COLÉGIO ASCENSO FERREIRA 2014

COLÉGIO ASCENSO FERREIRA 2014 -7º ANO B
RESPOSTAS E COMENTÁRIOS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS nº 02 DE
CONTEXTO E CONTA SECA, ENVOLVENDO UMA OU MAIS INCÓGNITAS
Professor: Francisco Maciel – [email protected]
1º) Um número tem 6 unidades a mais que o outro. A soma deles é 150.
Quais são esses números?
Resposta: X = 72
Resolução e comentário:
O número menor é
X
O número maior é
X 6
Logo, a equação fica assim:
X  ( X  6)  150
Eliminando os parênteses ficamos com:
X  X  6  150
Efetuando as operações indicadas ficamos com:
2 X  6  150
Aplicando os princípios de resolução temos:
2 X  150  6
2 X  144
X  144
2
X  72
1
2º) Um número tem 8 unidades a mais que o outro. A soma deles é 54. Quais
são esses números?
Resposta: 23 e 31
Resolução e comentário
Considerando o número menor = X ,  o número maior será = X  8 .
X  ( X  8)  54
X  X  8  54
2 X  8  54
2 X  54  8
2 X  46
X  46
2
X  23
2
3º) Lúcia é 5 anos mais velha que Cláudia. A soma da idade de ambas é 43
anos. Qual é a idade de Cláudia?
Resposta: 19 anos.
Resolução e comentário
Considerando a idade de Cláudia = X ,  a idade de Lúcia é X  5
E a equação fica assim:
X  ( X  5)  43
X  X  5  43
2 X  5  43
2 X  43  5
2 X  38
X  38
2
X  19
3
4º) Quando Pedro nasceu, Guilherme tinha 3 anos. Atualmente a soma das
idades é 23 anos. Qual a idade de Guilherme?
Resposta: 13 anos.
Resolução e comentário
Lembre-se que, neste caso, Guilherme tem sempre 3 anos mais que Pedro.
Assim: quando Pedro tem X anos, Guilherme tem X  3 anos.
X  ( X  3)  23
X  X  3  23
2 X  3  23
2 X  23  3
2 X  20
X  20
2
X  10
Como Guilherme é 3 anos mais velho que Pedro, ele tem 10+3 = 13 anos.
4
5º) O perímetro de um retângulo mede 92 cm. Quais são as suas medidas,
sabendo que o comprimento tem 8 cm mais que a largura?
Resposta: Largura = 19cm e Comprimento = 27cm.
Resolução e comentário
X + 8 Comprimento
X
X Largura
X+8
X  X  ( X  8)  ( X  8)  92
X  X  X  8  X  8  92
4 X  16  92
4 X  92  16
4 X  76
X  76
4
X  19 largura
X  8  19  8  27 comprimento
5
6º) César tem 15 lápis a mais que Osmar, e José tem 12 lápis a menos que
Osmar. O total de lápis é 63. Quantos lápis tem Osmar?
Resposta: 20 lápis.
Resolução e comentário
Osmar = X
César = X + 15
José = X – 12
( X  15)  X  ( X  12)  63
X  15  X  X  12  63
3X  3  63
3X  63  3
3X  60
X  60
3
X  20
6
7º) A soma de dois números consecutivos é 31. Quais são esses números?
Resposta: 15 e 16
Resolução e comentário
Número procurado
X
Número consecutivo
X 1
Equação:
X  ( X  1)  31
Resolução:
X  X  1 31
2 X  1  31
2 X  31  1
2 X  30
X  30
2
X  15 e X  1  16
7
8º) A soma de dois números consecutivos é 145. Quais são esses números?
Resposta: 72 e 73.
Resolução e comentário
Considerando um dos números = X, o outro número será X+1
E a equação fica assim:
X  ( X  1)  145
Resolvendo a equação temos:
X  X  1  145
2 X  1  145
2 X  145  1
2 X  144
144
2
X  72
X 
X  1  72  1  73
8
9º) A soma de dois números consecutivos é -63. Quais são esses números?
Resposta: -32 e -31.
Resolução e comentário
Considerando um dos números = X, o seu consecutivo é X+1,
E a equação fica assim:
X  ( X  1)  63
Resolvendo a equação temos:
X  X  1  63
2 X  1  63
2 X  63  1
2 X  64
 64
2
X  32
X 
X  1  32  1  31
9
10º) A soma de três números consecutivos é 48. Quais são esses números?
Resposta: 15,16 e 17.
Resolução e comentário
Considerando o primeiro número = X, o segundo será = X + 1 e o terceiro será = X + 2
E a equação fica assim:
X  ( X  1)  ( X  2)  48
Resolvendo a equação temos:
X  X  1  X  2  48
3 X  3  48
3 X  48  3
3 X  45
45
3
X  15
X 
X  1  16
X  2  17
10
11º) A soma de dois números ímpares consecutivos é 344. Quais são esses
números?
Resposta: 171 e 173.
Resolução e comentário
Considerando o primeiro número impar = X, o segundo será = X+2.
E a equação fica assim:
X  ( X  2)  344
Resolvendo a equação temos:
X  X  2  344
2 X  2  344
2 X  344  2
2 X  342
342
2
X  171
X 
X  2  173
11
12º) A soma de três números pares consecutivos é 318. Quais são esses
números?
Resposta: 104, 106 e 108.
Resolução e comentário
Considerando o primeiro número par = X, o segundo será X+2 e o terceiro será X+4.
E a equação fica assim:
X  ( X  2)  ( X  4)  318
Resolvendo a equação temos:
X  X  2  X  4  318
3 X  6  318
3 X  318  6
3 X  312
312
3
X  104
X 
X  2  106
X  4  108
12
13º) A soma de um número com o dobro do consecutivo dele dá 206. Qual o
número?
Resposta: 68
Resolução e comentário
Considerando o número procurado = X,
O seu consecutivo será = X+1,
E dobro do seu consecutivo será 2 ( X+1 )
E a equação fica assim:
X  2( X  1)  206
Aplicando a propriedade distributiva no produto indicado 2 ( X+1 ):
X  2 X  2 1  206
Continuando a resolução:
3 X  2  206
3 X  206  2
3 X  204
204
3
X  68
X 
13
14º) O triplo de um número menos o seu consecutivo resulta 139. Qual é esse
número?
Resposta: 70.
Resolução e comentário
Considerando o número procurado = X;
O seu consecutivo será = X+1;
E a equação fica assim:
3 X  ( X  1)  139
Aplicando a distriibutividade para o produto = – ( X + 1 ) temos:
3X  X  1  139
Continuando a resolução:
2 X  1  139
2 X  139  1
2 X  140
140
2
X  70
X 
14
15º) A soma de quatro números inteiros consecutivos é 186. Quais são esses
números?
Resposta: 45 , 46 , 47 e 48.
Resolução e comentário
Considerando o primeiro número = X, o segundo será = X+1, o terceiro = X+2 e o quarto = X+3;
E a equação fica assim:
X  ( X  1)  ( X  2)  ( X  3)  186
Resolvendo-a, temos:
X  X  1  X  2  X  3  186
4 X  6  186
4 X  186  6
4 X  180
180
4
X  45
X 
X  1  46
X  2  47
X  3  48
15
16º) Helena tem 3 anos a mais que Ana. A soma da idade de ambas é 57
anos. Determine a idade de cada uma.
Resposta: Helena = 30 anos e Ana = 27 anos.
Resolução e comentário
Considerando Ana = X anos e Helena = X + 3 anos
A equação fica:
X  ( X  3)  57
Resolvendo-a, temos:
X  X  3  57
2 X  3  57
2 X  57  3
2 X  54
54
2
X  27
X 
X  3  30
16
17º) Se eu tivesse mais 7 anos estaria com o triplo da idade do meu irmão
que tem 12 anos. Qual é a minha idade?
Resposta: 29 anos.
Resolução e comentário
Considerando a minha idade = X, a equação fica assim:
X  7  3 12
Resolvendo-a, temos:
X  7  36
X  36  7
X  29
17
18º) A soma das idades de dois irmãos é 30 anos. O mais novo tem 2/3 da
idade do mais velho. Qual a idade do mais novo?
Resposta: 12 anos.
Resolução e comentário
Considerando a idade do mais velho = X, o mais novo é =
2X
.
3
E a equação fica assim:
X
2X
 30
3
Resolvendo-a, temos:
X 2 X 30


1
3
1
3 X 2 X 90


3
3
3
3 X  2 X  90
5 X  90
90
5
X  18 Idade do mais velho
X 
2 X 2  18 36


 12 Idade do mais novo
3
3
3
18
19º) Numa partida de basquete as duas equipes fizeram um total de 143
pontos. A equipe “A” fez o dobro de pontos, menos 7, que a equipe “B”.
Quantos pontos a equipe “A” marcou?
Resposta: 93 pontos.
Resolução e comentário
Considerando a equipe “B” = X, a equipe “A” será = 2X – 7;
E a equação fica assim:
X  (2 X  7)  143
Resolvendo a equação, ficamos com:
X  2 X  7  143
3 X  7  143
3 X  143  7
3 X  150
150
3
X  50
X 
A equipe “B” marcou 50 pontos;
A equipe “A” marcou 2 X  7  2  50  7  100  7  93 pontos.
19
20º) Repartir R$ 175,00 entre 3 pessoas, de modo que a segunda receba a
metade da primeira e a terceira receba o dobro da primeira.
Resposta: R$ 50,00; R$ 25,00 e R$ 100,00.
Resolução e comentário
Considerando a primeira = X,
A segunda será a metade da primeira, portanto: = X ;
2
E a terceira será o dobro da primeira, portanto: = 2 X ;
Construindo a equação, temos:
X
X
 2 X  175
2
Resolvendo a equação, ficamos com:
X X 2 X 175
 

1 2
1
1
2 X X 4 X 350
 

2
2
2
2
2 X  X  4 X  350
7 X  350
X  350
7
X  50
Como a primeira pessoa foi considerada igual a X, ela recebe R$ 50,00.
A segunda pessoa ficou com a metade da primeira, logo receberá a metade da primeira que é R$ 25,00.
A terceira ficou com o dobro da primeira, logo receberá R$ 100,00.
20
21º) O perímetro de um triângulo é 44 cm. Um lado mede o dobro da base e
o outro lado é igual à medida da base mais 4 cm. Quanto mede cada lado?
Resposta: 10 cm, 14 cm e 20 cm.
Resolução e comentário
Considerando a base = X,
Um lado será o dobro da base = 2X,
O outro lado será igual à base mais 4 cm, ficando = X + 4.
E a equação fica assim:
X  2 X  ( X  4)  44
Resolvendo a equação temos:
X  2 X  X  4  44
4 X  4  44
4 X  44  4
4 X  40
X  40
4
X  10
Consideramos a base = X, logo ela mede: 10 cm.
O lado que mede o dobro da base tem medida = 2 10  20cm .
O outro lado tem medida igual à base mais 4 cm, logo é igual a: 10  4  14cm .
21
22º) Ari tem 15 anos e Jair tem 13 anos. Daqui a quantos anos a soma de
suas idades será 58 anos?
Resposta: 15 anos.
Resolução e comentário
Até que a soma das idades seja 58 anos, o tempo que passou para Jair, também passou para Ari.
Considerando o tempo que passou = X, temos a equação:
(15  X )  (13  X )  58
Resolvendo a equação, ficamos com:
15  X  13  X  58
2 X  28  58
2 X  58  28
2 X  30
X  30
2
X  15anos
22
23º) Lia comprou um objeto que foi pago em 3 prestações. Na primeira
prestação ela pagou a terça parte do valor do objeto, na segunda prestação ela
pagou a quinta parte do objeto e na última prestação ela pagou R$ 35,00.
Quanto ela pagou pelo objeto?
Resposta: R$ 75,00.
Resolução e comentário
Considerando o valor do objeto = X,
A primeira prestação foi =
X
3
A segunda prestação foi =
X
5
Como a terceira prestação foi R$ 35,00, correspondente ao que faltava para completar o valor do objeto,
A equação fica assim:
X X
  35  X
3 5
Resolvendo a equação, temos:
X X 35 X
 

3 5
1
1
5 X 3 X 525 15 X



15 15
15
15
5 X  3 X  525  15 X
8 X  15 X  525
 7 X  525
Multiplica ndo(1)
7 X  525
525
7
X  75
X 
Portanto, o objeto custou R$ 75,00.
23
24º) Três livros custam o mesmo que 8 cadernos. Um livro custa R$ 25,00 a
mais que um caderno. Qual o preço de um livro?
Resposta: R$ 40,00.
Resolução e comentário
Considerando um caderno = X,
Um livro custa = X + 25
A expressão do custo de três livros será: 3( X  25)
Como 3 livros = 8 cadernos, a equação fica:
3( X  25)  8 X
Resolvendo a equação, temos:
3 X  3  25  8 X
3 X  75  8 X
3 X  8 X  75
 5 X  75
Multiplica ndo(1)
5 X  75
75
5
X  15
X 
Um caderno custa R$ 15,00.
Como um livro custa R$ 25,00 mais que um caderno,
Um livro custa R$ 15,00 + R$ 25,00 = R$ 40,00.
24
25º) Daniela e Tatiana têm juntas 14 anos. a idade de Tatiana é
idade de Daniela. Determine a idade de cada uma.
Resposta: Daniela tem 8 anos e Tatiana tem 6 anos.
3
4
da
Resolução/Comentários
Considerando a idade de Daniela = D , a idade de Tatiana será
3
deD .
4
Logo teremos a equação:
D
3
D  14
4
Arrumando a equação ficamos com:
D
3D
 14
4
Escrevendo todos os termos da equação na forma de fração:
D 3D 14


1
4
1
Reduzindo todos os termos ao menor denominador comum para obter a equação equivalente:
4 D 3D 56


4
4
4
Eliminando os denominadores:
4D  3D  56
Aplicando as propriedades das igualdades:
7D  56
D  56
7
D8
Isto é, Daniela tem 8 anos. Como Tatiana é 3/4 da idade de Daniela, temos:
T=
3
3 8 24
de 8  T =  
Assim: T  6
4
4 1
4
Logo: Tatiana tem 6 anos.
25
26º) Silvio e Luís têm juntos 420 figurinhas. O número de figurinhas de
Silvio é 5/7 do número de figurinhas de Luís. Qual o número de figurinhas
de Luís?
Resposta: 245 figurinhas.
Resolução/Comentários
Considerando Luís = X, Silvio será =
X
5X
e a equação fica assim:
7
5X
 420
7
Resolvendo a equação temos:
X 5 X 420


1
7
1
7 X 5 X 2940


7
7
7
7 X  5 X  2940
12 X  2940
2940
12
X  245 figurinhas
X 
26
27º) Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel e a
metade é gasta com alimentação, restando ainda
R$ 90,00 para gastos diversos. Qual o valor do meu salário?
Resposta: R$ 900,00.
Resolução/Comentários
Considerando o meu salário = X,
O aluguel será =
2X
.
5
O gasto com a alimentação será =
X
.
2
A soma: aluguel + alimentação + o valor restante = salário
E a equação fica assim:
2X X
  90  X
5
2
Resolvendo a equação temos:
2 X X 90 X
 

5
2
1
1
4 X 5 X 900 10 X



10 10
10
10
4 X  5 X  900  X
9 X  900  10 X
9 X  10 X  900
 X  900
Multiplica ndo(1)
X  900
27
28º) Numa classe, um terço dos alunos é formado por homens e 22 são
mulheres. Quantos alunos há nessa classe?
Resposta: 33 alunos.
Resolução/Comentários
Considerando o número total de alunos = X;
X
;
3
A soma: número de homens + número de mulheres = total de alunos;
O número de homens será =
A equação fica assim:
X
 22  X
3
Resolvendo a equação temos:
X 22 X


3
1
1
X 66 3 X


3
3
3
X  66  3 X
X  3 X  66
 2 X  66
Multiplica ndo(1)
2 X  66
66
2
X  33 Alunos
X 
28
29º) A soma de dois números é 58 e a diferença é 12. Quais são esses
números?
Resposta: 23 e 35.
Resolução/Comentários
Resolvendo pelo método da substituição:
Sendo o número maior = M e o número menor = m
temos:
M + m = 58 e M – m = 12
Da condição: M – m = 12, tiramos que M = m + 12.
Substituindo na primeira condição termos:
m + 12 + m = 58
2m + 12 = 58
2m = 58 – 12
2m = 46
m = 46/2
m = 23, Logo: M = 23 + 12 = 35
29
30º) A soma de dois números é 145 e a diferença é 15. Quais são esses
números?
Resposta: 80 e 65.
Resolução/Comentários
Considerando o número maior = X;
O número menor será = X – 15;
E a equação fica assim:
X  ( X  15)  145
Resolvendo a equação, temos:
X  X  15  145
2 X  15  145
2 X  145  15
2 X  160
160
2
X  80
X 
30
31º) A soma das idades de duas moças é 30 anos e a diferença das
idades é 4 anos. Qual é a idade da mais nova?
Resposta: 13 anos.
Resolução/Comentários
Considerando a idade da mais velha = X anos;
A idade da mais nova será = X – 4 anos;
E a equação fica assim:
X  ( X  4)  30
Resolvendo a equação, temos:
X  X  4  30
2 X  4  30
2 X  30  4
2 X  34
34
2
X  17
X 
17  4  13 Anos
31
32º) A quantia de R$ 400,00 foi repartida entre Carlos e Pedro. A
diferença entre as quantias que Carlos e Pedro receberam foi de R$ 60,00.
Calcule quanto Carlos recebeu, sabendo que ele recebeu a maior quantia.
Resposta: R$ 230,00.
Resolução/Comentários
Sabendo que Carlos recebeu a menor quantia,
E considerando Carlos = X,
Pedro será = X – 60
E a equação fica assim:
X  ( X  60)  400
Resolvendo a equação, temos:
X  X  60  400
2 X  60  400
2 X  400  60
2 X  460
460
2
X  230
X 
Carlos recebeu R$ 230,00
32
33º) A diferença entre dois números é 2. O menor é a metade do maior,
mais 3.Quais são esses números?
Resposta: 10 e 8.
Resolução/Comentários
Sendo o número maior = X ,
O número menor será
X
3.
2
Assim a equação fica:
X (
X
 3)  2
2
Resolvendo a equação, temos:
X X 3 2
  
1 2 1 1
2X X 6 4
  
2
2 2 2
2X  X  6  4
X 6  4
X  46
X  10  O número Maior vale 10
10
 3  8  Onúmero Menor vale 8
2
33
34º) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56
rodas. Determine o número de bicicletas e carros.
Resposta: 12 bicicletas e 8 carros.
Resolução/Comentários
Considerando o número de Bicicletas  X ,
O número de Carros é  (20  X ) ,
Logo a equação fica assim:
2 X  4(20  X )  56
Onde:
2X é o número de rodas de bicicletas,
4(20-X) é o número de rodas de carros,
Resolvendo a equação, temos:
2 X  80  4 X  56
2 X  4 X  56  80
 2 X  24
Multiplica ndo por  1 
2 X  24
24
2
X  12  O número de carros é 8
X 
20  8  12  O número de bicicletas é 12.
34
35º) Repartir 22 figurinhas entre três meninos, de modo que o primeiro
receba o dobro do que receber o segundo, e o terceiro receba duas a mais do
que receber o segundo.
Resposta: o primeiro recebe 10 figurinhas: o segundo recebe 5
figurinhas e o terceiro recebe 7 figurinhas.
Resolução/Comentários
1º menino = 2X
2º menino = X
3º menino = X+2
Construindo a equação:
2 X  X  ( X  2)  22
Resolvendo a equação:
2 X  X  X  2  22
4 X  2  22
4 X  20
X 
20
4
X  5  O segundo menino recebe 5 figurinhas ;
2 X  10  O primeiro menino recebe 10 figurinhas ,
X  2  7  O terceiro menino recebe 7 figurinhas.
35
36º) Repartir 54 bombons entre três meninos, de modo que o segundo
receba o dobro do primeiro e o terceiro receba o triplo do primeiro.
Resposta: 9, 18 e 27 bombons.
Resolução/Comentários
Ao ler o problema notamos que os segundo e terceiro meninos estão em função do primeiro,
Considerando o primeiro = X,
O segundo será = 2X,
O terceiro = 3X,
E a equação fica assim:
X  2 X  3X  54
Resolvendo a equação, temos:
6 X  54
54
6
X  9  O primeiro menino recebe 9 bombons;
X 
2 X  2  9  18  O segundo menino recebe 18 bombons;
3 X  3  9  27  O terceiro menino recebe 27 bombons.
36
37º) Distribuir R$ 168,00 entre três pessoas, de modo que as duas
primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber
as duas primeiras juntas.
Resposta: R$ 28,00 ; R$ 28,00 e R$ 112,00.
Resolução/Comentários
Considerando a primeira pessoa = X,
A segunda será = X,
A terceira será = 2X,
E a equação fica assim:
X  X  2(2 X )  168
Resolvendo a equação, termos:
2 X  4 X  168
6 X  168
168
6
X  28  A Pr imeira pessoa recebe R$ 28,00
X 
X  28  A Segunda pessoa recebe, também, R$ 28,00
4 X  4  28  112  A Terceira pessoa recebe R$ 112,00
37
38º) Tenho dinheiro em duas gavetas, num total de R$ 1 800,00. Uma
das gavetas tem o triplo da quantia da outra. Quantos reais há em cada
gaveta?
Resposta: R$ 450,00 e R$ 1 350,00.
Resolução/Comentários
Considerando a quantia menor = X,
A quantia maior será = 3X,
E a equação fica assim:
X  3X  1800
Resolvendo a equação, temos:
4 X  1800
1800
4
X  450  A quantia menor é  R$ 450,00
X 
3 X  450  3  1350  A quantia maior é  R$ 1350,00
38
39º) A soma de três números consecutivos é 33. Quais são esses
números?
Resposta: 10; 11 e 12.
Resolução/Comentários
Considerando o primeiro número = X,
O segundo será = X+1,
E o terceiro número será = X+2,
E a equação fica assim:
X  ( X  1)  ( X  2)  33
Resolvendo a equação temos:
X  X  1  X  2  33
3 X  3  33
3 X  33  3
3 X  30
30
3
X  10  Pr imeiro número  10
X 
X  1  11  Segundo número  11
X  2  12  Terceiro número  12
39
40º) Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas num total de 360 bolas. Se o
número de bolas brancas é o quádruplo do número de bolas pretas. Quantas
bolas brancas há na caixa?
Resposta: 288 bolas brancas.
Resolução/Comentários
Considerando o número de bolas pretas = X,
O número de bolas brancas será = 4X,
E a equação fica assim:
X  4 X  360
Resolvendo a equação, temos:
5 X  360
360
5
X  72 Bolas Pr etas
X 
4 X  4  72  288 Bolas brancas
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