Vantagens dos Filtros Ativos

NOTAS DE ÁULA 02
FILTROS ATIVOS
Estas notas de aula não tem finalidade comercial, se destinam apenas a
reduzir o trabalho de cópia do aluno durante as aulas (indica-se manter
em cada aula, cada aluno a sua cópia)
É importante perceber que este material NÃO esgota o que o aluno deve
ler durante o curso, nem mesmo substitui a participação em sala de aula,
devendo ser encarado apenas como material de apoio.
Uma lista de exercícios deverá ser entregue ao representante de sala para
ser distribuída a todos os alunos, salientando que os exercícios das
provas poderão ser baseados nos mesmos, mas não obrigatoriamente os
mesmos.
Referências:
NOTAS DE AULA, REV 2.0 – UVA 2009.1 – FLÁVIO ALENCAR DO RÊGO
BARROS
Circuitos Elétricos – James W. Nilson/ Susan A. Riedel Sexta edição LTC
1
2. FILTROS ATIVOS
2.1 INTRODUÇÃO
Filtros são essenciais para rádio, televisão, voz e comunicação de dados,
telefonia, etc. As mais diversas áreas são viabilizadas em cima de conceitos de
filtros: música eletrônica, terapia de voz, telemetria, pesquisa “brainwave”,
eletrônica biomédica, geofísica, instrumentação, etc.
Os tradicionais filtros baseados em L-C são os filtros passivos. Com os CIs
AMP-OPs atuais se consegue circuitos confiáveis e fáceis de usar e projetar.
Vantagens dos Filtros Ativos
1. BAIXO CUSTO – particularmente para baixas freqüências onde indutores
são caros e grandes demais.
2. ISOLAÇÃO – a maioria dos filtros alta Zin e baixa Zout de modo que sua
resposta é quase independente das impedâncias de fonte e de carga.
3. CASCATEABILIDADE – problemas complexos de filtragem podem ser
divididos em seções simples que combinadas dão o resultado desejado.
4. GANHO – filtros ativos podem fornecer facilmente ganhos e atenuações.
5. SINTONIZAÇÃO – filtros ativos alcançam uma larga faixa de freqüência,
por exemplo na faixa 1:1000, coisa muito acima do que pode fazer
circuitos passivos. A sintonização pode ser feita manualmente,
eletronicamente ou por controle de tensão.
6. PEQUENO TAMANHO e PESO – particularmente para baixas
freqüências.
7.
NENHUMA SENSIBILIDADE PARA CAMPOS
acoplamento e blindagem são inexistentes.
–
problemas de
8. FACILIDADES DE PROJETO – quando comparado com métodos
tradicionais passivos.
Desvantagens dos Filtros Ativos
1. FONTE DE ALIMENTAÇÃO – sempre necessária para polarização dos
CIs AMP OP.
2. LIMITES DE SINAL – O AMP OP usado define os limites, baseado no
seu:
• Ruido de entrada;
• Range dinâmico;
• Resposta em alta freqüência;
• Habilidade para manipular grande sinal.
2
Range de Freqüências e Seletividade (Q)
Para algumas aplicações o limite mais baixo de freqüências vai de 0.1 a 0.01
Hz. Nesta faixa soluções com L e C são impraticáveis. Com filtro ativo não! O
limite superior para filtros ativos chega a 1 MHz. Acima deste limite os filtros LC passam a ser competitivos, mas mesmo nesta faixa (p. ex., microondas)
filtros ativos são usados.
Valor típico convencional: Q = 100. Caso se queira por exemplo, Q = 500, usase filtro ativo.
3
2.2 Tipos de Filtro
Passa-baixas ideal
Figura 2.1
4
2.3 Filtros Ativos Passa-Baixas e Passa-Altas de Primeira Ordem
Passa Baixas
Considerando o circuito da figura 2.2, quando a freqüência da fonte varia,
apenas a impedância do capacitor varia.
Em freqüências muito baixas, o capacitor se comporta como um circuito aberto
e o amplificador operacional opera com um ganho de –R2/R1.
Em freqüências muito altas , o capacitor se comporta como um curto circuito e
a tensão de saída do amplificador operacional é zero.
Figura 2.2
Como podemos observar o circuito funciona como um filtro passa baixas com
um ganho –R2/R1 para os sinais no interior da banda de passagem.
A função transferência no domínio da freqüência é dada por:
H s  
VO s 
Vi s 
Como a impedância de entrada (Zi) é igual a R1 e a impedância de
realimentação (Zf) é igual R2//ZC temos que:
5
 1 
 R2 //  
Z
 sC    K wc
H s    f 
Zi
R1
s  wc
Onde
K=R2/R1
e
wC=1/R2.C
Notamos que o ganho de banda de passagem ,K, é dado pela razão R 2/R1. O
AMP-OP permite então que o ganho e a freqüência de corte sejam
especificados de forma independente.
Exemplo
Calcule os valores de C e R2 no circuito da figura 2.2 para que, com R1=1Ω, o
filtro passa baixas resultante tenha um ganho de 1 na banda de passagem e
uma freqüência de corte de 1rad/s. Determine a função de transferência do
filtro e use a mesma para traçar um gráfico de amplitude de Bode.
Solução
R2=KR1
Como R1=1Ω, K=1 temos que R2=1
Cálculo do valor do capacitor C:
C=1/R2wc
C=1/1.1= 1F
A função transferência do circuito é dada por:
 1 
 R2 //  
Z
 sC    K wc
H s    f 
Zi
R1
s  wc
=
1
s 1
6
Filtro Passa - Altas
O circuito da figura 2.3 é um filtro passa altas de primeira ordem, com
impedância de entrada R1em série com C e a impedância de realimentação é
igual a R2.
Figura 2. 3
7
A função transferência do circuito é:
H (s) 
Zf
Zi

 R2
s
 K
1
s  wc
R1 
sC
Onde K=R2/R1
e wc=1/R1C
A figura 2.4 mostra o gráfico de amplitude de Bode de um filtro passa altas.
Figura 2.4
Exemplo
Calcule os valores de R1 e R2 par que a freqüência seja a especificada no
diagrama, supondo que o valor do capacitor é 0,1μF. Se um resistor de carga
de 10KΩ for ligado a esse filtro, como será afetada a curva de amplitude?
Podemos observar no gráfico que o ganho de passagem é 20dB e portanto
K=10 ( 20dB=20logK).
O ponto de 3dB fica em wc=500rad/s.
Função transferência fica então:
8
H ( s) 
 10
s  500
Cálculo de R1 e R2
10=R2/R1
500=1/R1C
Substituindo o valor de C=0,1μF obteremos:
R1=20KΩ
R2=200KΩ
Como estamos considerando que o amplificador é ideal a inclusão de um
resistor de carga, qualquer que seja o seu valor não tem efeito algum sobre o
comportamento do circuito.
2.4 Mudança de Escala)
No projeto e análise de filtros passivos e ativos, é conveniente trabalhar com
valores como 1Ω, , 1 H e 1 F. Embora estes valores sejam pouco realistas,
simplificam grandemente os cálculos. Depois de realizar todos os cálculos
usando valores convenientes de R, L e C, o projetista pode converter estes
valores convenientes em valores realistas usando um processo conhecido
como mudança de escala.
Existem dois tipos de escala: a escala de amplitude e a escala de freqüência.
Para mudar a escala de amplitude de um circuito, multiplicamos a impedância
para uma dada freqüência por um fator de escala km. Isto equivale a multiplicar os
valores de todos os resistores e indutores por km e os valores de todos os capacitares
por 1/km- Representando os valores iniciais dos componentes por R, L e C e os
valores dos mesmos componentes depois da mudança de escala por R', L' e
C', temos:
R' = km R, L' = km L, e C'=C/km
Observe que km é por definição um número real positivo que pode ser maior ou menor
que 1.
Para mudar a escala de freqüência de um circuito, mudamos os parâmetros do
circuito de tal forma que em uma nova freqüência as impedâncias de todos os
elementos sejam as mesmas que na freqüência antiga. Como a impedância de
um resistor não depende da freqüência, os valores dos resistores não são
afetados por uma mudança de escala de freqüência. Chamando de kf o fator de
9
escala de freqüência, os valores dos indutores e dos capacitores devem ser
divididos por l/kf' Assim, no caso de mudança de escala de freqüência, temos:
R' = R, L' = L/kf, e C' = C/kf.
O fator de escala de freqüência kf também é um número positivo que pode ser maior
ou menor que a unidade.
É possível mudar tanto a escala de amplitude como a de freqüência de um
circuito. Neste caso, os valores dos componentes depois das duas mudanças
de escala são dados
a)
R'=km R,
L' 
km
L,
kf
C' 
1
C
kmk f
USO DE MUDANÇAS DE ESCALA NO PROJETO DE FILTROS ATIVOS
Para aplicar o método da mudança de escala ao projeto de filtros ativos,
fazemos a freqüência de corte wc igual a 1 rad/s: se estamos trabalhando com
filtros passa-baixas ou passa-altas fazemos a freqüência central wo igual a 1
rad/s (se estamos trabalhando com filtros de banda de passagem ou de banda
de rejeição).
Em seguida, escolhemos um capacitor de 1 F e calcula- os valores dos
resistores necessários para que o ganho na passante seja o desejado.
Finalmente, usamos mudanças de escala para obter valores mais realistas
para os componentes e o valor desejado da freqüência de corte ou freqüência
central.
Exemplo a a seguir ilustra o processo de mudança de escala em geral e o
Exemplo b ilustra o uso de mudanças de escala para .projetar um filtro passabaixas
a) EXEMPLO
-O
circuito RLC em série da Fig. 2.5 tem uma freqüência central
1 / LC  1rad / s , uma banda passante R/L = 1 rad/s e um fator de qualidade
igual a 1. Use mudanças de escala para determinar novos valores de R e L tais
que o circuito apresente o o fator de qualidade com uma freqüência central de
500 Hz. Suponha que C = 2 μF.
10
Figura 2.5
Solução
O primeiro passo consiste em determinar um fator de escala de freqüência
capaz de fazer com que a freqüência central aumente de 1 rad/s para 500 Hz.
Temos
w
2 (500)
kf  0 
 3141,59
w0
1
'
Agora usamos as equações dadas acima para determinar um fator
de escala de Amplitude que, juntamente com o fator de escala de
freqüência já calculado, leve a uma capacitância de 2 μF:
km 
1 C
1

 159,155
'
kf C
3141,59.2 x10 6
Para determinar os novos valores de R e L:
R' = kmR = 159,155Ω
L' = kmL = 50,66 mH
Com estes valores de R, L e C, a freqüência central do circuito RLC é
1 / LC  3141,61rad / s ou 500 Hz, e a banda passante é R/L= 3141,61 rad/s ou
500 Hz; assim, o fator de qualidade continua a ser igual a 1.
b) EXEMPLO
Use o filtro protótipo passa-baixas ativo da figura 2.3 e mudanças de escala de
amplitude e freqüência para projetar um filtro com um ganho de 5 e uma
freqüência de corte de 1000 Hz, supondo que C = 0,01 μF. Construa um gráfico
de Bode do módulo da função de transferência do filtro.
11
SOLUÇÃO
Para começar, usamos uma mudança de escala de freqüência para obter uma
freqüência de corte de 1000 Hz:
kf =w’c/wc = 2π(1000)/1 = 6283,185,
Em seguida, calculamos o fator de escala de amplitude que, juntamente com kf
= 6283,185, leve a uma capacitância de 0,01μF:
km 
1 C
1

 15.915,5
'
kf C
6283,185x10 8
Como os resistores são afetados apenas pela mudança de escala de
amplitude, temos:
12
R’1 = R’2 = kmR = (15.915,5)(1) = 15.915,5 Ω.
Finalmente, precisamos atender à especificação do ganho na banda passante.
À primeira vista, seria indiferente ajustarmos o valor de R1 ou de R2, já que
K = R2/R1. Entretanto, se ajustarmos R2, mudaremos a freqüência de corte, já
que wc=1/R2C.
Assim devemos ajustar o valor de R1, o que altera apenas o valor do ganho de
banda de passagem:
R1=R2/K=15.915,5/5=3183,1 Ω
Os valores finais dos componentes são:
R1=3183,1 Ω
R2=15915,5 Ω
C=0,01μF
2.5 Filtros Ativos de Banda de Passagem e de Banda de Rejeição
a) Banda de Passagem
Vamos agora discutir o projeto e análise de filtros ativos de banda de
passagem e de banda de rejeição baseados em amplificadores operacionais.
Na verdade, existem vários circuitos que apresentam este tipo de
comportamento. Um deles, que vamos examinar aqui, é inspirado pelo gráfico
de Bode da Fig. 2.6. Podemos ver no gráfico que o filtro de banda de
passagem pode ser dividido em três componentes:
1. Um filtro passa-baixas de ganho unitário cuja freqüência de corte é Wc2, a
maior das duas freqüências de corte;
2. Um filtro passa-altas de ganho unitário cuja freqüência de corte é Wc1 a
menor das freqüências de corte;
3. Um amplificador que fornece o ganho desejado dentro da banda de
passagem.
13
Figura 2.6
Estes três componentes devem ser ligados em cascata. Como eles se
combinam aditivamente no gráfico de Bode, irão se combinar
multiplicativamente no domínio da freqüência.
É importante observar que este método para projetar um filtro de banda de
passagem supõe implicitamente que a freqüência de corte do filtro passa-altas
(wc1) é menor do que a freqüência de corte do filtro passa-baixas (wc2).. O filtro
resultante é chamado de filtro de banda larga, já que deixa passar uma faixa
relativamente larga de freqüências. Formalmente, um filtro é definido como
sendo de banda larga quando as duas freqüências de corte satisfazem a
equação
Como podemos observar na figura 2.6, o ganho do filtro passa-altas é unitário
na freqüência de corte do filtro passa baixas, e o ganho do filtro passa-baixas é
unitário na freqüência de corte do filtro passa-altas..
14
Assim, o filtro de banda de passagem tem as freqüências de determinadas
pelos filtros passa-baixas e passa-altas. Podemos construir um filtro de banda
de passagem de banda ligando em cascata um filtro passa-baixas ativo, um
filtro passa-altas ativo e um amplificador-inversor; o resultado aparece na
Fig.2.7(a), que é uma forma de ilustração denominada diagrama de blocos.
Cada bloco apresenta um componente ou sub-circuito, e a saída de cada bloco
é aplicada à entrada do bloco seguinte no sentido indicado peIa seta. Como
cada circuito da cascata é um amplificador operacional, e como estamos
supondo que todos os amplificadores operacionais são ideais, cada circuito
pode ser projetado separadamente, sem que haja necessidade de levar em
conta a influência dos outros circuitos. Assim, o projeto do filtro de passagem
se reduz ao projeto de um filtro passa-baixas de ganho unitário, um filtro passaaltas de ganho unitário e um amplificador-inversor de ganho conhecido, três
projetos relativamente simples.
A função de transferência do filtro de banda de passagem construído desta
forma é o produto das funções de transferência dos três componentes:
Figura 2.7
15
Para converter a equação acima para a forma da função de transferência
padrão de um filtro de banda de passagem, supomos que:
e que
A função transferência se torna:
Os valores de RL e CL do filtro passa-baixas devem ser tais que a freqüência de
corte superior, tenha wc2 tenha o valor desejado:
Os valores de RH e CH do filtro passa-altas devem ser tais que a freqüência de
corte inferior, wcl tenha o valor desejado:
16
Agora devemos calcular os valores de Ri e Rf do amplificador- inversor para
que o ganho do filtro na banda de passagem seja o desejado. Para isso,
calculamos o módulo da função de transferência do filtro para uma freqüência
igual à freqüência central:
Como já foi visto em aulas anteriores o ganho do amplificador inversor é igual a
Rf/Ri.
Exercício :
Projete um filtro ativo de banda de passagem para um equalizador que
apresente um ganho igual a 2 na faixa de freqüências entre 100 e 10.000 Hz.
Use capacitores de 0,2 /μF.
Considerar Ri=1KΩ
Resposta:
17
b) Banda de Rejeição
O amplificador fornece o ganho desejado fora da banda de rejeição.
A diferença mais importante é que estes três componentes não podem ser
ligados em cascata, já que não se combinam aditivamente no gráfico de Bode.
A maneira correta de montar o circuito é ligar os dois filtros em paralelo e ligar
a saída comum à entrada do amplificador, como mostra a Fig. 2.8. Mais uma
vez, vamos supor que as duas freqüências de corte satisfazem à condição Wc2
> > Wc1 que caracteriza um filtro de banda larga. Nesse caso, os dois filtros
em paralelo podem ser projetados separadamente. A função de transferência
do circuito resultante é a soma das funções de transferência do filtro passabaixas e do filtro passa-altas. De acordo com a Fig. 2.8 (b),
De acordo com a figura 2.8(b) temos:
18
Usando o mesmo raciocínio que para o filtro de banda de passagem,
chegamos à conclusão de que as duas freqüências de corte associadas à
função de transferência da equação acima são wc1 e wc2, apenas se wc2>>wc1.
Neste caso as freqüências de corte são dada pelas equações:
wc1 
1
RL C L
wc 2 
1
RH C H
Fora da banda de rejeição (quando s
função de transferência é Rf/Ri;. Assim,
0 e quando S
- ∞ o ganho da
Como no caso do filtro ativo de banda de passagem, temos seis incógnitas e
três equações. Normalmente, escolhemos valores comerciais para os
capacitores CL e CH. Em seguida, usamos as duas equações dadas logo
acima para calcular RL e RH de tal forma que as freqüências de corte tenham
os valores desejados. Finalmente, escolhemos um valor para Rf ou Rj e
usamos a relação dada para calcular o valor da outra resistência.
Observe que quando a freqüência é igual à freqüência central
w0  wc1 wc 2
o módulo da função de transferência, da função de transferência é dado por:
19
Portanto o módulo da função de transferência na freqüência central é muito
menor que o módulo da função de transferência fora da banda de rejeição.
Assim, o filtro de banda de rejeição, como seria de se esperar, atenua
fortemente as freqüências próximas da freqüência central.
O Exemplo abaixo ilustra o projeto de um filtro ativo de banda
20
Exemplo
Projete um filtro ativo de banda de rejeição baseado no circuito da Fig. 2.8(b).
O gráfico de amplitude de Bode do filtro aparece na Fig. 2.9. Use capacitores
de 0,5 μF.
Figura 2.9
SOLUÇÃO
Observando o gráfico de Bode da Fig. 2.9, vemos que as freqüências de corte
do filtro de banda de rejeição são 100 rad/s e 2000 rad/s e que o ganho fora da
banda de rejeição é igual a 3.
Como wc2=20wc1, a condição wc2> >wc1 é satisfeita. Começamos com o filtro
protótipo passa-baixas e usamos mudança de escala para atender às
especificações da freqüência de corte e do valor do capacitor. Com um fator de
escala de freqüência de corte igual a 100, deslocamos a freqüência de corte de
1 rad/s para100 rad/s e mudamos o valor do capacitor de 1 F para 0,01F com
um fator de escala de amplitude km igual a 20.000, mudamos o valor do
capacitor de 0,01 F para 0,5 mF. Para estes fatores de escala, os componentes
do filtro passa-baixas assumem os seguintes valores:
21
RL=20KΩ
CL=0,5μF
A freqüência de corte do filtro passa baixas é, portanto,
wc1 
1
1

 100rad / s
RL C L 20 x10 3 x0,5 x10 6
Usamos a mesma abordagem para projetar o filtro passa baixas a partir do
protótipo correspondente. Neste caso, o fator de escala de freqüência é kf =
2000 e o fator de escala de amplitude é km = 1000. Para estes fatores de
escala, os componentes filtro passa-altas assumem os seguintes valores:
RH = I kΩ,
CH =0,5 μF
Finalmente, como as freqüências de corte estão muito afastadas, podemos
usar a razão Rf/Ri para estabelecer o ganho especificado de 3 fora da banda
de rejeição.
Vamos fazer Ri = 1KΩ já que estamos usando uma resistência com o mesmo
valor do filtro passa-altas. Nesse caso, Rf = 3 kΩ e K = Rf/Ri =3000/1000 = 3. O
circuito completo do filtro ativo de banda de rejeição aparece na Fig. 2.10.
Figura 2.10
22
EXERCÍCIOS
Projete um filtro ativo de banda de passagem de ganho unitário com uma
freqüência central de 200 Hz e uma banda passante de 1000 Hz. Suponha que
todos os capacitores são de 5 μF.Especifique fc1,fc2, RL e RH.
RESPOSTA:fc1 = 38,52 Hz;fc2 = 1038,52 Hz; RL = 30,65 Ω;
RH=826,43 Ω.
Projete um filtro ativo de banda de rejeição com uma freqüência central de
1000 rad/s, uma banda passante de 4000 rad/s e um ganho de 6 no interior da
banda de passagem.
Use capacitores de 0,2 μFe especifique os valores de todos os resistores.
RESPOSTA: RL = 21,18 kΩ,RH = 1,18 kΩ e valores de Ri e Rf
tais que Rf I Ri = 6.
23
2.6 FILTROS ATIVOS DE ORDEM SUPERIOR
Para se obter filtros com uma transição mais acentuada utilizam-se filtros
idênticos em cascata.
Na figura 2.11 mostra os gráficos de amplitude de Bode de um filtro passabaixas e de dois, três e quatro filtros passa-baixas ligados em cascata.
Observando os gráficos, podemos ver que quanto maior
o número de circuitos ligados em cascata, mais abrupta é a transição da banda
de passagem para a banda de rejeição. De acordo com as regras usadas para
construir os gráficos de Bode, no caso de um único filtro o decaimento do
ganho na faixa de rejeição é de 20 dB/década. Como os circuitos em cascata
são aditivos em um gráfico de amplitude de Bode, no caso de dois filtros
idênticos ligados em cascata o decaimento do ganho é de 20 + 20 = 40
dB/década; no caso de três filtros, o decaimento é de 60 dB/década; no caso
de quatro filtros, é de 80 dB/década.
No caso mais geral, o decaimento do ganho na banda de rejeição é de 20n
dB/década, onde n é o número de filtros passa-baixas ligados em cascata. Este
tipo de filtro composto aparece na Fig.2.12. É fácil determinar a função de
transferência de um filtro como o da Fig.2.12. Basta multiplicar as funções de
transferência dos elementos individuais:
Figura 2.12
24
n
  1   1 
  1  (1)
H ( s)  

..........

n
s

1
s

1
s

1




 ( s  1)
De acordo com a equação dada acima, n filtros passa-baixas ligados em
cascata dão origem a filtro de ordem n cujo ganho decai de 20n dB/década na
faixa de rejeição
Observando a Fig. 2.12 com mais atenção, podemos ver que a freqüência de
corte de uma série de filtros ligados não é igual à de um destes filtros
considerado isoladamente.
A freqüência de corte de corte será dada por:
wcn 
n
2 1
O módulo da função de transferência é dado por:
H ( jw) 
1
 (w / w
2
cn )  1

n
Figura 2.13
25
2.7 FILTRO DE BUTTERWORTH
Os filtros em cascatas apresentados no item anterior apresentam uma redução
do ganho nas proximidades da freqüência de corte, um dos filtros que
apresenta uma redução menor é o filtro de Butterworth.
O módulo da função de transferência de um filtro de Butterworth passa baixas é
dado por:
H ( jw) 
K PB
1  ( w / wc ) 2 n
KPB é ganho do filtro passa baixas quando a freqüência w é nula, wc é a
freqüência de corte e n é a ordem do filtro.
Quando KPB=1 é chamado de ganho unitário
Considerações:
a) A freqüência de corte é wc rad/s seja qual for o valor de n
b) Para valores altos de n, o denominador é praticamente igual a KPB para
w<wc
A figura 2.14 nos mostra diversas respostas obtidas a partir da equação
dada acima fazendo KPB=1, e n=2, 4, 6 e 8
Figura 2.14
26
Se fizermos w>>wc, podemos escrever a seguinte expressão aproximada:
w 
H ( jw)  K PB  c 
 w
n
Em decibéis termos neste caso:
w 
H ( jw)  20 log K PB  20n log  
 wc 
Chamamos de taxa de atenuação (TA) o valor:
TA= -20nlog(w/wc)
ou ·seja, um filtro Butterworth de primeira ordem tem uma taxa de atenuação
de 20dB/década, um de segunda ordem tem 4OdB/década, um de terceira tem
60dB/década, etc. Estas atenuações são relativas ao valor de ganho máximo
dado por 20logKPB.
OS CIRCUITOS DOS FILTROS DE BUTTERWORTH
A tabela a seguir nos fornece os polinômios de Butterworth até a oitava ordem.
(desenvolvimento matemático da expressão da função de transferência dada
acima).
Consultando a Tabela, temos que projetar um circuito que possua a função de
transferência desejada. Observe a forma dos polinômios de Butterworth da
Tabela.Eles são o produto de fatores de primeira e segunda ordem; assim,
podemos construir um circuito cuja função de transferência possui no
denominador um polinômio de Butterworth ligando dois ou mais amplificadores
operacionais em cascata.
27
A Fig. 2.15 mostra o diagrama de blocos de uma destas associações em
cascata, usada para gerar um polinômio de Butterworth de quinta ordem.
Figura 2.15
Exemplos de Circuitos
Aplicando análise Nodal no domínio das freqüências e resolvendo o circuito
chegamos a seguinte equação da função transferência:
28
H (s) 
1
s  b1 s  1
2
Escolhemos os valores de capacitores tais que:
b1 =2/C2
e
1=1/C1C2
A freqüência de corte wc=1rad/s e ganho unitário no interior da banda,
utilizando uma mudança de escala de freqüência é possível calcular novos
valores de capacitores para uma freq6Uencia desejada.
Uma mudança de escala de amplitude permite obter valores mais realistas para
os componentes. Caso se deseje um ganho diferente de 1 no interior da
passagem, basta ligar um circuito amplificador-inversor em cascata com os
outros circuitos.
Exemplo de um projeto de um filtro de Butterworth de quarta ordem com
ganho diferente de 1.
Projete um filtro de Butterworth passa-baixas de quarta ordem com uma
freqüência de corte de 500 Hz e um ganho máximo de 10. Use o maior número
possível de resistores de 1 kΩ.
Solução
De acordo com a Tabela dada anteriormente, o polinômio de Butterworth de
Quarta ordem é:
(S2+ 0,765s + 1)(s2 + 1,848s + 1).
Necessitamos portanto de dois filtros de segunda ordem para
Obter a função de transferência de quarta ordem, mais um amplificadorinversor para que o ganho na banda passante seja igual a 10. O circuito
completo aparece na Fig. 2.17.
Figura 2.17
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Vamos implementar primeiro o estágio cuja função de transferência contém o
polinômio (S2 + 0,7 65s + 1).
De acordo com o visto anteriormente:
b1 =2/C2
e
1=1/C1C2
Calculamos
C1=2,61F
C2=0,38 F
Em seguida, vamos implementar o estágio cuja função de transferência
contém o polinômio (S2 + 1,848s + 1). De acordo com as mesmas equações:
C3 = 1,08 F,
C4 = 0,924 F.
Os valores precedentes de Cj, C2, C3 e C4 são para obter um filtro de
Butterworth de quarta ordem com uma freqüência de corte de 1 rad/s. Usando
um fator de escala de freqüência kf = 3141,6, mudamos a freqüência para 500
Hz; usando um fator de escala de amplitude km = 1000, podemos utilizar
resistores de 1 kΩ em vez de resistores de 1Ω. Os novos valores dos
componentes são os seguintes:
R = 1 kΩ,
CI = 831 nF,
C2 = 121 nF,
C3 = 344 nF,
C4 =294nF.
Finalmente, precisamos especificar os valores dos resistores do amplificadorinversor para que o ganho deste estágio seja 10.
Vamos fazer
R1= 1 kΩ; nesse caso,
R f = 10R1 = 10 k Ω;
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