinômio do 2º grau da forma f(x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c , com a, b e c
reais e a ≠ 0.
Exemplo
- y = x2 – 5x + 4, sendo a = 1, b = –5 e c = 4
- y = x2 – 9, sendo a = 1, b = 0 e c = –9
- y = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0
Representação gráfica da Função do 2º grau
Exemplo
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 – 2x – 3. Atribuindo à variável x
qualquer valor real, obteremos em correspondência os valores de y:
Para x = –2 temos y = (–2)2 – 2(–2) –3 = 4 + 4 – 3 = 5
Para x = –1 temos y = (–1)2 – 2(–1) –3 = 1 + 2 – 3 = 0
Para x = 0 temos y = (0)2 – 2(0) –3 = – 3
Para x = 1 temos y = (1)2 – 2(1) –3 = 1 – 2 – 3 = –4
Para x = 2 temos y = (2)2 – 2(2) –3 = 4 – 4 – 3 = –3
Para x = 3 temos y = (3)2 – 2(3) –3 = 9 – 6 – 3 = 0
Para x = 4 temos y = (4)2 – 2(4) –3 = 16 – 8 – 3 = 5
x
–2
–1
0
1
2
3
4
y
5
0
–3
–4
–3
0
5
(x,y)
(–2,5)
(–1,0)
(0, –3)
(1, –4)
(2, –3)
(3,0)
(4,5)
O gráfico da função de 2º grau é uma curva aberta chamada parábola.
O ponto V indicado na figura chama-se vértice da parábola.
Concavidade da Parábola
No caso das funções do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade voltada para
cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0).
a>0
a<0
271
Podemos por meio do gráfico de uma função, reconhecer o seu domínio e o conjunto
imagem.
Consideremos a função f(x) definida por A = [a, b] em R.
Domínio: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo x. Assim, D = [a, b] = A
Conjunto Imagem: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo y. Assim, Im = [c,
d].
Zeros da Função do 2º grau
272
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais
tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da equação do 2º grau.
ax2 + bx + c = 0
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de
Bhaskara”.
x
b
Onde = b2 – 4.a.c
2.a
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais
para traçarmos um esboço do gráfico de uma função do 2º grau.
Coordenadas do vértice da parábola
A parábola que representa graficamente a função do 2º grau apresenta como eixo de
simetria uma reta vertical que intercepta o gráfico num ponto chamado de vértice.
As coordenadas do vértice são:
xV
b
2a
e
yV
4a
Vértice (V)
273
O Conjunto Imagem de uma função do 2º grau está associado ao seu ponto extremo,
ou seja, à ordenada do vértice (yv).
Exemplo
Vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola da seguinte função
quadrática: y = x2 – 8x + 15.
Cálculo da abscissa do vértice:
xV
b 8 8
4
2a
21
2
Cálculo da ordenada do vértice:
Substituindo x por 4 na função dada:
yV = (4)2 – 8(4) + 15 = 16 – 32 + 15 = –1
Logo, o ponto V, vértice dessa parábola, é dado por V (4, –1).
Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o
vértice é chamado ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da
função;
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o
vértice é ponto de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função.
Construção do gráfico da função do 2º grau
274
- Determinamos as coordenadas do vértice;
- Atribuímos a x valores menores e maiores que xv e calculamos os correspondentes
valores de y;
- Construímos assim uma tabela de valores;
- Marcamos os pontos obtidos no sistema cartesiano;
- Traçamos a curva.
Exemplo
y = x2 – 4x + 3
Coordenadas do vértice:
b 4 4
2
2a
21
2
yV (2)2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = –1
xV
V (2, –1)
Tabela:
Para x = 0 temos y = (0)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
Para x = 1 temos y = (1)2 – 4(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0
Para x = 3 temos y = (3)2 – 4(3) + 3 = 9 – 12 + 3 = 0
Para x = 4 temos y = (4)2 – 4(4) + 3 = 16 – 16 + 3 = 3
x
0
1
2
3
4
y
3
0
–1
0
3
(x,y)
(0,3)
(1,0)
(2,–1)Vértice
(3,0)
(4,3)
Gráfico:
Estudos do sinal da função do 2º grau
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que
tornam a função positiva, negativa ou nula.
275
Exemplo
y = x2 – 6x + 8
Zeros da função:
y = x2 – 6x + 8
= (–6)2 – 4(1)(8)
= 36 – 32 = 4
= 4=2
x
62
2
62 8
4
2
2
Esboço do gráfico:
Estudo do sinal:
Para x < 2 ou x > 4 temos y > 0
Para x = 2 ou x = 4 temos y = 0
62 4
2
2
2
Para 2 < x < 4 temos y < 0
Exercícios
1. O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 63 menos 12 vezes
o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?
2. Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de largura uma vez e meia a sua
altura. Quais são as dimensões desta tela?
3. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 anos atrás e igual a
2000. Quantos anos eu tenho agora?
4. Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo de lanche, com o
mesmo preço unitário, a quantidade comprada foi igual ao valor unitário de cada
lanche. Paguei com duas notas de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço
unitário de cada produto?
5. O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 374. Pedro é 5 anos
mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada um deles?
6. Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes estes números.
Quais números são estes?
7. Quais são as raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0?
8. O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual é a sua nota final?
9. Solucione a equação biquadrada: -x4 + 113x2 - 3136 = 0.
10. Encontre as raízes da equação biquadrada: x4 - 20x2 - 576 = 0.
276
Respostas
1) Resposta “3”.
Solução: Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x2 equivale ao triplo do
quadrado do número de filhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de
filhos. Montando a sentença matemática temos:
3x2 = 63 - 12x
Que pode ser expressa como:
3x2 + 12x - 63 = 0
Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, que é
denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será
a solução do nosso problema:
Primeiramente calculemos o valor de Δ:
Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes
reais distintas. Vamos calculá-las:
A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não
pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.
Portanto, Pedro tem 3 filhos.
2) Resposta “80cm; 120 cm”.
Solução: Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura.
Sabemos que a área de uma figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a
medida da sua largura, pela medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de
uma sentença matemática temos:
x . 1,5x = 9600
Que pode ser expressa como:
1,5x2 - 9600 = 0
277
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que como já vimos terá duas
raízes reais opostas, situação que ocorre sempre que o coeficiente b é igual a zero.
Vamos aos cálculos:
As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter
dimensões negativas, devemos desconsiderar a raiz -80.
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120.
Portanto, esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 120cm de largura.
3) Resposta “45”.
Solução: Denominando x a minha idade atual, a partir do enunciado podemos montar a
seguinte equação:
x2 - (x - 20) = 2000
Ou ainda:
A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a resposta deste problema.
Vejamos:
As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso ter -44 anos, é óbvio que
só posso ter 45 anos.
Logo, agora eu tenho 45 anos.
4) Resposta “12”.
Solução: O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm o mesmo valor unitário.
Vamos denominá-lo então de x.
Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu comprei 4 unidades e do outro eu
comprei x unidades.
Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pagar R$ 200,00 pela mercadoria, temos
as informações necessárias para montarmos a seguinte equação:
4 . x + x . x + 8 = 200
Ou então:
278
Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos solucionar a equação para
descobrimos que valor é este:
As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não pode ser negativo, a raiz
igual -16 deve ser descartada.
Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.
5) Resposta “22; 17”.
Solução: Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x - 5 será a idade de
Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, temos que x . (x - 5) = 374.
Esta sentença matemática também pode ser expressa como:
Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solucionar a equação:
As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a raiz -17 deve ser
descartada.
Logo a idade de Pedro é de 22 anos.
Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem então 17 anos.
Logo, Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.
6) Resposta “0; 5”.
Solução: Em notação matemática, definindo a incógnita como x, podemos escrever
esta sentença da seguinte forma:
3x2 = 15x
Ou ainda como:
3x2 - 15x = 0
279
A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara pode ser utilizada na resolução
desta equação, mas por se tratar de uma equação incompleta, podemos solucioná-la de
outra forma.
Como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta equação possui duas
raízes reais. Uma é igual azero e a outra é dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo
coeficiente a. Resumindo podemos dizer que:
Temos então:
7) Resposta “6; 8”.
Solução: Podemos resolver esta equação simplesmente respondendo esta pergunta:
Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que multiplicados resultam em
48?
Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 . 8 = 48.
Segundo as relações de Albert Girard, que você encontra em detalhes em outra página
deste site, estas são as raízes da referida equação.
Para simples conferência, vamos solucioná-la também através da fórmula de Bhaskara:
8) Resposta “0”.
Solução: Sendo x a nota final, matematicamente temos:
2x2 = 0
Podemos identificar esta sentença matemática como sendo uma equação do segundo
grau incompleta, cujos coeficientes b e c são iguais a zero.
Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá como raiz real o número
zero. Apenas para verificação vejamos:
9) Resposta “-8; -7; 7 e 8”.
Solução: Substituindo na equação x4 por y2 e também x2 e y temos:
-y2 + 113y - 3136 = 0
Resolvendo teremos:
280
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y temos:
Para y1 temos:
Para y2 temos:
Assim sendo, as raízes da equação biquadrada -x4 + 113x2 - 3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8.
10) Resposta “-6; 6”.
Solução: Iremos substituir x4 por y2 e x2 e y, obtendo uma equação do segundo grau:
y2 - 20y - 576 = 0
Ao resolvermos a mesma temos:
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as raízes da equação
biquadrada:
Para y1 temos:
Para y2, como não existe raiz quadrada real de um número negativo, o valor de -16 não
será considerado.
Desta forma, as raízes da equação biquadrada x4 - 20x2 - 576 = 0 são somente: -6 e 6.
281
Sistema Monetário Nacional
O primeiro dinheiro do Brasil foi à moeda-mercadoria. Durante muito tempo, o comércio
foi feito por meio da troca de mercadorias, mesmo após a introdução da moeda de metal.
As primeiras moedas metálicas (de ouro, prata e cobre) chegaram com o início da
colonização portuguesa. A unidade monetária de Portugal, o Real, foi usada no Brasil
durante todo o período colonial. Assim, tudo se contava em réis (plural popular de real)
com moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. O Real (R) vigorou até 07 de outubro de
1833. De acordo com a Lei nº 59, de 08 de outubro de 1833, entrou em vigor o Mil-Réis
(Rs), múltiplo do real, como unidade monetária, adotada até 31 de outubro de 1942.
No século XX, o Brasil adotou nove sistemas monetários ou nove moedas diferentes
(mil-réis, cruzeiro, cruzeiro novo, cruzeiro, cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real,
real).
Por meio do Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942, uma nova unidade
monetária, o cruzeiro – Cr$ veio substituir o mil-réis, na base de Cr$ 1,00 por mil-réis.
A denominação “cruzeiro” origina-se das moedas de ouro (pesadas em gramas ao
título de 900 milésimos de metal e 100 milésimos de liga adequada), emitidas na forma do
Decreto nº 5.108, de 18 de dezembro de 1926, no regime do ouro como padrão
monetário.
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, transformou o cruzeiro – Cr$ em
cruzeiro novo – NCr$, na base de NCr$ 1,00 por Cr$ 1.000. A partir de 15 de maio de
1970 e até 27 de fevereiro de 1986, a unidade monetária foi novamente o cruzeiro (Cr$).
Em 27 de fevereiro de 1986, Dílson Funaro, ministro da Fazenda, anunciou o Plano
Cruzado (Decreto-Lei nº 2.283, de 27 de fevereiro de 1986): o cruzeiro – Cr$ se
transformou em cruzado – Cz$, na base de Cz$ 1,00 por Cr$ 1.000 (vigorou de 28 de
fevereiro de 1986 a 15 de janeiro de 1989). Em novembro do mesmo ano, o Plano
Cruzado II tentou novamente a estabilização da moeda. Em junho de 1987, Luiz Carlos
Brésser Pereira, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Brésser: um Plano Cruzado
“requentado” avaliou Mário Henrique Simonsen.
Em 15 de janeiro de 1989, Maílson da Nóbrega, ministro da Fazenda, anunciou o Plano
Verão (Medida Provisória nº 32, de 15 de janeiro de 1989): o cruzado – Cz$ se
transformou em cruzado novo – NCz$, na base de NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou
de 16 de janeiro de 1989 a 15 de março de 1990).
Em 15 de março de 1990, Zélia Cardoso de Mello, ministra da Fazenda, anunciou o
Plano Collor (Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990): o cruzado novo – NCz$
se transformou em cruzeiro – Cr$, na base de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de 16 de
março de 1990 a 28 de julho de 1993). Em janeiro de 1991, a inflação já passava de 20%
ao mês, e o Plano Collor II tentou novamente a estabilização da moeda.
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de1993, transformou o cruzeiro – Cr$ em
cruzeiro real – CR$, na base de CR$ 1,00 por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 29 de julho de
1993 a 29 de junho de 1994).
Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro da Fazenda, anunciou
o Plano Real: o cruzeiro real – CR$ se transformou em real – R$, na base de R$ 1,00 por
CR$ 2.750,00 (Medida Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994, convertida na Lei nº
9.069, de 29 de junho de 1995).
O artigo 10, I, da Lei nº 4.595, de 31 de dezembro de 1964, delegou ao Banco Central
do Brasil competência para emitir papel-moeda e moeda metálica, competência exclusiva
consagrada pelo artigo 164 da Constituição Federal de 1988.
282
Antes da criação do BCB, a Superintendência da Moeda e do Crédito (SUMOC), o
Banco do Brasil e o Tesouro Nacional desempenhavam o papel de autoridade monetária.
A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por finalidade exercer o
controle monetário. A SUMOC fixava os percentuais de reservas obrigatórias dos bancos
comerciais, as taxas do redesconto e da assistência financeira de liquidez, bem como os
juros. Além disso, supervisionava a atuação dos bancos comerciais, orientava a política
cambial e representava o País junto a organismos internacionais.
O Banco do Brasil executava as funções de banco do governo, e o Tesouro Nacional
era o órgão emissor de papel-moeda.
Cruzeiro
1000 réis = Cr$1(com centavos) 01.11.1942
O Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942 (D.O.U. de 06 de outubro de 1942),
instituiu o Cruzeiro como unidade monetária brasileira, com equivalência a um mil réis. Foi
criado o centavo, correspondente à centésima parte do cruzeiro.
Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e cinquenta mil e quatrocentos réis)
passou a expressar-se Cr$ 4.750,40 (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros e
quarenta centavos)
Cruzeiro
(sem centavos) 02.12.1964
A Lei nº 4.511, de 01de dezembro de1964 (D.O.U. de 02 de dezembro de 1964),
extinguiu a fração do cruzeiro denominada centavo. Por esse motivo, o valor utilizado no
exemplo acima passou a ser escrito sem centavos: Cr$ 4.750 (quatro mil setecentos e
cinquenta cruzeiros).
Cruzeiro Novo
Cr$1000 = NCr$1(com centavos) 13.02.1967
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de1965 (D.O.U. de 17 de novembro de 1965),
regulamentado pelo Decreto nº 60.190, de 08 de fevereiro de1967 (D.O.U. de 09 de
fevereiro de 1967), instituiu o Cruzeiro Novo como unidade monetária transitória,
equivalente a um mil cruzeiros antigos, restabelecendo o centavo. O Conselho Monetário
Nacional, pela Resolução nº 47, de 08 de fevereiro de 1967, estabeleceu a data de
13.02.67 para início de vigência do novo padrão.
Exemplo: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinquenta cruzeiros) passou a
expressar-se NCr$ 4,75(quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos).
Cruzeiro
De NCr$ para Cr$ (com centavos) 15.05.1970
A Resolução nº 144, de 31 de março de 1970 (D.O.U. de 06 de abril de 1970), do
Conselho Monetário Nacional, restabeleceu a denominação Cruzeiro, a partir de 15 de
maio de 1970, mantendo o centavo.
283
Exemplo: NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos) passou a
expressar-se Cr$ 4,75(quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos).
Cruzeiros
(sem centavos) 16.08.1984
A Lei nº 7.214, de 15 de agosto de 1984 (D.O.U. de 16.08.84), extinguiu a fração do
Cruzeiro denominada centavo. Assim, a importância do exemplo, Cr$ 4,75 (quatro
cruzeiros e setenta e cinco centavos), passou a escrever-se Cr$ 4, eliminando-se a
vírgula e os algarismos que a sucediam.
Cruzado
Cr$ 1000 = Cz$1 (com centavos) 28.02.1986
O Decreto-Lei nº 2.283, de 27 de fevereiro de 1986 (D.O.U. de 28 de fevereiro de
1986), posteriormente substituído pelo Decreto-Lei nº 2.284, de 10 de março de 1986
(D.O.U. de 11 de março de 1986), instituiu o Cruzado como nova unidade monetária,
equivalente a um mil cruzeiros, restabelecendo o centavo. A mudança de padrão foi
disciplinada pela Resolução nº 1.100, de 28 de fevereiro de 1986, do Conselho Monetário
Nacional.
Exemplo: Cr$ 1.300.500 (um milhão, trezentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a
expressar-se Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos).
Cruzado Novo
Cz$ 1000 = NCz$1 (com centavos) 16.01.1989
A Medida Provisória nº 32, de 15 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 16 de janeiro de 1989),
convertida na Lei nº 7.730, de 31 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 01 de fevereiro de 1989),
instituiu o Cruzado Novo como unidade do sistema monetário, correspondente a um mil
cruzados, mantendo o centavo. A Resolução nº 1.565, de 16 de janeiro de 1989, do
Conselho Monetário Nacional, disciplinou a implantação do novo padrão.
Exemplo: Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos) passou a
expressar-se NCz$ 1,30 (um cruzado novo e trinta centavos).
Cruzeiro
De NCz$ para Cr$ (com centavos) 16.03.1990
A Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990 (D.O.U. de 16 de março de 1990),
convertida na Lei nº 8.024, de 12 de abril de 1990 (D.O.U. de 13 de abril de 1990),
restabeleceu a denominação Cruzeiro para a moeda, correspondendo um cruzeiro a um
cruzado novo. Ficou mantido o centavo. A mudança de padrão foi regulamentada pela
Resolução nº 1.689, de 18 de março de 1990, do Conselho Monetário Nacional.
Exemplo: NCz$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzados novos) passou a expressarse Cr$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzeiros).
Cruzeiro Real
284
Cr$ 1000 = CR$ 1 (com centavos) 01.08.1993
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de 1993 (D.O.U. de 29 de julho de 1993),
convertida na Lei nº 8.697, de 27 de agosto de 1993 (D.O.U. de 28 agosto de 1993),
instituiu o Cruzeiro Real, a partir de 01 de agosto de 1993, em substituição ao Cruzeiro,
equivalendo um cruzeiro real a um mil cruzeiros, com a manutenção do centavo. A
Resolução nº 2.010, de 28 de julho de 1993, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou
a mudança na unidade do sistema monetário.
Exemplo: Cr$ 1.700.500,00 (um milhão, setecentos mil e quinhentos cruzeiros) passou
a expressar-se CR$ 1.700,50 (um mil e setecentos cruzeiros reais e cinquenta centavos).
Real
CR$ 2.750 = R$ 1(com centavos) 01.07.1994
A Medida Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994 (D.O.U. de 30 de junho de 1994),
instituiu o Real como unidade do sistema monetário, a partir de 01 de julho de 1994, com
a equivalência de CR$ 2.750,00 (dois mil, setecentos e cinquenta cruzeiros reais), igual à
paridade entre a URV e o Cruzeiro Real fixada para o dia 30 de junho de 1994. Foi
mantido o centavo.
Como medida preparatória à implantação do Real, foi criada a URV - Unidade Real de
Valor - prevista na Medida Provisória nº 434, publicada no D.O.U. de 28 de fevereiro de
1994, reeditada com os números 457 (D.O.U. de 30 de março de 1994) e 482 (D.O.U. de
29 de abril de 1994) e convertida na Lei nº 8.880, de 27 de maio de 1994 (D.O.U. de 28
de maio de 1994).
Exemplo: CR$ 11.000.000,00 (onze milhões de cruzeiros reais) passou a expressar-se
R$ 4.000,00 (quatro mil reais).
Banco Central (BC ou Bacen) - Autoridade monetária do País responsável pela
execução da política financeira do governo. Cuida ainda da emissão de moedas, fiscaliza
e controla a atividade de todos os bancos no País.
Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) - Órgão internacional que visa
ajudar países subdesenvolvidos e em desenvolvimento na América Latina. A organização
foi criada em 1959 e está sediada em Washington, nos Estados Unidos.
Banco Mundial - Nome pelo qual o Banco Internacional de Reconstrução e
Desenvolvimento (BIRD) é conhecido. Órgão internacional ligado a ONU, a instituição foi
criada para ajudar países subdesenvolvidos e em desenvolvimento.
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social (BNDES) - Empresa
pública federal vinculada ao Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior
que tem como objetivo financiar empreendimentos para o desenvolvimento do Brasil.
285
Juros Simples
Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma quantia em dinheiro que
deve ser paga por um devedor, pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que
empresta).
- Os juros são representados pela letra j.
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado
pela letra C.
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t.
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo.
É representado pela letra i e utilizada para calcular juros.
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da
aplicação.
Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade:
Taxa anual --------------------- tempo em anos
Taxa mensal-------------------- tempo em meses
Taxa diária---------------------- tempo em dias
Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:
Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 3. 000,00, pelo prazo
de 4 meses, à taxa de 2% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?
Resolução:
- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00
- Tempo de aplicação (t): 4 meses
- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)
Fazendo o cálculo, mês a mês:
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$ 3.000,00 = R$ 60,00
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 + R$ 60,00 = R$ 120,00
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 60,00 = R$ 180,00
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00 + R$ 60,00 = R$ 240,00
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 240,00 de juros.
Fazendo o cálculo, período a período:
- No final do 1º período, os juros serão: i.C
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C
------------------------------------------------------------------------------ No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C
Portanto, temos:
286
J=C.i.t
Observações:
1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade.
2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal.
3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os juros, ou seja: Na fórmula
J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos
calcular o 4º valor.
M=C+ j
Exemplo
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para render, em 3 anos, R$
28.800,00 de juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa
anual.)
C = R$ 20.000,00
t = 3 anos
j = R$ 28.800,00
i = ? (ao ano)
C.i.t
j=
100
20000..i.3
28 800 =
100
28 800 = 600 . i
28.800
i=
600
i = 48
Resposta: 48% ao ano.
Juros Compostos
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo
duas modalidades, a saber:
Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.
Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e
passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como "juros sobre juros".
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e
juros compostos, com um exemplo: Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa
de 10% a.a. (ao ano) Teremos:
287
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que
o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e, portanto tem um
crescimento muito mais "rápido". Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte
forma:
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam
reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego
mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não
se justifica em estudos econômicos.
Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros
compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros),
mês a mês:
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
.....................................................................................................
Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos evidentemente: S = 1000(1 +
0,1)n
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros
compostos i durante o período n : S = P (1 + i)n
onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o
principal P (capital inicial) foi aplicado.
Nota: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do
período (n), tem de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que
não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3
anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.
Exemplos
1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e
da taxa de aplicação i por período.
288
Solução:
Temos S = P(1+i)n
Logo, S/P = (1+i)n
Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:
n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:
Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logS – logP
Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma
aplicação prática do estudo dos logaritmos.
2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2%
(2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial estiver duplicado,
teremos S = 2P.
Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]
Simplificando, fica:
2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.
Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos
rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no
vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então
permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do
problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses.
Resposta: 2 anos e 11 meses.
Exercícios
1. Uma Loja de eletrodomésticos apresenta a seguinte oferta para a venda de um
DVD player:
À vista R$ 539,00 ou
12x 63,60 = R$ 763,20.
De quanto será o acréscimo sobre o preço à vista se o produto for comprado em
12 vezes?
2. Calcule o juros simples gerado por um capital de R$ 2 500,00, quando aplicado
durante 8 meses a uma taxa de 3,5% a.m.
3. Uma aplicação financeira, feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês,
rendeu R$ 1 920,00 de juro. Qual foi a quantia aplicada?
289
4. Um capital de $ 2.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa
de 18% a.a. Pede-se:
a) Juros
b) Montante.
5. Calcular o juro
condições:
Taxa de Juros
a) 21% a.a.
b) 21% a.a.
simples referente a um capital de $ 2.400,00 nas seguintes
Prazo
1 ano
3 anos
6. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00, a juros compostos, pelo
prazo de 4 meses, à taxa de 2,5% a.m.?
7. Calcule o montante e os juros da aplicação abaixo, considerando o regime de
juros compostos:
Capital
Taxa de Juros
Prazo de Antecipação
R$ 20.000,00
3,0% a.m.
7 meses
8. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o
valor dos juros compostos produzidos?
9. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros
compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?
10. Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de
60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano.
Respostas
1) Resposta “R$ 224,20”.
Solução: Basta apenas tirar o valor à prazo sobre o à vista:
R$ 763,20 – R$ 539,00 = R$ 224,20.
2) Resposta “R$ 700,00”.
Solução: Dados:
Capital (quantia aplicada): R$ 2 500,00
Taxa de juros: 3,5 a.m.
Tempo de aplicação: 8 meses
Juro: ?
Representando o juro por x, podemos ter:
x = (3,5% de 2 500) . 8
x = (0,035 . 2 500) . 8
x = 700
Conclui-se que o juro é de R$ 700,00.
3) Resposta “R$ 32 000,00”.
290
Solução: Dados:
Capital (quantia plicada) ?
Taxa de juro: 3% a.m.
Tempo de aplicação: 2 meses
Juro: R$ 1 920,00
Calculando a quantia que a aplicação rendeu juro ao mês:
1 920 ÷ 2 = 960
Representando o capital aplicado por x, temos:
3% de x dá 960
0,03 . x = 960
0,03x = 960
960
x = 0,03 → 𝑥 = 32 000
Logo, o capital aplicado foi de R$ 32 000,00.
4) Resposta “Juros: R$ 180,00; Montante R$ 4 180,00”.
Solução:
a → J = Cin
J = 4000 {[(18/100)/12]x3}
J = 4000 {[0,18/12]x3}
J = 4000 {0,015 x 3}
J = 4000 x 0,045
J = 180,00
B→M=C+J
M = 4000 + 180
M = 4.180,00
5) Resposta “ R$ 504,00; R$ 1 512,00 ”
Solução:
a → J = Cin
J = 2400 [(21/100)x1]
J = 2400 [0,21 x 1]
J = 2400 x 0,21
J = 504,00
b → J = Cin
J = 2400 [(21/100)x3]
J = 2400 [0,21x3]
J = 2400 0,63
J = 1.512,00
6) Resposta “17 661,01”.
Solução: Dados:
C: 16000
i: 2,5% a.m.
291
n: 4 meses.
M C1 in
2,5
M 16000 1
100
4
4
M 16000 1,025
7
M 20000 1,03
M 16000 1 0,025
4
M 16000 x 1,103812891 M 17.661,01
7) Resposta “24 597,48”.
Solução: Dados:
C: 20000
i: 3,0% a.m.
n: 7 meses.
M C1 in
3
M 20000 1
100
7
M 20000 1 0,03
7
M 20000 x 1,229873685 M 24.597,48
8) Resposta “R$ 238,73”.
Solução: Dados:
C = R$ 500
i = 5% = 0,05
n = 8 (as capitalizações são mensais)
M = C (1 + i)n M = 500 (1,05)8 M = R$ 738,73
O valor dos juros será:
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73
9) Resposta “ R$ 400,00”.
Solução:
M = R$ 477,62
i = 3% = 0,03
n = 6 (as capitalizações são trimestrais)
M = C (1 + i)n
477,62 = C (1,03)6
C = 477 ,62
1,19405
C = R$ 400,00.
10) Resposta “R$ 2.693,78”.
Solução:
Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitalização é mensal.
A taxa efetiva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês.
C = R$ 1.500
i = 5% = 0,05
n = 12
M = C (1 + i)n
292
M = 1.500 (1,05)12
M = 1.500 1,79586
M = R$ 2.693,78
293
Desconto Simples
Suponhamos que um fabricante de geladeiras tenha efetuado uma venda à rede
Geladeiras Brasil no valor de R$ 80.000,00, quantia a serem pagos três meses após a
entrega.
Passado um mês da data da entrega, o fornecedor, precisando de dinheiro, procurou o
Banco da Nação para tentar descontar a duplicata (documento comprobatório da dívida
contraída pela rede Geladeiras Brasil). O banco ofereceu em troca do título a quantia de
R$ 76.000,00. Tendo sido aceita a proposta, o fornecedor recebeu do banco a
importância de R$ 76.000,00, e o banco passou a ser o credor da dívida, que será
saldada pela Geladeiras Brasil; ou seja, na data inicialmente estabelecida, a Geladeiras
Brasil fará o pagamento de R$ 80.000,00 diretamente ao Banco da Nação, e não mais ao
fornecedor.
Esse tipo de operação recebe o nome de desconto de título.
- O valor do título na data do vencimento – R$ 80.000,00 – é chamado valor nominal.
- O valor pago pelo Banco da Nação – R$ 76.000,00 – é chamado valor atual ou valor
descontado.
- A diferença entre o valor nominal e o atual: R$ 80.000,00 – R$ 76.000,00 = R$
4.000,00 é chamada desconto.
Normalmente, nesse tipo de operação, o valor proposto pelo banco decorre da
aplicação de uma taxa de desconto simples, que incide sobre o valor nominal do título,
em regime semelhante ao de juros simples.
No exemplo, a taxa de desconto simples usada teria sido de 2,5% a.m., e por 2 meses,
que corresponde ao número de meses de antecipação:
d = (2,5% de 80.000,00) x 2
d = 0,025 x 80.000,00 x 2 = R$ 4.000,00
Exemplo
Um título de valor nominal R$ 900,00, com vencimento para 150 dias, será descontado
em um banco que opera com a taxa de desconto de 6% a.m.
Se o prazo de antecipação for de 3 meses, o desconto será dado por d = 0,06 x 900 x
3 = R$ 162,00 e o valor atual será VA = 900 – 162 = R$ 738,00.
Se o resgate for feito 48 dias antes do vencimento, o prazo de antecipação será 48/30
= 1,6 mês, e o desconto será: d = 0,06 x 900 x 1,6 = R$ 86,40 produzindo o valor atual de
: VA = 900 – 86,40 = R$ 813,60.
Exercícios
1. Considere um título cujo valor nominal seja $10.000,00. Calcule o desconto
comercial a ser concedido para um resgate do título 3 meses antes da data de
vencimento, a uma taxa de desconto de 5% a.m.
294
2. Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a
uma taxa de juros simples de 12% a.m.. O banco cobra, simultaneamente uma
comissão de 4% sobre o valor nominal da promissória. Um cliente do banco recebe
R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em três meses. O
valor da comissão é de:
3. Sendo 48% a taxa anual de desconto utilizada por uma instituição, qual seria o
valor atual de um título de R$ 20.000,00, descontado 4 meses antes do vencimento?
4. O valor nominal de uma duplicata a ser descontada à taxa de 2,5% a.m, é R$
700,00. Calcule o valor atual da duplicata, se for descontada:
a) 12 dias antes do vencimento;
b) 53 dias antes do vencimento;
5. Operando com uma taxa mensal de desconto de 2,2%, um banco propôs um
desconto de R$ 55,00 sobre um título de R$ 500,00. Quanto tempo antes do
vencimento foi feita a proposta?
6. Uma pessoa dispõe de uma duplicata de valor nominal R$ 1.000,00, com a qual
pretende quitar uma dívida de R$ 800,00. Quanto tempo antes do vencimento da
duplicata a pessoa deve descontá-la num banco que opera à taxa de desconto de
8% a.m.?
7. O desconto de R$ 480,00 foi calculado mediante a utilização da taxa de 2% a.m.
sobre o valor nominal de um título a ser descontado 96 dias antes do vencimento.
Qual o valor descontado?
8. Para um título de R$ 1.200,00 com vencimento para 16 de outubro, Sílvio
obteve de um banco, em 1º de setembro do mesmo ano, o resgate de R$ 1.110,00.
Qual a taxa mensal de desconto utilizada pelo banco?
9. Setenta e cinco dias antes do vencimento de uma duplicata, um banco,
utilizando uma taxa de desconto de 3,75% a.m., oferece um valor de R$ 1.268,75.
Qual é o valor nominal da duplicata?
10. José dispõe de uma duplicata de R$ 14.000,00, emitida por um cliente para ser
paga ao fim de 120 dias. Lendo os classificados de um grande jornal à procura de
um veículo novo, depara com o seguinte anúncio:
Moleza!
ACTRO ZERO Km
Completo prata R$ 12.600,00 à vista ou 4 quadrimestrais de R$ 3.800,00 (pague a
1ª daqui a 4 meses).
Vai imediatamente ao banco para tentar descontar sua duplicata: o gerente
oferece exatamente a taxa de desconto simples suficiente pra que José possa
adquirir o veículo à vista. Oferece também, como José é cliente antigo, a garantia
de que durante os próximos dois anos poderá remunerar qualquer investimento de
José naquela instituição com taxa de 1,5% ao mês, com capitalização mensal.
295
a) Qual a taxa de desconto simples oferecida pelo gerente?
b) Convém descontar a duplicata e adquirir o veículo à vista ou esperar os 120
dias, pagar a primeira prestação, aplicar o que restar e assim sucessivamente,
fazendo retiradas de R$ 3.800,00 em cada data de vencimento de prestação
quadrimestral? Analise exclusivamente do ponto de vista financeiro.
c) Qual é a diferença, em reais, entre as duas opções?
Respostas
1) Resposta “1.500,00”.
Solução:
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Valor descontado = $8.500,00; desconto = $1.500,00
2) Resposta “20.000”
Solução:
h = 0.04
iB = 0.12 * 3
AB = N * [1-(iB * h)]
300000 = N * [1-(0.12*3 * 0.04)]
300000 = N * [1-0.4]
N = 500000
Vc = 0.04 * N
Vc = 0.04 * 500000
Vc = 20000
3) Resposta “16.800,00”.
Solução:
L = 48% a.a = 4% a.m.
T = 20.000,00
48 ÷ 12 = 4% a.m.
d = (4% de 20.000,00) . 4 =
d = 0,04 . 20.000,00 = 16.800,00
4) Solução:
i = 2,5% a.m.
T = 700,00
d = 2,5% de 700 = 0,025 . 700,00 = 17,5
a) 17,5 . 0,4 = 7
12 dias = 0,4 mês 700 – 7 = 693,00
53 dias = 1 mês + 0,76 = 1,76
296
b) 17,5 . 1,76 = 30,80
700 – 30,80 = 669,20
5) Resposta “5 meses”.
Solução:
i = 2,2%
d = 55,00
T = 500,00
55,00 = 0,022 . 500,00 . x
11x = 55
55
𝑥 = 11 = 5 meses
6) Resposta “2,5 meses”.
Solução:
i = 8% a.m.
d = 1.000,00 – 800,00 = 200,00
T = 1.000,00
200,00 = 0,08 . 1.000,00 . x
80x = 200
200
𝑥 = 80 = 2,5 meses ou 2 meses e meio
7) Resposta “7020”.
Solução:
D = Desconto
N = Nominal (Título)
d = taxa
n = data
Vd = Valor já descontado
D = 480
N=?
d = 2% a.m. = 2/100 = 0,02
n = 96 dias = 96/30 = 3.2 meses
Vd = ?
Fórmula: D = N.d.n
480 = N . 0,02 . 3,2
480 = 0,064 . N
N = 480/0,064
N = 7.500
Fórmula: Vd = N – D
Vd = 7500 – 480
Vd = 7020
297
Outro Método
Fórmula: Vd = N (1 – d . n)
Vd = 7500 (1 – 0,02 . 3,2)
Vd = 7500 (1 – 0,064)
Vd = 7500 . 0,936
Vd = 7020
8) Resposta “2,5 meses”.
Solução:
i = 8% a.m.
d = 1.000,00 – 800,00 = 200,00
T = 800,00
200,00 = 0,08 . 1000,00 . x
80x = 200,00
200,00
𝑥=
= 2,5 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑜𝑢 2 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑒 𝑚𝑒𝑖𝑜.
80
9) Resposta “1.400”.
Solução:
n = 75 dias = 2,5 meses
i = 3,75% a.m. = 0,0375 a.m.
Vd = 1.268,75
Vn =
Vd =
D = Vn.i.n
D = Vn . 0,0375 . 2,5
D = 0,09375Vn
Vn = Vd + D
Vn = 1.268,75 + 0,09375Vn
Vn - 0,09375Vn = 1.268,75
0,90625Vn = 1.268,75
Vn = 1.268,75/0,90625
Vn = 1.400,00
10) Solução: Observação: a taxa é de 2% a.m.
Valor do carro à vista = 12.600
Plano de pagamento a prazo:
n = 4 quadrimestres
i = 2% a.m. = (1,024 - 1) a.q. = 0,08243216 a.q.
PMT = 3.800
PV = ?
PV = 3.800/1,08242 + 3.800/1,082422 + 3.800/1,082423 + 3.800/1,082424
PV = 3510,652057 + 3243,336281 + 2996,37505 + 2768,218482
298
PV = 12.518,58
Resposta:
b) Como 12.518,58 < 12.600,00, não é conveniente descontar a duplicata e comprar o
carro à vista. Melhor é comprar a prazo, pois o valor presente do carro é menor.
c) Diferença, em reais, entre as opções: 12.600,00 - 12.518,58 = 81,42
299
